mot so bai tap jinh hoc khong gian

Hinh học không gian 12(NC) Gv: Thái minh Thiện
Công thức tính khoảng cách
14. Cho 3 điểm A(0,0,-3), B(1;-2;1), C(1;2;-5) và mặt cầu (S) có phương trình
2 2 2
2 6 8 0x y z x y+ + − + − =
. Viết phương trình mp (
( )
α
song song với mp (ABC) và tiếp
xúc với mặt cầu (S).
15.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-2;4;3) và mp (P) có phương trình
2 3 6 19 0x y z− + + =
. Viết phương trình mp (Q) chứa điểm A và song song với mp (P).
tính khoảng cách giữa hai mp (P), (Q).
16. Cho tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(-1;-2-4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1).
Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A.
17. Tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A(2,3,4) và mp (
2 3 1 0x y z+ + − =
.
18.Tìm trên trục Oy điểm M cách đều hai mp
( )
1 0 à ( ) 1 0x y z v x y z
α β
+ − − = − + − =
19. Tìm tập hợp các điểm M cách đều hai mp
( )
4 2 3 0 à ( ) 4 2 5 0x y z v x y z
α β
− − − = − − − =
20. Lập phương trình mp phân giác của góc nhị diện tạo bởi 2mp
( )

4 2 3 0 à ( ) 4 2 5 0x y z v x y z
α β
− − − = − − − =
.
21 Lập phương trình mp (
( )
α
đi qua điểm A(2;-1;0), B(5,1,1) và khoảng cách từ điểm
1
0;0;
2
M
 
 ÷
 
đến mp
( )
α
bằng
7
6 3
.
22. cho 3 điểm A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) với a, b, c là ba số dương luôn thay đổi và luôn
thỏa mãn
2 2 2
3a b c+ + =
. Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ điểm O(0,0,0) đến mp
(ABC) là ngắn nhất.
Phương trình đường thẳng
A.Tóm tắt lý thuyết.

1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng.
Đường thẳng đi qua điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) với vectơ chỉ phương
( )
( )
, , 0u a b c u= ≠
r r r
có
phương trình tham số
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

(1) khử t ta được phương trình tham số
0 0 0

x x y y z z
a b c
− − −
= =
( phương trình chính tắc của đường thẳng) điều kiện
2 2 2
0a b c+ + >
Bài toán 1: Cho hai mp
( )
0Ax By Cz D
α
+ + + =
và
( )
' ' ' ' ' 0A x B y C z D
α
+ + + =
a. Với điều kiện nào thì hai mp
( )
α
và
( )
'
α
cắt nhau.
b. Gọi d là giao tuyến của hai mp
( )
α
và
( )

'
α
. Hãy tìm tọa độ của một điểm thuộc d
và xác định vec tơ chỉ phương của d.
c. Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d.
PP. a. A:B:C:
≠
A’:B’:C’
1
Hinh học không gian 12(NC) Gv: Thái minh Thiện
b. Tọa độ của một điểm thuộc d là nghiệm của hệ phương trình
0
' ' ' ' 0
Ax By Cz D
A x B y C z D
+ + + =


+ + + =

vectơ chỉ phương của đường thẳng d
; 'u n n
 
=
 
r r r
với
( ) ( )
, , , ', ', 'n A B C n A B C= =
r r

.
c. phương trình trình đường thẳng d hoàn toàn xác định khi ta biết vtcp và tọa độ
điểm M.
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Vị trí tương đối giữa đường thẳng d ( đi qua M
0
và có vtcp
u
r
) và đường thẳng d’ (đi
qua M
0
’ và có vtcp
'u
r
)
 d và d’ cùng nằm trong một mp
0 0
, . ' 0u u M M
 
⇔ =
 
r r uuuuuuur

0 0
' , ' , ' 0d d u u u M M
   
≡ ⇔ = =
   
r ur r uuuuuuur


0 0
, ' 0
// '
, 0
u u
d d
u M M

 
=
 
⇔

 
≠

 

r ur
r uuuuuur
 d và d’ cắt nhau
0 0
, ' ' 0
, ' 0
u u M M
u u

 
=

 
⇔

 
≠

 

r ur uuuuuuur
r ur
 d và d’ chéo nhau
0 0
; ' . ' 0u u M M
 
⇔ ≠
 
r ur uuuuuuur
Chú ý: Nếu biết phương trình của hai đường thẳng d và d’ thì ta cũng có thể xét vị trí
tương đối giữa chúng bằng cách giải hệ gồm các phương trình xác định d và d’ để tìm
giao điểm.
 nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì d và d’ cặt nhau.
 Nếu hệ phương trình có vô số nghiệm thì d và d’ trùng nhau.
 Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì d và d’ song song hoặc chéo nhau,
song song nếu hai vec tơ chỉ phương của chúng cùng phương, chéo
nhau nếu hai vec tơ đó không cùng phương.
3. Một số bài toán về tính khoảng cách
Bài toán 1: Tính khoảng cách h từ một điểm M đến đường thẳng d đi qua điểm M
0
và có
vtcp

u
r
.
Cách giải.
Cách 1:
 Viết phương trình mp
( )
α
đi qua điểm M
0
và vuông góc với đường thẳng d.
 Tìm tọa độ giao điểm của
( )
d
α
∩
= I
 Tính khoảng cách IM
M
I
2
Hinh học không gian 12(NC) Gv: Thái minh Thiện
Cách 2:
d
O
y
x
z
M
M0

U
Gọi U là điểm sao cho
0
M U u=
uuuuur r
. Nếu M
∉
d thì diện tích S của hình bình hành có hai
cạnh M
0
M và M
0
U là
0 0 0
, ,S M M M U M M u
   
= =
   
uuuuuur uuuuur uuuuuur r
. Vì khoảng cách h cần tìm là
chiều cao của hình bình hành ứng với cạnh M
0
U nên ta có
0
,M M u
h
u
 
 
=

uuuuuur r
r
Nếu M
∈
d thì h = 0 và công thức trên vẫn đúng.
Bài toán 2:
Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau d
1
và d
2
biết d
1
đi qua M
1
và có vec tơ
chỉ phương
1
u
r
; d
2
đi qua M
2
có vtcp
2
u
uur
d2
M1
U1

M2
U2
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
( )
1 2 1 2
1 2
, .
,
; '
u u M M
d d d
u u
 
 
=
 
 
ur uur uuuuuur
r ur
Bài toán 3: Cho hai đường thẳng
1 2
,d d
chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc
chung của hai đường thẳng chéo nhau?
M2
M1
3
Hinh học không gian 12(NC) Gv: Thái minh Thiện
Cách 1:
Bước 1: Gọi d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

1 2
,d d
Khi đó
một vtcp
u
r
của d thỏa mãn
1
1 2
2
;
u u
u u u
u u

⊥

 
⇒ =

 
⊥


r ur
r ur uur
r uur
.
Bước 2 : Gọi (P
1

) là mp chứa
1
à d v d
khi đó (P
1
)
( )
1 1
1 1
1
1
1
qua M
qua M
;
à u
d
d
P
vtpt n u u
vtcpu v
∈

∈

 
⇔ ⇒
 
 
=




 

r r ur
r uur
Bước 3 : Giả sử
{ }
1
d d B∩ =
suy ra
( ) { }
1 1
P d B∩ = ⇒
tọa độ của điểm B.
Bước 4 : Khi đó phương trình đường thẳng (d) được cho bởi:
:
qua B
d
vtcp u





r
Cách 2:
Bước 1 : Giả sử A,B theo thứ tự là chân đường vuông góc chung của của
1 2

àd v d
suy ra tọa độ của A,B theo thứ tự phương trình tham số của
1 2
àd v d
Bước 2 : Từ điều kiện
1 1 1 1
2 2
2 2
. 0
. 0
d d AB u AB u t
d d t
AB u AB u
 
⊥ ⊥ =
 
 
⇔ ⇔ ⇒ ⇒
   
⊥
⊥ =
 
 
 
uuur ur uuur ur
uuur uur uuur uur
(t
1
,t
2

là tham
số)
⇒
tọa độ của A và B
Bước 3 : khi đó phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau của
1 2
àd v d
là
qua B
d
vtcp AB





uuur
Bài toán 3 : Lập phương trình mp (P) chứa hai đường thẳng d
1
và d
2
cắt nhau tại I.
Cách 1:
Bước 1: xác định các vtcp
1 2
,u u
ur uur
của d
1

và d
2
d1
d2
I
B
A
Bước 2 : Mặt phẳng (P) được cho bởi
( ) ( )
1 2
1 2
,
,
qua I
qua I
P P
vtpt n u u
cap vtcp u u


 
⇔
 
 
=



 


r ur uur
ur uur
Cách2:
Bước 1 : lấy hai điểm A
∈
d
1
, và B
∈
d
2
với A, B
≠
I
Bước 2 : lập phương trình mp qua ba điểm A,B,I
Bài toán 4: Lập phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mp (P).
( Tùy thuộc vào vị trí tương đối của d và (P) ta có từng phương pháp giải cụ thể)
 Nếu d
( )
P⊥
thì ta có hình chiếu vuông góc của d lên (P) là tọa độ giao điểm của d
và (P).
 Nếu d // (P) ta thực hiện theo các bước:
4
Hinh học không gian 12(NC) Gv: Thái minh Thiện
Bước 1: Lấy điểm A
d∈
. Từ đó xác định tọa độ điểm H
A
là hình chiếu vuông góc

của A lên (P).
d
d'
A
H
Bước 2: Phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu của d lên mp (P) là
':
'//
A
qua H
d
d d



 Nếu d cắt P ta thực hiện theo các bước
Bước 1: xác định tọa độ giao điểm I của (d) và (P).
I
A
H
Bước 2: lấy điểm A
d
∈
từ đó xác định tọa độ H
A
là hình chiếu vuông góc của A lên
(P).
Bước 3: Phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d lên mp(P) được
cho bởi
'

A
A
qua H
d
vtcp IH





uuuur
Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(x
0
; y
0
; z
0
) cắt cả hai đường thẳng
d
1
và d
2
d
d1
d2
C
B
A
Bước 1: đưa phương trình đường thẳng d
1

và d
2
về dạng tham số:
Bước 2: Gọi B và C là tọa độ giao điểm của đường thẳng d với d
1
và d
2
.(tọa độ B, C
có chứa tham số t và t’).
Bước 3: A,B,C thẳng hàng
,AB AC⇒
uuur uuur
cùng phương. Giải hệ phương trình
, 0AB AC
 
=
 
uuur uuur
Tìm được t và t’.
Bước 4: Đường thẳng AB là đường thẳng d.
Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d
1
, đồng thời cắt
cả hai đường thẳng d
2
và d
3
5