Phương pháp hàm số trong chứng minh BĐT và cực trị
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (341.8 KB, 36 trang )
Cẩm nang ôn luyện thi Đại học Toán học – Nguyễn Tất Thu.
Bài 6.4.3.
− + ≤
! !− − ≤ + − ≤ − +
Hướng dẫn giải
"#$
%
% %
%
&
=
− + = ⇔ − + = ⇔
÷
=
'
"#$
%− + >
'(
) = − + = + −
$
% < ≤
*+
)
+ −
=
− +
+,-$./0
"#$
)
% % ) !
= ⇒ = ⇒ < = ≤ < − +
"#$
%≠
(
( )
( )
( )
1
) 1
2
1
1
+ −
+ −
= ⇒ = = =
− +
− +
34
( )
1
2
1
+ −
= ∈
− +
¡
56
( ) ( )
! !
! ) !
)
− − − +
− − − +
≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
78+
% %
< ≤ ⇔ < ≤
9
( ) ( )
! !
! ) !
− − − +
− − ≤ ≤ ≤ ≤ − +
Bài 6.4.4.
%
&
≥ ≥
+ = −
*':7;/:/<)=$
> = +
Hướng dẫn giải
?(
= ≥
@+A4#)$
( )
−
+ = − ⇒ =
+
B'
& C % D ED1 E %
&
+
≥ ⇒ − + ≤ ⇔ − − − ≤ ⇔ ≤ ≤
*+
( )
D ED E !
>
+ − − −
= + = = +
+ +
FG
!
2DE H I
− − +
= ∈ =
+
+
%
Cẩm nang ôn luyện thi Đại học Toán học – Nguyễn Tất Thu.
&
&
2JDE
D E
− + + −
=
+
B'
( )
( ) ( )
&
& 1 C % H− + + − = − + − + − + > ∀ ∈
H-;
2JDE % H> ∀ ∈
*A+'56
!
> 2
K
+ +
= + =
÷
856@
K
&
+
=
=
( )
> 2
= + =
856@
&
&
=
=
Bài 6.4.5.
) % )> ≠
) )
) )
+
+
>
÷ ÷
+
Hướng dẫn giải
FGI
( ) ( )
( )
( )
( )
)
2J
)
2 72 ) 7 7
) ) 2 )
+
+ + + −
= ⇒ = + ⇒ = +
÷ ÷ ÷
+ + + +
( ) ( )
)
2J 7 2
)
+ −
⇒ = +
÷
+ +
?(
( ) ( )
( )
( )
( )
)
)
7 J %
)
)
−
+ −
= + ⇒ = − <
÷
+ +
+ +
$
( )
:)#
( )
7 %
→+∞
=
( ) ( )
% % 2J %⇒ > ∀ > ⇒ >
$
( )
2
L)#9
M%I E+∞
( ) ( )
)
2 2 % %
)
⇒ > = ∀ >
÷
Bài 6.4.6.
D E & D E7 N− + − − − + − ≥
D I%E DI E∀ ∈ −∞ ∪ +∞
Hướng dẫn giải
34
2DE & D E7 = + − + +
;
%= − >
*+
&
2JDE & &7 &7
1
+
= + − − = − −
÷
&
2JJDE %
1
= + − = − ≥
÷
÷
;
%∀ >
O$
2JDE % = ⇔ =
*A+$
2DE 2D E N≥ =
D0E
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
Bài 6.4.7.;
PQ
R+
E
P Q P Q + + + + + > π
)E
( ) ( )
P Q P Q
+ + + + + > π
Hướng dẫn giải
E
%+ > ∀ >
)@4
2DE = + −
)E
%+ > ∀ >
)@4
2DE = + −
Bài 6.4.8.
% S < < ≤ ≤
S &+ + ≤
N
S
+ + ≤
Hướng dẫn giải
?(
T S= + +
*A 4 # +
& S
− −
≤
T
56
T D&S &SD E % N NE 2DSE
≤ + − + − + =
FG
2DSE
;
S ≤ ≤
*+
2JDSE KS &D E 2JDSE % S
−
= + − ⇒ = ⇔ =
U "#$
−
< ⇒ <
{ }
2DSE 2DE2D E⇒ ≤
V
2D E % = − + <
2DE K & N N= − + <
N
T
⇒ <
U "#$
2DSE 2D E N
−
≤ ≤ ⇒ ≥ ⇒ ≤ ≤
N
T
⇒ ≤
Bài 6.4.9.W5X
≤ −
*':/<)=$
> C K
= +
Hướng dẫn giải
*A4#$
&
≥ + ≥ ⇒ ≥
?(
&
= ≥
*+
( )
K
> C 2
= + =
( )
K
2J ! % &
= − > ∀ ≥
Cẩm nang ôn luyện thi Đại học Toán học – Nguyễn Tất Thu.
O$
( )
> 2 & Y!K≥ =
?.4@
= =
BZ
> Y!K=
Bài 6.4.10.
) %
>
D )E &
)
+ + =
÷
≥
*':
/:7;/<)=$
)
>
+
=
Hướng dẫn giải
?(
) )I %= = >
*A4#+
& D E
D E &
−
+ + = ⇒ = − =
÷
+ +
H
Y N %
−
= ≥ ⇒ ≥ ⇔ ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
+
3+
> 2DE
− +
+
= = =
−
FG
2DE
;
[ ]
I∈
+
( )
[ ]
&
D E
&
2JDE % I
D E D E
− − − −
− + +
= = < ∀ ∈
− −
O$
[ ]
I
> 2DE 2DE
N
= = =
856@
) )
= =
[ ]
I
> 2DE 2DE = = =
856@
) )= =
Bài 6.4.11.@[\)
( )
) ) + =
( ) ( )
) ) ) &+ − + + + ≥
Hướng dẫn giải
?(
) )
= + ⇒ =
H
( )
K
) &) 1
+ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥
3+
( ) ( )
( ) ( ) ( )
) ) ) ) ) ) ) &) )+ − + + + = + − + − + + + +
( )
K
1 K 2
= − + + − =
*+
( )
&
K Y K
2J C & & & %
1
−
= − + − = − + + > ∀ ≥
O$
( ) ( )
2 2 &≥ =
D?0E
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
Bài 6.4.12.W5X
)
( ) ( ) ( )
&) ) ) )+ + = + +
*':/<)=$
( ) ( )
( )
) Y) ) Y)
) K)
>
)
) )
+ + + − + +
+
= + +
+
Hướng dẫn giải
*+
( ) ( ) ( ) ( )
&) ) ) ) &) )+ + = + + ≥ +
O$
) ) )
&
) ) )
+ + ≥ + ⇔ + ≥
÷ ÷
?(
)
)
= + ≥
3+
( )
( )
C ) & )
K)
>
)
) )
+ −
= + + +
+
) ) ) &
N C
)
) ) )
)
= + − + + + + −
÷ ÷ ÷
+
( )
&
2
= + + − =
B'
( )
2
7L)#9
( )
%!
> 2
∀ ≥ ⇒ ≥ =
?.4@
) = =
BZ
%!
>
=
Bài 6.4.13.]$@^
( )
+ = +
*':
7;/:/<)=$
& &
>
+
=
+
Hướng dẫn giải
?(
=
*+
( )
( )
&
Y
+ = + − ≥ − ⇒ ≥ −
B
( )
( )
&
+ = − + ≥ ⇒ ≤
?3
Y
− ≤ ≤
O$
( )
( )
!
>
&
+ −
− + +
= =
+ +
H+
( )
( )
! 1
>J
− −
=
+
>J % %= ⇔ =
&
Cẩm nang ôn luyện thi Đại học Toán học – Nguyễn Tất Thu.
*A+'56
> >
Y &
= =
Bài 6.4.14.W5XS4
YS + + ≤
& & &
NYS & YS & YS K & &Y YS+ + + + + ≥
.
Hướng dẫn giải
Q/._5X5X;
& & &
C YS Y
C YS
+ + + + + ≥
D E
*+
( )
( )
( )
N
B*D E YS C YS
YS
YS
≥ + + + + + ≥ +
÷
?(
YS
DYSE
+ +
= ≤ ≤
÷
FG
( ) ( )
N N
2 C 2J C %
= + = − <
$
( ) ( )
2 2 &Y≥ =
O$D E`?.4
S
Y
⇔ = = =
Bài 6.4.15.W5X
S
S + + =
*':7;
/<)=$
S
S S
>
Y S Y Y
+ +
+
= + +
− − −
Hướng dẫn giải
*+
( ) ( )
S+ ≤ + = −
V(@
( )
( )
%I
Y
−
≤ ∀ ∈
−
?.+@
=
"9
( )
( )
> S S
≤ + + ≤ + + =
H/$abc4@
S = = =
BZ
>
=
Bài 6.4.16.
S
7
S + + =
S S + + − ≤
Hướng dẫn giải
*+
S D S SE D SE+ + + + + = + +
Y
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
S S D SED S S SE+ + − = + + + + − − −
O$
> D SED S S SE= + + + + − − −
D SE
D SED E
+ + −
= + + −
?(
S % N= + + ⇒ < ≤
*+
d>d D E
−
= − = − +
FG[
2DE D%I Ne
= − + ∈
+
2JDE
= − +
2JDE % 2DE 2D E ⇒ = ⇔ = ⇒ ≤ =
O$
d>d
≤ ⇒
0
Bài 6.4.17.W5X
)
( )
) )+ + =
( )
& & &
&
K NY Y ) C
K
)
− + +
≤ ≤
+ +
D E
Hướng dẫn giải
3[/fg$4,
) & ) + + = ⇒ =
3+D E
( )
& & &
K NY Y C
)
YN K
−
⇔ ≤ + + ≤
?(
) ) = + +
*+
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
> ) ) )
) ) ) ) ) ) )
= + + − + +
= + + − + + − + + − + +
( ) ( ) ( )
& N &&= − − − = − +
( )
( )
) ) ) ) & &
= + + = + + = − + = − + +
V
( )
( ) ( )
( )
K
) &) & N & %
+ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − − + ≥
Y ⇔ − ≤ ≤
D'
% &E< <
FG
Y Y
& M YIe Y
−
= − + + ∈ − ⇒ ≤ ≤
FG
( )
( )
Y Y
2 && MYI e
−
= − + ∈
⇒
]$_
Bài 6.4.18.W5X
)
;
) + + ≤
( )
)
)
+ + + + + ≥
÷
N
Cẩm nang ôn luyện thi Đại học Toán học – Nguyễn Tất Thu.
Hướng dẫn giải
*+
( )
) ) C
) )
+ + + + ≥ =
÷
÷
C
) )
⇒ + + ≥
+ +
H+
( ) ( )
( )
K N
) ) 2
) )
+ + + + + ≥ + + + = + =
÷ ÷
+ +
*+
( )
N
% ) 2 1
< = + + ≤ = +
*+
( )
N N
2J % D%I e
1
−
= − = < ∀ ∈
9:)#9
D%I e
( ) ( )
2 2 ! D%I e⇒ ≥ = ∀ ∈
Bài 6.4.19.
) % ) > + + =
( )
)
)
+ + − + + ≥
Hướng dẫn giải
?(
( )
) ) % = + + ≤ + + ⇒ < ≤
*+
C
) )
+ + ≥
+ +
( ) ( )
( )
C C
) ) 2
) )
⇒ + + − + + ≥ − + + = − =
+ +
FG
( ) ( )
C C
2 1 D%I e 2J %
= − ∈ ⇒ = − − <
BZ:)#9
( )
( )
D%I e 2 2 D%I e⇒ ≥ = ∀ ∈
Bài 6.4.20.&)W4
) I W + = − =
C N
T )W W
&
+
= + − ≤
Hướng dẫn giải
*+
T D ) ED W E W W NW C W W 2DWE≤ + + − = + + − − =
*+
C
DW E
2JDWE DW E
W NW C
− + +
= +
+ +
!
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
B'
C
DW E
%
W NW C
− + +
<
+ +
9
C N
2DWE 2D E
&
+
≤ − =
+0
Bài 6.4.21.@[\
)
) + + =
( ) ( )
( )
) )
K K
− ≤ − − − ≤
Hướng dẫn giải
3f^$
( ) ( ) ( )
( )
T I )I ) ) = − − −
B'
( )
( )
( ) ( ) ( )
T II ) ) ) T I)I= − − − = −
$]:<
T
7
Z0'Zh_
( )
T I )I
K
≤
U "#$)
)
+)$'
( )
T I )I %
K
= <
U "#$
)
[ i @ $ ' @[ / f g$ 4 ,
{ }
I)I=
@+#$
) >
'
( )
T I )I %
K
< <
WZh_G
)> >
?(
) = + ⇒ = −
*+
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
T I )I ) ) ) )
= − − − ≤ + + −
= − − =
FG
( ) ( ) ( )
= − − < ≤
( )
J N N %
N
+
= − + − = ⇔ =
jZ0)4)#956
( )
N K
+
≤ =
÷
;R
I
∈
?.4@
) %
N N
+ −
= = =
Bài 6.4.22.
) %>
( )
) ) D ) E & )D ) E+ + + + + ≥ + +
Hướng dẫn giải
3[/fg$
) + + =
3+)/.
k
)D ) E & ) ) &
)
+ + + ≥ ⇔ + + + ≥
D E
K
Cẩm nang ôn luyện thi Đại học Toán học – Nguyễn Tất Thu.
?(
N
)
) %
+ +
= ⇒ < ≤ =
3+
N
B*D E ) 2DE
)
≥ + = + =
34
2DE
9
%I
÷
+0
Bài 6.4.23.
( )
N ) N
N
K
)
+ +
≤ ≤
+ +
;
) %≥
) %+ + >
Hướng dẫn giải
?(
( )
( )
) N
2 I)I
)
+ +
=
+ +
B'
( ) ( )
l I@)I@ 2 I)I @ %= ∀ >
9@[
4fg$4#
) + + =
@+
( )
2 I)I ) N= + +
*+
( )
( )
) )
& &
+ ≥ + = −
9
( )
( ) ( ) ( )
2 I)I N N& %
& & &
≥ − + = − + = ≤ ≤
34
[ ]
DE %I ∈
56
( )
( )
( )
N& N
2 I)I
K & K
≥ ⇒ ≥ ≥
V(@
( ) ( )
2 I)I ) Y ) Y N= + + + ≤ + + + ≤
Bài 6.4.24.
S %>
S ≥
S
S S S
+ + ≥
+ + +
Hướng dẫn giải
?(
I) I S ) % m ) = = = ⇒ > ≥
3+_
)
) ) )
+ + ≥
+ + +
DE
*+
D ) E
B* DE
) ) )
+ +
≥
+ + + + +
&
D ) E
) ) )
+ +
=
+ + + + +
&
D ) E
D ) ) ) E
+ +
≥
+ + + + +
&
D ) E
MD ) E D) ) Ee
+ +
≥
+ + − + +
&
D ) E
2DE
D E
MD ) E e
+ +
≥ = =
−
+ + −
C
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
*+
D ) E C= + + ≥
34
2DE
9
MCI E+∞
+0
Bài 6.4.25.
) %
>
D ) E ) )
&
) ) )
)
+ + + + + +
+ − ≥
÷
÷
+ +
+ +
Hướng dẫn giải
) + + =
?(
) ) = + + ≤
C
) )
⇒ + + ≥
Y C
B* D E 2DE
≥ + + − − =
34
2DE D%Ie∈
+0
Bài 6.4.26.
S D%I E
S D ED ED SED E
∈
= − − −
S
&
+ + ≥
Hướng dẫn giải
*+
( )
( )
S S S S⇔ − + + + + + =
( ) ( )
S S S &S⇔ + + = − + + + + + −
B'
S
S
+ +
≥
÷
9
S
S D SE D SE &
+ +
+ + ≥ − + + + + + −
÷
?(
S
= + +
'
% < <
3+
&
S 1 2DE
!
+ + ≥ − + − + =
34
2DE D%IE∈
+0
Bài 6.4.27.
S %
S
≥
+ + =
& & &
D SE DS E SD E
− + − + − ≤
Hướng dẫn giải
n4,
S %≥ ≥ ≥
(
D SE= +
56
& & &
D SE DS E SD E D E 2DE− + − + − ≤ − =
34
2DE
+0
Bài 6.4.28.
) %>
) + + =
) &
)
+ + + ≥
Hướng dẫn giải
?(
D ) E
) %
+ +
= ⇒ < ≤ =
3+
) ) 2DE
) )
+ + + ≥ + = + =
34
2DE
+0
%
Cẩm nang ôn luyện thi Đại học Toán học – Nguyễn Tất Thu.
Bài 6.4.29.
) %>
) )
&
+ + =
*':/<)=$
( )
!K
> )
)
= + + +
+ +
Hướng dẫn giải
?(
( )
) ) )
= + + ≥ + + =
o0Wp)/.[+
( ) ( )
&C
) ! ) !
&
+ + + ≥ + + = −
÷
O$
( )
!K %
> ! 2
&
≥ + − =
*+
( )
( )
( )
& !
!K
2J & 2J %
1
−
= − = ⇒ = ⇔ =
*A+'56
( )
YY
> 2
&
≥ =
3
)
= = =
:'.4BZ
YY
>
&
=
Bài 6.4.30.)W5X)
) ) K + + ≤
Y
)
+ + ≥
Hướng dẫn giải
?(
S S %
)
= = = ⇒ >
3+
) ) K & !
) )
+ + ≤ ⇔ + + ≤
& !S S⇔ + + ≤
*_
Y
S
+ + ≥
*A
( )
&
& !S S S ! & S
!
+
+ + ≤ ⇒ − ≥ + ⇒ ≥
−
( )
&
!
& !
!
S
! !
+ − +
+ −
+ + ≥ + + = + + +
− −
( )
& &
!
! !
!
! !
+ − + +
− −
= + + + = + + +
− −
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
o0Wp)/.PVqnV+
& &
! !
!
! !
+ +
− −
+ ≥ = +
− −
H+
( )
!
S 2
+ + ≥ + + + =
*+
( )
&
2J
!
= − −
+
*/
( )
2J
r@
%>
( )
2J %=
( )
Y
S 2
⇒ + + ≥ =
?.4@
&
!
Y &
)
! Y
S
&
S
!
=
=
=
+
−
= ⇔ = ⇔ =
−
=
+
=
=
−
Bài 6.4.31.
)
7W5X
)
) ) K
+ + ≥
÷ ÷
÷
+ + +
Hướng dẫn giải
?(
)
I I S S %
)
= = = ⇒ >
S =
3+D Ek
S K
+ + ≥
÷
÷ ÷
+ + +
D E
n4,
{ }
S S S= ⇒ ≥ ≥
*+
&
D E
+ ≥ + ≥
÷ ÷
÷
+ + + +
+
S S
B*D E
D S E D SE
⇒ ≥ +
+ +
?(
s % = ⇒ < ≤
FG
2DE % B*D E 2DE
D E D E
= + < ≤ ⇒ ≥
+ +
*+
& &
& & & &
N D E D E
N N
2JDE
D E D E D E D E
+ − +
= − =
+ + + +
Cẩm nang ôn luyện thi Đại học Toán học – Nguyễn Tất Thu.
B'
& &
% D E D E 2JDE % D%I e< ≤ ⇒ + ≤ + ⇒ ≤ ∀ ∈
2DE⇒
7:)#9
D%I e 2DE 2D E D%I e
K
⇒ ≥ = ∀ ∈
B*D E
K
⇒ ≥
0
Bài 6.4.32.
)
ND ) ED ) E !) %D ) E+ + + + ≤ + + +
Hướng dẫn giải
U "#$
) % ) % D E+ + = ⇔ = = = ⇒
`
U FG
) %+ + >
B'Q?*_7$_/9h_D E
5t60
) C+ + =
3+D Ek
2D)E D ) E ) %= + + − ≤
D E
n4,
u)v
=
?(
) C
+ −
= =
+
2D)E 2DE D ) E D )E− = + − + −
•
"#$
%≤
'
) %+ − <
) % 2D)E 2DE− ≥ ⇒ ≤
FG
Y
DE 2DE K
= = − + −
;
%− ≤ <
*+
Y & D YE K K
2JDE
K K
− − −
= − − =
− −
2JDE % D YE K K⇒ = ⇔ − − =
Y
% DUE
D YE D K E N& DUUE
− < <
⇔
− − =
?(
Y
D%I E
= ⇒ ∈
ADUUE+
D YE D K E N&− − =
C ! Y % ⇔ − + − = ⇔ =
DW
Y
D%I E
&
∈
E
2JDE % ⇒ = ⇔ = ⇔ = −
DW
Y
%E
− < <
g$=
= −
'
2JDE
W/$A
+
−
9
2DE 2D E %≤ − = ⇒
0
•
"#$
% ) %
≥ ⇒ ≥
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
U B;
2D)E D ) E %
& &
≥ ⇒ ≤ + + − <
÷
U B;
2D)E D) E K %
& &
< ⇒ ≤ + + ≤ + <
÷
BZ
2D)E %≤
?.4
I)
⇔ = − = = ∈
¡
:
Bài 6.4.33.
)
7W5X4
)<
E
S
)
) ) S M)e
S
+ +
≤ + ≤ + ∀ ∈
E
S
)
dS M)e ) )
S
+ +
+ ∈ = +
Hướng dẫn giải
E *wPVqnV
S
) )
S )
S S
+ +
+ ≥ + ≥
?.4@
[ ]
S
)
S ) I)
S
S
= =
⇔ = = = ∈
=
j8wPVqnV
S S
) ) ) ) )
S
S S
S
+ + + +
+ ≤ + + + = + + + + +
÷ ÷
÷ ÷
V(@w4#
[ ]
( )
( ) ( )
)
I) ) % ) ) )
∈ ⇒ − − ≤ ⇔ + ≤ + ⇔ + ≤ +
*5X
S
$
( )
S S
) )
) )
S
S
+ + + +
+ ≤ + + + ≤ + = +
÷
?.4@
=
(
)=
E FG
S= =
+
( )
S
) )
2
S
+ +
+ = + =
FG
)
2DE
= +
;
[ ]
I)∈
+
[ ]
( )
2 I) )I )
= +
3#60;5t60 E<)+
S
)
dS M) M )
S
e )e
+ +
+ ∈ =
+
&
Cẩm nang ôn luyện thi Đại học Toán học – Nguyễn Tất Thu.
Bài 6.4.34.
S %≥ ≥ >
S
S
S
+ +
S≥ + +
Hướng dẫn giải
Q?*
⇔
S S
S
+ +
≥
S+ +
⇔
S S
SD S E
+ +
≥ + +
⇔
S S S S
+ + ≥ + +
÷
÷
?(
$
=
S
=
*+
$ %≥ ≥ >
"9Q?*+W8
$ $ $D$ E+ + ≥ + +
⇔
$ D E $ $D E %− + − + + ≥
D E
xE "#$
=
'D E+W8
$ $ %− + ≥
7DE`
xE "#$
% < <
FG
2D$E $ D E $ $D E = − + − + +
;
$ ≥
*+
2 D$E $ D E $ D E
′
= − + − +
2 D$E N$D E %
′′
= − + >
DW
% < <
$ ≥
E
⇒
2 D$E
′
L)#@
$ ≥
9;R
$ ≥
+
2 D$E 2 D E
′ ′
≥
V
2 D E & D ED E %
′
= − + = − + − >
9
2 D$E %
′
≥
⇒2D$EL)#@
$ ≥
*7
$ ∀ ≥
+
2D$E 2D E D E %≥ = − + = − >
BZ
$ D E $ $ $D E %− + − − + + ≥
;
$ %∀ ≥ > >
y
S
S
S
+ +
S≥ + +
;
S %≥ ≥ >
D0E
Bài 6.4.35.W5X)*':7;/<)=$
>
D ED) ED E
)
= −
+ + +
+ + +
Hướng dẫn giải
*wPVqnV+
) D )E
+ ≥ +
D E
+ ≥ +
*A++
D )E D E D ) E
)
&
+ + + + +
+ + + ≥ + ≥
Y
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
V(@wPVqnV+
) D ED) ED E+ + + + + ≥ + + +
D ) E
D ED) ED E
!
+ + +
⇔ + + + ≤
BZA+
Y&
>
)
D ) E
≤ −
+ + +
+ + +
?(
)
= + + + >
j`+
Y&
> 2DE
D E
= ≤ −
+
+
&
N
2 DE
D E
′
= − +
+
j`+
&
&
N
2 DE % D E K 1 &
D E
′
= ⇔ = ⇔ + = ⇔ =
+
'z{ z
jZ0QQ*$
2DE >
& &
≤ ⇔ ≤
BZ:7;/<
>
&
=
856@
&=
j`+
) = = =
Bài 6.4.36.
[ ]
) %I ∈
) + + =
*':7;/<)=$
( )
) )
> K K K ) = + + − + +
Hướng dẫn giải
FG
2DE = − −
+
%
2JDE 7 2JDE % 7
7
= − ⇒ = ⇔ = =
jZ0)4)#9@#60;
2D%E 2D E %= =
$56
[ ]
2DE % %I ≤ ∀ ∈
[ ]
% %I − − ≤ ∀ ∈
V(@
S∀ ∈¡
+
( )
S S S D E D SE DS E
+ + − = + + − + − + −
H+#$
S % S S+ + ≤ ⇒ + + ≤
*A+W-#
[ ]
K K %I − − ≤ ⇔ − ≤ + ∀ ∈
O$
> ) &≤ + + + =
?.4@h@
%) %
= = =
:
BZ
> &=
Bài 6.4.37.
)
) %+ + =
*':7;/<)=$
( )
) )
>
)
− −
=
+ +
N
Cẩm nang ôn luyện thi Đại học Toán học – Nguyễn Tất Thu.
Hướng dẫn giải
?(
) ) I) + + = − = −
$
)
7^<05X'
%− + =
D E
FG
2DE = − +
B'05X'D E+)^D@[+
^)i)E9
2
+:Lt
W
2 2 %≤
H
2JDE = −
92+:@
%>
3+
W
& !
2 2 %
! &
= − + = − ≤ ⇒ ≥
÷ ÷
O$
%
&
− − + ≥ − + = − ≥
÷
O$
( )
) ) ) )
− + + + + ≥
( )
( )
) ) ) ) )
&
⇔ + − ≥ + + = − + +
DH
( )
D ) E % ) ) )
+ + = ⇒ + + = − + +
E
O$
( )
) )
&
)
− −
≤
+ +
?.4
)
=
⇔ ⇒
=
7^05X'
% − + = ⇔ = − =
*7
DI)IE D I I E= −
:BZ
>
&
=
Bài 6.4.38.)7)@[\[i@$
*':/<)=$
> D )E D) E D E
D )E D) E D E
= + + + + + + +
− − −
Hướng dẫn giải
n4,
{ }
)=
3++
− ≤
) )− ≤
O$
> D )E )
D )E )
≥ + + + + +
−
D ) )E D ) ) E D ) ) E
) ) )
+ + + + + +
= + +
− +
!
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
)
) )
)
)
) )
)
+ +
= + + + +
÷ ÷
+ −
?(
)
)
+ = >
FG
2DE 1
+
= + +
−
+
2 DE % ! & % D ED Y E %
D E
−
′
= + + = ⇔ − + + = ⇔ − − − =
−
H
>
hZ^
Y
&
+
=
jZ0)4)#9Z56
YC
2DE
K
+
=
YC
>
&
+
⇒ =
?.4@
%
) Y
) &
=
+
+ =
:
Bài 6.4.39. S7)$i8
[ ]
I
S N+ + =
*':7;//<)=$
> YS= + +
Hướng dẫn giải
*A4#+
& &D SE D E &D SE D SE= − − − ≤ − ⇒ ≤ −
*78+
D ED E % Y S Y S D SE− − ≥ ⇒ ≥ + − = − ⇒ − ≤ ≤ −
V(@+
S N & S M Ie= − − ≤ ⇒ ∈
*+
> D EMD E e YS D SEM&D SE e YS= + + − + = − − − +
B'
Y S D SE D SE YS > D SEM&D SE NS Ye YS
− ≤ ≤ − ⇒ − + ≤ ≤ − − + − +
;
S M Ie∈
y
D SE YS > S N%S Y%S N− + ≤ ≤ − + − +
;
S M Ie∈
?(
2DSE D SE YS DSE S N%S Y%S N= − + = − + − +
FG
2DSEDSE
9
M Ie∈
+
V2DSE % N% %= −
8
S % Y %= − + ⇒ = = −
VDSE &=
8
S = ⇒ = =
BZ
V> &=
@
S = = =
V> % N% %= −
@
Y %S %= = − = − +
§ 5. PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN
K
Cẩm nang ôn luyện thi Đại học Toán học – Nguyễn Tất Thu.
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
2DE=
79p
MI)e
+L:7DE3+
+=
PDI2DEEQD)I2D)EE
9L:DE
E ?L:R77|9
DI)E
#$#0$#8R=9$
PQ
7$[0fW5;L:DE
)E ?L:R77L9
DI)E
#$#0$#8R=9$
PQ
7$[0f9L:DE
2. Dấu hiệu đồ thị lồi
Định lí 1:
2DE=
+8/079p9
( )
I )
U "#$
( )
2JJDE % I )> ∀ ∈
'L:7|9
DI)E
U "#$
( )
2JJDE % I)< ∀ ∈
'L:7L9
( )
I )
2. Ứng dụng
*A:}9/
Định lí 2: (Bất đẳng thức tiếp tuyến)
2DE=
79p+8#/09
MI)e
E "#$
2JJDE % MI)e≥ ∀ ∈
'
% % % %
2DE 2JD ED E 2D E MI )e≥ − + ∀ ∈
)E "#$
2JJDE % MI)e≤ ∀ ∈
'
% % % %
2DE 2JD ED E 2D E MI )e≤ − + ∀ ∈
?.Q/.94
%
⇔ =
*+=:7f95$
E FG
% % %
DE 2DE 2JD ED E 2D E= − − −
MI)e∈
*+
%
JDE 2JDE 2JD E JJDE 2JJDE % MI)e= − ⇒ = ≥ ∀ ∈
C
−
)
Đồ thị hàm số lồi
)
−
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
%
JDE % ⇒ = ⇔ =
JDE
W/$A
−
+
@g$
%
9+
%
DE D E % MI)e≥ = ∀ ∈
)E 5X
Định lí 3: (Bất đẳng thức cát tuyến)
2DE=
79p+8#/09
MI)e
E"#$
2JJDE % MI)e≥ ∀ ∈
'
%
2DE 2D)E
2DE D E 2DE MI )e
)
−
≥ − + ∀ ∈
−
)E"#$
2JJDE % MI)e≤ ∀ ∈
'
%
2DE 2D)E
2DE D E 2DE MI )e
)
−
≤ − + ∀ ∈
−
?.Q?*9+@h@
=
(
)=
II. CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ
Ví dụ 6.5.1.W5X
)
) + + =
)
%
)
+ + ≤
+ + +
Lời giải.
FG
2DE
=
+
;
D%I E∈
*+
Y
2JDE 2JJDE % D%I E
D E D E
= ⇒ = − < ∀ ∈
+ +
"9+
2DE 2J 2
≤ − +
÷ ÷ ÷
2D)E 2J ) 2
≤ − +
÷ ÷ ÷
2DE 2J 2
≤ − +
÷ ÷ ÷
O$
( )
2DE 2D)E 2DE 2J ) 2
%
+ + ≤ + + − + =
÷ ÷
?.4
)
⇔ = = =
Ví dụ 6.5.2.W5X
)
) + + =
K
K) K)
+ + ≥
+
+ +
Lời giải.
FG
2DE
K
=
+
% < ≤
*+
&%
Cẩm nang ôn luyện thi Đại học Toán học – Nguyễn Tất Thu.
Y
& &K
2JDE 2 ~DE % D I e
K
D KE D KE
= − ⇒ = > ∀ ∈ −
+ +
"9+
2DE 2JD ED E 2D E≥ − +
2D)E 2JD ED) E 2D E≥ − +
2DE 2JD ED E 2D E≥ − +
2DE 2D)E 2DE 2JD ED ) E 2D E⇒ + + ≥ + + − +
DUE
V(@
D ) E D ) E C+ + ≤ + + =
) ) %⇒ − ≤ + + ≤ ⇒ + + − ≤
&
2JD E %
!
= − <
9ADUE
*$
2DE 2D)E 2DE 2D E + + ≥ =
Nhận xét :H/$^$`0`Z05X0097Q?*_
+W8
2D E 2D E 2D E @+ + + ≥
DUE(
2D E 2D E 2D E @+ + + ≤
DUUE+
D E=
7
5;*i5t60Q?*5+W8904^
i0G0)#;5]W89`_`•iW/$
^$$
•
"#$Q?*+W8
2D E2D E2D E @≥
'7/7w0w#
•
"#$Q?*_L)Z'+=$€+*•$i
A)7R$€+0•60
Ví dụ 6.5.3.W5X
)
) + + =
*'n*j"<
)=$
(
)
(
)
(
)
)
> ) ) = + + + + + +
Lời giải.
*+
(
)
(
)
7> )7D E 7 ) ) 7 = + + + + + + + +
FG
(
)
2DE 7 % = + + < <
*+
2JDE 2JJDE %
D E
−
= ⇒ = <
+ +
D%I E∀ ∈
O$
( )
2DE 2JD E 2D E 2JD E 2D E 2JD E≤ − + = + −
[ ]
)2DE 2JD E) 2D E 2JD E )⇒ ≤ + −
[ ]
2D)E 2JD E) 2D E 2JD E ≤ + −
[ ]
2DE 2JD E 2D E 2JD E ≤ + −
( )
7> 2JD E ) ) D ) E 2D ED ) E 7D E⇒ ≤ + + − + + + + + ≤ +
DH
) ) ) + + ≤ = + +
E
&
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
"9
7> 7D E > D E⇒ ≤ + ⇒ ≤ +
?.4
) ⇔ = = =
BZn*j"<
> D E= +
Ví dụ 6.5.4.
%>
S + + =
*'n*""<)=$
S
> S
−
− −
= + +
Lời giải.
o0WpQ?*[+
S
>
S
≥
?(
S
P S 7P 7 S7 7S= ⇒ = + +
B'
2DE 7 =
+
2JJDE %
= − <
7 2J 2D E 7
⇒ ≤ − + = − −
÷ ÷
7P D 7E SD 7E DS 7E⇒ ≤ − − + − − + − −
D S SE 7 D SE 7 7= + + − − ≤ + + − − = −
P >
⇒ ≤ ⇒ ≥
?.4
S
⇔ = = =
BZn*""<
> =
Ví dụ 6.5.5.
) %>
) + + =
*'n*""<)=$
)
> ) = + +
Lời giải.
FG
2DE % = < <
*+
72DE 7 =
7/8#
56
( )
2JDE D 7E2DE 72JDE 72DE 7 7 = + ⇒ = + +
2JJDE 2JDE
7
2JDE 2DE D7 E D7 E
⇒ = + = + +
+ +
D 7E
2JJDE 2DE % D%IE
+ +
⇒ = > ∀ ∈
B'
) D%IE∈
90WpQ?*#0$#+
2DE 2J 2
≥ − +
÷ ÷ ÷
2D)E 2J ) 2
≥ − +
÷ ÷ ÷
2DE 2J 2
≥ − +
÷ ÷ ÷
i)Q?*9+
&
Cẩm nang ôn luyện thi Đại học Toán học – Nguyễn Tất Thu.
( )
&
2DE 2D)E 2DE 2J ) 2
C
+ + ≥ + + − + =
÷ ÷
BZn*""<
&
>
C
=
856
)
⇔ = = =
Ví dụ 6.5.6.
) %
>
( )
) ) )
)
+
+ + + + ≥ + + + + +
÷
Lời giải.
B'Q?*$_/9h_Q`;R
W5X)
) + + =
@+)_k
2DE 2D)E 2DE + + ≥
+
2DE
+
= −
;
% < <
H‚/
2
+
2JJDE % D%I E> ∀ ∈
"9wQ?*#0$#+
2DE 2D)E 2DE 2J D ) E 2
+ + ≥ + + − +
÷ ÷
H
2J %
2DE 2D)E 2DE 2
) D ) E
<
÷
⇒ + + ≥ =
÷
+ + ≤ + + =
Ví dụ 6.5.7.
$i@4
%I
π
÷
+ + + ≤
≤
Lời giải.
?(
D E= =
% ⇒ > =
=
≤
∑
*_
=
≤
+
∏
D E
FG
2DE %
= >
+
+
2JDE
D E
=
+
2JJDE % %⇒ < ∀ >
2DE 2JD ED E 2D E D E D E
⇒ ≤ − + = − + = +
&
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
=
= =
+
÷
⇒ ≤ + ≤ ≤ =
÷
÷
+
∑
∏ ∏
D E
D E
K K K
?.4
⇔ = = = =
⇔ = = = =
&
π
⇔ = = = =
Chú ý : * i
5t60L:
2DE=
+ @4 7L
7|9
[ ]
I )
5
-+56
% % % %
2DE 2JD ED E 2D E DI)E
≥ − + ∈
. 8 )8 w
L:RW5;\
H+]$)-
2DE
;#0$#<
L:8=+i7=.4
Ví dụ 6.5.8.
) ∈¡
) N+ + =
& & &
) D ) E+ + ≥ + +
Lời giải.
Q?*
& & &
D E D) ) E D E % 2DE 2D)E 2DE %⇔ − + − + − ≥ ⇔ + + ≥
*+
&
2DE = −
*/
2JJDE = −
9L:
2
+
@47L@47|W+@[=0WpQ?*#0$#
56*$9-+=56
2DE
g$#0$#<+8
=+i
=
D'.4@
) = = =
E
*+#0$#<L:8
2DE=
=+i
=
7
K N= −
&
2DE DK NE K N D E D &E % − − = − − + = − − + ≥ ∀ ∈¡
2DE 2D)E 2DE KD ) E &K %⇒ + + ≥ + + − =
D0E
Chú ý. B'
K N= −
7#0$#<L:
&
2DE = −
8
=+i
=
9+0\f
( ) ( ) ( ) ( )
@
2 K N − − = −
;
@ ≥
DE %≠
Ví dụ 6.5.9.
)
&
≥ −
) + + =
&&
%
ƒ
)
