Hình học không gian (Đặng Việt Hùng)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!





I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
1) Góc giữa hai véc tơ
Giả sử ta có
( )

( )


; ;

=

→ = =

=


 
   
 
AB u
u v AB AC BAC
AC v
, v

ớ
i

0 180 .
≤ ≤
o o
BAC

2) Tích vô hướng của hai véc tơ
Gi
ả
s
ử
ta có
( )

. . . .cos .

=

→ = =

=


 
       
 
AB u
u v AB AC AB AC AB AC

AC v

Nhận xét:
+) Khi
0
. 0
0

=
→ =

=


 
 
 
u
u v
v

+) Khi
(
)

0
; 0
↑↑ → =
   
u v u v

+) Khi
(
)

0
; 180
↑↓ → =
   
u v u v

+) Khi
. 0
⊥ ←→ =
   
u v u v

Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
a) Tính góc giữa hai véc tơ
(
)

; .
 
AB BC

b) Gọ
i I là trung
đ
i

ể
m c
ủ
a AB. Tính góc gi
ữ
a hai véc t
ơ

(
)

; .
 
CI AC

Hướng dẫn giải:
a) S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c tính góc gi
ữ
a hai véc t
ơ
ta
đượ
c
( )


( )
2
. . .
cos ; , 1 .
.
.
= = =
     
 
 
AB BC AB BC AB BC
AB BC
AB BC a
AB BC

Xét
(
)
. . . .
= + = +
        
AB BC AB BA AC AB BA AB AC

Mà
( )

( )

0 2

2
0
. . .cos . . .cos180
. . .cos . . .cos60
2
= = = −
= = =
   
   
AB BA AB BA AB BA a a a
a
AB AC AB AC AB AC a a

2 2
2
. .
2 2
→ = − + = −
 
a a
AB BC a
( )
( )

( )
2
0
2
1
2

1 cos ; ; 120 .
2
−
⇔ = = − → =
   
a
AB BC AB BC
a

V
ậ
y
(
)
; 120 .
=
 
o
AB BC

b) Ta có
( )

. .
cos ;
.
.
= =
   
 

 
CI AC CI AC
CI AC
CI AC
CI AC

T
ứ
di
ệ
n ABCD
đề
u c
ạ
nh a, CI là trung tuy
ế
n c
ủ
a tam giác
đề
u ABC nên
( )

( )
2
3 .
cos ; , 2 .
2
3
2

= → =
 
 
a CI AC
CI CI AC
a

Ta có
(
)
. . . .= + = +
        
CI AC CI AI IC CI AI CI IC

Do
∆
ABC
đề
u nên
. 0.
⊥ ⇔ =
   
CI AI CI AI
01. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – P1
Th
ầy Đặng Việt H
ùng

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!

Đồng thời,
( )

2 2 2
0
3 3 3 3 3
. . .cos ; . .cos180 . 0 .
2 2 4 4 4
= = = − → = − = −
     
a a a a a
CI IC CI IC CI IC CI AC
Thay vào (2) ta
đượ
c
( )
( )

( )

2
0
2
3
3
4
2 cos ; ; 150 .
2
3
2

−
⇔ = = − → =
   
a
CI AC CI AC
a

V
ậ
y
(
)
0
; 150 .
=
 
CI AC
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Gọi M là trung điểm của
AB.
a) Biểu diễn các véc tơ

SM
và

BC
theo các véc tơ
; ; .
  
SA SB SC

b) Tính góc
(
)

; .
 
SM BC

Hướng dẫn giải:
a)
Sử dụng quy tắc trung tuyến và quy tắc trừ hai véc tơ ta
được
( )
1
2
2


= +
+ =
 
←→
 
= +



= −

  

  
  
  
SM SA SB
SA SB SM
BC BS SC
BC SC SB

b)
( )

( )
. .
cos ; , 1 .
.
.
= =
   
 
 
SM BC SM BC
SM BC
SM BC
SM BC

Mà SA, SB, SC
đ
ôi m
ộ
t vuông góc nên

. 0
. 0
. 0

=


=


=


 
 
 
SA SB
SA SC
SB SC

Tam giác SAB và SBC vuông t
ạ
i S nên theo
đị
nh lý Pitago ta
đượ
c
2
2
1 2

2 2

=

= = →

= =


BC a
AB BC a
a
SM AB


Theo câu a,
( ) ( )

2
2
0
0 0
1 1 1
. . . . . .
2 2 2 2
 
= + − = − + − = − = −
 
 
           

  
 
a
SM BC SA SB SC SB SA SC SA SB SB SC SB SB SB

Thay vào (1) ta
đượ
c
( )

( )

2
0
. 1
2
cos ; ; 120 .
. 2
2
. 2
2
−
= = = − → =
 
   
a
SM BC
SM BC SM BC
SM BC
a

a

II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG



1) Khái ni
ệ
m véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
M
ộ
t véc t
ơ

u 0
≠
 
mà có ph

ươ
ng song song ho
ặ
c trùng v
ớ
i d
đượ
c g
ọ
i là véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng d.
2) Góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng


Khái ni
ệ
m:
Góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng a và b là góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng a
′
; b
′
l
ầ
n l
ượ
t song song v
ớ
i a; b. Kí hi
ệ
u
( )


a;b .

T
ừ

đị
nh ngh
ĩ
a ta có s
ơ

đồ

( )

( )

a//a
a;b a ;b
b//b
′

′ ′
→ =

′



Nh

ậ
n xét:
+ Giả sử a, b có véc tơ chỉ phương tương ứng là
u; v
 
và
(
)

u; v
φ.
=
 

Khi đó,
( )

( )

o o
o o o
a; b φ ; 0 φ 90
a; b 180
φ ; 90 φ 180
= ≤ ≤
= − < ≤

+ Nếu a // b hoặc a ≡ b thì
( )


o
a; b 0 .
=

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!

Các xác định góc giữa hai đường thẳng:
Phương án 1
(sử dụng định nghĩa)
Phương án 2
Tạo ra các đường
( )

( )

a // a
a,b a ,b
b // b
′

′ ′
→ =

′


- Lấy một điểm O bất kì thuộc a
- Qua O, dựng đường ∆ // b
( )


( )

a,b a,
→ = ∆



Chú ý:
Các phương pháp tính toán góc giữa hai đường thẳng:


N
ế
u góc thu
ộ
c tam giác vuông thì dùng các công th
ứ
c tính toán trong tam giác vuông: sin, cosin, tan, cot.

N
ế
u góc thu
ộ
c tam giác th
ườ
ng thì s
ử
d
ụ

ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong tam giác
ABC
:
2 2 2
2 2 2
2 cos cos .
2
+ −
= + − → =
b c a
a b c bc A A
bc

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác
vuông tại A. Biết
= = =
3; ; 3 .
SA a AB a AD a
Tính góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng sau:
a) SD và BC.

b) SB và CD.
c) SC và BD.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a) Tính góc gi
ữ
a SD và BC
Để
xác
đị
nh góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng SD và BC ta s
ử
d
ụ
ng
ph
ươ
ng án 2, tìm
đườ

ng th
ẳ
ng song song v
ớ
i m
ộ
t trong hai
đườ
ng th
ẳ
ng SD, BC và song song v
ớ
i m
ộ
t
đườ
ng còn l
ạ
i.
Ta d
ễ
nh
ậ
n th
ấ
y AD // BC.
Khi
đ
ó
( )


( )



o
SDA
SD;BC SD;AD
180 SDA

= =


−


Xét
∆
SAD:
 
o
SA 3
tanSDA SDA 30 .
AD 3
= = → =

V
ậ
y
( )


o
SD;BC 30 .
=

b) Tính góc gi
ữ
a SB và CD
T
ươ
ng t
ự
,

( )

( )



o
SBA
CD//AB SB;CD SB;AB
180 SBA

→ = =


−


Xét
∆
SAB:


o
SA
tanSBA 3 SDA 60 .
AB
= = → =
Vậy
( )

o
SB;CD 60 .
=


c) Tính góc gi
ữ
a SC và BD
Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD, I là trung điểm của SA.
Trong ∆SAC có
( )

( )




o
IOB
OI//SC SC;BD OI;BD
180 IOB

→ = =


−


 Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI:
2
2 2 2
a 3 a 7
IB IA AB a
2 2
 
= + = + =
 
 
 

 ABCD là hình chữ nhật nên
2 2 2 2
a 10
BD AB AD a 9a a 10 OB OA
2
= + = + = → = =
 Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABO:

2 2
2 2
a 3 a 10 a 13
IO IA AO
2 2 2
   
= + = + =
   
   
   

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho ∆IOB ta được:

2 2 2
2 2 2
13a 10a 7a
OI OB IB 8
4 4 4
cosIOB
2.OI.OB
a 13 a 10 130
2. .
2 2
+ −
+ −
= = =

( )


8
IOB arccos SC;BD .
130
 
→ = =
 
 

V
ậ
y
( )

8
SC;BD arccos .
130
 
=
 
 

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là trung điểm của BC, AD. Biết
= = =
2 , 3.
AB CD a MN a Tính góc gi
ữ
a
hai
đườ

ng th
ẳ
ng AB và CD.
Hướng dẫn giải:

Do AB và CD là các c
ạ
nh c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n nên chúng chéo nhau,
để
xác
đị
nh góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD ta t
ạ
o các
đườ
ng th
ẳ
ng t

ươ
ng
ứ
ng song song v
ớ
i AB, CD và chúng c
ắ
t
nhau.
G
ọ
i P là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AC, khi
đ
ó MP // AB, NP // CD
( )

( )



o
MPN
AB,CD MP,NP
180 MPN


→ = =


−


Do MP, NP là các
đườ
ng trung bình nên ta có MP = NP = a.
Áp d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong ∆MPN ta
đượ
c



( )

2 2 2 2 2
o o
MP NP MN 2a 3a 1
cosMPN
2MP.NP 2.a.a 2
MPN 120 MP,NP 60

+ − −
= = = −
→ = ⇔ =

V
ậ
y
( )

o
AB,CD 60 .
=
Nhận xét:

Ngoài vi
ệ
c kh
ở
i t
ạ
o P nh
ư
trên ta c
ũ
ng có th
ể
l
ấ
y
đ

i
ể
m P là
trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BD, cách gi
ả
i khi
đ
ó c
ũ
ng t
ươ
ng t
ự
.

Ví d
ụ
3. Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy là hình thang vuông t
ạ
i A và D, AD = DC = a, AB = 2a. SA vuông góc v
ớ
i

AB và AD, =
2 3
3
a
SA . Tính góc c
ủ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng
a) DC và SB.
b) SD và BC.
Hướng dẫn giải:

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
a)
( )

( )

Do DC// AB DC,SB AB,SB
α
→ = =

Tam giác SAB vuông tại A nên α là góc nhọn, khi đó
o
2a 3
SA 3

3
tan
α α 30
AB 2a 3
= = = → =
Vậy góc giữa hai đường thẳng DC và SB bằng 30
o
.
b) Gọi I là trung điểm của AB, khi đó AI = a. Tứ giác ADCI là hình bình hành (do AI // DC), có AI = AD = a nên là
hình thoi. Lại có góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a
DI a 2.
→ =

mặt khác, tứ giác BIDC là hình bình hành (do cặp cạnh DC và BI song song và bằng nhau) nên BC // DI.
Khi đó,
( )

( )

SD,BC SD,DI
β
= =
.
Tam giác SAI vuông tại A nên
2
2
2 2 2 2
2a 3 7a
SI SA AI a
3 3

 
= + = + =
 
 
 

Tam giác SAD vuông t
ạ
i A nên
2
2
2 2 2 2
2a 3 7a
SD SA AD a
3 3
 
= + = + =
 
 
 

Áp d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong tam giác SDI ta
đượ
c


2 2 2 2
SD DI SI 2a 3
cosSDI
2SD.DI
a 21 42
2. .a 2
3
+ −
= = =
Do

cosSDI 0
>
nên góc
SDI
là góc nh
ọ
n

3
β
SDI arccos .
42
 
→ = =
 
 

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:


Cho t
ứ
di
ệ
n
đề
u
ABCD
c
ạ
nh
a
, g
ọ
i
I
là trung
đ
i
ể
m c
ạ
nh
AD
. Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th

ẳ
ng
AB
và
CI
.
Đ/s:

( )

3
; arccos .
6
 
=
 
 
 
AB CI

Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD. G
ọ
i M, N, P l
ầ
n l
ượ

t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC, AD và AC. Bi
ế
t
2 , 2 2, 5.
= = =AB a CD a MN a

Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD.

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và
2.
=BC a Tính góc giữa
(
)

,
 
SC AB
, từ đó suy ra góc

giữa SC và AB.
III. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC



Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu
( )

; 90 .
o
a b a b
= ←→ ⊥



Chú ý:
Các ph
ươ
ng pháp ch
ứ
ng minh a
⊥
b:

 Chứng minh
( )

o
a; b 90
=

 Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau,
u.v 0.
=
 

 Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lý Pitago, trung tuyến tam giác cân, đều
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD trong đó



= = = = = =
o o o
AB AC AD a, BAC 60 , BAD 60 , CAD 90 .
G
ọ
i I và J l
ầ
n l
ượ
t
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB và CD.
a) Ch
ứ

ng minh r
ằ
ng IJ vuông góc v
ớ
i c
ả
hai
đườ
ng AB và CD.
b) Tính
độ
dài IJ.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
a) Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra tam giác ABC, ABD đều,
∆ACD vuông cân tại A.
Từ đó
BC BD a,CD a 2
= = = →∆BCD vuông cân t
ạ
i B.

Chứng minh IJ vuông góc với AB

Do các ∆ACD, ∆BCD vuông cân t
ạ
i A, B nên
1
AJ CD
2
AJ BJ IJ AB.
1
BJ CD
2

=


→ = ⇔ ⊥


=




Chứng minh IJ vuông góc với CD
Do các ∆ACD, ∆BCD
đề
u nên CI = DI → IJ ⊥CD.
b) Áp d
ụ
ng
đị

nh lý Pitago cho ∆AIJ vuông t
ạ
i I ta
đượ
c
2
2
2 2
a 2 a a
IJ AJ AI
2 4 2
 
= − = − =
 
 
 

V
ậ
y IJ = a/2.

Ví dụ 2.

Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và



= =
ASB BSC CSA.

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng SA ⊥
⊥⊥
⊥ BC, SB ⊥
⊥⊥
⊥ AC, SC ⊥
⊥⊥
⊥ AB.
Hướng dẫn giải:

Ch
ứ
ng minh: SA ⊥ BC.
Xét
(
)
SA.BC SA. SC SB SA.SC SA.SB
= − = −
        

Mà
( )

( )





SA.SC SA.SC.cos SA;SC
SA.SB SA.SB.cos SA;SB
SA.SC SA.SB SA.SC SA.SB 0 SA.BC 0 SA BC
SA SB SC
ASB BSC CSA
=
=
→ = ⇔ − = ←→ = ⇔ ⊥
= =
= =
   
   
         

Chứng minh tương tự ta cũng được SB ⊥ AC, SC ⊥ AB
Ví d
ụ
3. Cho t
ứ
di
ệ
n
đề
u
ABCD
, c
ạ
nh b
ằ

ng
a
. G
ọ
i
O
là tâm
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p
∆
∆∆
∆BCD
.
a) Ch
ứ
ng minh
AO
vuông góc v
ớ
i
CD
.
b) G
ọ
i
M

là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
CD
. Tính góc gi
ữ
a




BC
và
AM
.




AC
và
BM
.

Hướng dẫn giải:
a)

Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng
Gọi M là trung điểm của CD. Ta có
(
)
AO.CD AM MO .CD AM.CD MO.CD
= + = +
        

Do ABCD là tứ diện đều nên AM ⊥ CD và O là tâm đáy (hay
O là giao điểm của ba đường cao). Khi đó
AM CD AM.CD 0
AO.CD 0 AO CD.
MO CD
MO.CD 0

⊥ =


⇔ → = ⇔ ⊥
 
⊥
=



 
 
 

b)

Xác định góc giữa BC và AM; AC và BM

Xác định góc giữa BC và AM:
Gọi I là trung điểm của BD → MI // BC.
Từ đó
( )

( )



AMI
BC;AM MI;AM
180 AMI

= =


−


Áp d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong ∆AMI ta
đượ
c


( )
2 2 2
AM MI AI
cosAMI , 1 .
2.AM.MI
+ −
=

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Các ∆ABD, ∆ACD đều, có cạnh a nên
a 3
AI AM .
2
= =
MI là
đườ
ng trung bình nên MI = a/2.
T
ừ

đ
ó
( )
 
( )

2 2 2

a 3a 3a
1 1 1
4 4 4
1 cosAMI AMI arccos BC;AM arccos .
a a 3 2 3 2 3 2 3
2. .
2 2
+ −
   
⇔ = = → = ⇔ =
   
   


Xác định góc giữa BC và AM:
G
ọ
i J là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AD → MJ // AC.
Khi
đ
ó
( )

( )




BMJ
AC;BM MJ;BM
180 BMJ

= =


−


Các tam giác ABD, BCD là các tam giác
đề
u c
ạ
nh a, nên các trung tuy
ế
n t
ươ
ng
ứ
ng
a 3
BJ BM
2
= =
Do
đ

ó,


1
AIM BJM AMI BMJ arccos .
2 3
 
∆ = ∆ → = =
 
 

V
ậ
y
( )

1
AC;BM arccos .
2 3
 
=
 
 

Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A
′
′′
′
B
′

′′
′
C
′
′′
′
D
′
′′
′
cạnh a. Đặt
′
= = =
AB a,AD b,AA c.
     

a) Tính góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng:
( )

( )

( )

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C .

b) G
ọ
i O là tâm c
ủ
a hình vuông ABCD và I là m
ộ
t
đ
i
ể
m sao cho
′ ′
= + + + +
OI OA OA OB OB
    

′ ′
+ + + +
OC OC OD OD .
   

Tính khoảng cách từ O đến I theo a.
c) Phân tích hai véc tơ
′
AC , BD
 
theo ba véc tơ
a, b, c.

  
Từ đó, chứng tỏ rằng AC′
′′
′ và BD vuông góc với nhau.
d) Trên cạnh DC và BB′
′′
′ lấy hai điểm tương ứng M, N sao cho DM = BN = x (với 0 < x < a).
Chứng minh rằng AC′
′′
′ vuông góc với MN.
Hướng dẫn giải:
Nhận xét:
Để
làm t
ố
t các bài toán liên quan
đế
n hình l
ậ
p ph
ươ
ng ta c
ầ
n nh
ớ
m
ộ
t s
ố
tính ch

ấ
t c
ơ
b
ả
n c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng:

T
ấ
t c
ả
các
đườ
ng chéo
ở
các m
ặ
t c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng

đề
u b
ằ
ng nhau và b
ằ
ng
a 2
(n
ế
u hình l
ậ
p ph
ươ
ng c
ạ
nh a).

Các
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng t
ạ
o b
ở
i các kích th
ướ
c c

ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng luôn vuông góc v
ớ
i nhau (dài, r
ộ
ng, cao).
a) Tính góc giữa:
( )

( )

( )

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C .


Tính
( )

AB,B C
′ ′
:
( )

( )


o
Do B C //BC AB,B C AB,BC 90 .
′ ′ ′ ′
→ = =


Tính
( )

AC,B C
′ ′
:
( )

( )



o
ACB
Do B C //BC AC,B C AC,BC
180 ACB

′ ′ ′ ′
→ = =


−


ABCD là hình vuông nên
∆
ABC là tam giác vuông cân t
ạ
i B

( )

o o
ACB 45 AC,B C 45 .
′ ′
→ = ⇔ =


Tính
( )

A C ,B C
′ ′ ′
:
( )

( )



o
ACB

Do A C //AC A C ,B C AC,B C
180 ACB

′
′ ′ ′ ′ ′ ′
→ = =

′

−


Xét trong tam giác ACB
′
có AC = B
′
C = AB
′
(do
đề
u là các
đườ
ng chéo
ở
các m
ặ
t hình vuông c
ủ
a hình l
ậ

p ph
ươ
ng).
Do
đ
ó
∆
ACB
′

đề
u

( )

o o
ACB 60 A C ,B C 60 .
′ ′ ′ ′
→ = ⇔ =

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
b) Tính độ dài OI theo a.
Với O là tâm của hình vuông ABCD thì
OA OC 0
OA OC OB OD 0
OB OD 0

+ =


→ + + + =

+ =


  
    
  

Khi
đ
ó
OI OA OB OC OD
′ ′ ′ ′
= + + +
    

G
ọ
i O
′
là tâm c
ủ
a
đ
áy A
′
B
′
C

′
D
′
, theo quy t
ắ
c trung tuy
ế
n ta có
OA OC 2OO
OI 4OO
OB OD 2OO

′ ′ ′
+ =

′
→ =

′ ′ ′
+ =


  
 
  

Kho
ả
ng cách t
ừ

O
đế
n I chính là
độ
dài véc t
ơ
OI, t
ừ

đ
ó ta
đượ
c OI = 4OO
′
= 4a.
c) Phân tích hai véc tơ
′
AC , BD
 
theo ba véc t
ơ

a, b, c.
  

Theo tính ch
ấ
t c
ủ
a hình l

ậ
p ph
ươ
ng ta d
ễ
dàng có
a.b 0
a.c 0
b.c 0

=


=


=


 
 
 


Phân tích:
AC AB BC CC a b c
BD BA AD b a
′ ′
= + + = + +
= + = −

      
    


Ch
ứ
ng minh AC
′
vuông góc v
ớ
i BD.
Xét
(
)
(
)




2 2 2 2
2 2
0 0 0 0
AC .BD a b c . b a a.b b c.b a a.b c.a b a AD AB 0 AC.BD AC B
D.
′ ′ ′
= + + − = + + − − − = − = − = ⇔ ⇔ ⊥
                    

d) Ch

ứ
ng minh r
ằ
ng AC
′
′′
′
vuông góc v
ớ
i MN.
Ta có phân tích:
MN MC CB BN
AC AB BC CC
= + +
′ ′
= + +
   
   

( ) ( )
0 0 0 0
MN.AC MC CB BN . AB BC CC MC.AB MC.BC MC.CC CB.AB CB.BC CB.CC
BN.AB
   
′ ′ ′ ′
→ = + + + + = + + + + + +
   
   
+
        

         
 
   

0 0
BN.BC BN.CC MC.AB CB.BC BN.CC
 
′ ′
+ + = + +
 
 
          
 

Mà
( )
( )
o
o 2 2
o
MC.AB MC.AB.cos0 a x a
CB.BC CB.BC.cos180 a MN.AC a x a a ax 0 MN AC.
BN.CC BN.CC .cos0 ax
= = −
′ ′
= = − → = − − + = ⇔ ⊥
′ ′
= =
 
   

 

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp
S.ABCD
có
ABCD
là hình ch
ữ
nh
ậ
t v
ớ
i
; 3
AB a AD a
= = , SA = 2a và vuông góc v
ớ
i
đ
áy. Tính
góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng sau:
a) SB và CD b) SD và BC
c) SB và AC d) SC và BD

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh 2a, hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S xu
ố
ng m
ặ
t
đ
áy là
trung
đ
i
ể
m H c
ủ
a AB, bi
ế
t
3.
SH a= G
ọ
i I là trung
đ
i

ể
m c
ủ
a SD. Tính góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng:
a) SC và AB b) SD và BC
c) CI và AB d) BD và CI
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thang vuông t
ạ
i A, B v
ớ
i AB = 3a, AD = 2a, DC = a. Hình chi
ế
u
vuông góc c
ủ
a S xu
ố
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) là H thu

ộ
c AB v
ớ
i AH = 2HB, bi
ế
t SH = 2a. Tính góc gi
ữ
a
a) SB và CD
b) SB và AC
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống (ABCD) là điểm
H thuộc cạnh AB với
1
.
2
AH HB
= Biết
2 ; 3; 2.
AB a AD a SH a= = = Tính góc gi
ữ
a
a)
(SD; BC)
b)
(SB; CD)
c)
(SA; HC)

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!




Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD, có đường cao
2 3
=
SA a
đáy ABCD là hình vuông
tâm O cạnh 2a.
a) Chứng minh rằng: (SCD)

(SAD).
b) Tính khoảng cách từ O và từ A tới mặt phẳng (SCD).
c) Tính tan của góc giữa SB và (SAC).
d) Xác định tâm, bán kính, và tính diện diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC, có đường cao SA, đáy ABC là tam giác vuông tại A,
; 3
= =
AB a AC a
. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng
3
.
4
a
Tính th
ể

tích kh
ố
i chóp
S.ABCD và th
ể
tích kh
ố
i c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p kh
ố
i chóp.
Ví dụ 3:

[ĐVH].
Cho hình chóp S.ABCD, có
đườ
ng cao SA,
đ
áy ABCD là hình ch
ữ
nh
ậ
t,
2 ; 2 3
= =

AB a AD a
. G
ọ
i O là tâm
đ
áy, bi
ế
t kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AC và SD b
ằ
ng
3
.
2
a

a)
Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABCD
b)

Tính th
ể
tích kh
ố
i c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p kh
ố
i chóp S.ABCD.
Ví dụ 4:

[ĐVH].
Hình chóp S.ABC có
đườ
ng cao SA = a,
đ
áy ABC là tam giác
đề
u c
ạ
nh a. Tính bán kính
m
ặ
t c
ầ
u ngo

ạ
i ti
ế
p hình chóp.
Ví dụ 5:

[ĐVH].
Cho hình chóp t
ừ
giác
đề
u S.ABCD có c
ạ
nh
đ
áy b
ằ
ng a và góc h
ợ
p b
ở
i m
ặ
t bên và
đ
áy
b
ằ
ng 60
0

. Xác
đị
nh tâm và bán kính m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p hình chóp.
Ví dụ 6:

[ĐVH].
Cho t
ứ
di
ệ
n
đề
u ABCD có c
ạ
nh là a.
a)
Xác
đị
nh tâm và bán kính m
ặ
t c
ầ

u ngo
ạ
i ti
ế
p t
ứ
di
ệ
n.
b)
Tính di
ệ
n tích m
ặ
t c
ầ
u và th
ể
tích kh
ố
i c
ầ
u
đ
ó.
Ví dụ 7:

[ĐVH].
Cho m
ộ

t hình chóp t
ứ
giác
đề
u có c
ạ
nh
đ
áy là a, c
ạ
nh bên h
ợ
p v
ớ
i m
ặ
t
đ
áy m
ộ
t góc 60
0
.
a)
Xác
đị
nh tâm và bán kính m
ặ
t c
ầ

u ngo
ạ
i ti
ế
p hình chóp.
b)
Tính di
ệ
n tích m
ặ
t c
ầ
u và th
ể
tích kh
ố
i c
ầ
u
đ
ó.
Ví dụ 8:

[ĐVH].
Cho hình chóp t
ứ
giác
đề
u S.ABCD có t
ấ

t c
ả
các c
ạ
nh
đề
u b
ằ
ng a. Xác
đị
nh tâm và bán
kính c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u
đ
i qua n
ă
m
đ
i
ể
m S, A, B, C, D.
Ví dụ 9:

[ĐVH].
Cho hình chóp S.ABCD có

đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh a,
)(ABCDSA
⊥
và
3aSA = . Gọi O là tâm hình vuông ABCD và K là hình chiếu của B trên SC.
a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vuông. Suy ra năm điểm S, D, A, K B
cùng n
ằm trên mặt cầu đường kính SB.
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên.
MẶT CẦU KHÔNG GIAN – P1

Th
ầy Đặng Việt H
ùng

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Ví dụ 10: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và )(ABCSA
⊥
.
a) Gọi O là trung điểm của SC. Chứng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra bốn điểm A, B, C, S cùng nằm
trên mặt cầu tâm O bán kính
2
SC
R = .
b)
Cho SA = BC = a và

2aAB =
. Tính bán kính m
ặ
t c
ầ
u nói trên.
Ví dụ 11:

[ĐVH].
Cho hình chóp S.ABC có SA
⊥
(ABC) và tam giác ABC vuông t
ạ
i B. G
ọ
i AH, AK l
ầ
n
l
ượ
t là các
đườ
ng cao c
ủ
a các tam giác SAB và SAC.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng n
ă
m
đ
i
ể
m A, B, C, H, K cùng
ở
trên m
ộ
t m
ặ
t c
ầ
u.
b)
Cho AB = 10, BC = 24. Xác
đị
nh tâm và tính bán kính m
ặ
t c
ầ
u
đ
ó.
Ví dụ 12:

[ĐVH].
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông c
ạ

nh b
ằ
ng a,
7
=
SA a
và SA
⊥

(ABCD). M
ộ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) qua A và vuông góc v
ớ
i SC, c
ắ
t SB, SC, SD l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i H, M, K.
a)
Ch
ứ
ng minh r

ằ
ng b
ả
y
đ
i
ể
m A, B, C, D, H, M, K cùng
ở
trên m
ộ
t m
ặ
t c
ầ
u.
b)
Xác
đị
nh tâm và tính bán kính m
ặ
t c
ầ
u
đ
ó.

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!




Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, hình chiếu vuông góc của
đỉnh S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của AB, đường trung tuyến AM của ∆ACD có độ dài
3
2
a
,
góc giữ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (SCD) và (ABCD) b
ằ
ng 30
0
. Tính th
ể
tích kh
ố

i chóp S.ABCD và tính di
ệ
n tích
m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p hình chóp S.ABC.
Ví dụ 2:

[ĐVH].
Cho hình chóp S.ABC bi
ế
t SA = SB = SC,
∆
ABC có

0
60
=
BAC , AB = 4, AC = 5. Góc
gi
ữ
a SA và (ABC) b
ằ
ng 60

0
. Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABC và tìm tâm, bán kính m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p hình
chóp theo a.
Ví dụ 3:

[ĐVH].
Cho t
ứ
di
ệ
n SABC có SA
⊥
(ABC), SA = a, AB = b, AC = c. Xác
đị
nh tâm và tính bán
kính m
ặ
t c

ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p t
ứ
di
ệ
n trong các tr
ườ
ng h
ợ
p sau:
a)


0
90
=
BAC
b)


0
60
=
BAC , b = c
c)


0
120
=
BAC , b = c.
Ví dụ 4:

[ĐVH].
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình ch
ữ
nh
ậ
t,
; 3
= =
AB a AD a
. Gọi O là
tâm đáy, biết hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm của tam giác ABC; khoảng
cách từ O đến mặt phẳng (SAD) bằng
.
2
a

a)
Tính th
ể
tích kh
ố

i chóp S.ABCD
b)
Tính di
ệ
n tích m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p kh
ố
i chóp S.ABCD.
Ví dụ 5:

[ĐVH].
Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD, bi
ế
t AB = BC = AC = BD = a, AD = b. Hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (ACD) và
(BCD) vuông góc v

ớ
i nhau.
a)
Ch
ứ
ng minh tam giác ACD vuông.
b)
Tính di
ệ
n tích m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p t
ứ
di
ệ
n ABCD.
Đ
/s:
2
2 2
3
=
−
a

R
a b

Ví dụ 6: [ĐVH]. Trong mặt phẳng (P), cho hình thang cân ABCD với AB = 2a, BC = CD = DA = a. Trên
nửa đường thẳng Ax vuông góc với (P) ta lấy một điêm di động S. Một mặt phẳng qua A vuông góc với
SB, cắt SB, SC, SD lần lượt tại P, Q, R.
a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, P, Q, R luôn thuộc một mặt cầu cố định. tính diện tích của mặt
cầu đó.
b) Cho
3
=
SA a
. Tính diện tích của tứ giác APQR.
Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho hình chp S.ABC có đáy là tam giác ABC biết AB =5a ; BC = 4a và CA = 3a. Trên
đương vuông góc với (ABC) dựng từ A lấy một điểm S sao cho (SBC) tạo với đáy góc 45
0
. Xác định tâm
và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên.
MẶT CẦU KHÔNG GIAN – P2

Th
ầy Đặng Việt H
ùng

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Ví dụ 8: [ĐVH].

Cho ∆ABC cân có


0
120
=BAC và đường cao
2
=
AH a
. Trên đường thẳng ∆ ⊥ (ABC)
tại A ta lấy 2 điểm I, J ở 2 bên điểm A sao cho IBC là tam giác đều và JBC là tam giác vuông cân.
a) Tính các cạnh của ∆ABC
b) Tính AI, AJ và chứng minh các tam giác BIJ, CIJ là các tam giác vuông cân
c) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện IJBC, IABC
( 2 3)
=R a

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!




Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho lăng trụ đứng
. ' ' '
ABC A B C
có đ
áy là tam giác
ABC
vuông t
ạ
i
A

,
AB
=
a
;

0
' 3; 60
AA a ABC= =
. Xác
đị
nh tâm và tính bán kính m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p kh
ố
i l
ă
ng tr
ụ

đ
ã cho.
Ví dụ 2:

[ĐVH].
Cho hình chóp
S.ABCD
có
đ
áy
ABCD
là hình thoi c
ạ
nh
ạ
, góc
BAD
b
ằ
ng 60
0
và
SA
=
SB
=
SD
.
Xác
đị
nh tâm và tính bán kính m
ặ
t c
ầ

u ngo
ạ
i ti
ế
p t
ứ
di
ệ
n
SBCD
bi
ế
t

0
90 .
BSD =

Ví dụ 3:

[ĐVH].
Cho hình chóp
S.ABCD
có
đ
áy
ABCD
là hình thang v
ớ
i

AB
//
CD
,
AB
= 2
a
;
BC
=
CD
=
DA
=
a,

( )
2
; ;
2
a
SA SB SC SD d AB SC= = = = . Xác
đị
nh tâm và tính bán kính m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti

ế
p hình chóp
đ
ã cho.
Ví dụ 4:

[ĐVH].
Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD có các m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC) và (BCD) vuông góc v
ớ
i nhau. Bi
ế
t


0 0
; 60 ; 30
BC a BAC BDC= = =
. Tính bán kính và th
ể
tích kh
ố
i c

ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p ABCD.
Ví dụ 5:

[ĐVH].
Cho hình chóp S.ABC có các m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC) và (SBC) vuông góc v
ớ
i nhau. Bi
ế
t
;
AB AC SA SB a SC x
= = = = =
. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho theo a và x.
Đ/s:
2
2 2
3
a
R
a x
=

−

Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
2 6
;
3
a
AB a AD= = , mặt phẳng
(SAB) vuông góc với đáy và SA = SB = a. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối S.ABD theo a.
Đ/s:
R a
=

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông và AB = BC = a. Cạnh SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC). Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 45
0
. Gọi M là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABC. Tính thể tích khối đa diện M.ABC theo a.
Bài 2: [ĐVH]. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ nội tiếp trong hình trụ có bán kính đáy r; góc giữa BC’ và trục
của hình trụ bằng 30
0
; đáy ABC là tam giác cân đỉnh B có

0
120
ABC
=
. Gọi E, F, K lần lượt là trung
điểm của BC, A’C và AB. Tính theo r thể tích khối chóp A’.KEF và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

FKBE.
Bài 3: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi cạnh 2a, SA = a,
3
SB a
=
, góc BAD bằng 60
0
,
(
)
(
)
SAB ABCD
⊥
, gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và BC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và cosin
giữa hai đường thẳng SM và DN.
Bài 4: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật ; tam giác SAB vuông cân tại S.
Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB, các mặt phẳng (SHC), (SHD), (ABCD) đôi một vuông góc. Biết
=
3
SC a
, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAD) và (SDC).
MẶT CẦU KHÔNG GIAN – P3

Th
ầy Đặng Việt H
ùng

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!

Bài 5: [ĐVH]. Cho lăng trụ đứng
. ' ' '
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác cân với
AB AC a
= =
, góc

0
120
BAC =
, cạnh bên
'
BB a
=
. Gọi I là trung điểm của
'
CC
. Chứ
ng minh tam giác
'
AB I
vuông t
ạ
i A và
tính côsin c
ủ
a góc gi

ữ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
ABC
và
(
)
'
AB I

Bài 6:

[ĐVH].
Cho hình chóp S.ABC có
đ
áy ABC là tam giác vuông cân t
ạ
i B, AB = BC =
3
a
, kho
ả
ng
cách t
ừ

A
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (SBC) b
ằ
ng
2
a
và


0
90
SAB SCB
= =
. Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABC theo a và
góc gi
ữ
a
đườ
ng th
ẳ
ng SB v

ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC).


Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!







Ví dụ 1.1
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết SA vuông góc với (ABCD), AB =
BC = a; AD = 2a,
3.
=SA a
Tính góc giữa
a) (SB; CD)
b) (SC; AB)
c) (SD; BC)
d) (SB; CK), với K là điểm thuộc đoạn AB sao cho BK = 2KA.
Ví dụ 2.1
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ABC tại B, AB = a; BC = 2a. I là trung điểm của BC, hình
chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AI. Biết

2
2.
SAI
S a=
Tính góc giữa
a) (SA; BC)
b) (AI; SB)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết SA = a; AB =
a;
2.
BC a=
Gọi I là trung điểm của BC.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng (AI; SC)
b) Gọi J là trung điểm của SB, N là điểm trên đoạn AB sao cho AN = 2NB. Tính góc giữa hai đường AC và
JN.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có
; 3.
AB a AD a= = Hình chiếu vuông góc
của đỉnh S xuống (ABCD) là trung điểm H của OD, biết SH = 2a. Tính góc giữa
a) (SB; CD)
b) (AC; SD)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
3
a
. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S
xuống (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với
1
; 2.
4

AH AB SH a= = Tính góc gi
ữ
a
a)
(SD; BC)
b)
(SB; AC)
c)
(SA; BD)
d)
(SC; BD)
01. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – P2
Th
ầy Đặng Việt H
ùng

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của BC. Hình chiếu
vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc AI với
2 0
HI HA
+ =
  
và
3.
SH a=
a) Tính góc giữa hai đường thẳng (SA; BC)
b) Tính góc giữa hai đường thẳng (AB; SI)
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống

(ABCD) là điểm H thuộc cạnh AC với
1
; 2 .
4
AH AC SH a
= = Tính góc gi
ữ
a
a)
(SA; CD)
b)
(SC; BD)
c)
(SB; AD)
d)
(SA; BD)
Bài 6.
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh 2a, hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
đỉ
nh S xu
ố
ng

(ABCD) là trung
đ
i
ể
m H c
ủ
a AB. Bi
ế
t
3.
SH a= Tính góc gi
ữ
a
a)
(SA; BC)
b)
(SB; CD)
c)
(SA; CD)
d)
(SB; MN), v
ớ
i M và N là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC; CD.
e)

(SC; MN), v
ớ
i M, N nh
ư
trên.
Bài 7.
Cho hình chóp S.ABC có
đ
áy ABC là tam giác
đề
u c
ạ
nh a. Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S xu
ố
ng (ABC)
là
đ
i
ể
m H thu
ộ
c AB sao cho
1
.
3
AH AB

= Bi
ế
t di
ệ
n tích tam giác SAB b
ằ
ng
2
3
.
2
a
Tính góc gi
ữ
a
a)
(SA; BC)
b)
(SB; AC)
Bài 8.
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thang vuông t
ạ
i A và B. Bi
ế
t AB = BC = a; AD = 2a.
Hình chi
ế
u c

ủ
a S xu
ố
ng (ABCD) là
đ
i
ể
m H thu
ộ
c AC sao cho CH = 3AH;
3.
SH a
=
Tính góc gi
ữ
a
a)
(SC; AB)
b)
(SA; BD)
Đ
/s:
( ) ( )
66 10
) cos ; ) cos ;
22 50
a SC AB b SA BD= =
Bài 9.
Cho hình chóp S.ABCD có
đ

áy là hình ch
ữ
nh
ậ
t, AB = a; AD = 2a. Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S xu
ố
ng
m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) là
đ
i
ể
m H thu
ộ
c AB sao cho AB = 3AH. Bi
ế
t
2
.
SAB
S a
= Tính góc giữa
a) (SA; BD)

b) (SC; BM), với M là trung điểm của AD.
Đ/s:
( )

( )
0
38
) ; 86 ) cos ;
19
a SA BD b SC BM≈ =

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95





Ví dụ 1: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
Hướng dẫn giải:

a) * S
xq
= 2πRl = 2π.OA.AA
’
= 2π.R.2R = 4
π

R
2

* OA = R; AA
’
= 2R
* S
tp
= S
xq
+ 2S
đáy
= 4
π
R
2
+
π
R
2
= 5
π
R
2

b) V =
2
π
R h
=

2
′
π
.OA .OO
=
2 3
2 2
π = π
.R . R R


Ví dụ 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7 cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3 cm. Hãy tính diện tích của thiết diện
được tạo nên
Hướng dẫn giải:

a) Ta có S
xq
= 2πRl = 2π.OA.AA
’
= 2
π
.5.7 = 70π (cm
2
)
* OA = 5cm; AA
’
= 7cm

* S
tp
= S
xq
+ 2S
đáy
= 70π + 50π = 120π (cm
2
)
b) V =
2
π
R h
=
2
′
π
.OA .OO
= π.5
2
.7 = 175π (cm
3
)
c) Gọi I là trung điểm của AB
⇒
OI = 3 cm
*
ABB A
S
′ ′

= AB.AA
’
= 8.7 = 56 (cm
2
) (hình chữ nhật)
* AA
’
= 7
* Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8
* Tính: AI = 4 (cm) (do tam giác OAI vuông tại I)
Ví dụ 3: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao
3
h r
=
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính th
ể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục
của hình trụ bằng 30
0
. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ
Hướng dẫn giải:
Tài liệu bài giảng:

MẶT TRỤ - KHỐI TRỤ
Thầy Đặng Việt Hùng
A

B

O

O'

A'

B'

l

h

h

r

l

B'

A'

O'

I

O

B

A

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95

a) * S
xq
= 2
π
Rl = 2
π
.OA.AA
’
= 2
π
.r. r
3
= 2
3
π
r
2

* S
tp
= S
xq
+ 2S
đáy

= 2
π
r
2
3
+ 2
π
r
2
= 2 (
3 1
)
+
π
r
2
b) * V =
2
R h
π
=
2
.OA .OO
′
π
=
2 3
3 3
.r .r rπ = π

c) * OO
’
//AA
’

⇒
BAA
∧
′
= 30
0

* Kẻ O
’
H
⊥
A
’
B
⇒
O
’
H là khoảng cách giữa đường thẳng AB
và trục OO
’
của hình trụ
* Tính: O
’
H =
3

2
r
(vì
∆
BA
’
O
’
đều cạnh r)
* C/m:
∆
BA
’
O
’
đều cạnh r * Tính: A
’
B = A
’
O
’
= BO
’
= r
* Tính: A
’
B = r (do tam giác AA
’
B vuông tại A
’

)
Cách khác: Tính O
’
H =
2 2
′ ′ ′
−
O A A H
=
2
2
3
4 2
− =
r r
r
(
∨
∆
A
’
O
’
H tại H). Tính: A
’
H =
2
′
A B
=

2
r

Tính: A
’
B = r (do tam giác AA
’
B vuông tại A
’
)
Ví dụ 4: Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O
’
, bán kính R, chiều cao hình trụ là
2
R
.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
Hướng dẫn giải:

a) * S
xq
= 2πRl = 2π.OA.AA
’
= 2
π
.R. R
2
=
2 2

π
R
2

* S
tp
= S
xq
+ 2S
đáy
=
2 2
π
R
2
+ 2
π
R
2
= 2
2 1
+
( )
π
R
2
b) * V =
2
π
R h

=
2
′
π
.OA .OO
=
2 3
2 2
π = π.R .R R

Ví dụ 5: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao h = 50 cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c) Một đoạn thẳng có chiều dài 100 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách
từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ
Đ/s: a) S
xq
= 2πRl = 5000 π (cm
2
) S
tp
= S
xq
+ 2S
đáy
= 5000π + 5000π = 10000π (cm
2
)
b) * V =
2

π
R h
= 125000π (cm
3
)
c) * O
’
H = 25 (cm)
r

3

H

A

B

O

O'

A'

r

R

2

R

A'

O'

O

A

LUYN THI I HC MễN TON Thy Hựng Chuyờn Hỡnh hc khụng gian

Tham gia khúa TON 2014 t 9 im Toỏn www.moon.vn facebook: LyHung95 fanpage: Hungdv95
BI TP T LUYN
Bài 1: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông.
a) Tính diện tích thiết diện qua trục.
b) Tính diện tích toàn phần và thể tích của trụ.
c) Tính diện tích và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình trụ.
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với đáy nhỏ AB = a, đáy
lớn CD = 4a, cạnh bên bằng
5
2
a
; chiều cao hình lăng trụ bằng h.
a) Chứng minh có hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho.
b) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình trụ đó.
Bài 3: Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng

4
.

a) Tính diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích khối trụ.
c) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình trụ.
Bài 4: Cho hình trụ có trục O
1
O
2
. Một mặt phẳng
( )

song song với trục O
1
O
2
cắt hình trụ theo
thiết diện là hình chữ nhật ABCD. Gọi O là tâm của thiết diện đó. Tính góc O
1
OO
2
biết bán kính
đờng tròn ngoại tiếp ABCD bằng bán kính đờng tròn đáy của hình trụ.

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!




DẠNG 1. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG




Đường thẳng song song với mặt phẳng:
Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó
song song với một đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng.
Viết dạng mệnh đề:
( )
(
)
//
//
a P
d P
d a

⊂

⇔








Tính chất giao tuyến song song:
N
ế
u hai m

ặ
t ph
ẳ
ng (P) và (Q) ch
ứ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng a, b
song song v
ớ
i nhau, thì giao tuy
ế
n n
ế
u có c
ủ
a hai m
ặ
t
ph
ẳ
ng ph
ả
i song song v
ớ
i a và b.
Vi
ế

t d
ạ
ng m
ệ
nh
đề
:
(
)
(
)
(
)
(
)
; ;
// //
//
a P b Q P Q
a b
a b

⊂ ⊂ ∩ = ∆

→∆







Tính chất để dựng thiết diện song song:
N
ế
u
đườ
ng th
ẳ
ng a song song v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P); m
ộ
t
m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q) ch
ứ
a a, c
ắ
t (P) theo giao tuy
ế
n

∆
thì
∆

ph
ả
i song song v
ớ
i a.
Vi
ế
t d
ạ
ng m
ệ
nh
đề
:
(
)
( )
( ) ( )
//
//
a P
a Q a
P Q


⊂ →∆



∩ = ∆






Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
+ Định nghĩa:

Đườ
ng th
ẳ
ng a vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
(P) khi nó vuông góc v
ớ
i m
ọ
i
đườ
ng th
ẳ

ng a n
ằ
m trong
(P). Vi
ế
t d
ạ
ng m
ệ
nh
đề
:
( )
(
)
a P
d P
d a

∀ ⊂

⊥ ⇔

⊥



+ Hệ quả 1
:
Để

ch
ứ
ng minh
đườ
ng th
ẳ
ng d vuông góc
v
ớ
i (P) ta ch
ỉ
c
ầ
n ch
ứ
ng minh d vuông góc v
ớ
i hai
đườ
ng
th
ẳ
ng c
ắ
t nhau n
ằ
m trong (P).
+ Hệ quả 2
: N
ế

u hai
đườ
ng th
ẳ
ng phân bi
ệ
t d
1
; d
2
cùng
vuông góc v
ớ
i (P) thì d
1
// d
2
.
+

Hệ quả 3
: N
ế
u hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (P
1
); (P

2
) cùng vuông
góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d thì (P
1
) // (P
2
).
+

Hệ quả 4
: N
ế
u
đườ
ng th
ẳ
ng d cùng vuông góc v
ớ
i m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ

ng a và m
ộ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) thì khi
đ
ó
đườ
ng
th
ẳ
ng a ho
ặ
c song song v
ớ
i (P) ho
ặ
c n
ằ
m trong (P).
Vi
ế
t d
ạ
ng m
ệ
nh
đề

:
( )
(
)
( )
//
a P
d a
d P
a P

⊥


→


⊥
⊂






03. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – P1
Th
ầy Đặng Việt H
ùng

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
+ Hệ quả 5: Nếu đường thẳng d có hình chiếu vuông góc
xuống (P) là d’; đường thẳng a nằm trong (P) vuông góc
với d khi và chỉ khi a vuông góc với d’.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy.
a) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC)
b) Gọi M, N là trung điểm của SC, SD. Chứng minh MN ⊥ (SAD)
c) Cho
3.
=SA a Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CN.
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC), tam giác ABC cân tại A với
6
; .
5
= = =
a
AB AC a BC G
ọ
i M là
trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC, k
ẻ
AH ⊥ MD, v

ớ
i H thu
ộ
c MD.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng AH ⊥ (BCD)
b)
Cho
4
.
5
=
a
AD Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AC và DM.
c
) G
ọ
i G
1
; G

2
là tr
ọ
ng tâm các tam giác ABC và DBC. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng G
1
G
2
⊥ (ABC).
Ví dụ 3.
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh a, SA vuông góc v
ớ
i
đ
áy. G
ọ
i B
1
; C
1
; D
1

là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a A lên các c
ạ
nh SB, SC, SD.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng B
1
D
1
// BD và SC ⊥ (AB
1
D
1
)
b)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng các
đ
i
ể

m A, B
1
, C
1
, D
1

đồ
ng ph
ẳ
ng và t
ứ
giác AB
1
C
1
D
1
n
ộ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn.
c)
Cho
2.
=SA a
Tính góc gi

ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng SB và AC
1
.
Ví dụ 4.
Cho t
ứ
di
ệ
n OABC có OA, OB, OC
đ
ôi m
ộ
t vuông góc. K
ẻ
OH ⊥ (ABC)
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng tam giác ABC có ba góc nh
ọ
n.
b)
Ch

ứ
ng minh OA ⊥ BC; OB ⊥ AC; OC ⊥ AB
c)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng H là tr
ự
c tâm c
ủ
a tam giác ABC.
d)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2 2 2 2
1 1 1 1
= + +
OH OA OB OC

Ví dụ 5.
Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ

ng (ABC), tam giác ABC vuông t
ạ
i A.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng tam giác SAC vuông.
b)
Tính SA, SB, SC bi
ế
t


α; β; .
= = =
ACB ACS BC a

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1:
Cho t
ứ
di
ệ
n S.ABC có SA vuông góc v
ớ
i (ABC) và
∆
ABC vuông

ở
B. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
a)
BC ⊥ (SAB).
b)
G
ọ
i AH là
đườ
ng cao c
ủ
a
∆
SAB. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng AH ⊥ (SBC).
Bài 2:
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thoi tâm O. G
ọ
i I, J l
ầ
n l

ượ
t là trung
đ
i
ể
m AB, BC. Bi
ế
t
SA = SC, SB = SD. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
a)
SO ⊥ (ABCD).
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
b) IJ ⊥ (SBD).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA ⊥ (ABCD). Gọi H, I, K lần
lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD.
a) Chứng minh rằng rằng CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC).
b) Chứng minh rằng SC ⊥ (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK).
c) Chứng minh rằng HK ⊥ (SAC), từ đó suy ra HK ⊥ AI.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và
2
SC a
= . G
ọ
i H, K l
ầ

n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a các c
ạ
nh AB, AD.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng SH ⊥ (ABCD).
b)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng AC ⊥ SK và CK ⊥ SD.
Bài 5.
Cho hình chóp SABCD, có
đ
áy là hình vuông c
ạ
nh a. M
ặ

t bên SAB là tam giác
đề
u; SAD là tam giác
vuông cân
đỉ
nh S. G
ọ
i I, J l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB và CD.
a)
Tính các c
ạ
nh c
ủ
a ∆SIJ và ch
ứ
ng minh r
ằ
ng SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB).
b)
G

ọ
i H là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S trên IJ. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng SH ⊥ AC.
c)
G
ọ
i M là m
ộ
t
đ
i
ể
m thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng CD sao cho BM ⊥ SA. Tính AM theo a.
Đ
/s: a)
3
; , .

2 2
a a
a
c)
5
.
2
a

Bài 6.
Cho ∆MAB vuông t
ạ
i M
ở
trong m
ặ
t ph
ẳ
ng (P). Trên
đườ
ng th
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i (P) t
ạ
i A ta l
ấ
y 2
đ

i
ể
m C, D
ở
hai bên
đ
i
ể
m A. G
ọ
i C′ là hình chi
ế
u c
ủ
a C trên MD, H là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a AM và CC′.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng CC′ ⊥ (MBD).
b)
G
ọ

i K là hình chi
ế
u c
ủ
a H trên AB. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng K là tr
ự
c tâm c
ủ
a ∆BCD.

Bài 7.
Cho hình chóp S.ABCD, có SA ⊥ (ABCD) và SA = a,
đ
áy ABCD là hình thang vuông có
đườ
ng cao
AB = a ; AD = 2a và M là trung
đ
i
ể
m AD.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng tam giác SCD vuông t
ạ
i C.
b)
K
ẻ
SN vuông CD t
ạ
i N. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng CD ⊥ (SAN).

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!




DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1) Khái niệm
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu vuông góc của nó xuống mặt phẳng.
2) Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Giả sử cần xác định góc giữa hai mặt phẳng d
1
và d
2
, ta thực hiện theo các bước sau
- Tìm hình chiếu d′ của d lên (P)

- khi đó,
( )

( )

,( ) ,
d P d d
′
= , và bài toán quay v
ề
tìm
góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng.
Chú ý:
Thông th
ườ
ng
đườ
ng th
ẳ
ng d cho d
ạ
ng
đ
o

ạ
n th
ẳ
ng
(MN ch
ẳ
ng h
ạ
n), khi
đ
ó
để
tìm hình chi
ế
u c
ủ
a MN ta
tìm hình chi
ế
u c
ủ
a t
ừ
ng
đ
i
ể
m M và N xu
ố
ng (P), t

ứ
c
là tìm các
đ
i
ể
m H, K sao cho MH
⊥
(P), NK
⊥
(P)


BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc. Gọi I là trung
điểm của AB.
a) Chứng minh SI ⊥ (ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD).
b) Tính khoảng cách từ B đến (SAD). Từ đó suy ra góc của SC với (SAD).
c) Gọi J là trung điểm CD, chứng minh (SIJ) ⊥ (ABCD).
d) Tính góc hợp bởi SI với (SDC).
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA
và BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) là 60
0
.
a) Tính độ dài đoạn MN.
b) Tính cosin của góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
6
=
SA a

và vuông góc với đáy. Tính góc giữa
a) SC với (ABCD).
b) SC với (SAB).
c) SB với (SAC).
Đ/s: a) 30
0
b)
7
tan
α .
7
=
c)
14
sin
α .
14
=

Bài 4:
Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′ đáy là tam giác đều cạnh a; đỉnh A′ cách đều A; B; C; góc giữa AA′ và
(ABC) là 60
0

Tài liệu bài giảng:

03. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!

a) Xác định và tính đường cao của lăng trụ trên.
b) Xác định và tính góc giữa A′A với (ABC).
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA vuông (ABC) tại A; SA = AC = a ; AB
= 2a. Xác định và tính góc giữa các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau
a) SA; SC ; SB với (ABC).
b) BC; BA; BS với (SAC).
c) CH; CA; CB; CS với (SAB) với CH là đường cao tam giác ABC.
d) Biết AK là đường cao tam giác SAC xác định và tính góc giữa AK; AS; AC với (SBC).
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy,
6.
=SA a Tính
góc giữa
a) SB và CM, với M là trung điểm của AD.
b) SC và DN, với N là điểm trên đoạn BC sao cho BN = 2 NC.
c) SC và (ABCD)
d) SC và (SAB)
e) SB và (SAC)
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S xuống mặt
phẳng (ABCD) là trọng tâm G của tam giác ABD, cho SG = 2a. Tính góc giữa
a) SA và BD. b) SC và (ABCD)
c) AD và (SAC) d) SD và (ABCD)
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = a, AD = 2a. Cạnh
SA vuông góc với đáy,
2.
=SA a
Tính góc giữa
a) SC và (SAB) b) SD và (SAC) c) AC và (SAD)