Sưu tầm bài toán hay về hình học không gian oxyz

SƯU TẦM BÀI TOÁN HAY VỀ HÌNH HỌC KHÔNG
GIAN OXYZ
Tìm tọa độ điểm
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;3; 2), B(3; 2; 1) và mặt phẳng (P) : x + 2y +
2z −11 = 0. Tìm điểm M trên (P) sao cho MB = 2
√
2 và

MBA = 30
o
.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + y −z + 1 = 0 và đường thẳng
d :
x −2
1
=
y −1
−1
=
z −1
3
cắt nhau tại điểm I. Gọi ∆ là đường thẳng nằm trong (P), ∆ vuông góc với
d, khoảng cách từ I đến ∆ bằng 3
√
2. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm I trên ∆.
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 0; 0), B(0; −1; −1), mặt phẳng (P) : x + 2y + z + 3 = 0,
đường thẳng d :
x + 1
2
=
y −1

1
=
z
1
. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho góc giữa hai mặt
phẳng (ABM) và (P) bằng cosφ =
1
6
.
Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x −y +z +1 = 0 và hai điểm A(8;−7; 4), B(−1; 2; 2).
Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
Bài 5: Trong không gian tọa độ Ox yz, cho cá điểm A(−3;−1; −4), B(−3; −5; −4) và mặt phẳng (P);x −
y −z+ 1 = 0. Tìm tọa độ thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC có diện tích 2
√
17.
Bài 6: Trong hệ tạo độ Oxyz, cho điểm A(0; 2; −1), B(
1
2
; 0; 3) và mặt phẳng (P) : 2x −y −z −4 = 0. Viết
phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P). Tìm tọa độ điểm C trên giao tuyến của (P)
và (Q) sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Bài 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : x −2y + 2z −1 = 0 và cá đường thẳng
(d
1
) :
x −1

2
=
y −3
3
=
z
2
và (d
2
) :
x −5
6
=
y
4
=
z + 5
−5
. Tìm các điểm thuộc M ∈d
1
; N ∈d
2
sao cho MN song
song với (P) và cách (P) một khoảng bằng 2.
Bài 8: Trong không gian với hệ tọa đô Oxyz, cho hình thoi ABCD với A(−1; 2; 1), B(2; 3; 2). Tìm tọa độ các
đỉnh C, D biết tâm I của hình thoi thuộc đường thẳng d :
x + 1
−1
=
y

−1
=
z −2
1
.
Bài 9: Trong không gian với hệ tọa đô Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x−2y−z−5 = 0 và hai điểm A(3; −1; −3), B(5;1; 1).
Tìm tọa độ điểm C thuộc (P) sao cho mặt phẳng (ABC) vuông góc với (P) và diện tích tam giác ABC bằng
√
3.
Bài 10: Trong không gian với hệ tọa đô Oxyz, cho mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
−x −4y −2 = 0 cà hai điểm
A(3; −5; 2), B(7; −3; −2). Tìm điểm M trên (S) sao cho biểu thức MA
2
+ MB
2
có giá trị nhỏ nhất.
Bài 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; −2), B(3; −1; −4), C(−2; −2; 0). Tìm
điểm D trong mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách
từ D đến mặt phẳng (Oxy) bẳng 1.
Bài 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x −y −z +1 = 0 và các đường thẳng
d :
x + 3
2
=
y

−1
=
z −7
2
; d
1
:
x
1
=
y −2
2
=
z −1
1
; d
3
:
x −1
1
=
y
1
=
z −3
2
. Tìm M ∈ d
1
, N ∈ d
2

sao cho MN
song song với (P) đồng thời với d một góc α có cos α =
1
√
3
.
Bài 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; −4;−5), B(2; 0; −1) và mặt phẳng (P) :
x + y + z + 3 = 0. Tìm tạo độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho mặt phẳng (MAB) vuông góc với (P) và
MA
2
−2MB
2
= 36.
1
Bài 14: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; −1; 0), đường thẳng d :
x −2
1
=
y −1
−2
=
z
−1
và mặt phẳng
(P) : x +y + z −3 = 0. Gọi B là giao điểm của d và (P). Tìm tọa độ điểm C thuộc (P) sao cho tam giác ABC
vuông tại B và AC =
√
230.
Bài 15: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(4;0; 0), B thuộc mặt phẳng Oxy, C thuộc tia Oz.
Gọi G là trọng tâm tam giác AOB. Tìm điểm M thuộc AC sao cho OM ⊥GM, biết rằng OB = 8,


AOB = 60
o
,
thể tích khối chóp OABC bằng 8 và B có hoành đô và tung độ dương.
Bài 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; −1; 2) và hai đường thẳng d
1
:
x
2
=
y −1
1
=
z −1
1
; d
1
=
x −1
1
=
y −1
−1
=
z −2
1
. Tìm tọa độ B thuộc d
1
, C thuộc d

2
sao cho BC nằm trong mặt phẳng
chứa A,d
1
, đồng thời AC = 2AB và B có hoành độ dương.
Bài 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 1; 0) và hai đường thẳng d
1
:
x −1
1
=
y −3
−1
=
z −1
−1
, d
2
=
x −1
−1
=
y + 3
2
=
z −2
−3
. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d
1
và d

2
đồng thời cách
M một khoảng bẳng
√
6.
Bài 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x+y+z+3 = 0 và hai điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9).
Tìm trên mặt phẳng (P) điểm M sao cho |
−→
MA +
−→
MB| đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các đường thẳng d
1
:
x −1
1
=
y
1
=
z −3
2
; d
2
=
x
1
=
y −2
2

=
z −1
1
;
x −3
−2
=
y + 2
1
=
z
1
. Tìm tọa đô điểm P thuộc d
1
và điểm Q thuộc d
2
sao cho đường thẳng
PQ vuông góc với d
3
với độ dài PQ nhỏ nhất.
Bài 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho cá đường thẳng d
1
:
x −1
1
=
y
1
=
z −3

2
; d
2
:
x
1
=
y −2
2
=
z −1
1
; d
3
:
x −3
−2
=
y + 2
1
=
z
1
. Tìm tọa độ điểm P thuộc d
1
và điểm Q thuộc d
2
sao cho đường thẳng PQ
vuông góc với d
3

và độ dài PQ nhỏ nhất.
Bài 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 1), đường thẳng ∆ :
x + 1
1
=
y
1
=
z
1
và đường
thẳng (P) : x + 2y +z = 1. Tìm trên đường thẳng ∆ hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại A và có
trọng tâm G nằm trên mặt phẳng (P).
Bài 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
= 1 , mặt phẳng (P) : z = 0 và
hai điểm A(−1;1; 0), B(0; 0; 2). Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC cân tại C và
có trọng tâm G nẳm trên mặt cầu (S).
Bài 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC vuông tại C,

BAC = 30
o
, AB = 2
√
2, đường
thẳng AB có phương trình

x −3
1
=
y −4
1
=
z + 8
−4
, đường thẳng AC nằm trên mặt phẳng α : x + z −1 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng đỉnh B có hoành độ dương.
Bài 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; 1), B(3; 2; 4) và mặt phẳng (α) :
x + 5y −2z −5 = 0. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (α) sao cho MA ⊥AB và d(A, MB) =

330
31
.
Bài 25: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) , mặt phẳng (P) : x −2y + 3z −4 = 0 và đường thẳng
(d) :
x −2
1
=
y −1
−2
=
z −3
2
. Tìm tọa độ điểm M trên d sao cho góc giữa hai đường thẳng AM và d bằng
45
o
.

2
Phương trình đường thẳng
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho các mặt phẳng (P): 3x+12y-3z-5=0, (Q) : 3x −4y +9z + 7 = 0 và các
đường thẳng:
d
1
:
x + 5
2
=
y −3
−4
=
z + 1
3
; d
2
:
x −3
−2
=
y + 1
3
=
z −2
4
.
Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với (P) và (Q); cắt cả d
1
và d

2
.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương tr ình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
(P) : x −2y −z + 1 = 0 đồng thời d cắt hai đường thẳng
d
1
:
x −1
1
=
y −1
2
=
z −1
1
; d
2
:
x −3
1
=
y −2
3
=
z −1
2
.
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :
x
1

=
y
1
=
z −1
−1
và măt phẳng (P) :
2x + y−2z −3 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với (P), cắt trục hoành và đường thẳng d.
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;−3; 0), B(1; 1; 1) và hai đường thẳng d
1
:
x + 1
2
=
y −1
3
=
z
1
, d
2
:
x
3
=
y
−1
=
z −1
2

. Viết phương trình đường thẳng d biết d cắt d
1
, d
2
lền lượt tại M, N
sao cho tam giác ANB vuông tại B và thể tích tứ diện ABMN bằng
1
3
.
Bài 5: Trong không gian vớ hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; −5; −6) và đường thẳng ∆ =
x −1
2
=
y + 2
1
=
z + 1
−3
. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt ∆ tại B sao cho AB =
√
35.
Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 3; 2) và đường thẳng ∆ :
x −1
2
=
y + 1
−3
=
z −2
−1

.
Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt và vuông góc với (∆).
Phương trình mặt phẳng
Bìa 1: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(4, 0, 0) và M(6; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi
qua A và M sao cho (P) cắt Oy, Oz lần lượt tại B, C về thể tích tứ diện OABC bằng 4.
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1;-1), B(1;1;2) và C(-1;2;-1) và mặt phẳng (P) đồng thời
cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB=2IC. Viết phương trình mặt phẳng (α).
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(1;-2;0), vuông
góc với mặt phẳng (P): x-y-2x+3=0 và tạo thành với trục tung một góc lớn nhất.
Bài 4: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua O, vuông góc với mặt phẳng(Q):
x+y+z=0 và cách điểm M(1;2;-1) một khoảng bằng
√
2.
Bài 5: Tronh không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) :
x −1
1
=
y −2
2
=
z −1
−1
và mặt phẳng
(Q) : x + 2y +2z −5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho góc giữa hai mặt
phẳng (P) và mặt phẳng (Q) là nhỏ nhất.
Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm K(1;3; 2) và mặt phẳng (P) : x + y + z −3 = 0.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua K, song song với mặt phẳng (Oyz) và tạo với (P) một góc α có
tan α =
√
2.

Bài 7 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 3x-2y+z-1=0 và (Q): x+y+2z-2=0.
Viết phương trình mặt phẳng (P’) đối xứng mặt phẳng (P) qua mặt phẳng (Q).
3
Bài 8: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) : x
2
+y
2
+z
2
−10x +2y + 26x −113 = 0 và hai đường thẳng
(d
1
) :
x + 5
2
=
y −1
−3
=
z + 13
2
và d
2
:





x = 7 + 3t

y = −1 −2t
z = 8
. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt
cầu (S) song song với d
1
, d
2
.
Phương trình mặt cầu
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, chô hai mặt phẳng (α) : x + y −z = 0, (β ) : x −2y −2z = 0.
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc (α), có bán kính bằng 3, tiếp xúc với (β ) tại M, biết rằng M
thuộc (Oxz).
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc mặt phẳng (Q):
2x+3y-2z+1=0, giao của mặt phẳng (P): x-y-z+6=0 với mặt cầu (S) là đường tròn có tâm H(-1;2;3) và bán
kính bằng r=8.
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(0;0;3); B(0;1;0); C(-2;0;0). Viết
phương rình mặt cầu (S) có tâm là H( H là trực tâm tam giác ABC) và tiếp xúc với trục Ox.
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc mặt phẳng (P):
x+y-z-3=0. Biết rằng (S) đi qua (1;5;4) và tiếp xúc với đường thẳng ∆





x = 5 −3t
x = 4 + 4t
z = 1
tại B(5;4;1).
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d :
x

2
=
y
−1
=
z −1
−2
và ∆ =
x
1
=
y −1
1
=
z −2
−2
. Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc d, cắt ∆ tại 2 điểm A, B sao cho tam giác IAB là tam giác
vuông và AB = 2
√
11.
Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d :
x + 2
1
=
y −1
−1
=
z −2
2
và hai mặt phẳng

(P) : x +2y +2z + 3 = 0, (Q) : x −2y −2z +7 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp
xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :
x −1
2
=
y −1
1
=
z
−1
cắt mặt phẳng
(P) : x + 2y + z −6 = 0 tại điểm M. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng d và tiếp xúc
với mặt phẳng (P) tại điểm A, biết diện tích tam giác IMA bằng 3
√
3 và tâm I có hoành dộ âm.
Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), mặt phẳng (P) có phương
trình z +
√
5 = 0 và mặt cầu (S) có phương trình x
2
+ y
2
+ z
2
−2x −4 = 0. Lập phương trình mặt cầu (S

)
có tâm thuộc (S) , đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với (P).
Bài 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

x
2
=
y −1
1
=
z + 1
2
và hai mặt phẳng
(P
1
) : x + 2y −2z + 5 = 0, (P
2
) : 2x −y +z + 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu tâm I thuộc d và tiếp xúc với
hai mặt phẳng (P
1
), (P
2
).
Bài 10: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng ∆ :
x −1
2
=
y + 2
−1
=
z
3
và mặt phẳng (P): 2x-y-3z-4=0.
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc ∆ và bán kính bằng 3 đồng thời cắt mặt phẳng (P) theo một

hình tròn có diện tích bằng
55π
7
.
4