Tài liệu hay về phương trình mũ

QUÁCH ĐĂNG THĂNG

0
log
b
x
a
a b x b
>
= ⇔ =

PHƯƠNG
TRÌNH MŨ

CHUYÊN ĐỀ

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~
1

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương.
I. Trọng tâm kiến thức:
Bài toán sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để giải phương trình
mũ là bài toán cơ bản của phương trình mũ. Dạng chính của phương pháp này là

sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để biến đổi phương trình mũ về
dạng cơ bản hoặc dạng có cùng cơ số.
Phương pháp:
Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau
Dạng 1: Phương trình
(
)
(
)
=
f x g x
a a

+ Khi cơ số a là một hằng số thỏa mãn
0 1
< ≠
a
thì
(
)
(
)
(
)
(
)
= ⇔ =
f x g x
a a f x g x
.

+ Khi cơ số a là một hàm số của ẩn
x
thì

( ) ( )
( ) ( )
1
0 1
=


< ≠
= ⇔




=


f x g x
a
a
a a
f x g x
ho
ặ
c
( ) ( ) ( )
0

1 0
>



− − =
 

 

a
a f x g x
.
Dạng 2:
Ph
ươ
ng trình
(
)
=
f x
a b

Cách gi
ả
i:
( )
( )
0 1, 0
log

< ≠ >

= ⇔

=

f x
a
a b
a b
f x b

Đặc biệt:
+ Khi
0
=
b
ho
ặ
c
0
<
b
thì k
ế
t lu
ậ
n ngay ph
ươ
ng trình vô nghi

ệ
m.
+ Khi
1
=
b
ta vi
ế
t
0
=
b a
. Suy ra ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
(
)
0
0
= ⇔ = ⇔ =
f x f x
a b a a f x
.
+ Khi
1
≠

b
mà
b
có th
ể
bi
ể
u di
ễ
n thành
=
c
b a
. Suy ra ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
(
)
= ⇔ = ⇔ =
f x f x
c
a b a a f x c
.

Tuy nhiên có nhi
ề

u tr
ườ
ng h
ợ
p v
ớ
i ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
=
f x g x
a b
ta c
ầ
n ch
ọ
n
ph
ầ
n t
ử
trung gian c
để
bi
ế
n

đổ
i ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng
(
)
( )
(
)
( )
( ) ( )
( ) ( )
= ⇔ = ⇔ =
f x g x
f x g x
c c c c f x g x
α β
α β
α β

Chú ý:
Tr
ướ
c khi bi
ế
n

đổ
i ph
ươ
ng trình chúng ta ph
ả
i tìm
đ
i
ề
u ki
ệ
n
để

(
)
f x
và
(
)
g x
có ngh
ĩ
a.
II. Bài tập chọn lọc, điển hình:
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~
2

Bài 1:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
2 1
1
2
4.9 3.2
+
−
=
x
x
.
b)
1 2 4 3
7.3 5 3 5
+ + + +
− = −
x x x x
.
c)
2 3
5 125

−
=
x
x
.
d)
( )
7
4 3
4
5
4 3
[ 27 ] 3
−
+
=
x x
x x
.
Hướng dẫn giải
a) Ta có
( )
(
)
2 1
2 2
2 1
2 1
1 2 2
2

2
3
4.9 3.2 4.3 3. 2
3 4
+
−
+
+
− −
= ⇔ = ⇔ =
x
x
x
x
x x

(
)
( )
( )
2 1
2 3
2 3 2 3
4
2
3 3 2
2
+
−
− −

⇔ = ⇔ =
x
x
x x
2 3
3 3
( ) 1 2 3 0
2
2
−
⇔ = ⇔ − = ⇔ =
x
x x .
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
3
2
=
x .
b) Ta có
1 2 4 3 1 1 1 1
7.3 5 3 5 7.3 5.5 27.3 25.5
+ + + + + + + +
− = − ⇔ − = −
x x x x x x x x

1
1 1 1 1
3
20.5 20.3 3 5 1 1 0 1
5
+
+ + + +
 
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = −
 
 
x
x x x x
x x
.
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
p
1
= −
x
.
c) Ta có
2 3 2 3
3

0
3 0
3
3
5 125 5 5 2 3 3
2 3 3
5
3
2 3 3
5
− −
≥

≥


  = −

= ⇔ = ⇔ − = ⇔ ⇔ ⇔ =
− =

 


 

− = −
=






x x
x x
x
x
x
x x x
x x
x x
x

V
ậ
y ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m
3
5
=
x
.
d)
Đ
i
ề
u ki

ệ
n:
0
≥
x
.
( ) ( ) ( )
2
2
.
7 7 7
4 3 4 3 4 3 4 3
4 4 4
5 5 5
4 3
[ 27 ] 3 27 3 27 3
     
 
− − + −
     
+
 
     
 
     
= ⇔ = ⇔ =
x x x x x x x x
x x

( )

2
2
2
3 3 16 7
.
7 216 3
4
5
5 48
4
3 3 16 7
27 3 3 3 . 3 16 140
5 48 4
−
−
−
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − =
x x
x x
x x
x x

( )
( )
2
14
loai
3
3 16 140 0
10 /


= −

⇔ − − = ⇔

=


x
x x
x t m
.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~
3

V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m x=10.
Bài 2:
Gi
ả

i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
2
4 5
7 49
− +
=
x x x
.
b)
3 2 2
2 2 3
8 4
− + + +
=
x x x x
.
c)
2
8 1 3
2 4
− + −
=
x x x
.
d)
1 2 3 4
3 3 3 3 750

+ − − −
+ − + =
x x x x
.
Hướng dẫn giải
a) Ta có
2 2
4 5 4 5 2 2 2
2
7 49 7 7 4 5 2 6 5 0
3
− + − +
=

= ⇔ = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔

=

x x x x x x
x
x x x x x
x
.
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 2, x = 3.
b) Ta có
(
)
(
)
( ) ( )

3 2 2
3 2 2
3 2 2 2 3
2 2 3 3 2 2
8 4 2 2 3 2 2 2 3
− + + +
− + + +
= ⇔ = ⇔ − + = + +
x x x x
x x x x
x x x x

( )
3 2 2
2
0
0
4 22
3 8 2 0 3 8 2 0
3
3 8 2 0
4 22
3


=

=

−


⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ ⇔ =


− − =


+

=


x
x
x x x x x x x
x x
x

V
ậ
y ph
ươ
ng trình có 3 nghi
ệ
m
4 22 4 22
0, ,
3 3
− +
= = =x x x .

c) Ta có
( )
2 2
2 1 3
8 1 3 8 2
2 4 2 2 8 2 6
−
− + − − +
= ⇔ = ⇔ − + = −
x
x x x x x
x x x

2
3
5 6 0
2
= −

⇔ + + = ⇔

= −

x
x x
x
.
V
ậ
y ph

ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m
3, 2
= − = −
x x
.
d) Ta có
1 2 3 4
3 3 3
3 3 3 3 750 3.3 750
9 27 81
+ − − −
+ − + = ⇔ + − + =
x x x
x x x x x

5
1 1 1 250
3 .3 750 .3 750 3 3.81 3 3 5
9 27 81 81
 
⇔ + − + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
 
 
x x x x
x
.
V

ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m x = 5.
Bài 3:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
( ) ( )
1
1
1
5 2 5 2
−
−
+
+ = −
x
x
x
.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~
4

b)
( ) ( )
3 1
1 3
10 3 10 3
− +
− +
+ = −
x x
x x
.
c)
(
)
(
)
2 5 2 1
2 1 2 5
6 35 6 35
+ −
+ −
+ = −
x x
x x
.
d)

( ) ( )
2
2 9 2 7
7 48 7 48
− + −
+ = −
x x x
.
Hướng dẫn giải
a)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
1
≠ −
x
.
Vì
(
)
(
)
5 2 5 2 5 4 1
+ − = − =
nên
(
)

1
1
5 2 5 2
5 2
−
− = = +
+
.
Ph
ươ
ng trình
đượ
c vi
ế
t thành
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 1
1 1
1
5 2 5 2 5 2 5 2 1
1
− −
− − −
+ +
−
+ = − ⇔ + = + ⇔ − = −
+
x x
x x

x x
x
x
x

( ) ( )( )
1
1 1
1 0 1 1 0 1 2 0
2
1 1
=

−
 
− + = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔
 

= −
+ +
 

x
x
x x x x
xx x
(th
ỏ
a
mãn).

V
ậ
y ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m x = - 2, x = 1.
b)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
1 0 1
3 0 3
− ≠ ≠
 
⇔
 
+ ≠ ≠ −
 
x x
x x
.
Vì
(
)
(
)

10 3 10 3 10 9 1
+ − = − =
nên
(
)
1
1
10 3 10 3
10 3
−
− = = +
+
.
Khi đó:
( ) ( ) ( ) ( )
3 1 3 1
1 3 1 3
3 1
10 3 10 3 10 3 10 3
1 3
− + − +
−
− + − +
− +
+ = − ⇔ + = + ⇔ = −
− +
x x x x
x x x x
x x
x x

(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2
3 3 1 1 9 1 2 10
⇔ − + = − + − ⇔ − = − + ⇔ =
x x x x x x x

2
5
5
5

=
⇔ = ⇔

= −


x
x
x
(th
ỏ

a mãn).
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m
5, 5
= − =x x
.
c)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
1
2 1 0
2
2 5 0 5
2

≠ −

+ ≠


⇔

 
− ≠


≠


x
x
x
x
.
Vì
6 35. 6 35 36 35 1 1
+ − = − = =

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~
5

nên
(
)
1
1
6 35 6 35

6 35
−
− = = +
+
.
Khi
đ
ó
(
)
(
)
(
)
(
)
2 5 2 1 2 5 2 1
2 1 2 5 2 1 2 5
6 35 6 35 6 35 6 35
+ − + −
−
+ − + −
+ = − ⇔ + = +
x x x x
x x x x

2 5 2 1
2 1 2 5
+ −
⇔ = −

+ −
x x
x x

(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 5 2 5 2 1 2 1 4 25 4 1
⇔ + − = − − + ⇔ − = − +
x x x x x x

2 2
13
13
2
8 26
4
13
2

= −


⇔ = ⇔ = ⇔


=


x
x x
x
(th
ỏ
a mãn).
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 2 nghi
ệ
m
13
2
13
2

= −



=



x
x
.
d) Vì
(
)
2
2
2 9 1 8 0,
− + = − + > ∀ ∈
x x x x
»
nên
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a ph
ươ
ng trình là
∀ ∈
x
»
.
Mà
(

)
(
)
7 48 7 48 49 48 1
+ − = − =
. Suy ra
(
)
( )
(
)
1
1
7 48 7 48
7 48
−
− = = +
+
.
Khi
đ
ó
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 9 2 7 2 9 2 7
2
7 48 7 48 7 48 7 48
2 9 2 7
− + − − + − +
+ = − ⇔ + = +

⇔ − + = − +
x x x x x x
x x x

( )
2
2
2
7
7
2
2 7 0
2
2
2
2 9 2 7
3 26 40 0
20
3

≤


− + ≥

≤ 
 
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
=


  
− + = − +


 

− + =



=


x
x
x
xx
x x x
x x
x
(th
ỏ
a
mãn).
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ

m x = 2.

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~
6

Chú ý:
Ta có:
(
)
(
)
2 2
1 1
+ − − −
x x
M M M M
(
)
(
)
2 2
1 1
 
= + − − −
 

x
M M M M

(
)
2 2
1 1 1
 
= − − = =
 
x
x
M M
.
Suy ra
(
)
(
)
2 2
1 1
−
− − = + −
x x
M M M M
.

Bài 4: Giải phương trình:
( ) ( )
sin 2 3cos

2 2
2 2
−
+ − = + −
x
x x x x

Hướng dẫn giải
Ph
ươ
ng trình
đượ
c bi
ế
n
đổ
i v
ề
d
ạ
ng:
( )
( )
2
2
2
1 2(*)
2 0
1 0(1)
2 1 sin 2 3cos 0

sin 3cos 2(2)
− < <

+ − >



− − =

⇔
 
+ − − − + =

 

+ =


x
x x
x x
x x x x
x x

Gi
ả
i (1) ta
đượ
c
1,2

1 5
2
±
=x tho
ả
mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*)
Gi
ả
i (2):
1 3
sin cos 1 sin 1 2 2 ,
2 2 3 3 2 6
 
+ = ⇔ + = ⇔ + = + ⇔ = + ∈
 
 
x x x x x k x k k Z
π π π π
π π

Để
nghi
ệ
m tho

ả
mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) ta ph
ả
i có:
1 1
1 2 2 1 2 0,
6 2 6 2 6
   
− < + < ⇔ − − < < − ⇔ = ∈
   
   
k k k k Z
π π π
π
π π
khi
đ
ó ta nh
ậ
n
đượ
c
3
6

=
x
π

V
ậ
y ph
ươ
ng trình có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
1,2 3
1 5
;
2 6
±
= =
x x
π
.
Bài 5:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
( )
( )

2
2
4
3 5 2
2
3 6 9
+ −
− +
− = − +
x x
x x
x x x
Hướng dẫn giải
Ph
ươ
ng trình
đượ
c bi
ế
n
đổ
i v
ề
d
ạ
ng:
( ) ( ) ( )
2
2 2
4

3 5 2 2 2( 4)
3 3 3
+ −
− + + −
 
− = − = −
 
x x
x x x x
x x x

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~
7

2 2 2
3 1 4
4
0 3 1 3 4
5
3 5 2 2 2 8 7 10 0
− = =
 
=

 

< − ≠ < ≠
⇔ ⇔ ⇔
 

 
=
 

 
− + = + − − + =
 
 
x x
x
x x
x
x x x x x x

V
ậ
y ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t x=4, x=5.
Bài 6:
Cho ph
ươ

ng trình
( )
2
1
4 5
1 1
1
4
2
+
− +
=
m
x x
.
a) Gi
ả
i ph
ươ
ng trình v
ớ
i m = 0.
b) Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m trái d
ấ

u.
c) Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m thu
ộ
c kho
ả
ng
(
)
1,4
.
Hướng dẫn giải
Bi
ế
n
đổ
i ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng:
( )
2

2
4 5 2 2
1
4 5
2
2
1 1 1 1
4 2 2
2
4 5 2 2
4 3 2 0 2
− + +
+
− +
   
= ⇔ =
   
   
⇔ − + = +
⇔ − + − =
x x m
m
x x
x x m
x x m

a) V
ớ
i m = 0, ta
đượ

c ph
ươ
ng trình
2
1
4 3 0
3
=

− + = ⇔

=

x
x x
x
.
V
ậ
y v
ớ
i m = 0 ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
1, 3
= =

x x
.
b) Ph
ươ
ng trình (1) có 2 nghi
ệ
m trái d
ấ
u
⇔
Ph
ươ
ng trình (2) có 2 nghi
ệ
m trái
d
ấ
u.

⇔
3 2 3
0 0 3 2 0
1 2
−
< ⇔ < ⇔ − < ⇔ >
m
P m m .
V
ậ
y, v

ớ
i
3
2
>
m thì ph
ươ
ng trình (1) có 2 nghi
ệ
m trái d
ấ
u.
c) Ph
ươ
ng trình (1) bi
ế
n
đổ
i v
ề
d
ạ
ng
(
)
2
4 3 2 3
− + =x x m .
Ph
ươ

ng trình (1) có 2 nghi
ệ
m thu
ộ
c kho
ả
ng
(
)
1,4
⇔
Ph
ươ
ng trình (3) có 2
nghi
ệ
m thu
ộ
c kho
ả
ng
(
)
1,4
.
Xét hàm s
ố

(
)

2
4 3
= = − +
y f x x x
trên kho
ả
ng
(
)
1,4
ta có b
ả
ng bi
ế
n thiên
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~
8


T
ừ
b
ả
ng bi
ế

n thiên suy ra ph
ươ
ng trình (3) có 2 nghi
ệ
m thu
ộ
c kho
ả
ng
(
)
1,4 1 2 0
⇔ − < <
m
1
0
2
⇔ − < <
m
.
Vậy, với
1
0
2
− < <
m thì ph
ươ
ng trình (1) có 2 nghi
ệ
m thu

ộ
c kho
ả
ng
(
)
1,4
.
Lưu ý:

Ở
câu c) chúng ta có th
ể
s
ử
d
ụ
ng
đị
nh lý
đả
o v
ề
tam th
ứ
c b
ậ
c hai
để
làm

tuy nhiên ph
ậ
n ki
ế
n th
ứ
c này
đ
ã
đượ
c gi
ả
m t
ả
i không
đư
a vào n
ữ
a nên vi
ệ
c dùng
ph
ươ
ng pháp hàm s
ố
là h
ữ
u hi
ệ
u và nhanh nh

ấ
t.
Bài 7:
Cho ph
ươ
ng trình
( )
3 2
2
2 3 2
2
1
27 1
9
− + −
− − +
=
mx x x
mx x
.
a) Gi
ả
i ph
ươ
ng trình v
ớ
i
m = -3.

b) Tìm

m

để
ph
ươ
ng trình có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t d
ươ
ng.
Hướng dẫn giải
Bi
ế
n
đổ
i ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng:
(
)
(
)
( ) ( )
( )

( )
( )
( )
3 2 2
2 3 2 2
3 2
3 2 2
3 2
2
2
3 3
3 2 3 2 2 2
3 3 7 2 0
3 2 2 1 0
3 2 0
2 1 0 2
− + − − − +
−
=
⇔ − + − = − − − +
⇔ − + + − =
⇔ − − + =
− =

⇔

− + =

mx x x mx x
mx x x mx x

mx m x x
x mx x
x
mx x

a) V
ớ
i m = -3, ta
đượ
c ph
ươ
ng trình
2
2
3
3 2 0
1
3 2 1 0
1
3

=

− =


⇔ = −


− − + =



=


x
x
x
x x
x

V
ậ
y, v
ớ
i m = -3 ph
ươ
ng trình có 3 nghi
ệ
m
1 2
1, ,
3 3
= − = =
x x x
.
x
y
1
2

4
0
-1
3
t

−∞

+∞

+∞

+∞

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~
9

b)
Đặ
t
(
)
2
2 1
= − +

f x mx x
.
Ph
ươ
ng trình (1) có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t d
ươ
ng
⇔
Ph
ươ
ng trình (2) có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t d
ươ
ng khác
2
3
.
( )
'
(2)
(2)
2
0

0
0
1 0
0
1
0 1
2
0 0 0
3
0
4
0
1
0
3
2
0
4
4 4
3
1 0
9 3






≠
≠


≠


− > 


∆ >
<
< <




   
⇔ > ⇔ > ⇔ > ⇔
   
≠
   
>

>
  
>
  
 
≠
  
≠
 



 


− + ≠


m
m
m
m
m
m
S m
m
m
m
P
m
m
f
m
.
V
ậ
y, v
ớ
i
( )

3
0,1 \
4
 
∈
 
 
m thì ph
ươ
ng trình (1) có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t d
ươ
ng.

Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp Lôgarit hóa và đưa về cùng cơ số
I. Trọng tâm kiến thức:

Để
chuy
ể
n
ẩ
n s
ố
kh
ỏ
i s

ố
m
ũ
lu
ỹ
th
ừ
a ng
ườ
i ta có th
ể
logarit theo cùng 1
c
ơ
s
ố
c
ả
2 v
ế
c
ủ
a ph
ươ
ng trình, ta có các d
ạ
ng:
Dạng 1:
Ph
ươ

ng trình:

( )
( )
0 1, 0
log
< ≠ >

= ⇔

=

f x
a
a b
a b
f x b

Đặc biệt:

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
1 xaùc ñònh
1

1
0




>


= ⇔
 

 

=




≠







=





g x
f x
f x g x
f x
f x
g x

Dạng 2:
Ph
ươ
ng trình (c
ơ
s
ố
khác nhau và s
ố
m
ũ
khác nhau):

(
)
( ) ( ) ( )
log log ( ) ( ).log
= ⇔ = ⇔ =
f x
g x f x f x
a a a

a b a b f x g x b

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~
10

ho
ặ
c
( ) ( )
log log ( ).log ( ).
= ⇔ =
f x g x
b b b
a b f x a g x


Đặc biệt:
N
ế
u c
ơ
s
ố
khác nhau nh
ư

ng s
ố
m
ũ
b
ằ
ng nhau thì
( )
( ) 0
( )
1 ( ) 0
   
= ⇔ = = ⇔ =
   
   
f x
f x
f x
a a
a b f x
b b
(vì
(
)
0
>
f x
b
)
II. Bài tập chọn lọc, điển hình:

Bài 1:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình:
a) 2
2
2
3
2
−
=
x x
.
b)
1
5 .8 500.
−
=
x
x
x

c)
2
4 2
2 .5 1
− −
=

x x
.
d)
2
2 3
2
3 .4 18
−
−
=
x
x
x
.
Hướng dẫn giải
a) L
ấ
y logarit c
ơ
s
ố
2 hai v
ế
ph
ươ
ng trình ta
đượ
c:

2

2 2 2
2 2 2 2
3
log 2 log 2 log 3 1 2 1 log 3 0
2
−
= ⇔ − = − ⇔ − + − =
x x
x x x x
Ta có
,
2 2
1 1 log 3 log 3 0
∆ = − + = >
.
Suy ra ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m x = 1
2
log 3.
±

b)
Đ
i
ề
u ki
ệ

n
x 0
≠
.
Vi
ế
t l
ạ
i ph
ươ
ng trình d
ướ
i d
ạ
ng:
1 1 3
3
3 2 3
5 .8 500 5 .2 5 .2 5 .2 1
− − −
−
= ⇔ = ⇔ =
x x x
x x x
x x x


L
ấ
y logarit c

ơ
s
ố
2 v
ế
, ta
đượ
c:
( )
( )
3 3
3 3
2 2 2
2 2
log 5 .2 0 log 5 log 2 0
3
3 .log 5 log 2 0
− −
− −
   
= ⇔ + =
   
   
−
⇔ − + =
x x
x x
x x
x
x

x

( )
2
2
3
1
3 log 5 0
1
log 5
=

 

⇔ − + = ⇔
 

= −
 


x
x
x
x
.
V
ậ
y ph
ươ

ng trình có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t:
2
1
3;
log 5
= = −x x .
c) L
ấ
y lôgarit c
ơ
s
ố
2 hai v
ế
ph
ươ
ng trình ta
đượ
c
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~
11

(
)
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
2 2
4 2 4 2
2 2 2 2
2
2 2
2
2
2
2
log 2 .5 log 1 log 2 log 5 0
4 log 2 2 log 5 0
2 2 2 log 5 0
2 2 log 5 0
2 0
2 log 5 0
2
2 log 5
− − − −
= ⇔ + =
⇔ − + − =
⇔ − + + − =
⇔ − + + =
− =


⇔

+ + =

=

⇔

= − −

x x x x
x x
x x x
x x
x
x
x
x

V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m
2

2, 2 log 5
= = − −
x x
.
d)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
0
≠
x
.
L
ấ
y lôgarit c
ơ
s
ố
3 hai v
ế
ph
ươ
ng trình ta
đượ
c
( )
( )

( )
2 2
2 3 2 3
2 2 2
3 3 3 3 3
2
3 3 3
2
3 3
log 3 .4 log 18 log 3 log 4 log 3 .2
2 3
2 log 3 log 4 2 log 2
4 6
2 log 2 2 log 2 0
− −
− −
 
= ⇔ + =
 
 
−
⇔ − + = +
−
⇔ − + − − =
x x
x x
x x
x
x
x

x
x
x

( )
( )
2
3 3
3 6 3
4 log 2 0 2 2 log 2 0
−
 
⇔ − + = ⇔ − + + =
 
 
x
x x x
x x

( )
( )
( )
2
3
2
3
2 0
2 2 3log 2 0 2
2 3log 2 0
− =


⇔ − + + = ⇔ ⇔ =

+ + =

x
x x x x
x x VN
.
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m x = 2.
Chú ý:

Đố
i v
ớ
i 1 ph
ươ
ng trình c
ầ
n thi
ế
t rút g

ọ
n tr
ướ
c khi logarit hoá.
Bài 2:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
( )
2
1
2
1 1
−
− + =
x
x x

b)
(
)
2
2
1
−
− =
x

x x

c)
( )
2
4
2
2 2 1
−
− + =
x
x x .
Hướng dẫn giải
a) Vì
2
2
1 3
1 0,
2 4
 
− + = − + > ∀ ∈
 
 
x x x x
»
nên
đ
i
ề
u ki

ệ
n c
ủ
a ph
ươ
ng trình là
∀ ∈
x
»
.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~
12

Ta vi
ế
t ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng
( )
2
2

1
2
2
2
0
1
1 1
1
0
1 1 0
1 1
1
1
1 0
1
1
−
=



=


− + =

=


≠






− + = ⇔ ⇔ ⇔ =
− + ≠





≠





= −
− =





=







= −



x
x
x
x x
x
x
x x x
x x
x
x
x
x
x
.
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có 3 nghi
ệ
m
1, 0, 1
= − = =
x x x

.
b)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
2
0 0 1
− > ⇔ < <
x x x
.
Ta vi
ế
t ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng
( )
( )
2
2 2
2
2
2
2

2
1 0
1 1
1 2
1
1 0
1
2
2
2 0
−

− + =

− = − =




− = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
− ≠
 
− + ≠


− ≠










=
=
− = 

 



x
x x VN
x x x x
x x x
x x
x x
x x
x
x
x

(lo
ạ
i).
V
ậ
y ph

ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
c)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
2
2
2 2 0
2 2
4 0
− + >

⇔ − ≤ ≤

− ≥

x x
x
x
.
( )
2
2
4

2
2
2
2
1
2 2 1
1
2
1
2 2 1
1
2 2 1 1
2
2
4 0
4 0
2
−
=

− + =

=

=


≠





− + ≠

≠
− + = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =







=

 




= −
− =

− =









= −




x
x
x x
x
x
x
x x
x
x x x
x
x
x
x
x
(th
ỏ
a mãn).
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có 3 nghi
ệ

m
2, 1, 2
= = = −
x x x
.
Bài 3:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
log 2
1000
=
x
x x
.
b)
2
log 4
32
+
=
x
x
.
c)
( )
2

25
5
log 5 1
log 7
7
−
=
x
x
.
d)
1
3 .8 36
+
=
x
x
x
.
Hướng dẫn giải
a)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
0
1
>



≠

x
x
.
L
ấ
y lôgarit c
ơ
s
ố
10 hai v
ế
ph
ươ
ng trình ta
đượ
c
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~
13

(
)

(
)
log 2 2
log log 1000 log .log log1000 log
= ⇔ = +
x
x x x x x

( )
1
2
3
1
log 1 10
log 2log 3 0
10
log 3
10 1000
−

= − = =


⇔ − − = ⇔ ⇔


=

= =


x x
x x
x
x
(th
ỏ
a mãn).
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m
1
, 1000
10
= =x x .
b)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
0
1
>



≠

x
x
.
L
ấ
y lôgarit c
ơ
s
ố
2 hai v
ế
ph
ươ
ng trình ta
đượ
c
(
)
(
)
(
)
2
2
log 4
2 2 2 2 2 2

log log 32 log 4 .log 5 log 4log 5 0
+
= ⇔ + = ⇔ + − =
x
x x x x x
2
5
2
2
log 1
1
log 5
2
32
−
=

=


⇔ ⇔


= −
= =


x
x
x

x
(thỏa mãn).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
1
, 2
32
= =
x x
.
c)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
0
1
>


≠

x
x

L
ấ
y logarit c
ơ

s
ố
7 hai v
ế
ph
ươ
ng trình ta
đượ
c
( )
(
)
(
)
( )
2
25
5
log 5 1
log 7
7 7
2
25 5 7
2
5 5
log 7 log
log 5 1 log 7.log
1
log 5 1 log
2

−
=
⇔ − =
 
⇔ − =
 
 
x
x
x x
x x

( )
2
5 5
2
5 5
1 1
log log 1 0
2 2
1 1 3
log log 0
4 2 4
 
⇔ + − − =
 
 
⇔ − − =
x x
x x

( )
1
2
5
5 5
3
5
1
log 1
5
log 2log 3 0
5
log 3
5 125
−

= −
= =


⇔ − − = ⇔ ⇔


=

= =

x
x

x x
x
x
(th
ỏ
a mãn)
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có hai nghi
ệ
m
1
, 125
5
= =
x x
.
d)
1
3 .8 36
+
=
x
x
x
. (1)

Đ
i
ề
u ki
ệ
n
1
≠ −
x
.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~
14

L
ấ
y logarit c
ơ
s
ố
2 hai v
ế
ta
đượ
c
( )

( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
2 2
2 2
1
2 2 2
3 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2 2 2
log 3 .8 log 36
log 3 log 8 log 2 .3
log 3 log 2 log 2 log 3
1
3
log 3 2 2log 3
1
1 log 3 3 2 1 2 1 log 3
.log 3 1 log 3 . 2 2log 3 0 2
+
+
 
=
 
 
⇔ + =
⇔ + = +

+
⇔ + = +
+
⇔ + + = + + +
⇔ + − − − =
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x x x
x x

Ph
ươ
ng trình (2) là ph
ươ
ng trình b
ậ
c 2
ẩ
n x có
(

)
2
2
3log 3 1 0
∆ = + >
.
Suy ra ph
ươ
ng trình 2 có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
3
2
1 log 2
=


= − −

x
x
(th
ỏ
a mãn)
V
ậ
y ph
ươ

ng trình (1) có 2 nghi
ệ
m
3
2
1 log 2
=


= − −

x
x
.
Bài 4:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
1 2 2 3
2 2 2 3 3 3
+ + + +
+ + = + +
x x x x x x
.
b)
1 2 3 1
5 5 5 3 3 3

+ + + +
+ + = + +
x x x x x x
.
c)
1 1
2 1
2 2
4 3 3 2
− +
−
− = −
x x
x x
.
d)
( )
2
0,5
log sin 5sin cos 2
1
4
9
+ +
=
x x x
.
Hướng dẫn giải
a) Ph
ươ

ng trình
đượ
c vi
ế
t l
ạ
i
(
)
(
)
2 2.2 4.2 3 9.3 27.3 2 1 2 4 3 1 9 27
+ + = + + ⇔ + + = + +
x x x x x x x x

2
3
2 37 2 37 37
7.2 37.3 log
3 7 3 7 7
 
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
 
 
x
x
x x
x
x
.

V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
2
3
37
log
7
=x
.
b) Ph
ươ
ng trình
đượ
c vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng
(
)
(
)
5 5.5 25.5 3 27.3 3.3 5 1 5 25 3 1 27 3

+ + = + + ⇔ + + = + +
x x x x x x x x

0
5 31 5 5 5
31.5 31.3 1 0
3 31 3 3 3
     
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
     
     
x x
x
x x
x
x .
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~
15

Vậy phương trình có nghiệm
0
=
x
.
c) Phương trình được viết lại

2
1 1 1 1
1
2 2 2 2
2 1 1 3 4
4 3 3 4 1 3 1 4 . 3 .
2 2 3 2 3
+ + − + +
   
+ = + ⇔ + = + ⇔ =
   
   
x
x x x x
x x x

1
1 1 3 3
2
2
2 3
2 2 2 2
3
3 2
2
4 3 4 3 3
4 .3 3 .2 3 4 3 0
2 3 2 2
4
+

+ + − − −
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =
x
x x
x x x x
x
x x .
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
3
2
=
x .
d)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
(
)
2
sin 5sin cos 2 0 *
+ + >x x x

Ph
ươ
ng trình:
( )
( )
( )
( )
( )
2
0,5
1 2
log sin 5sin cos 2
2
1 4
2
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
2
1
4
9
1
log sin 5sin cos 2 log
9

log sin 5sin cos 2 log 3
log sin 5sin cos 2 log 3
log sin 5sin cos 2 log 3
sin 5sin cos 2 3
1 sin 5sin cos 0
5sinos
−
+ +
−
=
⇔ + + =
⇔ + + =
⇔ − + + = −
⇔ + + =
⇔ + + =
⇔ − − =
⇔ −
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
c x x
( )
( )
(
)
(

)
( )
cos 0
cos cos 5sin 0
cos 0
cos 5sin 0
*
2
cos 5sin 1
thoûa maõn
=
⇔ − =
=

⇔

− =


= + ∈

⇔

=


x
x x x
x
x x

x k k
x x
π
π »

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình (1):
cos 5sin
=
x x

Nhận xét:

os 0
=
c x
không là nghi
ệ
m ph
ươ
ng trình nên chia hai v
ế
ph
ươ
ng trình
cho
cos 0

≠
x
ta
đượ
c ph
ươ
ng trình
( )
1 1
5tan 1 tan tan ,
5 5
= ⇔ = ⇔ = + ∈x x x arc k kπ
»
(th
ỏ
a mãn (*)).
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~
16

V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ

ã cho có hai h
ọ
nghi
ệ
m
2
= +
x k
π
π
và
( )
1
tan ,
5
= + ∈
x arc k kπ
»


Phương pháp 3: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Loại 1: Đặt ẩn phụ dạng 1
I. Trong tâm kiến thức:

Ph
ươ
ng pháp dùng
ẩ
n ph
ụ

d
ạ
ng 1 là vi
ệ
c s
ử
d
ụ
ng 1
ẩ
n ph
ụ

để
chuy
ể
n ph
ươ
ng
trình ban
đầ
u thành 1 ph
ươ
ng trình v
ớ
i 1
ẩ
n ph
ụ
.

Ta l
ư
u ý các phép
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
th
ườ
ng g
ặ
p sau:
Dạng 1:
Ph
ươ
ng trình
2
0
+ + =
x x
a aα β γ

Khi
đ
ó ta
đặ
t
0
= ⇒ >

x
t a t
, ta
đượ
c ph
ươ
ng trình b
ậ
c 2
ẩ
n t:
2
0
+ + =
t tα β γ
.
M
ở
r
ộ
ng: Ph
ươ
ng trình
( 1)
1 1 0
0
−
−
+ + =
k x x

k k
a aα α α α

Khi
đ
ó
đặ
t
=
x
t a
đ
i
ề
u ki
ệ
n t > 0, ta
đượ
c:
1
1 1 0
0
−
−
+ + =
k k
k k
t t tα α α α

Chú ý: Nếu đặt

( )
,
=
f x
t a
đ
i
ề
u ki
ệ
n h
ẹ
p t > 0.
Khi
đ
ó:
2 ( ) 2 3 ( ) 3 ( )
, , ,
= = =
f x f x kf x k
a t a t a t
và
( )
1
−
=
f x
a
t

Dạng 2:
Ph
ươ
ng trình
1 2 3
0
+ + =
x x
a bα α α v
ớ
i a.b=1
Khi
đ
ó
đặ
t
,
=
x
t a
đ
i
ề
u ki
ệ
n t<0 suy ra
1
=
x
b

t
ta
đượ
c:
2
2
1 3 1 3 2
0 0
+ + = ⇔ + + =
t t t
t
α
α α α α α

M
ở
r
ộ
ng: V
ớ
i a.b=1 thì khi
đặ
t
( )
,
=
f x
t a
đ
i

ề
u ki
ệ
n h
ẹ
p t>0, suy ra
( )
1
=
f x
b
t

Dạng 3:
Ph
ươ
ng trình
(
)
2 2
1 2 3
0
+ + =
x
x x
a ab bα α α
khi
đ
ó chia 2 v
ế

c
ủ
a ph
ươ
ng
trình cho
2
x
b
>0 ( ho
ặ
c
(
)
2
, .
x
x
a a b
), ta
đượ
c:
2
1 2 3
0
   
+ + =
   
   
x x

a a
b b
α α α

Đặ
t
,
 
=
 
 
x
a
t
b
đ
i
ề
u ki
ệ
n t<0, ta
đượ
c:
2
1 2 3
0
+ + =
t t
α α α

M
ở
r
ộ
ng: V
ớ
i ph
ươ
ng trình m
ũ
có ch
ứ
a các nhân t
ử
:
(
)
2 2
, , .
f
f f
a b a b
, ta th
ự
c
hi
ệ
n theo các b
ướ
c sau:

-

Chia 2 v
ế
ph
ươ
ng trình cho
2
0
>
f
b
(ho
ặ
c
(
)
2
, .
f
f
a a b
)
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~
17

-
Đặ
t
 
=
 
 
f
a
t
b
đ
i
ề
u ki
ệ
n h
ẹ
p t>0
Dạng 4:
L
ượ
ng giác hoá.
Chú ý: Ta s
ử
d
ụ
ng ngôn t
ừ

đ
i
ề
u ki
ệ
n h
ẹ
p t>0 cho tr
ườ
ng h
ợ
p
đặ
t
( )
=
f x
t a
vì:
-

N
ế
u
đặ
t
=
x
t a

thì t>0 là
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đ
úng.
-

N
ế
u
đặ
t
2
1
2
+
=
x
t
thì t>0 ch
ỉ
là
đ
i
ề
u ki

ệ
n h
ẹ
p, b
ở
i th
ự
c ch
ấ
t
đ
i
ề
u ki
ệ
n cho t
ph
ả
i là
2
≥
t
.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n này
đặ

c bi
ệ
t quan tr
ọ
ng cho l
ớ
p các bài toán có ch
ứ
a
tham s
ố
.
II. Bài tập điển hình, chọn lọc:
Bài 1:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2
2
1
cot
sin
4 2 3 0
+ − =
x
x
(1)
Hướng dẫn giải

Đ
i
ề
u ki
ệ
n
sin 0 ,
≠ ⇔ ≠ ∈
x x k k
π
»
(*)
Vì
2
2
1
1 cot
sin
= +
x
x
nên ph
ươ
ng trình (1)
đượ
c bi
ế
t d
ướ
i d

ạ
ng:

2
2 cot
cot
4 2.2 3 0
+ − =
x
x
(2)
Đặ
t
2
cot
2
=
g x
t
đ
i
ề
u ki
ệ
n
1
≥
t
vì
2

2 cot 0
cot 0 2 2 1
≥ ⇔ ≥ =
x
x

Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình (2) có d
ạ
ng:
( )
2
2 cot 2
1
2 3 0 2 1 cot 0
3
cot 0 ,
2
=

+ − = ⇔ ⇔ = ⇔ =

= −

⇔ = ⇔ = + ∈
x
t

t t x
t L
x x k k Z
π
π
thoả mãn (*)
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm
,
2
= + ∈
x k k Z
π
π .
Bài 2:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
(
)
(
)
7 4 3 3 2 3 2 0
+ − − + =
x x

Hướng dẫn giải
Nh
ậ

n xét r
ằ
ng:
(
)
(
)
(
)
2
7 4 3 2 3 ; 2 3 2 3 1
+ = + + − =

Do
đ
ó n
ế
u
đặ
t
(
)
2 3
= +
x
t
đ
i
ề
u ki

ệ
n t>0, thì:
(
)
1
2 3
− =
x
t
và
(
)
2
7 4 3
+ =
x
t

Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình tr
ở
thành:

( )
( )
2 3 2
2

1
3
2 0 2 3 0 1 3 0
3 0( )
=

− + = ⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔

+ + =

t
t t t t t t
t
t t vn

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~
18


(
)
2 3 1 0
⇔ + = ⇔ =
x
x

V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m x=0.
Nhận xét:
Nh
ư
v
ậ
y trong ví d
ụ
trên b
ằ
ng vi
ệ
c
đ
ánh giá:

(
)
( )( )
2
7 4 3 2 3
2 3 2 3 1
+ = +

+ − =

Ta
đ
ã l
ự
a ch
ọ
n
đượ
c
ẩ
n ph
ụ

(
)
2 3
= +
x
t
cho ph
ươ
ng trình
Ví d
ụ
ti
ế
p theo ta s
ẽ

miêu t
ả
vi
ệ
c l
ự
a ch
ọ
n
ẩ
n ph
ụ
thông qua
đ
ánh giá m
ở
r
ộ
ng
c
ủ
a a.b=1,
đ
ó là:
. . 1
= ⇔ =
a b
a b c
c c
t

ứ
c là v
ớ
i các ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng:
. . 0
+ + =
x x
Aa B b C

Khi
đ
ó ta th
ự
c hi
ệ
n phép chia c
ả
2 v
ế
c
ủ
a ph
ươ
ng trình cho
0
≠

x
c
,
để
nh
ậ
n
đượ
c:
. 0
   
+ + =
   
   
x x
a b
A B C
c c
t
ừ

đ
ó thi
ế
t l
ậ
p
ẩ
n ph
ụ

, 0
 
= >
 
 
x
a
t t
c
và suy ra
1
 
=
 
 
x
b
c t

Bài 3:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2 2
2 1 2 2
2 9.2 2 0
+ + +

− + =
x x x x

Hướng dẫn giải
Chia c
ả
2 v
ế
ph
ươ
ng trình cho
2 2
2 0
+
≠
x
ta
đượ
c:

2 2 2 2
2 2 1 2 2 2 2
1 9
2 9.2 1 0 .2 .2 1 0
2 4
− − − − − −
− + = ⇔ − + =
x x x x x x x x

2 2
2 2
2.2 9.2 4 0
− −
⇔ − + =
x x x x

Đặ
t
2
2
−
=
x x
t

đ
i
ề
u ki
ệ
n t>0. Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình tr
ở
thành:
2
2

2 2
2
2
1
4
2 2 2 1
2 9 4 0
1
2
1
2 2
2
−
− −
=


= − = = −



− + = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔




=
=
− = −
=





x x
x x
t
x x x
t t
x
t
x x

V
ậ
y ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m x=-1, x=2.
Chú ý:
Trong ví d
ụ
trên, vì bài toán không có tham s
ố
nên ta s
ử
d
ụ
ng

đ
i
ề
u ki
ệ
n
cho
ẩ
n ph
ụ
ch
ỉ
là t>0 và chúng ta
đ
ã th
ấ
y v
ớ
i
1
2
=
t
vô nghi
ệ
m. Do v
ậ
y n
ế
u bài

toán có ch
ứ
a tham s
ố
chúng ta c
ầ
n xác
đị
nh
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đ
úng cho
ẩ
n ph
ụ
nh
ư
sau:
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~
19

2
2
1
2
4
4
1 1 1 1
2 2
2 4 4
2
−
 
− = − − ≥ − ⇔ ≥ ⇔ ≥
 
 
x x
x x x t
Bài 4:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
( )
3
3 1
1 12
2 6.2 1

2 2
−
− − + =
x x
x
x

Hướng dẫn giải
Vi
ế
t l
ạ
i ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng:

3
3
3
2 2
2 6 2 1
2 2
 
 
− − − =
 
 
 

 
x x
x x
(1)
Đặ
t
3
3
3 3
3
2 2 2 2
2 2 2 3.2 2 6
2 2 2 2
   
= − ⇒ − = − + − = +
   
   
x x x x x
x x x x
t t t

Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình (1) có d
ạ
ng:
3
2

6 6 1 1 2 1
2
+ − = ⇔ = ⇔ − =
x
x
t t t t

Đặ
t
2 , 0
= >
x
u u
khi
đ
ó ph
ươ
ng trình (2) có d
ạ
ng:
2
1 ( )
1 2 0 2 2 2 1
2
2
x
u L
u
u u u u x
u

= −

− = ⇔ − − = ⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ =

=


V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m x=1.
Chú ý:
Ti
ế
p theo chúng ta s
ẽ
quan tâm
đế
n vi
ệ
c s
ử
d
ụ
ng ph
ươ
ng pháp l

ượ
ng
giác hoá.
Bài 5:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
(
)
2 2
1 1 2 1 2 1 2 .2
+ − = + −
x x x

Hướng dẫn giải
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
2 2
1 2 0 2 1 0
− ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤
x x
x

Nh

ư
v
ậ
y
0 2 1
< ≤
x
,
đặ
t
2 sin , 0;
2
 
= ∈
 
 
x
t t
π

Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng:
(
)
( )

2 2
1 1 sin sin 1 2 1 sin 1 cos 1 2cos sin
3
2cos sin sin2 2cos 2sin cos
2 2 2 2
3
2cos 1 2sin 0
2 2
cos 0 ( )
1
1
2
2
6
2
0
3 2
2 1
sin
2
2 2
x
x
t t t t t t
t t t t
t t
t t
t
L
t

x
x
t
t
π
π
+ − = + − ⇔ + = +
⇔ = + ⇔ =
 
⇔ − =
 
 


=
=



= −
=


⇔ ⇔ ⇔ ⇔



=




=
=
=






www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~
20

V
ậ
y ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m x=-1, x=0.
Bài 6:
Cho ph
ươ
ng trình
(

)
(
)
(
)
2 3 16 4 2 4 3 8 0 1
+ − − + − =
x x
m m m
.
a. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình v
ớ
i m = 3.
b. Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m trái d
ấ
u.
Hướng dẫn giải
Đặ
t
4 0

= ⇒ >
x
t t
.
Ph
ươ
ng trình (1) tr
ở
thành:
(
)
(
)
(
)
2
2 3 4 2 3 8 0 2
+ − − + − =m t m t m
.
a. V
ớ
i m = 3, ta
đượ
c ph
ươ
ng trình:
2
1
9 10 1 0
1

9
=


− + = ⇔

=

t
t t
t
(th
ỏ
a mãn).
V
ớ
i t = 1, ta
đượ
c:
4 1 0.
= ⇔ =
x
x

V
ớ
i
1
9
=

t , ta
đượ
c:
4 2
1 1
4 log log 3
9 9
= ⇔ = = −
x
x .
V
ậ
y, v
ớ
i m = 3 ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m
2
0, log 3
= = −
x x
.
b. Gi
ả
i s
ử
ph
ươ

ng trình (1) có hai nghi
ệ
m trái d
ấ
u
1 2
0
< <
x x
. Khi
đ
ó, ta có
1 2
0
1 2 1 2
0 4 4 4 1
< < ⇔ < < ⇔ < <
x x
x x t t
.
V
ớ
i
1 2
,
t t
t
ươ
ng
ứ

ng là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (2).
Do
đ
ó, ph
ươ
ng trình (1) có hai nghi
ệ
m trái d
ấ
u khi và ch
ỉ
khi ph
ươ
ng trình (2)
có hai nghi
ệ
m
1 2
1
< <
t t
.
Đặ
t

(
)
(
)
(
)
2
2 3 4 2 3 8
= + − − + −
f t m t m t m .
Ph
ươ
ng trình (2) có hai nghi
ệ
m
1 2
1
< <
t t
(
)
1 0
⇔ <
af
(
)
(
)
(
)

2
2 3 2 3 .1 4 2 .1 3 8 0
⇔ + + − − + − <
 
 
m m m m

( )( )
3
2 3 3 0 3
2
⇔ + − < ⇔ − < <
m m m .
V
ậ
y, v
ớ
i
3
3
2
− < <
m
thì ph
ươ
ng trình (1) có hai nghi
ệ
m trái d
ấ
u.

Loại 2: Đặt ẩn phụ dạng 2
I. Trọng tâm kiến thức:
Ph
ươ
ng pháp dùng
ẩ
n ph
ụ
d
ạ
ng 2 là vi
ệ
c s
ử
d
ụ
ng 1
ẩ
n ph
ụ
chuy
ể
n
ph
ươ
ng trình ban
đầ
u thành 1 ph
ươ
ng trình v

ớ
i 1
ẩ
n ph
ụ
nh
ư
ng các h
ệ
s
ố
v
ẫ
n
còn ch
ứ
a
x
.
Ph
ươ
ng pháp này th
ườ
ng s
ử
d
ụ
ng
đố
i v

ớ
i nh
ữ
ng ph
ươ
ng trình khi l
ự
a ch
ọ
n
ẩ
n
ph
ụ
cho 1 bi
ể
u th
ứ
c thì các bi
ể
u th
ứ
c còn l
ạ
i không bi
ể
u di
ễ
n
đượ

c tri
ệ
t
để
qua
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~
21

ẩ
n ph
ụ

đ
ó ho
ặ
c n
ế
u bi
ể
u di
ễ
n
đượ
c thì công th
ứ

c bi
ể
u di
ễ
n l
ạ
i quá ph
ứ
c t
ạ
p. Khi
đ
ó th
ườ
ng ta
đượ
c 1 ph
ươ
ng trình b
ậ
c 2 theo
ẩ
n ph
ụ
( ho
ặ
c v
ẫ
n theo
ẩ

n
x
) có
bi
ệ
t s
ố

∆
là m
ộ
t s
ố
chính ph
ươ
ng.
II. Bài tập điển hình, chọn lọc:
Bài 1:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
(
)
2
3 2 9 .3 9.2 0
− + + =
x x x x
(1)

Hướng dẫn giải
Đặ
t
3
=
x
t
,
đ
i
ề
u ki
ệ
n t>0. Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i:
(
)
2
2 9 9.2 0
x x
t t

− + + =
(2)
Có
(
)
(
)
2 2
2 9 4.9.2 2 9 0,
x x x
x
∆ = + − = + ≥ ∀ ∈
»
. Suy ra ph
ươ
ng trình (2) có
nghi
ệ
m
9
2
x
t
t
=


=


Khi
đ
ó:
+ V
ớ
i
9 3 9 2
= ⇔ = ⇔ =
x
t t

+ V
ớ
i
3
2 3 2 1 0
2
 
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
 
 
x
x x x
t x
V
ậ
y ph
ươ
ng trình (1) có 2 nghi
ệ

m x=2, x=0.
Bài 2:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
(
)
2 2
2 2
9 3 3 2 2 0
+ − − + =
x x
x x (1)
Hướng dẫn giải
Đặ
t
2
3
=
x
t
đ
i
ề
u ki
ệ
n
1

≥
t
vì
2
2 0
0 3 3 1
≥ ⇔ ≥ =
x
x

Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i:
(
)
2 2 2
3 2 2 0
+ − − + =
t x t x (2)

(
)

(
)
(
)
2 2
2 2 2
3 4 2 2 1 0,x x x x
∆ = − − − + = + ≥ ∀ ∈
»

Suy ra ph
ươ
ng trình (2) có nghi
ệ
m
2
2
1
t
t x
=


= −


Khi
đ
ó:
+ V

ớ
i
2
2
3 3
2 3 2 log 2 log 2
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±
x
t x x

+ V
ớ
i
2
2 2
1 3 1
= − ⇔ = −
x
t x x
ta có nh
ậ
n xét:
2
2
1 1
3 1
0
1 1
1 1
x

VT VT
x
VP VP
x

≥ =
=
 

⇒ ⇔ ⇔ =
  
≤ =
− =

 

.
V
ậ
y ph
ươ
ng trình (1) có 3 nghi
ệ
m
3
log 2; 0
x x
= ± =
,
Loại 3: Đặt ẩn phụ dạng 3

I. Trọng tâm kiến thức:

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~
22

Ph
ươ
ng pháp dùng
ẩ
n ph
ụ
d
ạ
ng 3 s
ử
d
ụ
ng 2
ẩ
n ph
ụ
cho 2 bi
ể
u th
ứ

c m
ũ

trong ph
ươ
ng trình và khéo léo bi
ế
n
đổ
i ph
ươ
ng trình thành ph
ươ
ng trình tích.
II. Bài tập điển hình, chọn lọc:

Bài 1:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
− + + + + +
+ = +
x x x x x x

Hướng dẫn giải

Vi
ế
t l
ạ
i ph
ươ
ng trình d
ướ
i d
ạ
ng:
2 2 2 2
3 2 2 6 5 3 2 2 6 5
4 4 4 .4 1
− + + + − + + +
+ = +
x x x x x x x x

Đặ
t
2
2
3 2
2 6 5
4
, , 0
4
− +
+ +


=

>

=


x x
x x
u
u v
v

Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i:
(
)
(
)
1 1 1 0
+ = + ⇔ − − =

u v uv u v

2
2
3 2 2
2
2 6 5
1
1 4 1 3 2 0 2
1 1
2 6 5
4 1
5
− +
+ +
=



= = − + = =



⇔ ⇔ ⇔ ⇔




= = −
+ +

=
 



= −

x x
x x
x
u x x x
v x
x x
x

V
ậ
y ph
ươ
ng trình có 4 nghi
ệ
m
1
2
1
5
x
x
x
x

=


=


= −

= −

.
Bài 2:
Cho ph
ươ
ng trình:
2 2
5 6 1 6 5
.2 2 2.2 (1)
x x x x
m m
− + − −
+ = +
a) Gi
ả
i ph
ươ
ng trình v
ớ
i m=1.
b) Tìm m

để
ph
ươ
ng trình có 4 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
Hướng dẫn giải
Vi
ế
t l
ạ
i ph
ươ
ng trình d
ướ
i d
ạ
ng:

(
)
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
( 5 6) 1
5 6 1 7 5 5 6 1
5 6 1 5 6 1
.2 2 2 .2 2 2

.2 2 2 .2
− + + −
− + − − − + −
− + − − + −
+ = + ⇔ + = +
⇔ + = +
x x x
x x x x x x x
x x x x x x
m m m m
m m

Đặ
t:
2
2
5 6
1
2
, , 0
2
− +
−

=

>

=



x x
x
u
u v
v
. Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i:
( )( )
2
2
2
5 6
1
1
3
1 2 1
1 0 2
2
2 (*)
− +

−
−

=

= =


+ = + ⇔ − − = ⇔ ⇔ ⇔ =



=
=
 


=

x x
x
x
x
u
mu v uv m u v m x
v m
m
m

V

ậ
y v
ớ
i m
ọ
i m ph
ươ
ng trình luôn có 2 nghi
ệ
m x=3, x=2
a) V
ớ
i m=1, ph
ươ
ng trình (*) có d
ạ
ng:
2
1 2 2
2 1 1 0 1 1
−
= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ±
x
x x x

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~
23

V
ậ
y v
ớ
i m=1, ph
ươ
ng trình có 4 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t: x=3, x=2, x=
±
1
b)
Để
(1) có 4 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
(*)
⇔
có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khác 2 và 3.

(*)
2 2
2 2
0 0
1 log 1 log
> >
 
⇔ ⇔
 
− = = −
 
m m
x m x m
. Khi
đ
ó
đ
i
ề
u ki
ệ
n là:
( )
2
2
2
0
0
2
1 log 0

1 1
1
0;2 \ ;
1 log 4
8 256
8
11 log 9
256
>


>

<


− >
 
 
⇔ ⇔ ∈
   
≠
− ≠
 
 
 
− ≠

≠



m
m
m
m
m
m
m
m
m

V
ậ
y v
ớ
i
( )
1 1
0;2 \ ;
8 256
 
∈
 
 
m tho
ả
mãn
đ
i
ề

u ki
ệ
n
đầ
u bài.
Loại 4: Đặt ẩn phụ dạng 4
I. Trọng tâm kiến thức:

Ph
ươ
ng pháp dùng
ẩ
n ph
ụ
d
ạ
ng 4 là vi
ệ
c s
ử
d
ụ
ng
k

ẩ
n ph
ụ
chuy
ể

n
ph
ươ
ng trình ban
đầ
u thành 1 h
ệ
ph
ươ
ng trình v
ớ
i
k

ẩ
n ph
ụ
.
Trong h
ệ
m
ớ
i thì
k-1
thì ph
ươ
ng trình nh
ậ
n
đượ

c t
ừ
các m
ố
i liên h
ệ
gi
ữ
a
các
đạ
i l
ượ
ng t
ươ
ng
ứ
ng.
Tr
ườ
ng h
ợ
p
đặ
c bi
ệ
t là vi
ệ
c s
ử

d
ụ
ng 1
ẩ
n ph
ụ
chuy
ể
n ph
ươ
ng trình ban
đầ
u thành 1 h
ệ
ph
ươ
ng trình v
ớ
i 1
ẩ
n ph
ụ
và 1
ẩ
n x, khi
đ
ó ta th
ự
c hi
ệ

n theo các
b
ướ
c:
Bước 1:

Đặ
t
đ
i
ề
u ki
ệ
n có ngh
ĩ
a cho các bi
ể
u t
ượ
ng trong ph
ươ
ng trình.
Bước 2:
Bi
ế
n
đổ
i ph
ươ
ng trình v

ề
d
ạ
ng:
(
)
, 0
=
 
 
f x xϕ
B
ướ
c 3:
Đặ
t
(
)
=
y x
ϕ
ta bi
ế
n
đổ
i ph
ươ
ng trình thành h
ệ
:

(
)
( )
; 0
=



=


y x
f x y
ϕ

II. Bài tập điển hình, chọn lọc:
Bài 1:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
1 1 1
8 2 18
2 1 2 2 2 2 2
− − −
+ =
+ + + +
x
x x x x

Hướng dẫn giải
Vi
ế
t l
ạ
i ph
ươ
ng trình d
ướ
i d
ạ
ng:
1 1 1 1
8 1 18
2 1 2 1 2 2 2
− − − −
+ =
+ + + +
x x x x

Đặ
t:
1
1
2 1
, , 1
2 1
−
−

= +

>

= +

x
x
u
u v
v

Nh
ậ
n xét r
ằ
ng:
(
)
(
)
1 1 1 1
. 2 1 . 2 1 2 2 2
− − − −
= + + = + + = +
x x x x
u v u v

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com

Chuyên đề - Phương trình Mũ
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ

~
24

Ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i h
ệ
:
8 1 18 2
8 18
9
9;
8
= =
 
+ =
+ =



⇔ ⇔

+
 

+ =
= =


+ =
 
u v
u v
u v u v
u v uv
u v
u v uv

+ V
ớ
i u=v=2, ta
đượ
c:
1
1
2 1 2
1
2 1 2
−
−
+ =


⇔ =

+ =

x
x
x

+ V
ớ
i u=9 và
9
8
=
v
, ta
đượ
c:
1
1
2 1 9
4
9
2 1
8
−
−
+ =



⇔ =

+ =


x
x
x
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có các nghi
ệ
m x=1 và x=4.
Bài 2:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2
2 2 6 6
− + =
x x

Hướng dẫn giải
Đặ

t
2
=
x
u
,
đ
i
ề
u ki
ệ
n u>0. Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình thành:
2
6 6
− + =
u u

Đặ
t
6,
= +
v u
đ
i
ề
u ki

ệ
n
2
6 6
≥ ⇒ = +
v v u

Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình
đượ
c chuy
ể
n thành h
ệ
:
( ) ( )( )
2
2 2
2
6 0
1 0
1 0
6
u v u v
u v u v u v u v
u v
v u

= + − =


⇔ − = − − ⇔ − + + = ⇔


+ + =
= +



+ V
ớ
i u=v ta
đượ
c:
2
3
6 0 2 3 8
2( )
x
u
u u x
u L
=

− − = ⇔ ⇔ = ⇔ =

= −


+ V
ớ
i u+v+1=0 ta
đượ
c:
2
2
1 21
21 1 21 1
2
5 0 2 log
2 2
1 21
(1)
2

− +
=

− −

+ − = ⇔ ⇔ = ⇔ =

− −
=


x
u

u u x
u

V
ậ
y ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m là x=8 và x=
2
21 1
log .
2
−

Phương pháp 3: Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số
I. Trọng tâm kiến thức:
S
ử
d
ụ
ng các tính ch
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố

để

gi
ả
i ph
ươ
ng trình là d
ạ
ng toán khá quen
thu
ộ
c. Ta có 3 h
ướ
ng áp d
ụ
ng:
Hướng1:
Th
ự
c hi
ệ
n các b
ướ
c sau:
B
ướ
c 1: Chuy
ể
n ph
ươ
ng trình v
ề

d
ạ
ng: f(x)=k
B
ướ
c 2: Xét hàm s
ố
y=f(x). Dùng l
ậ
p lu
ậ
n kh
ẳ
ng
đị
nh hàm s
ố

đơ
n
đ
i
ệ
u( gi
ả
s
ử

đồ
ng bi

ế
n)
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com