tóm tắt luận án một số phương pháp giải bài toán cân bằng giả đơn điệu và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG
HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ
BÙI VĂN ĐỊNH
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN
CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 62. 46. 01. 12
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI - 2014
Công trình được hoàn thành tại Học viện Kỹ thuật Quân sự
Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TS. Nguyễn Đức Hiếu
2. GS. TSKH. Lê Dũn g Mưu
Phản biện 1: GS. TSKH. Nguyễn Đông Yên, Viện Toán học, Viện
Hàn lâm Khoa học Việt Nam.
Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Hữu Điển, Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội.
Phản biện 3: PGS. TS. Nguyễn Quang Huy, Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2.
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Học viện
họp tại vào hồi giờ ngày tháng năm 2014.
Có thể tìm hiểu luận án tại Thư viện Quốc gia, Thư vi ện Học viện Kỹ
thuật Quân sự.
MỞ ĐẦU
1. LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Sự cân bằng thường được hiểu như là một trạng thái đồng đều
nhau giữa những l ực lượng đối lập nhau hay gi ữa những đối tượng có
ảnh hưởng qua lại lẫn nhau. Mô hình chung cho bài toán cân bằng
EP(C, f) đó là
Tìm x
∗

∈ C sao cho f (x
∗
, y) ≥ 0 với mọi y ∈ C,
trong đó, C ⊆ H là một tập lồi đóng và f : C × C → R ∪ {+∞ } là
song hàm cân bằng, tức là f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C.
Các hướng nghiên cứu thường được đặt ra đối với bài toán cân
bằng là: nghiên cứu những vấn đề đị nh tính như sự tồn tại nghiệm,
cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định và nghiên cứu định lượng bao gồm
xây dựng các thuật toán để giải, tốc độ hội tụ của các thuật toán và
áp dụng vào trong các bài toán thực tế. Trong đó, v iệc nghiên cứu xây
dựng các phương pháp giải chiếm một tỉ trọng lớn trong các hướng
nghiên cứu về bài toán cân bằng. Tính đến nay, đã có nhiều kết quả
đạt được cho một số lớp bài toán cân bằng lồi và đơn điệu, chẳng
hạn như: phương pháp hàm đánh giá, phương pháp sử dụng nguyên
lý bài toán phụ, phương pháp điểm gần kề, phương pháp hi ệu chỉnh
Tikhonov, phương pháp điểm trong và các phương pháp chiếu. Trong
các phương pháp đó thì phương pháp chiếu đóng một vai trò quan
trọng v ì sự đơn giản và thuận tiện khi tính toán. Các thuật toán chiếu
cho bài toán cân bằng thường được phát triển từ các thuật toán chiếu
cho bài toán bất đẳng thức biến phân và một số bài toán khác, trong
đó thuật toán chiếu cho bài toán bất đẳng thức biến phân được đề
xuất bởi M. V. Solodov và B. F. Svaiter năm 1999 có nhiều đặc điểm
nổi bật vì nó chỉ đòi hỏi tính giả đơn điệu theo tập nghiệm, tính liên
tục, của ánh xạ giá mà không đòi hỏi tính chất Lipchitz, từ đó dẫn
đến việc mở rộng thuật toán này cho bài toán cân bằng EP(C, f) là
hết sức cần thiết. Đây là một vấn đề sẽ được giải quyết trong luận án.
1
Ngoài các phương pháp chiếu cho bài toán cân bằng thì các phương
pháp hiệu chỉnh đóng một vai trò quan trọng vì nó cho phép giải quyết
các bài toán đặt không chỉnh (ill-posed problem). Việc áp dụng phương

pháp hiệu chỉnh Tikhonov vào các bài toán cân bằng hay bất đẳng
thức biến phân dẫn đến bài toán tối ưu MNEP(C, f) sau
min{x − x
g
 : x ∈ S
f
},
với x
g
∈ C là m ột điểm chọn trước (đóng vai trò là nghiệm phỏng
đoán) và S
f
là tập nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f). Bằng
cách kết hợp giữa thuật toán chiếu với kỹ thuật siêu phẳng cắt chúng
tôi thu được thuật toán cho bài toán MNEP(C, f).
Cùng với việc nghiên cứu xây dựng các phương pháp giải bài toán
bất đẳng thức biến phân, các nhà toán học còn quan tâm tới bài toán
bất đẳng thức biến phân hai cấp BVIP(C, F, G)
Tìm x
∗
∈ S
F
sao cho G(x
∗
), y − x
∗
 ≥ 0, ∀y ∈ S
F
.
Bằng cách mở rộng kỹ thuật lai ghép giữa phương pháp đạo hàm

tăng cường với kỹ thuật siêu phẳng cắt (hybrid extragradient-viscosity
methods) của P. E. Maingé năm 2008 ta thu được thuật toán cho bài
toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng
VIEP(C, f, G).
Một phương pháp hiệu chỉnh quen thuộc khác là phương pháp điểm
gần kề. Năm 2010, A. Moudafi áp dụng phương pháp này cho lớp bài
toán cân bằng hai cấp đơn điệu và để chứng minh sự hội tụ của thuật
toán đưa ra, A. Moudafi đã đòi hỏi các giả thiết về tính đơn điệu, tính
liên tục của các song hàm, và đặc biệt là giả thiết x
k +1
−x
k
 = o(ǫ
k
),
đây là giả thiết rất khó kiểm chứng vì chúng không liên q uan tới các
dữ liệu đầu vào của bài toán. Do đó, việc tiếp tục nghiên cứu và đề
xuất các thuật toán giải bài toán cân bằng hai cấp là rất cần thiết.
Vấn đề này cũng sẽ được đề cập và giải quyết trong luận án.
2
2. MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI N G HIÊN CỨU
Trong luận án này chúng tôi nghiên cứu các nội dung sau về bài toán
cân bằng và bài toán cân bằng hai cấp:
- Nội d ung 1. Nghiên cứu xây dựng các thuật toán cho bài toán cân
bằng giả đơn điệu và bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn trên tập
nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu.
- Nội dung 2. Nghiên cứu xây dựng thuật toán cho bài toán bất đẳng
thức biến phân đơn điệu mạnh trên tập nghiệm của bài toán cân bằng
giả đơn điệu.
- Nội dung 3. Nghiên cứu xây dựng phương pháp giải bài toán cân

bằng hai cấp.
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Để xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng và một lớp bài toán
cân bằng hai cấp chúng tôi mở rộng phương pháp chiếu của M. V.
Solodov và B. F. Svaiter, quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo đồng thời
kết hợp với kỹ thuật siêu phẳng cắt và kỹ thuật lai ghép giữa thuật
toán đạo hàm tăng cường với phương pháp siêu phẳng cắt. Để xây
dựng phương pháp giải bài toán cân bằng hai cấp chúng tôi sử dụng
phương pháp hàm phạt, kết hợp với phương pháp hàm đánh giá và
nguyên lý bài toán phụ.
4. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN
Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây:
• Xây dựng được thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng giả đơn
điệu theo tập nghiệm của nó. Chứng minh được tính đúng đắn
và sự hội tụ của thuật toán đưa ra, đồng thời áp dụng vào bài
toán cân bằng Nash-Cournot trong mô hình cân bằng thị trường
điện bán độc quyền. Xây dựng được thuật toán chiếu kết hợp
với kỹ thuật siêu phẳng cắt giải bài toán tìm cực tiểu của hàm
chuẩn Euclide trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn
3
điệu. C hứng minh được tính đúng đắn và sự hội tụ của thuật
toán đề xuất.
• Xây dựng được thuật toán lai ghép giữa thuật toán đạo hàm
tăng cường và phương pháp siêu phẳng cắt cho bài toán bất
đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh trên tập nghiệm của bài
toán cân bằng giả đơn điệu. Chứng minh được tính đúng đắn và
sự hội tụ của thuật toán đưa ra, đồng thời áp dụng vào bài toán
bất đẳng thức biến phân hai cấp.
• Để xuất phương pháp hàm phạt cho bài toán cân bằng hai cấp.
Chứng minh định lý về sự hội tụ của dãy nghiệm của các bài

toán phạt tới nghiệm của bài toán cân bằng hai cấp ban đầu.
Đề xuất phương pháp hàm đánh giá giải các bài toán phạt và
mở rộng khái niệm giả ∇-đơn đi ệu từ khái niệm ∇-đơn điệu.
Chứng minh được bất kì điểm dừng nào của hàm đánh giá cũng
là nghiệm của bài toán cân bằng nếu song hàm cân bằng là giả
∇-đơn điệu chặt. Đồng thời chỉ ra hướng giảm của hàm đánh
giá tại những điểm không phải là điểm dừng.Áp dụng phương
pháp này vào bài toán nảy sinh khi ta sử dụng phương pháp hiệu
chỉnh Tikhonov cho bài toán cân bằng giả đơn điệu.
5. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN
Luận án gồm 3 chương:
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị;
Chương 2. Một phương pháp chiếu cho bài toán cân bằng giả đơn điệu
và áp dụng vào một lớp bài toán cân bằng hai cấp.
Chương 3. Kết hợp phương pháp hàm phạt và hàm đánh giá giải bài
toán cân bằng hai cấp.
4
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các khái niệm cũng như các
kết quả bổ trợ cần thiết được sử dụng ở các chương sau.
1.1. Các khái niệm và các kết quả cơ bản
Mục này trình bày một số khái niệm về tập lồi và hàm lồi, đạo
hàm và dưới vi phân của hàm lồi.
1.2. Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng
Mục này dành để trình bày về bài toán cân bằng và một số trường
hợp riêng của nó như: bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán tối
ưu véc tơ, bài toán điểm bất động, bài toán cân bằng Nash trong trò
chơi không hợp tác, tiếp theo trình bày định lý Ky Fan và một số định
lý về sự tồn tại nghiệm cùng tính chất tập nghiệm của bài toán cân

bằng. Ta nhắc lại khái niệm về bài toán cân bằng.
Giả sử C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H và
f : C × C →
¯
R thỏa mãn f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C; một hàm f như
vậy được gọi là song hàm cân bằng (equilibrium bifunction). Bài toán
cân bằng hay bất đằng thức Ky Fan là bài toán
Tìm x
∗
∈ C sao cho f (x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ C .
Ta sẽ ký hiệu bài toán này là EP(C, f) và tập nghiệm của nó là S
f
.
1.3. Bài toán cân bằng tương đương
Trong mục này, chúng tôi trì nh bày định lý về điều kiện để bài
toán cân bằng EP(C, f) tương đương với bài toán cân bằng EP(C, g)
và một hệ quả trực tiếp của nó là nguyên lý bài toán phụ cho bài toán
cân bằng cùng một số bổ đề cần thiết cho việc xây dựng và chứng
5
minh sự hội tụ của các thuật toán ở chương sau.
1.4. Bài toán cân bằng hai cấp
Giả sử C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H và
f, g : C × C → R ∪ {+∞} là các song hàm cân bằng xác định trên C.
Ta xét bài toán cân bằng hai cấp (bilevel equilibrium problem) hay
bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán cân bằng BEP(C, f, g)
sau
Tìm điểm x
∗

∈ S
f
sao cho g(x
∗
, y) ≥ 0 ∀y ∈ S
f
,
ở đó, S
f
là tập nghiệm của bài toán cân bằng
Tìm điểm u ∈ C sao cho f(u, y) ≥ 0 ∀y ∈ C.
Bài toán BEP(C, f, g), theo sự hiểu biết của chúng tôi được A.
Moudafi [45] xét đến đầu tiên năm 2010 và xây dựng phương pháp
điểm gần kề cho lớp bài toán này khi các song hàm f, g là đơn điệu
trên C. Tuy có dạng đơn giản nhưng bài toán BEP(C, f, g) khá tổng
quát vì nó chứa nhiều lớp bài toán quan trọng khác như là các trường
hợp riêng của nó, chẳng hạn như: Bài toán bất đẳng thức biến phân
hai cấp, bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài
toán cân bằng.
6
Chương 2
MỘT PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CHO BÀI TOÁN CÂN
BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO MỘT LỚP
BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu xây dựng thuật toán chiếu
giải bài toán cân bằng giả đơn điệu, áp dụng thuật toán này vào mô
hình cân bằng Nash-Cournot trong thị trường điện bán độc quyền,
đồng thời kết hợp thuật toán này với các kỹ thuật siêu phẳng cắt để
xây dựng phương pháp giải cho bài toán tối ưu của hàm chuẩn Euclide
trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu và bài toán bất

đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn
điệu.
Nội dung của chương này dựa trên các bài báo [2] , [3] trong Danh
mục công trình khoa học của tác giả l iên quan đến luận án.
2.1. Đặt bài toán
Giả sử Ω ⊆ R
n
là một tập lồi mở chứa tập lồi đóng C và f : Ω×Ω → R
là song hàm cân bằng xác định trên C; G : Ω → R
n
là toán tử xác
định trên Ω. Trong chương này, chúng tôi sẽ xây dựng thuật toán giải
các bài toán sau:
• Bài toán cân bằng EP(C, f)
Tìm x
∗
∈ C sao cho f(x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ C.
Gọi S
f
là tập nghiệm của bài toán EP(C, f).
• Bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn Euclide trên tập nghiệm
của bài toán cân bằng MNEP(C, f)
min{x − x
g
 : x ∈ S
f
}
với x

g
∈ C là một đi ểm cho trước.
7
• Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán
cân bằng VIEP(C, f, G)
Tìm x
∗
∈ S
f
sao cho G(x
∗
), y − x
∗
 ≥ 0, ∀y ∈ S
f
.
Trong chương này, chúng tôi sẽ sử dụng các giả thiết sau:
(A1) Hàm f(., y) liên tục trên Ω với mỗi y ∈ C;
(A2) Hàm f(x, .) là lồi trên Ω với mỗi x ∈ C;
(A3) Hàm f là giả đơn điệu trên C theo tập nghiệm S
f
của bài toán
cân bằng EP(C, f);
(A4) Toán tử G là L-Lipschitz và β-đơn điệu mạnh trên C;
(B1) Hàm h(.) là δ-lồi mạnh và khả vi liên tục trên Ω;
(B2) {λ
k
} là dãy số dương sao cho

∞

k =0
λ
k
= ∞;

∞
k =0
λ
2
k
< ∞.
Với mỗi z ∈ C, ta kí hiệu
∂
2
f(z, z) = {w ∈ R
n
: f (z, y) ≥ f(z, z) + w, y − z, ∀y ∈ C}
= {w ∈ R
n
: f (z, y) ≥ w, y − z, ∀y ∈ C},
và với w ∈ ∂
2
f(z, z), H
z
= {x ∈ R
n
: w, x − z ≤ 0}.
Bổ đề 2.1. Giả s ử song hàm cân bằng f thỏa mã n các giả thiết (A2)
và (A3), khi đó ta có S
f

⊆ H
z
với mọi z ∈ C.
Bổ đề 2.2. Giả sử các giả thiết (A1) và (A2) đ ư ợc thỏa mãn và
{z
k
} ⊂ C là một dãy hội tụ về ¯z sao cho {w
k
} hộ i tụ về ¯w, với
w
k
∈ ∂
2
f(z
k
, z
k
) với mọi k, khi đó ta có ¯w ∈ ∂
2
f(¯z, ¯z).
Bổ đề 2.3. Giả sử song hàm cân bằng f thỏa mãn các giả thiết (A1),
(A2), hàm h thỏa mãn giả thiết (B1). Nếu {x
k
} ⊂ C là m ột dãy bị
chặn và {y
k
} là dãy được xác định bởi
y
k
= arg min


f(x
k
, y)+
1
ρ

h(y)−h(x
k
)−∇h(x
k
), y −x
k


: y ∈ C

,
thì {y
k
} là dãy bị chặn.
8
Bổ đ ề 2.4. ([60]) Giả sử x ∈ R
n
và u = P
C∩H
z
(x). Khi đó ta có
u = P
C∩H

z
(¯x), với ¯x = P
H
z
(x).
Bổ đề 2.5 . ([38, Lemma 3.1]). Giả sử {a
k
} là một dãy số thực không
giảm ở vô cùng, tức là tồn tại một dãy con {a
k
j
} của dãy {a
k
} sao
cho
a
k
j
< a
k
j
+1
với mọi j ≥ 0.
Gọi {σ(k)}
k ≥k
0
là dãy các số tự nhiên d ư ơng đ ư ợc xác đ ịnh bởi
σ(k) = max{j ≤ k | a
j
< a

j+1
}.
Khi đó, {σ(k)}
k ≥k
0
là một dã y số không giảm thỏa mãn
lim
k →∞
σ(k) = ∞
và, với mọi k ≥ k
0
, ta có:
a
σ(k)
≤ a
σ(k)+1
(2.3)
a
k
≤ a
σ(k)+1
(2.4)
2.2. Thuật toán chiếu cho bài toán cân bằng
Thuật toán 2.1
Bước khởi tạo. Chọn x
0
∈ C và η ∈ (0, 1), ρ > 0.
Bước lặp thứ k (k = 0, 1, 2, ). Có x
k
, thực hiện các bước:

Bước 1 . Giải bài toán quy hoạch lồi mạnh
min

f(x
k
, y) +
1
ρ

h(y) − h(x
k
) − ∇h(x
k
), y − x
k


: y ∈ C

,
thu được nghiệm duy nhất y
k
.
Nếu f(x
k
, y
k
)+
1
ρ


h(y
k
)−h(x
k
)−∇h(x
k
), y
k
−x
k


≥ 0, thì dừng
thuật toán: x
k
∈ S
f
. Ngược lại, thực hi ện Bước 2.
Bước 2 (quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo). Tìm số nguyên
dương m
k
nhỏ nhất trong các số nguyên dương m thỏa mãn










z
k ,m
= (1 − η
m
)x
k
+ η
m
y
k
,
w
k ,m
∈ ∂
2
f(z
k ,m
, z
k ,m
),
w
k ,m
, x
k
− y
k
 ≥
1

ρ

h(y
k
) − h(x
k
) − ∇h(x
k
), y
k
− x
k


.
(2.5)
9
Bước 3 . Đặt η
k
:= η
m
k
, z
k
:= z
k ,m
k
, w
k
:= w

k ,m
k
, và
C
k
:= {x ∈ C : w
k
, x − z
k
 ≤ 0}, x
k +1
:= P
C
k
(x
k
), (2.6)
rồi chuyển sang Bư ớc lặp thứ k với k được thay bằng k + 1.
Nhận xét 2.1. • w
k
= 0 ∀k;
• Để áp dụng quy tắc Armijo, trong mỗi bước ở Bước lặp thứ k ta
chỉ cần tính một dưới đạo hàm của hàm f.
Bổ đề 2.6. Giả sử f thỏa mãn các giả thiết (A1), (A2) khi đó, quy
tắc tìm kiếm theo tia Armijo (2 .5 ) được xác định tốt theo nghĩa, ở mỗi
bước lặp thứ k, tồn tại một số nguyên dương m thỏa mãn bất đẳng
thức trong (2.5) với mọi w
k ,m
∈ ∂
2

f(z
k ,m
, z
k ,m
), thêm vào đó , nếu
song hàm f thỏa mãn giả thiết (A3), thì với mỗi nghiệm x
∗
của bài
toán cân bằng EP(C, f ), ta có
x
k +1
− x
∗

2
≤ x
k
− x
∗

2
− x
k +1
− ¯x
k

2
−

η

k
δ
ρw
k


2
x
k
− y
k

4
∀k,
(2.8)
ở đó ¯x
k
= P
H
z
k
(x
k
).
Định lí 2 .1. Giả sử bài toán cân bằng EP(C, f) có nghiệm và song
hàm cân bằng f liên tục theo cả hai biến trên Ω. Kh i đó, nếu các giả
thiết (A2), (A3) đ ư ợc thỏa mãn thì dãy {x
k
} sinh bởi Thuật toán 2.1
hội tụ về một nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f).

Một trường hợp riêng của bài toán EP(C, f) là bài toán VIP(C, F ):
Tìm x
∗
∈ C : F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0 ∀x ∈ C
ở đó F : R
n
→ R
n
. Bằng cách đặt f(x, y) = F (x), y −x, thì bài toán
VIP(C, F ) trở thành bài toán EP(C, f). Trong trường hợp này, ta có
∂
2
f(x, x) = F (x), bằng cách chọn h(x) = x
2
, thì Thuật toán 2.1 trở
thành Thuật toán 2.2 sau:
10
Thuật toán 2.2. Lấy x
0
= x
g
∈ C và ρ > 0, η ∈ (0, 1).
Ở bước lặp thứ k (k = 0, 1, 2, ). Có x
k
, thực hiện các bước:
Bước 1 . Tính y

k
= P
C
(x
k
−
ρ
2
F (x
k
)).
Nếu y
k
= x
k
, thì dừng, x
k
là nghiệm của bài toán VIP(C, F ),
ngượ c lại chuyển sang Bước 2.
Bước 2. Tìm m
k
là số nguyên dương nhỏ nhất trong các số nguyên
dương m thỏa mãn
F (z
k ,m
), x
k
− y
k
 ≥

1
ρ
y
k
− x
k

2
, (2.19)
ở đó z
k ,m
= (1 − η
m
)x
k
+ η
m
y
k
.
Đặt η
k
= η
m
k
, z
k
= z
k ,m
k

.
Bước 3 . T ính x
k +1
= P
C
k
(x
k
), với
C
k
= {x ∈ C : F (z
k
), x − z
k
 ≤ 0}. (2.20)
Tăng k lên 1 đơn vị và quay vể Bước 1.
Áp dụng Bổ đề 2.6 và Định lý 2.1 vào Thuật toán 2.2 ta thu được các
kết quả sau
Hệ quả 2.1. Giả sử bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(C, F ) có
nghiệm và hàm F là liên tục trên R
n
, giả đơn điệu trên C theo tập
nghiệm S
F
của nó, khi đ ó với mỗi x
∗
∈ S
F
ta có

x
k +1
−x
∗

2
≤ x
k
−x
∗

2
−x
k +1
− ¯x
k

2
−

η
k
ρF (z
k
)

2
x
k
−y

k

4
∀k,
(2.21)
Hệ quả 2.2. Với các giả thiết của Hệ quả 2.1 thì dãy {x
k
} sinh bởi
Thuật toán 2.2 hội tụ tới một nghiệm của bài toán VIP(C, F ).
Nhận xét 2. 2. Thuật toán 2.2 được đề xuất bởi M. V. Solodov và
B. F. Svaiter trong bài báo [60]. Các Hệ quả 2.1 và Hệ quả 2.2 cũng
được chứng minh trong bài báo đó.
11
2.3. Áp dụng vào bài toán cân bằng Nash-Cournot trong mô hình
cân bằng thị trường điện bán độc quyền
Mục này dành để trình bày một áp dụng của Thuật toán 2 .1 giải bài
toán cân bằng Nash-Cournot trong mô hình cân bằng thị trường điện
bán độc quyền theo các dữ li ệu trong các bài báo [23] của J. Contreras,
M. Klusch, và J. B. Krawczyk (2004) và [56] của T. D. Quoc, P. N.
Anh, và L. D. Muu (2012).
2.4. Áp dụng vào bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn Euclide trên
tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu
Trong mục này, chúng tôi sẽ kết hợp Thuật toán 2.1 với kỹ thuật siêu
phẳng cắt để thu được thuật toán cho bài toán MNEP(C, f)
Thuật toán 2.3.
Bước khởi tạo. Chọn x
0
= x
g
và ρ > 0, η, σ ∈ (0, 1).

Bước lặp thứ k (k = 0, 1, 2, .). Có x
k
, thực hiện các bước sau:
Bước 1 . Giải bài toán quy hoạch lồi mạnh sau
min

f(x
k
, y) +
1
ρ

h(y) − h(x
k
) − ∇h(x
k
), y − x
k


: y ∈ C

,
để thu được nghiệm duy nhất y
k
. Nếu x
k
= y
k
, lấy u

k
= x
k
và chuyển
sang Bước 4. Ngược lại, thực hiện Bước 2.
Bước 2. T ìm m
k
là số nguyên dương nhỏ nhất trong các số nguyên
dương m thỏa mãn









z
k ,m
= (1 − η
m
)x
k
+ η
m
y
k
:
w

k ,m
∈ ∂
2
f(z
k ,m
, z
k ,m
),
w
k ,m
, x
k
− y
k
 ≥
1
ρ

h(y
k
) − h(x
k
) − ∇h(x
k
), y
k
− x
k



.
(2.25)
Đặt η
k
= η
m
k
, z
k
= z
k ,m
k
, w
k
= w
k ,m
.
Bước 3 . Lấy u
k
= P
C
k
(x
k
), với
C
k
= {x ∈ C : w
k
, x − z

k
 ≤ 0}. (2.26)
12
Bước 4 . Xác định hai nửa không gian sau
B
k
= {x : u
k
− x ≤ x
k
− x}, (2.27)
D
k
= {x : x − x
k
, x
g
− x
k
 ≤ 0}, (2.28)
và tính A
k
= B
k
∩ D
k
∩ C,
x
k +1
= P

A
k
(x
g
). (2.29)
Nếu x
k +1
= x
k
, thì dừng, x
k
là nghiệm của bài toán MNEP(C, f).
Ngược lại, quay lại Bước lặp thứ k với k được thay bởi k + 1.
Nhận xét 2.3. Nếu x
k +1
= x
k
thì từ (2.27), (2.26) và (2.25) ta suy
ra x
k
∈ S
f
. Mà S
f
⊆ A
k
, ∀k nên ta có x
k +1
= P
S

f
(x
g
).
Bổ đ ề 2.7. Giả sử u
k
= P
C
k
(x
k
) và x
∗
là một nghiệm bất kì của bài
toán cân bằng EP(C, f). Khi đó ta có
u
k
−x
∗

2
≤ x
k
−x
∗

2
−u
k
−¯x

k

2
−

η
k
δ
ρw
k


2
x
k
−y
k

4
∀k. (2.30)
Định lí 2.2. Giả sử cá c giả thiết của Định lý 2.1 được thỏa mãn, khi
đó dãy {x
k
} và {u
k
} sinh bởi Thuật toán 2.3 hội tụ tới ngh iệm duy
nhất của bài toán MNEP(C, f).
Áp dụng Thuật toán 2.3 vào bài toán MNVIP(C, F ) ta thu được
Thuật toán 2.4 sau
Thuật toán 2.4.

Bước khởi tạo. Lấy x
0
= x
g
∈ C và ρ > 0, η, σ ∈ (0, 1).
Bước lặp thứ k, (k = 0, 1, 2, ). Có x
k
, thực hiện các bước:
Bước 1 . Tính y
k
= P
C
(x
k
−
ρ
2
F (x
k
)).
Nếu y
k
= x
k
, thì lấy u
k
= x
k
và chuyển sang Bước 4 .
Bước 2. Tìm m

k
là số nguyên dương nhỏ nhất trong các số nguyên
dương m thỏa mãn



z
k ,m
= (1 − η
m
)x
k
+ η
m
y
k
,
F (z
k ,m
), x
k
− y
k
 ≥
1
ρ
y
k
− x
k


2
.
(2.38)
13
Đặt η
k
= η
m
k
, z
k
= z
k ,m
k
Bước 3 . Lấy u
k
= P
C
k
(x
k
), với
C
k
= {x ∈ C : F (z
k
), x − z
k
 ≤ 0}. (2.39)

Bước 4 . Xác định hai nửa không gian sau
B
k
= {x : u
k
− x ≤ x
k
− x}, (2.40)
D
k
= {x : x − x
k
, x
g
− x
k
 ≤ 0}, (2.41)
và tính A
k
= B
k
∩ D
k
∩ C,
x
k +1
= P
A
k
(x

g
). (2.42)
Nếu x
k +1
= x
k
, thì dừng, x
k
là nghiệm. Ngược lại, thay k bởi k + 1
và quay về Bước lặp thứ k.
Áp dụng Bổ đề 2.7 và Định lý 2.2 vào Thuật toán 2.4 ta thu được các
hệ quả sau
Hệ quả 2.3. Giả sử bài toán VIP(C, F ) có nghiệm và toán tử F
liên tục trên Ω, giả đơn điệu trên C theo tập nghiệm S
F
của bài toán
VIP(C, F ), khi đó với mỗi x
∗
∈ S
F
ta có
u
k
− x
∗

2
≤ x
k
− x

∗

2
− u
k
− ¯x
k

2
−

η
k
ρF (z
k
)

2
x
k
− y
k

4
∀k.
(2.43)
ở đó ¯x
k
= P
H

k
(x
k
) và H
k
= {x ∈ R
n
: F (z
k
), x − z
k
 ≤ 0}.
Hệ quả 2.4. Với cá c giả thiết của Hệ qủa 2 .3 thì cá c dãy {x
k
}, {u
k
}
sinh bởi Thuật toán 2.4 hội tụ tới điểm x
∗
là hình chiếu của điểm x
g
lên tập ngh iệm của bài toán VIP(C, F ).
2.5. Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm
của bài toán cân bằng
2.5.1. Đặt bài toán
Mục này dành để giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân trên
tập nghiệm của bài toán cân bằng VIEP(C, f, G).
14
2.5.2. Thuật toá n chiếu cho bài toán VIEP(C, f, G)
Thuật toán 2.5.

Bước khởi tạo. Chọn x
0
∈ C và các tham số η ∈ (0, 1), ρ > 0.
Bước lặp thứ k (k = 0, 1, 2, ). Có x
k
, thực hiện các bước sau:
Bước 1 . Giải bài toán quy hoạch lồi mạnh
min

f(x
k
, y) +
1
ρ

h(y) − h(x
k
) − ∇h(x
k
), y − x
k


: y ∈ C

thu được nghiệm duy nhất y
k
.
Nếu y
k

= x
k
, thì đặt u
k
= x
k
và chuyển tới Bước 4. Ngược lại,
chuyển sang Bước 2.
Bước 2. (Quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo). Tìm m
k
là số nguyên
dương nhỏ nhất trong các số nguyên dương m thỏa mãn









z
k ,m
= (1 − η
m
)x
k
+ η
m
y

k
:
w
k ,m
∈ ∂
2
f(z
k ,m
, z
k ,m
),
w
k ,m
, x
k
− y
k
 ≥
1
ρ

h(y
k
) − h(x
k
) − ∇h(x
k
), y
k
− x

k


(2.46)
Bước 3 . Đặt η
k
= η
m
k
, z
k
= z
k ,m
k
, w
k
= w
k ,m
k
,
C
k
= {x ∈ C : w
k
, x − z
k
 ≤ 0}, và tính u
k
= P
C

k
(x
k
). (2.47)
Bước 4. Đặt x
k +1
= P
C
(u
k
− λ
k
G(u
k
)) và chuyển về Bước lặp thứ
k với k được thay thế bởi k + 1.
Nhận xét 2.4. • Nếu u
k
= x
k
thì x
k
∈ S
f
. Nếu u
k
= x
k
= x
k +1

,
thì x
k
là nghiệm của bài toán VIEP(C, f, G).
• w
k
= 0 ∀k.
Bổ đề 2.8. Giả sử các giả thiết (A1), (A2), (A3) và (A4) được thỏa
mãn, khi đó, quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo (2.46) được xá c định
đúng đắn theo nghĩa, ở mỗi bước lặp k, tồn tại số nguyên dương m > 0
thỏa m ãn bất đẳng thức trong (2.46) với mọi w
k ,m
∈ ∂
2
f(z
k ,m
, z
k ,m
),
15
thêm vào đó, với mọi nghiệm x
∗
của bài toán cân bằng EP(C, f), ta
có
x
k +1
− x
∗

2

≤ x
k
− x
∗

2
− u
k
− ¯x
k

2
−

η
k
δ
ρw
k


2
x
k
− y
k

4
− 2λ
k

u
k
− x
∗
, G(u
k
) + λ
2
k
G(u
k
)
2
∀k.
(2.48)
ở đó ¯x
k
= P
H
z
k
(x
k
).
Bổ đề 2.9. Giả sử các giả thiết (A1), (A2), (A3) và (A4) được thỏa
mãn thì các dãy {x
k
}, {u
k
} sinh bởi Thuật toán 2.5 là bị chặn.

Bổ đề 2.10. Tồn tại một dãy con {x
k
i
} ⊂ {x
k
} hội tụ về một điểm
¯x ∈ C, hơn nữa các dãy {y
k
i
}, {z
k
i
} và {w
k
i
} đều bị chặn.
Bổ đề 2.11. Nếu dãy con {x
k
i
} ⊂ {x
k
} hội tụ về m ột đ iểm ¯x nào đó
và
y
k
i
− x
k
i


4
(
η
k
i
w
k
i

)
2
→ 0 khi i → ∞, (2.60)
thì ¯x ∈ S
f
.
Định lí 2.3. Giả sử tập nghiệm S
f
của bài toán cân bằng EP(C, f) là
khác rỗng và hàm h(.), dã y {λ
k
} thỏa mãn các điều kiện (B1), (B2)
tương ứng, thì với các giả thiết (A1), (A2), (A3) và (A4), d ãy {x
k
}
sinh bởi Thuật toán 2.5 hội tụ về nghiệm duy nhất x
∗
của bài toán
VIEP(C, f, G).
2.5.3. Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp
Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BVIP(C, F, G)

thì Thuật toán 2.5 trở thành
Thuật toán 2.6.
Bước khởi tạo. Chọn x
0
∈ C và các tham số η ∈ (0; 1), ρ > 0.
Bước lặp thứ k (k = 0, 1, 2, .). Có x
k
ta thực hiện các bước:
Bước 1 .
y
k
= P
C
(x
k
−
ρ
2
F (x
k
)).
16
Nếu y
k
= x
k
, thì đặt u
k
= x
k

và chuyển tới Bước 4.
Ngược lại, chuyển sang Bước 2 .
Bước 2 (Quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo). Tìm m
k
là số nguyên
dương nhỏ nhất trong các số nguyên dương m thỏa mãn



z
k ,m
= (1 − η
m
)x
k
+ η
m
y
k
:
F (z
k ,m
), x
k
− y
k
 ≥
1
ρ
y

k
− x
k

2
.
(2.71)
Bước 3 . Đặt η
k
= η
m
k
, z
k
= z
k ,m
k
. Tính
C
k
= {x ∈ C : F (z
k
), x − z
k
 ≤ 0}, u
k
= P
C
k
(x

k
). (2.72)
Bước 4. Đặt x
k +1
= P
C
(u
k
− λ
k
G(u
k
)) và chuyển về Bước lặp thứ
k với k được thay thế bởi k + 1.
Áp dụng Định lý 2.3 vào thuật toán trên ta thu được hệ quả sau
Hệ quả 2.5. Giả s ử tập nghiệm S
F
của bài toán bất đẳng thức biến
phân VIP(C, F ) l à khác rỗng, toán tử F là liên tục trên Ω, giả đơn
điệu theo tậ p S
F
trên C, toán tử G thỏa mãn giả thiết (A4) và dãy số
{λ
k
} thỏa mãn giả thiết (B2), thì dãy {x
k
} sinh bởi Thuật toán 2.6
hội tụ về nghiệm duy nhất x
∗
của bài toán bất đẳng thức biến phân hai

cấp BVIP(C, F, G).
17
Chương 3
KẾT HỢP PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT VÀ HÀM
ĐÁNH GIÁ GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP
Trong chương này, chúng tôi sẽ kết hợp phương pháp hàm phạt
và phương pháp hàm đánh giá giải bài toán cân bằng hai cấp, đồng
thời áp dụng các phương pháp đề xuất vào bài toán nảy sinh khi ta
sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán cân bằng.
Nội dung của chương này dựa trên bài báo [1] trong Danh mục
công trình k hoa học của tác giả liên quan đến luận án.
3.1. Đặt bài toán
Giả sử C là một tập lồi đóng trong R
n
và f, g : C ×C → R là các song
hàm cân bằng xác định trên C. Chúng tôi xét bài toán cân bằng hai
cấp BEP(C, f, g) sau
Tìm x
∗
∈ S
f
sao cho g(x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ S
f
, (3.1)
ở đó S
f
= {u ∈ C : f(u, y) ≥ 0, ∀y ∈ C}.
3.2. Phương pháp hàm phạt

Ta nhắc lại rằng, song hàm cân bằng ϕ : C × C → R được gọi là đơn
điệu mạnh trên C với hệ số β > 0 nếu
ϕ(x, y) + ϕ(y, x) ≤ −β||x − y||
2
∀x, y ∈ C,
và được gọi là thỏa mã n điều kiện bức (hay ngắn gọn là bức) trên C
nếu tồn tại một tập com pắc B ⊂ R
n
và một véc tơ y
0
∈ B ∩ C sao
cho
ϕ(x, y
0
) < 0, ∀x ∈ C \ B.
Mệnh đề 3.1. Giả sử ϕ là đơn điệu mạnh trên C với hệ số β > 0,
sao cho ϕ(x, .) là lồi và nửa liên tục dướ i theo biến thứ hai với mọi
x ∈ C. Khi đó, với mỗi y ∈ C tồ n tại một tập com pắc B sao cho
y ∈ B và ϕ(x, y) < 0 ∀x ∈ C \ B .
18
Hệ quả 3.1. [ 36, Proposition 2.1.16] Nếu song hàm cân bằng ϕ là
đơn điệu mạnh trên C, và ϕ(x, .) là lồi, nửa liên tục dưới theo biến
thứ hai với mỗi x ∈ C, thì ϕ là bức trên C.
Hệ quả 3.2. Giả sử song h àm g là đơn điệu mạnh trên C, và g(x, .)
là lồi, nửa liên tục d ư ới theo biến thứ hai vớ i mỗi x ∈ C. Nếu song
hàm f là bức trên C thì, với mọi số ǫ > 0, song h àm f + ǫg là bức đều
theo ǫ trên C, tức là, tồn tại một điểm y
0
∈ C và một tập com pắc B
không phụ thuộc vào ǫ sao cho

f(x, y
0
) + ǫg(x, y
0
) < 0 ∀x ∈ C \ B.
Nhận x ét 3. 1. Hai song hàm cân bằng f và g là bức và giả đơn điệu
trên C, thì tổng của nó f + g không nhất thiết là bức và giả đơn điệu
trên C.
Ví dụ 3.1. Xét hai song hà m f(x, y) = (x
2
y
1
− x
1
y
2
)e
x
2
và
g(x, y) = (x
1
y
2
− x
2
y
1
)e
x

1
xác định trên tập
C = {(x
1
, x
2
)
T
∈ R
2
: −1 ≤ x
1
,
1
10
(x
1
− 9) ≤ x
2
≤ 10x
1
+ 9}.
Khi đó, ta có
(a) f(x, y), g(x, y) là giả đơn điệu và bức trên C;
(b) Với mọi số ǫ > 0, hàm f
ǫ
(x, y) = f(x, y) + ǫg(x, y) không là giả
đơn điệu và cũng không thỏa mãn điệu kiện bức trên C.
Bây giờ với mỗi số ǫ > 0 cố định, đặt f
ǫ

= f + ǫg, ta xét bài toán
cân bằng phạt PEP(C, f
ǫ
) được xác định như sau
Tìm ¯x
ǫ
∈ C sao cho f
ǫ
(¯x
ǫ
, y) = f (¯x
ǫ
, y) + ǫg(¯x
ǫ
, y) ≥ 0 ∀y ∈ C.
Tập nghiệm của bài toán phạt PEP(C , f
ǫ
) được kí hiệu là S
f
ǫ
.
Định lí 3.1. Giả sử f, g là giả đơn điệu, nửa liên tục trên theo biến
thứ nhất và nửa liên tục dưới, lồi theo biến thứ hai trên C. Khi đó bất
kì điểm tụ nào của dãy {x
k
} với x
k
∈ S
f
ǫ

k
với mọi k, khi ǫ
k
→ 0 đều
19
là nghiệm của bài toán cân bằng hai cấp ban đầu. Thêm vào đó, nếu
hàm g là đơ n điệu mạnh và hàm f là bức ở trên C, thì với mỗi ǫ
k
> 0
bài toán phạt PEP(C, f
ǫ
k
) có nghiệm và bất kì dã y {x
k
} với x
k
∈ S
f
ǫ
k
đều hội tụ tới nghiệm duy nhấ t của bài toán ha i cấp (3 .1 ) khi ǫ
k
→ 0.
Nhận xét 3.2. Định lý 3.1 cho phép ta chuyển việc giải bài toán
BEP(C, f, g) về giải một dãy các bài toán phạt PEP(C, f
ǫ
). Nếu f
và g là đơn điệu, thì bài toán phạt PEP(C, f
ǫ
) cũng là đơn điệu nên

PEP(C, f
ǫ
) có thể được giải bởi các phương pháp hiện có. Tuy nhiên,
nếu f hoặc g là giả đơn điệu thì bài toán phạt PEP(C, f
ǫ
), có thể
không thừa hưởng bất kì tính chất đơn điệu nào từ f và g khi đó các
phương pháp có sử dụng tính chất đơn điệu không thể áp dụng cho
bài toán PEP(C, f
ǫ
) một cách trực tiếp.
3.3. Hàm đánh giá và hướng giả m
Trong mục này, ta giả thiết các hàm f và g là nửa liên tục dưới, lồi
trên C theo biến thứ hai.
Định ngh ĩa 3.1. Hàm ϕ : C → R ∪ {+∞} được gọi là một hàm đánh
giá (gap fu nction) cho bài toán PEP(C, f
ǫ
) nếu
(a) ϕ(x) ≥ 0 ∀x ∈ C;
(b) ϕ(¯x) = 0 khi và chỉ khi ¯x là nghiệm của bài toán PEP(C, f
ǫ
).
Mệnh đề 3.2. ([xem 42]) Giả sử l : C × C → R là hàm số khả vi,
không âm, lồi mạnh theo biến thứ h ai trên C và thỏa mãn
(a) l(x, x) = 0 ∀x ∈ C;
(b) ∇
y
l(x, x) = 0 ∀x ∈ C.
Khi đó, h àm ϕ
ǫ

(x) = − min
y∈C
[f(x, y) + ǫ[g(x, y) + l(x, y)] ] là một
hàm đánh giá hữu hạn cho bài toán PEP(C, f
ǫ
). Nếu thêm vào đó, f
và g l à khả vi theo biến thứ nhất sao cho ∇
x
f(x, y), ∇
x
g(x, y) là hàm
liên tục trên C × C, thì ϕ
ǫ
(x) là hàm khả vi trên C và
∇ϕ
ǫ
(x) = −∇
x
g
ǫ
(x, y
ǫ
(x)),
20
ở đó g
ǫ
(x, y) = f(x, y) + ǫ[g(x, y) + l(x, y)],
và y
ǫ
(x) = arg min

y∈C
{g
ǫ
(x, y)}.
Định nghĩa 3.2. Song hàm khả vi f : C × C → R được gọi là:
(a) ∇-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số τ > 0 sao cho:
∇
x
f(x, y) + ∇
y
f(x, y), y − x ≥ τ||y − x| |
2
∀x, y ∈ C;
(b) ∇-đơn điệu chặt trên C nếu
∇
x
f(x, y) + ∇
y
f(x, y), y − x > 0 ∀x, y ∈ C và x = y;
(c) ∇-đơn điệu trên C nếu
∇
x
f(x, y) + ∇
y
f(x, y), y − x ≥ 0 ∀x, y ∈ C;
(d) giả ∇-đơn điệu chặt trên C nếu
∇
x
f(x, y), y−x ≤ 0 =⇒ ∇
y

f(x, y), y−x > 0 ∀x, y ∈ C, x = y;
(e) giả ∇-đơn điệu trên C nếu
∇
x
f(x, y), y − x ≤ 0 =⇒ ∇
y
f(x, y), y − x ≥ 0 ∀x, y ∈ C.
Nhận xét 3.3. Các định nghĩa (a), (b), (c) có thể được tìm thấy
trong một số công trình của G. Mastroeni năm 2003 [42], G. Bigi, M.
Castellani, và M. Pappalardo năm 2009 [14], các định nghĩa (d) và (e),
như sự hiểu biết của chúng tôi, chưa được đưa ra trước đây. Từ các
định nghĩa trên, ta thấy
(a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (e) và (a) ⇒ (b) ⇒ (d) ⇒ (e).
Tuy nhiên, (c) có thể không kéo theo (d) và ngược lại như trong các
ví dụ sau.
Ví dụ 3.2. Với f(x, y) = e
x
2
(y
2
−x
2
) xác định trên R ×R thì f không
là ∇-đơn điệu trên R nh ư ng f là giả ∇-đơ n điệu chặt trên R. Ngược
lại, với song hàm f(x, y) = (y − x)
T
M(y − x) xác định trên C × C,
với C = R
n
và M là ma trận thực cấp n × n. Ta có

21
(a) f luôn là ∇-đơn điệu trên C nhưng khô ng là ∇-đơn điệu chặt
trên C.
(b) f là ∇-giả đơ n điệu chặt trên C khi và chỉ khi M + M
T
là ma
trận xác định dương cấp n × n.
Định lí 3.2. Giả sử g
ǫ
là giả ∇-đơn điệu chặt trên C và ¯x là mộ t
điểm dừng của hàm đánh giá ϕ
ǫ
trên C, tức là
∇ϕ
ǫ
(¯x), y − ¯x ≥ 0 ∀y ∈ C,
thì ¯x là nghiệm của bài toán phạt P EP(C, f
ǫ
).
Mệnh đề 3.3. Giả sử g
ǫ
là giả ∇-đơn điệu chặt trên C và x không
phải là nghiệm của bài toán PE P(C, f
ǫ
), thì
∇ϕ
ǫ
(x), y
ǫ
(x) − x < 0.

Mệnh đề 3.4. Giả sử f, g là các so ng hàm khả vi liên tục trên tập
com pắc C sao cho f(x, .) là lồi ch ặt trên C với mỗi x ∈ C và f là
giả ∇-đơn điệu chặt trên C. Khi đó, nếu x ∈ C không là nghiệm của
bài toán E P(C, f), thì tồn tại số ¯ǫ > 0 sao cho y
ǫ
(x) − x là một hướng
giảm của hàm ϕ
ǫ
trên C tại x với mọi 0 < ǫ ≤ ¯ǫ.
Các ví dụ sau chỉ ra các giả thiết của Định lý 3.2 được thỏa m ãn.
Ví dụ 3.3. Xét hai song hàm
f(x, y) = e
x
2
(y
2
− x
2
), g(x, y) = 10
x
2
(y
2
− x
2
),
xác định trên R × R. Khi đó ta có
(a) f (x, y), g(x, y) là đơn điệu, và giả ∇-đơn điệu chặt trên R
(b) Với mọi ǫ > 0, f(x, y) + ǫg(x, y) là đơn điệu, giả ∇-đơn điệu
chặt trên R và thỏa mãn các giả thiết của Định lý 3.2.

Ví dụ 3.4. Xét hai song hàm
f(x, y) = −3x
2
y + xy
2
+ 2y
3
, g(x, y) = −x
2
− xy + 2y
2
,
xác định trên R
+
× R
+
, khi đó
22
(a) f, g là giả đơn điệu, ∇-đơn điệu chặt trên R
+
;
(b) Với mọi ǫ > 0, f (x, y)+ǫg(x, y) là giả đơn điệu, ∇-đơn đ iệu chặt
trên R
+
và thỏa mãn các giả thiết của Định lý 3.2.
3.4. Áp dụng vào phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov
Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov áp dụng cho bài toán EP(C, f) dẫn
đến bài toán cân bằng hai cấp BEP(C, f, g) với g là song hàm hiệu
chỉnh. Bằng cách chọn g (x, y) = x − x
g

, y − x thì ta có g là đơn điệu
mạnh và ∇-đơn điệu mạnh với cùng hệ số 1. Áp dụng các Định lý 3.1
và Định lý 3.2 ở trên, ta nhận được hệ q uả sau.
Hệ quả 3.3. Giả sử song h àm f thỏa mãn các điều kiện
(a) Với mỗi x ∈ C, f(x, .) là lồi, nửa liên tục dư ới trên C;
(b) f là giả đơn điệu và thỏa mãn điều kiện bức ở trên C.
Khi đó, với bất kì ǫ
k
> 0 bài toán phạt PE P(C, f
ǫ
k
) luôn có nghiệm
và bất kì dãy {x
k
} trong đó x
k
∈ S
f
ǫ
k
, đều hội tụ tới nghiệm duy nhất
của bài toán BEP(C, f, g) khi ǫ
k
→ 0.
Nếu thêm vào đó, f(x, .) + ǫ
k
g(x, .) là hàm lồi chặt trên C với mọi
x ∈ C và f(x, y) + ǫ
k
g(x, y) là giả ∇-đơn điệu chặt trên C (điều này

được thỏa mãn khi f (x, y) là ∇-đơn điệu) và ¯x
k
là một điểm dừng bất
kì của bài toán tối ưu min
x∈C
ϕ
k
(x) với
ϕ
k
(x) = min
y∈C
{f(x, y) + ǫ
k
g(x, y)}, thì {¯x
k
} hội tụ tới nghiệm du y
nhất của bài toán BEP(C, f, g) khi ǫ
k
→ 0.
23