đa chập đối với các phép biến đổi tích phân fourier, fourier sine, fourier cosine và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM VĂN HIỆU
ĐA CHẬP ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI
TÍCH PHÂN FOURIER, FOURIER SINE,
FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM VĂN HIỆU
ĐA CHẬP ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI
TÍCH PHÂN FOURIER, FOURIER SINE,
FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS NGUYỄN MINH KHOA
Thái Nguyên - Năm 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Mở đầu 1
Nội dung 5
1 Đa chập với hàm trong γ(y) = e
−αy
đối với các phép biến đổi tích
phân Fourier, Fourier sine và Fourier cosine. 5

1.1 Các không gian được xét đến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Định nghĩa đa chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Các tính chất của đa chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Áp dụng giải hệ phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Đa chập với hàm trọng γ(y) = 4e
−βy
đối với các phép biến đổi
Fourier, Fourier sine và Fourier cosine 20
2.1 Các không gian được sử dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Định nghĩa đa chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Các tính chất của đa chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Kết luận 33
Tài liệu tham khảo 36
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ii
LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thày TS. Nguyễn Minh
Khoa. Trưởng khoa học cơ bản - Trưởng bộ môn Toán trường Đại học Điện lực
đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả
cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa
Toán - Tin Trường ĐHKH, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi
trong suốt quá trình học tập tại trường.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành
viên trong lớp cao học toán K4B đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tác giả
trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn.
Tuy bản thân có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản
thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự
đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc.
Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012.

Tác giả
.
Phạm Văn Hiệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
iii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực
và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp
đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và thông tin trích dẫn trong
luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Tác giả
.
Phạm Văn Hiệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Mở đầu
Tích chập của hai hàm f, g đối với phép biến đổi tích phân
Fourier có dạng [7,13]:
(f
∗
F
g)(x) =
1
√
2π
+∞

−∞
f(x −y)g(y)dy ∀x ∈ R (0.1)
Tích chập này thảo mãn đẳng thức nhân tử hóa sau:

F (f
∗
F
g)(y) = (F f)(y)(F g)(y), ∀y ∈ R (0.2)
trong đó phép biến đổi Fouriercó dạng: [7.13]
(F f)(y) =
1
√
2π
+∞

−∞
f(x)e
−ixy
dx. (0.3)
Tích chập suy rộng của hai hàm f và g đối với các phép biến đổi
Fourier sine và Fourier cosine được nghiên cứu trong [7] , [13]
(f
∗
1
g)(x) =
1
√
2π
+∞

0
f(y) [g(x −y) − g(x + y)])dy (0.4)
Tích chập suy rộng này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
F

s
(f
∗
1
g)(y) = (F
s
f)(y)(F
c
g)(y), ∀y > 0 (0.5)
Trong đó phép biến đổi Fourier sine có dạng [7] , [13]
(F
s
f)(y) =

2
π
+∞

0
f(x)sin(xy)dx, (0.6)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
và phép biến đổi Fourier cosine có dạng [7] , [13]
(F
c
f)(y) =

2
π
+∞


0
f(x)cos(yx)dx, (0.7)
Tích chập suy rộng của hai hàm f và g đối với các phép biến đổi tích phân
Fourier cosin và Fourier sine được xác định bởi [10]
(f
∗
2
g)(x) =
1
√
2π
+∞

0
f(u) [sign(u − x)g |u + x|+ g(u + x)]du, x > 0 (0.8)
Và thoả mãn đẳng thức nhân tử hóa:
F
c
(f
∗
2
g)(y) = (F
s
f)(y)(F
s
g)(y), ∀y > 0 (0.9)
Tích chập suy rộng với hàm trọng: γ
1
(x) =

s
inx của hai hàm f và g đối
với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine và sine có dạng như sau[11]

f
γ
1
∗
3
g

(x) =
1
2
√
2π
+∞

0
f(y)[g |x −y −1| −g |y −x + 1|
+g |y + x − 1| − g |x + y + 1|]dy, x > 0 (0.10)
và có đẳng thức nhân tử hóa sau đây:
F
c
(f
γ
1
∗
3
g)(y) = sin y(F

s
f)(y)(F
c
g)(y), ∀y > 0 (0.11)
Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier và Fourier
sine xác định bởi [6]
(f
∗
4
g)(x) =
1
2
√
2π
+∞

0
f(y) [sign(y −x)g |y + x| + g(x + y)]dy,∀x ∈ R (0.12)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Tích chập này thoả mãn nhân tử hóa sau đây:
F (f
∗
4
g)(y) = (F
s
f) |y|(F
s
g) |y|, ∀y ∈ R (0.13)
Một tích chập với hàm trọng γ

1
(x) =
s
inx của hàm f và hàm g đối với
phép biến đổi Fourier sine được giới thiệu trong [4]
(f
γ
1
∗
F
s
g)(x) =
1
2
√
2π
+∞

0
f(y)sign(x + y − 1)g(|x + y − 1|)
+sign(x −y + 1)g(|x −y + 1|) −g(x + y + 1)
−sign(x −y −1)g(|x −y −1|)dy, x > 0 (0.14)
với tích chập này, đẳng thức nhân tử hóa sau đây thỏa mãn :
F
s
(f
η
∗
F
s

g)(y) = sin y(F
s
f)(y)(F
s
g)(y), ∀y > 0 (0.15)
Năm 1997 Kakichev giới thiệu một phương pháp kiến thiết xác định một
đa chập với hàm trọng γ của các hàm f
1
, f
2
, , f
n
đối với các phép biến
đổi tích phân K
1
, K
2
, , K
n
ký hiệu bởi
γ
∗
(f
1
, f
2
, , f
n
)(x) sao cho đẳng
thức nhân tử sau đây thỏa mãn [5]

K

γ
∗
(f
1
, f
2
, , f
n
)

(x) = γ(y)
n

i=1
(K
i
f
i
)(y), n ≥ 3 (0.16)
Đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Hilbert, Stieltjes, Fourier
cosine, Fourier sine đã được nghiên cứu trong [9] Trong thời gian gần đây,
có nhiều có nhiều công trình nghiên cứu về các tích chập suy rộng. Các tích
chập này cho ta một số ứng dụng thú vị xem trong ([8,10,11,12]). Đặc biệt
là ứng dụng trong phương trình tích phân với nhân Toeplitz+Hankel[3,14]
f(x) +
+∞

0

[k
1
(x + y) + k
2
(x −y))]f(y)dy = g(x), x > 0 (0.17)
trong đó k
1
, k
2
và g là các hàm đã biết và f là ẩn hàm. Nhiều trường hợp
rieeng của phương trình này có thể giải cho nghiệm đóng nhờ vào các tích
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
chập suy rộng. Trong luận văn này tác giả sử dụng kết quả bài báo của
Tiến sĩ Nguyễn Minh Khoa với hai đa chập với hàm trọng γ(y) đối với các
phép biến đổi Fourier sine, Fourier và Fourier cosine. Với các tính chất
toán tử và các mối liên hệ giữa đa chập mới với các tích chập và tích chập
suy rộng đã biết. Đồng thời, giải được một trường hợp riêng của bài toán
mở (0.17). Đáng chú ý là các đa chập sử dụng trong luận văn này cho
phép ta giải được một số lớp nghiệm trong số không nhiều các hệ phương
trình tích phân có thể giải được dưới dạng đóng.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh
mục các tài liệu tham khảo.
Chương 1 Đa chập với hàm trọng γ(y) = e
−αy
đối với các phép
biến đổi tích phân Fourier cosine , Fourier và Fourier sine.
Chương 2 Đa chập với hàm trọng γ(y) = 4e
−βy
đối với các phép

biến đổi tích phân Fourier sine , Fourier và Fourier cosine.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Chương 1
Đa chập với hàm trong γ(y) = e
−αy
đối với các phép biến đổi tích phân
Fourier, Fourier sine và Fourier
cosine.
1.1 Các không gian được xét đến
Các không gian được xét đến trong chương này tác giả dùng đến
2 không gian sau: .
L


α
2
+ x
2
, R

=



f :
+∞

−∞


α
2
+ x
2
. |f(x)|dx < +∞



với α ≥ 1 và
L

R
+

=



f :
+∞

0
|f(x)|dx < +∞



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
1.2 Định nghĩa đa chập
Định nghĩa 1. Đa chập với hàm trọng γ(y) = e

−αy
đối với các
phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine và Fourier cosine của các
hàm f, g, h được xác định bởi
γ
∗
(f, h, g)(x) =
2
π
2
+∞

−∞
f(u)g(v)h(y)

α + iu
(α + iu)
2
+ (x + v − y)
2
−
α + iu
(α + iu)
2
+ (x + v + y)
2
+
α + iu
(α + iu)
2

+ (x −v + y)
2
+
α + iu
(α + iu)
2
+ (x −v − y)
2

dudvdy, x > 0 (1.1)
Nhận xét 1.2
Đa chập (1.1) là một tích chập suy rộng Triple được mở rộng
tới các tích chập suy rộng đối với 3 phép biến đổi Fourier, Fourier sine,
Fourier cosine đã biết . Với đa chập này ta có thể giải một số lớp rộng
hơn các hệ phương trình tích phân dạng ẩn kiểu đa chập và nhận được
nghiệm ở dạng đóng.
1.3 Các tính chất của đa chập
Định lý 1.2
Giả thiết hàm f ∈ L(
√
α
2
+ x
2
, R) các hàm g, h ∈ L(R
+
). Khi
đó đa chập với hàm trọng γ(y) = e
−αy
đối với các phép biến đổi tích phân

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Fourier, Fourier sine, Fourier cosine của các hàm f, g, h thuộc L(R
+
). và
thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau:
F
c
(
γ
∗
(f, g, h)(y) = e
−αy
(F f)(y)(F
s
g)(y)(F
s
h)(y), ∀y > 0 (1.2)
Chứng minh
Ta thấy rằng:




α + iu
(α + iu)
2
+ (x + v + y)
2





≤
√
α
2
+ u
2


(x + v + y)
2
− u
2

+ 1
≤

α
2
+ u
2
,
với α ≥ 1 Tương tự:




α + iu

(α + iu)
2
+ (x + v − y)
2




≤

α
2
+ u
2
,




α + iu
(α + iu)
2
+ (x −v + y)
2




≤


α
2
+ u
2




α + iu
(α + iu)
2
+ (x −v − y)
2




≤

α
2
+ u
2
từ các đánh giá nhận được và giả thiết của định lý ta đi đến:


γ
∗
(f, g, h)(x)



≤
2
π
2
+∞

−∞
+∞

0
+∞

0
4

α
2
+ u
2
|f(x)||g(v)||h(y)|dudvdy < +∞
Dựa vào (1.1) ta nhận được
+∞

0


γ
∗
(f, g, h)(x)



dx ≤
2
π
2
+∞

0
+∞

−∞
+∞

0
+∞

0



|α + iu|



(α + iu)
2
+ (x + v − y)
2




+
|α + iu|



(α + iu)
2
+ (x + v + y)
2



+
|α + iu|



(α + iu)
2
+ (x −v + y)
2



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
+
|α + iu|




(α + iu)
2
+ (x −v − y)
2





|f(x)||g(v)||h(y)|dudvdydx.
từ
|α + iu|



(α + iu)
2
+ (x + v + y)
2



=
√
α
2
+ u

2


(x + v + y)
2
+ α
2
− u
2

2
+ 4α
2
u
2
<
√
α
2
+ u
2


(x + v + y)
2
− u
2

2
+ 1

.
Ta nhận được
+∞

0
+∞

−∞
+∞

0
+∞

0
|α + iu|



(α + iu)
2
+ (x + v + y)
2



|f(u)||g(v)||h(y)|dudvdydx
<
+∞

0

+∞

−∞
+∞

0
+∞

0
1

(x + v + y)
2
− u
2

2
+ 1

α
2
+ u
2
|f(u)||g(v)||h(y)|dudvdydx
Sử dụng phép thế x+v+y = t ta nhận được :
+∞

0
1


(x + v + y)
2
− u
2

2
+ 1
dx =
+∞

0
1
(t
2
− u
2
)
2
+ 1
dt
Vì:

(t
2
+ u
2
)
2
+ 1 ≥ (t − u)
2

+ 1 với t đủ lớn và
+∞

0
d(t −u)

(t −u)
2

+ 1
= arctan(t −u)



+∞
v+y
=
π
2
+ arctan(u −v − y)
<
π
2
+
π
2
= π
Do đó:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9

+∞

0
+∞

−∞
+∞

0
+∞

0
|α + iu|



(α + iu)
2
+ (x + v + y)
2



|f(u)||g(v)||h(y)|dxdudvdy
< π
+∞

−∞
+∞


0
+∞

0

α
2
+ u
2
|f(u)||g(v)||h(y)|dudvdy < +∞
Vì f ∈ L(
√
α
2
+ x
2
, R) và g, h ∈ L(R
+
)
Tương tự ta nhận được đánh giá giống như vậy cho 3 tích phân
còn lại và đi đến kết luận là đa chập
γ
∗
(f, g, h)(x) ∈ L(R
+
) . Mặt khác áp
dụng công thức (1.4.1) trong [2] trang 23 tập 1 ta nhận được:
+∞

0

cos(xt) sin(yt) sin(tv)e
−(α+iu)t
dt
=
1
2
+∞

0
[sin(x + y)t + sin(x −y)t] sin tve
−(α+iu)t
dt
=
1
4
+∞

0
[cost(x + y − v) −cos(x + y + v) + cos(x −y −v)
− cos(x + y + v)]e
−(α+iu)t
dt
=
1
4
+∞

0

−α + iu

(α + iu)
2
+ (x + v − y)
2
−
α + iu
(α + iu)
2
+ (x + v + y)
2
+
α + iu
(α + iu)
2
+ (x −v + y)
2
−
α + iu
(α + iu)
2
+ (x −v − y)
2

Điều này dẫn tới
sin(yt) sin(tv)e
−(α+iu)t
=
2
π
+∞


0
cos(tx)

α + iu
(α + iu)
2
+ (x + v − y)
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
−
α + iu
(α + iu)
2
+ (x + v + y)
2
+
α + iu
(α + iu)
2
+ (x −v + y)
2
−
α + iu
(α + iu)
2
+ (x −v − y)
2


dx.
Bởi vậy với y > 0 ta có:
e
−αy
(F f)(y)(F
s
g)(y)(F
s
h)(y)
=
1
π

2
π
+∞

−∞
+∞

0
+∞

0
sin(yt) sin(yv)e
−(α+iu)t
f(u)g(v)h(t)dudvdt
=
2
π

2


2
π
+∞

−∞
+∞

0
+∞

0

+∞

0
cos(ωx)

α+iu
(α+iu)
2
+(x+v−y)
2
−
α+iu
(α+iu)
2
+(x+v+y)

2
+
α+iu
(α+iu)
2
+(x−v+y)
2
−
α+iu
(α+iu)
2
+(x−v−y)
2

dω

f(u)g(v)h(t)dudvdydt
= F
c

δ
∗
(f, g, h)

(y).
Ta chứng minh xong định lý.
Định lý 1.3
Giả thiết f ∈ L(
√
α

2
+ x
2
, R) và g, h, ϕ ∈ L(R
+
) khi đó đa chập
(1.1) thỏa mãn các đẳng thức sau: a)(ϕ
∗
1
(
γ
∗
(f, g, h)) = g
∗
1
(
γ
∗
(f,ϕ, h))
b)(ϕ
∗
1
(
γ
∗
(f, g, h)) = h
∗
1
(
γ

∗
(f, g,ϕ))
c)(ϕ
∗
F
c
(
γ
∗
(f, g, h)) =
γ
∗
(f, (g
∗
1
ϕ), h)
d)(ϕ
∗
F
c
(
γ
∗
(f, g, h)) =
γ
∗
(f, g, (h
∗
1
ϕ))

Ở đây đa chập
γ
∗
( ) được xác định từ (1.1) các tích chập (
∗
F
c
),
(
∗
1
) được xác định trong [7]
Chứng minh: Chứng minh a) Thật vậy từ các đẳng thức nhân
tử hóa của tích chập (
∗
F
c
), (
∗
1
) và đa chập (1.1) ta có:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
F
s

ϕ
∗
1
(

γ
∗
(f, g, h)

(y)=(F
s
ϕ)(y).F
c

γ
∗
(f, g, h )] (y)
=(F
s
ϕ)(y)e
−y
(F f)(y)(F
s
g)(y)(F
s
h)(y)
= (F
s
g)(y)e
−y
(F f)(y)(F
s
ϕ)(y)(F
s
h)(y)

= (F
s
g)(y)F
c
(
δ
∗
(f, ϕ, h)(y)
= F
s
[g
∗
1
(
γ
∗
(f, ϕ, h)(y), ∀y > 0.
Từ đây suy ra

ϕ
∗
1
(
γ
∗
(f, g, h)

=

h

∗
1
(
γ
∗
(f, ϕ, h)

Chứng minh b) tương tự như chứng minh a)
Bây giờ ta chứng minh c) Từ các đẳng thức nhân tử hóa của
tích chập (
∗
F
c
) trong [7] và đa chập (1.1) ta nhận được:
F
c

ϕ
∗
F
c
(
γ
∗
(f, g, h))

(y) = (F
c
ϕ)(y)


F
c
(
γ
∗
(f, g, h)

(y)
= (F
c
ϕ)(y).e
−αy
(F f)(y)(F
s
g)(y)(F
s
h)(y)
= e
−αy
(F f)(y).F
s
(g
∗
1
ϕ)(y)(F
s
h)(y)
= F
c


γ
∗
(f, (g
∗
1
ϕ), h)

(y),∀y > 0.
Do đó ta nhận được : (ϕ
∗
F
c
(
γ
∗
(f, g, h)) =
γ
∗
(f, (g
∗
1
ϕ), h)
Chứng minh d) tương tự như chứng minh c)
Ta chứng minh xong định lý.
Định lý 1.4
Giả thiết f ∈ L(
√
α
2
+ x

2
, R) và g, h ∈ L(R
+
) khi đó đa chập
(1.1) liên hệ với tích chập đã biết như sau:
γ
∗
(f, g, h)(x) =
1
2π
+∞

−∞
+∞

0
f(u)h(y)

k(u, v)
∗
F
g(v).signv

(x + 1)dydu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
−
1
2π
+∞


−∞
+∞

0
f(u)h(y)

k(u
1
, v)
∗
F
g(|v|).signv

(x −1)dudy, x > 0
Ở đây k(u, v) =
α+iu
(α+iu)
2
+v
2
được xác định bởi (1.1) tích chập (
∗
F
)
được xác định trong [7],[13]
Chứng minh :
Từ (1.1), khi đó x >0 ta có:
1
2π

√
2π
+∞

−∞
+∞

0
+∞

0

α + iu
(α + iu)
2
+ (x −1 −v)
2
−
α + iu
(α + iu)
2
+ (x −1 + v)
2

f(u)g(v)h(y)dudvdy
=
1
2π
√
2π

+∞

−∞
+∞

0
+∞

0
α + iu
(α + iu)
2
+ (x −1 −v)
2
f(u)h(y)g(|v|)dud(−v)dy
−
1
2π
√
2π
+∞

−∞
+∞

0
+∞

0
(α + iu)signv

(α + iu)
2
+ (x −1 −v)
2
f(u)h(y)g(|v|)dudvdy
=
1
2π
√
2π
+∞

−∞
+∞

0
+∞

−∞
(α + iu)(−signv)f(u)h(v)g(|v|)dud(v)dy
−
1
2π
√
2π
+∞

−∞
+∞


0
+∞

0
(α + iu)signv
(α + iu)
2
+ (x −1 −v)
2
f(u)h(y)g(|v|)dudvdy
= −
1
2π
√
2π
+∞

−∞
+∞

0
+∞

−∞
(α + iu)signv
(α + iu)
2
+ (x −1 −v)
2
f(u)h(y)g(|v|)dudvdy

= −
1
2

+∞

−∞
+∞

0
f(u)h(y)

k(u, v)
∗
F
g(|v|)signv

(x −1)dudy, (1.3)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Mặt khác ta có:
1
2π
√
2π
+∞

−∞
+∞


0
+∞

0

α + iu
(α + iu)
2
+ (x + 1 −v)
2
−
α + iu
(α + iu)
2
+ (x + 1 + v)
2

f(u)g(v)h(y)dudvdy
=
1
2π
√
2π
+∞

−∞
+∞

0
+∞


0
α + iu
(α + iu)
2
+ (x + 1 −v)
2
f(u)h(y)g(|v|)dudyd(−v)
−
1
2π
√
2π
+∞

−∞
+∞

0
+∞

−∞
α + iu
(α + iu)
2
+ (x + 1 −v)
2
f(u)h(y)g(|v|)dvdudy
=
1

2π
√
2π
+∞

−∞
+∞

0
+∞

0
(α + iu)signv
(α + iu)
2
+ (x + 1 −v)
2
f(u)g(|v|)h(y)dvdudy
+
1
2π
√
2π
+∞

−∞
+∞

0
+∞


−∞
(α + iu)signv
(α + iu)
2
+ (x + 1 −v)
2
f(u)g(|v|)h(y)dudvdy
=
1
2π
+∞

−∞
+∞

0
f(u)h(y) [k(u, v)
∗
F
g(|v|)signv] (x + 1)dudy, (1.4)
Từ (1.3) và (1.4) ta nhận được :
γ
∗
(f, g, h)(x) =
1
2

+∞


−∞
+∞

0
f(u)h(y)

k(u, v)
∗
F
g(v).signv

(x + 1)dydu
−
1
2

+∞

−∞
+∞

0
f(u)h(y) [k(u
1
, v)
∗
F
g(|v|).signv] (x −1)dudy, x > 0
Định lý được chứng minh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14
Định lý 1.5 (Định lý kiểu Titchmarch)
Giả sử f ∈ L(e
δ|x|
, R) với δ > 0 và g, h ∈ L(R
+
)
Nên
γ
∗
(f, g, h)(x) ≡ 0 với mọi x >0 thì hoặc f(x) = 0 hoặc h(x) = 0 hoặc
g(x) =0 với mọi x>0
Chứng minh:
Từ giả thiết
γ
∗
(f, g, h)(x)= 0 ∀x > 0 dẫn tới F
c

γ
∗
(f, g, h)

(y)= 0, ∀y > 0
Do định lí (2.1) ta có: e
−αy
(F f)(y)(F
s
g)(y)(F
s

h)(y) = 0, ∀y > 0
Do đó : (F f)(y)(F
s
g)(y)(F
s
h)(y) = 0, ∀y > 0 Vì (F f)(y), (F
s
g)(y)(F
s
h)(y)
là giải tích với mọi y>0 nên từ (2.5) ta có
(F f)(y) = 0, ∀y > 0
hoặc
(F
s
g)(y) = 0, ∀y > 0
hoặc
(F
s
h)(y) = 0, ∀y > 0
Điều đó dẫn tới f(x)=0 với mọi x>0 hoặc g(x)=0 với mọi x>0 hoặc h(x)=0
với mọi x>0.
Ta chứng minh xong định lý.
Định nghĩa 1.6
i) Chuẩn trong không gian L(
√
α
2
+ x
2

, R) được xác định bởi:
f
L(
√
α
2
+x
2
,R)
= π
+∞

−∞

α
2
+ x
2
|f(x)|dx (1.5)
ii) Chuẩn trong không gian L(R
+
) được xác định bởi
f
L(R
+
)
= π
+∞

0

|f(x)|dx (1.6)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Hệ quả 1.7 : Giả thiết f ∈ L(
√
α
2
+ x
2
, R) và g, h ∈ L(R
+
) khi đó bất
đẳng thức sau được thỏa mãn:



γ
∗
(f, g, h)



L(
√
α
2
+x
2
,R)
≤ f

L(
√
α
2
+x
2
,R)
.g
L(R
+
)
.h
L(R
+
)
Chứng minh:
Từ chứng minh định lý 1.1 , 1.5 và 1.6 ta có:
+∞

0



γ
∗
(f, g, h)(x)



dx ≤ π

+∞

−∞
√
α
2
+ x
2
f(u)du.
+∞

0
|g(v)|dv.
+∞

0
|h(y)|dy
Do đó



γ
∗
(f, g, h)



L(R
+
)

≤ f
L(
√
α
2
+x
2
,R)
g
L(R
+
)
h
L(R
+
)
1.4 Áp dụng giải hệ phương trình tích phân
Không nhiều hệ phương trình tích phân loại 2 có thể giải được
nghiệm ở dạng đóng . Đa chập (1.1) được xây dưng ở đây cho phép ta
nhận được nghiệm ở dạng đóng cho một lớp hệ phương trình tích phân.
Bổ đề 1.7. Tích chập suy rông được giới hạn bởi Sneddon năm 1951
trong [7] có thể biểu diễn ở dạng sau :
(f
∗
1
g)(x) =
1
√
2π
+∞


0
g(y) [f(x + y) + sign(x − y)f(|x −y|)] dy, x > 0
(1.7)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Chứng minh:
Sử dụng phép thế x + y = t ta có:
1
√
2π
+∞

0
g(y)f(x + y)dy =
1
√
2π
+∞

x
g(|t −x|)f (t)dt
=
1
√
2π
o

x
g(|t −x|)f (t)dt +

1
√
2π
+∞

0
g(|t −x|)f (t)dt (1.8)
Mặt khác với phép thế x-y=t ta nhận được
1
√
2π
+∞

0
g(y)sign(x −y)f (x −y)dy
=
1
√
2π
+∞

x
g(x −t)signt.f(t)(−dt)
=
1
√
2π
x

+∞

g(x −t)signt.f(|t|)dt
=
1
√
2π
−x

+∞
g(x + t)signt.f(|t|)dt
= −
1
√
2π
0

−x
g(x + t)signt.f(|t|)dt −
1
√
2π
+∞

0
g(x + t)f (t)dt
= −
1
√
2π
0


−x
g(x + t)f (t)dt −
1
√
2π
+∞

0
g(x + t)f (t)dt (1.9)
Vậy (1.8) và (1.9) cho ta (1.7). Ta chứng minh xong bổ đề.
Xét hệ phương trinh tích phân
f(x) + λ
1
+∞

−∞
+∞

0
+∞

0
θ
1
(x, u, v, y)ϕ(u)g(v)ψ(y)dudvdy = h(x)
λ
2
+∞

o

f(t)θ
2
(x, t)dt + g(x) = k(x), x > 0 (1.10)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Ở đây
θ
1
(x, u, v, y) =
1
2π
√
2π

α+iu
(α+iu)
2
+(x+v−y)
2
−
α+iu
(α+iu)
2
+(x+v+y)
2
+
α+iu
(α+iu)
2
+(x−v+y)

2
−
α+iu
(α+iu)
2
+(x−v−y)
2

θ
2
(x, t) =
1
√
2π
[θ(x −t)sign(x −t) + θ(x + t)]
Và λ
1
, λ
2
là các hằng số phức ,ϕ ∈ L(
√
α
2
+ x
2
, R),ψ, θ, k, h ∈ L(R
+
) ;
f và g là các ẩn hàm
Định lý 1.8

Với điều kiện1 − λ
1
λ
2
F
c

γ
∗
(ϕ, θ, ψ)

= 0 với mọi y>0 thì hệ
(1.10) có nghiệm duy nhất thuộc L(R
+
) được xác định như sau:
f(x) = h(x) −λ
1
(
γ
∗
(ϕ, θ, ψ)(x)) +(l
∗
F
c
h)(x)−λ
1
(l
∗
F
c

(
γ
∗
(ϕ, θ, ψ)(x)), x > 0
g(x) = k(x) −(θ
∗
1
h)(x) + (k
∗
1
l)(x) −

(θ
∗
1
h)
∗
1
l

(x), x > 0
ở đây l ∈ L(R
+
) và
(F
c
l)(y) =
λ
1
λ

2
F
c

(
γ
∗
(ϕ, θ, ψ)

(y)
1 −λ
1
λ
2
F
c

(
γ
∗
(ϕ, θ, ψ)

(y)
và đa chập
γ
∗
( ) được xác định (1.1) tích chập (
∗
1
), (

∗
F
c
)
được xác định trong [7], [13]
Chứng minh:
Hệ (1.10) có thể viết lại được ở dạng:
f(x) + λ
1
(
γ
∗
(ϕ, θ, ψ)(x) = h(x), x > 0
λ
1
(θ
∗
1
f)(x) + g(x) = k(x), x > 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.2) và bổ đề (1.7) ta có:
(F
c
f)(y) + λ
1
e
−αy
(F ϕ)(y)(F
s

ψ)(y)(F
s
g)(y) = (F
c
h)(y), y > 0
λ
2
(F
c
f)(y)(F
s
θ)(y) + (F
s
g)(y) = (F
s
k)(y), y > 0
Ta có:
∆ =



1
λ
2
(F
s
θ)(y)
λ
1
e

−αy
(F ϕ)(y)(F
s
ψ)(y)
1



= 1 −λ
1
λ
2
F
c

(
γ
∗
(ϕ, θ, ψ)

(y) = 0
Theo định lý Winer - Levi Tồn tại một hàm l ∈ L(R
+
)để
(F
c
l)(y) =
λ
1
λ

2
F
c

(
γ
∗
(ϕ, θ, ψ)

(y)
1 −λ
1
λ
2
F
c

(
γ
∗
(ϕ, θ, ψ)

(y)
Điều này dẫn tới:
1
∆
= 1 + (F
c
l)(y)
Từ đây ta có:

(F
c
f)(y) = [1 + (F
c
l)(y)]



(F
c
h)(y)
(F
s
k)(y)
λ
1
e
−αy
(F ϕ)(y)(F
s
Ψ)(y)
1



= [1 + (F
c
l)(y)] .

(F

c
h)(y) −λ
1
F
c

γ
∗
(ϕ, k, ψ)

(y)

= (F
c
h)(y) −λ
1
F
c
(
γ
∗
(ϕ, k, ψ))(y) + F
c
(l
∗
F
c
h)(y)
−λ
1

F
c
(l
∗
F
c
(
γ
∗
(ϕ, k, ψ))(y)
Do vậy ta nhận được:
f(x) = h(x) −λ
1
(
γ
∗
(ϕ, θ, ψ)(x) + (l
∗
F
c
h)(x)
−λ
1
(l
∗
F
c
(
γ
∗

(ϕ, k, ψ))(y), x > 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Mặt khác ta lại có:
(F
c
f)(y) = [1 + (F
c
l)(y)]



1
(F
s
θ)(y)
(F
c
h)(y)
(F
c
k)(y)



= [1 + (F
c
l)(y)]

(F

s
k)(y) − F
s
(θ
∗
1
h)(y)

= (F
s
k)(y) − F
s
(θ
∗
1
h)(y) + F
s
(k
∗
1
l)(y) −F
s

(θ
∗
1
h)
∗
1
l


(y)
Do đó:
g(x) = k(x) −(θ
∗
1
h)(x) + (k
∗
1
l)(x) −

(θ
∗
1
h)
∗
1
l

(x), x > 0
Từ giả thiết của định lý ta suy ra được f(x), g(x) ∈ L(R
+
).
Định lý được chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Chương 2
Đa chập với hàm trọng γ(y) = 4e
−βy
đối với các phép biến đổi Fourier,

Fourier sine và Fourier cosine
2.1 Các không gian được sử dụng
Ký hiệu:
L ∈ (

β
2
+ x
2
, R) :=



f :
+∞

−∞

β
2
+ x
2
|f(x)|dx < + ∞



với β ≥ 1 và
L(R
+
) :=




f :
+∞

−∞
|f(x)|dx < + ∞



2.2 Định nghĩa đa chập
Định nghĩa 2.1 Đa chập với hàm trong δ(y) = 4e
−βy
đối với
các phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier và Fourier cosine của
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên