Bài tập toán lớp 9 thi vào cấp 3 2016-2017

Các dạng toán luyện thi vào lớp 10
A. Căn thức và biến đổi căn thức
A.1. Kiến thức cơ bản
A.1.1. Căn bậc hai
a. Căn bậc hai số học
- Với số dơng a, số
a
đợc gọi là căn bậc hai số học của a
- Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0
- Một cách tổng quát:
2
0x
x a
x a


=

=

b. So sánh các căn bậc hai số học
- Với hai số a và b không âm ta có:
a b a b< <
A.1.2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
2
A A=
a. Căn thức bậc hai
- Với A là một biểu thức đại số , ngời ta gọi
A
là căn thức bậc hai của A, A đợc gọi là biểu thức lấy căn hay
biểu thức dới dấu căn

-
A
xác định (hay có nghĩa)

A

0
b. Hằng đẳng thức
2
A A=
- Với mọi A ta có
2
A A=
- Nh vậy: +
2
A A=
nếu A

0
+
2
A A=
nếu A < 0
A.1.3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng
a. Định lí: + Với A

0 và B

0 ta có:
. .A B A B=

+ Đặc biệt với A

0 ta có
2 2
( )A A A= =
b. Quy tắc khai phơng một tích: Muốn khai phơng một tích của các thừa số không âm, ta có thể khai phơng từng
thừa số rồi nhân các kết quả với nhau
c. Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dới dấu
căn với nhau rồi khai phơng kết quả đó
A.1.4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng
a. Định lí: Với mọi A

0 và B > 0 ta có:
A A
B
B
=
b. Quy tắc khai phơng một thơng: Muốn khai phơng một thơng a/b, trong đó a không âm và b dơng ta có thể lần
lợt khai phơng hai số a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chí cho kết quả thứ hai.
c. Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho số b dơng ta có thể chia số a cho
số b rồi khai phơng kết quả đó.
A.1.5. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
a. Đa thừa số ra ngoài dấu căn
- Với hai biểu thức A, B mà B

0, ta có
2
A B A B=
, tức là
+ Nếu A

0 và B

0 thì
2
A B A B=
+ Nếu A < 0 và B

0 thì
2
A B A B=
b. Đa thừa số vào trong dấu căn
+ Nếu A

0 và B

0 thì
2
A B A B=
+ Nếu A < 0 và B

0 thì
2
A B A B=
c. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
- Với các biểu thức A, B mà A.B

0 và B

0, ta có

A AB
B B
=
d. Trục căn thức ở mẫu
1
- Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có
A A B
B
B
=
- Với các biểu thức A, B, C mà
0A

và
2
A B
, ta có
2
( )C C A B
A B
A B

=


- Với các biểu thức A, B, C mà
0, 0A B
và
A B
, ta có

( )C A B
C
A B
A B

=


A.1.6. Căn bậc ba
a. Khái niệm căn bậc ba:
- Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x
3
= a
- Với mọi a thì
3 3 3
3
( )a a a= =
b. Tính chất
- Với a < b thì
3 3
a b<
- Với mọi a, b thì
3 3 3
.ab a b=
- Với mọi a và
0b
thì
3
3
3

a a
b
b
=
A.2. Kiến thức bổ xung
A.2.1. Căn bậc n
a. Căn bậc n (
2 n N

) của số a là một số mà lũy thừa n bằng a
b. Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)
Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ
Căn bậc lẻ của số dơng là số dơng
Căn bậc lẻ của số âm là số âm
Căn bậc lẻ của số 0 là số 0
c. Căn bậc chẵn (n = 2k )
Số âm không có căn bậc chẵn
Căn bậc chẵn của số 0 là số 0
Số dơng có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là
2k
a
và
2k
a
d. Các phép biến đổi căn thức.

2 1
.
k
A

+
xác định với
A
2
.
k
A
xác định với
0A


2 1
2 1
k
k
A A
+
+
=
với

A
2
2
k
k
A A=
với

A

2 1 2 1
2 1
. .
k k
k
A B A B
+ +
+
=
với

A, B
2
2 2
. .
k
k k
A B A B=
với

A, B mà
. 0A B


2 1 2 1
2 1
. .
k k
k

A B A B
+ +
+
=
với

A, B
2 2
2
. .
k k
k
A B A B=
với

A, B mà
0B


2 1
2 1
2 1
k
k
k
A A
B
B
+
+

+
=
với

A, B mà B

0
2
2
2
k
k
k
A
A
B
B
=
với

A, B mà B

0,
. 0A B


m
n mn
A A=
với

A, mà
0A

2

m
m
n
n
A A=
với

A, mà
0A

Chủ đề 1: Căn thức Biến đổi căn thức.
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa.
Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau).
3x16x 14)
x2x
1
)7
x5
3x
3x
1
13)
x7
3x

6)
65xx
1
12)
27x
x3
5)
35x2x 11) 12x 4)
73xx 10)
147x
1
3)
2x 9) 2x5 2)
3x 8) 13x 1)
2
2
2
2
2
2
++


+


+
+
+

+
+


+
Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức.
Bài 1: Đa một thừa số vào trong dấu căn.
22
x
7
x e) ;
x25
x
5)(x d) ;
5
2
x c) 0);x (với
x
2
x b) ;
3
5
5
3
a)

>
Bài 2: Thực hiện phép tính.
33
3;

3
33
3152631526 h) ;2142021420 g)
725725 f) ;10:)4503200550(15 c)
26112611 e) ;0,4)32)(10238( b)
;526526 d) ;877)714228( a)
+++
++
++
++++
Bài 3: Thực hiện phép tính.
1027
1528625
c)
57
1
:)
31
515
21
714
b)
6
1
)
3
216
28
632
( a)

+
+


+





Bài 4: Thực hiện phép tính.
62126,5126,5 e)
77474 d) 25353 c)
535)(3535)(3 b) 1546)10)(15(4 )
+++
+++
++++a
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:
3
53
53
53
53
d)
65
625
65
625
c)
113

3
113
3
b)
1247
1
1247
1
a)
+

+

+
+

+

+
+

+++

+
Bài 6: Rút gọn biểu thức:
10099
1

43
1

32
1
21
1
c)
34710485354b) 4813526a)
+
++
+
+
+
+
+
+++++
Bài 7: Rút gọn biểu thức sau:
4
3y6xy3x
yx
2
e)
)4a4a(15a
12a
1
d)
;
4a
a42a8aa
c)
1.a và 0a với,
1a

aa
1
1a
aa
1 b)
b.a và 0b 0,a với,
ba
1
:
ab
abba
a)
22
22
24
++


+


+
>

+
+
+
>>

+
Bài 8: Tính giá trị của biểu thức
( )( )
a.)y)(1x(1xybiết , x1yy1xE e)
1.x2x9x2x16biết , x2x9x2x16D d)
3;3yy3xxbiết , yxC c)
;1)54(1)54(x với812xxB b)
549
1
y;
25
1
x khi2y,y3xxA a)

2222
2222
22
33
3
2
=++++++=
=+++++=
=+++++=
+=+=
+
=

=+=
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán.
Bài 1: Cho biểu thức
21x
3x
P


=
a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 -
3
). c) Tính giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2: Xét biểu thức
1.
a
a2a
1aa

aa
A
2
+
+

+
+
=
a) Rút gọn A. b) Biết a > 1, hãy so sánh A với
A
.
c) Tìm a để A = 2. d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
4
Bài 3: Cho biểu thức
x1
x
2x2
1
2x2
1
C

+
+


=
a) Rút gọn biểu thức C. b) Tính giá trị của C với
9

4
x =
. c) Tính giá trị của x để
.
3
1
C =
Bài 4: Cho biểu thức
222222
baa
b
:
ba
a
1
ba
a
M










+

=
a) Rút gọn M. b) Tính giá trị M nếu
.
2
3
b
a
=
c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1.
Bài 5: Xét biểu thức
.
2
x)(1
1x2x
2x
1x
2x
P
2










++

+



=
a) Rút gọn P. b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0. c) Tìm giá trị lơn nhất của P.
Bài 6: Xét biểu thức
.
x3
1x2
2x
3x
6x5x
9x2
Q

+


+

+

=
a) Rút gọn Q. b) Tìm các giá trị của x để Q < 1.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của Q cũng là số nguyên.
Bài 7: Xét biểu thức
( )
yx
xyyx

:
yx
yx
yx
yx
H
2
33
+
+













=
a) Rút gọn H. b) Chứng minh H 0. c) So sánh H với
H
.
Bài 8: Xét biểu thức
.
1aaaa

a2
1a
1
:
1a
a
1A








+










+
+=
a) Rút gọn A. b) Tìm các giá trị của a sao cho A > 1.
c) Tính các giá trị của A nếu

200622007a =
.
Bài 9: Xét biểu thức
.
x1
2x
2x
1x
2xx
39x3x
M


+
+
+

+
+
=
a) Rút gọn M. b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của M cũng là số nguyên.
Bài 10: Xét biểu thức
.
3x
3x2
x1
2x3
3x2x
11x15
P

+
+



+
+

=
a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x sao cho
.
2
1
P =
c) So sánh P với
3
2
.
Bài 11: Cho biểu thức:









+

+









=
1
1
1
1
.
2
1
2
2
a
a
a
a
a
a
P
a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a để P > 0.
Bài 13: Cho biểu thức:
1

1
1
1
1
+

+
+
=
aa
A
a) Rút gọn A. b) Tìm a để
2
1
=A
Bài 14: Cho biểu thức:
x
x
x
x
xx
x
A
1
.
1
2
12
2 +

++
+
=
a) Rút gọn A b) Tìm các giá trị nguyen của x sao cho A có giá trị nguyên.
5
Bài 15: Cho biểu thức
2
2
:
11

+

+
+



=
a
a
aa
aa
aa
aa
A
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức A.
c) Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Bài 16: Cho biểu thức:
( )
1
122
:
11

+

+
+



=
x
xx
xx
xx
xx
xx
A
a) Rút gọn A b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên
Bài 17: Cho biểu thức:

+
+

= 2
1
1
1
1
1
1
x
x
xx
A
với
1;0 xx
a) rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên.
Bài 18: Cho biểu thức:
x
x
x
x
xx
A

+
+
++
=
1
1
1
12
( với
)1;0 xx
a) Rút gọn A b) Tìm các giá trị nguyên của x để
A
6
nhận giá trị nguyên.
Bài Tập bổ sung
Bài 1: Giải phơng trình:
a)
4
8003
3
1002
=
xx
b)
0
6
35
5
14

=
+

xx
c)
05
3
)2(
=
+xx
d)
2
1
23
3
15
=



+
+
x
x
x
x
e)
52429 = xx
f)
xx = 252

Bài 2: Giải bất phơng trình:
a)
6
1005
5
603
>
xx
b)
25
51
10
34
5
1 xxx
<
+


c)
( ) ( )( )
32452
2
+++ xxxx
1. Thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai:
Bài 1: Tính
a)
520
b)
( )

3:486278
c)
1825
d)
( )( )
1212 +
e)
312
f)
38.2
g)
( ) ( )
46
2534 +
h)
( )
878
2

i)
01,0.
64
49
.144
k)
( )
2.503218 +
l)
1622001850 +
m)

3521
106
+
+
n)
15
526


p)
( )( ) ( )( )
32325353 ++
q)
45
36
:
15
3
Bài 2: Tính:
a)
( )
3:122273487 +
b)
7:7
7
16
7
1

+
c)
23
1
23
1

+
+
d)
35
35
35
35

+
+
+

e)
( )
32
12
22

3
323
+
+
+
+
+
f)
526526 ++
Bài 3: Phân tích ra thừa số
a)
531533 +
b)
2
11 aa +
( với 1 < a < 1 ) c)
7
2
x
d)
772
2
++ xx
e)
2233
abbaba +
f)
32
yxyyx +
6

Bài 4: Rút gọn:
a) A=
aa 25255
2

với a < 0 b) B =
aa 349
2
+
với
0

a
c) C =
963
2
+++ xxx
với x < - 3 d) D =
( )
3
2
4
2 aaa +
với a < 2
Bài 5: Rút gọn biểu thức:
a) A =
2
2
9
49

7
3
x
y
y
x
với x > 0; y < 0 b) B =
( )
4
292
22
22
yxyx
yx
++

với x > - y
c) C =
aaa 644925 +
với a > 0 d) D =
yx
xyx

+
với
yxyx >> ;0;0
Bài 6: Giải phơng trình:
a)
0149
2

=+ xx
b)
1212 =x
c)
05244
2
=++ xxx
d)
1448234125 =+ xxx
e)
4459
3
1
5204 =+ xxx
f)
121 =+ xx
A.2.2. Bất đẳng thức và bất phơng trình
Bất đẳng thức
Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: f
1
(x), f
2
(x), ,f
n
(x) là các biểu thức bất kì
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
f x f x f x f x f x f x+ + + + + +
.

Đẳng thức xảy ra khi
( )
( ) 1,
i
f x i n=
cùng dấu
Bất đẳng thức Côsi: a
1
, a
2
, , a
n
là các số không âm, khi đó
1 2
1 2

.
n
n
n
a a a
a a a
n
+ + +

Đẳng thức xảy ra khi a
1
= a
2
= = a

n
Bất đẳng thức Bunhiacôpski: (a
1
, a
2
, , a
n
) và (b
1
, b
2
, , b
n
) là hai bộ số bất kì, khi đó
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )( )
n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + + + + + + +
Đẳng thức xảy ra khi
1 2
1 2

n
n
a
a a
b b b
= = =
(quy ớc b

i
== 0 thì a
i
= 0)
Bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

( ) ( 0) ( )f x f x



( ) ( 0) ( )f x f x


hoặc
( )f x


A.2.3. Dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai
a. Cho nhị thức f(x) = ax + b (a

0). Khi đó ta có.
x -

-b/a +

f(x) = ax + b Trái dấu với a Cùng dấu với a
b. Cho tam thức f(x) = ax
2
+ bx + c (a

0). Khi đó ta có
Nếu
0
x -

-b/2a +

f(x) = ax
2
+ bx + c Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a
Nếu
0
>
x -

x
1
x
2
+

f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a
A.2.4. Biến đổi tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c (a

0). Khi đó ta có

2 2

( ) ( )
2 4
b
f x ax bx c a x
a a

= + + =
với
2
4b ac =
7
Nếu a > 0 thì
( )
4
f x
a


nên
min ( )
4
x R
f x
a


=
2
b
x

a

=
Nếu a < 0 thì
( )
4
f x
a


nên
max ( )
4
x R
f x
a


=
2
b
x
a

=
* Chú ý. Nếu
'
k
A
A

=
(k là hằng số dơng) khi đó ta có
Amin

Amax
Amax

Amin
A.3. Ví dụ minh họa
A.4. Bài tập chọn lọc
Bài 1. Cho biểu thức:
1 3 2 2
1 1 2 2 2
x x
P
x x x x x x

+

=
ữ
ữ
ữ



a. Rút gọn P b. Tính giá trị của P với
3 2 2x =
Bài 2. Cho biểu thức
1 1 2 1 2

:
1
1 1
x x x x x x
P
x
x x x x

+ +

= +
ữ
ữ
ữ

+



a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của P với
7 4 3x =
c. Tính giá trị lớn nhất của a để P > a
Bài 3. Cho biểu thức
3 2( 3) ( 3)
2 3 1 3
x x x x
P
x x x x
+

= +
+
a. Rút gọn P b. Tính giá trị của P với
11 6 5x =
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 4. Cho biểu thức :
3 2 2
1 :
1 2 3 5 6
x x x x
M
x x x x x

+ + +
= + +
ữ ữ
ữ ữ
+ +

a. Rút gọn M
b. Tìm x để M > 0
c. Tìm các giá trị củ m để có các giá trị của x thỏa mãn:
( 1) ( 1) 2M x m x+ = +
Bài 5: Cho biểu thức:
2 2
2 2
4 4
4 4
x x x x x x
A

x x x x x x
+
=
+
a. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. Rút gọn A. b. Tìm x để
5A <
.
Bài 6: Cho
1
2
2 1 1
x x x x x
A
x x x

+
=
ữ ữ
ữ ữ
+

.
a. Rút gọn A. b. Tìm x để A > -6.
Bài 7: Cho
2 1 10
: 2
4
2 2 2
x x
B x

x
x x x



= + + +
ữ
ữ
ữ

+ +


.
a. Rút gọn B. b. Tìm x để B > 0.
Bài 8: Cho C =
1
2
1
2
1
1
+
+
+

+ xxxxx
a, Rút gọn C. b. Chứng minh rằng C < 1.
Bài 9: Cho biểu thức:
2

4 4 12 9A x x x= +
a. Rút gọn A. b. Tìm x để A = -15.
Bài 10: Cho biểu thức:
2
2 6 9A x x x= + +
.
a. Rút gọn rồi tìm giá trị của A khi a = -5. b. Tìm x khi A = 15.
8
Bài 11: Cho biểu thức:
2
3 3
1 : 1
1
1
M x
x
x


= + +
ữ
ữ
+



.
a. Rút gọn M. b. Tìm giá trị của M khi
3
2 3

x =
+
. c. Tìm giá trị của x để
M M>
.
Bài 12: Cho biểu thức:
2
3 1 4 9 12A x x x= +
.
a. Rút gọn biểu thức A. b. Tìm giá trị của x để A = 3.
Bài 13: Rút gọn biểu thức:
2
1
2 1
4
A x x x= +
rồi tìm giá trị của x để A = 3/2.
Bài 14: Cho biểu thức:
2 9 3 2 1
5 6 2 3
x x x
Q
x x x x
+ +
=
+
a. Rút gọn rồi tìm giá trị của x để Q < 1. b. Tìm các giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên.
Bài 15: Cho biểu thức:
3 9 3 1 2
2 2 1

x x x x
P
x x x x
+ +
= +
+ +
a. Rút gọn P. b. Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
Bài 16: Cho biu thc : A=(
1
2

+
xx
x
+
1++ xx
x
+
x1
1
) :
2
1x
1. Rỳt gn A .
2. Chng minh rng A

0 vi mi x
1
3. Vi giỏ tr no ca x thỡ A cú giỏ tr ln nht .Tỡm GTNN ú ?
Bài 17. Cho biểu thức

2 3 3 2 2
: 1
9
3 3 3
x x x x
P
x
x x x

+
= +
ữ ữ
ữ ữ

+

, với x

0 và x

9
a. Rút gọn P b. Tìm các giá trị của x để P < -1/3 c. Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 18. Cho biểu thức
3 3
3 3
1 1 2 1 1
. :
x y x x y y
A
x y

x y x y
x y xy


+ + +
= + + +

ữ
ữ
+
+



với x > 0, y > 0
a. Rút gọn A b. Biết xy = 16. Tìm giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó
Bài 19. Cho biểu thức
2
2 2 1 8A x x x= + +
a. Rút gọn biểu thức A b. Với giá trị nào của x thì A = -3
Bài 20: Cho biểu thức:
2 2 2 2
2 1 2 1A x x x x= +
.
a. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. b. Tính giá trị của A khi
2.x
Bài 21: Cho
2
1 1
:

x
A
x x x x x x
+
=
+ +
.
a. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. b. Rút gọn A.
Bài 22: Cho
3
1 1
1 1 1
x x
B
x x x x x

=
+
.
a. Tìm điều kiện của x để B có nghĩa. b. Tĩm x để B > 0.
9
Bài 23: Cho biểu thức:
( ) ( )
1
2 1 2
1 .
1
1 2 1
x x x
x x x x x x

E
x
x x x


+ +
= +
ữ
ữ

+

.
a. Tìm điều kiện để E có nghĩa. b. Rút gọn E.
Bài 24: Cho
3 3 2 2
1 1
:
a b a b
A ab
a b
a b




=
ữ
ữ

.
a. Tìm điều kiện của a, b để A có nghĩa. b. Rút gọn A.
Bài 25: Cho biểu thức:
2 2
6 9 6 9A x x x x= + + +
.
a. Rút gọn A. b. Tìm các giá trị của x để A = 1.
Bài 26: Cho biểu thức:
2 2
2 2
2 2
.
2 2
x x x x x x
A
x x x x x x
+
=
+
a. Tìm điều kiện xác định của A. Rút gọn A. b. Tìm x để A < 2.
Bài 27. Xét biểu thức
1 2
(1 ) :( )
1
1 1
a a
B
a

a a a a a
= +
+
+
a. Rút gọn B b. Tìm các giá trị của a sao cho B > 1 c. Tính giá trị của B nếu
6 2 5a =
Bài 28. Xét biểu thức
2 3 6
2 3 6 2 3 6
a b ab
A
ab a b ab a b
+
=
+ + + +
a. Rút gọn A
b. Cho giá trị của biểu thức A sau khi đã rút gọn bằng
10
( 10)
10
b
b
b
+


. Chứng minh rằng a/b = 9/10
Bài 29. Xét biểu thức
2 2 4 3
:

4
2 2 2
x x x x
P
x
x x x x

+
=
ữ
ữ

+

a. Rút gọn P b. Tìm các giá trị của x để P > 0, P < 0 c. Tìm các giá trị của x để |P| = 1
Bài 30. Cho biểu thức
2
4 9 12 4A x x x= +
a. Rút gọn A b. Tính giá trị của A khi x = 2/7
Bài 31. Cho biểu thức
2
5 6 9A x x x= + + +
a. Rút gọn B b. Tính giá trị của x để B = -9
Bài 32: Cho biểu thức:
1 5 2
.
2 6 3
x
P
x x x x

=
+
a. Rút gọn P. b. Tìm giá trị lớn nhất của P.
Bài 33: Cho
2
: 1
1
1 1
x y x y
x y xy
P
xy
xy xy

+

+ +
= + +
ữ
ữ
ữ

+


.
a. Rút gọn P. b. Tính giá trị của P với
2
2 3

x =
+
. c. Tìm giá trị lớn nhất của P.
B. Hệ phơng trình
B.1. Kiến thức cơ bản
b.1.1. Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
a. Phơng trình bậc nhất hai ẩn
Phơng trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c

R (a
2
+ b
2


0)
Tập nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn:
Phơng trình bậc nhât hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó đợc biểu diễn bởi đ-
ờng thẳng (d): ax + by = c
10
- Nếu a

0, b

0 thì đờng thẳng (d) là đồ thị hàm số
a c
y x
b b
= +
- Nếu a

0, b = 0 thì phơng trình trở thành ax = c hay x = c/a và đờng thẳng (d) song song hoặc trùng với
trục tung
- Nếu a = 0, b

0 thì phơng trình trở thành by = c hay y = c/b và đờng thẳng (d) song song hoặc trùng với
trục hoành
b. Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn:
' ' '
ax by c
a x b y c
+ =


+ =

trong đó a, b, c, a, b, c

R
Minh họa tập nghiệm của hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
Gọi (d): ax + by = c, (d): ax + by = c, khi đó ta có
(d) // (d) thì hệ vô nghiệm
(d)

(d) =
{ }
A
thì hệ có nghiệm duy nhất
(d)

(d) thì hệ có vô số nghiệm
Hệ phơng trình tơng đơng
Hệ hai phơng trình tơng đơng với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
b.1.2. Hệ phơng trình đa về phơng trình bậc hai
- Nếu hai số x và y thỏa mãn x + y = S, x.y = P (với S
2


4P) khi đó hai số x, y là nghiệm của phơng trình: x
2

+ SX + P = 0
B.2. Kiến thức bổ xung
b.2.1. Hệ phơng trình đối xứng loại 1
a. Định nghĩa:
Hệ hai phơng trình hai ẩn x và y đợc gọi là đối xứng loại 1 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y đó thì từng phơng
trình của hệ không đổi
b. Cách giải
Đặt S = x + y, P = x.y, Đk: S
2

4P
Giải hệ để tìm S và P
Với mỗi cặp (S, P) thì x và y là hai nghiệm của phơng trình: t
2
St + P = 0
c. Ví dụ: Giải hệ phơng trình :
2 2
7

13
x y xy
x y xy
+ + =


+ + =


2 2
1 0
22
x y xy
x y x y
+ + + =


+ =

2 2
8
( 1)( 1) 12
x y x y
xy x y

+ + + =

+ + =

b.2.2. Hệ phơng trình đối xứng loại 2

a. Định nghĩa
Hệ hai phơng trình hai ẩn x và y đợc gọi là đối xứng loại 2 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y thì phơng trình này trở
thành phơng trình kia và ngợc lại
b. Cách giải
Trừ vế theo vế hai phơng trình trong hệ để đợc phơng trình hai ẩn
Biến đổi phơng trình hai ẩn vừa tìm đợc thành phơng trình tích
Giải phơng trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)
Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào 1 trong 2 phơng trình trong hệ để đợc phơng trình một ẩn
Giải phơng trình một ẩn vừa tìm đợc ròi suy ra nghiệm của hệ
c. Ví dụ
Giải hệ phơng trình :
2
2
2 4 5
2 4 5
x y y
y x x

= +


= +



3
3
13 6
13 6
x x y

y y x

=


=


b.2.3. Hệ phơng trình đẳng cấp bậc 2
a. Định nghĩa
- Hệ phơng trình đẳng cấp bậc hai có dạng:
2 2
2 2
0
' ' ' 0
ax bxy cy
a x b xy c y

+ + =


+ + =


b. Cách giải
- Xét xem x = 0 có là nghiệm của hệ phơng trình không
- Nếu x

0, ta đặt y = tx rồi thay vào hai phơng trình trong hệ
11

- Khử x rồi giải hệ tìm t
- Thay y = tx vào một trong hai phơng trình của hệ để đợc phơng trình một ẩn (ẩn x)
- Giải phơng trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx
* Lu ý: ta có thể thay x bởi y và y bởi x trong phần trên để có cách giải tơng tự
c. Ví dụ: Giải hệ phơng trình:
2 2
2
4 1
3 4
x xy y
y xy

+ =


=


2 2
2 2
2 3 3
2 2 6
x xy y
x xy y

+ =


+ =

B.3. Ví dụ minh họa
B.4. Bài tập chọn lọc
Bài 1. Giải các hệ phơng trình
( 2)( 2)
( 4)( 3) 6
x y xy
x y xy
+ =


+ = +


( 1)( 2) ( 1)( 3) 4
( 3)( 1) ( 3)( 5) 18
x y x y
x y x y
+ =


+ =

( 5)( 2)
( 5)( 12)
x y xy
x y xy
+ =

+ =

2 5 1 2
16
11 3
7 2( 1)
31
5 3
x y x y
x y x


+ =



+

+ =


9 2
28
7 3
3 12
15
2 5
x y
x y

=




+ =


4 3
5
15 9
3
14
x
x y
y
x y


+ =





+ =


5 1
10

1 1
1 3
18
1 1
x y
x y

+ =





+ =



4 1
1
2 2
20 3
1
2 2
x y x y
x y x y

=

+

+ =

+

4 3 13
36
6 10
1
x y
x y

+ =




+ =


2 5
3
3 3
1 2 3
3 3 5
x y x y
x y x y

=

+ =



7 4 5
3
7 6
5 3 13
6
7 6
x y
x y

=

+



+ =

+

3 2
8

3 1
3 1
1,5
3 1
x y x y
x y x y

=

+



+ =

+ +

Bài 2. Giải các hệ phơng trình
1 2 1
1 3 3
x y
x y

+ =


+ =


.

2
2
10 25 5
10 25 5
x x x
x x x

+ + = +


+ =



2 2 1 9
1 1
x y
x y

+ =


+ =


2 2
2( 2)
6
x y xy
x y

+ = +

+ =

2 2
1 0
22
x y xy
x y x y
+ + + =


+ =

2 2
7
13
x y xy
x y xy
+ + =


+ + =

2 2
10
4
x y
x y

+ =

+ =

2 2
65
( 1)( 1) 18
x y
x y

+ =

=

2 2
6
5
x y xy
xy x y

+ =

+ + =

3 3
5 5 2 2
1x y
x y x y

+ =


+ = +


3 3 2 2
1x y
x y x y
+ =


+ = +

( 1)( 1) 10
( )( 1) 25
x y
x y xy
+ + =


+ + =

5
13
6
x y
x y
y x
+ =

+ =


3 3
2 2
2
2
x y
x y xy

+ =


+ =


4 4
2 2
97
( ) 78
x y
xy x y

+ =


+ =

Các bài HPT có chứa tham số
Bài 1. Cho hệ phơng trình:
2
3
9 3 3
x y m
x m y
=



=


a. Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình vô nghiệm
b. Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có vô số nghiệm? Khi đó hãy tìm dạng tổng quát nghiệm của hệ
phơng trình
12
c. Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
Bài 2. Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình :
4
1
mx y
x my
+ =


=

Có nghiệm thỏa mãn điều kiện
2
8
1
x y
m
+ =
+
. Khi đó hãy tìm các giá trị của x và y.
Bài 3. Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phơng trình :
2 3
1
mx y m
x y m
+ =


+ = +

Có nghiệm nguyên, tìm nghiệm nguyên đó.
Bài 4. Cho hệ phơng trình :
2 6
2 2
x y
x y
+ =


=

a. Giải hệ phơng trình đã cho bằng phơng pháp đồ thị
b. Nghiệm của hệ phơng trình đã cho có phải là nghiệm của phơng trình 3x - 7y = - 8 không ?
c. Nghiệm của hệ phơng trình đã cho có phải là nghiệm của phơng trình 4,5x + 7,5y = 25 không ?
Bài 5. Cho hai đờng thẳng (d
1
): 2x - 3y = 8 và (d
2
): 7x - 5y = -5
Tìm các giá trị của a để đờng thẳng y = ax đi qua giao điểm của hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
)
Bài 6. Cho ba đờng thẳng: (d
1
): y = 2x - 5 (d
2
): y = 1 (d
3
): y = (2m - 3)x -1
Tìm các giá trị của m để ba đờng thẳng đồng quy
Bài 7. Cho hệ phơng trình
2
2 1
x ay
ax y
+ =

=

Tìm các giá trị của a để hệ phơng trình đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0
Bài 8. Tìm các giá trị của a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(-5; -3) và điểm B(3; 1)
Bài 9. Tìm các giá trị của m để
a. Hệ phơng trình:
5
2 3 7
mx y
x my
=


+ =

có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0
b. Hệ phơng trình:
3
4 6
mx y
x my
+ =


+ =

có nghiệm thoả mãn điều kiện x > 1, y > 0
Bài 10. Cho hệ phơng trình :
2
1

mx y m
x my m
+ =


+ = +

Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phơng trình có nghiệm x, y là các số nguyên
Bài 11. Cho hệ phơng trình :
2
( 1) 2 1
2
m x my m
mx y m
+ + =


=

Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy đạt giá trị lớn nhất
Bài 12. Hãy tìm giá trị của m và n sao cho đa thức
P(x) = mx
3
+ (m + 1)x
2
- (4n + 3)x + 5n đồng thời chia hết cho (x - 1) và (x + 2).
Bài 13. Cho hệ phơng trình :
( 1) 1
( 1) 2
m x y m

x m y
+ = +


+ =

Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện: S = x + y đạt giá trị lớn nhất
Bài 14. Cho hệ phơng trình :
2
mx my m
mx y m
+ =


+ =

m, n là các tham số
a. Giải và biện luận hệ phơng trình
b. trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất hãy tìm giá trị của m để nghiệm của phơng trình thỏa mãn điều
kiện x > 0, y < 0
Bài 15. Tìm a và b để hệ phơng trình sau có nghiệmcó nghiệm với mọi giá trị của tham số m
( 3) 4 5 3
2 3 1
m x y a b m
x my am b m
+ + = + +


+ = +

13
Bài 16. Tìm tham số a để hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
2 3 2
2 3 2
4 .
4
y x x a x
x y y ay

= +


= +


Bài 17. Biết cặp số (x, y) là nghiệm của hệ phơng trình:
2 2 2
6
x y m
y x m
+ =


+ = +

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = xy + 2(x + y).
Bài 18. Giả sử (x, y) là nghiệm của hệ phơng trình:
2 2 2
2 1
2 3

x y a
y x a a
+ =


+ = +

Xác định giá trị của tham số a để hệ thỏa
mãn tích xy nhỏ nhất.
Bài 19. Cho hệ phơng trình:
2
1 1 1
xy a
x y b

=


+ =


Giải và biện luận hệ phơng trình biết rằng x, y là độ dài các cạnh của một hình chữ nhất.
Bài 20. Cho hệ phơng trình:
2 1
2 1
x my
mx y
+ =

+ =

a. Giải và biện luận theo tham số m.
b. Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên.
Bài 21. Cho hệ phơng trình:
4
4 10
x my
mx y m
+ =


+ =

(m là tham số).
a. Giải và biện luận theo m.
b. Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên dơng.
Bài 22. Cho hệ phơng trình:
( 1) 3 1
2 5
m x my m
x y m
=


= +

Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà S = x
2
+ y

2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 23 Cho hệ phơng trình:
2
( 1) 2 1
2.
m x my m
mx y m
+ + =


=

Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà tích P = xy đạt giá trị lớn nhất.
Bài 24. Cho hệ phơng trình:
2
1.
mx y m
x my m
+ =


+ = +

a. Giải hệ khi m = -1.
b. Tìm m để hệ có vô số nghiệm, trong đó có nghiệm: x = 1, y = 1.
Bài 25. Giải và biện luận hệ phơng trình sau đây theo tham số m:
2 1
2 3.
mx y m

x my
+ = +


+ =

Bài 26. Cho hệ phơng trình:
2
2 1.
x my
mx y
+ =


=

a. Giải hệ khi m = 2.
b. Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0 và y < 0.
c. Tìm số nguyên n để có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên.
Bài 27. Cho hệ phơng trình:
1
3 2 3.
x my
mx my m
+ =


= +

a. Giải hệ khi m = - 3. b. Giải và biện luận hệ đã cho theo m.

Bài 28. Cho hệ phơng trình:
2
3 2 5
x y m
x y
+ =


=

(m là tham số nguyên).
Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0, y < 0.
14
Bài 29. Cho hệ phơng trình:
2
3 5.
mx y
x my
=


+ =

a. Giải và biện luận hệ đã cho.
b. Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn hệ thức:
2
2
1
3
m

x y
m
+ =
+
.
Bài 30. Cho hệ phơng trình:
2 1
( 1) 2.
mx my m
x m y
+ = +


+ + =

a. Chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thì điểm M(x; y) luôn luôn thuộc một đờng thẳng cố định
khi m thay đổi.
b. Xác định m để M thuộc góc vuông phần t thứ nhất.
c. Xác định m để M thuộc đờng tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng
5
.
Bài 31. Với giá trị nào của số nguyên m, hệ phơng trình:
4 2
.
mx y m
x my m
+ = +


+ =

có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các
số nguyên.
Bài 32. Cho hệ phơng trình:
2 1
2 1.
x my
mx y
+ =


+ =

a. Giải và biện luận theo m.
b. Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên.
c. Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x; y), điểm M(x; y) luôn luôn chạy trên một đờng thẳng cố
định.
d. Xác định m để M thuộc đờng tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng
2
2
.
Bài 33. Giải và biện các hệ phơng trình:
a.
2
2 3( 1) 3
( ) 2 2
m x m y
m x y y

+ =

+ =

b.
2 1
2 .
x y m
x y m
= +


+ =

c.
1
.
x my
x y m
=


=

Bài 34. Cho hệ phơng trình:
2 5
3 1.
mx y
mx y
+ =

+ =

a. Giải hệ phơng trình lúc m = 1.
b. Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số.
Bài 35. Cho hệ phơng trình (m là tham số ):
1
.
mx y
x y m
=


+ =

a. Chứng tỏ lúc m = 1, hệ phơng trình có vô số nghiệm.
b. Giải hệ lúc m khác 1.
Bài 36. Với giá trị nào của x, y, z; ta có đẳng thức sau: 4x
2
+ 9y
2
+ 16z
2
- 4x - 6y - 8z +3 = 0.
Bài 37. Với giá trị nào của m, hệ phơng trình:
2 2
25
3 4
x y
mx y m

+ =

=

có nghiệm?
Bài 38. Cho hệ phơng trình:
2 2
2
2 1 2
x y a
xy a

+ =

+ =

. Xác định a để hệ có hai nghiệm phân biệt. Tìm các nghiệm đó.
Bài 39. Cho hệ phơng trình:
8
x y
m
y x
x y

+ =



+ =

. Xác định m để hệ phơng trình có nghiệm kép.
Bài 40. Cho hệ phơng trình:
2 2
1
x y m
y x
=


+ =

. Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó.
15
Bài 41. Cho x, y là hai số nguyên dơng sao cho:
2 2
71
880
xy x y
x y xy
+ + =


+ =

. Tìm giá trị của biểu thức: M = x
2
+y
2
.

Bài 42. Cho hệ phơng trình:
1
3 1
x my m
mx y m
+ = +


+ =

a. Giải và biện luận hệ phơng trình trên.
b. Không giải hệ phơng trình, cho biết với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất?
Bài 43. Cho hệ phơng trình:
( 1) 1
( 1) 2
a x y a
x a y
+ = +


+ =

(a là tham số).
a. Giải hệ phơng trình với a = 2.
b. Giải và biện luận hệ phơng trình.
c. Tìm giá trị nguyên của a để hệ phơng trình có nghiệm nguyên.
d. Tìm giá trị của a để nghiệm của hệ thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ nhất.
Bài 44. Lập phơng trình đờng thẳng đi qua gốc O và song song với AB biết:
A(-1; 1), B(-1; 3).
A(1; 2), B(3; 2).

A(1; 5), B(4; 3).
Bài 45. Cho ba điểm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1). Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD.
Bài 46. Cho bốn điểm: A(0; -5), B(1; -2), C(2; 1), D(2,5; 2,5). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng.
Bài 47. Cho bốn điểm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2). Hãy xác định tứ giác ABCD là hình gì?
Bài 48. Tìm giá trị của m để hệ phơng trình sau vô nghiệm, vô số nghiệm:
2( 1) ( 2) 3
( 1) 3 7
m x m y m
m x my m
+ + + =


+ + = +

Bài 49. Cho hệ phơng trình:
( 1) 2 2 0
2 ( 1) ( 1) 0
m x my
mx m y m
+ + =


+ =

(m là tham số).
a. Giải hệ phơng trình trên.
b. Tìm giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x < 0, y < 0.
Bài 50. Cho hệ phơng trình:
( 1) 3 4
( 1)

m x y m
x m y m
+ =


+ =

(m là tham số)
a. Giải hệ phơng trình.
b. Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm nguyên.
c. Tìm giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm dơng duy nhất.
Bài 51. Cho hệ phơng trình:
1
3 1
x my m
mx y m
+ = +


+ =

(m là tham số)
a. Giải hệ phơng trình.
b. Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện xy nhỏ nhất.
Bài 52. Tìm giá trị của a để hệ sau có nghiệm duy nhất:
2 2
2 1
4
x y a
x y a

+ = +

+ =

Bài 53.
a. Tìm các giá trị nguyên của tham số a hoặc m để hệ phơng trình có nghiệm là số dơng, số âm.
2 1
2
ax y
x ay
=


+ =

;
3 5
2 1
x y m
x y
+ =


+ =

b. Tìm giá trị nguyên của m để hệ phơng trình sau:
2
3 2 5
x y m

x y
+ =


=

có nghiệm x > 0 và y < 0.
c. Với giá trị khác 0 nào của m thì hệ phơng trình:
2
3 5
mx y
x my
=


+ =

có nghiệm thỏa mãn
2
2
1
3
m
x y
m
+ =
+
Bài 54.
1. Cho hệ phơng trình:
. 3

1 2
a x y
x y
+ =



+ + =


16
a. Giải hệ phơng trình với a = 2.
b. Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất.
2. Tìm các giá trị của a để hệ phơng trình sau vô nghiệm.
C. Phơng trình
C.1. Kiến thức cơ bản
C.1.1. Phơng trình bậc nhất một ẩn
a. Định nghĩa
- Phơng trình có dạng ax + b = 0. Trong đó a, b

R và a

0
b. Cách giải và biện luận
- Nếu a = 0. Khi đó: + b = 0 thì phơng trình có VSN
+ b

0 thì phong trình VN
- Nếu a

0. Khi đó phơng trình có nghiệm duy nhất x = - b/a
C.1.2. Phơng trình bậc hai một ẩn
a. Định nghĩa
- Phơng trình có dạng: ax
2
+ bx + c = 0. Trong đó a, b, c

R và a

0
b. Cách giải và biện luận
- Nếu a = 0. Phơng tình có dạng bx + c = 0: Phơng trình bậc nhất
- Nếu a

0. Khi đó
2
4b ac =
(hoặc
2
' 'b ac =
)
+
0 <
(hoặc
' 0 <
): Pt vô nghiệm
+
0 =
(hoặc
' 0 =

): Pt có nghiệm kép
1 2
2
b
x x
a
= =
(hoặc
1 2
'b
x x
a
= =
)
+
0 >
(hoặc
' 0 >
): Pt có hai nghiệm phận biệt:
'
1,2
'b
x
a

=
(hoặc
1,2
2
b

x
a

=
)
Chú ý: Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
thì ta có thể viết
ax
2
+ bx + c = a(x - x
1
)(x -x
2
)
Định lí Viet
a. Định lí thuận
- Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
thì tổng và tích hai nghiệm đó là
1 2
b

S x x
a
= + =
và
1 2
.
c
P x x
a
= =
b. Định lí đảo
- Nếu hai số x và y có tổng
1 2
x x S+ =
và tích
1 2
.x x P=
thỏa mãn
2
4S P
thì hai số x và y là hai nghiệm của
phơng trình t
2
- St + P = 0
Bài tập chọn lọc
Bài 1. Tìm các giá trị của m để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung
x
2
+ mx + 1 = 0; x
2

+ x + m = 0
Bài 2. Cho hai phơng trình x
2
+ p
1
x + q
1
= 0; x
2
+ q
2
x + q
2
= 0
Chứng minh rằng nếu
1 2 1 2
2( )p p q q +
thì ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm
Bài 3. Với giá trị bào của k thì hai phơng trình sau: 2x
2
+ (3k + 1)x - 9 = 0; 6x
2
+ (7k - 1)x - 19 = 0
Có ít nhất một nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó
Bài 4. Chứng minh rằng phơng trình sau luôn có nghiệm với mọi a, b, c
(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0
Bài 5. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của m ột tam giác. Chứng minh phơng trình sau vô nghiệm:
a
2
x

2
+ (a
2
+ b
2
- c
2
)x + b = 0
Bài 6. Cho ba phơng trình
x
2
+ 2ax + ac = 0; x
2
- 2bx + ab - c = 0; x
2
+ 2cx + c = 0
Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phơng trình trên có nghiệm
Bài 7. Cho phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0. Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm nếu một trong hai điều
kiện sau đợc thỏa mãn
a. a(a + 2b + c) < 0
b. 5a + 3b + 2c = 0
Bài 8. Tìm các giá trị của k để phơng trình: kx
2
- (1 - 2k)x + k - 2 = 0 có nghiệm là số hữu tỉ.
Bài 9. Cho phơng trình: 2x
2
- 3x + 1 = 0. Gọi x
1

, x
2
là các nghiệm của phơng trình . Không giải phơng trình hãy tìm
giá trị các biểu thức sau:
17
a.
1 2
1 1
A
x x
= +
b.
1 2
1 2
1 1x x
B
x x

= +
c.
2 2
1 2
C x x= +
d.
1 2
2 1
1 1
x x
D
x x

= +
+ +
Bài 10. Cho phơng trình: x
2
+ (2m - 1)x - m = 0
a. Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
b. Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của m để biểu thức
2 2
1 2 1 2
6A x x x x= +
đạt giá trị
nhỏ nhất
Bài 11. Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình: 3x
2
+ 5x - 6 = 0. Không giải phơng trình hãy lập phơng trình bậc
hai ẩn y có các nghiệm :
1 1
2
1
y x
x
= +

;
2 2
1
1
y x
x
= +
Bài 12. Cho phơng trình
2
2 3 1 0x x + =
. Không giải phơng trình hãy tính giá trị của biểu thức
a.
3 3
1 2
A x x= +
b.
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
3 5 3
4 4
x x x x
B
x x x x
+ +
=
+
Bài 13. Cho phơng trình (k 1)x
2

2kx + k 4 = 0. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình trên, hãy lập hệ
thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào k
Bài 14. Tìm các giá trị của m để các nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình:
a. x
2
+ (m - 2)x + m + 5 = 0 thỏa mãn
2 2
1 2
10x x+ =
b. x
2
- (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 thỏa mãn x
1
= 2x
2
c. x
2
- mx + m + 1 = 0 thỏa mãn x

1
x
2
+ 2(x
1
+ x
2
) -19 = 0
Bài 15. Cho phơng trình bậc hai: mx
2
- (5m - 2)x + 6m - 5 = 0
a. Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm là hai số đối nhau
b. Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau
Bài 16. Cho phơng trình: x
2
- 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0
Tìm các giá trị của m để hai nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình thỏa mãn

2 2
1 2 1 2
10A x x x x= + +
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó
Bài 17. Gọi x
1
, x
2

là hai nghiệm của phơng trình
2x
2
+ 2(m + 1)x + m
2
+ 4m + 3 = 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = |x
1
x
2
- 2x
1
- 2x
2
|
Bài 18. Cho phơng trình: x
2
- mx + m - 1 = 0
a. Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
b. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2( 1)
x x

P
x x x x
+
=
+ + +
Bài 19. Cho phơng trình: x
2
+ px + q = 0
Tìm các giá trị của p và q sao cho hai nghiệm của phơng trình thỏa mãn
1 2
3 3
1 2
5
35
x x
x x
=



=


Bài 20. Cho phơng trình bậc hai: x
2
- 2x - m
2
= 0 có các nghiệm x
1
, x

2
. Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm y
1
, y
2

sao cho:
a. y
1
= x
1
- 3, y
2
= x
2
- 3
b. y
1
= 2x
1
- 1, y
2
= 2x
2
- 1
Bài 21. Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm thỏa mãn:
1 2
3 3
1 2
2

26
x x
x x
=



=


Bài 22. Chứng minh rằng trong ba phơng trình sau có ít nhất một phơng trình vô nghiệm
x
2
+ ax + b - 1 = 0
x
2
+ bx + c - 1 = 0
x
2
+ cx + a - 1 = 0
Bài 23. Cho 2 phơng trình:
x
2
+ 2x + a = 0 (1) và (1 + a)(x
2
+ 2x + a) - 2(a - 1)(x
2
+ 1) = 0 (2)
Chứng minh rằng nếu phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) vô nghiệm.
Bài 24. Cho phơng trình: x

2
- 2(m + 1)x + m - 1 = 0.
a. Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b. Chứng minh rằng biểu thức: A = x
1
(1 - x
1
) + x
2
(1 - x
2
) tron đó x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình không
phụ thuộc vào m
18
Bài 25. Cho phơng trình (m - 1)x
2
- 2mx + m + 4 = 0
a. Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
b. Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có tích bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của
phơng trình
c. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
d. Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn đẳng thức:

1 2
2 1
5
0
2
x x
x x
+ + =
Bài 26. Tìm các giá trị của m và n để hai phơng trình sau tơng đơng
x
2
+ (4m + 3n)x - 9 = 0; x
2
+ (3m + 4n)x + 3n = 0
Bài 27. Cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm dơng phân biệt x
1
, x
2
a. Chứng minh rằng phơng trình cx
2
+ bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dơng phân biệt
b. Chứng minh rằng S = x
1
+ x
2
+ x
3
+ x

4


4
Bài 28. Cho phơng trình: x
2
- (2m + 1)x + m
2
+ m = 0
a. Biết rằng phơng trình có một nghiệm x
1
= 2,tìm m rồi tìm nghiệm còn lại
b. Tìm các giá trị của m để các nghiệm của phơng trình thỏa mãn bất đẳng thức : -2 < x
1
< x
2
< 4
Bài 29. Tìm a sao cho nghiệm của phơng trình : x
4
+ 2x
2
+ 2ax + a
2
+ 2a + 1 = 0.
Đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Bài 30. Cho a, b, c là ba số dơng khác nhau có tổng bằng 12. Chứng minh rằng trong ba phơng trình sau:
x
2
+ ax + b = 0
x

2
+ bx + c = 0
x
2
+ cx + a = 0.
Có một phơng trình vô nghiệm, một phơng trình có nghiệm
Bài 31. Cho phơng trình x
2
+ bx + c = 0, với b, c là các số hữu tỉ có một nghiệm là
1 2
2 4
+
. Tìm các cặp số (b, c)
Bài 32. Biết số đo độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phơng trình bậc hai:
(m - 2)x
2
- 2(m - 1)x + m = 0. Tìm m để số đo chiều cao ứng với cạnh huyền là
2
5
Bài 33. Tìm giá trị của m để các nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình: mx
2
- 2(m - 2)x + (m - 3) = 0
thỏa mãn điều kiện:
2 2
1 2
1x x+ =

:
Bài 34. Cho phơng trình: mx
2
- 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số).
1. Tìm m để phơng trình có nghiệm.
2. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn
hơn.
3. Xác định m để các nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình thỏa mãn x
1
+ 4x
2
= 3.
4. Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2
mà không phụ thuộc vào m.
Bài 35. Cho phơng trình x
2
- 2(m - 2)x + (m
2
+ 2m - 3) = 0.
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2

phân biệt thỏa mãn
1 2
1 2
1 1
5
x x
x x
+
+ =
.
-Bài 36. Cho phơng trình x
2
+ 5x - 1 = 0 (1). Không giải phơng trình (1), hãy lập một phơng trình bậc hai có các
nghiệm là lũy thừa bậc bốn của các nghiệm phơng trình (1).
Bài 37. Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi a và b: (a + 1)x
2
- 2(a + b)x + (b - 1) = 0.
Bài 38. Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi m: x
2
- (3m
2
- 5m + 1)x - (m
2
- 4m + 5) = 0.
Bài 39. Tìm giá trị của m để hệ phơng trình sau có nghiệm:
2 2
4 3 7
2 5
x y
x y m

=


+ =

Bài 40. Tìm giá trị của a để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
x
2
+ ax + 8 = 0 (1) và x
2
+ x + a = 0 (2).
Bài 41. Tìm giá trị của m để phơng trình sau có ít nhất một nghiệm x 0: (m + 1)x
2
- 2x + (m - 1) = 0.
Bài 42. Xác định m để phơng trình: (m + 1)x
2
- 2(m + 2)x + 2(m + 1) = 0 có hai nghiệm cùng âm, cùng dơng, và trái
dấu nhau
Bài 43. Tìm giá trị của m để phơng trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: x
3
- m(x + 1) + 1 = 0.
Bài 44. Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi a, b và c:
x(x - a) + x(x - b) + (x - a)(x- b) = 0; (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x- a) = 0.
Bài 45. Chứng minh rằng phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) có nghiệm nếu
2
4
b c
a a

+
.
Bài 46. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phơng trình sau có nghiệm nếu bm = 2(c + n):
19
x
2
+ bx + c = 0 và x
2
+ mx + n = 0.
Bài 47. Cho phơng trình bậc hai: f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)
Chứng minh rằng nếu tồn tại số thực mà af() 0 thì phơng trình có nghiệm.
Bài 48. Cho biết các phơng trình ax
2
+ bx +2 c = 0 và ax
2
+ bx - c = 0 (a 0) có nghiệm. Vận dụng bài 22 để chứng
minh phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm.
Bài 50. Với giá trị nào của a thì hệ phơng trình sau có nghiệm:
2 2
3 1x y
x y a
+ =


+ =

Bài 51. Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
x
2
+ 2x + m = 0 (1) và x
2
+ mx + 2 = 0 (2).
Bài 52. Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
x
2
+ (m - 2)x + 3 = 0 và 2x
2
+ mx + m + 2 = 0.
Bài 53. Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
2x
2
+ (3m - 5)x - 9 = 0 và 6x
2
+ (7m-15)x -19 = 0.
Bài 54. Tìm giá trị nguyên của a để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
2x
2
+ (3m - 1)x - 3 = 0 và 6x
2
- (2m - 3)x - 1 = 0.
Bài 55. Tìm giá trị của m để một nghiệm của phơng trình 2x
2
- 13x + 2m = 0 (1) gấp đôi một nghiệm của phơng trình
x
2
- 4x + m = 0 (2).

Bài 56. Cho các số a, b, c khác nhau đôi một, c 0. Biết rằng các phơng trình
x
2
+ ax + bc = 0(1) và x
2
+ bx + ca = 0 (2) có ít nhất một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó.
Bài 57. Cho các phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 (1) và cx
2
+ bx + a = 0 (2).
1. Biết phơng trình (1) có nghiệm dơng m,
2. Chứng minh rằng phơng trình (2) có nghiệm n sao cho m + n 2.
Bài 58. Cho các phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 (1) và cx
2
+ bx + a = 0 (2).
Tìm liên hệ giữa các số a, b, c biết rằng các nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình (1), các nghiệm x
3
, x
4
của phơng
trình (2) thỏa mãn đẳng thức:
2 2 2 2
1 2 3 4

4x x x x+ + + =
.
Bài 59. Phơng trình x
2
+ bx + c = 0 có nghiệm x
1
, x
2
. Phơng trình x
2
- b
2
x + bc = 0 có nghiệm x
3
, x
4
.
Biết x
3
- x
1
= x
4
- x
2
= 1. Xác định b và c.
Bài 60. Tìm các số a, b sao cho các phơng trình: x
2
+ ax + 6 = 0 và x
2

+ bx + 12 = 0 có ít nhất một nghiệm chung và
a b+
nhỏ nhất.
Bài 61. Tìm m để phơng trình x
2
+ mx + 2m - 4 = 0 có ít nhất một nghiệm không âm.
Bài 62. Tìm m để phơng trình
2 2
2 2 4 3 0x m x x m+ + + =
có nghiệm.
Bài 63. Tìm m để phơng trình 3x
2
- 4x + 2(m - 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2.
Bài 64. Tìm m để phơng trình (m - 1)x
2
- (m - 5)x + (m - 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1.
Bài 65. Với giá trị nào của m thì hai nghiệm của phơng trình x
2
+ x + m = 0 đều lớn hơn m?
Bài 66. Tìm giá trị của m để phơng trình sau có ba nghiệm phân biệt:
x
3
- (m + 1)x
2
+ (m
2
+ m - 3)x - m
2
+ 3 = 0.
Bài 67. Tìm giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm: (m - 3)x

4
- 2mx
2
+ 6m = 0.
Bài 68. Tìm giá trị của m để phơng trình: mx
4
- 10mx
2
+ m + 8 = 0
1. Có bốn nghiệm phân biệt.
2. Có bốn nghiệm x
1
, x
2
, x
3
, x
4
(x
1
< x
2
< x
3
< x
4
) thỏa mãn điều kiện:x
4
- x
3

= x
3
- x
2
= x
2
- x
1
.
Bài 76. Cho phơng trình ẩn x: x
2
- 2(m - 1)x - 3 - m = 0.
1. Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm số với mọi m.
2. Tìm m sao cho nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình thỏa mãn điều kiện:
2 2
1 2
10x x+
.
Bài 78. Cho phơng trình: (m - 1)x
2
+ 2(m -1)x - m = 0.
a. Định m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
b. Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
Bài 79. Cho phơng trình: x
2
- (2m - 3)x + m

2
- 3m = 0.
a. Chứng minh rằng, phơng trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi.
b. Định m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn: 1 < x
1
< x
2
< 6.
Bài 80. Cho hai phơng trình: x
2
+ x + a = 0 (1) x
2
+ ax + 1 = 0 (2)
Tìm các giá trị của a để hai phơng trình:
a. Tơng đơng với nhau.
b. Có ít nhất một nghiệm chung.
Bài 81
a. Chứng minh hằng đẳng thức: (m
2
+ m - 1)
2
+ 4m
2
+ 4m = (m
2
+ m + 1)

2
b. Cho phơng trình: mx
2
- (m
2
+ m + 1)x + m + 1 = 0. Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm phân
biệt khác -1.
20
Bài 84. Cho phơng trình: (m + 2)x
2
- (2m - 1)x - 3 + m = 0.
1. Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m.
2. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và khi đó hãy tìm giá trị của
m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia.
Bài 85. Cho phơng trình: x
2
- 4x + m + 1 = 0.
1. Định m để phơng trình có nghiệm.
2. Tìm m sao cho phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
2 2
1 2
10x x+ =

.
Bài 85. Cho phơng trình x
2
- 2mx + m + 2 = 0.
1. Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm không âm.
2. Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức:
1 2
E x x= +
theo m.
Bài 87. Cho phơng trình: 3x
2
- mx + 2 = 0. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn:
3x
1
x
2
= 2x
2
- 2.
Bài 88. Cho phơng trình: x
2
- 2(m - 1)x - m = 0.
1. Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
2. Với m 0, lập phơng trình ẩn y thỏa mãn:
1 1
2

1
y x
x
= +
,
2 2
1
1
y x
x
= +
.
Bài 89. Cho phơng trình: 3x
2
- 5x + m = 0. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn:
2 2
1 2
5
9
x x =
.
Bài 90. Cho phơng trình: x
2
- 2(m + 4)x + m
2
- 8 = 0. Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:

A = x
1
+ x
2
- 3x
1
x
2
đạt giá trị lớn nhất.
2 2
1 2 1 2
B x x x x= +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 91. Cho phơng trình: x
2
- 4x - (m
2
+ 3m) = 0.
1. Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
2. Xác định m để:
2 2

1 2 1 2
4( )x x x x+ = +
.
Bài 92. Cho pt: x
2
+ ax + 1 = 0. Xác định a để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
2 2
1 2
2 1
7.
x x
x x

+ >
ữ ữ

Bài 93. Cho phơng trình: 2x
2
+ 2(m + 2)x + m
2
+ 4m + 3 = 0.
1. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
.

2. Chứng minh rằng các nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn bất đẳng thức:
2
1 2 1 2
2
3 1
2
x x x x

+ + +
ữ
ữ

.
Bài 94. Cho phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a 0). Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai
nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là: 9ac = 2b
2
.
Bài 95. Cho phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a 0). Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai
nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là: kb
2
= (k + 1)
2

ac.
Bài 96. Cho hai phơng trình: x
2
+ mx + 2 = 0 (1) x
2
+ 2x + m = 0 (2)
a. Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung.
b. Định m để hai phơng trình tơng đơng.
c. Xác định m để phơng trình: (x
2
+ mx +2)(x
2
+ 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 100. Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 với a, b, c là các số hữu tỉ, a 0. Cho biết phơng trình có một
nghiệm
1 2+
. Hãy tìm nghiệm còn lại.
Bài 101. Tìm tất cả các số nguyên k để phơng trình: kx
2
- (1 - 2k)x + k - 2 = 0 luôn luôn có nghiệm số hữu tỷ.
Bài 102. Cho phơng trình: 3x
2
+ 4(a - 1)x + a
2
- 4a + 1 = 0 xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2

thỏa mãn hệ thức:
1 2
1 2
1 1
2
x x
x x
+
= +
.
Bài 105. Cho hai phơng trình: 2x
2
+ mx - 1 = 0 (1) mx
2
- x + 2 = 0 (2)
Với giá trị nào của m, phơng trình (1) và phơng trình (2) có nghiệm chung.
Bài 106. Giả sử x
1
và x
2
là hai nghiệm của phơng trình: 3x
2
- cx + 2c -1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức:
3 3
1 2
1 1
S
x x
= +

Bài 107. Xác định a để 2 phơng trình: x
2
+ ax + 8 = 0 và x
2
+ x + a = 0 có nghiệm chung.
21
Bài 108. Cho phơng trình: 2x
2
+ 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
,
x
2
thỏa mãn:
1 2
2 1
2
x x
x x
+ =
.
Bài 109. Cho biết x
1
, x
2
là hai nghiệm phân biệt khác 0 của phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (
0; , ,a a b c R
). Hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là:

2 2
1 2
1 1
,
x x
.
Bài 110. Biết rằng x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0. Hãy viết phơng trình bậc hai nhận
3 3
1 2
,x x

làm hai nghiệm.
Bài 111. Cho f(x) = x
2
- 2(m + 2)x + 6m + 1.
1. Chứng minh rằng phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
2. Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2.
Bài 112. Cho phơng trình: x
2
- (2m + 1)x + m
2
+ m - 6.
1. Định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm.
2. Định m để phơng trình có hai nghiệm x

1
, x
2
thỏa mãn:
3 3
1 2
50x x =
.
Bài 114. Cho phơng trình: x
2
- 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn
3 3
1 2
72x x+ =
.
Bài 116. Cho phơng trình: x
2
- (m - 1)x - m
2
+ m - 2 = 0.
1. Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.
2. Với giá trị nào của tham số m, biểu thức:
2 2
1 2
E x x= +
đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 117. Cho hai phơng trình: x
2
+ a
1
x + b
1
= 0 và x
2
+ a
2
x + b
2
= 0
Cho biết a
1
a
2
2(b
1
+ b
2
). Chứng minh ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm.
Bài 119. Cho phơng trình: x
2
2(m 1)x + m
2
3m + 4 = 0.
1. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x

2
thỏa mãn:
1 2
1 1
1
x x
+ =
.
2. Lập một hệ thức giữa x
1
và x
2
độc lập với m.
Bài 120. Cho phơng trình: (m + 2)x
2
- 2(m - 1)x + 3 - m = 0.
1. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
2 2
1 2 1 2
x x x x+ = +
.
2. Lập một hệ thức giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m

3. Lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là:
1 2
1 2
1 2
1 1
,
1 1
x x
X X
x x

= =
+ +
.
Bài 121. Cho phơng trình: x
2
+ (m + 1)x + m = 0.
1. Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
2. Với giá trị nào của tham số m, biểu thức:
2 2
1 2
E x x= +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 122. Cho phơng trình: (a - 3)x
2
- 2(a - 1)x + a - 5 = 0.

1. Giải phơng trình khi a = 13.
2. Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 123. Cho phơng trình: 2x
2
+ (2m - 1)x + m - 1 = 0.
1. Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
2. Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm đó.
3. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn: -1 < x
1
< x
2
< 1.
4. Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, hãy lập một hệ thức giữa x
1
, x
2
không có m.
Bài 124. Cho phơng trình: x
2
- 2(m - 1)x + m - 3 = 0.
1. Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
2. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau.

Bài 125. Cho phơng trình: x
2
+ ax + b = 0. Xác định a và b để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn:
x
1
- x
2
= 5 và
3 3
1 2
35x x =
. Tính các nghiệm đó.
Bài 126. Giả sử phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0; (a, b, c khác 0) có hai nghiệm phân biệt trong đó có đúng một nghiệm
dơng x
1
thì phơng trình: ct
2
+ bt + a = 0 cũng có hai nghiệm phân biệt trong đó t
1
> 0 thỏa mãn: x
1
+ t
1
2.

Bài 130. Cho phơng trình: 2x
2
(2m + 1)x + m
2
9m + 39 = 0.
1. Giải phơng trình khi m = 9.
2. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
3. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm mà một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại. Tìm các nghiệm đó.
22
Bài 131. Cho phơng trình: x
2
+ ax + b = 0. Xác định a và b để phơng trình có hai nghiệm là a và b.
Bài 132. Cho f(x) = (4m - 3)x
2
- 3(m + 1)x + 2(m + 1).
1. Khi m = 1, tìm nghiệm của phơng trình f(x) = 0.
2. Xác định m để f(x) viết đợc dới dạng một bình phơng.
3. Phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
. Lập một hệ thức giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 138. Giả sử phơng trình: x
2
- 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1

, x
2
. Xác định m để biểu thức:
2 2
1 2 1 2
10E x x x x= + +
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính min E.
Bài 140. Cho phơng trình: x
2
- 2(m + 1)x + 4m = 0
a. Chứng minh rằng với mọi m, phơng trình luôn luôn có nghiệm. Tìm m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm
nghiệm kép đó.
b. Xác định m để phơng trình có một nghiệm x = 4. Tính nghiệm còn lại.
Bài 141. Cho phơng trình: x
2
- mx + m -1 = 0. Có 2 nghiệm x
1
, x
2
. Với giá trị nào của m, biểu thức:
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2(1 )
x x
R
x x x x
+
=

+ + +
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Bài 142. Cho a là số thực khác -1. Hãy lập một phơng trình bậc hai có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn các hệ thức:
a. 4x
1
x
2
+ 4 = 5(x
1
+ x
2
) (1) b.
( ) ( )
1 2
1
1 1
1
x x
a
=
+
(2)
Bài 145. Cho phơng trình: x
2
+ 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0
a. Với giá trị nào của a, phơng trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép.

b. Xác định a để phơng trình có hai nghiêm phân biệt lớn hơn -1.
Bài 146. Cho phơng trình: x
2
- ax + a + 1 = 0 có hai nghiệm là x
1
và x
2
.
a. Không giải phơng trình, hãy tính giá trị của biểu thức:
2 2
1 2
2 2
1 2 1 2
3 3 3x x
M
x x x x
+
=
+
.
b. Tìm giá trị của a để:
2 2
1 2
P x x= +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 147. Cho phơng trình: x
2
- (2m + 1)x + m
2
+ m - 1= 0.

a. Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m.
b. Chứng minh rằng có một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Bài 148. Cho phơng trình: ax
2
+ (ab + 1)x + b = 0.
a. Chứng minh rằng với mọi a, b phơng trình đã cho đều có nghiệm.
b. Muốn cho phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất bằng 1/2 thì a và b phải bằng bao nhiêu?
Bài 149. Cho phơng trình: x
2
- 2mx - 2m - 1 = 0.
a. Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b. Tìm biểu thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
c. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
2 1
5
2
x x

x x
+ =
.
Bài 150. Cho phơng trình: (m - 1)x
2
- 2(m + 1)x + m = 0.
a. Giải và biện luận phơng trình theo m.
b. Khi phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
:
Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2
độc lập với m.
Tìm m sao cho:
1 2
2x x
.
Bài 151. Cho phơng trình : x
2
- 2x - (m -1)(m - 3) = 0.
a. Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm không âm.
c. Gọi x
1
, x
2

là hai nghiệm. Xác định m để biểu thức:
1 2
( 1)E x x= +
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 152. Cho phơng trình: x
2
+ 2(m + 2)x - 4m - 12 = 0.
a. Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
2
1 2
x x=
.
Bài 153. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình: x
2
- 3x + a = 0
Gọi t
1
, t
2
là hai nghiệm của phơng trình: t
2

- 12t + b = 0
Cho biết:
1 2 1
2 1 2
x x t
x t t
= =
. Tính a và b.
======== Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai và định lí Viét.
Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai.
23
Bài 1: Giải các phơng trình
1) x
2
6x + 14 = 0 ; 2) 4x
2
8x + 3 = 0 ;
3) 3x
2
+ 5x + 2 = 0 ; 4) -30x
2
+ 30x 7,5 = 0 ;
5) x
2
4x + 2 = 0 ; 6) x
2
2x 2 = 0 ;
7) x
2
+ 2

2
x + 4 = 3(x +
2
) ; 8) 2
3
x
2
+ x + 1 =
3
(x + 1) ;
9) x
2
2(
3
- 1)x - 2
3
= 0.
Bài 2: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:
1) 3x
2
11x + 8 = 0 ; 2) 5x
2
17x + 12 = 0 ;
3) x
2
(1 +
3
)x +
3
= 0 ; 4) (1 -

2
)x
2
2(1 +
2
)x + 1 + 3
2
= 0 ;
5) 3x
2
19x 22 = 0 ; 6) 5x
2
+ 24x + 19 = 0 ;
7) (
3
+ 1)x
2
+ 2
3
x +
3
- 1 = 0 ; 8) x
2
11x + 30 = 0 ;
9) x
2
12x + 27 = 0 ; 10) x
2
10x + 21 = 0.
Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm.

Bài 1: Chứng minh rằng các phơng trình sau luôn có nghiệm.
1) x
2
2(m - 1)x 3 m = 0 ; 2) x
2
+ (m + 1)x + m = 0 ;
3) x
2
(2m 3)x + m
2
3m = 0 ; 4) x
2
+ 2(m + 2)x 4m 12 = 0 ;
5) x
2
(2m + 3)x + m
2
+ 3m + 2 = 0 ; 6) x
2
2x (m 1)(m 3) = 0 ;
7) x
2
2mx m
2
1 = 0 ; 8) (m + 1)x
2
2(2m 1)x 3 + m = 0
9) ax
2
+ (ab + 1)x + b = 0.

Bài 2:
a) Chứng minh rằng với a, b , c là các số thực thì phơng trình sau luôn có nghiệm:
(x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) = 0
b) Chứng minh rằng với ba số thức a, b , c phân biệt thì phơng trình sau có hai nghiệm phân biết:
x) (ẩn 0
cx
1
bx
1
ax
1
=

+

+

c) Chứng minh rằng phơng trình: c
2
x
2
+ (a
2
b
2
c
2
)x + b
2
= 0 vô nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh của một

tam giác.
d) Chứng minh rằng phơng trình bậc hai:
(a + b)
2
x
2
(a b)(a
2
b
2
)x 2ab(a
2
+ b
2
) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3:
a) Chứng minh rằng ít nhất một trong các phơng trình bậc hai sau đây có nghiệm:
ax
2
+ 2bx + c = 0 (1)
bx
2
+ 2cx + a = 0 (2)
cx
2
+ 2ax + b = 0 (3)
b) Cho bốn phơng trình (ẩn x) sau:
x
2
+ 2ax + 4b

2
= 0 (1)
x
2
- 2bx + 4a
2
= 0 (2)
x
2
- 4ax + b
2
= 0 (3)
x
2
+ 4bx + a
2
= 0 (4)
Chứng minh rằng trong các phơng trình trên có ít nhất 2 phơng trình có nghiệm.
c) Cho 3 phơng trình (ẩn x sau):
(3) 0
cb
1
x
ba
ba2a
cx
(2) 0
ba
1
x

ac
ac2c
bx
(1) 0
ac
1
x
cb
cb2b
ax
2
2
2
=
+
+
+
+

=
+
+
+
+

=
+
+
+
+

với a, b, c là các số dơng cho trớc.
Chứng minh rằng trong các phơng trình trên có ít nhất một phơng trình có nghiệm.
Bài 4:
a) Cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0.
Biết a 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phơng trình đã cho có hai nghiệm.
b) Chứng minh rằng phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) có hai nghiệm nếu một trong hai điều kiện sau đợc
thoả mãn: a(a + 2b + 4c) < 0 ; 5a + 3b + 2c = 0.
24
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm của phơng trình bậc hai cho tr-
ớc.
Bài 1: Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phơng trình: x
2
3x 7 = 0.Tính:
( )( )
4
2
4
1
3
2
3

1
1221
21
21
2
2
2
1
xxF ;xxE
;x3xx3xD ;
1x
1
1x
1
C
;xxB ;xxA
+=+=
++=

+

=
=+=
Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm là
1x
1
và
1x
1
21

.
Bài 2: Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình: 5x
2
3x 1 = 0. Không giải phơng trình, tính giá trị của các biểu
thức sau:
.
x4xx4x
3xx5x3x
C
;
x
1
x
1
1x
x
x
x
1x
x
x
x
B
;x3x2xx3x2xA
2

2
1
2
21
2
221
2
1
2
211
2
1
2
2
1
2
1
2
21
3
22
2
1
3
1
+
++
=

+
++
+
+=
+=
Bài 3:
a) Gọi p và q là nghiệm của phơng trình bậc hai: 3x
2
+ 7x + 4 = 0. Không giải phơng trình hãy thành lập phơng
trình bậc hai với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là
1p
q
và
1q
p

.
b) Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là
2610
1
và
7210
1

+
.
Bài 4: Cho phơng trình x
2
2(m -1)x m = 0.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm x
1
; x
2
với mọi m.
b) Với m 0, lập phơng trình ẩn y thoả mãn
1
22
2
11
x
1
xy và
x
1
xy +=+=
.
Bài 5: Không giải phơng trình 3x
2
+ 5x 6 = 0. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
( )( )
2
2
1
1

21
1
2
2
1
1221
x
2x
x
2x
D ;xxC
;
1x
x
1x
x
B ;2x3x2x3xA
+
+
+
==

+

==
Bài 6: Cho phơng trình 2x
2
4x 10 = 0 có hai nghiệm x
1
; x

2
. Không giải phơng trình hãy thiết lập phơng trình
ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn: y
1
= 2x
1
x
2
; y
2
= 2x
2
x
1
Bài 7: Cho phơng trình 2x
2
3x 1 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2

thoả mãn:

=
=



+=
+=
1
2
2
2
2
2
1
1
22
11
x
x
y
x
x
y

b)
2xy
2xy
a)
Bài 8: Cho phơng trình x
2
+ x 1 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2

thoả mãn:
25