luận văn thạc sỹ toán:vận dụng phương pháp đàm thoại phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh khá giỏi’.

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Trong quá trình hình thành và phát triển tư duy của học sinh thì Toán
học có vai trò đặc biệt quan trọng. Người giáo viên cần rèn luyện cho học
sinh thấy được nhiều hình thức có thể diễn tả cùng một nội dung Toán học
đồng thời phải rèn luyện cho học sinh biết lựa chọn hình thức phù hợp nhất
thể hiện nội dung đó. Theo quan điểm của triết học duy vật biện chứng, bất kì
sự vật nào cũng mang trong nó hai yếu tố nội dung và hình thức. Nội dung có
thể được thể hiện bằng nhiều hình thức khác nhau, nội dung quyết định hình
thức và hình thức tác động trở lại nội dung.
Bất đẳng thức là một trong những nội dung hay của Toán phổ thông và
thường xuất hiện trong các kì thi Olympic Toán. Đây cũng là một nội dung
quan trọng nhằm rèn luyện trí tuệ cho học sinh. Nhìn bất đẳng thức dưới
nhiều phương diện khác nhau sẽ giúp học sinh linh hoạt trong lựa chọn hình
thức thể hiện nội dung này. Điều đó kích thích tư duy biện chứng, tư duy
sáng tạo cho các em.
Tuy nhiên, bất đẳng thức cũng là một nội dung khó, nếu không đổi
mới phương pháp dạy học thì có thể dẫn đến tình trạng truyền thụ một chiều.
Định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là tích cực hóa việc học
của người học. Để giải quyết mâu thuẫn trên đây người thầy cần tăng cường
giao lưu giữa thầy và trò trong quá trình dạy học. Có như vậy mới có thể vừa
tích cực hóa được việc học của người học vừa rèn luyện được tính linh hoạt
nhìn nhận một vấn đề theo nhiều phương diện khác nhau cho học sinh.
Từ những lý do trên, đề tài được chọn là :‘Vận dụng phương pháp
đàm thoại phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học bất đẳng thức cho
học sinh khá giỏi’.
Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học
Nguyễn Sơn Hà
1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu là vận dụng một số phương pháp dạy học tích

cực trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh khá giỏi.
Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu về phương pháp đàm thoại phát hiện và giải quyết
vấn đề.
- Xây dựng các câu hỏi đàm thoại phát hiện trong dạy học nội
dung bất đẳng thức cho học sinh khá giỏi.
- Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả
của đề tài.
3. Nội dung nghiên cứu.
- Nghiên cứu các phương pháp dạy học tính cực đặc biệt là phương
pháp đàm thoại phát hiện.
- Nghiên cứu về bất đẳng thức.
- Đề xuất quy trình đàm thoại phát hiện trong dạy học bất đẳng thức.
- Nhìn nhận đẳng thức, bất đẳng thức theo nhiều phương diện khác
nhau dựa vào mối liên hệ tương ứng giữa các số với các đại lượng hình học
và lượng giác.
- Sáng tạo bất đẳng thức bằng cách nhìn bất đẳng thức đã có theo
những phương diện mới.
- Đề xuất giải pháp sư phạm.
4. Phương pháp nghiên cứu.
4.1. Nghiên cứu lý luận.
Tìm hiểu, nghiên cứu những vấn đề liên quan đến đề tài định hướng
cho việc nghiên cứu; phân tích và tổng hợp những quan điểm dựa trên các tài
Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học
Nguyễn Sơn Hà
2
liệu về tâm lý học, giáo dục học, phương pháp dạy học môn toán và các tài
liệu về bất đăng thức.
4.2 Thực nghiệm sư phạm.
Đối tượng thực nghiệm: học sinh lớp 11 T2 Khối THPT Chuyên ĐHSP

Hà Nội.
Xử lý kết quả bằng một số phương pháp thống kê toán học.
5. Cấu trúc luận văn.
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
1.1. Phương pháp đàm thoại phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.1.1 Lịch sử của vấn đề.
1.1.2 Quan niệm về dạy học đàm thoại phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.1.3 Những ưu điểm, nhược điểm của dạy học phát hiện và giải quyết vấn
đề.
1.2 Những kiến thức cơ bản liên quan đến bất đẳng thức.
1.2.1 Định nghĩa, tính chất bất đẳng thức.
1.2.2 Nhìn nhận, đẳng thức, bất đẳng thức theo nhiều phương diện khác
nhau dựa vào mối liên hệ tương ứng giữa các số với các đại lượng hình
học và lượng giác.
1.3. Một số khó khăn và sai lầm thường gặp trong học sinh khi chứng minh
bất đẳng thức.
Chương 2. Vận dụng phương pháp đàm thoại phát hiện và giải quyết vấn đề
trong dạy học bất đẳng thức.
2.1. Đề xuất quy trình đàm thoại phát hiện.
2.2. Đàm thoại phát hiện giải quyết vấn đề trong dạy học một số bất đẳng
thức.
2.3. Sáng tạo bất đẳng thức bằng cách nhìn bất đẳng thức đã có theo những
phương diện mới.
Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học
Nguyễn Sơn Hà
3
2.4. Đề xuất giải pháp sư phạm.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.
3.1. Mục đích, nội dung tổ chức thực nghiệm sư phạm.
3.2. Triển khai thực nghiệm sư phạm.

3.3. Đánh giá thực nghiệm sư phạm.
KẾT LUẬN.
TÀI LIỆU THAM KHẢO.
Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học
Nguyễn Sơn Hà
4
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. PHƯƠNG PHÁP ĐÀM THOẠI PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN
ĐỀ.
1.1.1 Lịch sử của vấn đề.
Phương pháp đàm thoại phát hiện có từ thời Socrate, thế kỉ thứ III
trước công nguyên. Phương pháp này dựa trên các câu hỏi - đáp, học sinh
không tự khám phá mà chỉ theo từng bước lý luận do giáo viên đưa ra. Bởi
vậy, phương pháp này có thể gọi là phương pháp khám phá thụ động.
Các phương pháp dạy học truyền thống được chia thành ba nhóm là
nhóm các phương pháp dùng lời, nhóm các phương pháp trực quan, nhóm
phương pháp thực hành. Trong nhóm các phương pháp dùng lời có phương
pháp vấn đáp được sử dụng nhiều hơn trong dạy học.
Trong các phương pháp vấn đáp có vấn đáp tìm tòi - vấn đáp phát hiện
hay đàm thoại, vấn đáp giải thích- minh hoạ, vấn đáp tái hiện.
Vấn đáp tìm tòi được gọi là vấn đáp phát hiện hay đàm thoại. Với
phương pháp này giáo viên tổ chức đối thoại, trao đổi ý kiến tranh luận giữa
thầy và cả lớp, có khi giữa trò và trò, thông qua đó học sinh nắm được tri
thức mới. Hệ thống câu hỏi được sắp đặt hợp lý giữ vai trò chỉ đạo, tìm tòi,
sự ham muốn hiểu biết. Giáo viên đóng vai trò người tổ chức sự tìm tòi còn
học sinh thì tự lực phát hiện kiến thức mới, vì vậy kết thúc cuộc đàm thoại
học sinh có được niềm vui của sự khám phá. Cuối giai đoạn đàm thoại, giáo
viên khéo léo vận dụng các ý kiến của học sinh để kết luận vấn đề đặt ra, có
bổ sung chỉnh lý khi cần thiết.

Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học
Nguyễn Sơn Hà
5
1.1.2 Quan niệm về dạy học đàm thoại phát hiện và giải quyết vấn đề.
Trong quá trình dạy học, để tích cực hoá hoạt động nhận thức và sử
dụng kinh nghiệm đã có của người học, người giáo viên thường sử dụng hệ
thống các câu hỏi và hoạt động. Cũng nhiều khi để hiểu sâu sắc hơn, rộng
hơn một vấn đề nào đó, người học cũng đưa ra các câu hỏi cho giáo viên. Khi
đó giáo viên đã sử dụng phương pháp đàm thoại để dạy học. Yếu tố quyết
định để sử dụng phương pháp này là hệ thống các câu hỏi.
Theo nhiệm vụ dạy học, có: câu hỏi tái hiện, câu hỏi gợi mở, câu hỏi
củng cố kiến thức, câu hỏi ôn tập hệ thống hoá kiến thức.
Theo mức khái quát của các vấn đề, có: câu hỏi khái quát, câu hỏi theo
chủ đề bài học, câu hỏi theo nội dung bài học.
Theo mức độ tham gia của hoạt động nhận thức của người học, có: câu
hỏi tái tạo và câu hỏi sáng tạo.
Mỗi loại câu hỏi đều có ý nghĩa, vị trí nhất định trong quá trình dạy
học. Việc xây dựng lựa chọn và sử dụng câu hỏi phải phù hợp với nhiệm vụ
dạy học và khả năng nhận thức của người học.
Phương pháp vấn đáp, nếu vận dụng khéo léo, sẽ có tác dụng điều
khiển hoạt động nhận thức của học sinh, kích thích học sinh tích cực độc lập
tư duy, bồi dưỡng cho học sinh năng lực diễn đạt bằng lời các vấn đề khoa
học. Giáo viên có thể thu được tín hiệu ngược nhanh chóng từ học sinh để
điều chỉnh kịp thời hoạt động dạy và hoạt động học đồng thời vấn đáp
thường xuyên sẽ tạo không khí sôi nổi trong giờ học. Tuy nhiên, với phương
pháp này, nếu vận dụng không khéo sẽ dễ làm mất thời gian, ảnh hưởng đến
kế hoạch đã dự kiến, hoặc cũng dễ trở thành cuộc đối thoại kém hiệu quả.
Yêu cầu xây dựng câu hỏi:
- Câu hỏi chính xác, thể hiện trong hình thức rõ ràng đơn giản.
Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học

Nguyễn Sơn Hà
6
- Câu hỏi chính xác rõ ràng giúp người học hình thành được câu trả
lời đúng, nếu câu hỏi đa nghĩa phức tạp sẽ gây khó khăn cho sự tư duy của
học sinh.
- Câu hỏi xây dựng theo hệ thống logic chặt chẽ. Để xây dựng hệ
thống câu hỏi theo yêu cầu này cần căn cứ vào cấu trúc nội dung bài học.
- Hệ thống câu hỏi được thiết kế theo quy luật nhận thức và khả
năng nhận thức của đối tượng cụ thể:
+ Xây dựng câu hỏi từ dễ đến khó.
+ Từ cụ thể đến khái quát, từ khái quát đến cụ thể.
+ Câu hỏi từ tái tạo đến sáng tạo.
+ Số lượng câu hỏi vừa phải, sử dụng câu hỏi tập trung
vào nội dung ‘phải biết’ trong bài học (trọng tâm bài học).
Những yêu cầu khi đặt câu hỏi:
- Câu hỏi được đưa ra một cách rõ ràng.
- Câu hỏi hướng tới cả lớp.
- Chỉ định một học sinh trả lời, cả lớp lắng nghe và phân tích câu
trả lời.
- Giáo viên có kết luận.
Trong dạy học môn Toán, GV thường tạo ra các cuộc đàm thoại để
học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề, để tìm cách giải một bài toán (có thể
theo bảng gợi ý của Polya). Thậm chí, trong quá trình tìm lời giải một bài
toán, học sinh có khi tự đối thoại với chính mình. Các câu hỏi được lặp lại
qua các bài bất đẳng thức giúp học sinh tập luyện tri thức ăn khớp với tri thức
phương pháp. Bất đẳng thức là một nội dung hay và khó. Nếu khả năng của
học sinh còn hạn chế, người thầy cần làm cho học sinh có cảm giác rằng tự
HS làm được, do đó thầy phải giúp đỡ kín đáo mà không bắt học sinh lệ
thuộc vào mình. Người thầy phải đặt vị trí mình là một học sinh, nghiên cứu
Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học

Nguyễn Sơn Hà
7
trường hợp cụ thể của HS, cố gắng hiểu xem HS nghĩ gì, đặt ra câu hỏi để
học sinh có thể tự mình trả lời được. Để có thể đặt mình vào vị trí người học,
người thầy phải nghĩ đến những kinh nghiệm của bản thân mình, nhớ lại
những khó khăn và những thành công của mình trong việc giải toán.
Khi người thầy đặt câu hỏi cần nhằm vào hai mục đích: thứ nhất giúp
học sinh giải được một bài toán cụ thể, thứ hai là phát triển những khả năng
của học sinh để họ có thể tự lực giải những bài toán sau này. Hai mục đích
này liên hệ mật thiết với nhau. Nếu học sinh giải được bài toán cụ thể thì từ
đó HS cũng có thể có khả năng giải được bài toán tổng quát. Như vậy những
câu hỏi mà thầy đặt ra cho học sinh phải tổng quát và áp dụng vào nhiều
trường hợp. Nếu dùng nhiều lần một câu hỏi, học sinh sẽ chú ý đến nó một
cách trực giác và HS có thể tự đặt ra được câu hỏi đó trong trường hợp tương
tự. Nếu HS có thể tự đặt được câu hỏi đó nhiều lần thì HS có thể rút ra được
những ý kiến xác đáng. Người thầy phải làm cho học sinh thấm nhuần những
câu hỏi và những câu hỏi này sẽ góp phần phát triển một thói quen của trí
óc.
Đàm thoại có thể hiểu là câu hỏi gợi ý. Gợi ý và câu hỏi là các cách
giáo viên đứng lớp giúp học sinh sử dụng vốn hiểu biết có sẵn về một chủ đề.
Gợi ý liên quan đến ‘các dấu hiệu’ về những kinh nghiệm có sẵn của học
sinh. Giáo viên gợi ý cho học sinh, chờ đợi những kiến thức mới, điều này sẽ
khiến trong óc các em nảy ra những dự đoán về những thông tin mới. Việc
đặt ra các câu hỏi cũng có một chức năng như vậy. Khi đàm thoại, cần tập
trung vào những vấn đề quan trọng, trọng tâm chứ không phải là vào những
gì bất thường. Khoảng thời gian ‘chờ đợi’ trước khi tiếp nhận nhận câu trả lời
của học sinh có tác dụng làm cho hiểu biết của các em sâu sắc hơn.
Khi thầy hướng dẫn học sinh qua một hệ thống câu hỏi đàm thoại, học
sinh từng bước suy nghĩ trả lời, tìm kiếm kiến thức mới. Qua đó tư duy và
Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học

Nguyễn Sơn Hà
8
một số phẩm chất đạo đức nảy nở và phát triển như tính chủ động, tự tin,
niềm phấn khởi, hứng thú dẫn đến tư duy sáng tạo trong việc chọn câu trả lời
chính xác. Tư duy và tính cách hầu như vô hình, khó thấy nhưng lại thấm dần
vào trí tuệ, hình thành nên nhân cách người lao động sáng tạo sau này. Tư
duy và tính cách không hình thành theo kiểu kiến thức mà thấm dần theo
kiểu ‘lắng đọng phù sa’, mỗi ngày một tí rất khó thấy, tích luỹ lâu ngày mới
thấy rõ, giống như từng hạt cát nhỏ li ti coi như không đáng kể, lâu ngày tích
lại thành bãi phù sa. Một vài hạt cát nhỏ thì chẳng có ý nghĩa gì nhưng bãi
cát phù sa thì rất có ý nghĩa.
Sáng tạo bắt đầu từ việc phát hiện ra vấn đề, sau đó mới tìm cách giải
quyết vấn đề và khi giải quyết được thì sẽ có một cái gì mới ra đời giúp học
sinh vượt qua được một khó khăn để tiến về phía trước. Nhưng làm thế nào
để có khả năng phát triển vấn đề ? Điều này liên quan đến vấn đề phát triển
tư duy biện chứng. Nếu A chỉ là A thì tư duy chỉ quanh quẩn trong A, không
thoát ra được để hướng tới một cái mới khác A, nghĩa là không thấy có vấn
đề. Tư duy biện chứng thừa nhận sự thống nhất của các mặt đối lập nên
không chịu ép một bề, trong khó khăn vẫn nhìn ra thuận lợi, vì vậy sẽ phát
hiện ra vấn đề. Cần tìm ra hết các mặt thuận lợi nhưng cũng phải cảnh giác
để thuận lợi không chuyển hoá thành khó khăn. Nếu ta đề cao sáng tạo thì
phải rất đề cao tư duy biện chứng. Không những nó giúp ta phát hiện vấn đề
mà khi đã phát hiện ra thì nó cũng giúp ta tìm hướng giải quyết vấn đề . Ta
biết rằng một cái riêng có thể là trường hợp đặc biệt của nhiều cái chung
khác nhau tuỳ theo cách nhìn cái riêng đó. Ta sẽ sáng tạo nhiều hay ít tuỳ
thuộc vào ta trí tưởng tượng rồi rào đến đâu khi đi tìm các góc độ khác nhau
để nhìn nhận cái riêng, điều này lại liên quan đến tư duy hình tượng. Như vậy
tư duy hình tượng cũng góp phần tạo nên ‘tư duy sáng tạo’.
Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học
Nguyễn Sơn Hà

9
Bất đẳng thức là một nội dung khó và phương pháp giải rất đa dạng,
chính vì thế nó cũng làm cho nhiều giáo viên phổ thông khó khăn trong việc
dạy học theo phương pháp tích cực cho học sinh. Việc đưa ra được quy trình
đàm thoại sẽ giúp giáo viên giải quyết được khó khăn này. Không những thế,
quy trình đàm thoại phát hiện còn có tác dụng tích cực đến tri giác, tư duy
của học sinh. Trí nhớ là hoạt động của phản xạ có điều kiện; thông tin cần
lặp đi lặp lại nhiều lần mới thành lập được phản xạ có điều kiện. Do đó đưa
ra một quy trình đàm thoại và lặp đi lặp lại là một phương pháp hiệu quả giúp
tăng cường sức nhớ.
M.I.Makhmutnov đã nhấn mạnh: ‘trong việc tích cực hoá hoạt động
nhận thức của học sinh các câu hỏi bao giờ cũng có ý nghĩa tiên quyết’.
Trong quá trình dạy học cần tăng cường thảo luận thông qua hệ thống câu
hỏi. Biện pháp này được sử dụng để giúp đỡ học sinh tìm kiếm chiến lược
giải quyết vấn đề. Hệ thống câu hỏi phải thoả mãn một số điều kiện.
Mỗi khái niệm, mệnh đề toán học đều có cấu trúc logic nhất định. Ta
có thể phân giải thành các yếu tố cấu thành và diễn đạt một cách tường minh
bên ngoài người học, đồng thời lại có thể sắp xếp các yếu tố đó theo một trật
tự liên tiếp nhau. Vì vậy, hệ thống câu hỏi (được xây dựng nhằm nghiên cứu
cấu trúc đó) cũng phải được sắp xếp ‘gần’ tương ứng với trật tự đó (gần là vì
nhiều khi cần có câu hỏi rẽ nhánh theo yêu cầu sư phạm), tức là trong hệ
thống, mỗi câu hỏi sau phải được suy ra từ câu hỏi trước.
Các câu hỏi phải được đặt ra sao cho kích thích tối đa hoạt động nhận
thức của học sinh. Muốn vậy trong mỗi câu hỏi phải chứa đựng một tình
huống có vấn đề (vấn đề ở đây là những tìm tòi, những nghiên cứu nhỏ được
phân, tách từ vấn đề chính), tức là mỗi câu hỏi phải hướng học sinh tới
những mục tiêu đã được sắp đặt logic.
Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học
Nguyễn Sơn Hà
10

Bằng con đường nghiên cứu trả lời các câu hỏi mà học sinh giải quyết
được vấn đề đặt ra.
Bên cạnh đó các câu hỏi cần được xây dựng ngắn, gọn, dễ hiểu, rõ
ràng và có tính đến đặc điểm lứa tuổi, trình độ nhận thức chung của cả lớp
cũng như từng học sinh. Giáo viên không những phải suy tính cả một hệ
thống câu hỏi mà còn phải suy tính đến cả những câu trả lời của học sinh, tới
sự ‘gỡ nút’ có thể có (trong trường hợp các em đi chệch khỏi phương hướng
tìm tòi đúng đắn). Sự gỡ nút này có khi là câu hỏi phụ trợ, có khi là lời gợi ý,
là điều giải thích, chỉ rõ sự nhầm lẫn trong suy nghĩ của học sinh. Cuối
cùng, học sinh tự rút ra được kết luận đúng đắn.
Tư tưởng chỉ đạo đối với giáo viên: không trực tiếp cung cấp thông tin
có sẵn mà chỉ đặt ra các tình huống liên tiếp để hướng ý nghĩ của học sinh
vào việc nghiên cứu, phân tích đối tượng và tìm cách giải quyết.
Đàm thoại phát hiện là một phương pháp dạy học truyền thống, nó có
phần giống với phương pháp dạy học giải quyết vấn đề (phương pháp dạy
học không truyền thống)ở cấp độ thầy trò vấn đáp phát hiện giải quyết vấn
đề. Tuy nhiên hai phương pháp này thật ra là không đồng nhất với nhau.
Điểm quan trọng của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề không phải là
những câu hỏi mà là tình huống gợi vấn đề. Trong nhiều trường hợp, việc
phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh có thể diễn ra chủ yếu là nhờ tình
huống gợi vấn đề chứ không phải là nhờ những câu hỏi mà thầy đặt ra. Tuy
nhiên trong quá trình dạy học sinh khá giỏi thì đàm thoại, phát hiện giải
quyết vấn đề vẫn có những ưu điểm nhất định. Đứng trước nhiều bài toán
khó, nhiều khi học sinh không hoàn toàn phải sáng tạo cái mới mà phải biết
tổng hợp những kết quả đã học. Những câu hỏi của thầy giáo không hẳn là
câu hỏi gợi vấn đề mà có khi nhằm vào mục đích giúp học sinh tái hiện lại
Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học
Nguyễn Sơn Hà
11
những kết quả đã có, nhớ lại những bài toán phụ, những bổ đề áp dụng giải

được bài toán trước mắt.
1.1.3 Những ưu điểm, nhược điểm của dạy học đàm thoại phát hiện giải
quyết vấn đề.
Bản chất phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề: thông
qua hệ thống câu hỏi của thầy, học sinh trả lời và dần hình thành tri thức.
Bên cạnh những ưu điểm và nhược điểm chung của phương pháp vấn
đáp thì phương pháp đàm thoại giải quyết vấn đề còn có những ưu điểm và
nhược điểm sau:
a) Ưu điểm của phương pháp:
- học sinh làm việc tích cực, độc lập.
- thông tin hai chiều.
b) Nhược điểm của phương pháp:
- tốn thời gian.
- thầy dễ bị động khi bị trò hỏi lại.
- Thực tế thì đàm thoại kiểu ấy có kích thích được phần nào tính
tích cực của học sinh, song chưa phát huy được tính chủ động, tự giác,
sáng tạo của người học, bởi người học hoàn toàn lệ thuộc vào câu hỏi của
ông thầy. Như vậy, đàm thoại một chiều cũng tham dự vào phát huy tính
thụ động của học sinh. Học sinh vẫn là khách thể, bị “giật dây” và thụ
động trả lời gióng một theo các câu hỏi vụn vặt của ông thầy. Câu hỏi vụn
vặt, nội dung hỏi đáp tủn mủn khiến HS rất khó giải quyết vấn đề ra ‘tấm’
ra ‘miếng’.
c) Yêu cầu sư phạm đàm thoại.
- Phải làm cho HS ý thức được mục đích của toàn bộ hay một
phần lớn của cuộc đàm thoại.
- Hệ thống câu hỏi phải logic, thống nhất.
Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học
Nguyễn Sơn Hà
12
- Mức độ khó của câu hỏi phụ thuộc vào trình độ của học sinh.

- Sau khi giải quyết xong vấn đề phải tổng kết vấn đề.
- Phải đảm bảo nguyên tắc: đàm thoại với cả lớp.
1.2. Những kiến thức cơ bản liên quan đến bất đẳng thức.
1.2.1. Khái niệm bất đẳng thức.
a) Quan hệ thứ tự trong R.
Trong tập hợp các số thực có quan hệ thứ tự, tức là :
Với mỗi cặp số thực a, b bất kì , luôn xảy ra một và chỉ một trong ba
khả năng:
- hoặc a bằng b, ký hệu a = b.
- hoặc a lớn hơn b, ký hiệu a > b.
- hoặc a nhỏ hơn b, ký hiệu a < b.
b) Định nghĩa bất đẳng thức.
Giả sử A, B là hai biểu thức(trường hợp đặc biệt A, B có thể là hai số).
Mệnh đề ‘A lớn hơn B’, ký hiệu A > B được gọi là một bất đẳng thức. A, B
gọi là các vế của bất đẳng thức ấy. Người ta cũng viết bất đẳng thức dưới
dạng B<A, đó là mệnh đề “B nhỏ hơn A” tương đương với mệnh đề trên.
Như bất cứ một mệnh đề toán học nào, bất đẳng thức A>B có thể đúng hoặc
sai.
Quy ước: Khi nói một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn, thì ta hiểu rằng
đó là một bất đẳng thức đúng.
c) Bất đẳng thức suy rộng.
Khi so sánh hai biểu thức A và B, nhiều khi chưa thể kết luận dứt
khoát : A bằng B, A lớn hơn B, A nhỏ hơn B, mà chỉ có thể đưa ra một kết
luận mềm dẻo hơn, chẳng hạn: A lớn hơn hoặc bằng B.
Do vậy, người ta sử dụng mệnh đề sau đây dưới dạng ký hiệu:
Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học
Nguyễn Sơn Hà
13
A
≥

B : “A lớn hơn hoặc bằng B”.
A
≤
B : “A nhỏ hơn hoặc bằng B”.
Các mệnh đề trên cũng được gọi là bất đẳng thức, rõ hơn: bất đẳng
thức suy rộng, để phân biệt với các bất đẳng thức nghiêm ngặt dạng A>B,
A<B.
d) Tính chất bất đẳng thức.
Tính chất 1:
a > b
⇔
a-b > 0.
Tính chất 2:
ca
cb
ba
>⇒



>
>
Tính chất 3:
a > b
⇔
a + c > b+c.
Hệ quả 1:
a > b
⇔
a - c > b – c.

Hệ quả 2:
a + c > b
⇔
a > b – c.
Tính chất 4:
dbca
dc
ba
+>+⇒



>
>
.
Tính chất 5:



<
>
⇔>
bcac
bcac
ba
nếu
0
0
<
>

c
c
Hệ quả 1:
a > b
⇔
-a < -b.
Hệ quả 2:
Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học
Nguyễn Sơn Hà
14







<<
>>
>
)0(;
)0(;
c
c
b
c
a
c
c
b

c
a
ba

Tớnh cht 6:
a > b > 0
ba
11
0 <<
.
Tớnh cht 7:
a>b>0


*
Nnba
nn
>
.
Tớnh cht 8:
a>b

*1212
Nnba
nn
>
++
.
Tớnh cht 9:
a>b>0

*
Nnba
nn
>
.
Tớnh cht 10:
a > b.

Nnba
nn
>
++ 1212
.
Ngoi ra ta cng cú cỏc tớnh cht tng ng vi cỏc bt ng thc
suy rng.
1.2.2 Nhỡn nhn ng thc, bt ng thc theo nhiu phng din khỏc
nhau.
a) Nhỡn theo phng din lng giỏc.
cú th nhỡn nhn bi toỏn theo phng din lng giỏc, HS cn
hiu bit nhng bt ng thc lng giỏc c bn v mt s h thc lng
giỏc trong tam giỏc, cn nm vng tp giỏ tr ca cỏc hm s lng giỏc, s
liờn h gia cỏc s vi s liờn h gia cỏc hm lng giỏc.
Mt s dấu hiệu để nhận biết một bài toán có thể giải bằng phơng
pháp lợng giác.
Lun vn Thc s LL&PPDH Toỏn hc
Nguyn Sn H
15
- Có một trở ngại đại số cần khắc phục. Vớ d chng minh bt

ng thc
2
1 x
.x (2x
2
-1)(8x
4
- 8x
2
+ 1)

8
1
vi mi x
[ ]
1;1
. Nh vic
t x = cosa
[ ]

;0
m v trỏi cú dng
8
1
8sin
8
1
a
.
- iu kin ca bin phự hp vi tp giỏ tr hm lng giỏc.

- Trong đề bài(ở giả thiết hoặc kết luận) có một bộ phận tơng tự
với một công thức lợng giác nào đó. Chẳng hạn:
- Vi ba s bt kỡ x, y, a tha món x
2
+y
2
=a
2
thỡ luụn tn ti
gúc

x = a.cos

, y = a.sin

.
- Vi ba s dng bt kỡ m, n, p tha món m +n =p luụn tn ti
gúc

tha món m = p.sin
2

, n = p.cos
2

.
- Vi ba s dng x, y, z tha món x + y + z = xyz luụn tn ti
tam giỏc nhn ABC tha món x =tanA, y=tanB, z= tanC.
- Vi ba s dng x, y, z tha món x
2

+ y
2
+ z
2
+2xyz = 1 luụn
tn ti tam giỏc nhn ABC tha món x =cosA, y=cosB, z= cosC.
- Vi ba s dng x, y, z tha món xy+yz+zx = 1 luụn tn ti
tam giỏc nhn ABC tha món x=cotA, y=cotB, z=cotC.
- Vi ba s dng x, y, z tha món xy+yz+zx = 1 luụn tn ti
tam giỏc nhn ABC tha món
2
tan;
2
tan;
2
A
tan
C
z
B
yx ===
.
- Bộ phận 1+x
2
tơng tự với công thức:
t
t
2
2
cos

1
tan1 =+
.
- Bộ phận 4x
3
-3x tơng tự với công thức: 4cos
3
t-3cost=cos3t.
- Bộ phận 2x
2
-1 tơng tự với công thức 2cos
2
t-1=cos2t.
- Bộ phận
2
2
1
x
x
tơng tự với công thức
t
t
t
2tan
tan1
tan2
2
=

- Bộ phận

2
2
1
x
x+
tơng tự với công thức
t
t
t
2sin
tan1
tan2
2
=
+
Lun vn Thc s LL&PPDH Toỏn hc
Nguyn Sn H
16
-Bộ phận
1
x y
xy
+

tơng tự với công thức
( )



tan.tan1

tantan
tan

+
=+
.
- Nói chung trong mọi trờng hợp đều có thể đặt x=tant.
- Nếu có 2 đại lợng x, y biến thiên thoả mãn x
2
+y
2
=a
2
(a>0).
thì luôn có thể đặt x=acost, khi đó y=asint với
0 2t


.
- Hoặc x=asint, khi đó y=acost với
0 2t


.
- Nếu
( 0)x a a >
có thể đặt
sin
a
x

t
=
với
{ }
; \ 0
2 2
t





.
b) Nhỡn theo phng din hỡnh hc.
cú th nhỡn nhn bi toỏn theo phng din hỡnh hc, HS cn
nm vng nhng biu thc, cụng thc, ng thc, bt ng thc c bn ca
hỡnh hc, s liờn h v tp xỏc nh ca cỏc s vi o cỏc i lng hỡnh
hc, chng hn:
- Mi s dng a luụn tn ti on thng AB cú di bng a.
- Ba s dng a, b, c tha món: tng hai s bt kỡ ln hn s th ba
luụn tn ti mt tam giỏc nhn a, b, c l di cỏc cnh
- Vi ba s dng bt kỡ x, y, z thỡ x+y, y+z, z+x l di ba cnh tam
giỏc.
- Chuyn bi toỏn bt ng thc hỡnh hc, tam giỏc vi ba cnh a, b, c
v bt ng thc vi ba s dng bng cỏch t x = b+c-a, y=c+a-b,
z =a+b-c.
- Nu x
2
+ y
2

= a
2
v x, y, a > 0 thỡ tn ti tam giỏc vuụng sao cho a l
di cnh huyn cũn x, y l di cỏc cnh gúc vuụng Ba s dng x, y,
z cú tng bng a luụn tn ti tam giỏc u ABC cnh
3
2a
v im M nm
Lun vn Thc s LL&PPDH Toỏn hc
Nguyn Sn H
17
trong tam giác sao cho khoảng cách từ M đến 3 cạnh lần lượt là x, y, z.
c) Nhìn theo các phương diện khác.
- Với phương diện bất đẳng thức đại số, cần nắm vững các tính chất
của bất đẳng thức, các bất đẳng thứ cổ điển, bất đẳng thức bình phương và
bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Với phương diện hàm, cần hiểu biết những định hướng cơ bản ứng
dụng hàm chứng minh bất đẳng thức.
- Với phương pháp véc tơ và tọa độ, cần nắm vững bất đẳng thức về
mô đun véc tơ.
- Với phương pháp tam thức bậc hai, cần nắm vững điều kiện có
nghiệm và định lý về dấu tam thức bậc hai.
- Với phương pháp biến đổi tương đương, cần nắm vững tính chất cơ
bản của bất đẳng thức và các bất đẳng thức thuộc các phương diện trên.
- Phương diện đổi biến số đại số, đổi biến.
+ Nếu ba số dương a, b, c có tích bằng 1 thì tồn tại các số
dương x, y, z thoả mãn
x
z
c

z
y
b
y
x
a === ;;
.
+ Nếu các số dương a
1
, a
2
, …,a
n
có tích bằng 1 thì luôn tồn tại
các số dương x
1
,x
2
,…,x
n
thỏa mãn a
1
=
1 2
2
2 3 1
; ; ;
n
n
x

x x
a a
x x x
= =
.
+ Nếu các số dương a, b, c có tổng bằng 1 thì tồn tại các số
dương x, y, z thoả mãn
zyx
z
c
zyx
y
b
zyx
x
a
++
=
++
=
++
= ;;
.
Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học
Nguyễn Sơn Hà
18
+ Nếu các số dương a
1
, a
2

, …,a
n
có tổng bằng 1 thì luôn tồn tại
các số dương x
1
,x
2
,…,x
n
thỏa mãn
1 2
1 2
1 1 1
; ; ;
n
n
n n n
i i i
i i i
x
x x
a a a
x x x
= = =
= = =
∑ ∑ ∑
.
1.3 Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh khi chứng minh bất
đẳng thức.
- Học sinh sử dụng sai quy tắc suy luận trong chứng minh bất đẳng thức.

Ví dụ : Cho a, b, c dương. Chứng minh
.
Rất nhiều học sinh làm như sau:
Áp dụng bất đẳng thức
2
2






+
≤
BA
AB
ta có
2
2
2
))(( b
acbcba
acbcba
=







−++−+
≤−+−+
.
( )( )
2
2
2
c
bacacb
bacacb
=






−++−+
≤−+−+
.
( )( )
2
2
2
a
cbabac
cbabac
=







−++−+
≤−+−+
.
Nhân các vế tương ứng ta có đpcm.
Các em đã quên điều kiện là khi nhân các bất đẳng thức cùng chiều này thì
biểu thức ở vế trái phải không âm. Như vậy ta phải xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: a+b-c, b+c-a, c+a-b không âm. Sử dụng kết quả trên
Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học
Nguyễn Sơn Hà
19
( )( )( )
abcbacacbcba ≤−+−+−+
Trường hợp 2: Một trong ba đại lượng a+b-c, b+c-a, c+a-b có ít nhất một đại
lượng âm. Khi đó có đúng một đại lương âm vì tổng hai đại lượng bất kì
dương. Vì vậy (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) < 0 < abc.
- Học sinh quên điều kiện sử dụng bất đẳng thức.
Ví dụ : Chứng minh
( )
4
1
1 ≤− aa
.
Nhiều học sinh trình bày như sau:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi
4
1

)1(
2
1
2
1
1. ≤−⇒=
−+
≤− aa
aa
aa
.
Các em quên rằng không đủ điều kiện để khẳng định a và 1-a không âm. Ta
phải trình bày như sau:
0
2
1
4
1
)1(
2
≥






−⇔≤− aaa
. Bất đẳng thức đúng.
- Ngoài ra, học sinh có thể sai lầm khi sử dụng các phương pháp của

giải tích như ngộ nhận: tích hai hàm đồng biến là hàm đồng biến, hiệu hai
hàm nghịch biến là hàm nghịch biến,
Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học
Nguyễn Sơn Hà
20
CHƯƠNG 2
VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÀM THOẠI PHÁT HIỆN VÀ GIẢI
QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC
2.1. Đề xuất quy trình đàm thoại phát hiện.
Để điều khiển hoạt động của học sinh, vấn đề quyết định là giáo viên
phải tìm được cấu trúc logic của nội dung dạy học. Để vận dụng phương
pháp đàm thoại phát hiện giải quyết vấn đề trong dạy học bất đẳng thức cho
học sinh khá giỏi ta có thể vận dụng theo một quy trình như sau:
Quy trình đàm thoại – phát hiện.
Bước 1: Xác định mối liên hệ giữa các đại lượng hoặc các điều
kiện của biến trong bài toán.
Bước 2: Thiết lập sự tương ứng, mối quan hệ theo phương diện
mới.
Bước 3: Phát biểu bài toán theo phương diện mới.
Bước 4: Chứng minh bất đẳng thức theo phương diện mới.
Quy trình này được vận dụng, minh hoạ trong các mục tiếp theo.
2.2. Đàm thoại phát hiện và giải quyết vấn đề dạy học một số bất đẳng
thức.
2.2.1 Đàm thoại trong các bài dùng tính chất của hàm số lượng giác.
Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học
Nguyễn Sơn Hà
21
Qua nghiên cứu các bài toán chứng minh bất đẳng thức, nhờ tính
chất của hàm số lượng giác và để cụ thể hoá quy trình đã đề xuất ở trên,
chúng tôi đưa ra mô hình gồm các câu đàm thoại theo kiểu sau đây:

- Mối liên hệ giữa các đại lượng trong bài toán được xác định bởi
biểu thức nào ?
- Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua các hàm
số lượng giác như thế nào ?
- Bất đẳng thức cần chứng minh được chuyển về bất đẳng thức lượng
giác nào?
- Chứng minh bất đẳng thức lượng giác này như thế nào?
Một số bài toán minh hoạ
Bài 1.
Cho x
2
+ y
2
=1. Chứng minh
( )
( )
( )
3
5 5 3
16 20 5 2x y x y x y+ − + + + ≤
.
- Mối liên hệ giữa các đại lượng x, y được xác định bởi biểu thức
nào ?
x
2
+ y
2
=1.
- Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua các hàm
số lượng giác như thế nào ?

Đặt
sin , osx y c
α α
= =
.
- Bất đẳng thức cần chứng minh được chuyển về bất đẳng thức lượng
giác nào?
2)cos(sin5)cos(sin20)cos(sin16
3355
≤+++−+ xxxxxx
.
- Chứng minh bất đẳng thức lượng giác này như thế nào?
2)cos5cos20cos16()sin5sin20sin16(
535
≤+−++− xxxxxx
.
Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học
Nguyễn Sơn Hà
22
sin 5 os5 2c
α α
+ ≤
.
Bài 2.
Cho a
2
+ b
2
= 1. Chứng minh bất đẳng thức
1348361520

33
≤−+−
bbaa
.
- Mối liên hệ giữa các đại lượng a, b được xác định như thế nào ?
a
2
+ b
2
=1.
- Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua các hàm
số lượng giác như thế nào ?
Đặt
sin , osx y c
α α
= =
.
- Bất đẳng thức cần chứng minh được chuyển về bất đẳng thức lượng
giác nào?
13cos48cos36sin15sin20
33
≤−+−
xxxx
.
- Chứng minh bất đẳng thức lượng giác này như thế nào?
13cos48cos36sin15sin20
33
≤−+−
xxxx
.

13)cos4cos3(12)sin3sin4(5
33
≤−+−⇔
xxxx
.

133cos123sin5
≤−⇔
xx
.
Áp dụng Bất đẳng thức
22
cos.sin. BAxBxA +≤+
.
ta có
131253cos123sin5
22
=+≤− xx
.
Bài 3.
Cho (a-2)
2
+ (b-1)
2
=5. Chứng minh 2a +b
10
≤
.
- Mối liên hệ giữa các đại lượng a-2 và b-1 được xác định như thế
nào ?

(a-2)
2
+ (b-1)
2
=5.
Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học
Nguyễn Sơn Hà
23
- Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua các hàm
số lượng giác như thế nào ?
Đặt
αα
sin51;cos.52
=−=−
ba
.
- Bất đẳng thức cần chứng minh được chuyển về bất đẳng thức lượng
giác nào?
Trước hết, ta có
αα
sin51;cos.52
+=+=
ba
.
Ta phải chứng minh 2a+b=5 +
10)sin51()cos52(2
≤+++
αα
.
- Chứng minh bất đẳng thức lượng giác này như thế nào?

Áp dụng Bất đẳng thức
22
cos.sin. BABA
+≤+
αα
.
( ) ( )
105525)sin5cos52(5
22
=++≤++
αα
đpcm.
Nhận xét
Áp dụng Bất đẳng thức
22
cos.sin. BABA
+−≥+
αα
ta có kết
quả 2a +b
0
≥
.
Bài 4. Cho a, b
≥
0 thỏa mãn a +b =2.
Chứng minh a
4
+ b
4

≥
a
3
+b
3
.
- Mối liên hệ giữa các đại lượng a, b được xác định như thế nào ?
a + b = 2, a, b
≥
0.
- Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua các hàm
số lượng giác như thế nào ?
Đặt a =2cos
2
α
, b=2sin
2
α
.
- Bất đẳng thức cần chứng minh đựơc chuyển về bất đẳng thức lượng
giác nào?
16(cos
8
α
+ sin
8
α
)
≥

8(cos
6
α
+ sin
6
α
).
- Chứng minh bất đẳng thức lượng giác này như thế nào?
Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học
Nguyễn Sơn Hà
24
2(cos
8
α
+ sin
8
α
) - (cos
6
α
+ sin
6
α
)
≥
0.
cos
6
α
(2cos

2
α
-1) - sin
6
α
(1-2sin
2
α
)
≥
0.
cos2
α
.(cos
6
α
- sin
6
α
)
≥
0.
cos2
α
(cos
2
α
- sin
2
α

).(cos
4
α
+cos
2
α
.sin
2
α
+sin
4
α
)
≥
0.
cos
2
2
α
.(sin
4
α
+sin
2
α
.cos
2
α
+cos
4

α
)
≥
0.
Nhận xét: Ta có thể tổng quát
a
n+1
+ b
n+1

≥
a
n
+b
n
.
2
n+1
(cos
2n+2
α
+ sin
2n+2
α
)
≥
2
n
(cos
2n

α
+ sin
2n
α
).
2(cos
2n+2
α
+ sin
2n+2
α
) - (cos
2n
α
+ sin
2n
α
)
≥
0.
cos
2n
α
(2cos
2
α
-1) - sin
2n
α
(1-2sin

2
α
)
≥
0.
cos2
α
.(cos
2n
α
- sin
2n
α
)
≥
0.
cos2
α
.(cos
2
α
- sin
2
α
).(cos
2n2
α
+ cos
2n4
α

sin
2
α
+ + cos
2
α
sin
2n-4
α
+
sin
2n-2
α
)
≥
0. Bất đẳng thức cuối luôn đúng, ta có đpcm.
Bài 5.
Cho x, y > 0 thoả mãn x + y = 1. Chứng minh
2
1711
4
4
4
4
≥+++
y
y
x
x
.

- Mối liên hệ giữa các đại lượng x, y được xác định như thế nào ?
x + y = 1.
- Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua các hàm
số lượng giác như thế nào ?
Tồn tại a để x= cos
2
a, y = sin
2
a.
- Bất đẳng thức cần chứng minh được chuyển về bất đẳng thức lượng
giác nào?
2
17
sin
1
sin
cos
1
cos
4
4
4
4
≥







++






+
a
a
a
a
.
- Chứng minh bất đẳng thức lượng giác này như thế nào?
Luận văn Thạc sĩ LL&PPDH Toán học
Nguyễn Sơn Hà
25