cây và đồ thị cây toán rời rạc

Đỗ Văn Anh – KHMT3.K8
Nhóm 6
1
•
Đồ thị và cây
2
•
Các khái niệm cơ bản về đồ thị
3
•
Biểu diễn và bậc đồ thị
4
•
Đường đi Euler, đường Hamilton
Đồ thị và cây
Đồ thị đơn cạnh
Đơn đồ thị: G = (V, E)
V: một tập hợp không rỗng của các đỉnh.
E: tập các cặp đỉnh (tức các cạnh) không-thứ-tự.
 Các cạnh nối (connect) các đỉnh lại với nhau.
 Giữa 2 đỉnh chỉ có đúng 1 cạnh.
Đỗ Văn Anh – KHMT3.K8
Đồ thị đa cạnh
Đa đồ thị: G = (V, E)
E: cho phép nhiều cạnh nối một cặp đỉnh.
Đỗ Văn Anh – KHMT3.K8
Đồ thị “giả”
Giả đồ thị: G = (V, E)
E: cho phép lặp (loop) tại các đỉnh.
(Còn gọi là chứa các khuyên)
Đỗ Văn Anh – KHMT3.K8

Đồ thị có hướng
Directed graph: G = (V, E)
V: một tập hợp không rỗng của các đỉnh.
E: tập các cặp đỉnh có-thứ-tự.
 Cạnh nối 2 đỉnh gọi là cung (arc).
Đỗ Văn Anh – KHMT3.K8
Đỗ Văn Anh – KHMT3.K8
Bậc của đỉnh
Chương 4
Đỗ Văn Anh – KHMT3.K8
Một số thuật ngữ cơ bản
Đồ thị vô hướng:
Cho G = (V, E) là đồ thị vô hướng và e =(u,v)∈E
u và v gọi là 2 đỉnh liền kề (adjacent).
e gọi là cạnh nối (cạnh kề: incident) của u và v.
u và v gọi là điểm cuối của e.
 Bậc (degree) của đỉnh là số các cạnh nối với nó.
 Kí hiệu: deg(e) = …
Bậc của đỉnh – Ví dụ
Đỗ Văn Anh – KHMT3.K8
Điểm “bị treo”
( )
Điểm
“cô lập”
(
)
Đỗ Văn Anh – KHMT3.K8
Một số thuật ngữ cơ bản
Đồ thị có hướng:
Cho G = (V, E) là đồ thị có hướng và e =(u,v)∈E

u gọi là nối tới v, v gọi là được nối từ u.
u gọi là đỉnh đầu, v gọi là đỉnh cuối.
Khi đó:
deg−(u): bậc “vào” (in-degree) của u.
deg+(u): bậc “ra” (out-degree) của u.
Bậc của đỉnh – Ví dụ
Đỗ Văn Anh – KHMT3.K8
Đỗ Văn Anh – KHMT3.K8
Bậc của đỉnh – Định lý
Định lý 1:
Cho G = (V, E) là đồ thị vô hướng:
2E =∑deg(v)
v∈V
(Handshaking theorem)
Một đồ thị luôn có 1 số chẵn các đỉnh bậc lẻ.
Lưu ý: định lý 1 đúng ngay cả khi đồ thị là đa
cạnh hoặc có chứa khuyên.
Đỗ Văn Anh – KHMT3.K8
Bậc của đỉnh – Định lý
Định lý 2:
Cho G = (V, E) là đồ thị có hướng:
|E|= =∑deg-(v)==∑deg+(v)
v∈V
Một số dạng đồ thị đặc biệt
1. Đồ thị đầy đủ (complete): n đỉnh
Mỗi cặp đỉnh đều có đúng 1 cạnh nối. Kí hiệu: Kn.
Đỗ Văn Anh – KHMT3.K8
Một số dạng đồ thị đặc biệt
2. Đồ thị chu trình (cycle - vòng): n ≥ 3 đỉnh
 Kí hiệu: Cn.

Đỗ Văn Anh – KHMT3.K8
Một số dạng đồ thị đặc biệt
3. Đồ thị bánh xe (wheel): n ≥ 3 đỉnh và 1 đỉnh ở
giữa nối với các đỉnh kia.
Kí hiệu: Wn.
Đỗ Văn Anh – KHMT3.K8
Một số dạng đồ thị đặc biệt
4. Đồ thị hình sao(star): n ≥ 3 đỉnh và 1 đỉnh ở
giữa nối với các đỉnh kia.
Kí hiệu: Sn.
Đỗ Văn Anh – KHMT3.K8
Một số dạng đồ thị đặc biệt
5. Đồ thị dạng khối n chiều : n-cube.
 Kí hiệu: Qn.
Đỗ Văn Anh – KHMT3.K8
Q3
Q2
Đồ thị phân đôi
Bipartite graph:
Các đỉnh của 1 đồ thị chia làm 2 tập con.
Mỗi cạnh nối 1 đỉnh từ tập này đến 1 đỉnh ở tập kia.
Ví dụ:
Quan hệ hôn nhân trong một làng, gồm 2 tập con là
phái nam và phái nữ.
Quan hệ “gán” giữa danh sách các công việc và danh
sách các nhân viên.
Đỗ Văn Anh – KHMT3.K8
Đỗ Văn Anh – KHMT3.K8
Đồ thị phân đôi
Định nghĩa: G = (V, E)

 V =V1∪V2,V1,V2 ≠∅ và V1∩V2 =∅
 (u,v)∈E,u∈V1,v∈V2
Đỗ Văn Anh – KHMT3.K8
Đồ thị phân đôi
Đồ thị phân đôi đầy đủ (complete bipartite):
G = (V, E) là phân đôi đầy đủ nếu
G là đồ thị phân đôi.
∀u∈V1,v∈V2,(u,v)∈E
 Kí hiệu:
Km,n với |V1| = m, |V2| = n
K3,3
K3,4
Đồ thị phân đôi
Đỗ Văn Anh – KHMT3.K8
K12,12
Đỗ Văn Anh – KHMT3.K8
Đồ thị đều
Regular graph: đồ thị đơn được gọi là đều nếu
deg(u) = deg(v),∀u,v∉V
Đỗ Văn Anh – KHMT3.K8
= V, E
Đồ thị bù
Complementary graph:
Cho đồ thị đơn G = (V, E). Đồ thị bù G = (W,F))
của G được định nghĩa như sau:
W =V
F ={(u,v)|u∈V ∧v∈V ∧(u,v)∉E}
Ví dụ:
G
G

Đỗ Văn Anh – KHMT3.K8
Tạo đồ thị mới từ đồ thị cũ
Đồ thị con (subgraph) của G = (V, E) là đồ thị
H = (W, F), trong đó W⊆V, F⊆E.
Cho 2 đồ thị G1 = (V1,E1) và G2 = (V2,E2)
Định nghĩa G1 ∪G2 = (V1 ∪V2,E1 ∪E2)