BÀI tập NHIỆT học hay và khó

NGUYỄN VĂN TRUNG : 0915192169
BÀI TẬP NHIỆT HỌC
Bài 1: Một áp kế đo chênh thủy ngân, nối với một bình đựng nước.
a) Xác định độ chênh mực nước thủy ngân, nếu h
1
= 130mm và áp suất dư trên mặt nước trong bình
40000 N/m
2
.
b) Áp suất trong bình sẽ thay đổi như thế nào nếu mực thủy ngân trong hai
nhánh bằng nhau.
Giải
a) Xác định độ chênh mực thủy ngân (tìm h
2
) :
Chọn mặt đẳng áp như hình vẽ :
Ta có :
Mà
Vậy :
b) Áp suất trong bình khi mực thủy ngân trong hai nhánh bằng nhau :
Ta có :
Bài 2. Một áp kế vi sai gồm một ống chữ U đường kính d = 5mm nối hai bình có đường kính D =
50mm với nhau. Máy đựng đầy hai chất lỏng không trộn lẫn với nhau, có trọng lượng riêng gần bằng
nhau : dung dịch rượu êtylic trong nước ( ) và dầu hỏa ( ). Lập quan hệ
giữa độ chênh lệch áp suất của khí áp kế phải đo với độ dịch chuyển của mặt phân cách
các chất lỏng (h) tính từ vị trí ban đầu của nó (khi ). Xác định khi h = 250mm.
Giải
a) Lập mối quan hệ giữa độ chênh lệch áp suất :
Chọn mặt đẳng áp như hình vẽ :
Khi : thì mặt phân cách giữa hai lớp chất lỏng khác nhau ở vị trí cân bằng O :
o

o
o
Theo điều kiện bình thông nhau :
NGUYỄN VĂN TRUNG : 0915192169
Khi : thì mực nước trong bình 1 hạ xuống 1 đoạn và đồng thời mực nước bình 2
tăng lên 1 đoạn . Khi đó mặt phân cách di chuyển lên trên 1 đoạn h so
với vị trí O.
Theo tính chất mặt đẳng áp ta có :
Ta thấy thể tích bình 1 giảm một lượng :
Thể tích trong ống dâng lên một lượng :
Ta có và thay vào (*)
Ta được :
Tính khi h = 250mm
Ta có :
Bài 3. Một bình hở có đường kính d = 500 mm, đựng nước
quay quanh một trục thẳng đứng với số vòng quay không
đổi n = 90 vòng/phút.
a) Viết pt mặt đẳng áp và mặt tự do, nếu mực nước trên
trục bình cách đáy Z
0
= 500mm.
b) Xác định áp suất tại điểm ở trên thành bình cách đáy là
a = 100mm.
c) Thể tích nước trong bình là bao nhiêu, nếu chiều cao
bình là H = 900mm.
Giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ :
a) Viết phương trình mặt đẳng áp và mặt tự do, nếu mực
nước trên trục bình cách đáy Z
0

= 500mm.
Phương trình vi phân mặt đẳng áp :
Trong đó : ; ;
Thay vào phương trình vi phân ta được :
NGUYỄN VĂN TRUNG : 0915192169
Tích phân :

Vậy phương trình mặt đẳng áp là :
Đối với mặt tự do cách đáy Z
0
= 500mm
Tại mặt tự do của chất lỏng thì : x = y = 0 và z = z
0
thay vào (*)
Vậy phương trình mặt tự do sẽ là : hay
b) Xác định áp suất tại điểm trên thành bình cách đáy 1 khoảng a = 100mm :
Phương trình phân bố áp suất :
Trong đó : ; ;
Thay vào ta được :
Tích phân :

Tại mặt tự do (tại O) ta có : x = y = 0 và z = z
0

Thay vào (**)
(**)
Vì
Điểm trên thành bình cách đáy 100mm có :
Áp suất tại điểm này sẽ là :
Bài 4: Một mol khí lí tưởng thực hiện quá trình giãn nở từ trạng

thái 1 (P
0
, V
0
) đến trạng thái 2 (P
0
/2, 2V
0
) có đồ thị trên hệ toạ độ
P-V như hình vẽ. Biểu diễn quá trình ấy trên hệ toạ độ P-T và xác
định nhiệt độ cực đại của khối khí trong quá trình đó.
Giải
- Vì đồ thị trên P-V là đoạn thẳng nên ta có: (*); trong đó và là các hệ số phải tìm.
- Khi V = V
0
thì P = P
0
nên: (1)
1
2
P
V
P
P / 2
V
2 V
0
0
0
0

P
T
0
T0
2P0
1 2
3
4
2T0
P0
Hình 1
NGUYỄN VĂN TRUNG : 0915192169
- Khi V = 2V
0
thì P = P
0
/2 nên: (2)
- Từ (1) và (2) ta có: ;
- Thay vào (*) ta có phương trình đoạn thẳng đó : (**)
- Mặt khác, phương trình trạng thái của 1 mol khí : (***)
- Từ (**) và (***) ta có :
- T là hàm bậc 2 của P nên đồ thị trên T-P là một phần parabol
+ khi P = P
0
và P = P
0
/2 thì T = T
1
=T
2

= ;
+ khi T = 0 thì P = 0 và P = 3P
0
/2 .
- Ta có : ;
cho nên khi thì nhiệt độ chất khí là T = T
max
=
- Đồ thị biểu diễn quá trình đó trên hệ toạ độ T-P là một trong hai đồ thị dưới đây :

Bài 5. Một mol khí lí tưởng thực hiện chu trình 1-2-3-1. Trong đó, quá trình 1 - 2 được biÓu diễn bởi
phương trình T = T
1
(2- bV)bV (với b là một hằng số dương vµ thÓ tÝch V
2
>V
1
). Qúa trình 2 - 3 cã ¸p
suÊt kh«ng ®æi. Qúa trình 3 - 1 biÓu diễn bởi phương trình : T= T
1
b
2
V
2
. Biết nhiệt độ ở trạng thái 1 và 2
là: T
1
và 0,75T
1.
Hãy tính công mà khối khí thực hiện trong chu trình đó theo T

1
.
Giải:
+ Để tính công mà khối khí thực hiện , ta vẽ đồ thị biểu diễn chu trình biến
đổi trạng thái của chất khí trong hệ tọa độ hệ tọa độ (PV)
+ Quá trình biến đổi từ 1-2: Từ T=PV/R và T = T
1
(2- bV)bV
=> P= - Rb
2
T
1
V+2RbT
1

+ Quá trình 2-3 là quá trình đẳng áp P
2
= P
3
+ Quá trình biến đổi từ 3-1 Từ T=PV/R và
T = T
1
b
2
V
2
=>P= Rb
2
T
1

V
+Thay T=T
1
vào phương trình T = T
1
(2- bV)bV
=> V
1
= 1/b => P
1
= RbT
1

+Thay T
2
= 0,75T
1
vào phương trình
T = T
1
(2- bV)bV => V
2
= 3/2b=1,5V
1
vµ V
2
=0,5V
1
(vì V
2

> V
1
nên loại nghiệm V
2
= 0,5V
1
)
+ Thay V
2
= 1,5/b vào P= -Rb
2
T
1
V + 2RbT
1
T
P
P / 2
0
P
0
3 P / 4
0
3 P / 2
0
0
1
2
9 V P / 8 R
V P / R

0
0
0 0
L
Hình 2
NGUYỄN VĂN TRUNG : 0915192169
=> P
2
= P
3
= 0,5RbT
1
=0,5P
1
=> V
3
= 0,5V
1
=1/2b .
+Ta có công A = 0,5(P
1
- P
2
).(V
2
-V
3
) = 0,25RT
1

Bài 6: Một bình có thể tích V chứa một mol khí lí tưởng và có một
cái van bảo hiểm là một xilanh (có kích thước rất nhỏ so với bình)
trong đó có một pít tông diện tích S, giữ bằng lò xo có độ cứng k
(hình 2). Khi nhiệt độ của khí là T
1
thì píttông ở cách lỗ thoát khí
một đoạn là L. Nhiệt độ của khí tăng tới giá trị T
2
thì khí thoát ra
ngoài. Tính T
2
?
Giải
Kí hiệu
1
P
và
2
P
là các áp suất ứng với nhiệt độ
1
T
và
2
T
;
l
∆
là độ co ban đầu của lò xo, áp dụng điều
kiện cân bằng của piston ta luôn có:

Splk
1
.
=∆
;
SpLlk
2
).(
=+∆
=>
SppLk )(.
12
−=
; (1) ;
Vì thể tích của xilanh không đáng kể so với thể tích V của bình nên có thể
coi thể tích của khối khí không đổi và bằng V
áp dụng phương trình trạng thái ta luôn có:
; => ; .
=> ;
=>
)(
1212
TT
V
R
PP −=−
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình






−=
−=−
SPPkL
TT
V
R
PP
)(
)(
12
1212

Như vậy khí thoát ra ngoài khi nhiệt độ của khí lên đến:
RS
kLV
TT
+=
12
Bài 7: Có 1 g khí Heli (coi là khí lý tưởng đơn nguyên tử) thực hiện một chu trình 1 – 2 – 3 – 4 – 1
được biểu diễn trên giản đồ P-T như hình 1. Cho P
0
= 10
5
Pa; T
0
= 300K.

1) Tìm thể tích của khí ở trạng thái 4.
2) Hãy nói rõ chu trình này gồm các đẳng quá trình nào. Vẽ lại chu trình này trên giản đồ P-V và
trên giản đồ V-T (cần ghi rõ giá trị bằng số và chiều biến đổi của chu trình).
3) Tính công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn của chu trình.
Giải:
a) Quá trình 1 – 4 có P tỷ lệ thuận với T nên là quá trình đẳng tích, vậy thể tích ở trạng thái 1 và 4 là
bằng nhau: V
1
= V
4
. Sử dụng phương trình C-M ở trạng thái 1 ta có:
1 1 1
m
P V RT=
µ
, suy ra:
1
1
1
RTm
V
P
=
µ
Thay số: m = 1g; µ = 4g/mol; R = 8,31 J/(mol.K); T
1
= 300K và P
1
= 2.10
5

Pa ta được:
3 3
1
5
1 8,31.300
3,12.10
4 2.10
V m
−
= =

b) Từ hình vẽ ta xác định được chu trình này gồm các đẳng quá trình sau:
1 – 2 là đẳng áp; 2 – 3 là đẳng nhiệt;
300600150
NGUYỄN VĂN TRUNG : 0915192169
3 – 4 là đẳng áp; 4 – 1 là đẳng tích.
Vì thế có thể vẽ lại chu trình này trên giản đồ P-V (hình a) và trên giản đồ V-T (hình b) như sau:
NGUYỄN VĂN TRUNG : 0915192169
c) Để tính công, trước hết sử dụng phương trình trạng thái ta tính được các thể tích: V
2
= 2V
1
=
6,24.10
– 3
m
3
; V
3
= 2V

2
= 12,48.10
– 3
m
3
.
Công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn:
5 3 3 2
12 1 2 1
( ) 2.10 (6,24.10 3,12.10 ) 6,24.10A p V V J
− −
= − = − =
5 3 2
3
23 2 2
2
ln 2.10 .6,24.10 ln 2 8,65.10
V
A p V J
V
−
= = =
5 3 3 2
34 3 4 3
( ) 10 (3,12.10 12,48.10 ) 9,36.10A p V V J
− −
= − = − = −
41
0A
=

vì đây là quá trình đẳng áp.
Bài 8 : Có 0,4g khí Hiđrô ở nhiệt độ , áp suất Pa, được biến đổi trạng thái qua 2 giai đoạn: nén
đẳng nhiệt đến áp suất tăng gấp đôi, sau đó cho dãn nở đẳng áp trở về thể tích ban đầu.
a. Xác định các thông số (P, V, T) chưa biết của từng trạng thái .
b. Vẽ đồ thị mô tả quá trình biến đổi của khối khí trên trong hệ OPV.
Bài giải
- Tóm tắt
- Vậy ta sẽ tìm
+ Tìm : đề cho m, P1, T1, ta sử dụng phương trình Cla-pê-rôn – Men-đê-lê-ép
, với R=8,31J/K.mol
+ Tìm : Từ TT1 sang TT2 biến đổi đẳng nhiệt, ta sử dụng định luật Bôi -lơ – Ma-ri-ốt
+ Tìm : Từ TT2 sang TT3 biến đổi đẳng áp, ta áp dụng định luật Gay-luy-xắc
+ Vẽ đồ thị trong hệ OPV
- Xác định các điểm , , (với các giá trị đề cho và vừa tìm ra) trên hệ OPV
- Nối điểm (1) và (2) bằng đường hyperbol.
- Nối điểm (2) và (3) là đường thẳng vuông góc với OP
1 2
K
Hình 1
NGUYỄN VĂN TRUNG : 0915192169

Bài 9. Hai xi lanh cách nhiệt giống hệt nhau được nối với nhau bằng một
ống cách nhiệt có kích thước nhỏ, trên ống nối có lắp một van K. Lúc
đầu K đóng. Trong xi lanh 1, dưới pit-tông khối lượng M, chứa một
ượng khí lý tưởng đơn nguyên tử có khối lượng mol µ, nhiệt độ T
0
.
Trong xi lanh 2 có pit-tông khối lượng m = M/2 và không chứa khí. Phần
trên của pit-tông trong hai xi lanh là chân không. Sau đó van K được mở
để khí từ xilanh 1 tràn qua xi lanh 2. Xác định nhiệt độ của khí sau khi khí đã cân bằng, biết rằng khi

đó phần trên của pit-tông trong xi lanh 2 vẫn còn khoảng trống. Cho νµ/M = 0,1, với ν là số mol khí;
ma sát giữa pit-tông và xi lanh là rất nhỏ.
Giải
Khi K mở, toàn bộ lượng khí chuyển qua xi lanh 2. Kí hiệu: H
0
– độ cao cột khí trong bình 1 khi K
chưa mở. H và T – độ cao và nhiệt độ cột khí trong xi lanh 2 khi K mở và khí đã cân bằng. Áp dụng
nguyên lí thứ nhất nhiệt động lực học có:
Trước khi K mở, ở xi lanh 1:  MgH
0
= νRT
0

Sau khi K mở và khí đã cân bằng, ở xi lanh 2:
Vậy:
Hay:
Hình 2
M
M
m
V1
V2
Hình 4
M
M
m
V1
F2
(1)
(2)

V2
F1
NGUYỄN VĂN TRUNG : 0915192169
Bài 10. Một xi lanh cách nhiệt nằm ngang được chia thành hai phần nhờ một pit-tông mỏng dẫn nhiệt.
Pit-tông được nối với một thành ở đầu xi lanh bằng một lò xo nhẹ. Ở hai bên của pit-tông đều có ν mol
khí lí tưởng đơn nguyên tử. Xi lanh có chiều dài 2ℓ, chiều dài của lò xo lúc chưa dãn là ℓ/2. Ở trạng
thái ban đầu lò xo bị dãn một đoạn là X và nhiệt độ của khí trong hai phần của xi lanh là T. Sau đó,
người ta đục một lỗ nhỏ qua thành của pit-tông. Xác định độ biến thiên nhiệt độ của khí trong xi lanh
ΔT sau khi khí trong xi lanh đã cân bằng. Bỏ qua nhiệt lượng hấp thụ bởi xilanh, pit-tông, lò xo và ma
sát giữa pit-tông và xi lanh.
Giải:
Ở trạng thái đầu, lực đàn hồi của lò so cân bằng với lực tác động lên pit-tông gây ra bởi độ chênh lệch
về áp suất ở hai bên của pit-tông.

Sau khi pit-tông thủng, áp suất hai bên pit-tông cân bằng, độ dãn của lò xo bằng không. Toàn bộ năng
lượng từ thế năng đàn hồi dự trữ trong lò xo biến thành nội năng của khí, nên:

Vậy:

Bài 11. Trong một xilanh cách nhiệt khá dài nằm ngang có nhốt 1 mol
khí lí tưởng đơn nguyên tử có khối lượng m nhờ hai pittông cách nhiệt có
khối lượng bằng nhau và bằng M có thể chuyển động không ma sát trong
xilanh (Hình 4). Lúc đầu hai pittông đứng yên, nhiệt độ của khí trong
xilanh là T
o
. Truyền cho hai pittông các vận tốc v
1
, v
2
cùng chiều (v

1
=3v
o
,
v
2
=v
o
). Tìm nhiệt độ cực đại mà khí trong xilanh đạt được, biết bên ngoài là chân không.
Giải:
- Đối với pittông (1): lực tác dụng vào pittông theo phương ngang là lực đẩy F
1
ngược chiều v
1
nên
pittông (1) chuyển động chậm dần đều.
- Đối với pittông (2): tương tự, lực đẩy F
2
cùng chiều v
2
nên pittông (2) chuyển động nhanh dần đều.
- Trong quá trình hai pittông chuyển động, khối khí nhốt trong xi lanh
chuyển động theo.
- Chọn hệ quy chiếu gắn với pittông (2), vận tốc của pittông (1) đối
với pittông (2) là:
→ pittông (1) chuyển động về phía pittông (2) chậm dần rồi
dừng lại lúc t
o
, sau đó t>t
o

thì pittông (1) chuyển động xa dần với pittông (2) và khí lại giãn nở.
- Gọi G là khối tâm của khối khí trong xi lanh lúc t<t
o
: khí bị nén, G chuyển động về phía pittông (2).
P
T
0
T0
2P0
1 2
3
4
2T0
P0
Hình 1
NGUYỄN VĂN TRUNG : 0915192169
- Lúc t>t
o
: khí bị giãn, G chuyển động ra xa dần pittông (2). Vậy ở nhiệt độ t
o
thì v
G
=0 → cả hai pittông
cùng khối khí chuyển động cùng vận tốc v.
- Định luật bảo toàn động lượng ta có:
M3v
o
+Mv
o
=(2M+m)v→ v=4Mv

o
/(2M+m).
- Động năng của hệ lúc đầu: W
đ1
= .
- Động năng của hệ lúc ở t
o
là: W
đ2
= .
→ Độ biến thiên động năng: ∆W=W
đ2
-W
đ1
= .
- Nội năng của khí: .
- Vì ∆U=∆W nên (do n=1)
Bài 12. Có 1 g khí Heli (coi là khí lý tưởng đơn nguyên tử) thực hiện
một chu trình 1 – 2 – 3 – 4 – 1 được biểu diễn trên giản đồ P-T như hình 1.
Cho P
0
= 10
5
Pa; T
0
= 300K.
1) Tìm thể tích của khí ở trạng thái 4.
2) Hãy nói rõ chu trình này gồm các đẳng quá trình nào. Vẽ lại chu
trình này trên giản đồ P-V và trên giản đồ V-T (cần ghi rõ giá trị
bằng số và chiều biến đổi của chu trình).

3) Tính công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn của chu trình.
Giải:
a) Quá trình 1 – 4 có P tỷ lệ thuận với T nên là quá trình đẳng
tích, vậy thể tích ở trạng thái 1 và 4 là bằng nhau: V
1
= V
4
. Sử dụng phương trình C-M ở trạng thái 1 ta
có:
, suy ra:
Thay số: m = 1g; µ = 4g/mol; R = 8,31 J/(mol.K); T
1
= 300K và P
1
= 2.10
5
Pa ta được:

b) Từ hình vẽ ta xác định được chu trình này gồm các đẳng quá trình sau:
1 – 2 là đẳng áp; 2 – 3 là đẳng nhiệt;
3 – 4 là đẳng áp; 4 – 1 là đẳng tích.
Vì thế có thể vẽ lại chu trình này trên giản đồ P-V (hình a) và trên giản đồ V-T (hình b) như sau:
300600150
NGUYỄN VĂN TRUNG : 0915192169
c) Để tính công, trước hết sử dụng phương trình trạng thái ta tính được các thể tích:
V
2
= 2V
1
= 6,24.10

– 3
m
3
; V
3
= 2V
2
= 12,48.10
– 3
m
3
.
Công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn:
vì đây là quá trình đẳng áp.
Bài 13. Một xylanh đặt thẳng đứng, bịt kín hai đầu, được chia làm hai phần bởi một pittông nặng cách
nhiệt. Cả hai bên pittông đều chứa cùng một lượng khí lý tưởng. Ban đầu khi nhiệt độ khí của hai phần
như nhau thì thể tích phần khí ở trên pittông gấp n = 2 lần thể tích khí ở phần dưới pittông. Hỏi nếu
nhiệt độ của khí ở phần trên pittông được giữ không đổi thì cần phải tăng nhiệt độ khí ở phần dưới
V1, P1
V2, P2
V1, P1
V2, P2
NGUYN VN TRUNG : 0915192169
pittụng lờn bao nhiờu ln th tớch khớ phn di pittụng s gp n = 2 ln th tớch khớ phn trờn
pittụng ? B qua ma sỏt gia pittụng v xylanh.
Gii:
Lng khớ 2 phn xylanh l nh nhau nờn:
2
'
2

'
2
1
'
1
'
1
1
22
1
11
T
VP
T
VP
T
VP
T
VP
R.
m
====
à
Vỡ nờn
Theo gi thit: , suy ra:
(1)
tớnh
'
'
1

2
P
P
ta da vo cỏc nhn xột sau:
1. Hiu ỏp lc hai phn khớ lờn pittụng bng trng lng Mg ca pittụng:

S)PP(MgS)PP(
12
'
1
'
2
==

(2)
2. T phng trỡnh trng thỏi ca khớ lớ tng phn trờn ca pittụng:
P
1
V
1
= P
1

V
1


1
'
1

'
11
V
V
.PP
=
Thay vo (2), ta suy ra:
(3)
3. tỡm
1
'
1
V
V
ta chỳ ý l tng th tớch 2 phn khớ l khụng i:
V
1
+V
2
= V
1

+V
2



Thay vo (3) ta c:
Thay vo (1) ta cú kt qu: .
Bi 14: Một lợng khí lý tởng ở 27

0
C đợc biến đổi qua 2 giai đoạn: Nén đẳng nhiệt đến áp suất gấp đôi,
sau đó cho giãn nở đẳng áp về thể tích ban đầu.
1. Biểu diễn quá trình trong hệ toạ độ p-V và V-T.
2. Tìm nhiệt độ cuối cùng của khí.
Gii:
1)Theo bài ra ta vẽ đợc đồ thị nh 2 hình dới đây
2)Từ (1) đến (2) là quá trình đẳng nhiệt nên ta có:
p
1
V
1
=p
2
V
2
Với p
1
=p
2

p
2 3
p2=2p1
p1 1
0 V1=V3
V
V1=V3 1 3
2
T

0 T1=T2
NGUYỄN VĂN TRUNG : 0915192169
Tõ (2) ®Õn (3) lµ qu¸ tr×nh gi·n ®¼ng ¸p nªn ta cã: V
1
=V
3
vµ:
KÕt hîp (a) vµ (b) ta cã:T
3
= T
2
=2.300=600
0
K
NGUYỄN VĂN TRUNG : 0915192169
Bài 15: Bơm pittông ở mỗi lần bơm chiếm một thể tích khí xác định. Khi hút khí ra khỏi bình nó thực
hiện 4 lần bơm. Ap suất ban đầu trong bình bằng áp suất khí quyển P
0
. Sau đó, cũng bơm này bắt đầu
bơm khí từ khí quyển vào bình và cũng thực hiện 4 lần bơm. Khi đó, áp suất trong bình lớn gấp đôi áp
suất khí quyển. Tìm hệ thức giữa thể tích làm việc của bơm và thể tích bình.
Giải:
Khi hút khí trong bình sau lần bơm đầu tiên áp suất trong bình trở thành P
1
.
Ta có: P
0
. V = P1 (V+V
0
)

Với V là thể tích của bình, V
0
là thể tích làm việc của bơm pittông.
Vậy sau 4 lần bơm áp suất trong bình là:
x
y
0
0,1
0,44
0,5
0,8
1
Khi bơm khí vào trong bình sau 4 lần bơm trong bình thiết lập một áp suất bằng P.
NGUYN VN TRUNG : 0915192169
Theo iu kin ca bi toỏn: P = 2P
0
, t
Ta cú phng trỡnh:
Dng th ca cỏc hm: y = 2 - 4x v y = nh hỡnh v.
T giao im ca hai th ta tỡm c x 0,44 ngha l:
Baứi 16 . Trên giản đồ pV đối với một khối lợng khí lý tởng nào đó, gồm hai quá trình đẳng nhiệt cắt hai
quá trình đẳng áp tại các điểm 1, 2, 3, 4 (xem hình vẽ). Hãy xác định tỷ số
nhiệt độ T
3
/T
1
của chất khí tại các trạng thái 3 và 1, nếu biết tỷ số thể tích
V
3
/V

1
= . Cho thể tích khí tại các trạng thái 2 và 4 bằng nhau.
Giải:
Xét hai đoạn đẳng áp với phơng trình có dạng T/V = const. Nghĩa là ta có:
và (1)
Nhng do T
2
= T
3
; T
1
= T
4
(do quá trình 2-3 và 4-1 là đẳng nhiệt) và V
2
=V
4

(theo giả thiết), ta có:
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: và
Nhân hai phơng trình trên với nhau, ta đợc:
Từ đó suy ra:
Baứi 17: Trên hình vẽ cho chu trình thực hiện bởi n mol khí lý tởng, gồm
một quá trình đẳng áp và hai quá trình có áp suất p phụ thuộc tuyến tính
vào thể tích V. Trong quá trình đẳng áp 1-2, khí thực hiện một công A và
nhiệt độ của nó tăng 4 lần. Nhiệt độ tại 1 và 3 bằng nhau. Các điểm 2 và 3
nằm trên đờng thẳng đi qua gốc toạ độ. Hãy xác định nhiệt độ khí tại
điểm 1 và công mà khối khí thực hiện trong chu trình trên
Giải:

Công do khí thực hiện trong quá trình đẳng áp 1-2 bằng:
Vì : và
nên :
Suy ra:
Công mà khí thực hiện trong cả chu trình đợc tìm bằng cách tính diện tích tam giác 123 và bằng:

NGUYN VN TRUNG : 0915192169
Từ các phơng trình trạng thái ở trên ta tìm đợc: và
Do đó :
Vì các điểm 2 và 3 nằm trên đờng thẳng đi qua gốc toạ độ nên:
Mặt khác, cũng từ phơng trình trạng thái ta có: và
Từ đây suy ra:
hay
Vậy công mà khối khí thực hiện trong chu trình là: .
Baứi 15: Một mol khí hêli thực hiện một chu trình nh hình vẽ gồm các quá
trình: đoạn nhiệt 1-2, đẳng áp 2-3 và đẳng tích 3-1. Trong quá trình đoạn
nhiệt hiệu nhiệt độ cực đại và cực tiểu của khí là T. Biết rằng trong quá
trình đẳng áp, khí toả ra một nhiệt lợng bằng Q. Hãy xác định công A do
khối khí thực hiện trong chu trình trên.
Gii:
Trong quá trình đoạn nhiệt 1-2, T
1
là nhiệt độ cực đại, T
2
là nhiệt độ cực
tiểu, bởi vậy có thể viết:
Trong quá trình đẳng áp 2-3, áp dụng nguyên lý I nhiệt động lực học, ta
có:
(1)
với C

V
= 3R/2. Từ (1) và các phơng trình trạng thái của các trạng thái 2 và 3, ta có:
Trên đoạn đẳng tích 3-1, khí không thực hiện công, còn độ tăng nội năng của khí là do nhiệt lợng mà
khí nhận đợc:

Vậy công mà khối khí thực hiện sau một chu trình là: .
Baứi 18: Một khối khí hêli ở trong một xilanh có pittông di chuyển đợc. Ngời ta đốt nóng khối khí này
trong điều kiện áp suất không đổi, đa khí từ trạng thái 1 tới trạng thái 2. Công mà khí thực hiện trong
quá trình này là A
1-2
. Sau đó, khí bị nén theo quá trình 2-3, trong đó áp
suất p tỷ lệ thuận với thể tích V. Đồng thời khối khí nhận một công là A
2-3
(A
2-3
> 0). Cuối cùng khi đợc nén đoạn nhiệt về trạng thái ban đầu. Hãy
xác định công A
31
mà khí thực hiện trong quá trình này.
Giải:
Trong quá trình đẳng áp 1-2, công do khối khí thực hiện là:
(1)
Trong quá trình 2-3, công do chất khí nhận vào có trị số bằng:
NGUYN VN TRUNG : 0915192169

Vì trên giản đồ pV hai điểm 2 và 3 nằm trên đờng thẳng đi qua gốc toạ độ, nên ta có:
hay
Do đó: (2)
Trong quá trình đoạn nhiệt 3-1, độ tăng nội năng của khối khí bằng công mà khối khí nhận đợc:
(3)

Từ (1) và (2) suy ra:
Thay biểu thức trên vào (3), ta đợc:
Baứi 19: Cho một máy nhiệt hoạt động theo chu trình gồm các quá trình:
đẳng nhiệt 1-2, đẳng tích 2-3 và đoạn nhiệt 3-1 (xem hình vẽ). Hiệu suất
của máy nhiệt này là

và hiệu nhiệt độ cực đại và cực tiểu của khí trong
chu trình bằng

T. Biết rằng chất công tác trong máy nhiệt này là n mol
khí lý tởng đơn nguyên tử. Hãy xác định công mà khối khí đó thực hiện
trong quá trình đẳng nhiệt.
Gii:
Trong đề bài đã cho hiệu suất của chu trình, nên trớc hết ta phải tìm hiểu
xem quá trình nào là nhận nhiệt và quá trình nào toả nhiệt. Trong quá
trình đẳng nhiệt 1-2, khí thực hiện công A (thể tích tăng), và vì nội năng không đổi, nên quá trình này
toả nhiệt lợng mà ta ký hiệu là Q
1
(Q
1
=A). Trong quá trình đẳng tích 2-3, khi thể tích không đổi, áp suất
giảm. Điều này xảy ra là do nhiệt độ khí giảm và trong trờng hợp đó khí toả một nhiệt lợng là Q
2
. Trong
quá trình đoạn nhiệt 3-1, khí không nhận cũng không toả nhiệt và do thể tích giảm nên khí nhận công
và nhiệt độ của nó tăng. Do đó, tại 3 khí có nhiệt độ nhỏ nhất là T
mim
, còn nhiệt độ lớn nhất T
max
của

khối khí đạt đợc ở quá trình đẳng nhiệt 1-2. Do đó:

Theo định nghĩa, hiệu suất của chu trình bằng:
Mà nh trên đã nói Q
1
= A. Mặt khác, trong quá trình 2-3, nhiệt lợng toả ra đúng bằng độ tăng nội năng:

Thay Q
1
và Q
2
vào công thức tính hiệu suất, ta đợc:
Suy ra:
Baứi 20: Cho hiệu suất của chu trình 1-2-4-1 bằng
1
và của chu trình 2-3-4-2 bằng
2
(xem hình vẽ).
Hãy xác định hiệu suất của chu trình 1-2-3-4-1, biết rằng các quá trình 4-
1, 2-3 là đẳng tích, quá trình 3-4 là đẳng áp, còn trong các quá trình 1-2;
2-4 áp suất p phụ thuộc tuyến tính vào thể tích V. Các qúa trình nói trên
đều đợc thực hiện theo chiều kim đồng hồ. Biết rằng chất công tác ở đây
là khí lý tởng.
Gii:
Xét chu trình 1-2-4-1. Trong quá trình 1-2, khí nhận một nhiệt lợng mà ta
ký hiệu là Q
1
. Trong quá trinh 2-4, khí toả một nhiệt lợng là Q
2
. Trong quá

H
H
F
(2)

(1)

(3)

(4)

V

T

0

V2

V1

T1

T2

NGUYN VN TRUNG : 0915192169
trình đẳng tích 4-1, khí nhận một nhiệt lợng là Q
3
. Công do khí thực hiện trong cả chu trình là A
1

. Theo
định nghĩa hiệu suất:
Mặt khác, , suy ra:
Xét chu trình 2-3-4-2, trong các quá trình 2-3 và 3-4, khí đều toả nhiệt. Khí chỉ nhận nhiệt trong quá
trình 4-2 và lợng nhiệt nhận vào này hiển nhiên là bằng Q
2
. Vậy hiệu suất của chu trình này bằng:

trong đó A
2
là công do khí thực hiện trong chu trình này. Dùng biểu thức của Q
2
nhận đợc ở trên ta có
thể viết:
Hiệu suất của chu trình 1-2-3-4-1 bằng:
Rút A
1
và A
2
từ các biểu thức của và , rồi thay vào biểu thức trên, ta đợc: .
Bi 21 . Cho mt ng tit din S nm ngang c ngn vi bờn
ngoi bng 2 pittụng Pittụng th nht c ni vi lũ xo nh hỡnh
v. Ban u lũ xo khụng bin dng, ỏp sut khớ gia 2 pittụng bng
ỏp sut bờn ngoi p
0
. Khong cỏch gia hai pittụng l H v bng
chiu di hỡnh tr. Tỏc dng lờn pittụng th 2 mt lc F nú
chuyn ng t t sang bờn phi Tớnh F khi pittụn th 2 dng li biờn phi ca ng tr.
Gii:
iu kin cõn bng : Piston trỏi : p

0
S pS kx = 0 (1)
x dch chuyn ca piston trỏi, p ỏp sut khớ gia hai piston.
Piston phi : F + pS p
0
S = 0 (2)
nh lut Bụil : p
0
SH = p(2H x)S (3)
T (3) (4)
T (1) v (2) F = kx, thay vo (4): . Thay vo (2)

Phng trỡnh cú nghim l:
Bi 22. Mt lng khớ bin i theo chu trỡnh c biu
din trờn th hỡnh bờn. Bit :
p
1
= p
3
; V
1
=1m
3
, V
2
= 4m
3
;
T
1

= 100K v T
4
= 300K.
Tớnh V
3
= ?
Gii:
Vỡ p
1
= p
3
nờn ta cú:
on 2- 4 cú dng mt on thng nờn cú dng:
T
0 V
2T1
T1
2
3
1
P
T
0
T0
2P0
1 2
3
4
2T0
P0

Hình 1
H
H
F
NGUYỄN VĂN TRUNG : 0915192169
V = a.T + b với a,b là các hằng số
+ Khi V = V
2
, T =100 thì
V
2
= a.100 + b (2)
+ Khi V = V
4
, T = 300 thì : V
4
= a.300 + b (3)
+ Từ (2) và (3) ta có: a = - 3/200 và b = 5,5
+ Khi T = T
3
; V = V
3
thì V
3
=
Vậy V
3
= 2,2m
3

Câu 23: Cho n mol khí lí tưởng biến đổi trạng thái được biểu diễn
như hình vẽ. Các quá trình 1 2 và biểu thị bằng các đoạn
thẳng. Quá trình biểu thị bằng công thức:
.
Trong đó T
1
= 77°C, b là hằng số chưa biết. Tìm công của khối khí
thực hiện trong một chu trình
Giải:
Từ phương trình :
Ta thấy P là hàm bậc nhất của V với hệ số a < 0.
Đồ thị của nó được biểu diễn trong hệ trục (P,V)
có dạng đoạn thẳng (hình vẽ)
Từ phương trình trạng thái ứng với các đẳng quá
trình ta xác định được:
Chuyển sang hệ toạ độ (P,V) như hình vẽ

: Khí sinh công :

: Khí nhận công
Vậy công do khí thực hiện được trong một chu trình:

Bài 24 . Có 1 g khí Heli (coi là khí lý tưởng đơn nguyên tử) thực
hiện một chu trình 1 – 2 – 3 – 4 – 1 được biểu diễn trên giản đồ P-T
như hình 1. Cho P
0
= 10
5
Pa; T
0

= 300K.
1. Tìm thể tích của khí ở trạng thái 4.
NGUYỄN VĂN TRUNG : 0915192169
2. Hãy nói rõ chu trình này gồm các đẳng quá trình nào. Vẽ lại chu trình này trên giản đồ P-V và trên
giản đồ V-T (cần ghi rõ giá trị bằng số và chiều biến đổi của chu trình).
3. Tính công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn của chu trình.
Giải:
1. Quá trình 1 – 4 có P tỷ lệ thuận với T nên là quá trình đẳng tích, vậy thể tích ở trạng thái 1 và 4 là
bằng nhau: V
1
= V
4
. Sử dụng phương trình C-M ở trạng thái 1 ta có:
, suy ra:
Thay số: m = 1g; µ = 4g/mol; R = 8,31 J/(mol.K); T
1
= 300K và P
1
= 2.10
5
Pa ta được:

2. Từ hình vẽ ta xác định được chu trình này gồm các đẳng quá trình sau:
1 – 2 là đẳng áp; 2 – 3 là đẳng nhiệt;
3 – 4 là đẳng áp; 4 – 1 là đẳng tích.
Vì thế có thể vẽ lại chu trình này trên giản đồ P-V (hình a) và trên giản đồ V-T (hình b) như sau:
300600150
NGUYỄN VĂN TRUNG : 0915192169
3. Để tính công, trước hết sử dụng phương trình trạng thái ta tính được các thể tích:
V

2
= 2V
1
= 6,24.10
– 3
m
3
; V
3
= 2V
2
= 12,48.10
– 3
m
3
.
Công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn:
vì đây là quá trình đẳng áp.
Bµi tËp
Bài1. Chu tr×nh thùc hiÖn bëi n mol khÝ lý tëng gåm hai qu¸ tr×nh trong ®ã
¸p suÊt p phô thuéc tuyÕn tÝnh vµo thÓ tÝch V vµ mét qu¸ tr×nh ®¼ng tÝch
(xem h×nh ). Trong qu¸ tr×nh ®¼ng tÝch 1-2, ngêi ta truyÒn cho khÝ mét nhiÖt
NGUYN VN TRUNG : 0915192169
lợng Q và nhiệt độ của nó tăng 4 lần. Nhiệt độ tại các trạng thái 2 và 3 bằng nhau. Các điểm 1 và 3 nằm
trên đờng thẳng đi qua gốc toạ độ. Hãy xác định nhiệt độ của khí ở trạng thái 1 và công mà khí thực
hiện trong chu trình trên.
Bi 2. Một khối khí hêli ở trong một xilanh dới một pittông di chuyển đợc. Ngời ta nén khí theo quá
trình đoạn nhiệt đa nó từ trạng thái 1 tới trạng thái 2 (xem hình ). Trong quá trình đó, khối khí nhận một
công là A
12

(A
12
> 0). Sau đó khí đợc giãn đẳng nhiệt từ 2 tới 3. Và cuối cùng, khí đợc nén từ 3 về 1 theo
quá trình trong đó áp suất p tỷ lệ thuận với thể tích V. Hãy xác định công
A
23
mà khí thực hiện trong quá trình giãn nở đẳng nhiệt 2-3, nếu trong chu
trình 1-2-3-1 khí thực hiện một công bằng A.
Bi 3. Trong bỡnh di pitston cú mt lng nit lng v hi ca nú
nhit T
1
=78K (im 1 trờn hỡnh 3). Piston t t dch chuyn ra xa,
tng th tớch ca bỡnh nhng vn gi nguyờn nhit (on 1-2-3). Ti
im 3 ỏp sut ca bỡnh bng 686 mm Hg. Piston c gi li v h
nhit ca bỡnh xung cũn 76K, ỏp sut khi ny gim cũn 657 mm
Hg (im 4). Hi ỏp sut ca bỡnh s bng bao nhiờu nu nh lỳc ny
y t t piston tr li v trớ ban u. Khi lng nit lng trong bỡnh
ban u bng bao nhiờu? Khi lng mol ca nit l M =28g/mol. Mt
ca thy ngõn l
= 13.6 g/cm3.
Bi 4: Ngi ta tỡm thy trong d liu ca Lord Kelvin mt gin
PV ca mt mỏy nhit chu trỡnh kớn (Hỡnh 3). Quỏ trỡnh 1-2 ng
ỏp, 2 -3 on nhit, 3 -1 ng nhit. Cựng vi thi gian mc b bay
mu v cỏc ta khụng cũn rừ. Bit rng mỏy dựng 2 mol khớ
l{ tng (He). T l ca cỏc trc: trc ỏp sut : 1 ụ nh = 1 atm, trc
th tớch: 1 ụ nh = 1 lit. 1) Hóy xỏc nh li ta , v ỏp sut cc
i trong chu trỡnh. 2) Xỏc nh nhit ln nht v nh nht ca
khớ trong chu trỡnh. 3) Tớnh cụng At trong quỏ trỡnh ng nhit 3-1
4) Xỏc nh hiu sut Bit rng hng s khớ : R = 0.082 l.atm/
(mol.K)

Bi 5: Cú n mol khớ n nguyờn t thc hin mt chu trỡnh kớn c
mụ t Hỡnh 4.Chu trỡnh gm cú ng thng ng 1-2, ng nm
ngang 3-1 v p bc thang 2-3,vi mi bc thỡ th tớch v ỏp sut
thay i s ln l nh nhau (s ln õy hiu l t l ca th tớch
trờn th tớch ban u, ỏp sut trờn ỏp sut ban u - xem hỡnh v). T
s ca ỏp sut ln nht v nh nht l k v t s ca th tớch ln nht
v nh nht cng l k. Tỡm hiu sut ca ng c nhit hot ng
theo chu trỡnh ny?
Bi 6: Mt lng khớ lý tng thc hin chu trỡnh Carno:
1 2 3 4 1 (hỡnh 2) cú h s hiu sut nhit ng l
0
. Chu trỡnh
chia lm 2 phn phn th nht 1 2 4 1 v phn th hai:
4 2 3 4 (quỏ trỡnh 4 2 din ra khi tng ỏp sut v th tớch khớ v
s ph thuc ỏp sut vo th tớch trờn on ny l tuyn tớnh). Bit rng
h s hiu sut nhit ng chu trỡnh th nht l
1
. Tỡm h s hiu sut

2
ca chu trỡnh th hai. (.

NGUYỄN VĂN TRUNG : 0915192169
1/ 28.6* Biết khối lượng của 1 mol nước kg và 1mol có phân tử. Xác định số
phân tử có trong 200 cm
3
nước. Khối lượng riêng của nước là kg/m
3
.
Giải

Khối lượng của nước
Khối lượng của một phân tử nước :
Số phân tử nước phải tìm:
phân tử.
2/ 28.7*. Một lượng khí khối lượng 15kg chứa 5,64.10
26
phân tử. Phân tử khí này gồm các nguyên tử
hidro và cacbon. Hãy xác định khối lượng của nguyên tử cacbon và hidro trong khí này. Biết một mol
khí có phân tử.
Giải
Số mol khí : (N là số phân tử khí)
Mặt khác, . Do đó: kg/mol (1)
Trong các khí có hiđrô và cácbon thì CH
4
có: kg/mol (2)
Từ (2) và (1) ta thấy phù hợp.
Vậy khí đã cho là .
Khối lượng của phân tử hợp chất là: =
Khối lượng của nguyên tử hidro là:
Khối lượng của nguyên tử hiđrôlà: kg.
Khối lượng của nguyên tử cacbon là: kg.
3/ 29.6. Một lượng khí ở nhiệt độ 18
o
C có thể tích 1m
3
và áp suất atm. Người ta nén đẳng nhiệt khí với
áp suất 3,5atm. Tích thể tích khí nén.
Giải
.
4/ 29.7. Người ta điều chế khí hidro và chứa một bình lớn dưới áp suất 1atm ở nhiệt độ 20

o
C. Tính thể
tích khí, lấy từ bình lớn ra để nạp vào bình nhỏ thể tích là 20lit dưới áp suất 25atm. Coi nhiệt độ không
đổi.
Giải
(lít)
5/ 29.8. Tính khối lượng khí oxi đựng trong bình thể tích 10 lit dưới áp suất 150atm ở nhiệt độ 0
o
C.
Biết ở đều kiện chuẩn khối lượng riêng của oxi là 1,43 kg/m
3
.
NGUYỄN VĂN TRUNG : 0915192169
Giải
Biết và suy ra (1)
Mặt khác (2)
(vì nhiệt độ của khí bằng nhiệt độ ở điều kiện chuẩn).
Từ (1) và(2) suy ra:
và
29.9*. Ở chính giữa một ống thủy tinh nằm ngang, tiết diện nhỏ, chiều dài L = 100cm, hai đầu bịt kín
có một cột thủy ngân dài h = 20cm. Trong ống có không khí. Khi đặt ống thẳng đứng cột thủy ngân
dịch chuyển xuống dưới một đoạn l = 10cm. Tìm áp suất của không khí trong ống khi ống nằm ngang
ra cmHg và Pa.
Coi nhiệt độ không khí trong ống không đổi và khối lượng riêng thủy ngân là ρ = 1,36.10
4
kg/m
3
.
Giải
Trạng thái 1 của mỗi lượng khí ở hai bên cột thuỷ ngân (ống nằm ngang)

: Trạng thái 2 (ống đứng thẳng).
+ Đối với lượng khí ở trên cột thuỷ ngân:
+ Đối với lượng khí ở dưới cột thuỷ ngân:
Áp suất khí ở phần dưới bằng áp suất khí ở phần trên cộng với áp suất do cột thuỷ ngân gây ra. Do đó
đối với khí ở phần dưới, ta có:
Áp dụng ĐL Bôilơ–Maríôt cho từng lượng khí. Ta có:
+ Đối với khí ở trên: (1)
+ Đối với khí ở dưới: (2)
Từ (1) & (2):
Thay giá trị P
2
vào (1) ta được:

6/ 30.6. Một bình kín chứa khí oxi ở nhiệt độ 20
0
C và áp suất 10
5
Pa. Nếu đem bình phơi nắng ở nhiêt độ 40
0
C thì
áp suất trong bình sẽ là bao nhiêu ?
Giải

NGUYỄN VĂN TRUNG : 0915192169
7/ 30.7. Một săm xe máy được bơm căng không khí ở nhiệt độ 20
0
C và áp suất 2 atm. Hỏi săm có bị nổ không
khi để ngoài nắng nhiệt độ 42
0
C? Coi sự tăng thể tích của săm là không đáng kể và biết săm chỉ chịu được áp

suất tối đa là 2,5 atm.
Giải
. Săm không bị nổ.
8/ 30.8. Một bình thủy tinh kín chịu nhiệt chứa không khí ở điều kiện chuẩn. Nung nóng bình lên tới 200
0
C. Áp
suất không khí trong bình là bao nhiêu? Coi sự nở vì nhiệt của bình là không đáng kể.
Giải

9/ 30.10
*
. Một chai chứa không khí được nút kín bằng một nút có trọng lượng không đáng kể, tiết diện 2,5cm
2
.
Hỏi phải đun nóng không khí trong chai lên tới nhiệt độ tối thiêu bằng bao nhiêu để nút bật ra ? Biết lực ma sát
giữa nút và chai có độ lớn là 12 N, áp suất ban đầu của không khí trong chai bằng áp suất khí quyển và bằng
9,8.10
4
Pa, nhiệt độ ban đầu của không khí trong chai là -3
0
C.
Giải
Trước khi nút bật ra, thể tích khí trong chai không đổi và quá trình đun nóng là quá trình đẳng tích. Tại
thời điểm nút bật ra, áp lực không khí trong chai tác dụng lên nút phải lớn hơn áp lực của khí quyển và
lực ma sát:
Do đó:
Vì quá trình là đẳng tích nên:

Phải đun nóng tới nhiệt độ ít nhất là T
2

= 402 K hoặc : t
2
= 129
0
C.
10/ 31.6. Một lượng khí đựng trong một xi lanh có pittông chuyển động được. Các thông số trạng thái của lượng
khí này là: 2 atm, 300K. Khi pit tong nén khí, áp suất của khí tăng lên tới 3,5 atm, thể tích giảm còn 12l. Xác
định nhiệt độ của khí nén.
Giải


11/ 31.7. Một bóng thám không được chế tạo để có thể tăng bán kính lên tới 10m khi bay ở tầng khí quyển có áp
suất 0,03atm và nhiệt độ 200K. Hỏi bán kímh của bong khi bơm, biêt bóng được bơm khí ở áp suất 1 atm và nhiệt
độ 300K ?
Giải

12/ 31.8. Tính khối lượng riêng của không khí ở nhiệt độ 100
0
C và áp suất 2.10
5
Pa. Biết khối lượng riêng của
không khí ở 0
0
C và 1,01.10
5
Pa là 1,29kg/m
3
.
Giải

Thể tích của 1 kg không khí ở điều kiện chuẩn là: