Bí quyết giải phương trình lượng giác

Thầy Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
I. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

2 2
2 2
2 2
sin 1 cos
sin cos 1
cos 1 sin
x x
x x
x x
ì
ï
= -
ï
ï
+ = Þ
í
ï
= -
ï
ï
î


2 2
2 2
1 1
1 t an t an 1
cos cos

x x
x x
= + = -Þ


2 2
2 2
1 1
1 cot cot 1
sin sin
x x
x x
= + = -Þ


1
tan . cot 1 cot
t an
x x x
x
= =Þ


4 4 2 2
6 6 2 2
sin cos 1 2sin cos ;
sin cos 1 3 sin cos
x x x x
x x x x
ì

ï
+ = -
ï
ï
í
ï
+ = -
ï
ï
î

3 3
3 3
sin cos (sin cos )(1 sin cos )
sin cos (sin cos )(1 sin cos )
x x x x x x
x x x x x x
ì
ï
+ = + -
ï
ï
í
ï
- = - +
ï
ï
î

II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Góc I Góc II Góc III Góc IV
sin x
+
+
-
-
cos x
+
-
-
+
tan x
+
-
+
-
cot x
+
-
+
-
III. MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT
 Hai cung đối nhau
cos( ) cosx x- =

sin( ) sinx x- = -

tan( ) t anx x- = -

cot( ) cotx x- = -

 Hai cung bù nhau
sin( ) sinx x
p
- =
cos( ) cosx x
p
- = -
tan( ) t anx x
p
- = -

cot( ) cotx x
p
- = -

 Hai cung phụ nhau
sin( ) cos
2
x x
p
- =
cos( ) sin
2
x x
p
- =
tan( ) cot
2
x x

p
- =

cot( ) tan
2
x x
p
- =

 Hai cung hơn nhau
p
sin( ) sinx x
p
+ = -
cos( ) cosx x
p
+ = -
tan( ) t anx x
p
+ =

cot( ) cotx x
p
+ =

 Hai cung hơn nhau
2
p
"Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng"
1

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG
Thy Trn Mnh Hõn (0974514498) FB: thayHanSP1
sin( ) cos
2
x x
p
+ =
cos( ) sin
2
x x
p
+ = -
tan( ) cot
2
x x
p
+ = -

cot( ) cot
2
x x
p
+ = -

Vi
k
l s nguyờn thỡ ta cú:
sin( 2 ) sinx k x
p
+ =

cos( 2 ) cosx k x
p
+ =
tan( ) t anx k x
p
+ =

cot( ) cotx k x
p
+ =

IV. CễNG THC CNG
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
t an t an
tan( )
1 tan tan
x y x y x y
x y x y x y
x y
x y
x y
+ = +
+ = -
+
+ =
-
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
t an t an

tan( )
1 t an tan
x y x y x y
x y x y x y
x y
x y
x y
- = -
- = +
-
- =
+

c bit:
TH1: Cụng thc gúc nhõn ụi:
2 2 2 2
2
sin 2 2sin cos
cos2 cos sin 2 cos 1 1 2 sin
2 t an
tan 2
1 t an
x x x
x x x x x
x
x
x
ỡ
ù
ù

ù
=
ù
ù
ù
= - = - = -
ớ
ù
ù
ù
ù
=
ù
ù
-
ợ

H qu: Cụng thc h bc 2:
2 2
1 cos 2 1 cos 2
sin ;cos
2 2
x x
x x
- +
= =

TH2: Cụng thc gúc nhõn ba:
3
3

sin 3 3 sin 4 sin
cos 3 4 cos 3 cos
x x x
x x x
ỡ
ù
= -
ù
ù
ớ
ù
= -
ù
ù
ợ

V. CễNG THC BIN I TNG SANG TCH V TCH SANG TNG
cos cos 2 cos cos
2 2
x y x y
x y
+ -
+ =
cos cos 2 sin cos
2 2
x y x y
x y
+ -
- = -
sin sin 2 sin cos

2 2
x y x y
x y
+ -
+ =
sin sin 2 cos sin
2 2
x y x y
x y
+ -
- =
1
cos cos cos( ) cos( )
2
x y x y x y
ộ ự
= + + -
ờ ỳ
ở ỷ

1
sin sin cos( ) cos( )
2
x y x y x y
ộ ự
= - + - -
ờ ỳ
ở ỷ
1
sin cos sin( ) sin( )

2
x y x y x y
ộ ự
= + + -
ờ ỳ
ở ỷ
1
cos sin sin( ) sin( )
2
x y x y x y
ộ ự
= + - -
ờ ỳ
ở ỷ
Chỳ ý:

sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
p p
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
+ = + = -
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ

ố ứ ố ứ


sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
p p
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
- = - = - +
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ


"Trờn ng thnh cụng khụng cú du chõn ca k li bing"
2
Thầy Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1

2
sin sin
2
u v k
u v
u v k

p
p p
é
= +
ê
= Û
ê
= - +
ê
ë

2
cos cos
2
u v k
u v
u v k
p
p
é
= +
ê
= Û
ê
= - +
ê
ë


t an tan

2
u v k
u v
u k
p
p
p
ì
ï
= +
ï
ï
= Û
í
ï
+¹
ï
ï
î

cot cot
u v k
u v
u k
p
p
ì
ï
= +
ï

= Û
í
ï
¹
ï
î
Đặc biệt:
sin 0
sin 1 2
2
sin 1 2
2
x x k
x x k
x x k
p
p
p
p
p
= =Û
= = +Û
= - = - +Û
cos 0
2
cos 1 2
cos 1 2
x x k
x x k
x x k

p
p
p
p p
= = +Û
= =Û
= - = +Û

Chú ý:
 Điều kiện có nghiệm của phương trình
sin x m=
và
cos x m=
là:
1 1m- ££
.
 Sử dụng thành thạo câu thần chú " Cos đối - Sin bù - Phụ chéo" để đưa các phương trình dạng sau
về phương trình cơ bản:
sin cos sin sin
2
u v u v
p
æ ö
÷
ç
÷
= = -Û
ç
÷
ç

÷
ç
è ø

cos sin cos cos
2
u v u v
p
æ ö
÷
ç
÷
= = -Û
ç
÷
ç
÷
ç
è ø

sin sin sin sin( )u v u v= - = -Û
cos cos cos cos( )u v u v
p
= - = -Û

 Đối với phương trình
2
2
cos 1 cos 1
sin 1

sin 1
x x
x
x
é
é
= = ±
ê
ê
Û
ê
ê
= ±
=
ê
ê
ë
ë
không nên giải trực tiếp vì khi đó phải giải 4
phương trình cơ bản thành phần, khi đó việc kết hợp nghiệm sẽ rất khó khăn. Ta nên dựa vào công
thức
2 2
sin cos 1x x+ =
để biến đổi như sau:
2
2
cos 1 sin 0
sin 2 0
cos 0
sin 1

x x
x
x
x
é
é
= =
ê
ê
=Û Û
ê
ê
=
=
ê
ê
ë
ë
.
 Tương tự đối với phương trình
2
2
2
2
1
cos
2 cos 1 0
2
cos 2 0
1

1 2 sin 0
sin
2
x
x
x
x
x
é
ê
é
=
- =
ê
ê
=Û Û
ê
ê
- =
ê
ê
=
ë
ê
ë
.
Bài 1. Giải các phương trình sau

2
cos

4 2
x
p
æ ö
÷
ç
÷
- = -
ç
÷
ç
÷
ç
è ø

2 sin 2 3 0
6
x
p
æ ö
÷
ç
÷
- + =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø


2 cos 2 0
3
x
p
æ ö
÷
ç
÷
+ - =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø

3 t an 3
3
x
p
æ ö
÷
ç
÷
- =
ç
÷
ç

÷
ç
è ø
Hướng dẫn giải:

2 3
cos cos cos
4 2 4 4
x x
p p p
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
- = - - =Û
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Ta xác định ở phương trình này
3
,
4 4
u x v
p p
= - =
, nên dựa vào công thức nghiệm ta có
"Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng"

3
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Thầy Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
3
2
4 4
x k
p p
p
- = +
hoặc
3
2
4 4
x k
p p
p
- = - +
.
Vậy nghiệm của phương trình là:
2x k
p p
= +
;
2
2
x k
p
p
= - +

,
( )k Î ¢
.

2 sin 2 3 0
6
x
p
æ ö
÷
ç
÷
- + =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
3
sin 2 sin 2 sin
6 2 6 3
x x
p p p
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
- = - - = -Û Û
ç ç ç

÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
2 2
6 3 12
4 3
2 2
6 3 4
x k x k
x k x k
p p p
p p
p p p
p p
é é
ê ê
- = - + = - +
ê ê
Û Û
ê ê
ê ê
- = + = +
ê ê
ë ë

( )k Î ¢
.


2 cos 2 0
3
x
p
æ ö
÷
ç
÷
+ - =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
2
cos cos cos
3 2 3 4
x x
p p p
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
+ = + =Û Û
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç

è ø è ø
2
3 4
2
3 4
x k
x k
p p
p
p p
p
é
ê
+ = +
ê
Û
ê
ê
+ = - +
ê
ë
2
12
7
2
12
x k
x k
p
p

p
p
é
ê
= - +
ê
Û
ê
ê
= - +
ê
ë

( )k Î ¢
.

3 t an 3
3
x
p
æ ö
÷
ç
÷
- =
ç
÷
ç
÷
ç

è ø
3
tan tan tan
3 3 3 6
x x
p p p
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
- = - =Û Û
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø

3 6
x k
p p
p
- = +Û
6
x k
p
p
= -Û
,
( )k Î ¢

.
Chú ý: Đối với phương trình
t an x m=

(
t an x m=
), trong đó
m
là hằng số thì điều kiện
cos 0x ¹
(
sin 0x ¹
) là không cần thiết.
Bài 2. Giải các phương trình sau

sin sin 2
4
x x
p
æ ö
÷
ç
÷
= +
ç
÷
ç
÷
ç
è ø


sin cos 2
6 4
x x
p p
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
- = +
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø


t an 3 t an
4 6
x x
p p
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
- = +
ç ç
÷ ÷
ç ç

÷ ÷
ç ç
è ø è ø

cot 2 tan 0
4 6
x x
p p
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
- + - =
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Hướng dẫn giải:

sin sin 2
4
x x
p
æ ö
÷
ç
÷
= +

ç
÷
ç
÷
ç
è ø
2 2
4
2 2
4
x x k
x x k
p
p
p
p p
é
ê
= + +
ê
Û
ê
ê
= - - +
ê
ë

2
4
2

4 3
x k
x k
p
p
p p
é
ê
= - -
ê
Û
ê
ê
= +
ê
ë
,
( )k Î ¢
.
 PT
2
cos 2 cos
4 3
x x
p p
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
+ = -Û

ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø

2
2 2
4 3
2
2 2
4 3
x x k
x x k
p p
p
p p
p
é
ê
+ = - +
ê
Û
ê
ê
+ = - + +
ê
ë
5 2

36 3
11
2
12
x k
x k
p p
p
p
é
ê
= +
ê
Û
ê
ê
= - +
ê
ë
.
 Do PT có dạng
t an tanu v=
nên ta chỉ cần một điều kiện
cos 0u ¹
hoặc
cos 0v ¹
. Để đơn
giản ta chọn điều kiện:
cos 0
6 6 2 3

x x k x k
p p p p
p p
æ ö
÷
ç
÷
+ + + +¹Û ¹ Û¹
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
. Khi đó:
"Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng"
4
Thầy Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
5
t an 3 t an 3
4 6 4 6 24 2
x x x x k x k
p p p p p p
p
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
- = + - = + + = +Û Û
ç ç

÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
,
( )k Î ¢
.
Kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác thu được nghiệm của PT:
5
24 2
x k
p p
= +
,
( )k Î ¢
.
 Do có thể biến đổi PT về dạng
t an tanu v=
nên ta chỉ cần một điều kiện
cos 0u ¹
hoặc
cos 0v ¹
. Để đơn giản ta chọn điều kiện:
cos 0
6 6 2 3
x x k x k
p p p p
p p
æ ö

÷
ç
÷
- - + - -¹Û ¹ Û¹
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
.
PT
Û
cot 2 t an
4 6
x x
p p
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
- = -
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
3
tan tan 2

6 4
x x
p p
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
- = -Û
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
3
2
6 4
x x k
p p
p
- = - +Û
11
36 3
x k
p p
= +Û

( )k Î ¢
.
Kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác thu được nghiệm của PT:

11
36 3
x k
p p
= +
,
( )k Î ¢
.
Bài 3. Giải các phương trình sau

2
4 cos 2( 3 1) cos 3 0x x- + + =

2
2 cos 5 sin 4 0x x+ - =


2
3 t an (1 3) tan 1 0x x- + + =

2 2
sin cos
4
x x
p
æ ö
÷
ç
÷
- =

ç
÷
ç
÷
ç
è ø
Hướng dẫn giải:
 PT
1
cos
2
2
3
3
2
cos
6
2
x
x k
x k
x
p
p
p
p
é
é
ê
ê

=
= ± +
ê
ê
Û Û
ê
ê
ê
ê
= ± +
=
ê
ê
ê
ë
ë

( ).k Î ¢
 PT
2
2(1 sin ) 5 sin 4 0x x- + - =Û
(lo¹i)
(t/m)
2
sin 2
2 sin 5 sin 2 0
1
sin
2
x

x x
x
é
=
ê
ê
- + =Û Û
ê
=
ê
ë


Vậy phương trình có nghiệm:
2
6
x k
p
p
= +
và
5
2
6
x k
p
p
= +
,
( )k Î ¢

.
 PT
tan 1
1
tan
3
x
x
é
=
ê
ê
Û
ê
=
ê
ë
(lo¹i)
2
sin 2
2 sin 5 sin 2 0
1
sin
2
x
x x
x
é
=
ê

ê
- + =Û Û
ê
=
ê
ë


Vậy phương trình có nghiệm:
2
6
x k
p
p
= +
và
5
2
6
x k
p
p
= +
,
( )k Î ¢
.
 PT
1 cos 2
2
1 cos 2

2 2
x
x
p
æ ö
÷
ç
÷
- -
ç
÷
ç
÷
ç
+
è ø
=Û
sin 2 cos 2x x= -Û
tan 2 1x = -Û
.
8 2
x k
p p
= - +Û
Bài 4. Giải các phương trình sau

4 4
1
sin cos sin 2
2

x x x+ = -

4 4
sin cos 1 2 sin
2 2
x x
x+ = -
"Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng"
5
Thầy Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1

4 4
2(sin cos ) cos 2 0
2
x x x
p
æ ö
÷
ç
÷
+ - - =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø

6 6
sin cos cos 4x x x+ =

Hướng dẫn giải:
 PT
2 2 2
1 1 1
1 2 sin cos sin 2 1 sin 2 sin 2
2 2 2
x x x x x- = - - = -Û Û

2
sin 2 2 sin 2 3 0x x- - =Û
(lo¹i)
sin 2 1
sin 2 3
x
x
é
= -
ê
Û
ê
=
ê
ë
2 2
2
x k
p
p
= - +Û
,( ).

4
x k k
p
p
= - +Û Î ¢
 PT
2
1
1 sin 1 2 sin
2
x x- = -Û
(lo¹i)
2
sin 0
sin 4 sin 0
sin 4
x
x x
x
é
=
ê
- =Û Û
ê
=
ê
ë
( ).x k k
p
=Û Î ¢

 PT
2
1
2 1 sin 2 sin 2 0
2
x x
æ ö
÷
ç
÷
- - =Û
ç
÷
ç
÷
ç
è ø

2
sin 2 sin 2 2 0x x+ - =Û

(lo¹i)
sin 2 1
sin 2 2
x
x
é
=
ê

Û
ê
= -
ê
ë

2 2
2
x k
p
p
= +Û
,( ).
4
x k k
p
p
= +Û Î ¢
 PT
2 2 2
1 3 sin cos 1 2 sin 2x x x- = -Û
2 2
3
1 sin 2 1 2 sin 2
4
x x- = -Û
sin 2 0 2 ,( ).
2
x x k x k k
p

p
= = =Û Û Û Î ¢
Bài 5. Giải các phương trình sau

4 4
sin cos sin cos 0x x x x+ + =

6 6
2(sin cos ) sin cos
0
2 2 sin
x x x x
x
+ -
=
-
(A06)

4 2
1
cos sin
4
x x= -

2
(2 3) cos 2 sin ( )
2 4
1
2 cos 1
x

x
x
p
- - -
=
-
Hướng dẫn giải:
 PT
2
1 1
1 sin 2 sin 2 0
2 2
x x- + =Û
2
sin 2 sin 2 2 0x x- - =Û
(lo¹i)
sin 2 1
sin 2 2
x
x
é
= -
ê
Û
ê
=
ê
ë
,( ).
4

x k k
p
p
= - +Û Î ¢

 (A-2006) Điều kiện:
2
4
2 2 sin 0 sin
3
2
2
4
x k
x x
x k
p
p
p
p
é
ê
+¹ 2
ê
- ¹Û¹Û
ê
ê
+¹
ê
ë

PT
6 6
2(sin cos ) sin cos 0x x x x+ - =Û
2
3 1
2 1 sin 2 sin 2 0
4 2
x x
æ ö
÷
ç
÷
- - =Û
ç
÷
ç
÷
ç
è ø

(lo¹i)
2
sin 2 1
3 sin 2 sin 2 4 0
4
sin 2
3
x
x x
x

é
=
ê
ê
+ - =Û Û
ê
= -
ê
ë
4
x k
p
p
= +Û
,
( ).k Î ¢
Kết hợp nghiệm ta thu được nghiệm của phương trình
5
2 .
4
x k
p
p
= +

"Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng"
6
Thầy Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
 PT
4 2 4 2

1
cos 1 cos 4 cos 4 cos 3 0
4
x x x x= - - + - =Û Û
(lo¹i)
2
2
1
cos
2
3
cos
4
x
x
é
ê
=
ê
Û
ê
ê
= -
ê
ë
2
2 cos 1 0 cos 2 0 2
2 4 2
x x x k x k
p p p

p
- = = = + = +Û Û Û Û
,
( )k Î ¢
.
 Điều kiện:
2 cos 1 2 .
3
x x k
p
p
± +¹ Û ¹

PT
2
(2 3) cos 2 sin ( ) 2 cos 1
2 4
x
x x
p
- - - = -Û
3 cos 1 cos 1
2
x x
p
æ ö
æ ö
÷
֍
ç

÷
÷
- - - - = -Û
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
÷
ç
è ø
è ø
3 cos cos 0
2
x x
p
æ ö
÷
ç
÷
- - =Û
ç
÷
ç
÷
ç

è ø
3 cos sin 0x x- =Û
t an 3 ,( ).
3
x x k k
p
p
= = +Û Û Î ¢

Bài 6. Giải các phương trình sau

sin 3 cos 2 sin 0x x x+ - =

(D-2013) 
2
sin 5 2 cos 1x x+ =
(B-2013)

sin 4 cos 2 sin 2x x x+ = +
(A-2014) 
cos 3 cos 2 cos 1 0x x x+ - - =
(D-2006)
Hướng dẫn giải:
 PT
sin 3 sin cos 2 0x x x- + =Û
2 cos 2 sin cos 2 0x x x+ =Û
cos 2 (2 sin 1) 0x x + =Û

4 2
cos 2 0

2
1
6
sin
2
7
2
6
x k
x
x k
x
x k
p p
p
p
p
p
é
ê
= +
ê
é
=
ê
ê
ê
ê
= - +Û Û
ê

ê
= -
ê
ê
ê
ë
= +
ê
ê
ë
.
 PT
sin 5 1 cos 2 1x x+ + =Û
( )
cos 2 sin 5 cos 2 sin 5x x x x= - = -Û Û
2 5 2
2
cos 2 cos 5
2
2 5 2
2
x x k
x x
x x k
p
p
p
p
p
é

ê
= + +
æ ö
ê
÷
ç
÷
= +Û Û
ç
ê
÷
ç
÷
ç
è ø
ê
= - - +
ê
ë
2
6 3
( ).
2
14 7
x k
k
x k
p p
p p
é

ê
= - -
ê
Û Î
ê
ê
= - +
ê
ë
¢


 PT
sin 4 cos 2 2 sin cosx x x x+ = +Û
sin (1 2 cos ) 2(2 cos 1) 0x x x- + - =Û
(sin 2)(1 2 cos ) 0x x- - =Û
(lo¹i)sin 2
2 .
1
3
cos
2
x
x k
x
p
p
é
=
ê

ê
= ± +Û Û
ê
=
ê
ë


 PT
2
cos 3 cos cos 2 1 0 2 sin 2 sin 2 sin 0x x x x x x- + - = - - =Û Û
sin (sin 2 sin ) 0x x x+ =Û
sin 0 sin 0
sin 2 sin 0 2 cos 1 0
x x
x x x
é é
= =
ê ê
Û Û
ê ê
+ = + =
ê ê
ë ë

2
2
3
x k
x k

p
p
p
é
=
ê
ê
Û
ê
= ± +
ê
ë

"Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng"
7
Thy Trn Mnh Hõn (0974514498) FB: thayHanSP1
DNG 1. PHNG TRèNH BC NHT VI SINX V COSX
Dng phng trỡnh:
sin cosa x b x c+ =

Cỏch gii: Chia hai v phng trỡnh cho
2 2
a b+

2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =đ

+ + +

C1: t
2 2 2 2
cos , sin .
a b
a b a b
a a
= =
+ +
Khi ú
2 2
P T sin( ) ?
c
x x
a b
a
+ = = đ
+

C2: t
2 2 2 2
sin , cos .
a b
a b a b
b b
= =
+ +
Khi ú
2 2

P T cos( ) ?
c
x x
a b
b
- = = đ
+

iu kin cú nghim ca phng trỡnh:
2 2 2
a b c+

Chỳ ý: Khi phng trỡnh cú
a c=
hoc
b c=
thỡ dựng cụng thc gúc nhõn ụi v s dng
phộp nhúm nhõn t chung.
Bi 1. Gii cỏc phng trỡnh sau

cos 3 sin 2x x+ =

2 sin 2 cos 6x x+ =


3 cos 3 sin 3 2x x- =

sin cos 2 sin 5x x x+ =
Hng dn gii:
Nhn xột: Trong PT ny ta xỏc nh cỏc h s

1, 3, 2a b c= = =
tha món iu kin
2 2 2
a b c+
do ú phng trỡnh ny cú nghim. gii PT ta cn chia c hai v cho
2 2 2 2
1 ( 3) 2a b+ = + =
.
PT
1 3 2
cos sin
2 2 2
x x+ =

2
sin
6 2
x
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

2
12
7
2
12
x k
x k
p
p
p
p
ộ
ờ
= +
ờ

ờ
ờ
= +
ờ
ở

PT
1 1 3
cos sin
2
2 2
x x+ =
3
sin

4 2
x
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
2
12
5
2
12
x k
x k
p
p
p
p
ộ
ờ
= +
ờ

ờ
ờ
= +
ờ
ở

PT
3 1 2
cos 3 sin 3
2 2 2
x x- =
2
sin 3
3 2
x
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
- =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
3
3 4
3

3 2
3 4
x k
x k
p p
p
p p
p
ộ
ờ
- = + 2
ờ

ờ
ờ
- = +
ờ
ở
36 3
5 2
.
36 3
x k
x k
p p
p p
ộ
2
ờ
= -

ờ

ờ
ờ
= - -
ờ
ở
,
( )k ẻ Â
.
PT
1 1
sin cos sin 5
2 2
x x x+ =
sin sin 5
4
x x
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

"Trờn ng thnh cụng khụng cú du chõn ca k li bing"
8
MT S DNG PHNG TRèNH LNG GIC
Thầy Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1

5 2
4 16 2
3
5 2
4 8 3
x x k x k
x x k x k
p p p
p
p p p
p
é é
ê ê
= + + = +
ê ê
Û Û
ê ê
ê ê
= - + = +
ê ê
ë ë
.
Bài 2. Giải các phương trình sau

3 sin 2 sin 2 1

2
x x
p
æ ö
÷
ç
÷
+ + =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø

( 3 1) sin ( 3 1) cos 3 1 0x x- - + + - =


3
3 sin 3 cos 3 1 4 sinx x x- = +

2 6
cos 7 3 sin 7 2 0, ;
5 7
x x x
p p
æ ö
÷
ç
÷

- + = Î
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
Hướng dẫn giải:
 PT
3 1 1
3 sin 2 cos 2 1 sin 2 cos 2
2 2 2
x x x x+ = + =Û Û
1
sin 2
6 2
x
p
æ ö
÷
ç
÷
+ =Û
ç
÷
ç
÷
ç
è ø

2 2
6 6
5
2 2
6 6
x k
x k
p p
p
p p
p
é
ê
+ = +
ê
Û
ê
ê
+ = +
ê
ë

3
x k
x k
p
p
p
é
=

ê
ê
Û
ê
= +
ê
ë

( )k Î ¢
.
 PT
3 1 3 1 1 3
sin cos
8 8 8
x x
- + -
- =Û
Nhận xét: Sử dụng máy tính 570ES PLUS ta bấm SHIFT SIN của
3 1
8
+
thu được
5
12
p
, tức là
5 3 1
sin
12
8

p
+
=
. Vậy ta có nên đưa phương trình về dạng
5 5 1 3
cos sin sin cos
12 12
8
x x
p p
-
- =
ngay lập tức hay chưa? Câu trả lời là chưa. Bởi vì kết quả
5
12
p
không phải giá trị cung lượng giác đặc biệt có mặt trong SGK?Vì vậy ta nên làm như sau cho
thuyết phục:
Ta có
5 2 3 2 1 3 1
sin sin sin cos cos sin . .
12 4 6 4 6 4 6 2 2 2 2
8
p p p p p p p
æ ö
+
÷
ç
÷
= + = + = + =

ç
÷
ç
÷
ç
è ø
.
Nên PT
5 5 3 1
cos sin sin cos
12 12
8
x x
p p
-
- = -Û
5 5
sin cos
12 12
x
p p
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
+ = -Û
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷

ç ç
è ø è ø
5 7
sin cos
12 12
x
p p
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
+ =Û
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
5
sin sin
12 12
x
p p
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
+ = -Û
ç ç
÷ ÷

ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
5
2
12 12
5 13
2
12 12
x k
x k
p p
p
p p
p
é
ê
+ = - +
ê
Û
ê
ê
+ = +
ê
ë
Vậy phương trình có nghiệm:
2
2
x k

p
p
= - +
và
2
2
3
x k
p
p
= +
,
( )k Î ¢
.
 PT
sin 3 3 cos 3 1x x- =Û

1 3 1
sin 3 cos 3
2 2 2
x x+ =Û

"Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng"
9
Thy Trn Mnh Hõn (0974514498) FB: thayHanSP1
1
sin 3
3 2
x
p

ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
3 2
3 6
5
3 2
3 6
x k
x k
p p
p
p p
p
ộ
ờ
+ = +
ờ

ờ
ờ
+ = +

ờ
ở

2
18 3
2
6 3
x k
x k
p p
p p
ộ
ờ
= - +
ờ

ờ
ờ
= +
ờ
ở
.
PT
3 1 2
sin 7 cos 7
2 2 2
x x- =
2
sin 7
6 2

x
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
- =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

7 2
6 4
3
7 2
6 4
x k
x k
p p
p
p p
p
ộ
ờ
- = +
ờ

ờ
ờ
- = +
ờ
ở
5
7 2
12
11
7 2
12
x k
x k
p
p
p
p
ộ
ờ
= +
ờ

ờ
ờ
= +
ờ
ở
5 2
84 7
11 2

84 7
x k
x k
p p
p p
ộ
ờ
= +
ờ

ờ
ờ
= +
ờ
ở

( )k ẻ Â
.
Nhn xột: tỡm nghim
2 6
;
5 7
x
p p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ẻ
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
thc cht l ta phi chn s nguyờn
k
tha món
2 5 2 6
5 84 7 7
k
p p p p
< + <
hoc
2 11 2 6
5 84 7 7
k
p p p p
< + <
tc l ta phi gii cỏc bt phng trỡnh
2 5 2 6
5 84 7 7
k
< + <
;
2 11 2 6
5 84 7 7
k
< + <
tỡm cỏc min giỏ tr ca

k
ri sau ú chn
k
l s
nguyờn.
KL: Vy phng trỡnh cú cỏc nghim tha món iu kin l:
53
84
x
p
=
,
5
12
x
p
=
v
59
84
x
p
=
.
Ngoi ra, ta cú th khụng cn gii cỏc BPT nghim nguyờn trờn bng cỏch s dng 570ES PLUS
nh sau:
- Trc tiờn ta tỡm khong gn ỳng ca
2 6
;
5 7

ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
l
( )
0, 4; 0, 857
- Nhp biu thc th nht
5 2
84 7
X
+
vo mỏy tớnh (vỡ mỏy tớnh khụng cú
k
nờn ta coi
X
l
k
) ri
CALC vi cỏc giỏ tr
0; 1; 2; 3 X =
kim tra xem cú tha món hay khụng. Khi ú ta tỡm
c
2k =

, ng vi nghim l
53
84
x
p
=
.
- Tng t cho biu thc th 2 thu c
1; 2k k= =
, tng ng vi nghim
5
12
x
p
=
v
59
84
x
p
=
.
Bi 3. Gii cỏc phng trỡnh sau

cos 7 sin 5 3(cos 5 sin 7 )x x x x- = -

t an 3 cot 4(sin 3 cos )x x x x- = +


3(1 cos 2 )

cos
2 sin
x
x
x
-
=

sin sin 2
3
cos cos 2
x x
x x
-
=
-
(C2004)
Hng dn gii:
Nhn xột: i vi PT dng
sin cosa x b x c+ =
thỡ chỳng ta cú th gii mt cỏch d dng bng
cỏch chia cho
2 2
a b+
. Nhng nu gp dng
sin cos sin cosa mx b mx c nx d nx+ = +
trong
ú
2 2 2 2
a b c d+ = +

thỡ lm th no? C bỡnh tnh quan sỏt nhộ! Chỳng ta nhn thy mi v ca
phng trỡnh u cú dng bc nht ca sin v cos, ta th chia mi v cho
2 2
a b+
, rt may
"Trờn ng thnh cụng khụng cú du chõn ca k li bing"
10
Thy Trn Mnh Hõn (0974514498) FB: thayHanSP1
2 2 2 2
a b c d+ = +
. Nhng lu ý rng, ta phi chuyn v sao cho mi v cú cựng mt cung. T ú
ta cú li gii nh sau:
PT
cos 7 3 sin 7 sin 5 3 cos 5x x x x+ = +
1 3 1 3
cos 7 sin 7 sin 5 cos 5
2 2 2 2
x x x x+ = +
sin 7 sin 5
6 3
x x
p p
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
+ = +
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ

ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
7 5 2
6 3
2
7 5 2
6 3
x x k
x x k
p p
p
p p
p
ộ
ờ
+ = + +
ờ

ờ
ờ
+ = - +
ờ
ở
12
24 6
x k
x k
p
p

p p
ộ
ờ
= +
ờ

ờ
ờ
= +
ờ
ở

iu kin:
sin 0
sin 2 0 .
cos 0
2
x
x x k
x
p
ỡ
ù
ạ
ù
ạ ạ
ớ
ù
ạ
ù

ợ

PT
2 2
sin 3 cos
4(sin 3 cos )
sin cos
x x
x x
x x
-
= +
sin 3 cos
(sin 3 cos ) 4 0
sin cos
x x
x x
x x
ổ ử
+
ữ
ỗ
ữ
ỗ
+ - =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ

ỗ
ố ứ
sin 3 cos 0
sin 3 cos 2 sin 2
x x
x x x
ộ
+ =
ờ

ờ
ờ
+ =
ở
tan 3
sin sin 2
3
x
x x
p
ộ
= -
ờ
ờ
ổ ử

ờ
ữ
ỗ
ữ

+ =
ỗ
ờ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ờ
ở

Gii v kt hp nghim trờn ng trũn lng giỏc ta thu c:
; 2 ;
3 3
x k x k
p p
p p
= - + = -

2 2
9 3
x k
p p
= +
,
( )k ẻ Â
.
iu kin:
sin 0x x k
p

ạ ạ
PT
sin 2 3 cos 2 3x x+ =
3
sin 2
3 2
x
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
2 2
3 3
2
2 2
3 3
x k
x k
p p
p
p p
p

ộ
ờ
+ = +
ờ

ờ
ờ
+ = +
ờ
ở
(loại)
6
x k
x k
p
p
p
ộ
=
ờ
ờ

ờ
= +
ờ
ở
. Vy phng trỡnh cú nghim:
,( )
6
x k k

p
p
= + ẻ Â
.
iu kin:
2
cos cos 2 0 2 2
3
x x x x k x k
p
p
- +ạạ ạ

PT
sin sin 2 3(cos cos 2 )x x x x- = -

sin 3 cos sin 2 3 cos 2x x x x- = -
1 3 1 3
sin cos sin 2 cos 2
2 2 2 2
x x x x- = -

sin sin 2
3 3
x x
p p
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ

- = -
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
2
5 2
9 3
x k
x k
p
p p
ộ
= -
ờ
ờ

ờ
= +
ờ
ở

( )k ẻ Â
.
Vy phng trỡnh cú nghim:
5 2
2 ;
9 3

x k x k
p p
p
= - = +
.
Bi 4. Gii cỏc phng trỡnh sau
"Trờn ng thnh cụng khụng cú du chõn ca k li bing"
11
Thầy Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1

1
cos 3 sin
cos
x x
x
+ =

1 tan 2 2 sin
4
x x
p
æ ö
÷
ç
÷
+ = +
ç
÷
ç
÷

ç
è ø

(A2013)

3 cos 5 2 sin 3 cos 2 sin 0x x x x- - =
(D09) 
6
4 sin 3 cos 6
4 sin 3 cos 1
x x
x x
+ + =
+ +
Hướng dẫn giải:
 Điều kiện:
cos 0 .
2
x x k
p
p
+¹ Û ¹
PT
2
cos 3 sin cos 1x x x+ =Û
cos 2 3 sin 2 1x x+ =Û
1 3 1
cos 2 sin 2
2 2 2
x x+ =Û

2 2
1
6 6
sin 2
5
6 2
2 2
6 6
x k
x
x k
p p
p
p
p p
p
é
ê
+ = +
æ ö
ê
÷
ç
÷
+ =Û Û
ç
ê
÷
ç
÷

ç
è ø
ê
+ = +
ê
ë

(t/m)
(t/m)
3
x k
x k
p
p
p
é
=
ê
ê
Û
ê
= +
ê
ë

( )k Î ¢
.
Vậy phương trình có nghiệm:
;
3

x k x k
p
p p
= = +
.
 Điều kiện:
cos 0 .
2
x x k
p
p
+¹ Û ¹
PT
sin
1 2(sin cos )
cos
x
x x
x
+ = +Û
1
(sin cos ) 2 0
cos
x x
x
æ ö
÷
ç
÷
+ - =Û

ç
÷
ç
÷
ç
è ø
tan 1
1
cos
2
x
x
é
= -
ê
ê
Û
ê
=
ê
ë
Kết hợp với điều kiện thu được nghiệm của PT:
; 2
4 3
x k x k
p p
p p
= - + = ± +
,
( )k Î ¢

.
 PT
3 cos 5 (sin 5 sin ) sin 0x x x x- + - =Û
3 cos 5 sin 5 2 sinx x x- =Û
sin 5 sin
3
x x
p
æ ö
÷
ç
÷
- =Û
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
5 2
3
5 2
3
x x k
x x k
p
p
p
p p
é

ê
- = +
ê
Û
ê
ê
- = - +
ê
ë
18 3
6 4
x k
x k
p p
p p
é
ê
= - -
ê
Û
ê
ê
= - -
ê
ë
,
( )k Î ¢
.
Vậy phương trình có nghiệm:
;

18 3 6 4
x k x k
p p p p
= - - = - -
.
 Đặt
4 sin 3 cos 1t x x= + +
,
( 0)t ¹
PT
6
1 6t
t
- + =Û
2
1
7 6 0
6
t
t t
t
é
=
ê
- + =Û Û
ê
=
ê
ë
+ Với

1t =
ta có
4 sin 3 cos 0x x+ =
4 3
sin cos 0
5 5
x x+ =Û
cos sin sin cos 0x x
a a
+ =Û
( )
sin 0x
a
- =Û

x k
a p
= +Û
.
+ Với
6t =
ta có
4 sin 3 cos 5x x+ =
4 3
sin cos 1
5 5
x x+ =Û
cos sin sin cos 1x x
a a
+ =Û

( )
sin 1x
a
- =Û

2
2
x k
p
a p
= + +Û
.
"Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng"
12
Thy Trn Mnh Hõn (0974514498) FB: thayHanSP1
Vy phng trỡnh cú nghim:
2 ; 2
2
x k x k
p
a p a p
= + = + +
trong ú
3
sin
5
a
=
v
cos

5
a
4
=
.
DNG 2. PHNG TRèNH THUN BC HAI VI SINX V COSX
Dng phng trỡnh:
2 2
sin sin cos . cos 0a x b x x c x d+ + + =

Cỏch gii:
Cỏch 1: + Xột
cos 0x =
cú l nghim phng trỡnh khụng?
+ Xột
cos 0x ạ
, chia hai v phng trỡnh cho
2
cos x
ta c:
2 2
t an tan (1 tan ) 0 tana x b x c d x x x+ + + + = ịị
Cỏch 2: Dựng cụng thc h bc a v phng trỡnh bc nht vi
sin 2x
v
cos 2x
(dng 1).
Bi 1. Gii cỏc phng trỡnh sau

2 2

2 sin sin cos 3 cos 0x x x x+ - =

2 2
2 sin 3 sin cos cos 0x x x x- + =


2 2
sin 10 sin cos 21 cos 0x x x x- + =

2 2
2 sin 5 sin cos 3 cos 0x x x x- + =
Hng dn gii:

2 2
2 sin sin cos 3 cos 0x x x x+ - =
+ Xột
cos 0x =
(tc
2
sin 1x =
): Khi ú PT tr thnh
2 0=
nờn
cos 0x =
khụng tha món.
+ Xột
cos 0x ạ
, chia hai v phng trỡnh cho
2
cos x

ta c:
2
tan 1
2 t an tan 3 0
3
tan
2
x
x x
x
ộ
=
ờ
ờ
+ - =
ờ
= -
ờ
ở
4
3
arctan
2
x k
x k
p
p
p
ộ
ờ

= +
ờ
ờ

ổ ử
ờ
ữ
ỗ
ữ
= - +
ỗ
ờ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ờ
ở

( )k ẻ Â
.
Cỏch 2: PT
2(1 cos 2 ) sin 2 3(1 cos 2 ) 0x x x- + - + =
sin 2 5 cos 2 1x x- =
t
t ant x=
khi ú
2
2 2

2 1
sin 2 ;cos 2
1 1
t t
x x
t t
-
= =
+ +
. Phng trỡnh tr thnh
2
2 3 0t t+ - =
1
3
2
t
t
ộ
=
ờ
ờ

ờ
= -
ờ
ở
.

2 2
2 sin 3 sin cos cos 0x x x x- + =

+ Xột
cos 0x =
(tc
2
sin 1x =
): Khi ú PT tr thnh
2 0=
nờn
cos 0x =
khụng tha món.
+ Xột
cos 0x ạ
, chia hai v phng trỡnh cho
2
cos x
ta c:
2
t an 1
2 t an 3 tan 1 0
1
t an
2
x
x x
x
ộ
=
ờ
ờ
- + =

ờ
=
ờ
ở
4
1
arctan
2
x k
x k
p
p
p
ộ
ờ
= +
ờ
ờ

ổử
ờ
ữ
ỗ
ữ
= +
ỗ
ờ
ữ
ỗ
ữ

ỗ
ố ứ
ờ
ở

( )k ẻ Â
.

2 2
sin 10 sin cos 21 cos 0x x x x- + =
+ Xột
cos 0x =
(tc
2
sin 1x =
): Khi ú phng trỡnh tr thnh
1 0=
nờn
cos 0x =
khụng t/m.
+ Xột
cos 0x ạ
, chia hai v phng trỡnh cho
2
cos x
ta c:
2
tan 3
t an 10 t an 21 0
tan 7

x
x x
x
ộ
=
ờ
- + =
ờ
=
ờ
ở
arctan 3
arctan 7
x k
x k
p
p
ộ
= +
ờ

ờ
= +
ờ
ở

( )k ẻ Â
.

2 2

2 sin 5 sin cos 3 cos 0x x x x- + =
+ Xột
cos 0x =
(tc
2
sin 1x =
): Khi ú phng trỡnh tr thnh
2 0=
nờn
cos 0x =
khụng t/m.
+ Xột
cos 0x ạ
, chia hai v phng trỡnh cho
2
cos x
ta c:
"Trờn ng thnh cụng khụng cú du chõn ca k li bing"
13
Thầy Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
2
t an 1
2 t an 5 t an 3 0
3
t an
2
x
x x
x
é

=
ê
ê
- + = Û
ê
=
ê
ë
4
3
arctan
2
x k
x k
p
p
p
é
ê
= +
ê
ê
Û
æö
ê
÷
ç
÷
= +
ç

ê
÷
ç
÷
ç
è ø
ê
ë

( )k Î ¢
.
Bài 2. Giải các phương trình sau

2 2
sin (1 3) sin cos 3 cos 0x x x x+ - - =

2 2
3 sin 4 sin 2 4 cos 0x x x+ + =


2 2
3 sin 4 sin cos 5 cos 2x x x x- + =

2 2
3 sin 4 sin 2 (8 3 3) cos 3x x x+ - - =
Hướng dẫn giải:

2 2
sin (1 3) sin cos 3 cos 0x x x x+ - - =
+ Xét

cos 0x =
(tức
2
sin 1x =
): Khi đó phương trình trở thành
1 0=
nên
cos 0x =
không t/m.
+ Xét
cos 0x ¹
, chia hai vế phương trình cho
2
cos x
ta được:
2
tan 1
t an (1 3) t an 3 0
tan 3
x
x x
x
é
= -
ê
+ - - = Û
ê
=
ê
ë

4
3
x k
x k
p
p
p
p
é
ê
= - +
ê
Û
ê
ê
= +
ê
ë

( )k Î ¢
.
 PT
2 2
3 sin 8 sin cos 4 cos 0x x x x+ + =Û

+ Xét
cos 0x =
(tức
2
sin 1x =

): Khi đó phương trình trở thành
3 0=
nên
cos 0x =
không t/m.
+ Xét
cos 0x ¹
, chia hai vế phương trình cho
2
cos x
ta được:
2
tan 2
3 t an 8 tan 4 0
2
tan
3
x
x x
x
é
= -
ê
ê
+ + = Û
ê
= -
ê
ë
arctan( 2)

2
arctan
3
x k
x k
p
p
é
= - +
ê
ê
æ ö
Û
÷
ç
ê
÷
= - +
ç
÷
ê
ç
÷
ç
è ø
ê
ë

( )k Î ¢
.


2 2
3 sin 4 sin cos 5 cos 2x x x x- + =
+ Xét
cos 0x =
(tức
2
sin 1x =
): Khi đó phương trình trở thành
3 2=
nên
cos 0x =
không t/m.
+ Xét
cos 0x ¹
, chia hai vế phương trình cho
2
cos x
ta được:
2 2
t an 1
3 t an 4 tan 5 2(1 tan )
t an 3
x
x x x
x
é
=
ê
- + = + Û

ê
=
ê
ë
4
arctan 3
x k
x k
p
p
p
é
ê
= +
ê
Û
ê
= +
ê
ë

( )k Î ¢
.
 PT
2 2
3 sin 8 sin cos (8 3 3) cos 3x x x x+ - - =Û
+ Xét
cos 0x =
(tức
2

sin 1x =
): Khi đó phương trình trở thành
3 3=
nên
cos 0x =
thỏa mãn.
Tức là
2
x k
p
p
= +
là nghiệm của phương trình.
+ Xét
cos 0x ¹
, chia hai vế phương trình cho
2
cos x
ta được:
( )
2 2
3 t an 8 tan 8 3 3 3(1 tan ) tan 3x x x x+ - - = + =Û
3
x k
p
p
= +Û

( )k Î ¢
.

Vậy phương trình có nghiệm:
, .
2 3
x k x k
p p
p p
= + = +

DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VỚI SINX VÀ COSX
 Dạng phương trình:
3 3 2 2
a sin cos sin cos cos sin sin cos 0x b x c x x d x x e x f x+ + + + + =
 Cách giải:
+ Xét
cos 0x =
có là nghiệm phương trình không?
"Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng"
14
Thầy Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
+ Xét
cos 0x ¹
, chia hai vế phương trình cho
3
cos x
với chú ý:
2
2
1
1 tan
cos

x
x
= +
.
Bài 1. Giải các phương trình sau

3
sin 4 sin cos 0x x x- + =

3
2 sin cosx x=


3
2 cos sin 3x x=

3 3
4 cos 2 sin 3 sin 0x x x+ - =
Hướng dẫn giải:

3
sin 4 sin cos 0x x x- + =
+ Xét
cos 0x =
(tức
sin 1x = ±
): Khi đó PT trở thành
3 0=m
nên
cos 0x =

không thỏa mãn.
+ Xét
cos 0x ¹
, chia hai vế phương trình cho
3
cos x
ta được:
2 3 2
t an (1 tan ) 4 tan (1 tan ) 0x x x x+ - + + =
3 2
3 t an t an t an 1 0x x x- - - =Û

2
(tan 1)(3 tan 2 t an 1) 0x x x- + + =Û
tan 1x =Û

4
x k
p
p
= +Û

( )k Î ¢
.
Nhận xét: Khi giải phương trình bậc 3 các em thường bấm máy tính để ra nghiệm ngay, nên các em
biến đổi phương trình
3 2
3 1 0t t t- - - =
1t =Û
. Như thế liệu đã đầy đủ chưa? Câu trả lời là

chưa đủ vì chúng ta không hề học công thức nghiệm phương trình bậc 3. Các em cần phải phân tích
thành nhân tử trước khi đưa ra nghiệm. Vậy làm thế nào để phân tích nhanh nhất?
Bước 1: Dùng máy tính 570ES PLUS thu được nghiệm như sau
1t =
,
1
0, 47
3
t i= - ±
(1 nghiệm
thực và 2 nghiệm phức). Chú ý đến số
1
3
-
nhé!
Bước 2: Viết nhân tử: do PT có nghiệm
1t =
nên có một nhân tử
( 1)t -
, vậy nhân tử còn lại là gì?
Dựa vào hệ số đầu tiên và cuối cùng trong phương trình bậc 3 ta thu được hệ số đầu tiên và cuối cùng
của nhân tử còn lại, tức là có nhân tử nữa
2
(3 1)t Bt+ +
. Để tìm
B
ta dựa vào phần thực của
nghiệm phức còn lại
1
3 2

B
A
- = -
từ đó suy ra
2B =
. Vậy ta lập tức phân tích phương trình thành
2
( 1)(3 2 1) 1t t t t- + + =Û
.

3
2 sin cosx x=

+ Xét
cos 0x =
(tức
sin 1x = ±
): Khi đó PT trở thành
2 0± =
nên
cos 0x =
không thỏa mãn.
+ Xét
cos 0x ¹
, chia hai vế phương trình cho
3
cos x
ta được:
3 2
2 t an 1 tanx x= +

3 2
2 t an t an 1 0x x- - =Û

2
(tan 1)(2 tan tan 1) 0x x x- + + =Û
tan 1x =Û

4
x k
p
p
= +Û

( )k Î ¢
.

3 3 3
2 cos sin 3 2 cos 3 sin 4 sinx x x x x= = -Û
+ Xét
cos 0x =
(tức
sin 1x = ±
): Khi đó PT trở thành
0 1= ±
nên
cos 0x =
không thỏa mãn.
+ Xét
cos 0x ¹
, chia hai vế phương trình cho

3
cos x
ta được:
2 3
2 3 t an (1 tan ) 4 tanx x x= + -
3
tan 3 tan 2 0x x- + =Û

2
(tan 1) (t an 2) 0x x- + =Û
tan 1
tan 2
x
x
é
=
ê
Û
ê
= -
ê
ë

4
arctan( 2) .
x k
x k
p
p
p

é
ê
= +
ê
Û
ê
= - +
ê
ë

( )k Î ¢
.
Nhận xét: Khi bấm máy tính giải phương trình
3
3 2 0t t- + =
, chúng ta thu được 2 nghiệm
1, 2t t= = -
. Khi đó phân tích phương trình thành
3
3 2 ( 1)( 2)t t t t- + = - +
. Như thế liệu đầy
đủ chưa? Các em hãy để ý bậc ở hai vế để tự đưa ra câu trả lời nhé. Như vậy là đa thức này còn có 1
"Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng"
15
Thầy Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
nhân tử nữa, theo các em nhân tử này là
1t -
hay
2t +
. Câu trả lời là

1t -
, vì sao lại như vậy?
Rất dễ dàng thôi nhân tử thứ ba này là
2t +
thì số hạng tự do của đa thức ban đầu phải là
4-
,
không ổn rồi. Vậy kết quả là
3 2
3 2 ( 1)( 2)(t 1) (t 1) ( 2)t t t t t- + = - + - = - +
.

3 3
4 cos 2 sin 3 sin 0x x x+ - =
+ Xét
cos 0x =
(tức
sin 1x = ±
): Khi đó PT trở thành
1 0± =
nên
cos 0x =
không thỏa mãn.
+ Xét
cos 0x ¹
, chia hai vế phương trình cho
3
cos x
ta được:
3 2

4 2 t an 3 t an (1 tan ) 0x x x+ - + =
3
tan 3 tan 4 0x x+ - =Û

2
(tan 1)(tan t an 4) 0x x x- + + =Û
tan 1x =Û

4
x k
p
p
= +Û

( )k Î ¢
.
Bài 2. Giải các phương trình sau

3
sin sin 2 sin 3 6 cosx x x x+ =

3 3
cos sin sin cosx x x x- = +


3
6 sin 2 cos 5 sin 2 cosx x x x- =

3 2
cos sin 3 sin cos 0x x x x+ - =

Hướng dẫn giải:

3 2 3 3
sin sin 2 sin 3 6 cos 2 sin cos 3 sin 4 sin 6 cosx x x x x x x x x+ = + - =Û
+ Xét
cos 0x =
(tức
sin 1x = ±
): Khi đó PT trở thành
1 0± =
nên
cos 0x =
không thỏa mãn.
+ Xét
cos 0x ¹
, chia hai vế phương trình cho
3
cos x
ta được:
2 2 3
2 t an 3 tan (1 tan ) 4 tan 6x x x x+ + - =
3 2
tan 2 tan 3 tan 6 0x x x- - + =Û

2
(tan 2)(t an 3) 0x x- - =Û
tan 1
tan 3
tan 3
x

x
x
é
=
ê
ê
=Û
ê
ê
ê
= -
ê
ë

4
3
3
x k
x k
x k
p
p
p
p
p
p
é
ê
= +
ê

ê
ê
= +Û
ê
ê
ê
= - +
ê
ê
ë

( )k Î ¢
.
 PT
3 3
cos sin sin cos 0x x x x- - - =Û
+ Xét
cos 0x =
(tức
sin 1x = ±
): Khi đó PT trở thành
2 0± =
nên
cos 0x =
không thỏa mãn.
+ Xét
cos 0x ¹
, chia hai vế phương trình cho
3
cos x

ta được:
3 2
1 tan (t an 1)(1 tan ) 0x x x- - + + =
3 3 2
1 tan (t an t an t an 1) 0x x x x- - + + + =Û

2
tan t an 0x x+ =Û
tan 0
tan 1
x
x
é
=
ê
Û
ê
= -
ê
ë

4
x k
x k
p
p
p
é
=
ê

ê
Û
ê
= - +
ê
ë

( )k Î ¢
.

3
6 sin 2 cos 5 sin 2 cosx x x x- =
3 2
6 sin 2 cos 10 sin cosx x x x- =Û

+ Xét
cos 0x =
(tức
sin 1x = ±
): Khi đó PT trở thành
6 0± =
nên
cos 0x =
không thỏa mãn.
+ Xét
cos 0x ¹
, chia hai vế phương trình cho
3
cos x
ta được:

2
6 t an (1 tan ) 2 10 tanx x x+ - =
3
6 t an 4 tan 2 0x x- - =Û

2
(tan 1)(6 tan 6 t an 2) 0x x x- + + =Û
tan 1x =Û

4
x k
p
p
= +Û

( )k Î ¢
.

3 2
cos sin 3 sin cos 0x x x x+ - =
+ Xét
cos 0x =
(tức
sin 1x = ±
): Khi đó PT trở thành
1 0± =
nên
cos 0x =
không thỏa mãn.
+ Xét

cos 0x ¹
, chia hai vế phương trình cho
3
cos x
ta được:
2 2
1 tan (1 tan ) 3 t an 0x x x+ + - =
3
2 t an t an 1 0x x- - =Û

2
(tan 1)(2 tan 2 tan 1) 0x x x- + + =Û
tan 1x =Û

4
x k
p
p
= +Û

( )k Î ¢
.
"Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng"
16
Thầy Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1
Bài 3. Giải các phương trình sau

3 3 2
cos 4 sin 3 cos sin sin 0x x x x x- - + =


1 3 t an 2 sin 2x x+ =


3 1
2 sin 2 3 cos
cos sin
x x
x x
+ = +

2 2
t an sin 2 sin 3(cos 2 sin cos )x x x x x x- = +
Hướng dẫn giải:

3 3 2
cos 4 sin 3 cos sin sin 0x x x x x- - + =
+ Xét
cos 0x =
(tức
sin 1x = ±
): Khi đó PT trở thành
1 0± =
nên
cos 0x =
không thỏa mãn.
+ Xét
cos 0x ¹
, chia hai vế phương trình cho
3
cos x

ta được:
3 2 2
1 4 t an 3 tan tan (1 tan ) 0x x x x- - + + =
3 2
3 t an 3 tan t an 1 0x x x+ - - =Û

2
(tan 1)(3 t an 1) 0x x+ - =Û
tan 1
3
tan
3
3
tan
3
x
x
x
é
ê
= -
ê
ê
ê
=Û
ê
ê
ê
ê
= -

ê
ë

4
6
6
x k
x k
x k
p
p
p
p
p
p
é
ê
= - +
ê
ê
ê
= +Û
ê
ê
ê
= - +
ê
ê
ë

( )k Î ¢
.
 Điều kiện:
cos 0x ¹
. Khi đó phương trình trở thành:
2
cos 3 sin 4 sin cosx x x x+ =

Chia hai vế phương trình cho
3
cos x
ta được:
2
(1 3 tan )(1 tan ) 4 tanx x x+ + =
3 2
3 t an t an t an 1 0x x x+ - + =Û

2
(tan 1)(3 t an 2 tan 1) 0x x x+ - + =Û
tan 1
4
x x
p
= - = -Û Û
(t/m),
( )k Î ¢
.
 Điều kiện:
cos 0x ¹
. PT trở thành:

2 2
2 sin cos 2 3 cos sin 3 sin cosx x x x x x+ = +
Chia hai vế phương trình cho
3
cos x
ta được:
2 2
2 t an 2 3 tan ( 3 tan 1)(tan 1)x x x x+ = + +
3 2
3 t an tan 3 tan 1 0x x x- - + =Û

2
(tan 1)( 3 tan 1) 0x x- - =Û
tan 1
tan 1
3
tan
3
x
x
x
é
ê
ê
=
ê
ê
= -Û
ê
ê

ê
=
ê
ë

4
4
6
x k
x k
x k
p
p
p
p
p
p
é
ê
= +
ê
ê
ê
= - +Û
ê
ê
ê
= +
ê
ê

ë
(t/m),
( )k Î ¢
.
 Điều kiện:
cos 0x ¹
. PT trở thành:
3 2 3 2
sin 2 sin cos 3(2 cos sin cos cos )x x x x x x x- = + -
Chia hai vế phương trình cho
3
cos x
ta được:
3 2 2
t an 2 tan 3(2 t an 1 t an )x x x x- = + - -
3 2
tan t an 3 t an 3 0x x x+ - - =Û

2
(tan 1)(t an 3) 0x x+ - =Û
tan 1
tan 3
tan 3
x
x
x
é
=
ê
ê

=Û
ê
ê
ê
= -
ê
ë

4
3
3
x k
x k
x k
p
p
p
p
p
p
é
ê
= +
ê
ê
ê
= +Û
ê
ê
ê

= - +
ê
ê
ë
(t/m),
( )k Î ¢
.
Bài 4. Giải các phương trình sau

3 3 2 2
cos sin cos sinx x x x- = -

3 3
cos sin cos 2x x x+ =

"Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng"
17
Thy Trn Mnh Hõn (0974514498) FB: thayHanSP1

6 6 2
13
cos sin cos 2
8
x x x- =

4 4
7
sin cos cot cot
8 3 6
x x x x

p p
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
+ = + -
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
Hng dn gii:
PT
3 3 2 2
cos sin cos sinx x x x- = -
(cos sin )(1 sin cos cos sin ) 0x x x x x x- + - - =


cos sin (1)
1 sin cos sin cos 0 (2)
x x
x x x x
ộ
=
ờ

ờ
+ - - =
ờ

ở
Gii (1):
cos cos 2
2 2 4
x x x x k x k
p p p
p p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= - = - + = +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Gii (2): t
sin cost x x= +

2
1
sin cos
2
t
x x
-
=ị

. Khi ú (2)
2
2 ( 1) 2 0t t+ - - =
2
2 1 0 1t t t- + = =
1
sin cos 1 sin
4
2
x x x
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ = + =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
2
2
4 4
3
2
2
2
4 4

x k
x k
x k
x k
p p
p
p
p
p p
p
p
ộ
ộ
=
ờ
+ = +
ờ
ờ
ờ

ờ
ờ
= +
ờ
+ = +
ờ
ờ
ở
ở
( )k ẻ Â

.
Vy phng trỡnh cú nghim:
; 2 ; 2 ( ).
4 2
x k x k x k k
p p
p p p
= + = = + ẻ Â

PT
2 2
(cos sin )(1 sin cos ) cos sinx x x x x x+ - = -
(cos sin )(1 sin cos sin cos ) 0x x x x x x+ - + - =

sin cos 0 t an 1
4
x x x x k
p
p
+ = = - = - +


1 sin cos sin cos 0x x x x- + - =
t
sin cost x x= -
2
1
sin cos
2
t

x x
-
=ị
ta cú:
2
2 1 2 0 1t t t+ - + = = -

1
sin cos 1 sin
4
2
x x x
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
- = - - = -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
2
2
4 4
3
5
2

2
2
4 4
x k
x k
x k
x k
p p
p
p
p
p p
p
p
ộ
ộ
=
ờ
- = - +
ờ
ờ
ờ

ờ
ờ
= +
ờ
- = +
ờ
ờ

ở
ở
Vy phng trỡnh cú nghim:
3
; 2 ; 2 ( ).
4 2
x k x k x k k
p p
p p p
= - + = = + ẻ Â

PT
2 2 4 4 2 2 2
13
(cos sin )(cos sin sin cos ) cos 2
8
x x x x x x x- + + =
2 2 2
13
cos 2 (1 sin cos ) cos 2
8
x x x x- =
2
1 13
cos 2 1 sin 2 cos 2 0
4 8
x x x
ổ ử
ữ
ỗ

ữ
- - =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

cos 2 0 2
2 4 2
x x k x k
p p p
p
= = + = +


2
8 2 sin 2 13 cos 2 0x x- - =
2
2 cos 2 13 cos 2 6 0x x- + =
1
cos 2
2
x =
,
cos 2 6x =
(loi)
6
x k

p
p
= +
.
"Trờn ng thnh cụng khụng cú du chõn ca k li bing"
18
Thy Trn Mnh Hõn (0974514498) FB: thayHanSP1
Vy phng trỡnh cú nghim:
; ( ).
4 2 6
x k x k k
p p p
p
= + = + ẻ Â

iu kin:
2
sin sin 0 sin cos 0 sin 2 0
3 6 3 3 3
x x x x x
p p p p p
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ ữ
+ - + + +ạ ạ ạ
ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ ữ

ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ

2 2
7
1 2 sin cos
8
x x- =
2 2
1 7 1
1 sin 2 sin 2
2 8 4
x x- = =
1
sin 2
2
x =

Vy phng trỡnh cú nghim:
5 7
; ; ; ( ).
12 12 12 12
x k x k x k x k k
p p p p
p p p p
= + = + = - + = + ẻ Â
DNG 4. PHNG TRèNH I XNG VI SINX V COSX
Dng phng trỡnh:
(sin cos , sin cos ) 0f x x x x =
Cỏch gii:

+ t
2
1
sin cos sin cos
2
t
t x x x x
-
= + =ị
+ t
2
1
sin cos sin cos
2
t
t x x x x
-
= - =ị
. a v phng trỡnh n
t
.
Chỳ ý: Nu
sin cos 2 sin
4
t x x x
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ

= =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
thỡ
2 2t- ÊÊ
.
Bi 1. Gii cỏc phng trỡnh sau

2(sin cos ) sin 2 1 0x x x+ + + =

sin cos 6(sin cos 1)x x x x= - -


sin 2 2 sin( ) 1
4
x x
p
+ - =

t an 2 2 sin 1x x- =
Hng dn gii:

2(sin cos ) sin 2 1 0x x x+ + + =
2(sin cos ) 2 sin cos 1 0x x x x+ + + =
t
sin cos 2 sin

4
t x x x
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= + = +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
2
1
sin cos
2
t
x x
-
=ị

( )
2 2t- ÊÊ

Phng trỡnh tr thnh:
2
2 ( 1) 1 0t t+ - + =
(t/m)

(loại)
2
0
2 0
2
t
t t
t
ộ
=
ờ
+ =
ờ
= -
ờ
ở

Khi ú
sin cos 0 sin 0
4 4
x x x x k
p p
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ = + = = - +
ỗ
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Vy phng trỡnh cú nghim:

sin cos 6(sin cos 1)x x x x= - -
t
sin cos 2 sin
4
t x x x
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= - = -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
2
1
sin cos
2
t
x x
-

=ị

( )
2 2t- ÊÊ

Phng trỡnh tr thnh:
(t/m)
(loại)
2 2
1
1 12( 1) 12 13 0
13
t
t t t t
t
ộ
=
ờ
- = - + - =
ờ
= -
ờ
ở

"Trờn ng thnh cụng khụng cú du chõn ca k li bing"
19
Thy Trn Mnh Hõn (0974514498) FB: thayHanSP1
Vỡ vy
1
sin cos 1 sin

4
2
x x x
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
- = - =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Vy phng trỡnh cú nghim:
; 2 ( ).
2
x k x k k
p
p p p
= + = + ẻ Â


sin 2 2 sin( ) 1 2 sin cos sin cos 1
4
x x x x x x
p
+ - = + - =
t

sin cos 2 sin
4
t x x x
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= - = -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
2
1
sin cos
2
t
x x
-
=ị

( )
2 2t- ÊÊ

Phng trỡnh tr thnh:
(t/m)
(t/m)

2 2
0
1 1 0
1
t
t t t t
t
ộ
=
ờ
- + = - =
ờ
=
ờ
ở


sin cos 0 sin 0
4 4
x x x x k
p p
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
- = - = = +
ỗ
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ố ứ

2
1
sin cos 1 sin
2
4
2
2
x k
x x x
x k
p
p
p
p p
ộ
ổ ử
ờ
= +
ữ
ỗ
ờ
ữ
- = - =
ỗ
ữ
ỗ

ữ
ờ
ỗ
ố ứ
= +
ờ
ở
Vy phng trỡnh cú nghim:
; 2 ; 2 ( ).
4 2
x k x k x k k
p p
p p p p
= + = + = + ẻ Â


t an 2 2 sin 1 sin cos 2 2 sin cos 0x x x x x x- = - - =
(
cos 0x ạ
)
t
sin cos 2 sin
4
t x x x
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= - = -

ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
2
1
sin cos
2
t
x x
-
=ị

( )
2 2t- ÊÊ

PT tr thnh:
(t/m)
(t/m)
2 2
2
2(1 ) 0 2 2 0
2
2
t
t t t t
t
ộ

ờ
=
ờ
- - = + - =
ờ
ờ
= -
ờ
ở


5
2
2 1
12
sin cos sin
13
2 4 2
2
12
x k
x x x
x k
p
p
p
p
p
ộ
ờ

= +
ổ ử
ờ
ữ
ỗ
ữ
- = - =
ỗ
ờ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ờ
= +
ờ
ở

sin cos 2 sin 1 2
4 4
x x x x k
p p
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
- = - - = - = - +
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Kt hp vi iu kin, PT cú nghim:
5 13
2 ; 2 ; 2 ( ).
12 12 4
x k x k x k k
p p p
p p p
= + = + = - + ẻ Â

Bi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau

1
1 tan 2 sin
cos
x x
x
+ = +

2 2
sin cos
t an cot
x x
x x
+ = -

1 1 10
sin cos
sin cos 3
x x
x x
+ + + =

2 sin cot 2 sin 2 1x x x+ = +
Hng dn gii:

1
1 tan 2 sin cos sin 2 sin cos 1
cos
x x x x x x
x
+ = + + = +
,
( )
cos 0x ạ

"Trờn ng thnh cụng khụng cú du chõn ca k li bing"
20
Thy Trn Mnh Hõn (0974514498) FB: thayHanSP1
t
sin cos 2 sin
4
t x x x
p
ổ ử

ữ
ỗ
ữ
= + = +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
2
1
sin cos
2
t
x x
-
=ị

( )
2 2t- ÊÊ

PT tr thnh:
(t/m)
(t/m)
2 2
1
( 1) 1
0
t

t t t t
t
ộ
=
ờ
= - + -
ờ
=
ờ
ở


sin cos 0 sin 0
4 4
x x x x k
p p
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ = + = = - +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

2

1
sin cos 1 sin
4
2
2
2
x k
x x x
x k
p
p
p
p
ộ
=
ổ ử
ờ
ữ
ỗ
ờ
ữ
+ = + =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ờ
ỗ
ố ứ
= +

ờ
ở
Vy phng trỡnh cú nghim:
; 2 ; 2 ( ).
4 2
x k x k x k k
p p
p p p
= - + = + = ẻ Â

iu kin:
sin 0
cos 0
x
x
ỡ
ù
ạ
ù
ớ
ù
ạ
ù
ợ
. Khi ú:
PT
2 2
cos sin
sin cos 2 (sin cos )(sin cos 2 sin 2 cos ) 0
sin cos

x x
x x x x x x x x
x x
-
+ = + + - =

sin cos 0 sin 0
4 4
x x x x k
p p
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ = + = = - +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
(t/m)

sin cos 2 sin 2 cos 0x x x x+ - =
t
sin cos 2 sin
4
t x x x
p

ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= - = -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
2
1
sin cos
2
t
x x
-
=ị

( )
2 2t- ÊÊ

PT tr thnh:
(loại)
(loại)
2 2
2 5
(1 ) 4 0 4 1 0
2 5

t
t t t t
t
ộ
= +
ờ
- + = - - =
ờ
ờ
= -
ở

Vy phng trỡnh cú nghim:
( ).
4
x k k
p
p
= - + ẻ Â

iu kin:
sin 0
cos 0
x
x
ỡ
ù
ạ
ù
ớ

ù
ạ
ù
ợ
.
PT
sin cos 10
sin cos
sin cos 3
x x
x x
x x
+
+ + =
t
sin cos 2 sin
4
t x x x
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= + = +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

2
1
sin cos
2
t
x x
-
=ị

( )
2 2t- ÊÊ

PT tr thnh:
3 2
3 10 3 10 0t t t- + + =
2
2 19
( 2)(3 4 5) 0
3
t t t t
-
- - - = =

Khi ú
2 19
sin cos
3
x x
-
+ =

2 19
sin sin
4
3 2
x
p
a
ổ ử
-
ữ
ỗ
ữ
+ = =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Kt hp iu kin, phng trỡnh cú nghim l:
3
2 ; 2 ( ).
4 4
x k x k k
p p
a p a p
= - + + = - + ẻ Â

iu kin:
sin 0x ạ

PT
2 2
2 sin cos 4 sin cos sinx x x x x+ = +
"Trờn ng thnh cụng khụng cú du chõn ca k li bing"
21
Thy Trn Mnh Hõn (0974514498) FB: thayHanSP1
2
sin (2 sin 1) cos (4 sin 1)x x x x- = -
(2 sin 1) cos (2 sin 1) sin 0x x x x
ộ ự
- + - =
ờ ỳ
ở ỷ

( )
t/m
2
1
6
sin
5
2
2
6
x k
x
x k
p
p

p
p
ộ
ờ
= +
ờ
=
ờ
ờ
= +
ờ
ở


2 sin cos (sin cos ) 0x x x x- - =
t
sin cos 2 sin
4
t x x x
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= - = -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ố ứ
2
1
sin cos
2
t
x x
-
=ị

( )
2 2t- ÊÊ

PT tr thnh:
(t/m)
(loại)
2 2
1 5
2
(1 ) 0 1 0
1 5
2
t
t t t t
t
ộ
- +
ờ
=
ờ

ờ
- - = + - =
ờ
- -
ờ
=
ờ
ở

Khi ú
1 5
sin cos
2
x x
- +
- =
1 5
sin sin
4
2 2
x
p
a
ổ ử
- +
ữ
ỗ
ữ
- = =
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Kt hp iu kin, phng trỡnh cú nghim l:
5
2 ; 2
6 6
x k x k
p p
p p
= + = +
;
2 ;
4
x k
p
a p
= + +

5
2 ( ).
4
x k k
p
a p
= - + ẻ Â
Bi 3. Gii cỏc phng trỡnh sau

3 3
sin cos 2 sin cos sin cosx x x x x x+ = + +

3 3
1 sin cos sin 2x x x- + =


( )
2 sin cos t an cotx x x x+ = +

(1 sin )(1 cos ) 2x x+ + =
Hng dn gii:
PT
(sin cos )(1 sin cos ) 2 sin cos sin cosx x x x x x x x+ - = + +
t
sin cos 2 sin
4
t x x x
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= + = +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

2
1
sin cos
2
t
x x
-
=ị

( )
2 2t- ÊÊ

PT tr thnh:
2 2
(2 1) 2( 1) 2t t t t- + = - +
(t/m)
(t/m)
(loại)
1
( 1)( 1)( 2) 0 1
2
t
t t t t
t
ộ
=
ờ
ờ
- + + = = -
ờ

ờ
= -
ờ
ở


2
1
sin cos 1 sin
4
2
2
2
x k
x x x
x k
p
p
p
p
ộ
=
ổ ử
ờ
ữ
ỗ
ờ
ữ
+ = + =
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ờ
ỗ
ố ứ
= +
ờ
ở

2
1
sin cos 1 sin
2
4
2
2
x k
x x x
x k
p
p
p
p p
ộ
ổ ử
ờ
= - +
ữ
ỗ

ờ
ữ
+ = - + = -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ờ
ỗ
ố ứ
= +
ờ
ở
Kt hp nghim ta thu c:
; ( ).
2
x k x k k
p
p p
= = + ẻ Â

"Trờn ng thnh cụng khụng cú du chõn ca k li bing"
22
Thy Trn Mnh Hõn (0974514498) FB: thayHanSP1
Chỳ ý: õy hai h nghim
2x k
p
=
v
2x k

p p
= +
c gp thnh h nghim
x k
p
=
. Cũn
hai h nghim
2
2
x k
p
p
= +
v
2
2
x k
p
p
= - +
c gp thnh h nghim
2
x k
p
p
= +
.
PT
1 (sin cos )(1 sin cos ) 2 sin cosx x x x x x- - + =

t
sin cos 2 sin
4
t x x x
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= - = -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
2
1
sin cos
2
t
x x
- +
=ị

( )
2 2t- ÊÊ

PT tr thnh:
2 2

2 (2 1 ) 2(1 )t t t- + - = -
(t/m)
(t/m)
(loại)
1
( 1)( 3) 0 0
3
t
t t t t
t
ộ
=
ờ
ờ
- + = =
ờ
ờ
= -
ờ
ở


2
1
sin cos 1 sin
2
4
2
2
x k

x x x
x k
p
p
p
p p
ộ
ổ ử
ờ
= +
ữ
ỗ
ờ
ữ
- = - =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ờ
ỗ
ố ứ
= +
ờ
ở

sin cos 0 sin 0
4 4
x x x x k
p p

p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
- = - = = +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Vy phng trỡnh cú nghim l:
2 ; 2 ; ( ).
2 4
x k x k x k k
p p
p p p p
= + = + = + ẻ Â

iu kin:
sin 0
cos 0
x
x
ỡ
ù
ạ
ù
ớ

ù
ạ
ù
ợ
. Phng trỡnh
1
2(sin cos )
sin cos
x x
x x
+ =
t
sin cos 2 sin
4
t x x x
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= + = +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
2
1
sin cos

2
t
x x
-
=ị

( )
2 2t- ÊÊ

PT tr thnh:
2
2
2
1
t
t
=
-

3
2 2 2 0t t- - =
2
( 2 2)( 2 1) 0 2t t t t- + + = =

Khi ú
sin cos 2x x+ =
sin 1 2
4 4
x x k
p p

p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ = = +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Kt hp iu kin, phng trỡnh cú nghim l:
2 ( ).
4
x k k
p
p
= + ẻ Â


(1 sin )(1 cos ) 2x x+ + =
sin cos sin cos 1x x x x+ + =

t
sin cos 2 sin
4
t x x x
p
ổ ử

ữ
ỗ
ữ
= + = +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
2
1
sin cos
2
t
x x
-
=ị

( )
2 2t- ÊÊ

PT tr thnh:
2
1 2 2t t- + =

2
2 3 0t t+ - =
(t/m)
(loại)

1
3
t
t
ộ
=
ờ

ờ
= -
ờ
ở

Khi ú
2
1
sin cos 1 sin
4
2
2
2
x k
x x x
x k
p
p
p
p
ộ
=

ổ ử
ờ
ữ
ỗ
ờ
ữ
+ = + =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ờ
ỗ
ố ứ
= +
ờ
ở
Vy phng trỡnh cú nghim l:
2 ; 2 ( ).
2
x k x k k
p
p p
= = + ẻ Â

Bi 4. Gii cỏc phng trỡnh sau

sin cos sin cos 1x x x x+ + =

2 2

(1 sin ) cos (1 cos ) sin 1 sin 2x x x x x+ + + = +

"Trờn ng thnh cụng khụng cú du chõn ca k li bing"
23
Thy Trn Mnh Hõn (0974514498) FB: thayHanSP1

2 sin 2 (sin cos ) 2x x x+ =

sin cos 4 sin 2 1x x x- + =

2 sin 2 3 6 sin cos 8 0x x x- + + =

Hng dn gii:

sin cos sin cos 1x x x x+ + =
t
sin cos 2 sin
4
t x x x
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= + = +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ố ứ
2
1
sin cos
2
t
x x
-
=ị

( )
0 2tÊ Ê

PT tr thnh:
2
1 2 2t t- + =

2
2 3 0t t+ - =
(t/m)
(loại)
1
3
t
t
ộ
=
ờ

ờ

= -
ờ
ở


2
1
sin cos 1 sin
4
2
2
2
x k
x x x
x k
p
p
p
p
ộ
=
ổ ử
ờ
ữ
ỗ
ờ
ữ
+ = + =
ỗ
ữ

ỗ
ữ
ờ
ỗ
ố ứ
= +
ờ
ở

2
1
sin cos 1 sin
2
4
2
2
x k
x x x
x k
p
p
p
p p
ộ
ổ ử
ờ
= - +
ữ
ỗ
ờ

ữ
+ = - + = -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ờ
ỗ
ố ứ
= +
ờ
ở
Kt hp nghim ta thu c:
; ( ).
2
x k x k k
p
p p
= = + ẻ Â

PT
sin cos sin cos (sin cos ) 1 2 sin cosx x x x x x x x+ + + = +

t
sin cos 2 sin
4
t x x x
p
ổ ử
ữ

ỗ
ữ
= + = +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
2
1
sin cos
2
t
x x
-
=ị

( )
2 2t- ÊÊ

PT tr thnh:
2 2
2 ( 1) 2 2( 1)t t t t+ - = + -
3 2
2 0t t t- + =
2
0
( 1) 0
1

t
t t
t
ộ
=
ờ
- =
ờ
=
ờ
ở

2
1
sin cos 1 sin
4
2
2
2
x k
x x x
x k
p
p
p
p
ộ
=
ổ ử
ờ

ữ
ỗ
ờ
ữ
+ = + =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ờ
ỗ
ố ứ
= +
ờ
ở

sin cos 0 sin 0
4 4
x x x x k
p p
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ = + = = - +
ỗ
ữ
ỗ
ữ

ỗ
ố ứ
Vy phng trỡnh cú nghim:
2 ; 2 ; ( ).
2 4
x k x k x k k
p p
p p p
= = + = - + ẻ Â

PT
2 2 sin cos (sin cos ) 2x x x x+ =
t
sin cos 2 sin
4
t x x x
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= + = +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
2
1

sin cos
2
t
x x
-
=ị

( )
2 2t- ÊÊ

PT tr thnh:
( )
2
2 1 2t t- =
3
2 2 2 0t t- - =
2
( 2 2)( 2 1) 0 2t t t t- + + = =
Khi ú
sin cos 2x x+ =
sin 1 2
4 4
x x k
p p
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ = = +

ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Vy phng trỡnh cú nghim l:
2 ( ).
4
x k k
p
p
= + ẻ Â

PT
sin cos 8 sin cos 1x x x x- + =
"Trờn ng thnh cụng khụng cú du chõn ca k li bing"
24
Thy Trn Mnh Hõn (0974514498) FB: thayHanSP1
t
sin cos 2 sin
4
t x x x
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= - = -
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
2
1
sin cos
2
t
x x
-
=ị

( )
0 2tÊ Ê

PT tr thnh:
2
4(1 ) 1t t+ - =

2
4 3 0t t- - =
(t/m)
(loại)
1
3
4
t
t

ộ
=
ờ
ờ

ờ
= -
ờ
ở


2
1
sin cos 1 sin
2
4
2
2
x k
x x x
x k
p
p
p
p p
ộ
ổ ử
ờ
= +
ữ

ỗ
ờ
ữ
- = - =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ờ
ỗ
ố ứ
= +
ờ
ở

2
1
sin cos 1 sin
3
4
2
2
2
x k
x x x
x k
p
p
p
p

ộ
=
ổ ử
ờ
ữ
ỗ
ờ
ữ
- = - - = -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ờ
ỗ
ố ứ
= +
ờ
ở
Kt hp nghim ta thu c:
; ( ).
2
x k x k k
p
p p
= = + ẻ Â

PT
4 sin cos 3 6 sin cos 8 0x x x x- + + =
t

sin cos 2 sin
4
t x x x
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= + = +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
2
1
sin cos
2
t
x x
-
=ị

( )
0 2tÊ Ê

PT tr thnh:
2
2( 1) 3 6 8 0t t- - + =

2
2 3 6 6 0t t- + =
(t/m)
(loại)
6
2
6
t
t
ộ
ờ
=
ờ

ờ
ờ
=
ờ
ở


2
6 3
12
sin cos sin
5
2 4 2
2
12
x k

x x x
x k
p
p
p
p
p
ộ
ờ
= +
ổ ử
ờ
ữ
ỗ
ữ
+ = + =
ỗ
ờ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ờ
= +
ờ
ở

7
2

6 3
12
sin cos sin
13
2 4 2
2
12
x k
x x x
x k
p
p
p
p
p
ộ
ờ
= - +
ổ ử
ờ
ữ
ỗ
ữ
+ = - + = -
ỗ
ờ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ố ứ
ờ
= +
ờ
ở
Vy PT cú nghim:
5 7 13
2 ; 2 ; 2 ; 2 ( ).
12 12 12 12
x k x k x k x k k
p p p p
p p p p
= + = + = - + = + ẻ Â

DNG 5. PHNG TRèNH DNG THUN NGHCH
Dng phng trỡnh:
2
2
2
( ) ( ) 0
( )
( )
k k
A f x B f x C
f x
f x
ổ ử
ổ ử
ữ
ữ

ỗ
ỗ
ữ
ữ
+ + + + =
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ố ứ
ố ứ
, vi
( ) sin , cosf x x x=
(1)
hoc
( )
( )
2 2 2 2
t an cot tan cot 0A a x b x B a x b x C+ + + + =
(2)
Cỏch gii:
i vi phng trỡnh (1): t
( )
( )

k
t f x
f x
= +

i vi phng trỡnh (2): t
t an cott a x b x= +
Bi 1. Gii cỏc phng trỡnh sau
"Trờn ng thnh cụng khụng cú du chõn ca k li bing"
25