Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12

KỲ THI TOÀN QUỐC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM 2009

MÔN: TOÁN 12 (THPT)
THỜI GIAN: 150 PHÚT
NGÀY THI: 13/03/2009


Câu 1: Tính nghiệm giá trị của hàm số sau tại
0,5x 
:

3
2
2 sin 1
()
ln( 3)
xx
fx
xx




Câu 2: Tìm tọa độ giao điểm của của đồ thị hai hàm số
2
75y x x  
và
2
8 9 11
1
xx

y
x




Câu 3: Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
42y x x x   
đi qua
điểm
(1; 4)A 

Câu 4: Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

1 5 2y x x   

Câu 5: Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình:
2 3 7
4 9 25
xy
xy








Câu 6: Cho dãy số
()
n
u
có
1 2 3
1; 2; 3u u u  
và
1 2 3
2 3 ( 4)
n n n n
u u u u n
  
   
.
Tính
20
u

Câu 7: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:
3
3 5 7 (log 1)
x x x
x  
.
Câu 8: Tính diện tích hình tứ giác ABCD biết
4 , 4 , 5AB cm BC cm CD cm  

,6DA cm
và góc

70
o
B 

Câu 9: Một hộp nữ trang ( xem hình vẽ) có mặt bên
ABCDE với ABCE là hình chữ nhật, cạnh cong CDE
là một cung của đường tròn tâm tại trung điểm M của
cạnh AB. AB = 10cm, BC = 6cm và BQ = 45cm. Hãy tính:
1. Góc CME theo radian.
2. Độ dài cung CDE
3. Diện tích hình quạt MCDE
4. Diện tích toàn phần của hộp nữ trang.
5. Thể tích của hộp nữ trang.

Câu 10: Với việc tính toán trên máy thì thời gian thực hiện các phép tính nhan và chia
lớn gấp bội so với thời gian thực hiện các phép tính cộng và trừ. Cho nên, một tiêu chí để
đánh giá tính hiệu quả của một công thức ( hay thuật toán ) là ở chỗ cho phép sử dụng ít
nhất có thể các phép tính nhân và chia
Với số
e
, người ta có thể tính xấp xỉ nó theo công thức sau đây:

1
1
lim
n
n
e
n






(1)

0
1
!
n
e
n




(2)
Theo em, để tính được giá trị của biểu thức
1025
1
1
1025
A




thì cần tới bao
nhiêu phép nhân và chia, và khi ấy kết quả thu được xáp xỉ số
e

chính xác tới bao nhiêu
chữ số thập phân sau dấu phẩy.
Câu hỏi tương tự như trên đối với biểu thức
6
0
1
!
n
B
n



.


KỲ THI TOÀN QUỐC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM 2009

MÔN: TOÁN 9 (THCS)
THỜI GIAN: 150 PHÚT
NGÀY THI: 13/03/2009


Câu 1: Tính giá trị của biểu thức
a) A =
2 3 4
4
23
1,25 15,37 3,75
1 3 2 5 2

4 7 5 7 3


   
  

   
   



b) B =
3 5 3 5 2009 13,3
3 2 5 3 7 2 3 5 4 7
    
    

c) C =
3 2 2 3 2 3
3 2 2 3 2 3
(1 sin 17 34`) (1 25 30`) (1 cos 50 13`)
(1 cos 35 25`) (1 cot 25 30`) (1 sin 50 13`)
tg
g
     
     

Câu 2: Hình chữ nhật ABCD có độ dài các cạnh AB = m, BC = n.
Từ A kẻ AH vuông góc với đường chéo BD
a) Tính diện tích tam giác ABH theo m, n

b) Cho biết m = 3,15 cm và n = 2,43 cm.
Tính ( chính xác đến 4 chữ số thập phân) diện tích tam giác ABH
Câu 3: Đa thức
6 5 4 3 2
()P x x ax bx cx dx ex f      
có giá trị là 3; 0; 3; 12; 27; 48
khi x lần lượt nhận giác trị là 1; 2; 3; 4; 5; 6
a) Xác định các hệ số a, b, c, d, e, f của P(x)
b) Tính giá trị của P(x) với x = 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20
Câu 4:
1. Hình chóp tứ giác đều
. O ABCD
có độ dài cạnh đáy
BC a
,
độ dài cạnh bên
OA l

a) Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của
hình chóp
. O ABCD
theo
a
và
l
.
b) Tính ( chính xác đến 2 chữ số thập phân) diện tích xung quanh
và thể tích của hình chóp
. O ABCD
khi cho biết

5,75 , 6,15a cm l cm

2. Người ta cắt hình chóp
. O ABCD
cho trong câu 1 bằng mặt phẳng
song song với đáy
ABCD
sao cho diện tích xung quanh của hình chóp
.O MNPQ
được cắt ra bằng diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều
.MNPQ ABCD
được cắt ra. Tính thể tích hình chóp cụt được cắt ra
( chính xác đến 2 chữ số thập phân )
Câu 5:
1. Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A. Sau 5 giờ 10 phút, một chiếc
canô chạy từ A đuổi theo và gặp thuyền đó cách bến A 20,5 km. Hỏi vận tốc của
thuyền, biết rằng canô chạy nhanh hơn thuyền
12,5 /km h
. ( Kết quả chính xác với
2 chữ số thập phân)
2. Lức 8 giờ sáng, một ô tô đi từ A đến B, đường dài 157 km. Đi được 102 km thì xe
bị hỏng máy phải dừng lại sửa chữa mất 12 phút rồi đi tiếp đến B với vận tốc ít
hơn lúc đầu là
10,5 /km h
. Hỏi ô tô bị hỏng lúc mấy giờ, biết rằng ô tô đến B lúc
11 giờ 30 phút. ( Kết quả thời gian làm tròn đến phút)
Câu 6: Cho dãy số
   
1 2 1 2
22

nn
n
U
  

với n =1,2,…,k,….
1. Chứng minh rằng:
11
2
n n n
U U U


với
1n

2. Lập quy trình bấm phím liên tục tính
1n
U

theo
n
U
và
1n
U

với
12
1, 2UU

3. Tính các giá trị từ
11
U
đến
20
U


Câu 7: Hình thang vuông
( // )ABCD AB CD
có góc nhọn
BCD


,
độ dài các cạnh
,BC m CD n

a) Tính diện tích, chu vi và các đường chéo của hình thang
ABCD

theo
,mn
và

.
b) Tính ( chính xác đến 4 chữ số thập phân ) diện tích, chu vi và các
đường chéo của hình thang
ABCD

với
,
4,25 , 7,56 , 54 30
o
m cm n cm

  

Bài 8:
1. Số chính phương
P
có dạng
17712 81P ab
. Tìm các chữ số
,ab
biết rằng
13ab

2. Số chính phương
Q
có dạng
15 26849Q cd
. Tìm các chữ số
,cd
biết rằng
22
58cd

3. Số chính phương
M

có dạng
1 399025M mn
chia hết cho 9. Tìm các chữ số
,mn

Bài 9: Cho dãy số xác định bởi công thức :
2
1
2
3 13
1
n
n
n
x
x
x




với
1
0,09x 
, n = 1,2,3,…,
k,…
a) Viết quy trình bấm phím liên tục tính
1n
x


theo
n
x
.
b) Tính
2 3 4 5 6
, , , ,x x x x x
( với đủ 10 chữ số trên màn hình )
c) Tính
100 200
,xx
( với đủ 10 chữ số trên màn hình )

Bài 10: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
. Từ A kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC )
Tính độ dài cạnh AB ( chính xác đến 2 chữ số thập phân), biết rằng diện tích tam
giác AHC là
2
4,25S cm
, độ dài cạnh AC là
5,75m cm
.



KỲ THI TOÀN QUỐC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM 2009

MÔN: TOÁN 12 (THBT)
THỜI GIAN: 150 PHÚT
NGÀY THI: 13/03/2009


Quy ước: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 4 chữ số thập phân, riêng số đo góc thì
lấy đến số nguyên giây.

Bài 1: Tính gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình:
2
2sin2 5sin 1xx


Bài 2: Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) =
2
3 4 5 2xx  


Bài 3: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi
phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất.
Tính gần đúng diện tích toàn phần của lon khi ta muốn có thể tích của lon là 1
3
dm
.

Bài 4: Tính gần đúng giá trị cực tiểu và giá trị cực đại của hàm số
2
2 5 3
21
xx

y
x





Bài 5: Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình:
2
3
3
log 9 8
log 3 2
y
y
x
x









Bài 6: Tính gần đúng giá trị của a và b nếu đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M (1;2)
và là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
3 4 5y x x   

Bài 7: Tính gần đúng bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện ABCD có các cạnh
AB = AC = AD = 8dm, BC = 7dm, CD = 6dm, BD = 5dm.

Bài 8: Tính a, b, c nếu đồ thị hàm số
32
y x ax bx c   
đi qua ba điểm A( 5;1), B(6;2),
C(7;3).

Bài 9: Tính gần đúng thể tích khối chóp S.ABCD nếu đáy ABCD là hình bình hành, cạnh
SA vuông góc với đáy, AB = 7dm, AC = 9dm, SD = 11dm, góc ABC =
80
o
.

Bài 10: Tính gần đúng tọa độ giao điểm của elip :
22
1
94
xy

và đường thẳng
5 6 7 0xy  




SỞ GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

TỈNH BÀ RỊA –VŨNG TÀU LỚP 12 DỰ THI QUỐC GIA, N ĂM HỌC 2010-2011

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài thi 180 phút
Ngày thi: 07/12/2010
Câu 1( 4 điểm )
a/ Giải phương trình:
2
2( 1)(1 1)
x x x x x
     .
b/ Giải bất phương trình:
2
3 2
log ( 2 1) 1 log
x x x
    .

Câu 2( 4 điểm )
Cho tam giác ABC vuông ở A và nội tiếp trong đường tròn (O) .Trên tia đối của các tia
BA, CA ta lấy các điểm E và F sao cho BE = CF = BC . M là điểm chạy trên (O).
Chứng minh rằng : MA + MB + MC

EF.

Câu 3( 4 điểm ) Cho dãy số (u
n
) thỏa :

1
3 *
1
1 1 61
;
4 8
15
,
64
n n
u
u u n N


 

 

 
 

 


   



a) Chứng minh dãy số (u
n

) có giới hạn.
b) Tìm
lim
n
u
.

Câu 4( 3 điểm )
Tìm tất cả các hàm số
:[0; ) [0; )
f
  
, thoả mãn:

( ( )) ( ( )) 2( ( ) 3 ); , 0
f x f y f y f x f y x y x y
       
.

Câu 5( 5 điểm )
a) Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số sao cho 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ
số cuối giống nhau và khác không?
b) Trên mặt phẳng cho 2 x 2010 điểm ; trong đó không có bất kì 3 điểm nào thẳng
hàng.Người ta tô 2010 điểm bằng màu đỏ và tô 2010 điểm còn lại bằng màu xanh.
Chứng minh rằng:bao giờ cũng tồn tại một cách nối tất cả các điểm màu đỏ với tất cả
các điểm màu xanh bởi 2010 đoạn thẳng không có điểm nào chung.



HẾT

SỞ GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
TỈNH BÀ RỊA –VŨNG TÀU LỚP 12 DỰ THI QUỐC GIA, NĂM H ỌC 2010 -2011

HƯỚN G DẪN CHẤM ĐỀ DỰ BỊ
MÔN THI:TOÁN
( Hướng dẫn chấm có : 5 trang )
Câu Nội dung kiến thức Điể m
Câu 1 4điểm

1. Giải phươ ng trình:
2
2( 1)(1 1)
x x x x x
     (1)
* Điều kiện:
1
x

.
2
1 1 1
(1) 2(1 1 )( 1 ) 1
x x x
     

Đặt
1
cos2 ,0

4
t t
x

  
.
* (1) trở thành:
2(1 2sin )(cos2 sin 2 ) 1
t t t
  
(2)
*
2
(2) 2(1 2sin )(cos2 sin 2 ) 1 2sin
t t t t
    
*
sin(4 ) sin
4
t t

  
*
3 1
;
3
20
cos
10
t x



 
2. Giải bất phương trình:
2
3 2
log ( 2 1) 1 log
x x x
    (1)
* (1)
3 2
2log ( 1) 1 log
x x
    . Điều kiện x > 0.
Đặt
2
log 2
t
t x x
  

(1) trở thành:
1
2
2 1
2 1 3 3
3 3
t t
t
t


   
    
   
   
.
*
2 1 2 2 1 1
( ) , '( ) ln ln
3 3 3 3 3 3
t t t t
f t f t
       
   
       
       

2 2
2 2 1 1
''( ) ln ln 0,
3 3 3 3
t t
f t t
   
   
   
   

* f(1) = f(3) =
3

, lập luận được f’ có nghiệm duy nhất t
0
và t
0

(1;3)

.
* Lập BBT, suy ra
( ) 3
f t
 
1 3
t
 
.
* Nghiệm: 2 < x < 8.


0,5


0,5


0,5



0,5

0,5

0,5


0,5





0,5








Câu 2 4điểm


Áp dụng định lí ptoleme vào tứ giác ABMC ta có :
MA.BC = MB.AC + MC.AB

. .
AF AE
MA MB MC MB MC
BC BC
   



Áp dụng bất đt B.C.S ta có :

 
2
2 2
2 2
2
2
2 2
2
. .
.
AF AE AE AF
MB MC MB MC
BC BC BC
EF
BC EF
BC

 

  
 
 
 


Dấu “=” xảy ra


MB MC
MBC AFE MBC EFA
AF AE
      







1








1

1






1
Câu 3 4điểm

a)
*
3
1 1
15 15
,
64 64
n n n n
u u u u n N
 
      
Xét hs : f(x) =
3
15
64

x

f tăng trên R

Chứng minh :
*
1
, (1)
n n
u u n N

   bằng QN


1




M


A


B

C

E

F

Thật vậy : Với n = 1 :
3
2 1 1 1
15
64
u u u u
   


2
1 1 1
(4 1)(16 4 15) 0
u u u
    
( HN đúng vì
1
1 1 61
;
4 8
u
 

 
 
 
 
)

Giả sử ( 1) đúng vớ n = k
1

, nghĩa là :
1
k k
u u


Với n = k + 1,
2 1 1
(1) ( ) ( )
k k k k
u u f u f u
  
    ( HN đúng vì f
tăng)

Chứng minh :
*
1 1 61
; , (2)
4 8
n
u n N
 

   
 
 

 
bằng QN
Thật vậy : Với n = 1 :
1
1 1 61
;
4 8
u
 

 
 
 
 

Giả sử ( 2) đúng vớ n = k
1

, nghĩa là :
1 1 61
;
4 8
k
u
 

 
 
 
 

Với n = k + 1
3
1
15
( )
64
k k k
u u f u

  

1 1 61
;
4 8
k
u
 

 
 
 
 
, f tăng nên:
 
1 1 61
4 8
k
f f u f
 


 
  
 
 
 
 
 

Suy ra :
1
1 1 61
4 8
k
u


  
(1), (2) suy ra Đpcm


1

1

b) Đặt L =
lim
n
n
u


Từ Câu a) suy ra
1 1 61
4 8
L

  

3 3 3
1
1
4
15 15 1 61
64 15 0
64 64 8
1 61
8

n n
L
u u L L L L L
L


 




          








So với đk suy ra:
1 61
lim
8
n
n
u




1








Câu 4 3điểm

Giải pt hàm:
( ( )) ( ( )) 2( ( ) 3 ); , 0
f x f y f y f x f y x y x y
       


* Đặt f(0) = a
0

, cho 0 ( )
x y f a a
   
.

Cho
0, (2 ) 3
x y a f a a
   
; cho
, 0 (2 ) 7
x a y f a a
   
.
Vậy 7a = 3a nên a = 0. Suy ra f(0) = 0.
* Cho y = 0 ta có
( ( )) ( ) 6
f f x f x x
 
.
Xét dãy số (x
n
) : x
1
= x, x
2
= f(x), x
n+1
= f(x
n
) , n = 1,2,3,…
Ta có : x
n+2
+ x

n+1
– 6x
n
= 0. Pt đặc trưng : t
2
+ t – 6 = 0 có 2 nghiệm -
3, 2.
Vậy
( 3) .2
n n
n
x
 
   , với n =1 và n = 2 ta có :
*
( ) 2
3 2
15
9 4 ( ) ( ) 3
10
f x x
x
f x f x x

 
 






  



 
  






* Vì
2
2 1
0
0, 1,2, ; 1,2,
0
n
n
n
x
x n n
x



     






2 2 1
2 2
;
3 3
n n
n
  

   
    
   
   
.
* Cho n dần đến vô cực, ta có
0


. Vậy f(x) = 2x.
* Thử lại, ta thấy f(x) = 2x thoả đề bài.


0,5



1

1







0,5










Câu 5 5điểm

a/ Số phải tìm có dạng :
, ,1 , 9
aabb a b N a b
  

Ta có
2
(1) , ,31 100
aabb k k N k   
(1)
2 2
1100 11 11(100 ) (2)
a b k a b k     
Từ (2)
2
k
 chia hết 11, 11 nguyên tố suy ra k chia hết 11

Mà 31 < k < 100 nên suy ra k
{33;44;55;66;77;88;99}


Thay vào ( 1) ta được k = 88
Vậy số cần tìm : 7744


b/ Xét tất cả các cách nối 2010 cặp điểm( đỏ với xanh ) bằng 2010




1

1



đoạn thẳng
.các cách nối như vậy luôn tồn tại và do đó chỉ có 2010 cặp điểm cho
nên
số tất cả cách nối như vậy là hữu hạn.
Do đó, ắt tìm được một cách nối có tổng độ dài các đoạn thẳng là
ngắt nhất.Ta chứng minh rằng đây chính là cách nối phải tìm.

Thật vậy: giả sử ngược lại ta có hai đoạn thẳng AX và BY mà cắt
nhau tại điểm O(Giả sử A và B tô màu đỏ , còn X và Y tô màu
xanh).Khi đó , nếu ta
Thay đoạn thẳng AX và BY bằng hai đoạn thẳng : AY và BX , các
đoạn đã nối khác giữ nguyện thì ta có cách nối này có tính chất :
AY + BX < (AO +OY) + (BO + OX) = (AO +OX) + (BO + OY)
Suyra : AY+BX<AX+BY

Như vậy : việc thay hai đoạn thẳng AX và BY bởi hai đoạn thẳng AY
và BX , ta nhận đựợc một cách nối mới có tổng độ dài các đoạn thẳng
là nhỏ hơn .Vố lý , vì trái với giả thiết là đã chọn cách nối có tổng độ
dài là bé nhất .Điều vô lý đó chứng tỏ : cách nối có tổng độ dài các
đoạn thẳng là ngắn nhất là không có điểm chung.



1

1






1

LƯU Ý:
- Tổ chấm thống nhất điểm thành phần đến 0,25đ
- Điểm bài thi giữ nguyên không làm tròn .

HẾT

A
Y
O
X
B
1

KỲ THI GIẢI TOÁN HỘI ĐỒNG THI TỈNH BẠC LIÊU
TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY 2010 Ngày thi: 10/01/2010

Số báo danh HỌ VÀ TÊN THÍ SINH
MÔN THI: TOÁN 12 cấp THPT
Ngày sinh: tháng năm , nam hay nữ: Đơn vị dự thi

HỌ, TÊN CHỮ KÝ
Giám thị số 1:
Giám thị số 2:
SỐ PHÁCH
(Do chủ tịch hội đồng ghi)

Chú ý:
- Thí sinh phải ghi đủ các mục ở phần trên theo sự hướng dẫn của giám thị;
- Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi có phách đính kèm này;
- Bài thi phải được viết bằng một loại bút, một thứ mực; không viết bằng mực đỏ, bút chì; không
được đánh dấu hay làm kí hiệu riêng; phần viết hỏng phải dùng thước gạch chéo; không được tẩy, xóa bằng
bất kỳ cách gì (kể cả bút xóa).
- Trái với các điều trên, thí sinh sẽ bị loại.

2

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
NĂM 2010
ĐỀ CHÍNH THỨC 1
Môn thi: TOÁN Lớp 12 cấp THPT
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 10/01/2010
*Chú ý: - Đề thi này gồm 03 trang, 10 bài, mỗi bài 5 điểm.
- Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này.

ĐIỂM CỦA TOÀN BÀI THI

CÁC GIÁM KHẢO

SỐ PHÁCH
(Do Chủ tịch Hội đồng ghi)

Bằng số Bằng chữ



Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống
liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính
xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy.

Bài 1: (5 điểm) Tính gần đúng ( độ, phút, giây ) nghiệm của phương trình
4cos2x + 3sinx = 2

Cách giải Kết quả










Bài 2: (5 điểm) Tính giá trị biểu thức P =
3 2 2
5
2
( 10 31 30)( 5 4

)
( 4 3)( 5)( 2)( 4
)
x x x x x
x x x x x
    
    
khi x = 2010
Cách giải Kết quả





3

Bài 3: (5 điểm) Cho hàm số
4cos2sin)(
2
 xxxxfy

a. Tính giá trị gần đúng của
'
5
2
f f

 
 
 

 
 
 
.
b. Gọi y = ax + b là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
x =
2
5

.
Tìm giá trị gần đúng của a, b.

Cách giải Kết quả













Bài 4: (5 điểm) Tính gần đúng giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) = 5cosx - cos5x trên
,
4 4
 

 

 
 


Cách giải Kết quả






Bài 5: (5 điểm) Tìm tất cả các nghiệm gần đúng của phương trình:

3 4 2
2 3 lg 2 0
.
x
x x

   

Cách giải Kết quả

4

Bài 6: (5 điểm) Tìm một số có 5 chữ số, biết rằng nếu ta xóa đi 3 chữ số cuối cùng thì sẽ
được một số mới bằng căn bậc ba của số ban đầu.

Cách giải Kết quả






Bài 7: (5 điểm) Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bời công thức
32
)313()313(
nn
n
U

 với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . .
a) Tính
87654321
,,,,,,, UUUUUUUU
b) Lập công thức truy hồi tính

1n
U theo
n
U và
1n
U

Cách giải Kết quả













Bài 8:(5 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường
kính AH. Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E. Các tiếp tuyến của
đường tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tương ứng tại M và N. Tính diện tích tứ giác
MDEN khi AB=
3 2
, AC=
5 3

Cách giải Kết quả





5

Bài 9: (5 điểm) Trong mp (P), cho hình chữ nhật ABCD với AB=3,54 và BC=2,43. Một
điểm M nằm trên đường tròn (C) đường kính BD trong mp (Q) vuông góc với mp (P) theo
giao tuyến BD. Tính gần đúng thể tích hình chóp M.ABCD khi BM=
5
.

Cách giải Kết quả






Bài 10. (5 điểm) Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ , các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao
cho chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp ( sắt tây ) là ít nhất , tức là diện tích toàn phần của hình
trụ là nhỏ nhất . Em hãy cho biết diện tích toàn phần của lon khi ta muốn có thể tích của lon
là
3
314cm

Cách giải Kết quả

HẾT
1

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
NĂM 2010
ĐỀ CHÍNH THỨC 1
Môn thi: TOÁN Lớp 12 cấp THPT
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 10/01/2010

Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống
liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính
xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy.

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài 1: Tính gần đúng ( độ , phút , giây ) nghiệm của phương trình
4cos2x +3 sinx = 2

Cách giải Kết quả Điểm

2
4cos2x +3 sinx = 2 8sin 3sin
2 0
x x
   



sin
0,7215
sin
0,3465
x
x




 


0"'0
1
360431046 kx 

0"'0
2

3601749133 kx 

0"'0
3
360241620 kx 

0"'0
4
3602416200 kx 


1đ

1đ
1đ
1đ
1đ

Bài 2: Tính giá trị biểu thức P =
3 2 2
5
2
( 10 31 30)( 5 4
)
( 4 3)( 5)( 2)( 4
)
x x x x x
x x x x x
    
    

khi x = 2010
Cách giải Kết quả Điểm
Dùng máy để tính
(Hoặc có thể phân tích thành thừa số rồi rút gọn)
P = 1




5đ

Bài 3: Cho hàm số
4cos2sin)(
2
 xxxxfy

a. Tính giá trị gần đúng của
'
5
2
f f

 
 
 
 
 
 
.
b. Gọi y = ax + b là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

x =
2
5

.
Tìm giá trị gần đúng của a, b.
Cách giải Kết quả Điểm
a. Tính giá trị gần đúng của
5
'
2
f f

 
 
 
 
 
 


b.
 131,3066

a  17,7080
b  - 72,3930
2đ

1.5đ
1.5đ

2

Bài 4: Tính gần đúng giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) = 5cosx - cos5x trên
,
4 4
 
 

 
 


Cách giải Kết quả Điểm
'( ) 5sin5 5
sin
f x x x
 

'( ) 0 2cos3 sin
2 0
f x x x
  

Giải PT ta tìm được các nghiệm:
1 2 3
0, ,
6 6
x x x
 
   

Tính
1 2 3
( ), ( ), ( ), ,
4 4
f x f x f x f f
 
   

   
   
; so sánh để xác
định max f(x)





max ( )
5,1962
f x



1đ

1.5đ

2.5đ

Bài 5: Tìm tất cả các nghiệm gần đúng của phương trình:

3 4 2
2 3 lg 2 0
.
x
x x

   


Cách giải Kết quả Điểm
Đặt


3 4 2
2 3 lg
2
x
f x x x

   
với


0;x
 
.
Vì
 

3 4
1
' 2 .3ln
2 6 0, 0
x
f x x x
x

     
nên nếu phương
trình đã cho có nghiệm dương, thì nghiệm đó là duy nhất.
( có thể nhận xét: trên miền


0;

,
3 4 2
2 ; 3 ; lg
2
x
y y x y x

   
đều là các hàm số đồng biến
nên f(x) đồng biến)
Giải trực tiếp trên máy, ta được nghiệm :

0,7743
.
x





2.5đ





2.5đ


Bài 6: Tìm một số có 5 chữ số, biết rằng nếu ta xóa đi 3 chữ số cuối cùng thì sẽ được một số
mới bằng căn bậc ba của số ban đầu.

Cách giải Kết quả Điểm
3
1000 ( )

abcde ab cde ab M
   
là số phải tìm
Đặt m=
ab
,
n=
cde
3 3
1000 1000 32
m m n m m m
      
(1)
1000
n

nên
3 2
1000 1000 ( 1000)
1000
m m m m    
Nếu m=33 thì
2
( 1000)
1000 33
m m m
   
(2)
Từ (1) và (2)


m=32






3
32 32768
m  
1đ


1đ
1đ

2đ

Bài 7: Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bời công thức
32
)313()313(
nn
n
U

 với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . .
a) Tính
87654321
,,,,,,, UUUUUUUU
b) Lập công thức truy hồi tính

1n
U theo
n
U và
1n
U



3

Cách giải Kết quả Điểm
a.


b. Vì




13 3 13 3 26
   
và




13 3 13 3 166
  
nên phương trình đặc trưng

của dãy là:
2
26 166 0
x x
  


1 2 3
1, 26, 510
,
U U U  
4 5
8944, 147884
U U 
6 7
2360280, 36818536
,
U U 

8
565475456
U 

11
16626)


nnn
UUUb

3đ

2đ


Bài 8: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính
AH. Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E. Các tiếp tuyến của đường
tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tương ứng tại M và N. Tính diện tích tứ giác MDEN
khi AB=
3 2
, AC=
5 3


Cách giải Kết quả Điểm
M, N lần lượt là các trung điểm của BH và HC
;
OHN OEN MDO MHO
     

1 1
,
4 4
S S S S
OHN AHC MHO AHB
 
   

1
2
S S
MDEN
ABC








18,3712
S
MDEN


1đ
1đ

1đ

2đ

Bài 9: Trong mp (P), cho hình chữ nhật ABCD với AB=3,54 và BC=2,43. Một điểm M nằm
trên đường tròn (C) đường kính BD trong mp (Q) vuông góc với mp (P) theo giao tuyến
BD. Tính gần đúng thể tích hình chóp M.ABCD khi BM=
5

.

Cách giải Kết quả Điểm
Đặt AB = a, BC = b, BM = x
Vẽ MK

BD

MK

(ABCD)

vuông BMD cho ta: MK =
2
2 2
1
x
x
a b



2
.
2 2
1
1
3
M ABCD
x

V abx
a b
 






5,4737
.
V
M ABCD



1đ

1.5đ

2.5đ

Bài 10. Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ , các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi
phí nguyên liệu làm vỏ hộp ( sắt tây ) là ít nhất , tức là diện tích toàn phần của hình trụ là
nhỏ nhất . Em hãy cho biết diện tích toàn phần của lon khi ta muốn có thể tích của lon là
3
314cm
Cách giải Kết quả Điểm
 
2 2

1 1 1 1 1
2 2 2
2 2
tp
S r h r r h r h
r h r r h
  
   
      
   
   







tp
S
nhỏ nhất
255,7414



1.5đ

1.5đ

2đ

HẾT
2
314
V r h

 

3 3
2
1
628.3. 628.3.
4 4.314
r h

 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG THÁP

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM 2010

ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 15 tháng 11 năm 2009
(Đề thi gồm có: 01 trang)
Câu 1: ( 5 điểm)
1a) Giải hệ phương trình sau:









3)1ln(3
3)1ln(3
3)1ln(3
32
32
32
zxzzz
yzyyy
xyxxx
2a) Cho dãy số (U
n
), biết rằng :
*Nn,
126
10
4
12
2
1










 nnn
UUU
U
U
.
Chứng minh rằng : (U
n
+ 4) chia hết cho n, với mọi số nguyên tố n.
Câu 2: ( 4 điểm)
Cho hàm số
 
xf
liên tục trên đoạn [0,1] thỏa mãn điều kiện
   
.10 ff 
Chứng minh rằng phương trình
 







2009

1
xfxf
có nghiệm
 
1,0x
.
Câu 3: ( 5 điểm)
3a) Cho tam giác ABC và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Các đường
phân giác trong của các góc A, B, C lần lượt cắt các cạnh đối diện tại
A’, B’, C’. Chứng minh rằng:
27
8
''.'.


CCBBAA
CIBIAI
3b) Gọi , ,  là góc giữa đường thẳng (d) và theo thứ tự với các đường
thẳng chứa ba cạnh BC, CA, AB của tam giác đều ABC.
Tính M = sin
2
.sin
2
.sin
2
 + cos
2
.cos
2
.cos

2

Câu 4: (3 điểm)
Tìm ba số nguyên tố a, b, c thỏa a
b
– c + 1 = 0.
Câu 5: (3 điểm)
Trong một giải đấu thể thao vòng tròn một lượt có n vận động viên
 
1, ,,
21
nPPP
n
.Mỗi vận động viên đấu với tất cả mọi đấu thủ còn lại và nguyên tắc
đấu không có hòa. Đặt
r
W
và
r
L
là số trận thắng và số trận thua tương ứng của đấu
thủ
r
P
.Hãy chứng tỏ rằng:



n
r

r
n
r
r
LW
1
2
1
2
. HẾT
Đề chính thức
sO
GD&DTPH1J YEN
Kl
THICHQN HQC SINH GI(:n
cAp
TINH
LOP 12 THPT NAM HQC 2009-2010.
THC1JGIAN: 180
PHUT
(khong
kd
thili gian philt (jJ)
thi
sinh: .
BD: .
(2,5 di~m)
a. Nguyen
tu
ella nguyen t6

X
co di~n h:;ttnhan bfu1g+41,652.10
cJ9
C; nguyen cua n,guyent6
Y
co kh6i lUQ'ngb~ng 1,794.1 0-22gam. Xae dinh
X, Y
va d1,ra.trencAu hinb electron, hay cho bi~t gi:ii
thfeh) muc hoa bell11h~t eua X va
Y
trong hqp ch§t?
b. Chq bi~t tf?ng thai
va
dS hoan thanh sa d6 sau
(18)
R~~ +CH
z
__ (2,0 di~m)
14,224gam iot 112gaIll bilfh l(lIldllng tich 1,12lit (}nhi~t dQ400°C. T6c
dQban d~u cua phan (rug Ia IIlQt~qi gia11"(athai di~m t) p6ng dQcua la
0,04moI/Ht va khi phim img H2(k) + h(k) can bang thi nong dQ cua HI bang O,06mollIit.
a. Tiuh h~ng s6 t6e dQclm phim ling thu~n va phan U'ngnghieh.
b. T6e dQt:;tothanhHI
a
thai diSm tJabao.nhieu?
__C__
a¥~
4. (2,0di~m)
Nhi9t phan 104gam hQ'p X g6m A(N0
3

)2 va B(N03)2 (A la kim lo?i kiem th6, B Ia kim lo?i
ehuy~n ti~p) eho t&ikhi die phantmg XaYra gqantpan, thudu'Q'ech~t r~n
y
chI g6m .nhungoxit, .h6n hqp
khf Z g6m N02 va O
2
co tieh31 ,36lft.(do
a
OOC;latm) v&id
z
/
co
, Xae dinh cac kim lo:;tiA, B (bi6t
s6 mol CllaB(N0
3
)2 nhieu hO'ns6 mol cua A(N03)2).
__Ca__u__5. (3,0 diSm)
D6t chay hofm toan 3,24gam mQt clohidrocacbon X (m<;lchcacbon khong phan nbanh) bing lUQ'ilgoxi
du va cho t§t ca sim phftm chay (C0
2
, HCl va hO'iH
2
0) vao binh kin chlra 60cm
3
dung dich NaOH 20%
(kh6i Iuc;mgrieng d
=
1,22gam/cm
3
). Sau khi eac san ph~m chay duQ'c h~p hoan toan vao dung dich

NaOH, t~o thanh dung dich
Y
va xac dinh duQ'ckh6i luc;mgdung dich tang len 7,73gaI11.
Dung dich
Y
duQ'c pha loang bing nuoe cAtthanh 250em
3
, eli 20em
3
dung dich nay tac dl,mg vlra du
veri24,828cl1l
3
dung dich HCIl,O 15M.
a. Xac dinh cong thuc phan t11cua X.
b. Vi~t t~t ca cong thuc c~u t?O cae ch~t d6ng phan eua X, gQiten theo danh phap thay th~.
r.So sanh va giai thich v~n t~t nbi~t dQsoicua:pentan-
_C_a_u_2.(2,5
di~m)
B6 tuc dic
fu1
cMit, vi~t cae
(m6i mUiten chi vi6t 01 phUOTIgtrinh
(I) (2) (3)
C
2
H
s
OH ~ C4Ho >
A
B

i'i
F~
•.• ~. (12)(P)
L
11>-
M
11>-
trang 1/2
__~a __Au__
6.
(2,0 di~rn)
3.
Cho biStd<,1ng
hl5TIg
daY.Giai thich vik tit co sa cho sv IvachQn do.
a. Lysin HzN[CH2HCH(NH:~)COOH
~. Axit aspatic HOOC-CHz-CH(NHz)-COOH
1.
Arginin HzN-C(=NH)-NH[CI-IzhCl-I(NHz)~COOH
O.Tyrozin p-HO-C
6
H
4
-CH
z
-CH(NHD"'COOH
b. Cho bang cac gia tri h&ng s6di~n diSm d~ng,di~n>c1Ja m9t s6 cac amino axit duai day. ChQn
de tach cac ch~t tir m9t h6n hQ'Pgbm threonin, axit aspatic va tyrozin bfulg phuong phap di~n Giai
thich S1} h,rachQn do?
-,

~

-
_.~
-
Amino3xit
pKl pKl
pKj
pI
Threonin,
H3C-CH( OH)-CH(NHz)-COOH 2,09 9,10
5,60
-
-
Axit aspatic, HOOC-CHz-CH(NH2)-COOH 1,99 3,90
10,00 3,90

,.,,-
2,20 9,11 10,07
10,07
Tyrozin, p-HO-C6H4-CHz-· CH(NHz)-COOH

~-
-
'-
cua hai d<,1ngd6i quang CtlaX.
ViStcd chS phan (mg, viSt cong th(rc
san
phftn1
t1;lO

thanh.
~ __ag__~ __
7.
(3,0
diella)
H6n hQ'PX gbm mQt 10<,1iRvamu6i cacbonat
!uqt
tuang lmg,la 2:1). Hoa
tan hoan toan ?8,4gam h6n hQ'PX trong dung dich " du, thfiy thoat ra hon hQ'Pkhi Y gorn NO (san
ph~m khu duy nhfit) va COz. H6n khi
Y
lam mfitmau vua du 420ml dung dich KMn04 1,OMtrong
l-hS04{du)Iqang; khi con l:,1i(sau khi Yqu~d~ng dichKMn04) cho qua dung dich Ca(OH)z du th~y xu~t
hi~n m garn kSt tua, dbng thai kh6i 1ugng dung dich giam 16,8gam.
3.
Vi~t cac phuong phan ung xay ra duai d<,1ngionthugQn.
b. Xacdinhcong tl1uc mU6i,cacbonat cua va tinhthanh phlin phlin
trong h6n hQ'~ X.'
__~ __au
8. (3,0 diSm)
Hai hQ'Pchfit hUll co da chuc A va B d~u co cong thuc phan tu C
S
H
6
0
4
va Ia dbng phan l?p thS cua
nhau. Ca A, B d~u khong co Hnh quanw 49:,1t, co nhi~LdQ soi th~p hon B. A, B (l~u tac dvng vai
NaHC0
3

giaj phong khi COz.f;hLhidro hoa A hay B b&ng Hz vai xuc tac Ni dugc h6n hQ'PX, gbm cac
ch~t co cong thuc C
S
H
S
04. Co thb tach X th;1nl1haid~l1g 0;6iquang cuarillau.
lu~n xac dinh c~u t<,10,cfiu hinh cua A va B.
th(rc Fisher, gQi c~u
B lli111ugt tac
Fisher, gQi
theo kh6i lugng m6i ch~t
dU'9'cphep d1.Jng13dl1gtudnhoiinVdina)ltinhcdmtay (theo danh mljC may tinhB(J
GD&DT cho phep dljngtrong cacki thi qu6c gia).
HQva ten Giam thi 1: ; Chuky: ~ .
HQ
va ten
Giam th1 2: .
; ChftkY:· .

.
~

"
.
"
trang 2/2


SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

Môn thi: TOÁN LỚP 12 THPT – BẢNG B
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (6,0 điểm)
a) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm:
(m - 3)
x
+ ( 2- m)x + 3 - m = 0.
b) Chứng minh rằng:
3
sinx
cosx
x
 

 
 
, với
x (0; )
2

  .
Bài 2. (6,0 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số:
2
y x 1 x
  
b) Giải hệ:

x y
sinx
e
sin y
sin 2y cos2y sin x cosx 1
x,y 0;
4






   



 


 

 


Bài 3. (2,5 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:




2
cos 3x 9x 160x 800 1.
8

 
   
 
 

Bài 4. (5,5 điểm)
a) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
. Biết
A(2; - 3), B(3; - 2) và trọng tâm G thuộc đường thẳng d có phương trình: 3x – y – 8 =
0.
Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
b) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình:
x
2
+ y
2
– 2x – 4y + 4 = 0 và đường thẳng  có phương trình: x – y – 1 = 0. Từ điểm M
bất kỳ thuộc đường thẳng  kẻ hai tiếp tuyến MT
1
, MT
2
đến (C) (T
1
, T

2
là tiếp điểm) .
Chứng minh rằng: đường thẳng T
1
T
2
luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên .


Hết





Họ và tên thí sinh: SBD:
Đ
ề

ch
í
nh th
ứ
c

Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo - Việt Nam 2009
_________________________________________________
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT
NĂM HỌC 2008-2009
____________________________________________________________________________

Bài 1. (4điểm)
Giải hệ phương trình:
   

 



 


   


2 2
1 1 2
1 2xy
1 2x 1 2y
2
x 1 2x y 1 2y
9
Bài 2. (5điểm)
Cho dãy số
n
x
xác định như sau:
  






 




1
2
n 1 n 1 n 1
n
1
x
2
x 4x x
x
2
Xét dãy số



n
n
2
i 1
i
1
y
x
. Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Bài 3. (5 điểm)
Cho 2 điểm cố định A,B và điểm C di động trên mặt phẳng sao cho

ACB a
 
 
o
0 a 180
không đổi cho trước. Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp I của
tam giác ABC xuống ba cạnh AB,BC,CA lần lượt là D,E,F . AI và BI cắt EF lần lượt tại M và
N .
a) Chứng minh độ dài MN không đổi .
b) CM đường tròn ( DMN ) luôn đi qua một điểm cố định .
Bài 4. (3điểm)
Cho a , b , c là các số thực. Với mỗi n nguyên dương,
 
n n n
a b c
là số nguyên. Chứng minh
rằng tồn tại 3 số nguyên p , q , r sao cho a , b , c là các nghiệm của pt bậc ba
   
3 2
x px qx r 0
.
Bài 5. (3 điểm)
Cho tập hợp S gồm 2n số nguyên dương đầu tiên. Tìm số tập hợp T sao cho trong T không có 2
phần tử a,b nào thỏa mãn
 
 a b 1;n
(chú ý tập rỗng thỏa mãn ĐK trên) .

____________________________________________________________________________
Copyright by Ly Tu Trong official website
HNG DN GII  THI HC SINH GII QUÔC GIA MÔN
TOÁN NM 2009





Bài 1 Gii h phng trình:
 
  
 
   

     


 
   

+ =

+

+ +


− + − =




Gii
+) K:

  


   


   



 

 

+ >

≤ ≤

 
− ≥ ⇔
 
 
≤ ≤
− ≥





+) Vi iu kin trên ta có




≤
và




≤

 
    
  

 
   


 
 = + ≥ >  <
+
+ +

+) Mt khác


 

 
 
∀ ∈
 
 
và
 
 
<
ta luôn có bt ng thc sau:
 
  


 

 
+ ≤
+
+ +
.
 Tht vy bt ng thc (*)
 
 
   

  

 
  
 
⇔ + + − ≤
+ + +
+ +

 Theo bt ng thc B.C.S ta có
 
 
 
   

  
  

 
+ + ≥ +

≤
+
+ +

 
 


  

 

⇔ − ≤
+
+ +

 Mt khác ta có:

   
      

      
  
     
− −
+ − = ≤
+ + + + + +
, vì

 

 
 
∈
 
 
và
 
 
<
.
Do ó

 
 
   

  
 
  
 
+ + − ≤
+ + +
+ +
luôn úng

 

 
 
∀ ∈
 
 
và
 
 
<
.
+) Vì





≤ ≤
,




≤ ≤
và
 

<
.
Áp dng BT (*) cho
  
   
= = ta có:
 
  
 
   

 
+ ≤
+
+ +

ng thc xy ra
 
⇔ =

+) Vy h phng trình ban u


     
   

 
 
   
 
=

=


⇔ ⇔
 
− + − =
− + =




+) Gii h này và i chiu vi các iu kin ta có hai cp nghim (x; y) nh sau:
GV: Phm Vn Quý
Trng THPT chuy
ên Quang Trung
Tnh Bình Phc