một số bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp tọa độ

một số bài toán hình học không gian.
Giải bằng phương pháp toạ độ
Bài 1: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A
/
B
/
C
/
cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a.
1. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AC và mặt phẳng ( BA
/
C
/
).
2. Xác định góc giữa BB
/
và mặt phẳng (BA
/
C
/
).
3. Tính góc giữa mặt phẳng (BA
/
C
/
) và mặt phẳng (ABB
/
A
/
).
Bài 2: Trong hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) cho hai tam giác cân ACD và BCD có

chung đáy CD = 2x, và các cạnh khác có độ dài bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của AB và CD.
1. Chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của AB và CD.
2. Tính theo a và x độ dài đoạn AB và MN.
3. Xác định x để nhị diện (C; AB; D) là nhị diện vuông. Trong trường hợp đó tính độ
dài
đoạn AB.
Bài 3: Tìm tập hợp những điểm M trong không gian mà tổng các bình phương của hai khoảng
cách đến hai điểm A, B cho trước một giá trị dương cho trước k
2
.
Bài 4: Cho hình hộp đứng ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
có đáy là hình thoi.Biết AC = 2; BD = 4;AA
/
= 4.
1. Xác định góc và khoảng cách giữa AD
/
và BD.
2. Điểm M thuộc cạnh AA
/
sao cho góc BMD = 1V khi đó M chia AA
/
theo tỷ số nào ?

Bài 5: Cho tứ diện SABC có mặt ABC là tam giác vuông tại A cạnh SB vuông góc với mặt
phẳng (ABC); cạnh SB = AC = 4; cạnh AB = 2; M là trung điểm của SC
1. Xác định góc giữa SC và mặt phẳng (ABM).
2. Xác định giao điểm của đường vuông góc chung của SA và BC với mặt phẳng
(ABM)
Bài 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bên SA vuông góc
với đáy. Điểm M thuộc cạnh SD sao cho MD : MS =1:2.Góc giữa SC và AD bằng 60
0
,

khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( AMC) bằng 2. Tính diện tích của tam giác AMC.
Bài 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có hai đường chéo AC = 2,
BD = 4; hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm O của AC và
BD. Đường cao của hình chóp bằng 2. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của hai mặt
bên (SAB) và (SAD).
1. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNO) // với SC
2. Gọi d là đường thẳng đi qua trung điểm I của SO và vuông góc với mặt phẳng
(MNO)
Xác định giao điểm của d với mặt phẳng (SCD).
Bài 8: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có cạnh A
/
D
/
= 4; AA
/
= 3.
1. Điểm M
∈
AA
/

, mặt phẳng (BMD
/
) cắt hình hộp chữ nhật theo thiết diện là hình gì ?
2. Trong trường hợp nào thiết diện là hình chữ nhật.
3. Tìm vị trí của M để thiết diện là bé nhất.
Bài 9: ( Bài 5 trang 60 SGK HH 12 ): Cho hình lập phương ABCD. A
/
B
/
C
/
D
/
có cạnh bằng a.
Trên B
/
C
/
và CD lấy các điểm M và N sao cho B
/
M = CN = x ( 0
≤
x
≤
a ).
Chứng minh AM
⊥
CN.
Bài 10: ( Bài 6 trang 60 SGK HH 12 ): Cho hình hộp ABCD. A
/

B
/
C
/
D
/
có cạnh bằng a. Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD
/
; G,

G
/
lần lượt là trọng tâm của các tứ
diện A
/
D
/
MN và BCC
/
D
/
. Chứng minh đường thẳng GG
/
song song với mặt phẳng
(ABB
/
A
/
).

Bài 11: ( Bài 7 trang 60 SGK HH 12 ): Cho tứ diện ABCD; P và Q lần lượt là trung điểm
của AB và CD; Hai điểm M; N lần lượt chia 2 đoạn thẳng BC và AD theo cùng tỷ số k.
Chứng minh bốn điểm P, Q, M, N cùng thuộc một mặt phẳng.
Bài 12:( Bài 9 trang 106 SGK HH 12): Cho tứ diện 0ABC có các tam giác OAB;OBC; OAC
là các tam giác vuông tại đỉnh 0; Gọi
α
,
β
,
γ
là các góc lần lượt hợp bởi các mặt
phẳng (0BC); (0CA); (0AB) với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:
1. Tam giác ABC có 3 góc nhọn.
2. cos
2
α
+ cos
2
β
+ cos
2
γ
= 1
Bài 13:(Bài 6 trang 112 SGK HH 12): ho hình lập phương: ABCD.A
/
B
/
C
/
D

/
có cạnh bằng a.
1. CMR đường chéo A
/
C vuông góc với mặt phẳng ( AB
/
D
/
).
2. CMR giao điểm của đường chéo A
/
C và mặt phẳng ( AB
/
D
/
) là trọng tâm của tam
giác AB
/
D
/
.
3. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( AB
/
C
/
) và ( C
/
BD )
4. Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( DA
/

C
/
) và ( ABB
/
A ).
Bài 14:( Bài 7 trang 112 SGK HH 12 ): Cho hình lập phương ABCD A
/
B
/
C
/
D
/
cạnh a. Các
điểm M thuộc AD
/
và N thuộc DB sao cho AM = DN = k ( 0 < k < a
2
).
1. Tìm k để MN ngắn nhất.
2. CMR MN luôn song song với mặt phẳng ( A
/
D
/
CB ) khi k biến thiên.
3. Khi MN ngắn nhất, CMR MN là đường vuông góc chung của AD
/
và DB, và MN
song song với A
/

C.
Bài 15: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A
1
B
1
C
1
có các cạnh đều bằng a. Trên AB
1
và
BC
1
lấy hai điểm M và N sao cho MN
⊥
AB và MN =
3
a
. Tìm tỉ số M chia đoạn
thẳng AB
1
và tỉ số N chia đoạn thẳng BC
1
.
Bài 17: Cạnh của hình lập phương ABCD A
1
B
1
C
1
D

1
bằng a. Một mặt phẳng đi qua D
1
song
với DA
1
và AB
1
, cắt đường thẳng BC
1
tại M. Tính độ dài D
1
M.
Bài 18: Cho hình lập phương ABCD A
/
B
/
C
/
D
/
cạnh a.trên đoạn thẳng BD và AD
/
lần lượt lấy
2 điểm thay đổi M và N, sao cho DM = AN = x ( 0
≤
x
≤
a
2

). Chứng minh rằng MN
luôn song song với một mặt phẳng cố định.
Bài 19: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Gọi M và
N lần lượt là trung điểm của BC và CC’, góc giữa AB và mặt phẳng (AMN) bằng 30
0
;
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (AMN) là 2. Tính thể tích của lăng trụ .
Bài 20: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cạnh AB = AD = 2 ; AA’ = 3.
Gọi M ; N ; K lần lượt là trung điểm các cạnh AA’; AD; AB. Điểm P thuộc BB’ sao
cho BP = 1.
1. Xác định góc giữa hai mặt phẳng (MNK) và mặt phẳng (A’DP) .
2. Hình chiếu của D’P trên mặt phẳng (MNK) cắt mặt phẳng (ABCD) tại I, tính
khoảng cách từ I đến mặt phẳng (A’DP) .
Bài 21: Cho mặt phẳng ABCD.A’B’C’D’ có AB = 1, AD = 2, AA’ = 3 , E là trung điểm
của AA’. Tìm hai điểm M, N thuộc hai đường thẳng AB’và AD sao cho AMN là
một tam giác cân và bốn điểm M , N , C , E cùng thuộc một mặt phẳng.
Bài 22: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a gọi 0 là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H là trực tâm tam giác SBC. Chứng minh OH
vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Bài 23: Tứ diện S.ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABC). Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của SB, 0 là trung điểm của BC, (d) là đường
thẳng đi qua 0 và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Dựng giao diện điểm K của (d)
và mặt phẳng (Q). Tính 0K.
Bài 24: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên
SA = a và vuông góc với đáy ABCD. Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng
cách giữa AB và SC.
Bài 25:(ĐHCĐ- A- 2002): Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh bằng a.
Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác
AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Bài 26:(ĐHCĐ- B- 2002): Cho hình lập phương ABCD.A

1
B
1
C
1
D
1
có cạnh bằng a.
a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A
1
B và B
1
D.
b. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A
1
B; CD; A
1
D
1
. Tính góc giữa hai
đường thẳng MP và C
1
N.
Bài 27:(ĐHCĐ- B- 2003): Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A
/
B
/
C
/
D

/
có đáy ABCD là một
hình
thoi cạnh a, góc BAD = 60
0
. Gọi M là trung điểm của cạnh AA
/
và N là trung điểm của
cạnh CC
/
. Chứng minh rằng 4 điểm B
/
, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ
dài cạnh AA
/
theo a để tứ giác B
/
MDN là hình vuông.
……………………