ĐỀ TÀI: HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 CÁCH PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG

MỤC LỤC
Mục Trang
I. Lý do chọn đề tài 2
II. Cơ sở lí luận 2
1. Đặt vấn đề 2
2. Các biện pháp thực hiện 2
III. Thực trạng trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài 3
1. Thuận lợi 3
2. Khó khăn 3
IV. Nội dung đề tài 3
1. Một số kiến thức liên quan 3
2. Nội dung 4
3. Bài tập rèn luyện 13
V. Kết quả 14
VI. Bài học kinh nghiệm 14
VII. Kết luận 15
VIII. Tài liệu tham khảo 15
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10
1
Tên sáng kiến kinh nghiệm:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 CÁCH PHÂN TÍCH
MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong Hình học lớp 10, chương Vectơ là chương đầu tiên và cũng là phần
kiến thức mới đối với các em học sinh. Ở lớp 10, vectơ được áp dụng để chứng
minh các hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn. Nó cũng là cơ sở để
trình bày phương pháp toạ độ trong mặt phẳng. Ngoài ra, các kiến thức về vectơ
còn được áp dụng trong Vật lý như vấn đề tổng hợp lực, phân tích một lực theo
hai lực thành phần…
Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương là bài toán ngược
của bài toán tính tổng của hai vectơ theo quy tắc hình bình hành, việc phân tích

một vectơ theo hai vectơ không cùng phương còn giúp học sinh giải các bài tập
chứng minh ba điểm thẳng hàng, các bài toán áp dụng trong vật lý… Nó cũng là
một dạng bài tập mới lạ đối với các em lớp 10, tạo nhiều hứng thú đối với các
em yêu thích môn Hình học. Từ thực tế những năm học đã qua, có nhiều em còn
lúng túng khi gặp các bài về dạng này.
Với tư tưởng dạy học sinh không chỉ dạy kiến thức cho các em mà cần dạy
cả phương pháp suy luận, khả năng vận dụng, khả năng kết nối các môn khoa
học, hướng tư duy khái quát. Do đó tôi đã trình bày đề tài HƯỚNG DẪN HỌC
SINH LỚP 10 CÁCH PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ
KHÔNG CÙNG PHƯƠNG
II. CƠ SỞ LÍ LUẬN
1. Đặt vấn đề:
Trong các đợt thi đại học, đã có không ít học sinh thi đạt kết quả cao,
nhưng khi vào học thì kết quả học tập chỉ đạt trung bình, thậm chí không thể học
tiếp. Lí do vì sao? Phải chăng các em không chú ý học? Đó không phải là lý do
chính, quan trọng là các em chưa có phương pháp học tập đúng, khả năng suy
luận, khái quát còn yếu. Do đó vấn đề đặt ra cho người thầy là:
+ Ngoài sự yêu nghề, lòng đam mê bộ môn toán học người thầy phải có
phương pháp tạo ra tình huống có vấn đề cho học sinh từ đó gợi mở sự sáng tạo,
phát triển tư duy của các em.
+ Người thầy không chỉ thường xuyên rèn luyện phẩm chất đạo đức, học
tập để nâng cao trình độ mà còn phải đổi mới về phương pháp, cách truyền đạt
cho học sinh để giúp các em tiếp thu kiến thức mới một cách nhẹ nhàng.
2. Các biện pháp thực hiện:
Để giải quyết những vấn đề trên tôi đề xuất giải pháp sau:
+ Trong các tiết học thông qua các vấn đề hoặc các bài tập trong sách giáo
khoa, người thầy phải cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương
pháp suy luận, khả năng tư duy. Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt để học
sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên. Hướng dẫn học sinh
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

2
khai thác, mở rộng bài toán, biết nhìn bài toán dưới nhiều góc độ giúp học sinh
có khả năng tổng hợp, khái quát hoá các vấn đề.
Để cụ thể hoá điều trên, tôi đã trình bày trong đề tài này: Từ bài tập đơn
giản trong SGK (Bài tập 2, trang 17- SGK Hình Học 10), với cách giải là áp
dụng phương pháp có sẵn, nhưng ta thấy:
* Có nhiều cách trình bày giải khác nhau.
* Từ một bài toán cụ thể ta có thể mở rộng ra những bài toán tổng quát,
nâng cao.
* Kết quả của bài toán này có thể sử dụng để làm bài toán khác.
III. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
CỦA ĐỀ TÀI.
1.Thuận lợi:
- Các em được học “Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng
phương” sau khi đã học các phép cộng, phép trừ hai vectơ, phép nhân một vectơ
với một số và các tính chất của các phép toán đó. Các em so sánh được các phép
toán trên vectơ và các phép toán trên các tập hợp số đã học.
- Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương có áp dụng trong
một số bài toán có nội dung vật lý liên quan đến thực tế.
- SGK, tài liệu tham khảo phục vụ cho việc học tập của các em đầy đủ.
- Đa số các em chăm chỉ học tập, nắm vững những kiến thức cơ bản ở các
lớp dưới và các kiến thức liên quan, chủ động, tích cực trong học tập.
2. Khó khăn:
- “Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương” là một mục nhỏ
trong bài “Tích của vectơ với một số” thời gian học khoảng 10 đến 15 phút. Bài
tập dạng này là bài mới và khó đối với các em mới được học về vectơ, không có
thời gian luyện tập, nhiều em còn lúng túng trong việc tìm cách giải và cách
trình bày bài giải.
- Các bài tập trong SGK còn ít, chưa phát huy được tác dụng rèn luyện kỹ
năng giải bài tập cho HS.

IV. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
1. Một số kiến thức liên quan:
• Quy tắc ba điểm: với 3 điểm A, B, C tùy ý ta có:

AC AB BC
= +
uuur uuur uuur

AC BC BA
= −
uuur uuur uuur
• Quy tắc hình bình hành:
Tứ giác ABCD là hình bình hành thì
AB AD AC
+ =
uuur uuur uuur
• Tính chất của trung điểm của đoạn thẳng:
+ M là trung điểm của đoạn thẳng AB
⇔

0MA MB+ =
uuur uuur r

+M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm O ta có:
2OM OA OB= +
uuuur uuur uuur
• Tính chất trọng tâm của tam giác:
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10
3
+ G là trọng tâm tam giác ABC

⇔
0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
+ Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm O ta có:
3OG OA OB OC= + +
uuur uuur uuur uuur
.
• Điều kiện hai vectơ cùng phương:
( )
, 0a b b ≠
r r r r
cùng phương
:k a k b⇔ ∃ =
r r
, (
k ∈
R).
• Điều kiện ba điểm thẳng hàng:
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng
k⇔ ∃
sao cho
AB k AC=
uuur uuur
, (
k ∈
R).
• Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:
Cho hai vectơ
a
r

và
b
r
không cùng phương. Khi đó mọi vectơ
x
r
đều phân
tích được một cách duy nhất theo hai vectơ
a
r
và
b
r
, nghĩa là có duy nhất cặp số
h, k sao cho
x ha kb= +
r r r
.
• Nếu
,a b
r r
không cùng phương mà
ma kb=
r r
thì m = 0 và k = 0.
• Phương pháp phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: sử
dụng quy tắc ba điểm phối hợp với các tính chất của các phép toán vectơ để biểu
thị vectơ cần biểu diễn theo hai vectơ không cùng phương cho trước.
• Có hai hướng giải:
+ Từ giả thiết của bài toán xác định được tính chất hình học, rồi từ đó khai

triển vectơ cần biểu diễn bằng phương pháp “chèn” điểm theo quy tắc ba điểm.
+ Giả sử đã có một cặp số m, n. Dùng các tính chất đã biết và giả thiết của
bài toán biến đổi về hai vectơ không cùng phương cho trước (hệ vectơ gốc) rồi
dùng điều kiện cùng phương để suy ra m, n.
2. Nội dung :
Hướng dẫn HS phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
qua Bài tập 2, trang 17- SGK Hình Học 10.
Đề bài: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân
tích các vectơ
, ,AB BC CA
uuur uuur uuur
theo hai vectơ
,u AK v BM= =
r uuur r uuuur
.
* Với ý thứ nhất: phân tích vectơ
AB
uuur
theo hai vectơ
,u AK v BM= =
r uuur r uuuur
.
GV: Gọi một học sinh nhắc lại cách phân tích một vectơ theo hai vectơ
không cùng phương. Nêu các hướng giải?
GV: Theo quy tắc ba điểm và giả thiết của bài, vectơ
AB
uuur
có thể phân tích
thành tổng của hai vectơ không cùng phương nào?
TL:

AB AK KB= +
uuur uuur uuur

AB AM MB= +
uuur uuuur uuur

AB AC CB= +
uuur uuur uuur
……….
GV: Gọi một em lên bảng làm bài .
Khi HS hoàn thành bài giải trên bảng, ta bắt đầu sửa lời giải:
Bài giải:
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10
4
C
A
B
M
K
G
Cách 1 :
Theo quy tắc ba điểm ta có:
AB AK KB AK KM MB= + = + +
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur
, mà
1
2
KM AB= −
uuuur uuur
(vì MK là đường trung

bình của tam giác ABC).
Do đó:
1
2
AB AK AB BM= − −
uuur uuur uuur uuuur
1
2
AB AB AK BM⇔ + = −
uuur uuur uuur uuuur
3
2
AB AK BM⇔ = −
uuur uuur uuuur
Hay
2 2
3 3
AB AK BM= −
uuur uuur uuuur

2
( )
3
u v= −
r r
.
GV: Còn cách nào phân tích vectơ
AB
uuur
theo hai vectơ

,AK BM
uuur uuuur
nữa
không? Áp dụng hiệu của hai vectơ ta có cách giải như thế nào?
Cách 2:
Ta có:
2 2AB CB CA BK AM= − = − +
uuur uuur uuur uuur uuuur
2( ) 2( )AB AK AB BM BA⇔ = − − + −
uuur uuur uuur uuuur uuur
3 2 2AB AK BM⇔ = −
uuur uuur uuuur
2 2
3 3
AB AK BM⇔ = −
uuur uuur uuuur
2
( )
3
u v= −
r r
Để rèn luyện tư duy của HS, GV cho nhận xét về vị trí của điểm M và K?
Từ đó suy ra cách giải 3.
Cách 3:
Vì M, K lần lượt là các trung điểm của các cạnh AC và BC, ta có:

2 2 2( )AK AB AC AB AM AB AB BM= + = + = + +
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
3 2 2AB AK BM⇔ = −
uuur uuur uuuur

Hay
2 2
3 3
AB AK BM= −
uuur uuur uuuur

2
( )
3
u v= −
r r
.
GV: Nếu tinh ý hơn, vẫn theo qui tắc ba điểm nhưng nếu sử dụng tính chất
trọng tâm của tam giác ta có cách giải khác như thế nào?
Cách 4:
Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến AK và BM của tam giác ABC.
Theo qui tắc ba điểm, ta có:
2 2
3 3
AB AG GB AK BM= + = −
uuur uuur uuur uuur uuuur

2
( )
3
u v= −
r r
.
Nếu trình bầy bài giải theo hướng thứ hai thì ta làm như thế nào ?
Cách 5: Giả sử đã có cặp số m, n sao cho:

AB mAK nBM= +
uuur uuur uuuur
(1).
Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến AK và BM của tam giác ABC.
Ta có:
2 2
;
3 3
AG AK BG BM= =
uuur uuur uuur uuuur

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10
5
Theo qui tắc ba điểm:
AB AG GB= +
uuur uuur uuur
Do đó (1)
AG GB⇔ +
uuur uuur
3 3 3 3
1 ( 1)
2 2 2 2
mAG nBG m AG n BG
 
= + ⇔ − = − −
 ÷
 
uuur uuur uuur uuur
(2)
Vì

,AG BG
uuur uuur
không cùng phương nên từ (2)
⇒
2
3
1 0
3
2
3 2
1 0
2 3
m
m
n n


=
− =


 
⇔
 
 
− − = = −





Vậy
2 2
3 3
AB AK BM= −
uuur uuur uuuur
2
( )
3
u v= −
r ur
.
Sau khi hướng dẫn HS các cách giải và trình bày ý thứ nhất, GV cho các
em nhận xét và trình bày bài giải vào vở bằng cách ngắn gọn nhất.
* Làm tương tự với ý thứ 2 và 3: phân tích vectơ
,BC CA
uuur uuur
theo hai vectơ
,u AK v BM= =
r uuur r uuuur
GV :Gọi HS trình bầy cách giải và ghi kết quả.
*
BC =
uuur
2 4
3 3
u v= +
r r
*
CA
uuur

4 2
3 3
u v= − −
r r
.
Để học sinh luyện khả năng khái quát. GV có thể hỏi: có một công thức
nào để áp dụng phân tích nhanh một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
cho trước không? Cho HS làm bài toán sau:
Bài toán 1:
Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên đường thẳng BC sao cho
( )
1MB kMC k= ≠
uuur uuuur
. Phân tích vectơ
AM
uuuur
theo hai vectơ
AB
uuur
,
AC
uuur
.
HS dễ dàng tìm ra lời giải của bài toán
Bài giải:
Ta có:
( )
MB kMC AB AM k AC AM= ⇔ − = −
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur

(1 )k AM AB k AC⇔ − = −
uuuur uuur uuur
1
AB k AC
AM
k
−
⇔ =
−
uuur uuur
uuuur

GV: Có nhận xét gì khi k = – 1?
Nếu k = – 1 thì ta có
( )
1
2
AM AB AC= +
uuuur uuur uuur
. Đúng với tính chất trung điểm
của đoạn thẳng.
Ta có thể thay đổi giả thiết của bài toán để được bài toán mới:
Bài toán 2:
Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên đường thẳng BC sao cho
nBM mMC=
uuuur uuuur
. Phân tích vectơ
AM
uuuur

theo hai vectơ
AB
uuur
,
AC
uuur
.
GV: Gọi HS nhận xét giả thiết của bài toán 2 so với bài toán 1; để áp dụng
được công thức của bài toán 1 ta làm thế nào?
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10
6
Bài giải:
Ta có:
nBM mMC=
uuuur uuuur

( ) ( )
n AM AB m AC AM⇔ − = −
uuuur uuur uuur uuuur

( )m n AM nAB mAC⇔ + = +
uuuur uuur uuur
n m
AM AB AC
m n m n
⇔ = +
+ +
uuuur uuur uuur

Nếu áp dụng theo bài toán 1 thì phải đưa

nBM mMC=
uuuur uuuur
về
m
MB MC
n
= −
uuur uuuur
tức là k =
m
n
−
. Khi đó
1
m
AB AC
n
AM
m
n
+
=
+
uuur uuur
uuuur

n m
AM AB AC
m n m n
⇔ = +

+ +
uuuur uuur uuur
.
GV: Như vậy từ hai bài toán trên ta có những nhận xét gì?
- Nếu
( )
1MB kMC k= ≠
uuur uuuur
thì với điểm A bất kì ta có:
1
AB k AC
AM
k
−
=
−
uuur uuur
uuuur
(*)
- Nếu
nBM mMC=
uuuur uuuur
thì với điểm A bất kì ta có
n m
AM AB AC
m n m n
= +
+ +
uuuur uuur uuur
(**)

GV: Gọi HS lên bảng HS làm bài tập áp dụng.
Ví dụ 1: Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm
M sao cho
3MB MC=
uuur uuuur
. Hãy phân tích vectơ
AM
uuuur
theo hai vectơ
AB
uuur
và
AC
uuur
.
Bài giải:
Áp dụng công thức (*),
ta có:
3MB MC=
uuur uuuur
3 3 1
1 3 2 2
AB AC
AM AC AB
−
⇒ = = −
−
uuur uuur
uuuur uuur uuur
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho

2 3IC BI=
uur uur
. Phân tích vectơ
AI
uur
theo hai vectơ
AB
uuur
và
AC
uuur
.
Bài giải:
- Áp dụng công thức (**), ta có:
3 2BI IC=
uur uur
Do đó:
3 2
3 2 3 2
AI AB AC= +
+ +
uur uuur uuur
3 2
5 5
AB AC= +
uuur uuur
.
Chú ý: Với một số bài khi phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng
phương cho trước, ta có thể phải qua một số bước trung gian.
Từ hai bài toán trên, ta có thể lật ngược vấn đề là:

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10
7
Nếu cho tam giác ABC và có một điểm M thoả đẳng thức vectơ
AM AB AC
α β
= +
uuuur uuur uuur
thì điểm M có chắc thuộc đường thẳng BC hay không và cần
thêm điều kiện gì ?
Để giải quyết vấn đề đó ta xét bài toán sau:
Bài toán 3:
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điểm M thuộc đường thẳng BC khi
và chỉ khi tồn tại các số
,
α β
sao cho
1
AM AB AC
α β
α β
+ =



= +


uuuur uuur uuur
Bài giải:
M thuộc đường thẳng BC khi và chỉ khi B, C, M thẳng hàng

:k BM k BC⇔ ∃ =
uuuur uuur
(điều kiện 3 điểm thẳng hàng)
( )
:k AM AB k AC AB⇔ ∃ − = −
uuuur uuur uuur uuur
( )
: 1k AM k AB k AC⇔ ∃ = − +
uuuur uuur uuur
, :
1
AM AB AC
α β
α β
α β

= +

⇔ ∃

+ =


uuuur uuur uuur
(đặt
1 ,k k
α β
= − =
)
các số

,
α β
xác định như trên là duy nhất (đã được chứng minh trong phần
phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương của bài học)
Để rèn luyện kỹ năng phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng
phương , cho HS làm thêm các bài tập.
Bài tập 1:
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm trên các cạnh AB
và CD sao cho
1 1
,
3 2
AM AB CN CD= =
.
a) Phân tích vectơ
AN
uuur
theo hai vectơ
,AB a AC b= =
uuur r uuur r

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác BMN. Hãy phân tích
AG
uuur
theo hai
vectơ
,a b
r r
.
GV: Gọi học sinh vẽ hình, phân tích đề bài để tìm ra cách giải hợp lí nhất

Lưu ý: Nếu giả thiết bài toán cho có trung điểm thì nên kiểm tra cách dùng
tính chất trung điểm của đoạn thẳng trước, sử dụng giả thiết sao cho linh hoạt.
Bài giải:
a) vì N là trung điểm của đoạn CD, nên với điểm A bất kỳ, ta có:

2AN AC AD= +
uuur uuur uuur
;
ABCD là hình bình hành nên:
AB AD AC AD AC AB+ = ⇒ = −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Vậy
2 2AN AC AC AB AC AB= + − = −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10
8
B
M
CD
N
A
G
Do đó:
1 1
2 2
AN AC AB a b= − = − +
uuur uuur uuur r r
b) Vì G là trọng tâm của tam giác MNB, với điểm A bất kỳ, ta có:
1 1 5
3

3 2 6
AG AM AN AB AB AB AC AB AB AC= + + = − + + = +
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Vậy,
5 1 5 1
18 3 18 3
AG AB AC a b= + = +
uuur uuur uuur r r
* Ta có thể tổng quát, mở rộng Bài tập 1 bằng các câu hỏi sau:
c) Gọi I, J lần lượt là các điểm xác định bởi
,BI mBC AJ nAI= =
uur uuur uuur uur
. Hãy
phân tích các vectơ
,AI AJ
uur uuur
theo hai vectơ
,a b
r r
và m, n.
d) Xác định m để AI đi qua G.
Với câu c) HS có thể dễ dàng tìm ra lời giải
Giải c) :Theo qui tắc 3 điểm, ta có:

( )AI AB BI AB mBC AB m AC AB= + = + = + −
uur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur

(1 ) (1 )m AB mAC m a mb= − + = − +
uuur uuur r r
.

Từ giả thiết :
AJ nAI
=
uuur uur
.
Mà
(1 )AI m a mb
= − +
uur r r
Vậy
(1 )AJ n m a nmb
= − +
uuur r r
GV : Gọi HS giải thích yêu cầu của câu d ? Nhắc lại điều kiện để ba điểm
phân biệt thẳng hàng ?
Giải d:
Theo kết quả câu b, ta có:
5 1
18 3
AG AB AC= +
uuur uuur uuur
;
Theo kết quả câu c, ta có:
(1 )AI m AB mAC= − +
uur uuur uuur
Để AI đi qua G thì
,AI AG
uur uuur
cùng phương
Suy ra:

AI k AG=
uur uuur
5 1
(1 )
18 3
m AB mAC k AB k AC⇔ − + = +
uuur uuur uuur uuur

5
6
1
18
11
18
3 11
k
m
m
k
m k


− =
=


 
⇒ ⇒
 
 

= =




Vậy với
6
11
m =
và
18
11
AI AG=
uur uuur
thì AI đi qua G.
Bài tập 2: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là các điểm thoả
2
2 ,
5
AM AB AN AC= =
uuuur uuur uuur uuur
. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
a. Hãy phân tích các vectơ
,MN MG
uuuur uuuur
theo hai vectơ
,AB AC
uuur uuur
.
b.Chứng minh MN đi qua trọng tâm G.

GV: gọi HS vẽ hình, trình bày bài giải trên bảng câu a.
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10
9
Chú ý tìm cách gọn nhất.
Bài giải:
a) Ta có:
2
2
5
MN AN AM AC AB= − = −
uuuur uuur uuuur uuur uuur


1 1 5
( ) 2
3 3 3
MG AG AM AB AC AB AC AB= − = + − = −
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
GV: Khi nào ta có MN đi qua trọng tâm G?
TL: MN đi qua trọng tâm G khi 3 điểm M, N, G thẳng hàng.
GV: Điều kiện để 3 điểm M, N, G thẳng hàng là gì? Ta đã có những gì?
Từ đó suy ra cách giải câu b.
b) Theo kết quả câu a.
ta có:
5 2 10 5 2 10
3 5 6 2 10
MN AC AB MN AC AB
MG AC AB MG AC AB
 

= − = −
 
⇒
 
= − = −
 
 
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
Suy ra:
6
5
MN MG=
uuuur uuuur
hay 3 điểm M, N, G thẳng hàng, tức là MN đi qua G.
Bài tập 3: Cho tam giác ABC, E là trung điểm của cạnh BC. Gọi D, F lần
lượt là các điểm thoả
1
2 ,
3
BE BD CF CD= =
uuur uuur uuur uuur
.
a) Hãy biểu diễn vectơ
AD
uuur
theo hai vectơ
,AB AF
uuur uuur
;

b) Hãy biểu diễn vectơ
AF
uuur
theo hai vectơ
,AB AE
uuur uuur
;
c) Gọi I là trung điểm của AB, J là điểm thỏa
1
2
AJ JC=
uuur uuur
. Hãy biểu diễn
vectơ
IF
uur
theo hai vectơ
,JB JC
uur uuur
.
d) Tìm trên đoạn thẳng IJ một điểm K sao cho A, K, D thẳng hàng.
GV: yêu cầu HS vẽ hình, xác định các điểm trên hình vẽ.Với những câu
nào ta có thể sử dụng công thức (*) hoặc (**)
Gọi HS lên bảng trình bày bài giải. Chú ý cách giải ngắn gọn.
Bài giải:
a) Theo qui tắc 3 điểm, ta có:
( )
1 1 2 1
3 3 3 3
AD AB BD AB BF AB AF AB AB AF= + = + = + − = +

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10
10
A
B
C
I
J
D E
F
A
B
C
M
N
G
-Chú ý : Nếu muốn áp dụng công thức (**), ta cần biến đổi giả thiết
1
2 ,
3
BE BD CF CD= =
uuur uuur uuur uuur
suy ra
1
2
DB DF= −
uuur uuur
Vậy theo công thức (**), ta có:
1
2

1
1
2
AB AF
AD
+
=
+
uuur uuur
uuur
2 1
3 3
AB AF= +
uuur uuur
.
b) Làm tương tự câu a) ta có thể trình bày lời giải theo công thức hoặc theo
qui tắc 3 điểm:
Ta được kết quả:
1 3
2 2
AF AB AE= − +
uuur uuur uuur
.
GV: Với câu c) ta có làm tương tự được không? vì sao? Với giả thiết của
đề bài thì vectơ
IF
uur
có thể phân tích thành tổng của những vectơ nào là hợp lí
nhất ?
TL : Ta chưa thể áp dụng công thức ngay được vì giả thiết của câu c) chưa

có dạng giả thiết của bài toán 1 hoặc 2.
c) Ta có:
( ) ( )
1 3 1 1 3 1
2 2 4 2 2 4
IF IA AC CF AB JC CB AJ JB JC JB JC= + + = − + + = − + + + −
uur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uur uuur

1 1 3 1
2 4 2 4
JC JB JC JB JC= − − + = − +
uuur uur uuur uur uuur
.
GV: Gọi HS phân tích câu d) : K nằm trên IJ ta có gì ?
Ba điểm A, K, D thẳng hàng ta có gì?
( )
AD nAK n AI IK= = +
uuur uuur uur uur
nhận xét hệ số của
,AI IK
uur uur
trong trường hợp này bằng nhau;
Như vậy bài toán đưa về phân tích vectơ
,AD theo AI IK
uuur uur uur
, rồi từ đó suy ra
hai hệ số của chúng bằng nhau.
d) Ta có :
K nằm trên IJ
IK mIJ⇒ =

uur uur
Ba điểm A, K, D thẳng hàng
( )
AD nAK n AI IK⇒ = = +
uuur uuur uur uur
(1)
Từ giả thiết
2BE BD= ⇒
uuur uuur
D là trung điểm của BE, ta có:

1 3 1
2 ( )
2 2 2
AD AB AE AB AB AC AB AC= + = + + = +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

( )
3 3 9 3
3 3
2 2 2 2
AI AJ AI AI IJ AI IJ= + = + + = +
uur uuur uur uur uur uur uur

( )
9 3
2
2 2
9 3
2

4 4
AD AI IK
m
AD AI IK
m
= +
⇒ = +
uuur uur uur
uuur uur uur
Từ (1) và (2) suy ra:
9 3 1
4 4 3
m
m
= ⇒ =
.
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10
11
Vậy với điểm K nằm trên IJ sao cho
1
3
IK IJ=
uur uur
thì ba điểm A, K, D thẳng
hàng.
Ngoài việc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương giúp
các em làm các bài tập chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta còn thấy nó được
ứng dung trong một số bài toán có nội dung vật lý như bài tập sau:
Bài tập 4:
Một giá đỡ được gắn vào tường (như hình vẽ). Tam giác ABC vuông cân ở

đỉnh C. Người ta treo vào điểm A một vật nặng 5N. Hỏi có những lực nào tác
động vào bức tường tại hai điểm B và C?
GV: Gọi HS nhận xét lực sinh ra
bởi vật treo tại điểm A có thể phân
tích thành những lực thành phần
nào? Theo qui tắc nào?
Bài giải:
Theo hình vẽ
Tại điểm A có lực kéo
F
ur
hướng
thẳng đứng xuống dưới với cường độ 5N.
Ta có
F
ur
=
1
F
uur
+
2
F
uur
với 2 vectơ
1
F
uur
và
2

F
uur
lần
lượt nằm trên hai đường thẳng AC và AB.
Vì tam giác ABC vuông cân tại C
nên
1
F F=
uur ur
và
2
. 2F F=
uur ur
.
Vậy có một lực ép vuông góc với bức tường tại điểm C và một lực kéo bức
tường tại điểm B theo hướng
BA
uuur
với cường độ
5 2N
.
Với một số em ham học hỏi và những học sinh giỏi, GV mở rộng thêm:
phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương không chỉ giúp các em
làm bài tập chứng minh ba điểm thẳng hàng trong mặt phẳng mà nó còn được
áp dụng trong không gian ở lớp 11; điều đó được thể hiện qua bài tập sau:
Bài tập 5:
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10
12
5N
C

A
B
1
F
uur
F
ur
C
A
B
2
F
uur
Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M, N
sao cho
( )
, 1AM k AB DN kDC k= = ≠
uuuur uuur uuur uuur
.
a. Hãy biểu diễn vectơ
MN
uuuur
theo hai vectơ
,AD BC
uuur uuur
;
b. Gọi P, Q, I lần lượt là các điểm thuộc AD, BC, MN sao cho
, ,AP AD MI MN BQ BC
λ λ λ
= = =

uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
. Chứng minh rằng P, Q, I thẳng hàng.
Bài giải:
a. Lấy điểm O bất kì, ta có:

OM OA AM OA k AB= + = +
uuuur uuur uuuur uuur uuur

( )
1 k OA kOB= − +
uuur uuur
.
Tương tự:

( )
1ON k OD kOC= − +
uuur uuur uuur
.
Suy ra:
MN ON OM= − =
uuuur uuur uuuur
( )
1 k OD kOC− +
uuur uuur
( )
1 k OA kOB
 
− − +
 
uuur uuur

( )
1MN k AD BC= − +
uuuur uuur uuur
b. Làm tương tự câu a. Ta có:
( )
1PI AM DN
λ λ
= − +
uur uuuur uuur
( )
1PQ AB DC
λ λ
= − +
uuur uuur uuur
Vậy
( )
1PI k AB k DC k PQ
λ λ
= − + =
uur uuur uuur uuur
Suy ra 3 điểm P, Q, I thẳng hàng.
Sau khi học và hoàn thành các bài tập, giáo viên cho một số bài tập để các
em rèn luyện, có thể giới thiệu cho các em một số tài liệu tham khảo hoặc những
bài toán hay và tổng quát để các em tham khảo và thử sức của mình.
3.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác D là điểm đối xứng
của B qua G. Hãy phân tích các vectơ
,AB AC

uuur uuur
theo hai vectơ
AG
uuur
và
AD
uuur
.
Bài 2: Cho hình vuông ABCD. E là trung điểm của CD. Hãy phân tích
uuur
AE
theo hai vectơ
uuur
AD
và
uuur
AB
.
Bài 3: Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, P sao cho:
= = − + =
uuuur uuuur uuur uuur uuur uur r
MB 3 MC , NA 3NC, PA PB 0
.
a. Hãy tính
uuur uuur
PM , PN
theo hai vectơ
uuur
AB
và

uuur
AC
.
b. Chứng minh M, N, P thẳng hàng.
Bài 4: Cho tam giác ABC có trung tuyến AD. Xét hai điểm M, N cho bởi
= =
uuuur uuur uuur uuur
1 1
AM AB , AN AC
2 4
. Tìm điểm H thuộc AD sao cho ba điểm M, H, N
thẳng hàng.
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10
13
D
C
P
N
A
B
Q

I
M
Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD. F là trung điểm cạch CD. E là điểm xác
định bởi
=
uuur uuur
AB 2 EA
.

a. Hãy phân tích vectơ
EF
uuur
theo hai vectơ
AB
uuur
và
AC
uuur
.
b. Gọi G là trọng tâm tam giác BEF. Phân tích vectơ
DG
uuur
theo hai vectơ
AB
uuur
và
AD
uuur
.
c. BG cắt AF tại J. Tính tỉ số
BJ
BI
.
Bài 6: Cho tam giác ABC. Gọi D và I là các điểm xác định bởi các đẳng
thức vectơ:
− = + − =
uuur uuur r uur uur uur r
3DB 2 DC 0, IA 3IB 2IC 0
.

a. Phân tích vectơ
AD
uuur
theo hai vectơ
AB
uuur
và
AC
uuur
.
b. Chứng minh ba điểm A, I, D thẳng hàng.
c. Gọi M là trung điểm của AB. Hãy xác định điểm N trên AC sao cho ba
đường thẳng AD, BC, MN đồng quy.
Bài 7: Cho điểm M nằm trên đường thẳng AB, N nằm trên đường thẳng
CD sao cho
,nAM mMB nCN mND= =
uuuur uuur uuur uuur
. Chứng minh rằng:
n m
MN AC BD
m n m n
= +
+ +
uuuur uuur uuur
Gợi ý: Từ
nAM mMB=
uuuur uuur
biến đổi về
n m
OM OA OB

m n m n
= +
+ +
uuuur uuur uuur

nCN mND=
uuur uuur
biến đổi về
n m
ON OC OD
m n m n
= +
+ +
uuur uuur uuur
Suy ra điều cần chứng minh.
V. KẾT QUẢ
Sau khi hướng dẫn các em các cách phân tích một vectơ theo hai vectơ
không cùng phương, thì việc làm bài tập dạng này và các bài dạng chứng minh
đẳng thức vectơ, chứng minh ba điểm thẳng hàng đối với các em không còn
lúng túng và kết quả bài kiểm tra của các em có tiến bộ rõ rệt.
Cụ thể: Kết quả khảo sát khi cho các em làm bài kiểm tra 45 phút và 15
phút của ba lớp 10 như sau:
Lớp
Trước khi thực hiện giải pháp Sau khi thực hiện giải pháp
Bài 15 phút Bài 45 phút Bài 15 phút Bài 45 phút
10A8 75 % 68 % 85 % 82 %
10A10 70 % 63 % 83 % 87 %
10D1 63 % 53 % 78 % 80 %
VI. BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Để nâng cao chất lượng môn toán nói chung và phần Hình học nói riêng,

cần có sự phối hợp giữa thầy và trò. Thầy hướng dẫn, gợi ý, trò phân tích tìm
hiểu, để tìm hướng đi. Sau mỗi bài học và giờ luyện tập giáo viên cho các em rút
ra những vấn đề cơ bản của bài học hoặc những dạng bài đã làm, dạng tổng quát
(nếu có), có thể mở rộng bài toán theo những hướng khác nhau và cho thêm bài
theo từng dạng để các em hình thành kỹ năng giải của từng dạng toán.
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10
14
Điều quan trọng nhất vẫn là sự cố gắng học tập của các em. Không ai có
thể thay thế cho các em được. Bản thân các em phải xác định đúng động cơ học
tập, có ý thức tự giác, ham học hỏi, có tinh thần vượt khó, xây dựng cho mình
phương pháp học tập khoa học, học kỹ lý thuyết trước khi làm bài tập.
Bên cạnh đó là sự gần gũi với học sinh, để các em không ngại khi cần trao
đổi những vấn đề mình chưa hiểu. Hãy cố gắng khơi dậy sự tự tin trong mỗi em
học sinh, ta sẽ tạo điều kiện cho các em đạt tới nhiều đỉnh cao trong học tập.
VII. KẾT LUẬN
Bài toán phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương là dạng
bài phong phú và đa dạng. Từ một bài toán đơn giản trong SGK ta đã thấy có
nhiều cách trình bày lời giải, ở mỗi cách đều có thể nêu ra hướng tư duy để dẫn
đến cách giải đó. Từ bài toán với các giá trị cụ thể, ta có thể rút ra bài toán tổng
quát, mở rộng bằng cách sử dụng kết quả của nó để làm bài dạng chứng minh ba
điểm thẳng hàng.
Với nội dung đề tài trên, tôi đã thực hiện trong thời gian khoảng 3 tiết đối
với ba lớp 10A8, 10A10 và 10D1 vào các giờ tự chọn và bước đầu tạo được
hứng thú cho học sinh. các em đã thể hiện được khả năng tư duy, phát triển khả
năng sáng tạo. Tuy nhiên thời gian dành cho phần học này còn ít, các em luyện
tập không được nhiều, do đó việc hướng dẫn các em cách học, phương pháp giải
bài tập là rất quan trọng.
Tri thức là vô hạn, trên đây chỉ là một ví dụ nhỏ về cách hướng dẫn học
sinh lớp 10 phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. Do thời gian
làm có hạn nên tôi chưa khai thác hết được các cách phân tích một vectơ theo

hai vectơ không cùng phương và các ứng dụng của nó. Rất mong được sự giúp
đỡ và góp ý chân tình của quý thầy cô và các em học sinh.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
VIII. TÀI LIỆU THAM KHẢO
-Sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Hình Học lớp 10 – Nhà xuất
bản giáo dục, năm 2006.
-Toán nâng cao Hình Học 10. Tác giả: Nguyễn Minh Hà (chủ biên) –
Nguyễn Xuân Bình – Nhà xuất bản giáo dục - 2003.
-Tìm tòi các lời giải khác nhau của bài toán Hình Học 10 như thế nào? –
PGS Nguyễn Văn Lộc (chủ biên) cùng cộng sự – Nhà xuất bản Đại học Quốc
gia Hà Nội - 2008.
-Bài tập cơ bản và nâng cao Hình Học 10. Tác giả: Xuân Thu,
Nguyễn Văn Quí, Phan Văn Đức, Nguyễn Hoàng Khanh. Nhà xuất bản
Đà Nẵng - 2002.
-Phương pháp giải toán vectơ . Tác giả: Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc-
Lê Hữu Trí - Nhà xuất bản Hà Nội - 2005
Biên Hoà, ngày 25 tháng 5 năm 2012
Người thực hiện
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10
15
Nguyễn Thị Quyên
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10
16