tai liệu bài giảng day số cao cấp

10/18/2012
1
DÃY SỐ
Các khái niệm
• Dãy số là hàm số dạng

• Đặt 

  , ký hiệu dãy số: 


• Dãy số 

 được gọi là đơn điệu tăng nếu




(tăng thực sự: >)
• Dãy số 

 được gọi là đơn điệu giảm nếu




(giảm thực sự: <)
Day so Nguyen Van Thuy - University of Science 2
Các khái niệm
• Dãy số 


 được gọi là hội tụ về   nếu
 



 

  
• Lúc đó, dãy 

 được gọi là hội tụ và  được
gọi là giới hạn của dãy và viết





• 



  







• 





Day so Nguyen Van Thuy - University of Science 3
10/18/2012
2
Tiêu chuẩn hội tụ
• Định lý hội tụ đơn điệu
– Nếu dãy số 

 tăng và bị chặn trên thì có giới
hạn hữu hạn (hội tụ)
– Nếu dãy số 

 giảm và bị chặn dưới thì có
giới hạn hữu hạn
• Note
– Dãy 

 bị chặn trên nếu tồn tại số thực  sao
cho 


– Dãy 

 bị chặn dưới  

 
Day so Nguyen Van Thuy - University of Science 4

Dãy Cauchy
• Dãy số 

 được gọi là dãy Cauchy (hoặc dãy
cơ bản) nếu với mọi số   bé tùy ý, tồn tại


 sao cho


 




• Tiêu chuẩn Cauchy
Dãy số hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy

Day so Nguyen Van Thuy - University of Science 5
Tính chất
• Định lý kẹp. Xét các dãy số 

 



. Ta
có














 



 




• Ví dụ. Tính







Day so Nguyen Van Thuy - University of Science 6
10/18/2012

3
Bài tập
• 1. Tính giới hạn





 




 
 



 

• 2. Tính






Day so Nguyen Van Thuy - University of Science 7
Bài tập
• 3. Chứng minh rằng dãy số








là dãy giảm thực sự và tìm giới hạn của dãy
• HD
– So sánh




với số 1
– Chứng tỏ dãy hội tụ và tính lim
Day so Nguyen Van Thuy - University of Science 8
Bài tập
• 4. Thiết lập sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy
được xác định theo biểu thức




  

 
• HD
– Cách 1. Chứng minh dãy tăng bằng quy nạp rồi suy
ra dãy bị chặn trên bởi 3

– Cách 2. Chứng minh dãy bị chặn trên bởi 3 rồi xét
dấu 

 

để suy ra dãy tăng
– Có thể quy nạp để có dãy bị chặn trên bởi 3
Day so Nguyen Van Thuy - University of Science 9
10/18/2012
4
Bài tập
• 5. chứng minh rằng dãy 

 được xác định
theo công thức truy hồi







 

  
hội tụ và tìm giới hạn của dãy
• HD. Quy nạp để có





 rồi chứng minh
dãy tăng
Day so Nguyen Van Thuy - University of Science 10
Bài tập
• 6. Dãy 

 được xác định theo công thức truy
hồi







 


 

Thiết lập sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy
• HD. Quy nạp để có 



Day so Nguyen Van Thuy - University of Science 11
Bài tập
• 7. Tính




    


    
 

   

• 8. Khảo sát tính đơn điệu của dãy




   

và xác định giới hạn của nó (HD. Tính 



)
Day so Nguyen Van Thuy - University of Science 12
10/18/2012
5
Bài tập
• 9. Khảo sát sự hội tụ của dãy được cho bởi
công thức



 

 


• 10. Tính





 


 



HD. ĐS:2/3
Day so Nguyen Van Thuy - University of Science 13