Phương pháp giải một số bài toán hình học không gian giải tích điển hình

Vũ Ngọc Vinh
1
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GIẢI TÍCH ĐIỂN HÌNH

PHẦN I. BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP
1.BÀI TOÁN 1:
Lập phương trình đường thẳng d qua A vuông góc với đường thẳng d
1

và cắt đường thẳng d
2

Cách 1:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng tham số.
-Giả sử (d) là đường thẳng cần dựng
và cắt (d
2
) tại B, khi đó B( )
AB

(…)
-Gọi
1


là vtcp của (d
1
), ta có
1



(…)
Bước 2:
Vì (d)

(d
1
) nên :
AB




1



1
. 0AB 
 
(nhờ tích vô hướng)
AB

(…)
Bước 3: Phương trình đường thẳng (d) được cho bởi:
 
 
 
 

: : , .


x
qua A
d d y t R
vtcpAB
z



 
  
 







Cách 2:
-Giả sử (d) là đường thẳng cần dựng, khi đó (d) chính là giao tuyến của
hai mặt phẳng (P
1
) và (P
2
), trong đó:

 
 
   
1
1 1

:
qua A
P
P d






và

 
 
   
2
2 2

:
qua A
P
d P








* Phương trình mặt phẳng (P
1
):
 
 
   
1
1 1

:
qua A
P
P d








 
 
 
 

1 1
1

: :

qua A
P P
vtptn a


 




 

* Phương trình mặt phẳng (P
2
) (mặt phẳng đi qua một điểm và chứa
một đường thẳng)
Viết phương trình mặt phẳng (P
2
) bằng 2 cách:
Cách 1: Chọn điểm M( ) tùy ý thuộc (d
2
)
 
AM


. Ta có :

 
 
   
2
2 2

:
qua A
P
d P









Vũ Ngọc Vinh
2
 
 
2 2
2 2

:
qua A

P n AM
n a



 





 
 
2 2
. n AM a
 
  
 
  


 
 
 
2 2
2

: :
qua A
P P

vtptn








Cách 2: Chuyển phương trình (d
2
) về dạng tổng quát, sau đó sử dụng
chùm mặt phẳng.
* Kết luận: Phương trình giao tuyến (d) của (P
1
) và (P
2
) có dạng:
 
 
 
1
2
:
pt P
d
pt P






, Sau đó chuyển phương trình về dạng tham số hoặc chính tắc.
2.BÀI TOÁN 2:
Lập phương trình đường thẳng qua A cắt cả 2 đường thẳng d
1
và đường
thẳng d
2
Bước 1: Gọi (P
1
) là mặt phẳng qua A chứa (d
1
), ta lập
Phương trình mặt phẳng (P
1
) .
Cách 1:
Chọn điểm M( ) tùy ý thuộc (d
1
)
 
AM


 
 
   
1
1 1

:
qua A
P
d P







 
 
1
1

:
qua A
P n AM
n a



 






 
 
1
. n AM a
 
  
 
  

 
 
 
1 1

: :
qua A
P P
vtptn








Cách 2: Sử dụng pp chùm mặt phẳng :
-Gọi (P
1
) là mặt phẳng qua A chứa (d

1
), ta có (P
1
)
thuộc chùm tạo bởi (d
1
), có dạng :
(P
1
) : m(pt(
1
) của (d
1
)) + n(pt
2
của (d
1
)) = 0
1
( ) : P

Bước 2:
Gọi B là giao điểm của (P
1
) và (d
2
). Khi đó tọa độ của B là nghiệm của
hệ:
 
 

 
1 2
2 2
1
d
d
pt
pt
pt P








Vũ Ngọc Vinh
3
( )
x
y B
z



  






Chú ý: Nếu không tồn tại B. Kết luận bài toán vô nghiệm
Nếu có vô số nghiệm. Kết luận bài toán có vô số nghiệm, đó
chính là chùm đường thẳng chứa (d) đi qua A.
Bước 3:
Gọi (d) là đường thẳng qua A, B, ta có:
 
 
 
 


: : , .


x
qua A
d d y t R
vtcpAB
z



 
  
 








Gọi
1


là vtcp của (d
1
), ta có
1


( )
Từ đó, dễ thấy
1


không cùng phương với
.
AB


Vậy, (d): là đường thẳng cần dựng.
* Chú ý: Tồn tại (d) nếu A không nằm trên cặp mặt phẳng song song
chứa 2 đường thẳng chéo nhau (d
1
) và (d
2

).
3. BÀI TOÁN 3:
Lập phương trình đường thẳng d
1
qua A vuông góc với d và nằm trong
mp’(P)

Bước 1:
+) Kiểm tra (d) có cắt (P) tại A không.
+) Lập phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn:
 
 
   
 
 
 


:

d
qua A
qua A
Q Q
Q d
vtpta


 


 







Bước 2: Khi đó đường thẳng (d
1
) chính là giao tuyến của (P) và (Q).

4. BÀI TOÁN 4:
Lập phương trình đường thẳng d
1
qua A vuông góc với đường thẳng d
và cắt đường thẳng d

* Gọi (d
1
) là đường thẳng qua A vuông góc với (d)
và cắt (d), vậy (d
1
) qua A và H
(H là hình chiếu vuông góc của A lên (d).
* Xác định H:



Vũ Ngọc Vinh

4
Gọi
a

là vtcp của (d), ta có
 
a


Chuyển phương trình (d) về dạng tham số:
 

: , .

x
d y t R
z



 





Vì
 
H d


, nên H (theo t)
 
AH


   
. 0 AH d AH a t H      
 

Phương trình (d
1
), được xác định bởi:
 
 
 
 
1 1

: :

qua A
d d
vtcpAH








* Cách khác: Dựng (P
1
) và (P
2
) thỏa mãn:

 
 
   
1
1

:
qua A
P
P d






và

 
 
   
2
2

:
qua A
P
d P







Khi đó
     
1 1 2
d P P
 
.
Sau đó lập phương trình (P
1
) và (P
2
), từ đó suy ra phương trình (d
1
).

5. BÀI TOÁN 5:
Xác định hình chiếu vuông góc của A lên mp’(P)
Mặt phẳng
(P) có vtpt

 
n


Gọi (d) là đường thẳng qua A và vuông góc
với (P), ta được:
 
 
 
 


: : ,


x
qua A
d d y t R
vtcpn
z



 
  
 
 






Vì hình chiếu vuông góc H của A lên (P) chính là giao điểm của (d) và
(P), do đó thay các tọa độ của (d) vào (P)
 
t H  


6. BÀI TOÁN 6: Xác dịnh tọa độ điểm A
1
của A đối xứng với A qua
mp’(P)

Bước 1: Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên mp’(P).


Vũ Ngọc Vinh
5
Bước 2: Suy ra tọa độ điểm A
1
từ điều kiện H là trung điểm của AA
1
.

7. BÀI TOÁN 7: Xác định hình chiếu vuông góc H của điểm A lên
đường thẳng d.
Cách 1:
Gọi
a


là vtcp của (d), ta có
 
a


Chuyển phương trình (d) về dạng tham số:
 

: , .

x
d y t R
z



 





Vì
 
H d

, nên H (theo t)
 
AH


   
. 0 AH d AH a t H      
 

Cách 2:
Gọi
a

là vtcp của (d), ta có
 
a


Gọi H(x,y,z) là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng (d), suy
ra:
 
 
   
AH AH. 0
H d H d
H d
AH d
a a
 

 

  
  

  

 

 

 
   
H

8. BÀI TOÁN 8: Xác định tọa độ điểm A
1
đối xứng với A qua đường
thẳng d

Bước 1: Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên đường
thẳng (d).
Bước 2: Suy ra tọa độ điểm A
1
từ điều kiện H là trung điểm của AA
1
.


PHẦN II. BÀI TẬP
Bài 1: Cho (d
1
) là đường thẳng:
1 1 3
3 2 2

x y z  
 

và đường thẳng (d
2
):
1 3
1 1 2
x y z 
 
. Lập phương trình mặt phẳng chứa (d
1
) và (d
2
).
ĐS: 6x-8y+z+11=0

Bài 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(-1, 2, -3), vuông góc với
vectơ
(6;2; 3)a  

và cắt đường thẳng:

Vũ Ngọc Vinh
6
 
1 3
: 1 2 , .
3 5
x t

d y t t R
z t
 


   


 


ĐS:
1 1 3
3 2 5
x y z  
 



Bài 3: Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm (1; 2; -2) và song song với
đường thẳng xác định bởi 2 mặt phẳng:

2 0( )
2 5 1 0( )
x y z
x y z


   



   


ĐS:
1 2 2
4 7 3
x y z  
 
 


Bài 4: Trong không gian Oxyz cho điểm A(-1, 2, 3);
(6; 2; 3)a   

và đường thẳng
(d) có phương trình xác định bởi 2 mặt phẳng :
2 3 5 0( )
5 2 14 0( )
x y P
x z Q
  


  


a) Lập phương trình mặt phẳng
 


chứa A và (d).
b)Lập phương trình đường thẳng
 

đi qua A và vuông góc với vectơ
a

và cắt
đường thẳng (d).
ĐS:
 

: 3x+3y+2z-9=0;
 
1 2 3
:
5 21 24
x y z  
  



Bài 5: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2, -1, 1); và đường thẳng

xác định
bởi 2 mặt phẳng:

4 0( )
2 2 0( )
y z P

x y z Q
  


   


a) Viết phương trình mặt phẳng
 

đi qua A và vuông góc với
 

.
b) Xác định tọa độ điểm B đối xứng với A qua
 

.
ĐS:
 
: 2 0y z
   
; B(0; 3; 5)

Bài 6: Trong không gian Oxyz cho điểm A(3, 2, 1); và đường thẳng:

 
: 3
2 4
x y

d z  

a)Viết phương trình mặt phẳng
 
P
đi qua A và chứa (d) .
b) Viết phương trình đường thẳng
 

đi qua A, vuông góc với (d) và cắt (d).

Vũ Ngọc Vinh
7
ĐS: (P): 14x-5y-8z-24=0;
 
14 5 8 24 0
:
2 4 15 0
x y z
x y z
   



   



Bài 7: Viết phương trình đường thẳng
 


đi qua M(1; 1; 2) và song song với
đường thẳng xác định bởi 2 mặt phẳng:

 
3 2 7 0( )
:
3 2 3 0( )
x y z
d
x y z


   


   


ĐS:
 
1 1 2
:
2 4 5
x y z  
  



Bài 8: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương

trình:

   
1 2
: 2 , . : 2 2 1 0
3
x t
d y t t R P x y z
z t
 


      





a) Tìm tọa độ các điểm thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi
điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng 1.
b) Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2; -1; 3) qua đường thẳng (d). Hãy xác
định tọa độ điểm K.
ĐS: M
1
(-3; 4; -6) và M
2
(9; -2; 12); K(4; 3; 3).

Bài 9: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1), C(1; 1; 3). Hãy
viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và

vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó.
ĐS:
 
1
: 2 , .
2
x t
d y t R
z
 


 






Bài 10: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; -1; 0), vuông góc và cắt
đường thẳng (d) có phương trình xác định bởi 2 mặt phẳng:

5 2 0( )
2 1 0( )
x y z P
x y z Q
   


   



ĐS:
 
2 1
:
2 0 1
x y z 
  


Bài 11: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 3x+6y-z-2=0, và đường thẳng
(d) xác định bởi 2 mặt phẳng:

Vũ Ngọc Vinh
8

1
2
7 14 0( )
2 0( )
x y z P
x y z P
   


   


a) Tìm tọa độ giao điểm A của (P) và (d).

b) Tìm phương trình mặt phẳng
 

qua B(1; 2; -1) và vuông góc với (d).
ĐS: A(0; 0; -2);
 

: 4x+3y+z-9=0

Bài 12: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương
trình:
   
1
: 1, . : 2 1 0
2
x t
d y t t R P x y z
z t
 


      





a) Tìm tọa độ các điểm thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi
điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng
6

.
b) Tìm tọa độ của điểm N đối xứng với điểm M(2; 0; -1) qua đường thẳng (d).
ĐS:
 
1 2
13 3 16 1 9 8
; ; ; ; ; ; 0; 2;1
5 5 5 5 5 5
A A N
   
  
   
   

Bài 13: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng xác định bởi 2 mặt phẳng:
2 0( )
3 2 3 0( )
x z P
x y z Q
 


   

và vuông góc với mặt phẳng: x – 2y + z + 5 = 0.
ĐS:
 

: 11x – 2y -15z – 3 = 0

Bài 14: Cho đường thẳng
 
1
1 1 3
:
3 2 2
x y z
d
  
 

và đường thẳng
 
2
1 3
:
1 1 2
x y z
d
 
 
. Tìm tọa độ giao điểm của (d
1
) và (d
2
).
ĐS: A(2; 3; 1)

Bài 15: Chứng minh rằng hai đường thẳng sau đây cắt nhau:
   

1 2
2 ' 5
: 3 2, ; : 4 ' 1, '
4 6 ' 20
x t x t
d y t t R d y t t R
z t z t
  
 
 
      
 
 
   
 

ĐS: M(3; 7; 18)

Bài 16: Chứng tỏ rằng hai đường thẳng sau đây không cắt nhau và vuông góc
nhau:
 
1
1
:
1 2 3
x y z
d

 


và (d
2
) xác định bởi 2 mặt phẳng:

Vũ Ngọc Vinh
9

3 5 1 0( )
2 3 8 1 0( )
x y z
x y z


   


   



Bài 17: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) qua M(1; 5; 0) và cắt cả
hai đường thẳng:
   
1 1
1 2
2 2
2 1 0( ) 3 2 0( )
: ; :
4 0( ) 2 0( )
x z x y

d d
x y y z
 
 
     
 
 
     
 

ĐS:
1 5
1 3 0
x y z 
 


Bài 18: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) qua A(0; 1; 1), vuông
góc với thẳng:
 
1
1 2
:
3 1 1
x y z
d
 
 
và cắt đường thẳng
 

2
2 0( )
:
1 0( )
x y z P
d
x Q
   


 


ĐS:
1 1 1
1 1 2
x y z  
 
 


Bài 19: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(-1, 2, -3), vuông góc với
vectơ
(6; 2; 3)a   

và cắt đường thẳng (d):
 
1 1 3
:
3 2 5

x y z
d
  
 


ĐS:
1 1 3
2 3 6
x y z  
 



Bài 20: Cho 2 đường thẳng

   
1 1
1 2
2 2
2 3 2 0( ) 2 3 9 0( )
: ; :
3 2 0( ) 2 1 0( )
x y x y
d d
x z y z
 
 
     
 

 
     
 

a) Chứng minh (d
1
)//(d
2
). Viết phương mặt phẳng chứa (d
1
) và (d
2
).
b) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M(-2; 3; -4) qua (d
1
)
ĐS: x + 4y + 11z +10 = 0; N(4; -3; 2).

Bài 21: Cho điểm A(0; 1; 1) và 2 đường thẳng

   
1 2
2 0( )
1 2
: ; :
1 0( )
3 1 1
x y z p
x y z
d d

x q
   

 
 

 


Lập phương trình đường thẳng qua A, vuông góc (d
1
) và cắt (d
2
).
ĐS:
1 1
1 1 2
x y z 
 



Bài 22: Trong không gian cho 2 đường thẳng

Vũ Ngọc Vinh
10
   
1 2
7 3 9 3 1 1
: ; :

1 2 1 7 2 3
x y z x y z
d d
     
   
 

Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.

Bài 23: Cho đường thẳng xác định bởi phương trình:
2 2
3 2 1
x y z 
 

và điểm M(4; -3; 2). T?m tọa độ điểm N là hình chiếu vuông
góc của điểm M lên đường thẳng đã cho.
ĐS: N(1; 0; -1)
Bài 24: Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng (d):
 
2 1
:
1 2 1
x y z
d
 
 

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (d)
b) Tính khoảng cách từ A đến (d).

ĐS: x + 2y + z – 1 = 0;
2
2


Bài 25: Cho điểm A(1; 2; 1) và đường thẳng (d):
 
1
: 3
3 4
x y
d z

  

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng (d)
b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng (d).
ĐS: 15x – 11y –z + 8 = 0;
347
26


Bài 26: Trong không gian cho 2 đường thẳng
   
1 2
2 1 2
: 2 à : 3 2
3 2 1 3
x t x s
d y t v d y s

z t z s
   
 
 
    
 
 
   
 

a) Chứng tỏ rằng (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).
ĐS:
8 3
3


Bài 27: Trong không gian cho 2 đường thẳng
   
1 2
7 3 9 3 1 1
: à :

1 2 1 7 2 3
x y z x y z
d v d
     
   
 

a) Chứng tỏ rằng (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).
ĐS:
2 21



Vũ Ngọc Vinh
11
Bài 28: Trong không gian cho 2 đường thẳng
   
1 2
2 2
2 0( )
: à : 5 ,

1 0( )
2
x t
x y z p
d v d y t t R
x y z q
z t
  

  


  
 
   


 


a) Chứng tỏ rằng (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).

ĐS:
17
419


Bài 29: Trong không gian cho 2 đường thẳng
   
1 2
2 1 1 2
: à :
1 1 2 2 1 1
x y z x y z
d v d
   
   
  

a) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).
b) Tìm tọa độ điểm A đối xứng với điểm B(3; -3; 2) qua đường thẳng (d
1
).
ĐS:
4
3
;
1 11 8

; ;
3 3 3
A
 

 
 


Bài 30: (Khối A – 2010)
* Theo chương trình Chuẩn
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 2
:
2 1 1
x y z 
  

và mặt phẳng
(P) : x  2y + z = 0. Gọi C là giao điểm của  với (P), M là điểm thuộc . Tính khoảng
cách từ M đến (P), biết MC =
6
.
ĐS: Vậy M
1
(1; 0; –2); M
2
(–3; –2; 0)
d (M
1

, (P)) =
1 0 2
1
5 5
 

; d (M
2
, (P)) =
3 4 0
1
5 5
  


* Theo chương trình Nâng cao
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 2) và đường thẳng
2 2 3
:
2 3 2
x y z  
  
. Tính khoảng cách từ A đến . Viết phương trình mặt cầu tâm
A, cắt  tại hai điểm B và C sao cho BC = 8.
ĐS: d( A, ) =
a.AM
a
 
 


 

3
Phương trình (S) :
2 2 2
x y (z 2) 25   