tóm tắt luận án tích hợp các mô hình thao tác động với môi trường dạy học toán điện tử nhằm nâng cao khả năng khám phá kiến thức mới của học sinh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH




NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC



TÍCH HỢP CÁC MÔ HÌNH THAO TÁC ĐỘNG
VỚI MÔI TRƯỜNG DẠY HỌC TOÁN ĐIỆN TỬ
NHẰM NÂNG CAO KHẢ NĂNG
KHÁM PHÁ KIẾN THỨC MỚI CỦA HỌC SINH


Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số 62.14.01.11



TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ GIÁO DỤC HỌC



NGHỆ AN, 2013
ii


Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Vinh

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Trần Vui


Phản biện 1: PGS. TS. Trần Kiều
Phản biện 2: PGS. TS. Trịnh Thanh Hải
Phản biện 3: TS. Trần Trung



Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường
Họp tại trường Đại học Vinh

Vào hồi giờ ngày tháng năm………


Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin – Thư viện Nguyễn Thúc Hào, Trường Đại học
Vinh
1


MỞ ĐẦU
Các đối tượng toán học thể hiện trên bảng đen hoặc trên giấy đều ở trạng thái tĩnh,
những đặc tính và mối liên hệ của chúng thường phải được mô tả bằng các biểu diễn
ngôn ngữ hay ký hiệu. Tuy nhiên, ở trong môi trường hình học động, những đối
tượng này sẽ thể hiện những ứng xử đặc trưng và đều có thể trở thành những nguyên
liệu dùng để “thí nghiệm”. Ý tưởng cho học sinh thực hiện các thực nghiệm toán như

các em thường làm thực nghiệm ở các môn khoa học khác của các nhà giáo dục toán
đã trở nên khả thi hơn bao giờ hết trong môi trường hình học động. Các em có thể
thực nghiệm để đề xuất giả thuyết, kiểm chứng kết quả, phát hiện các bất biến, tìm ra
các mối liên hệ… để kiến tạo tri thức.
Với đề tài nghiên cứu này, chúng tôi mong muốn khảo sát thực trạng học tập toán
của học sinh tạo cơ sở cho sử dụng các phần mềm trong dạy học, nghiên cứu việc xây
dựng các môi trường học tập điện tử, tích hợp một cách có khoa học các mô hình
Toán thao tác động với các môi trường đó nhằm giúp học sinh nâng cao khả năng
khám phá kiến thức mới.
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Giới thiệu
Với việc lấy học sinh làm trung tâm của quá trình dạy học, tính chủ động trong
khám phá kiến thức của học sinh được chú trọng. Trong môi trường học tập tích cực,
các em có nhiều điều kiện hơn trong việc giao lưu, học tập với các bạn trong lớp
thông qua các nhóm học tập hoặc thông qua các tương tác. Những mô hình thao tác
động thiết kế trên các phần mềm có thể giúp học sinh tự khám phá kiến thức qua việc
thao tác trên mô hình đó với những hướng dẫn ban đầu. Học sinh sẽ giảm bớt tính
phụ thuộc vào giáo viên trong việc tiếp nhận kiến thức mới. Thay vào đó, nhờ các
hoạt động tích cực và chủ động của mình, học sinh sẽ tự khám phá kiến thức mới với
cố vấn là giáo viên.
Việc xây dựng các môi trường học tập tích cực phụ thuộc vào nhiều yếu tố như nội
dung bài học, cơ sở vật chất hiện có, năng lực của giáo viên, khả năng thích ứng với
môi trường của học sinh Giáo viên sẽ là những nhà nghiên cứu thực sự khi căn cứ
vào thực tiễn để xây dựng môi trường phù hợp, sử dụng các thiết bị dạy học hợp lý và
quá trình tích hợp các thiết bị vào trong môi trường đó sao cho đạt được hiệu quả
trong dạy và học.
1.2. Nhu cầu nghiên cứu
Phần mềm hình học động, với thế mạnh ban đầu của nó, có thể lưu giữ những bất
biến của các hình hoặc lưu giữ những mối liên hệ mang tính quy luật của các đối
2

tượng. Với những tương tác giữa học sinh và mô hình máy tính, học sinh có thể phát
hiện, khám phá những kiến thức mới cho chính mình. Với môi trường học tập có sử
dụng các thiết bị dạy học ứng dụng công nghệ thông tin, học sinh có nhiều cơ hội hơn
trong việc khám phá các kiến thức toán. Vấn đề là cần phải tạo ra những môi trường
học tập như thế nào; thiết kế và tạo dựng các mô hình thao tác động ra sao cũng như
việc tích hợp các mô hình đó vào môi trường học tập điện tử để đạt hiệu quả trong
dạy và học.
1.3. Đề tài nghiên cứu
Nghiên cứu cần tìm ra cách thức tích hợp những mô hình thao tác động này với
môi trường học tập để xây dựng nên môi trường học tập điện tử nhằm nâng cao khả
năng tư duy toán học và thực nghiệm. Chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Tích hợp
các mô hình thao tác động với môi trường dạy học toán điện tử nhằm nâng cao khả
năng khám phá kiến thức mới của học sinh”.
1.4. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án nhằm:
 Nghiên cứu tính hiệu quả của các mô hình thao tác động điện tử trong hỗ trợ
việc nâng cao khả năng khám phá kiến thức mới của học sinh.
 Nghiên cứu và xây dựng các môi trường học tập điện tử để hỗ trợ việc nâng cao
khả năng khám phá kiến thức mới của học sinh.
 Phát triển khả năng khám phá kiến thức mới của học sinh thông qua suy luận
ngoại suy và quy nạp khi thực hiện những khảo sát trên các mô hình thao tác
động điện tử.
 Nghiên cứu về thực nghiệm toán học trên các mô hình thao tác động điện tử
trong hỗ trợ học sinh nâng cao khả năng khám phá kiến thức mới.
1.5. Câu hỏi nghiên cứu
Với mục đích tích hợp các mô hình thao tác động với môi trường dạy học toán điện
tử nhằm nâng cao khả năng khám phá kiến thức mới của học sinh, nghiên cứu này đề
xuất giả thuyết khoa học như sau:

Nếu tích hợp các mô hình thao tác động với môi trường dạy học toán điện tử một
cách có cơ sở khoa học thì sẽ nâng cao khả năng khám phá kiến thức mới của học
sinh thông qua thực nghiệm toán.
3


Để kiểm chứng giả thuyết khoa học trên, chúng tôi tìm kiếm câu trả lời xác đáng
cho những câu hỏi nghiên cứu sau:
Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Những biểu diễn toán trong các mô hình toán thao
tác động điện tử hỗ trợ việc nâng cao khả năng khám phá kiến thức mới của học sinh
như thế nào?
Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: Xây dựng các môi trường học tập điện tử như thế nào
để hỗ trợ hiệu quả học sinh trong việc nâng cao khả năng khám phá kiến thức toán
mới?
Câu hỏi nghiên cứu thứ ba: Phát triển khả năng khám phá kiến thức mới của học
sinh thông qua suy luận ngoại suy và quy nạp trên các mô hình thao tác động điện tử
như thế nào?
Câu hỏi nghiên cứu thứ tư: Thực nghiệm toán trên các mô hình thao tác động điện
tử hỗ trợ học sinh nâng cao khả năng khám phá kiến thức mới như thế nào?
1.6. Ý nghĩa của việc nghiên cứu
Các kết quả nghiên cứu của đề tài sẽ giúp giáo viên tạo ra các môi trường học tập
điện tử ở bộ môn Toán bậc THPT, trong đó có tích hợp các mô hình toán thao tác
động nhằm hỗ trợ học sinh nâng cao khả năng khám phá kiến thức mới, từ đó bồi
dưỡng năng lực tự tìm tòi, học hỏi, nâng cao khả năng sáng tạo trong giải quyết vấn
đề và ra quyết định.
CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
2.1. Nền tảng lịch sử
2.1.1. Sự phát triển của các môi trường học tập
Trong những năm gần đây, song song với những môi trường học tập truyền thống,
đã xuất hiện và phát triển những môi trường học tập mới. Trước hết đó là sự xuất

hiện của các thiết bị dạy học ứng dụng công nghệ thông tin như máy overhead, máy
chiếu, các mô hình thiết kế trên các phần mềm được sử dụng xen lẫn với các thiết bị
như bảng phụ, phiếu học tập. Với mong muốn giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc
khám phá tri thức, những thiết bị mới này được phát triển và nâng cấp không ngừng.
Số trường học được trang bị các thiết bị này cũng ngày càng nhiều. Một số nghiên
cứu đã được thực hiện với môi trường học tập mới này như việc nghiên cứu để tạo
nên các thiết bị dạy học điện tử, cụ thể là các mô hình thiết kế trên các phần mềm
động, nhằm hỗ trợ học sinh học Toán.
4


2.1.2. Sự chuyển đổi trong giáo dục toán
Vào những năm 1970, những nhà giáo dục toán quan tâm đến Tân toán học (New
Mathematics), trong đó nhấn mạnh sự phát triển và giới thiệu các nội dung mới như
các cấu trúc đại số, biến hình và ma trận. Vào những năm 1980, chủ đề Quay về cơ
bản (Back-to-Basic) lại được quan tâm, lúc mà những kỹ năng toán được giảng dạy
như là một nội dung cốt lõi trong toán học nhà trường. Do đó những nội dung toán
liên quan đến việc phát triển các kỹ năng cho học sinh được đưa vào nhiều trong các
sách giáo khoa toán. Suy luận suy diễn từ đó được nhấn mạnh trong lớp học. Học
sinh được tiếp thu các công thức, phương pháp, các dạng toán để rồi rèn luyện các kỹ
năng áp dụng chúng trong giải bài tập. Tuy vậy, những năm 1990 người ta nhận ra
giải quyết vấn đề là cái mà học sinh cần học và cần được học nhất khi mà lý thuyết
kiến tạo được chấp nhận phổ biến trong các nhà giáo dục toán trên toàn thế giới.
2.1.3. Phần mềm hình học động và ứng dụng
Môi trường hình học động đang trở nên phổ biến ở các trường học. Có nhiều tranh
luận khác nhau về hiệu quả của phần mềm hình học động trong suy luận toán học của
học sinh. Tuy nhiên các phần mềm hình học động đã chứng tỏ sự hữu ích trong việc
phát triển suy luận của các em. Các môi trường học tập mới tất nhiên cần có một lý
thuyết dạy học có ý nghĩa làm nền tảng lý luận.
2.1.4. Các lý thuyết dạy học có ảnh hưởng đến đổi mới giáo dục Toán

2.1.4.1. Lý thuyết hoạt động
Với việc tập trung vào các hoạt động, lý thuyết hoạt động nhấn mạnh điều căn bản
của phương pháp dạy học là “khai thác những hoạt động tiềm tàng trong mỗi nội
dung làm cơ sở cho việc tổ chức quá trình dạy học đạt được mục tiêu đặt ra”. Quan
điểm hoạt động trong phương pháp dạy học, từ đó có thể được thể hiện ở các tư
tưởng chủ đạo: Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động thành phần
tương thích với nội dung và mục tiêu dạy học; gợi động cơ cho các hoạt động học
tập; dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp như phương
tiện và kết quả của hoạt động; và phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình
dạy học.
2.1.4.2. Lý thuyết tình huống
Giả thuyết cơ bản của lý thuyết tình huống của Brousseau là kiến thức được xây
dựng hoặc sử dụng trong tình huống được xác định bởi những đè nén của tình huống
này. Chính vì lẽ đó, người ta cho rằng bằng cách tạo ra các đè nén giả tạo, người giáo
viên có khả năng kích thích học sinh xây dựng một loại tri thức toán nào đó. Sự quan
5


tâm đến ý nghĩa của tri thức đối với chủ thể đã làm cho lý thuyết tình huống mang
tính nhân văn nhiều hơn.
2.1.4.3. Lý thuyết kiến tạo
Lý thuyết kiến tạo có phần giống với lý thuyết tình huống vì nó đặc biệt quan tâm
đến việc con người học như thế nào. Về cơ bản, lý thuyết cho việc học gắn liền với sự
tương tác giữa hai yếu tố: những sơ đồ tri thức của người học và những tri thức mới.
2.2. Khung lý thuyết
2.2.1. Kiến tạo cơ bản
Quan điểm kiến tạo cho rằng, sự phát triển của các ý tưởng toán học được giải
thích thông qua những tương tác văn hóa xã hội của con người, trong đó sự chú ý đặc
biệt được dành cho việc khảo sát làm thế nào để các hệ thống biểu diễn bội, ký hiệu
và các công cụ tạo cơ hội cho việc hình thành nên các ý nghĩa.

2.2.2. Kiến tạo trong giáo dục
Lý thuyết kiến tạo, với vai trò một lý thuyết về tâm lý học, nói về nhận thức và con
người học như thế nào, nó không cung cấp những mô hình dạy học cụ thể, và cũng
không đề nghị cái gì nên có trong chương trình. Lý thuyết kiến tạo chỉ đưa ra những
tư tưởng chủ đạo giúp con người nắm bắt được ý nghĩa của việc học và từ đó nhiều
áp dụng vào giáo dục nói chung và giáo dục toán nói riêng đã và đang được hình
thành.
2.2.3. Quan điểm kiến tạo trong dạy học toán
Lý thuyết kiến tạo chú trọng đến vai trò của những quá trình nhận thức nội tại và
“cài đặt dữ liệu” trong đầu của riêng từng cá nhân học sinh trong việc học toán của
chính mình. Học hợp tác được tổ chức nhằm tạo cơ hội cho học sinh trao đổi thảo
luận cách hiểu và tiếp cận vấn đề của mình.
Theo quan điểm này, có nhiều cách tiếp cận để cải thiện việc dạy toán: tìm nhiều
cách khác nhau để thu hút từng cá nhân học sinh tham gia, phát triển môi trường giàu
thông tin để khảo sát toán học, chuẩn bị nhiều bài toán hoặc vấn đề có liên quan để
giúp học sinh đối chứng thực nghiệm.
2.2.4. Lý thuyết kiến tạo cho học tập điện tử
Lý thuyết kiến tạo đang là một trong những lý thuyết về dạy học vượt trội được sử
dụng trong đổi mới giáo dục hiện nay. Lý thuyết này khuyến khích học sinh tự xây
dựng kiến thức cho mình dựa trên những thực nghiệm cá nhân và áp dụng trực tiếp
vào môi trường của các em. Việc học của mỗi cá nhân học sinh trở thành trung tâm
của tiến trình dạy học.
6


Lý thuyết kiến tạo được xem là lý thuyết lý tưởng cho học tập điện tử (E-learning)
vì những lý do như sau:
 Lý thuyết kiến tạo xem người học là trung tâm của tiến trình dạy học.
 Lý thuyết kiến tạo cho rằng, kiến thức được xây dựng và ứng dụng thống nhất
với các thực nghiệm mang tính cá nhân.

 Lý thuyết kiến tạo xem người học là những thực thể hoạt động hơn là thụ động
để có thể đổ đầy thông tin.
 Lý thuyết kiến tạo xem việc học mang tính xã hội, như thế đối thoại và hợp tác là
tất yếu.
CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP VÀ QUY TRÌNH NGHIÊN CỨU
3.1. Thiết kế quy trình nghiên cứu
Để trả lời các câu hỏi nghiên cứu đã đề ra ở chương 1, quy trình nghiên cứu được
tiến hành theo các bước sau đây:
 Khảo cứu các kết quả nghiên cứu đã có và thực hiện những nghiên cứu để xác
định những thế mạnh và sự hỗ trợ của các mô hình toán thao tác động trong việc
nâng cao khả năng khám phá kiến thức toán mới.
 Khảo cứu các nghiên cứu, bài báo, các kết quả nghiên cứu đã có từ trước để
khảo sát môi trường học tập hiện tại thông qua quá trình điều tra rồi từ đó xây
dựng các môi trường học tập toán tích cực có tích hợp các mô hình toán thao tác
động, trong đó xác định rõ vai trò của giáo viên, học sinh, các mô hình dạy học
hỗ trợ, phương pháp đánh giá và những vấn đề liên quan.
 Thiết kế và nghiên cứu việc tích hợp các mô hình toán thao tác động vào các
môi trường học tập toán, đặc biệt là môi trường học tập điện tử sử dụng các mô
hình toán xây dựng trên các phần mềm hình học động nhằm phát triển khả năng
khám phá tri thức mới của học sinh.
 Khảo cứu các kết quả nghiên cứu đã có về suy luận, đặc biệt là suy luận ngoại
suy và quy nạp để từ đó thiết kế các mô hình toán thao tác động hỗ trợ học sinh
phát triển suy luận ngoại suy, ngoại suy kết hợp với quy nạp cũng như có được
các kết luận về vai trò của các phần mềm động trong việc tạo ra các môi trường
hỗ trợ học sinh tạo nên các ngoại suy.
 Khảo cứu các kết quả nghiên cứu đã có, thiết kế các mô hình thao tác động để
nghiên cứu khả năng thực hiện các thực nghiệm toán của học sinh thông qua các
mô hình thao tác động trong việc nâng cao khả năng khám phá kiến thức mới
của học sinh.
7

3.2. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là quá trình tương tác với các mô hình toán thao tác động,
tương tác giữa các học sinh với nhau hoặc học sinh – giáo viên trong quá trình thực
hiện các nhiệm vụ học tập. Đối tượng điều tra, khảo sát môi trường học tập bao gồm
278 học sinh từ các lớp thuộc 4 trường Trung học phổ thông, gồm 2 trường trong
thành phố Huế và 2 trường ở các huyện lân cận. Học sinh sẽ được khảo sát về môi
trường học tập và những quan điểm cá nhân của các em. Để có những kết quả nghiên
cứu về suy luận quy nạp và ngoại suy, chúng tôi thực nghiệm trên học sinh thuộc 3
lớp 11A
2
, 11B
1
và 11B
2
của trường Hai Bà Trưng, Huế. Các kết quả về thực nghiệm
toán sẽ nhờ những thực nghiệm được tiến hành ở 2 lớp thuộc trường chuyên Phan Bội
Châu, Nghệ An.
3.3. Công cụ nghiên cứu
Công cụ nghiên cứu gồm các mô hình toán động thiết kế trên phần mềm The
Geometer’s Sketchpad, các công cụ phân tích số liệu khảo sát, kế hoạch bài học,
phiếu học tập.
3.4. Phương pháp thu thập dữ liệu
Để trả lời các câu hỏi nghiên cứu đã đề ra ở chương 1, chúng tôi thực hiện phương
pháp thu thập dữ liệu cho đề tài như sau:
 Thu thập dữ liệu từ các nghiên cứu có sẵn về biểu diễn toán và khả năng thể hiện
các biểu diễn trên phần mềm hình học động cũng như thu thập thông tin thông
qua các cuộc thực nghiệm dạy học nhằm nắm bắt những hiệu quả của việc tích
hợp các mô hình thao tác động vào môi trường dạy học toán nhằm nâng cao khả

năng khám phá kiến thức mới của học sinh.
 Thu thập dữ liệu từ các nguồn như sách, báo, kỷ yếu, bài viết, các tài liệu khoa
học tải được qua mạng internet về môi trường học tập toán tích cực; thu thập
thông tin về các môi trường dạy học hiện có ở địa phương thông qua các khảo
sát cũng như các nghiên cứu hiện có về môi trường dạy học tích cực.
 Thu thập dữ liệu từ các nghiên cứu về suy luận ngoại suy ở trong cũng như nước
ngoài. Đồng thời dữ liệu của các nghiên cứu về suy luận suy diễn, quy nạp cũng
được thu thập để có đánh giá phù hợp cho việc khám phá tri thức mới qua ngoại
suy trên các mô hình thao tác động. Các dữ liệu có được thông qua quá trình
thực nghiệm sẽ được thu thập để phân tích, đánh giá.
 Thu thập dữ liệu từ các nghiên cứu về thực nghiệm toán học trong quá trình phát
triển của toán học, đặc biệt là các nghiên cứu thực nghiệm sử dụng các phần
mềm toán học.
8


3.5. Phương pháp phân tích dữ liệu
 Từ những dữ liệu thu thập được qua các nghiên cứu về biểu diễn toán, chúng tôi
thể hiện các biểu diễn toán trên phần mềm hình học động bằng cách thiết kế các
mô hình tích cực. Từ đó chúng tôi phân tích các mô hình toán thao tác động
trong hỗ trợ việc nâng cao khả năng khám phá kiến thức mới của học sinh.
 Từ những dữ liệu có được qua khảo cứu các kết quả nghiên cứu đã có, chúng tôi
đánh giá vai trò của việc tích hợp các quan điểm của học sinh trong dạy học
toán. Với những dữ liệu thu được qua quá trình khảo sát đối với học sinh, chúng
tôi tiến hành thống kê số liệu để đánh giá môi trường học tập hiện có, quan điểm
của học sinh, khả năng thực hiện các thao tác khảo sát trên các mô hình thao tác
động. Từ đó chúng tôi đánh giá khả năng tích hợp các mô hình thao tác động để
xây dựng môi trường học tập điện tử.
 Từ những dữ liệu thu thập được qua các nghiên cứu đã có về suy luận suy diễn,
quy nạp và ngoại suy, chúng tôi phân tích sự khác biệt giữa các loại suy luận,

tập trung vào suy luận ngoại suy, đặc biệt là ngoại suy trên mô hình thao tác
động. Các mô hình toán tích cực đã có sẽ được chúng tôi phân tích khả năng ứng
dụng cho việc phát triển suy luận ngoại suy cho học sinh cũng như thiết kế các
mô hình mới. Những dữ liệu từ thực nghiệm sẽ được phân tích định lượng nhằm
tìm kiếm những ngoại suy của học sinh khi thực hiện các khảo sát trên mô hình
động.
 Từ những dữ liệu thu thập được của các nghiên cứu về thực nghiệm toán, chúng
tôi phân tích quá trình thực nghiệm toán trong lịch sử phát triển của toán học
cũng như thực nghiệm thông qua các phần mềm đại số máy tính như Maple,
Mathematica. Từ những dữ liệu đó chúng tôi đề ra những thực nghiệm toán cho
học sinh thông qua các mô hình được thiết kế trên phần mềm hình học động.
3.6. Phạm vi nghiên cứu
 Nội dung các tiết dạy thực nghiệm: Một số bài toán tìm kiếm quy luật để phát
triển suy luận quy nạp và các bài toán phát triển suy luận ngoại suy.
 Học sinh tham gia các tiết dạy thực nghiệm: Có 174 học sinh liên quan đến các
thực nghiệm của luận án. Trong đó có 110 học sinh ở các lớp 11A
2
, 11B
1
và
11B
2
thuộc trường THPT Hai Bà Trưng, Thành phố Huế; 64 học sinh ở các lớp
11A1 và 11A2 thuộc trường THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An.
 Đối tượng khảo sát: Học sinh ở các trường thuộc thành phố Huế: THPT Hai Bà
Trưng (83 em), Đặng Trần Côn (73 em); Học sinh ở huyện lân cận: THPT Hà
Trung (52 em), Tố Hữu (63 em).
9

CHƯƠNG 4: TÍCH HỢP CÁC MÔ HÌNH THAO TÁC ĐỘNG VỚI MÔI
TRƯỜNG DẠY HỌC TOÁN ĐIỆN TỬ
4.1. Các kết quả nghiên cứu
4.1.1. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất
4.1.1.1. Biểu diễn toán
Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn trong giáo dục toán. Hầu hết các nhà
nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn trong và ngoài, trong đó biểu diễn
ngoài là những biểu hiện của các ý tưởng hoặc khái niệm như biểu đồ, bảng biểu, đồ
thị, sơ đồ, ngôn ngữ… và biểu diễn trong là các mô hình nhận thức mà một người có
được trong trí óc họ. Có thể chia biểu diễn thành 3 phạm trù theo các giai đoạn phát
triển của biểu diễn là Biểu diễn thực tế  Biểu diễn biểu tượng  Biểu diễn ký hiệu.
4.1.1.2. Biểu diễn trực quan
Trực quan hóa là khả năng, quá trình và sản phẩm của sự sáng tạo, giải thích, sử
dụng và phản ánh dựa trên các hình vẽ, hình ảnh, sơ đồ trong đầu chúng ta, trên giấy
hay trên các công cụ khoa học công nghệ, với mục đích mô tả và giao tiếp thông tin,
tư duy và phát triển các ý tưởng chưa biết trước đó để đi đến việc hiểu.
4.1.1.3. Biểu diễn trực quan động
Để hiểu được khái niệm “thao tác động” trong giáo dục toán, ta xét các ví dụ sau
được thiết kế trên phần mềm hình học động GSP.
Ví dụ. Dựng đồ thị hàm số
2
( ) 4 3f x x x  
, với A là một điểm tùy ý trên đồ thị.
Tính x
A
, f(x
A
),
'( )fx
và

'( )
A
fx
rồi dựng tiếp tuyến với đồ thị tại điểm A. Bạn nắm lấy
điểm A rồi kéo rê nó trên đồ thị. Bạn sẽ thấy rằng khi điểm A di chuyển từ trái qua
phải khi đi qua điểm có hoành độ x = 1, giá trị đạo hàm
'( )
A
fx
đổi dấu từ âm sang
dương; khi qua x = 2, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm và từ âm sang dương khi
qua x = 3.
Hơn nữa, khi đi qua các điểm có hoành độ x = 1 và x = 3, việc đổi dấu của f’(x) sẽ
diễn ra đột ngột hơn là khi qua điểm có hoành độ x = 2. Tập trung khảo sát bằng cách
kéo rê điểm A quanh điểm có hoành độ x = 1 và x = 3, bạn sẽ thấy rằng sự thay đổi
dấu đạo hàm là đột ngột vì giá trị đạo hàm nhảy cóc từ giá trị -2 đến 2.
4.1.1.4. Biểu diễn bội và biểu diễn bội động
Biểu diễn bội (multiple representation) là những biểu hiện bên ngoài của các ý
tưởng và khái niệm toán học nhằm cung cấp cùng một thông tin ở những dạng khác
nhau. Biểu diễn bội động (dynamic multiple representation) là biểu diễn bội được thể
10


hiện trên máy tính thông qua phần mềm hình học động, trong đó cho phép người
dùng thực hiện các thao tác động lên biểu diễn.
Việc sử dụng biểu diễn bội có hoặc không có công nghệ thông tin là một trong
những chủ đề chính của giáo dục toán trong những năm gần đây. Biểu diễn bội cung
cấp một môi trường hiệu quả cho học sinh nhận biết và hiểu những khái niệm toán
được học.
4.1.1.5. Đánh giá một số kết quả qua các tiết dạy thực nghiệm

Những nhiệm vụ toán trong dạy thực nghiệm được thiết kế trên phần mềm GSP
đều thể hiện biểu diễn bội. Các em đều có cơ hội chọn lựa biểu diễn để thao tác: kéo
rê thanh trượt tham số; thay đổi vị trí các điểm, các đối tượng… Đứng trước một hệ
thống các biểu diễn có mối quan hệ chặt chẽ với nhau, các em đều có những khảo sát
ở tất cả các biểu diễn để tìm ra các mối quan hệ rồi mới tập trung thao tác vào một
biểu diễn nào đó. Việc lựa chọn và thực hiện thao tác trên biểu diễn cũng được các
em thảo luận, dù ban đầu chủ yếu các em tiến hành theo phương pháp thử và sai.
Với nhiệm vụ toán về khảo sát giới hạn dãy số
( 1)
n
n
u
n


, học sinh đã có nhiều thể
hiện khác nhau khi sử dụng biểu diễn ngôn ngữ (xen lẫn với biểu diễn ký hiệu) để
diễn tả những điều mà các em quan sát được. Chẳng hạn, khi giá trị n càng lớn, các
em có nhận xét “u
n
càng dần tới 0”, hoặc “giá trị tuyệt đối của u
n
càng nhỏ”… Có
một vài nhóm còn đưa ra những nhận xét thêm về đặc điểm thay đổi như: “các giá trị
u
n
đổi dấu liên tục”, “u
n
nhận giá trị dương khi n chẵn và âm khi n lẻ”.
4.1.2. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai

4.1.2.1. Tích hợp quan điểm của học sinh vào dạy học toán
Công nghệ thông tin và truyền thông đã được ứng dụng vào dạy học toán trong nỗ
lực đổi mới phương pháp dạy học trong những năm gần đây. Để ứng dụng những thế
mạnh của các phần mềm hình học động vào dạy học toán, chúng tôi tham gia biên
soạn sách “Khám phá Đại số và Giải tích 11 với The Geometer’s Sketchpad”, “Khám
phá Giải tích 12 với The Geometer’s Sketchpad” và đã nhận được những phản hồi
tích cực từ phía các giáo viên toán trung học phổ thông. Các mô hình thao tác động
điện tử đã được sử dụng không chỉ trong các tiết thao giảng mà còn mở rộng trong
các giờ dạy hàng ngày bởi chúng cơ động và dễ dàng sử dụng. Ngoài ra, các mô hình
còn có thể tích hợp vào trong môi trường học tập trên mạng internet thông qua các
khung hình động kiểu Java chạy trực tiếp trên các trình duyệt web trong những hệ
thống học tập qua mạng.
11


4.1.2.2. Khảo sát môi trường học tập
Chúng tôi phân tích các kết quả khảo sát cho 271 học sinh có sử dụng máy tính từ
hai trường THPT tại trung tâm thành phố Huế (nhóm A, gồm 156 em) và hai trường
ở các huyện lân cận (nhóm B, 115 em) vào tháng 03 năm 2009.
4.1.2.3. Những phản hồi cho việc xây dựng môi trường dạy học toán điện tử
Chúng tôi đã tiến hành các khảo sát thông qua phiếu hỏi đối với học sinh của bốn
trường trung học phổ thông trong tỉnh Thừa Thiên Huế và bốn phản hồi sau đây của
học sinh đáng được quan tâm.
 Số năm các em tiếp xúc với máy tính.
 Mức độ thường xuyên các em sử dụng các chương trình máy tính cơ bản.
 Mức độ thành thạo trong thực hiện các thao tác cơ bản trên máy tính.
 Mức độ các em / thầy cô của các em sử dụng máy tính, máy chiếu, đèn chiếu
trong giờ học.
4.1.2.4. Một số kết quả khảo sát
Kết quả khảo sát cho thấy trung bình các học sinh trong nhóm A có thời gian sử

dụng máy tính gần đạt đến mức từ 3 đến 5 năm, nhóm B mới vượt qua ngưỡng từ 1
đến 3 năm. Độ lệch chuẩn của hai nhóm tương đương nhau và ở mức thấp.
Khảo sát mức độ thường xuyên các em sử dụng các chương trình máy tính cơ bản
cho thấy trung bình cả hai nhóm A và B ở mức độ giữa 3 và 4 mặc dù nhóm A
thường xuyên giao tiếp với máy tính hơn. Độ lệch chuẩn của cả 2 nhóm gần như nhau
và đều khá cao do có nhiều hoạt động hơn được khảo sát và có 5 mức đánh giá.
Khảo sát mức độ thành thạo trong thực hiện các thao tác cơ bản trên máy tính cho
thấy, nhóm A có trung bình ở giữa mức 1 và 2. Nhìn chung, các em ở nhóm này có
thể thực hiện tốt các thao tác hoặc một mình hoặc có sự giúp đỡ của người khác. Các
học sinh ở nhóm B trung bình vẫn nằm gần mức 2, các em cần nhiều sự hỗ trợ của
người khác hơn nhóm A. So sánh độ lệch chuẩn ở hai nhóm ta thấy nhóm A có mức
độ đồng đều hơn.
4.1.2.5. Môi trường dạy học toán điện tử
Vai trò của học sinh và giáo viên trong môi trường dạy học toán điện tử được mô
tả như sau:
 Học sinh được chủ động phát huy những khả năng của mình.
 Giáo viên đóng vai trò là người dàn xếp để hướng ý tưởng của các em tới việc
đạt được mục đích của bài học.
12


4.1.3. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba
4.1.3.1. Các loại suy luận
4.1.3.2. Suy luận có lý
Theo Polya, chúng ta bảo vệ các kiến thức toán học của mình bằng các suy luận
chứng minh nhưng chúng ta ủng hộ các giả thuyết của mình bằng các suy luận có lý.
4.1.3.3. Suy luận quy nạp
Toán học, về một phương diện nào đó, là vật liệu thí nghiệm phù hợp nhất cho việc
nghiên cứu suy luận quy nạp. Phép quy nạp thường được bắt đầu bằng sự quan sát,
khảo sát. Giả thuyết quy nạp được nảy sinh nhờ kết quả của quan sát, và đã được

kiểm chứng bằng những thí dụ riêng biệt. Tiếp theo đó, việc tìm thêm các trường hợp
riêng là cần thiết để củng cố giả thuyết. Tất nhiên nếu một trường hợp được tìm ra
phản bác lại giả thuyết thì giả thuyết đó hoàn toàn bị loại bỏ. Ngược lại, giả thuyết
ban đầu được củng cố và có lý hơn.
4.1.3.4. Suy luận ngoại suy
Một cách tổng quát, ngoại suy là quá trình suy luận nhằm đưa ra giả thuyết tốt nhất
để giải thích cho một kết quả quan sát được. Một quy trình cho suy luận ngoại suy theo
Josephson J. và Josephson S. (1996) được thể hiện qua các bước như sau:
1. Một sự kiện (hiện tượng, kết quả…) S được quan sát;
2. Xuất hiện giả thuyết G giải thích cho S;
3. Không có giả thuyết nào khác giải thích tốt cho S như G.
4. Vậy G là lời giải thích tốt nhất cho S.
4.1.3.5. Sự phổ dụng của suy luận ngoại suy
Mặc dù tính không chắc chắn của nó, suy luận ngoại suy là một phần thiết yếu
trong cuộc sống hàng ngày của con người. Khi các nhà khoa học hình thành nên một
giả thuyết để giải thích các dữ liệu mà họ thu thập được, họ thật sự đang suy luận
ngoại suy. Trong cuộc sống hàng ngày, suy luận ngoại suy có mặt hầu khắp nơi.
Chẳng hạn, khi con người tạo ra giả thuyết để lý giải cho hành vi của người khác, giải
thích cho các sự kiện, hiện tượng…
1.3.6. Các dạng cơ bản của suy luận ngoại suy
Chúng tôi mô tả các dạng của ngoại suy và minh họa trong toán qua bốn ví dụ.
Những ví dụ này có thể sử dụng cho việc phát triển suy luận ngoại suy cho học sinh ở
mục sau.
a. Ngoại suy chọn lựa: Chọn trong số các trường hợp có sẵn một trường hợp có thể
lý giải cho kết luận có được.
13


b. Ngoại suy sáng tạo: Khi các trường hợp có sẵn không lý giải được, cần tìm ra một
trường hợp khác để lý giải cho kết luận có được.

c. Ngoại suy quan sát: Thực hiện quan sát trong quá trình ngoại suy để có trường hợp
có thể lý giải cho kết luận có được
d. Ngoại suy thao tác: Sử dụng các thao tác lên đối tượng trong quá trình suy luận để
tìm kiếm các lý giải thích hợp.
Khái niệm ngoại suy thao tác bao quát một phần rộng lớn các phát hiện khoa học
nơi mà vai trò của hoạt động là trung tâm và những kết quả có được đôi khi nằm ở
dạng ẩn tàng:: hoạt động có thể cung cấp những thông tin cho phép nhà nghiên cứu
giải quyết vấn đề bằng cách thực hiện một tiến trình ngoại suy phù hợp để xây dựng
hoặc chọn giả thuyết.
4.1.3.7. Một số mô hình phát triển suy luận quy nạp
Mô hình 1. Học sinh quan sát mô hình dãy số tam giác được thiết kế trên GSP.
Mô hình 2. Tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy các số lẻ liên tiếp.
Mô hình 3. Tính số hạng thứ n của dãy các chấm tạo thành hình thang vuông.
Mô hình 4. Mô hình chia đường tròn bởi các đường thẳng.
Mô hình 5. Mô hình chia đường tròn bởi các cung.
4.1.3.8. Một số mô hình phát triển suy luận ngoại suy
Mô hình 1. Dựng tam giác ABC, trên AB lấy điểm M tùy ý rồi đo tỉ số k =
AM
AB
.
Lấy B làm tâm, vị tự điểm C thành điểm N theo tỉ số k. Tương tự, lấy C làm tâm, vị tự
điểm A thành điểm P theo tỉ số k. Hỏi khi M thay đổi, hai tam giác ABC và MNP có
chung điểm đặc biệt nào?
Mô hình 2. Cho hệ trục gồm 2 trục số song song với nhau. Mỗi điểm x ở trục phía
trên được nối với một điểm f(x) ở trục phía dưới bằng một đoạn thẳng (x và f(x) có
thể di chuyển được trên trục số nhờ kéo rê các núm ở điểm x và f(x)). Hãy tìm mối
liên hệ giữa hai đại lượng x và f(x).
4.1.3.9. Đánh giá một số kết quả dạy thực nghiệm
Chúng tôi chọn 3 lớp 11 gồm 11A
2

, 11B
1
, và 11B
2
để tiến hành thực nghiệm sư
phạm. Chúng tôi chọn 4 mô hình để đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm, trong đó
hai mô hình giúp phát triển suy luận ngoại suy và phần còn lại dành cho phát triển
suy luận quy nạp. Các kết quả thực nghiệm thay vì được thống kê qua những con số,
chúng tôi tiến hành phân tích quá trình tư duy của các em, các hoạt động thao tác trên
các mô hình.
14


a. Mô hình xây dựng cầu thang
Tất cả học sinh trong các tiết dạy thực nghiệm đều trả lời được về số hình vuông
phải dùng ở bước thứ 10. Tuy vậy, không phải tất cả học sinh đưa ra lý luận đúng.
b. Mô hình vườn táo
Từ các quan sát và thao tác để tìm kiếm mối quan hệ giữa số cây chắn gió và n, các
em đã phân tích số cây chắn gió theo từng cạnh của khu vườn để đi đến kết luận. Sử
dụng phân tích trên số n tổng quát, các em có thể suy ra được số cây chắn gió theo giá
trị n.
Kết luận cuối cùng, n
2
> 8n sẽ không chính xác trong mọi trường hợp mở rộng
vườn, tuy nhiên, cách hiểu của học sinh ở đây là các em cho rằng tăng theo dạng bình
phương sẽ nhanh hơn là dạng bậc nhất.
c. Mô hình hai hình vuông
Giáo viên thực nghiệm tiến hành dựng hai hình vuông ABCD và EFGH cạnh a, đặt
sao cho đỉnh E trùng với tâm của ABCD, đỉnh F di chuyển được. Tiếp theo, giáo viên
tiến hành đo diện tích tứ giác EMCN là phần giao giữa hai hình vuông. Khi điểm F

thay đổi vị trí, giá trị diện tích tứ giác EMCN không thay đổi.
Bằng các quan sát và thao tác trên mô hình, để chứng minh hai tam giác bằng
nhau, học sinh có thể sử dụng phép quay tâm E góc 90
0
. Khi đó N biến thành M còn
C biến thành B. Với việc sử dụng phép quay để chứng minh thành công, em học sinh
này sử dụng phương pháp chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp g.c.g
để tạo nên một cách giải khác cho riêng mình.
Từ quan sát diện tích phần giao của hai hình vuông là không đổi, một số em đưa
hình vuông EFGH tới vị trí đặc biệt: EF // AB, lúc này phần giao cũng là một hình
vuông. Từ đó các em quy các trường hợp khác về trường hợp đặc biệt này.
d. Mô hình tổng khoảng cách
Khi ngoại suy được m bằng độ dài đường cao của tam giác đều, học sinh đã có
những tiếp cận khác nhau để giải thích điều này. Có em tìm mối liên hệ giữa các
khoảng cách x, y, z với từng đường cao tương ứng trong tam giác đều.
Khi đã xác định con đường lý giải của mình, học sinh thường kiên trì đi đến cùng.
Cách lý giải dưới đây của một học sinh khá rườm rà và còn sai sót, nhưng cho thấy
tính kiên trì của em nhằm biểu diễn các khoảng cách PE và PF về khoảng cách PQ,
với GQ = AH.
15


4.1.4. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ tư
4.1.4.1. Thực nghiệm toán
Thực nghiệm là một hoạt động hoặc thao tác được thực hiện dưới những điều kiện
xác định để phát hiện, xác minh, minh họa một lý thuyết, giả thuyết hoặc sự kiện.
4.1.4.2. Một số mô hình thực nghiệm toán
Yêu cầu của một mô hình hỗ trợ tốt cho việc tiến hành thực nghiệm toán:
 Các tham số, các điều kiện đầu có thể thay đổi được.
 Các đối tượng trong mô hình có mối quan hệ toán học chặt chẽ với nhau.

 Thể hiện được các quá trình trung gian trong các chuyển động và biến đổi.
 Kết quả thực nghiệm chỉ xuất hiện sau khi tiến hành thực nghiệm.
 Kết quả thực nghiệm có thể được quan sát và phân tích dễ dàng.
Các mô hình giới thiệu ở đây được chúng tôi thiết kế trên phần mềm The
Geometer’s Sketchpad 5 (GSP5) trong chủ đề giải tích ở THPT.
Mô hình 1. Điểm cố định của hàm số chứa tham số
Mô hình 2. Đồ thị của các hàm số f(x),
' ( )fx
và
'' ( )fx
.
Mô hình 3. Đồ thị của hàm số đạo hàm
Mô hình 4. Đồ thị của các hàm số nguyên hàm
4.1.4.3. Vai trò thực nghiệm toán của các mô hình động
Chúng tôi nhấn mạnh những vai trò thực nghiệm toán của các mô hình động:
a. Minh họa trực giác và thấu hiểu nội dung toán.
b. Phát hiện các sự kiện, quy luật và các mối quan hệ.
c. Đồ thị hóa để thể hiện các dữ kiện, cấu trúc hoặc quy tắc.
d. Kiểm tra tính chặt chẽ, khẳng định hoặc bác bỏ giả thuyết.
e. Đề xuất các tiếp cận cho chứng minh suy diễn.
f. Giảm các tính toán rườm rà bằng tay.
g. Kiểm chứng các kết quả.
4.1.4.4. Đánh giá một số kết quả dạy thực nghiệm
Chúng tôi đánh giá việc sử dụng các thao tác động, hợp tác giữa các học sinh và
việc kiến tạo kiến thức về các đại lượng vô cùng bé ở hai nhiệm vụ toán: giới hạn dãy
số và khái niệm đạo hàm.

16

CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN, LÝ GIẢI VÀ ỨNG DỤNG
5.1. Kết luận và lý giải
5.1.1. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất
5.1.1.1. Những tiếp cận dạy học khái niệm theo biểu diễn bội động
Chúng ta không nên cho rằng mọi người sẽ lĩnh hội cùng một kiến thức toán từ chỉ
một biểu diễn như nhau. Biểu diễn bội động tạo cơ hội cho người học khảo sát nhằm
chọn lựa biểu diễn để làm việc, thao tác trên biểu diễn để tạo nên các biến thể phù
hợp.
Biểu diễn bội động không những thể hiện được một kiến thức toán ở những dạng
khác nhau mà mỗi biểu diễn trong nó còn có mối liên hệ toán học chặt chẽ với nhau.
Mỗi thay đổi ở dạng biểu diễn này có thể kéo theo những thay đổi ở các dạng biểu
diễn khác, giúp người học thấy được mối quan hệ giữa các biểu diễn cũng như tạo cơ
hội cho họ phát hiện các quy luật, bất biến toán học, đặt giả thuyết, kiểm chứng giả
thuyết.
5.1.1.2. Vai trò của biểu diễn toán
 Các biểu diễn cung cấp cho học sinh những công cụ tư duy hiệu quả.
 Biểu diễn trực quan động cung cấp cho học sinh một môi trường học toán hiệu
quả.
 Sự kết hợp hài hòa giữa các biểu diễn giúp giáo viên hỗ trợ tốt học sinh kiến tạo
tri thức mới.
 Sử dụng các biểu diễn khác nhau giúp học sinh tiếp cận với bản chất của vấn
đề, từ đó đưa ra được cách giải quyết cho vấn đề.
 Công nghệ thông tin hỗ trợ tốt cho việc thiết kế các biểu diễn bội.
5.1.2. Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất
5.1.2.1. Các thao tác động trên các biểu diễn
Những thao tác động trên các biểu diễn dưới sự hỗ trợ của các phần mềm hình học
động đã trở nên thú vị đối với học sinh hơn bao giờ hết. Bạn kéo rê các điểm, đường
thẳng, quay các đối tượng… như thể bạn làm việc trực tiếp với chúng vậy. Thực ra,
chẳng hạn đối với việc di chuyển một trong hai đầu mút của đoạn thẳng (như điểm B
của đoạn AB), máy tính sẽ thực hiện công việc cấp cao như sau: (1) cập nhật tọa độ

mới cho đỉnh B trên màn hình; (2) xóa hình ảnh điểm B ở vị trí cũ; (3) dựng điểm B ở
tọa độ mới; (4) xóa đoạn thẳng nối A và điểm B cũ, và cuối cùng là (5) dựng đoạn
thẳng AB với điểm B ở vị trí mới.
17


5.1.2.2. Liên hệ giữa các biểu diễn
Các biểu diễn lưu giữ những khía cạnh khác nhau của tri thức toán học. Với mỗi
biểu diễn, một khía cạnh nào đó của tri thức được thể hiện một cách rõ nét. Chẳng
hạn, khái niệm độ dốc của tiếp tuyến sẽ thể hiện rõ nét khía cạnh hình ảnh và “dốc”
khi được thể hiện thông qua biểu diễn trực quan và trực quan động. Do đó cần cho
học sinh thấy được tri thức toán dưới những biểu diễn khác nhau.
5.1.2.3. Môi trường khám phá toán học
Các mô hình toán thao tác động trở thành những thành phần cốt yếu trong môi
trường khám phá toán học. Những biểu diễn toán được thể hiện một cách sinh động
với sự gắn kết toán học chặt chẽ. Với mỗi đối tượng mà học sinh đang quan tâm, các
em có thể thực hiện các thao tác động để nắm bắt thuộc tính đối tượng, biết được mối
quan hệ của nó với những đối tượng khác. Môi trường khám phá toán học dựa trên
các phần mềm hình học động được tối ưu cho các thao tác này.
5.1.2.4. Biễu diễn toán, quan điểm hành vi và quan điểm kiến tạo
Nghiên cứu các biểu diễn toán sẽ làm cầu nối giữa thuyết hành vi (nhấn mạnh cái
bên ngoài) và thuyết kiến tạo (nhấn mạnh cái bên trong). Mối liên hệ giữa các biểu
diễn cũng được đặc biệt quan tâm và chúng có thể hiện tốt nhất nhờ môi trường toán
điện tử với sự hỗ trợ của các phần mềm hình học động. Thông qua tương tác với các
biểu diễn toán trên môi trường toán điện tử, hệ thống các biểu diễn bên trong của học
sinh được phát triển.
5.1.3. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai
5.1.3.1. Đánh giá các kết quả phản hồi
Việc quen thuộc với máy tính sẽ giúp các em tập trung vào thực hiện nhiệm vụ
toán học. Tuy nhiên ở khảo sát về mức độ sử dụng máy tính, đèn chiếu, máy chiếu

cho thấy giáo viên chỉ thỉnh thoảng hoặc hầu như không tạo cơ hội cho học sinh thực
hiện các khảo sát toán. Điều này có thể do các nguyên nhân sau:
 Thiếu máy tính cho các em thực hiện nhiệm vụ.
 Các kế hoạch bài học vẫn còn ở dạng trình diễn, thông tin kiến thức toán.
 Giáo viên chưa làm chủ công nghệ.
 Những giờ học toán có sử dụng công nghệ thông tin đòi hỏi nhiều thời gian
chuẩn bị.
 Nội dung truyền tải trong một giờ học còn nặng.
18


Tóm lại, tuy các giáo viên đều nhận thấy những lợi ích khi thực hiện giờ học theo
hướng cho học sinh thực hiện các khảo sát toán trong môi trường học tập điện tử
nhưng việc thực hiện còn gặp nhiều khó khăn khách quan lẫn chủ quan.
5.1.3.2. Xây dựng môi trường học tập điện tử
Đối với giáo viên, các mô hình thao tác động điện tử cũng đã được thiết kế và sẵn
sàng dùng được ngay cho các giờ học. Vấn đề là người giáo viên toán cần xây dựng
nên môi trường học tập điện tử phù hợp với lớp học theo hướng nâng cao tính tích
cực và chủ động của học sinh, tích hợp các mô hình thao tác động điện tử thành một
thành phần cốt lõi trong môi trường đó nhằm hỗ trợ các em học toán.
5.1.3.3. Cài đặt môi trường học tập điện tử
Các trường học tùy theo điều kiện của mình, thường có trang bị máy tính cho lớp
học ở những dạng khác nhau, từ chỉ đơn giản có một máy tính đến một phòng học
được trang bị hiện đại. Các phần mềm hình học động được thiết kế thích hợp cho cả
những dạng khác nhau đó. Phương án dạy học, tất nhiên, cũng thay đổi để phù hợp
với những điều kiện sẵn có.
Lớp học với 1 máy tính
Trong trường hợp này, mỗi nhóm sẽ có cơ hội sử dụng máy tính trong một thời
gian ngắn trong suốt giờ học. Một máy tính đơn mà không có máy chiếu hoặc màn
hình lớn sẽ bị giới hạn trong việc sử dụng như là một công cụ trình diễn. Một lớp học

có nhiều học sinh sẽ gặp khó khăn khi theo dõi trên một màn hình máy tính nhỏ.
Một máy tính và một máy chiếu
Các phần mềm hình học động được thiết kế để hoạt động tốt với các loại máy
chiếu. Bạn hoặc một học sinh có thể thao tác trên mô hình để khảo sát, hỏi cả lớp các
câu hỏi như: “Tiếp theo chúng ta sẽ thử làm gì?”, “Ta có nên dựng 1 đoạn thẳng?”,
“Đối tượng nào nên di chuyển?” hay là “Nếu di chuyển đối tượng này thì điều gì sẽ
xảy ra?”. Với một máy chiếu, ban và học sinh của bạn có thể chuẩn bị cho các trình
bày, hoặc học sinh có thể giới thiệu các tìm kiếm của các em trên máy chiếu.
Lớp học có vài máy tính
Nếu bạn có thể chia lớp thành từng nhóm nhỏ từ 3 đến 4 học sinh sao cho mỗi
nhóm đều có một máy tính, bạn sẽ lên được một kế hoạch dạy học thông qua các
khảo sát với máy tính.
Một phòng máy tính hiện đại
Thực nghiệm của các giáo viên sử dụng GSP trong lớp học đề xuất rằng, ngay cả
khi đủ máy tính cho tất cả học sinh làm việc cá nhân, các em cũng nên kết hợp với
nhau theo cặp. Học sinh sẽ học tốt nhất khi các em thông tin với nhau những điều các
19


em đang học, và học sinh làm việc với nhau có thể điều phối các ý tưởng và hỗ trợ
nhau học tập.
5.1.4. Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai
5.1.4.1. Tích hợp các quan điểm của học sinh vào dạy học
Mặc dù các tiếp cận để kết hợp các quan điểm của học sinh vào dạy học đã được
đề cập rộng rãi, người ta vẫn đang quan tâm đến tính phù hợp và hiệu quả của các
tiếp cận trên. Những nghiên cứu cũng cho thấy rằng, nhận thức của học sinh về các
môi trường học tập có ảnh hưởng lớn đến hiệu quả việc học của các em hơn là những
đặc tính vốn có của bản thân môi trường đó. Giáo viên thường đối mặt với những khó
khăn sư phạm khi mà nhận thức của học sinh về các môi trường học tập thường
không nhất quán… Chẳng hạn, học sinh có thể không thích các môi trường học tập

gây giảm hứng thú học tập của các em, nhưng giáo viên không thấy điều đó và vẫn
nghĩ rằng môi trường hiện tại tốt cho các em và có thể gia tăng hứng thú học tập. Bối
cảnh này đòi hỏi các nhà giáo dục và các giáo viên cần thiết kế môi trường học tập tốt
hơn để phù hợp với quan điểm của học sinh sao cho có thể đạt được hiệu quả học tập
cao hơn.
5.1.4.2. Môi trường dạy học toán điện tử
Việc triển khai môi trường học tập điện tử không thể diễn ra trong một thời gian
quá ngắn. Nó cần bắt đầu bằng việc khảo sát sự sẵn sàng của học sinh, chuẩn bị của
giáo viên, cơ sở vật chất. Tiếp đến là quá trình cài đặt môi trường theo những điều
kiện sẵn có. Việc thực hiện dạy học trong môi trường học tập điện tử là cần thiết, tuy
nhiên không gượng ép. Thực tế cho thấy không phải lúc nào dạy học toán trong môi
trường học tập điện tử cũng thành công hơn so với học tập truyền thống. Không phải
nội dung nào trong sách giáo khoa cũng có thể thiết kế được các mô hình thao tác
động hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức toán.
5.1.5. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba
5.1.5.1. Mối quan hệ giữa các loại suy luận
Suy luận ngoại suy là một dạng suy luận để giải thích hơn là để dự đoán bởi vì các
kết quả không thể biết được một cách trực tiếp. Ngoại suy giống với quy nạp ở chỗ cả
hai đều liên quan đến các phát hiện. Tuy nhiên trong lúc quy nạp phát hiện ra những
quy luật, khuynh hướng thì ngoại suy phát hiện ra những sự kiện mới. Quy nạp sẽ
giúp kiểm tra một giả thuyết ngoại suy thông qua các thực nghiệm và tăng mức độ
thành công trong các phép thử, nghĩa là tăng mức độ tin cậy của giả thuyết.
20


5.1.5.2. Kết hợp suy luận với biểu diễn trực quan động
Một kết hợp của 3 loại suy luận với các biểu diễn trực quan động được thể hiện
qua sơ đồ sau:

Hình 1. Kết hợp 3 loại suy luận với biểu diễn trực quan động

5.1.6. Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba
5.1.6.1. Quan sát và thao tác trên các biểu diễn trực quan động
Những lưu ý sau đây là đáng quan tâm khi thiết kế mô hình động:
Những đối tượng liên quan với nhau nên thiết kế với màu sắc giống nhau.
Những đối tượng dựng thêm nên được tô màu tách biệt.
Cân nhắc giữa tạo vết cố định và vết mờ dần.
Cân nhắc số lượng đối tượng xuất hiện trên trang hình.
Khảo sát trước mọi trường hợp có thể của mô hình.
5.1.6.2. Suy luận ngoại suy thao tác
Những kết quả thực nghiệm cũng cho thấy học sinh có cải tiến những thao tác
động của mình lên mô hình. Từ những thao tác mang tính thử và sai, học sinh dần
dần cẩn thận hơn ở những thao tác và dành một thời lượng nhất định để dự đoán kết
quả thao tác trước khi thực hiện. Trong môi trường hình học động, nhiều giả thuyết
ngoại suy được đưa ra và những thao tác sẽ giúp loại bỏ những giả thuyết sai, củng cố
những giả thuyết đáng tin cậy. Trong nhiều trường hợp, học sinh khó có thể đưa ra
giả thuyết ngoại suy nếu như chưa thực hiện bất cứ thao tác nào.
5.1.7. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ tư
5.1.7.1. Khám phá tri thức mới thông qua thực nghiệm toán
Công nghệ có một vai trò to lớn liên quan đến việc sử dụng các thực nghiệm trong
toán học cũng như trong giáo dục toán học. Thực nghiệm toán học phổ thông khi đó
21


là một bộ phận đáng quan tâm của giáo dục toán liên quan đến các thực nghiệm trên
những phần mềm toán học chuyên dụng. Với sự tối ưu cho các tương tác của phần
mềm hình học động, học sinh nên được khuyến khích tiến hành các khảo sát, thực
nghiệm trên mô hình toán nhằm đạt đến những hiểu biết toán sâu hơn.
5.1.7.2. Thực nghiệm toán và ngoại suy thao tác
Môi trường toán học điện tử có tích hợp các mô hình thao tác động hỗ trợ tốt cho
học sinh tiến hành các thực nghiệm toán sử dụng các thao tác động. Những thao tác

này giúp học sinh hình thành các suy luận ngoại suy thao tác. Trong quá trình khảo
sát trên mô hình, những suy luận trên có thể được gia tăng độ tin cậy để trở thành
những giả thuyết tốt. Giả thuyết đó tiếp tục được củng cố thông qua các thao tác
động. Quá trình này tiếp diễn trong hoạt động giải quyết nhiệm vụ toán học của học
sinh thông qua phần mềm động
5.1.8. Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ tư
5.1.8.1. Tính phân kỳ trong các khảo sát
Rõ ràng, những học sinh trong lớp học sẽ sử dụng những thao tác khác nhau trên
cùng một biểu diễn theo đúng những hướng suy nghĩ của các em. Điều này kích thích
sự sáng tạo bản thân và không bị ảnh hưởng bởi các khuynh hướng có sẵn. Những
phản ứng khác nhau của các đối tượng toán khi học sinh tác động sẽ giúp các em định
hướng các thao tác tiếp theo và quá trình này lặp lại cho đến khi học sinh đạt được
điều mình mong muốn.
5.1.8.2. Hợp tác trong môi trường thực nghiệm toán
Dù trong một lớp học mỗi học sinh đều có một máy tính, nhưng việc hợp tác trong
các thực nghiệm toán trên mô hình là cần thiết và nên được khuyến khích. Hợp tác
trong môi trường học tập điện tử cũng giống như trong môi trường truyền thống. Học
sinh trao đổi ý tưởng với nhau, hợp tác cùng thực hiện nhiệm vụ. Những công việc
được phân công cho các thành viên có thể hoán đổi cho nhau, tạo ra những trải
nghiệm đồng đều giữa các thành viên cũng như tạo cơ hội cho tất cả các thành viên
thực hiện đủ các công đoạn khác nhau của nhiệm vụ toán. Rõ ràng, khi thực nghiệm
trên mô hình, mỗi học sinh đều có những cách tiếp cận riêng cũng như nhìn nhận, thể
hiện vấn đề qua lăng kính của các em.
5.1.8.3. Thực nghiệm toán có và không có mô hình động
Những thực nghiệm trên phần mềm động tạo ra những trải nghiệm khác biệt cho
học sinh. Chẳng hạn, việc dựng các đường thẳng tiếp xúc từ một điểm ngoài đường
tròn là khác cơ bản với từ một điểm ở trên đường tròn. Vì thế khi kéo rê điểm P cho
22

đến khi nó nằm trên đường tròn thì quá trình dựng hình không cho ta đường tiếp
tuyến nữa bởi vì điểm cùng với P để dựng tiếp tuyến không xác định được nữa.
5.2. Ứng dụng
5.2.1. Ứng dụng cho giáo viên và học sinh
Các mô hình được thiết kế có thể hỗ trợ giáo viên sử dụng trong các kế hoạch bài
học nhằm giúp học sinh đạt hiệu quả cao hơn trong việc học toán. Các mô hình cũng
giúp giáo viên sử dụng để dạy học một số tiết học cụ thể, tiết kiệm thời gian xây dựng
mô hình. Thật vậy, việc thiết kế một mô hình trên máy tính không phải đơn giản, mỗi
mô hình thường phải có ý tưởng thiết kế, giải nhiều bài toán dựng hình, kết hợp
những công cụ của phần mềm hình học động để đạt đến mục đích.
5.2.2. Ứng dụng cho sinh viên sư phạm ngành toán
Một phần trong luận án được sử dụng cho học phần liên quan đến việc sử dụng
công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy học toán. Sinh viên được làm quen với
thiết kế các mô hình thao tác động trên các phần mềm hình học động. Những phương
pháp đánh giá truyền thống nên được tích hợp một cách hệ thống với với đánh giá
theo tập sản phẩm. Sự kết hợp giữa đánh giá thể hiện và đánh giá theo tập sản phẩm
là cần thiết nhằm nâng cao chất lượng của quá trình đánh giá học tập của sinh viên.
5.2.3. Ứng dụng cho các nghiên cứu xa hơn
Những kết quả nghiên cứu trong luận án này tạo nên những hướng nghiên cứu sâu
hơn cho các vấn đề được đề cập.
5.2.3.1. Nghiên cứu về biểu diễn toán
Các nhà nghiên cứu giáo dục toán quan tâm đến những biểu diễn ngoài của học
sinh nhưng các kết quả nghiên cứu vẫn còn hạn chế. Việc sử dụng các biểu diễn toán
khi học sinh thực hiện các nhiệm vụ học tập cần được nghiên cứu sâu hơn, nhiều đối
tượng học sinh hơn. Biểu diễn ngoài thể hiện các khuynh hướng và thế giới quan của
học sinh. Nắm bắt được điều đó, giáo viên có thể giúp cho học sinh tối ưu các biểu
diễn nhằm hỗ trợ các em hoàn thành nhiệm vụ học tập. Ngoài ra, biểu diễn trong, cái
mà không nhìn thấy, sờ mó được khi học sinh tiến thành thực hiện các nhiệm vụ toán
cũng là một chủ đề cần có thêm các nghiên cứu giao thoa giữa giáo dục học và thần
kinh học, mặc dù biểu diễn bên ngoài chính là những thể hiện rõ nét của các biểu diễn

bên trong.
5.2.3.2. Tích hợp các quan điểm của học sinh
Việc tích hợp các quan điểm của học sinh vào dạy học toán chưa được nhiều nhà
giáo dục toán quan tâm. Thông thường, các kết quả nghiên cứu hay đề xuất các biện
pháp để giúp học sinh hiểu được tri thức này, lĩnh hội được phương pháp kia. Tuy
23


nhiên, các biện pháp đó chỉ nhằm trả lời cho câu hỏi “Dạy như thế nào?”. Trong khi
đó trả lời câu hỏi “Học như thế nào?” lại định hướng cho việc dạy học.
5.2.3.3. Thực nghiệm toán
Những kết quả nghiên cứu trong luận án về thực nghiệm toán vẫn còn nhiều hạn
chế, chẳng hạn như với những điều kiện khác nhau, liệu có thể tạo nên môi trường
thực nghiệm toán hiệu quả? Những ảnh hưởng của thực nghiệm toán học lên các
nhiệm vụ toán học đòi hỏi chỉ sử dụng giấy và bút?
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ CỦA LUẬN ÁN
Qua quá trình nghiên cứu, luận án đã thu được những kết quả sau đây:
1. Những mô hình động mà chúng tôi thiết kế bằng phần mềm toán theo chương
trình Trung học phổ thông và thực nghiệm trên lớp đã thực sự hỗ trợ tốt cho học
sinh tiến hành các thao tác trực tiếp lên đối tượng toán học trong khảo sát để
kiến tạo kiến thức mới.
2. Những môi trường dạy học toán điện tử có tích hợp mô hình động trong các thực
nghiệm của chúng tôi đã hỗ trợ học sinh thao tác, quan sát các bất biến, từ đó dự
đoán, nêu giả thuyết, phát hiện quy luật để khám phá kiến thức toán mới.
3. Những môi trường dạy học toán điện tử mà chúng tôi xây dựng có chứa đựng
các sự kiện toán học đáng ngạc nhiên khi học sinh quan sát và thao tác, từ đó các
em có cơ hội thực hiện các suy luận ngoại suy và quy nạp một cách tích cực, chủ
động thông qua mô hình để khám phá kiến thức mới.
4. Môi trường thực nghiệm toán đã cho phép học sinh tiến hành các khảo sát trên
mô hình động một cách phù hợp theo trình độ hiểu biết toán của mình để các em

tự kiến tạo được kiến thức toán mới cho bản thân.
Các kết quả nghiên cứu cho phép kết luận rằng:
1. Học sinh sẽ có cơ hội thuận lợi để kiến tạo kiến thức toán cho bản thân nếu kiến
thức đó được thể hiện dưới những dạng biểu diễn khác nhau thông qua các mô
hình động được thiết kế trên các phần mềm toán.
2. Cần xây dựng môi trường dạy học toán điện tử tích hợp các mô hình động nhằm
hỗ trợ học sinh thao tác lên đối tượng để quan sát các bất biến toán học nhằm
kiến tạo kiến thức toán. Sự thành thạo các thao tác cơ bản trên máy tính là điều
kiện cần để học sinh thực hiện các nhiệm vụ toán.