PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PT - BPT

ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


1
CHUYÊN ĐỀ 9.

 CÁC DẠNG CƠ BẢN
 Nghiệm của phương trình
()
ux m=
là số giao điểm của đường thẳng
ym=
và đồ thị
hàm số
yu(x)=

 Bất phương trình
u(x) m³
đúng
xI
xI minu(x)m
Î
"Î ³

 Bất phương trình
u(x) m£
đúng
xI
xI maxu(x)m
Î
"Î £

 Bất phương trình
u(x) m³
có nghiệm với
xI
xI maxu(x)m
Î
Î ³

 Bất phương trình
u(x) m£
có nghiệm với
xI
xI minu(x)m
Î
Î £

DẠNG 2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài tập 1.Giải phương trình:
3
32
x 15x 78x 141 5 2x 9-+-= -

 Hướng dẫn. PT
()()( )
3
3
x5 5x5 2x9 52x9- + -= -+ -

Xét hàm số

() ()
32
ft t 5t,t f't 3t 5 0, t=+ Î = +>"

Do đó
()
()
33
x4
PT f x 5 f 2x 9 x 5 2x 9
11 5
x
2
é
=
ê
ê
-= --= -

ê
=
ê
ë

Bài tập 2. Giải phương trình:
3
32
2 2x 1 27x 27x 13x 2-= - + -

 Hướng dẫn.

() ()()
3
3
PT 2x1 22x1 3x1 23x1-+ -=-+ -

Xét hàm số
()
3
ft t 2t,t=+ Î
hs luôn đồng biến trên


ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


2
()
()
33
PT f3x1 f2x1 3x1 2x1 x 0-= --=-=

Bài tập 3. Giải phương trình:
()
32
x3x4x23x23x1+++=+ +

 Hướng dẫn.
()()( ) ()()
()
3

3 3
x 1 x 1 3x 1 1 3x 1 x 1 x 1 3x 1 3x 1
éù
+ ++= ++ ++++= + + +
êú
ëû

Xét hàm số
()
3
ft t t,t 0=+ ³
hs đồng biến trên
)
0;
é
+¥
ê
ë

Nên pt
x1 3x1+= +

Bài tập 4. Giải phương trình:
3
3
6x 1 8x 4x 1+= - -

 Hướng dẫn.
() () ()
3

3
PT 6x 1 6x 1 2x 2x++ += +

Do đó
33
1
PT 8x 6x 1 4x 3x
2
-=-=

Nếu
x1;1
éù
Î-
êú
ëû
. Đặt
xcost,t0;
éù
=Îp
êú
ëû
. Phương trình trở thành:
xcos
9
125
cos 3t t k x cos
293 9
7
xcos

9
é
p
ê
=
ê
ê
pp p
ê
==+  =
ê
ê
ê
p
ê
=
ê
ë

Bài tập 5. Giải phương trình:
()
2
2
x1 x x
22 x1

-=-

 Hướng dẫn. Phương trình:
()

()
2
x1 x x 2
2x12 xx

+-= + -

Xét hàm số
() ()
tt
ft 2 t,t f't 2.ln2 1 0, t=+ Î = +>"

Do đó ta có
2
x1 x x x 1-= -  =

Bài tập 6. Giải hệ phương trình:
33
84
x5xy5y
xy1
ì
ï
-=-
ï
ï
í
ï
+=
ï

ï
î

 Hướng dẫn. Từ phương trình (2) ta có
1x,y1-£ £

Xét hàm số
()
3
ft t 5t,t 1;1
éù
=- Î-
êú
ëû
ta có
()
2
f' t 3t 5 0, t 1;1
éù
=-<"Î-
êú
ëû
do đó ta có
xy=

ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


3
Bài tập 7. Giải hệ phương trình:

54106
2
xxyy y
4x 5 y 8 6
ì
ï
+=+
ï
ï
í
ï
++ +=
ï
ï
î

 Hướng dẫn. ĐK:
5
x
4
³-

Ta có
()
5
52
xx x
1yyyxy
yy y
æö

÷
ç
÷
+=+==
ç
÷
ç
÷
ç
èø

Thay vào (2) ta được:
4x 5 x 8 6 4x 5 x 8 6 0++ += ++ +-=

Xét hàm số
()
5
fx 4x 5 x 8 6,x
4
=+++-³-
, ta có:
()
21 5
f' x 0, x
4
4x 5 2 x 8
=+>"³-
++
. Mặt khác
()

f1 0 x 1==
là nghiệm duy nhất.
Bài tập 8. Giải hệ phương trình:
()
3
4
x1 y 8x
x1 y
ì
ï
=-
ï
ï
í
ï
-=
ï
ï
î

 Hướng dẫn. ĐK:
x1;y0³³

Ta có
()
2
3
x1 x1 x 8 0 - + -=
. Xét hàm số
() ()

2
3
fx x1 x1 x 8,x1= +- ³

()
3
1
f' x 3x 2x 2 0, x 1
2x 1
=+-+>">
-

Mặt khác
()
f2 0 x 2==

Bài tập 9. Giải hệ phương trình:
()
()
3
2
2y y 2x 1 x 3 1 x 1
2y 1 y 2 x 2
ì
ï
++ -= -
ï
ï
í
ï

+- =-
ï
ï
î

 Hướng dẫn. ĐK:
x1£

Ta có (1)
()
3
2
y0
2y y 21x1x 1x y 1x
y1x
ì
ï
³
ï
ï
+=- -+-=-
í
ï
=-
ï
ï
î

Thay vào (2):
()

1
32x 1x 2x 2x 1 0 32x 1x 1
32x 1x
æö
÷
ç
÷
- - -=- - -= - + -=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
-+-

ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


4
Bài tập 10. Giải hệ phương trình:
()
22
22
8x y 3xy 2y x (1)
42 x 3 y 2x y 5 (2)
ì
ï
+- = +
ï

ï
í
ï
-+ -= - +
ï
ï
î

 Hướng dẫn. ĐK:
x2;y3££

Ta có
() ( )( )
xy0
1xyx2y80
x2y 8
é
+=
ê
+ +-=
ê
+=
ê
ë

+ Với
x2
x2y 8
y3
ì

ï
=
ï
+=
í
ï
=
ï
î
(Không thỏa mãn hệ)
+ Với
xy0 y x+==-
ta có:
()
()()
2
41 x
x1
42 x 3 x x 5 x 1 x 1
2x1 3x 2
-
-
-+ += + + = - +
-+ ++

()
x1
41
fx x 1 0
2x1 3x 2

é
=
ê
ê

ê
=-++=
ê
-+ ++
ê
ë

Ta có:
()
() ()
()
22
21
f' x 1 0, x 3;2
2x2x1 23x3x 2
=+ +>"Î-
+ +++

Mặt khác
()
f2 0 x 2==

Bài tập 11. Giải hệ phương trình:
()()()
()

2
x3x4 yy7(1)
yx1
2
x1 2y
ì
ï
-+=-
ï
ï
ï
-
í
ï
=
ï
ï

ï
î

 Hướng dẫn. ĐK:
x1;y2><

Từ (1) ta có:
()()()()
22
x1 3x1 2y 32y x1 2y x 3y-+ -=- + --=-=-

Bài tập 12. Giải hệ phương trình:

()()
()
()
22
2
x1xy4y21
3
xyx1 2
4
ì
ï
+- + + =ï
ï
ï
í
ï
ï
-=-
ï
ï
î

 Hướng dẫn. ĐK:
x1³

Ta có:
()
()()
() ()
2

22 2
2
4
1 4x 4 2x y 4 y 4 2x 4 2x y 4 y
y4y
+- ++= +-= =+-
++

ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


5
Xét hàm số
() ()
22
2
222
ttt4tt
ft t 4 t f't 1 0
t4 t4 t4
-+ -
=+- = -= < £
+++

Do đó ta có:
y2x=
. Thay vào (2):
2
3
xxx1

2
-=-







BTTT: Giải hệ :
()()
22
23
3
xx4yy12
12y 10y 2 2 x 1
ì
ï
ï+ + + + =
ï
ï
í
ï
ï
-+= +
ï
ï
î

Bài tập 13. Giải bất phương trình:
2
x2x x2 3x2++ £ -

ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


6
 Hướng dẫn. ĐK:
3
x
2
³

Ta có:
()
()() ()
2x 2
2
x2x1 0 x2 x1 0
x2 3x2 x2 3x2
æö

-
÷
ç
÷
ç
+- +£- ++£
÷

ç
÷
÷
ç
èø
++ - ++ -

Xét
() ()
()
2
13
2
x2 3x2
fx x 1 f'x 1 0
x2 3x2
x2 3x2
+
-
+-
=++= +>
++ -
++ -

()
3
fx f 0
2
æö
÷

ç
÷
³>
ç
÷
ç
÷
ç
èø
.Do đó ngiệm của bpt là
3
S;2
2
éù
êú
=
êú
ëû

Bài tập 14. Giải phương trình:
4
2
2x1 2x1 x1 x 2x3++ -= -+ - +