tóm tắt luận án k-lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các md5-phân lá

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Xuất phát điểm của vấn đề mà chúng tôi quan tâm là bài toán “Đi tìm lớp các
C*-đại số có khả năng đặc trưng được bằng phương pháp K-hàm tử”.
Năm 1943, I. Gelfand và A. Naimark ([13]) đưa ra khái niệm C*-đại số. Các
C*-đại số nhanh chóng tìm thấy nhiều ứng dụng trong Toán học và Vật lý. Tuy
nhiên chính vấn đề mô tả cấu trúc các C*-đại số trong trường hợp tổng quát lại rất
phức tạp và cho đến nay vẫn còn là một bài toán mở.
Năm 1975, theo một gợi ý có tính khai phá của A. A. Kirillov về việc “Đặc
trưng (cấu trúc toàn cục) C*-đại số của một lớp các nhóm Lie giải được bằng các
K-hàm tử đồng điều”, Đ. N. Diệp ([11]) đã thành công trong việc sử dụng các K-
hàm tử đồng điều của Brown-Douglas-Fillmore (còn gọi là K-hàm tử BDF) để đặc
trưng C*-đại số C*(Aff
¡
) của nhóm các phép biến đổi affine trên đường thẳng
thực
¡
. Năm 1976, J. Rosenberg ([18]) đã sử dụng phương pháp tương tự để đặc
trưng C*-đại số C*(Aff
£
) của nhóm các phép biến đổi affine trên đường thẳng
phức
£
và C*-đại số của một vài nhóm Lie giải được khác. Trong công trình này,
J. Rosenberg đã gọi phương pháp đặc trưng cấu trúc toàn cục của C*-đại số bằng
các K-hàm tử BDF là phương pháp của Diệp (Diep’s method). Năm 1977, Đ. N.
Diệp ([12]) đã cải tiến phương pháp của mình để đặc trưng các C*-đại số kiểu I
bằng các mở rộng lặp nhiều tầng.
Đến lúc này, các K-hàm tử BDF dường như không còn thích hợp với việc đặc
trưng cấu trúc cho lớp các C*-đại số phức tạp hơn. Từ đó, một cách tự nhiên, nảy

sinh hai vấn đề lớn như sau:
• Vấn đề 1 : Tổng quát hóa các K-hàm tử BDF theo cách nào đó để có
thể đặc trưng được một lớp rộng hơn các C*-đại số.
• Vấn đề 2 : Đi tìm và khảo sát lớp rộng hơn các C*-đại số hoặc lớp các
nhóm Lie mà C*-đại số của chúng có khả năng đặc trưng được bằng các K-hàm
tử mở rộng.
2
Năm 1980, G. G. Kasparov ([14]) đã nghiên cứu vấn đề thứ nhất và thành
công trong việc tổng quát hóa các K-hàm tử BDF thành các K-song hàm tử toán tử
(còn gọi là các KK-hàm tử) vừa đồng điều vừa đối đồng điều. Như một áp dụng
đầu tiên, Kasparov đã sử dụng các KK-hàm tử để đặc trưng thành công C*-đại số
C*(H
3
) của nhóm Heisenberg H
3
.
Đối với hướng nghiên cứu thứ hai, cần lưu ý rằng phương pháp K-hàm tử
thường thích hợp với các C*-đại số có cấu trúc phổ (tức là không gian các lớp
tương đương unita của các biểu diễn bất khả quy với tôpô được cảm sinh từ tôpô
Jacobson) không quá phức tạp. Đối với C*-đại số nhóm, phổ của nó có thể đồng
nhất với đối ngẫu unita của nhóm (tức là không gian các lớp tương đương unita của
các biểu diễn unita bất khả quy của nhóm).
Đặc biệt đối với các nhóm Lie, phương pháp quỹ đạo Kirillov cho thấy rằng
tập đối ngẫu unita của nhóm có liên hệ trực tiếp với không gian các K-quỹ đạo
(hay quỹ đạo đối phụ hợp) của nó. Do đó, việc chọn lớp các nhóm Lie có không
gian các K-quỹ đạo không quá phức tạp cho phép ta đặc trưng các C*-đại số nhóm
của chúng bằng phương pháp K-hàm tử.
Dựa trên ý tưởng đó, năm 1980, Đ. N. Diệp đã đề nghị xét lớp các C*-đại số
của các MD-nhóm. Lớp này rất đơn giản về phương diện phân tầng các K-quỹ đạo
nên nói chung C*-đại số của chúng có thể đặc trưng được nhờ các KK-hàm tử.

Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được n chiều (n là một số nguyên dương).
G được gọi là một MDn-nhóm nếu các K-quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc
có chiều là một hằng số k (chẵn) nào đó không vượt quá n. Khi
k n
=
thì G còn
được gọi là một
MDn
-nhóm. Đại số Lie(G) của mỗi MDn-nhóm (tương ứng
MDn
-nhóm) được gọi là một MDn-đại số (tương ứng
MDn
-đại số). Rõ ràng lớp
MD
là con của lớp MD. Đến đây, một bài toán được đặt ra là: “Phân loại các
MD-đại số đồng thời đặc trưng C*-đại số của các MD-nhóm tương ứng bằng
phương pháp K-hàm tử”.
Năm 1984, H. H. Việt ([35]) đã phân loại triệt để các
MDn
-đại số. Lớp này
chỉ gồm các đại số Lie giao hoán
n
¡
, đại số Lie affine thực Lie(Aff
¡
) và đại số
3
Lie affine phức Lie(Aff
£
). Ngay sau đó, H. H. Việt đã dùng phương pháp K-hàm

tử để đặc trưng C*
²
( )
Aff £
của phủ phổ dụng
²
Aff £
đối với nhóm affine phức
Aff
£
. Như vậy, cùng với các kết quả có trước của Đ. N. Diệp và J. Rosenberg,
việc nghiên cứu lớp con các
MD
-đại số và
MD
-nhóm xem như đã được giải
quyết triệt để. Bài toán tương tự đối với các MD-đại số và MD-nhóm vẫn còn là
bài toán mở.
Ngoài ra, cũng do sự phân tầng đơn giản của các K-quỹ đạo đối với lớp các
MD-nhóm mà người ta nhận thấy rằng: đối với mỗi MD-nhóm, họ các K-quỹ đạo
chiều cực đại của nó tạo thành một phân lá đo được theo nghĩa của A. Connes
([8]). Các phân lá này được gọi là các MD-phân lá liên kết với các MD-nhóm đã
xét.
Đối với một phân lá
( )
,V F

tùy ý, một trong những bài toán quan trọng của
“tôpô phân lá” là nghiên cứu không gian các lá (hay vắn tắt là không gian lá) của
phân lá đó. Tuy nhiên, đáng tiếc là không gian các lá

V F
thường có tôpô không
Hausdorff, do đó ta không thể định nghĩa được K-lý thuyết đối với không gian các
lá (theo nghĩa thông thường). Đây là một trở ngại lớn trong nghiên cứu tôpô phân
lá. Để khắc phục hạn chế này, năm 1982, A. Connes ([8]) đã đề ra ý tưởng là thay
( )
0
C V F
bởi
( )
*
,C V F
, mà từ đó Connes định nghĩa:
( ) ( )
( )
( )
*
, , 0,1 .
i
i
K V F K C V F i
= =
Như vậy, để nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của phân lá (hay
vắn tắt là K-lý thuyết đối với phân lá), ta cần phải tìm hiểu cấu trúc của C*-đại số
Connes
( )
*
,C V F
liên kết với phân lá (hay vắn tắt là C*-đại số của phân lá). Kể
từ công trình [8] của A. Connes, việc nghiên cứu C*-đại số của phân lá và K-lý

thuyết đối với phân lá trở thành một trong những hướng nghiên cứu quan trọng
thuộc lĩnh vực Hình học không giao hoán do chính A. Connes khởi xướng vào cuối
thập niên 70 của thế kỷ trước.
4
Vấn đề đặt ra là: “Liệu các C*-đại số của các phân lá có thích hợp với phương
pháp K-hàm tử hay không?”. Đáng chú ý, năm 1985, A. M. Torpe ([22]) đã dùng
các KK-hàm tử để đặc trưng thành công C*-đại số của phân lá Reeb trên xuyến 2
chiều và một số phân lá trên mặt cầu đơn vị S
3
.
Kết hợp hai hướng nghiên cứu trên làm nảy sinh bài toán “Nghiên cứu K-lý
thuyết đối với không gian lá của các MD-phân lá, đồng thời đặc trưng C*-đại số của
các MD-phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử”. Năm 1990, L. A. Vũ ([2]) đã
thành công trong việc nghiên cứu bài toán trên lớp con các MD4-phân lá.
Những kết quả ban đầu đạt được trên lớp MD-phân lá đã tạo nên những động
lực cần thiết cho việc tiếp tục nghiên cứu sâu hơn. Trường hợp khả dĩ đầu tiên mà
chúng tôi nghĩ đến là tiếp tục bài toán với số chiều cao hơn, để từ đó làm cơ sở cho
việc phát triển các công cụ cần thiết nhằm giải quyết bài toán trong trường hợp tổng
quát.
Ý tưởng đó đã dẫn đến đề tài “K-lý thuyết đối với không gian lá của một lớp
các MD5-phân lá” của tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Anh Vũ.
2. Mục đích của đề tài
Mục đích chính của đề tài là
“
“Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá
của một lớp các MD5-phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại
của một lớp con các MD5-nhóm, đồng thời đặc trưng C*-đại số của các phân lá
này bằng phương pháp K-hàm tử”. Cụ thể như sau:
1. Trên cơ sở định lí phân loại các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán
của L. A. Vũ và K. P. Shum, chúng tôi mô tả K-quỹ đạo của lớp con các

MD(5,4)-nhóm, tức là các MD5-nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân
mà MD5-đại số tương ứng của chúng có ideal dẫn xuất (giao hoán) 4
chiều.
2. Phân loại tôpô trên các MD(5,4)-phân lá tương ứng, tức là các MD-phân
lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của mỗi MD(5,4)-
nhóm được xét.
5
3. Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD(5,4)-phân lá và
đặc trưng C*-đại số của các phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu một lớp con của các MD5-phân lá được
tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm tương ứng. Cụ
thể, chúng tôi xét bài toán mô tả các K-quỹ đạo của mỗi MD(5,4)-nhóm liên thông,
đơn liên, bất khả phân.
Tiếp theo, chúng tôi xem xét các MD(5,4)-phân lá liên kết với các MD(5,4)-
nhóm được xét.
Cuối cùng, chúng tôi xét C*-đại số Connes liên kết với phân lá và khảo sát bài
toán đặc trưng C*-đại số của các MD(5,4)-phân lá bằng phương pháp K-hàm tử.
4. Phương pháp nghiên cứu
Để nghiên cứu đề tài, chúng tôi đã áp dụng một số kỹ thuật và phương
pháp như sau:
 Trước hết, chúng tôi đã dùng một số kỹ thuật cơ bản trong phương pháp
quỹ đạo của Kirillov ([15]), đặc biệt là phương pháp mô tả các K-quỹ đạo đã được
L. A. Vũ ([2]) cải tiến cho phù hợp với lớp MD-nhóm.
 Tiếp theo, chúng tôi dùng một số kỹ thuật của lý thuyết tôpô phân lá.
 Cuối cùng, chúng tôi đã sử dụng các kỹ thuật cơ bản của K-lý thuyết đối
với C*-đại số, đặc biệt là phương pháp đặc trưng C*-đại số của phân lá bằng các
KK-hàm tử đã được nêu ra trong tài liệu [22] của A. M. Torpe và tài liệu [2] của L.
A. Vũ với một vài cải tiến cho thích hợp.
5. Ý nghĩa khoa học của đề tài

Đề tài góp phần chỉ ra lớp các C*-đại số thích hợp với phương pháp K-hàm tử
(Vấn đề 2), đó chính là lớp các C*-đại số Connes liên kết với các MD-phân lá.
Ngoài ra, các kết quả của đề tài còn là những đóng góp cho những thể hiện, minh
6
họa của Hình học không giao hoán nói chung, của hướng nghiên cứu K-lý thuyết
đối với không gian lá của phân lá nói riêng trên một lớp các phân lá cụ thể. Vì thế,
các kết quả của đề tài là có ý nghĩa khoa học.
6. Bố cục và nội dung của luận án
Bố cục của luận án bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần
kết luận.
Ph n m uầ ở đầ : Trình bày lý do ch n tài, m c ích,ọ đề ụ đ
i t ng và ph m vi nghiên c u, ph ng pháp nghiênđố ượ ạ ứ ươ
c u, ý ngh a khoa h c và th c ti n c a tài, b c cứ ĩ ọ ự ễ ủ đề ố ụ
và n i dung c a lu n án.ộ ủ ậ
Ba chương nội dung: Trình bày chi ti t các k t quế ế ả
nghiên c u (mà ã c nêu v n t t trong ph n m c íchứ đ đượ ắ ắ ầ ụ đ
c a tài) v i y nh ng ch ng minh ch t ch . ủ đề ớ đầ đủ ữ ứ ặ ẽ
Phần kết luận: a ra nh ng nh n xét và nh ng v n mĐư ữ ậ ữ ấ đề ở
c n c ti p t c nghiên c u.ầ đượ ế ụ ứ
Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại một số Hội nghị Toán học trong
nước và quốc tế:
- Hội nghị quốc gia về Đại số – Hình học – Tôpô tháng 11/2011 tại Đại học
Thái Nguyên.
- Hội nghị Toán học phối hợp Việt – Pháp (VFJC 2012) tháng 8/2012 tại
Đại học Huế.
- Hội nghị Toán học và Ứng dụng tháng 1/2013 (ICMA-MU 2013) tại Đại
học Mahidol, Bangkok-Thailand 1/2013.
Sau cùng, mặc dù đã có nhiều cố gắng trong việc soạn thảo, tuy nhiên bản luận
án khó tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những góp ý của
các phản biện và độc giả để chúng tôi có cơ hội chỉnh lý, sửa chữa và hoàn thiện

hơn công trình của mình. Chúng tôi xin chân thành cám ơn.
7
Chương 1
K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm
Kết quả chính của chương này là Định lí 1.3.1 ở Mục 1.3 về bức tranh
hình học các K-quỹ đạo của tất cả các MD(5,4)-nhóm. Kết quả này được công
bố trong bài báo [3]. Để tiện cho độc giả theo dõi, trước hết chúng tôi giới
thiệu lớp các MD(5,4)-đại số và MD(5,4)-nhóm, sau đó là khái niệm về K-quỹ
đạo của nhóm Lie, cũng như phương pháp mô tả chúng trước khi đi vào kết
quả chính của chương.
1.1 Các MD-nhóm và MD-đại số
Trong mục này, ta nhắc lại khái niệm MD-nhóm và MD-đại số được Đ. N.
Diệp đưa ra trong [10], để từ đó giới thiệu lớp các MD(5,4)-đại số và MD(5,4)-
nhóm.
Giả sử G là m t nhóm Lie th c, gi i c v i ộ ự ả đượ ớ G là đại số
Lie của G và G* là không gian đối ngẫu của G.
Định nghĩa 1.1.1. Nhóm G được gọi là có tính chất MD hay là MD-nhóm nếu
các K-quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc là có số chiều cực đại (không
vượt quá số chiều của nhóm). Trường hợp số chiều cực đại đúng bằng số
chiều của nhóm thì nhóm G được gọi là có tính chất
MD
hay là
MD
-nhóm.
i s Lie th c, gi i c Đạ ố ự ả đượ G ứng với MD-nhóm G (t ngươ
ng ứ
MD
-nhóm) c g i là đượ ọ MD- i sđạ ố (t ng ng ươ ứ
MD
- iđạ

s ). Các MD-nhóm và MD- i s có s chi u ố đạ ố ố ề n c kýđượ
hi u t ng ng là các ệ ươ ứ MDn-nhóm và MDn- i sđạ ố (hay MD
n
-
nhóm và MD
n
- i sđạ ố) v i ớ n là s nguyên d ng.ố ươ
Sau đây là lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều được
L. A. Vũ và K. P. Shum đưa ra trong [24].
8
Mệnh đề 1.1.5. Cho G là một MD5-đại số bất khả phân và
[ ]
1 4
,= ≅ ¡G G G
(đại số Lie giao hoán 4 chiều). Khi đó, ta luôn chọn được cơ
sở thích hợp
{ }
1 2 3 4 5
, , , ,X X X X X
trong G sao cho
1 4
2 3 4 5
, , ,X X X X
= ≅
¡G
,
1
X
ad
∈

( )
( )
1
4
End Mat
≅
¡G
và G đẳng cấu với một và chỉ một trong các đại
số Lie dưới đây.
1.
( )
1 2 3
5,4,1 , ,
:
λ λ λ
G

{ }
1
1
2
1 2 3 1 2 3 1
3
0 0 0
0 0 0
; , , \ 0,1 , .
0 0 0
0 0 0 1
X

ad
λ
λ
λ λ λ λ λ λ λ
λ
 
 ÷
 ÷
= ∈ ≠ ≠ ≠
 ÷
 ÷
 
¡
2.
1 2
5,4,2( , )
:
λ λ
G

{ }
1
1
2
1 2 1 2
0 0 0
0 0 0
; , , \ 0,1 , .
0 0 1 0
0 0 0 1

X
ad
λ
λ
λ λ λ λ
 
 ÷
 ÷
= ∈ ≠
 ÷
 ÷
 
¡
3.
5,4,3( )
:
λ
G

{ }
1
0 0 0
0 0 0
; \ 0,1 .
0 0 1 0
0 0 0 1
X
ad
λ
λ

λ
 
 ÷
 ÷
= ∈
 ÷
 ÷
 
¡
4.
( )
5,4,4
λ
G
:
{ }
1
0 0 0
0 1 0 0
; \ 0,1 .
0 0 1 0
0 0 0 1
X
ad
λ
λ
 
 ÷
 ÷
= ∈

 ÷
 ÷
 
¡
5.
5,4,5
G
:
1
1 0 0 0
0 1 0 0
.
0 0 1 0
0 0 0 1
X
ad
 
 ÷
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
6.
1 2
5,4,6( , )
λ λ
G
:
{ }

1
1
2
1 2 1 2
0 0 0
0 0 0
; , , \ 0,1 , .
0 0 1 1
0 0 0 1
X
ad
λ
λ
λ λ λ λ
 
 ÷
 ÷
= ∈ ≠
 ÷
 ÷
 
¡
9
7.
( )
5,3,7
λ
G
:
{ }

1
0 0 0
0 0 0
; \ 0,1 .
0 0 1 1
0 0 0 1
X
ad
λ
λ
λ
 
 ÷
 ÷
= ∈
 ÷
 ÷
 
¡
8.
5,4,8( )
λ
G
:
{ }
1
1 0 0
0 0 0
; \ 0,1 .
0 0 1 1

0 0 0 1
X
ad
λ
λ
λ
 
 ÷
 ÷
= ∈
 ÷
 ÷
 
¡
9.
5,4,9( )
λ
G
:
{ }
1
0 0 0
0 1 1 0
; \ 0,1 .
0 0 1 1
0 0 0 1
X
ad
λ
λ

 
 ÷
 ÷
= ∈
 ÷
 ÷
 
¡
10.
5,4,10
G
:
1
1 1 0 0
0 1 1 0
.
0 0 1 1
0 0 0 1
X
ad
 
 ÷
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
11.
( )
1 2

5,4,11 , ,
λ λ ϕ
G
:
{ } ( )
1
1 2 1 2
1
2
cos sin 0 0
sin cos 0 0
; , \ 0 , , 0, .
0 0 0
0 0 0
X
ad
ϕ ϕ
ϕ ϕ
λ λ λ λ ϕ π
λ
λ
−
 
 ÷
 ÷
= ∈ ≠ ∈
 ÷
 ÷
 
¡

12.
( )
5,4,12 ,
λ ϕ
G
:
{ } ( )
1
cos sin 0 0
sin cos 0 0
; \ 0 , 0, .
0 0 0
0 0 0
X
ad
ϕ ϕ
ϕ ϕ
λ ϕ π
λ
λ
−
 
 ÷
 ÷
= ∈ ∈
 ÷
 ÷
 
¡
10

13.
( )
5,4,13 ,
λ ϕ
G
:
{ } ( )
1
cos sin 0 0
sin cos 0 0
; \ 0 , 0, .
0 0 1
0 0 0
X
ad
ϕ ϕ
ϕ ϕ
λ ϕ π
λ
λ
−
 
 ÷
 ÷
= ∈ ∈
 ÷
 ÷
 
¡
14.

( )
5,4,13 , ,
λ µ ϕ
G
:
( )
1
cos sin 0 0
sin cos 0 0
; , , 0, 0, .
0 0
0 0
X
ad
ϕ ϕ
ϕ ϕ
λ µ µ ϕ π
λ µ
µ λ
−
 
 ÷
 ÷
= ∈ > ∈
 ÷
−
 ÷
 
¡
Nhận xét 1.1.6.

(i) Nhắc lại rằng, một đại số Lie thực G xác định duy nhất một nhóm Lie liên
thông, đơn liên G sao cho Lie(G) = G. Do đó, ta cũng có 14 họ các MD5-nhóm
liên thông, đơn liên tương ứng với các MD5-đại số được liệt kê trong Mệnh đề
1.1.5.
(ii) Các nghiên cứu trong luận án chỉ tập trung vào lớp các MD5-đại số bất khả
phân có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều và các MD5-nhóm liên thông, đơn liên
tương ứng của chúng. Do vậy, để thuận tiện về sau, chúng sẽ được ký hiệu lần lượt
là các MD(5,4)-đại số và MD(5,4)-nhóm.
Sau đây, ta sẽ nhắc lại khái niệm về K-quỹ đạo được A. A. Kirillov trình bày
trong [15], cũng như nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo của các MD-nhóm
được L. A. Vũ đưa ra trong [2] trước khi mô tả tường minh các K-quỹ đạo của các
MD(5,4)-nhóm.
1.2 Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo
1.2.1 K-quỹ đạo của một nhóm Lie
Cho G là một nhóm Lie có đại số Lie G và G* là không gian đối ngẫu của G.
Thế thì K-biểu diễn
( )
*
: AutK G
→
G
của G trong G* được cho bởi:
( )
( )
1 *
, , , , , .K g F Y F Ad g Y g G Y F
−
= ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈
G G
Trong đó, Ad là biểu diễn phụ hợp của G trong G. Khi đó, ứng với mỗi F trong

G*, K-quỹ đạo
F
Ω
của G qua F được xác định bởi:
11
( )
{ }
|
F
K g F g G
Ω = ∈
(1.1)
1.2.2 Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm
Đối với mỗi nhóm Lie G, ta quan tâm đến bài toán mô tả các K-quỹ đạo
F
Ω

của G, với mỗi
*
F
∈
G
. Hơn nữa, ta muốn có một phương pháp mô tả
F
Ω
trong
trường hợp mà luật nhóm của G chưa được cho tường minh mà chỉ biết rõ cấu trúc
đại số Lie G của G. Khi đó, ánh xạ mũ
exp :
G

G
→
G
và tính chất tự nhiên của
nó rất có ích đối với ta.
Ký hiệu
exp :
G
G
→
G
là ánh xạ mũ của G và
( ) ( )
exp : End Aut
→
¡ ¡
G G
là ánh xạ mũ của nhóm Lie
( )
Aut
¡
G
các tự
đẳng cấu
¡
-tuyến tính của G.
Nhắc lại rằng, vi phân
( )
: Endad →
¡

G G
của biểu diễn phụ hợp Ad được
xác định bởi công thức:
( )
[ ]
, , ,
X
ad Y X Y X Y
= ∀ ∈
G.
Tính tự nhiên của ánh xạ mũ được thể hiện bởi hình chữ nhật giao hoán sau:
G

Ad
→

( )
Aut
¡
G

G
ad
→
( )
End
¡
G
Tức là ta có đẳng thức:
exp exp

G
Ad ad=o o
.
Với mỗi
X
∈
G
, mỗi
*
F ∈ G
, ta xác định phần tử
*
X
F
∈
G
như sau:
( )
, ,exp , .
X X
F Y F ad Y Y
= ∀ ∈
G
Bổ đề 1.2.1. Nếu gọi
F
Ω
là K-quỹ đạo của G qua F thì ta luôn có bao hàm thức:
( ) { }
: |
F X F

F X
Ω = ∈ ⊂ Ω
G G
(1.2)
Hơn nữa, nếu exp
G
là toàn ánh thì đẳng thức xảy ra.
Mệnh đề ngay dưới đây cung cấp cho ta một điều kiện đủ để ánh xạ exp
G
là
toàn ánh.
exp
G
exp
12
Mệnh đề 1.2.2 ([2, Hệ quả 1.7]). Giả sử G là nhóm Lie thực, giải được, liên
thông, hữu hạn chiều với đại số Lie G của nó thoả: với mọi
X
∈
G
, ad
X
không có
giá trị riêng (trong
£
) thuần ảo nào. Khi đó, ánh xạ mũ
exp :
G
G
→

G
là toàn
ánh.
Thực ra, trong nhiều trường hợp, thì một điều kiện yếu hơn tính toàn ánh của
exp
G
cũng đủ để có đẳng thức
( )
F F
Ω = Ω
G
. Cụ thể, ta có bổ đề sau đây.
Bổ đề 1.2.3. Giả sử G liên thông. Nếu họ các
( )
*
,
F
F
Ω ∈
G G
lập thành một
phân hoạch của
*
G
và mọi
( )
'
, '
F F
F

Ω ∈Ω
G
đều cùng mở hoặc cùng đóng
(tương đối) trong
( )
*
,
F
F
Ω ∈
G G
. Khi đó:
( )
*
,
F F
F
Ω = Ω ∈
G G
.
Nhận xét 1.2.4. Từ các mệnh đề trên, để mô tả các K-quỹ đạo của mỗi MD(5,4)-
nhóm, trước hết ta xác định
( )
F
Ω
G
, với mỗi
*
F
∈

G
. Sau đó, tuỳ vào từng
trường hợp cụ thể của mỗi nhóm Lie, ta sẽ dùng Bổ đề 1.2.1 hoặc Bổ đề 1.2.3 để
có đẳng thức
( )
*
,
F F
F
Ω = Ω ∀ ∈
G G
.
Sau đây là mô tả tường minh các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm.
1.3 Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm
Gọi G là m t trong các MD(5,4)-nhóm, ộ G là đại số Lie tương
ứng của G và G* là không gian đối ngẫu của đại số Lie G. M i ỗ
X
∈
G
có
to ạ độ
( , , , , )a b c d f
trong c s ơ ở
{ }
1 2 3 4 5
, , , ,X X X X X
, và
*
F
∈

G

có to ạ độ
( , , , , )
α β γ δ σ
trong c s i ng uơ ở đố ẫ
{ }
1 3 4 5
* * * * *
2
, , , ,X X X X X
.
F
Ω
là K-qu o c a ỹ đạ ủ G trong G* chứa F.
Định lí 1.3.1. (Mô tả bức tranh các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm)
1. Giả sử G là một trong các nhóm lie
( )
1 2 3 1 2
5,4,1( , , ) 5,4,2( , ) 5,4,3( )
5,4,4
, , , ,G G G G
λ λ λ λ λ λ
λ

( )
1 2
5,4,5 5,4,6( , ) 5,4,8( ) 5,4,9( ) 5,4,10
5,4,7
, , , , , G G G G G G

λ λ λ λ
λ
v iớ
{ }
1 2 3
, , , \ 0,1
λ λ λ λ
∈
¡
.
(i) Nếu
0
β γ δ σ
= = = =
thì
{ }
F
F
Ω =
(quỹ đạo 0-chiều).
13
(ii) Nếu
2 2 2 2
0
β γ δ σ
+ + + ≠
thì
F
Ω

là quỹ đạo 2-chiều được cho trong từng
trường hợp cụ thể như dưới đây:
•
( )
{ }
( )
3
1 2
1 2 3
5,4,1 , ,
, . , . , . , . , , = ,
a
a a
a
x e e e e x a khi G G
λ
λ λ
λ λ λ
β γ δ σ
∈
¡
•
( )
{ }
( )
1 2
1 2
5,4,2 ,
, . , . , . , . , , = ,
a a a a

x e e e e x a khi G G
λ λ
λ λ
β γ δ σ
∈
¡
•
( )
{ }
( )
5,4,3
, . , . , . , . , , = ,
a a a a
x e e e e x a khi G G
λ λ
λ
β γ δ σ
∈
¡
•
( )
{ }
( )
5,4,4
, . , . , . , . , , = ,
a a a a
x e e e e x a khi G G
λ
λ
β γ δ σ

∈
¡
•
( )
{ }
5,4,5
, . , . , . , . , , = ,
a a a a
x e e e e x a khi G G
β γ δ σ
∈
¡
•
( )
{ }
( )
1 2
1 2
5,4,6 ,
, . , . , . , . . , , = ,
a a a a a
x e e e ae e x a khi G G
λ λ
λ λ
β γ δ δ σ
+ ∈
¡
•
( )
{ }

( )
5,4,7
, . , . , . , . . , , = ,
a a a a a
x e e e ae e x a khi G G
λ λ
λ
β γ δ δ σ
+ ∈
¡
•
( )
{ }
( )
5,4,8
, . , . . , . , . . , , = ,
a a a a a a
x e ae e e ae e x a khi G G
λ λ λ
λ
β β γ δ δ σ
+ + ∈
¡
•
( )
2
5,4,9
, . , . , . . , . . . , , = ,
2
a

a a a a a a
a e
x e e ae e ae e x a khi G G
λ
λ
β γ γ δ γ δ σ
 
 
 
+ + + ∈
 
 ÷
 
 
 
¡
•
2 3 2
, . , . . , . . . , . . . . , ,
2 6 2
a a a
a a a a a a a
a e a e a e
x e ae e ae e ae e x a
β β γ β γ δ β γ δ σ
 
 
 
+ + + + + + ∈
 

 ÷
 
 
 
¡

5,4,10
= .khi G G
2. Giả sử G là một trong các nhóm Lie
( ) ( ) ( )
1 2
5,4,11 , , 5,4,12 , 5,4,13 ,
, , G G G
λ λ ϕ λ ϕ λ ϕ
với
( )
1 2
, , , 0;
λ λ λ ϕ π
∗
∈ ∈
¡
. Bằng cách đồng nhất
( ) ( )
1 2
5,4,11 , , 5,4,12 ,
, ,
λ λ ϕ λ ϕ
∗ ∗
G G

( )
5,4,13 ,
λ ϕ
∗
G

với
2
× ×
¡ £ ¡
và F với
( )
, , ,i
α β γ δ σ
+
. Ta được:
(i) Nếu
0
β γ δ σ
= = = =
thì
{ }
F
F
Ω =
(quỹ đạo 0-chiều).
(ii) Nếu
2 2 2 2
0

β γ δ σ
+ + + ≠
thì
F
Ω

là quỹ đạo 2-chiều được cho trong từng
trường hợp cụ thể như dưới đây:
•
( )
( )
( )
{ }
( )
1 2
1 2
.
5,4,11 , ,
, . , . , . , , = ,
i
a e
a a
x i e e e x a khi G G
ϕ
λ λ
λ λ ϕ
β γ δ σ
−
+ ∈
¡

14
•
( )
( )
( )
{ }
( )
.
5,4,12 ,
, . , . , . , , = ,
i
a e
a a
x i e e e x a khi G G
ϕ
λ λ
λ ϕ
β γ δ σ
−
+ ∈
¡
•
( )
( )
( )
{ }
( )
.
5,4,13 ,
, . , . , . . , , = .

i
a e
a a a
x i e e ae e x a khi G G
ϕ
λ λ λ
λ ϕ
β γ δ δ σ
−
+ + ∈
¡
3. Giả sử G là một trong các nhóm Lie
( )
5,4,14 , ,
G
λ µ ϕ
với
( )
, , 0, 0;
λ µ µ ϕ π
∈ > ∈
¡
.
Đồng nhất
( )
5,4,14 , ,
λ µ ϕ
∗
G
với

× ×
¡ £ £
và F với
( )
, ,i i
α β γ δ σ
+ +
. Ta được:
(i) Nếu
0
β γ δ σ
= = = =
thì
{ }
F
F
Ω =
(quỹ đạo 0-chiều).
(ii) Nếu
2 2 2 2
0
β γ δ σ
+ + + ≠
thì
•
( )
( )
( )
( )
( )

{ }
.
.
, . , . , ,
i
a e
a i
F
x i e i e x a
ϕ
λ µ
β γ δ σ
−
−
Ω = + + ∈
¡
(quỹ đạo 2-chiều).
Chương 2
Lớp MD(5,4)-phân lá
Mục tiêu chính của chương này là nghiên cứu lớp các MD(5,4)-phân lá, tức là
các phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD(5,4)-
nhóm tương ứng. Kết quả chính của chương này là Định lí 2.4.2 ở Mục 2.4 về phân
loại tôpô và mô tả không gian các lá của các MD(5,4)-phân lá. Kết quả này được
công bố trong bài báo [26]. Để độc giả tiện theo dõi, trước khi trình bày các kết
quả chính, chúng tôi sẽ dành phần đầu của chương để giới thiệu về phân lá, tôpô
phân lá, phân lá đo được và một số khái niệm có liên quan.
2.1 Phân lá
Trong mục này, ta nhắc lại khái niệm về phân lá và các tính chất của phân lá
được A. Connes đưa ra trong [8].
Định nghĩa 2.1.3. Một phân lá

( )
,V F
là một cặp gồm đa tạp trơn V cùng một
phân bố khả tích F trên nó. Đa tạp V được gọi là đa tạp phân lá, còn F gọi là phân
bố xác định phân lá. Số chiều (đối chiều) dimF (codimF) cũng được gọi là số
15
chiều (đối chiều) của phân lá
( )
,V F
. Mỗi đa tạp con tích phân liên thông tối đại L
của F được gọi là một lá của phân lá
( )
,V F
. Ta có dimL = dimF.
Họ các lá của một phân lá có các tính chất đặc trưng dưới đây.
Mệnh đề 2.1.4 ([8, Introduction]). Cho phân lá
( )
,V F
. Khi đó:
(i) Họ các lá của phân lá lập thành một phân hoạch của đa tạp phân lá V .
(ii)
x V
∀ ∈
, tồn tại hệ tọa độ địa phương
{ }
1 1
; , , , | dim
n
U x x x n V
=

quanh
x sao cho nếu lá L giao với U thì mỗi thành phần liên thông trong
L U
∩
(mà
được gọi là một tấm) đều được cho bởi các phương trình dạng:
1 1
, , ; dim
k n n k
x c x c k F
+ −
= = =
trong đó
1
, ,
n k
c c
−
là các hằng số (phụ thuộc vào từng tấm).
Ở địa phương, đa tạp phân lá của mỗi phân lá k-chiều bị phân hoạch thành các
tấm “rời” nhau, mỗi tấm đều vi phôi với một phẳng k-chiều trong
n
¡
.
Sau đây là hai kiểu phân lá điển hình thường gặp trong luận án.
• Nếu có một phân thớ (với thớ liên thông)
:p V B
→
sao cho mỗi thớ của nó
là và chỉ là một lá của phân lá

( )
,V F
thì ta bảo rằng phân lá
( )
,V F
được cho bởi
phân thớ
:p V B
→
.
• Tương tự, nếu có nhóm Lie G tác động (liên tục) trên V sao cho mỗi quỹ đạo
của G là và chỉ là một lá của phân lá
( )
,V F
thì ta cũng bảo
( )
,V F
được cho bởi
tác động của nhóm Lie G (lên đa tạp phân lá V ).
2.2 Tôpô phân lá
Theo kết quả trực tiếp của Mệnh đề 2.1.4, tất cả các phân lá cùng chiều trên
cùng một đa tạp vi phân đều có cùng cấu trúc địa phương. Tuy nhiên, nếu xét trên
quan điểm toàn cục thì có thể rất khác nhau. Bởi thế, vấn đề của “tôpô phân lá” là
nghiên cứu trên quan điểm tôpô về các vấn đề toàn cục của phân lá. Chẳng hạn: sự
tồn tại lá compact, lá trù mật, điều kiện đồng phôi của các lá,
2.2.1 Không gian các lá của phân lá
16
Một vấn đề toàn cục khác của tôpô phân lá là việc xét không gian các lá của
một phân lá. Không gian các lá (hay vắn tắt là không gian lá)
V F

của một phân
lá
( )
,V F
là không gian thương của không gian tôpô V khi thu mỗi lá về một điểm.
Nếu phân lá
( )
,V F
được cho bởi phân thớ
:p V B
→
thì không gian lá
V F
chính là đáy B của phân thớ xác định phân lá. Còn khi
( )
,V F
được cho bởi
tác động của nhóm Lie G thì
V F
lại là không gian
V G
các G-quỹ đạo.
2.2.2 Kiểu tôpô của phân lá
Hai phân lá
( )
,V F
và
( )
', 'V F
được gọi là tương đương (tôpô) hay cùng

kiểu tôpô nếu có một đồng phôi
: 'h V V
→
sao cho h chuyển mỗi lá của F thành
mỗi lá của
'F
.
Theo quan điểm của tôpô phân lá, ta không phân biệt hai phân lá cùng kiểu
tôpô (cả về mặt địa phương lẫn toàn cục).
2.3 Phân lá đo được
Định nghĩa 2.3.1. Một độ đo hoành Λ đối với phân lá
( )
,V F
là một ánh xạ
σ
-
cộng tính
( )
B B
Λ
a
từ họ các tập con hoành Borel của V đến [0,+∞] sao cho các
tiên đề sau đây thỏa mãn:
(i) Nếu
1 2
: B B
ψ
→
là song ánh Borel và
( )

x
ψ
thuộc cùng lá chứa x
( )
1
x B
∀ ∈
thì
( ) ( )
1 2
B B
Λ = Λ
(tính đẳng biến Borel).
(ii)
( )
K
Λ < +∞
nếu K là tập con compact của một đa tạp con hoành.
Phân lá
( )
,V F
đã trang bị một độ đo hoành được gọi là phân lá đo được.
2.4 Phân loại tôpô các MD(5,4)-phân lá liên kết với các MD(5,4)-nhóm
Trong mục này, ta sẽ chỉ ra sự hình thành của lớp các MD(5,4)-phân lá, đồng
thời cho ra một sự phân loại tôpô trên lớp các MD(5,4)-phân lá được xét.
Mệnh đề 2.4.1. Giả sử G là một MD(5,4)-nhóm bất kỳ,
G
F
là họ các K-quỹ đạo
chiều cực đại của nó và

{ }
|
G G
V F
= Ω Ω∈
U
. Khi đó,
( )
,
G G
V F
là một phân lá
đo được. Phân lá này được gọi là một MD(5,4)-phân lá liên kết với G.
17
Như vậy, ta cũng nhận được 14 họ các MD(5,4)-phân lá tương ứng với 14 họ
các MD(5,4)-nhóm đã được chỉ ra trong Chương 1.
Sau đây là định lí phân loại tôpô trên 14 họ các MD(5,4)-phân lá, đồng thời
đưa ra một mô tả chi tiết không gian các lá cho từng kiểu tôpô.
Định lí 2.4.2. (Phân loại tôpô và mô tả không gian lá của các MD(5,4)-phân lá)
1. Có đúng 3 kiểu tôpô trên 14 họ các MD(5,4)-phân lá được xét, mỗi kiểu
gồm các MD(5,4)-phân lá thuộc một và chỉ một trong các tập hợp được liệt kê
dưới đây:
•
( )
( )
( )
( )
( )
{ }
1 2

1 2 3
1 4,10
4,1 ,
4,1 , ,
, , , , , ,V F V F V F
λ λ
λ λ λ
=
F
.
•
( )
( )
( )
( )
( )
( )
{ }
1 2
2
4,11 , , 4,12 , 4,13 ,
, , , , ,V F V F V F
λ λ ϕ λ ϕ λ ϕ
=
F
.
•
( )
( )
{ }

3
4,11 , ,
,V F
λ µ ϕ
=
F
.
Ta sẽ ký hiệu các kiểu này lần lượt bởi chính
1 2 3
, ,F F F
.
2. (i) Các MD(5,4)-phân lá thuộc kiểu
1
F
đều được cho bởi phân thớ với thớ
liên thông trên mặt cầu đơn vị S
3
.
(ii) Các MD(5,4)-phân lá thuộc kiểu
2
F
và
3
F
đều là các phân lá được cho
bởi các tác động của
2
¡
trên đa tạp phân lá
( )

*
4
V
≡ ×
¡ ¡
.
Nhận xét 2.4.3. Các kết quả của Định lí 2.4.2 sẽ rất có ích trong việc mô tả giải
tích cấu trúc các C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá, cũng như
trong việc đặc trưng các C*-đại số này bằng phương pháp K-hàm tử trong chương
cuối cùng của luận án.
Chương 3
K-lý thuyết đối với các MD(5,4)-phân lá
18
Kết quả chính của chương này là Định lí 3.4.3 và Định lí 3.4.4 ở Mục 3.4 về
nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD(5,4)-phân lá và đặc
trưng C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá bằng phương pháp K-
hàm tử. Các kết quả này được công bố trong các bài báo [27] và [28]. Trước khi đi
vào các kết quả chính, phần đầu của chương sẽ dành cho việc trình bày tóm tắt lại
một số kiến thức có liên quan về C*-đại số Connes liên kết với một phân lá, K-lý
thuyết đối với phân lá, đồng thời điểm lại những ý tưởng cơ bản của phương pháp
K-hàm tử.
3.1 C*-đại số Connes liên kết với phân lá
Trong mục này, ta nhắc lại định nghĩa C*-đại số Connes liên kết với một phân
lá được A. Connes đưa ra trong [8], cùng với các tính chất quan trọng của nó được
A. M. Torpe chỉ ra trong [22]. Đặc biệt, ta quan tâm đến trường hợp phân lá được
cho bởi phân thớ cũng như phân lá cho được bởi tác động của nhóm Lie.
Định nghĩa 3.1.2. C*-đại số Connes liên kết với phân lá
( )
,V F
, hay vắn tắt là

C*-đại số của phân lá
( )
,V F
, ký hiệu
( )
*
,C V F
, là C*-đại số bổ sung đầy đủ
của
*
−
đại số
( )
1 2
,
c
C H
∞
Ω
với chuẩn
( )
sup .
x V x
f f
π
∈
=
.
Sau đây là các tính chất quan trọng của
( )

*
,C V F
, cần thiết cho các tính toán
sau này.
Mệnh đề 3.1.3 ([22, Section 2]). Khi
dim 0F k
= >
, C*-đại số
( )
*
,C V F
có
tính ổn định, tức là ta có đẳng cấu:
( ) ( )
* *
, ,C V F C V F⊗ ≅K
ở đây (và trong suốt phần còn lại của luận án), K là ký hiệu để chỉ C*-đại số các
toán tử compact trên một không gian Hilbert vô hạn chiều tách được.
Mệnh đề 3.1.4 ([22, Proposition 2.1.4]). Nếu 2 phân lá
( ) ( )
, , ', 'V F V F
cùng
kiểu tôpô thì các C*-đại số Connes liên kết với chúng đẳng cấu nhau, tức là:
( ) ( )
* *
, ', 'C V F C V F
≅
.
Mệnh đề 3.1.6 ([22, Proposition 2.1.5]). Giả sử phân lá
( )

,V F
được cho bởi tác
động
ρ
của nhóm Lie G lên trên đa tạp phân lá V sao cho đồ thị
H V G
= ×
. Khi
19
đó
( ) ( )
*
0
,C V F C V G
≅
ã
, ở đó tích xiên lấy theo tác động tự nhiên của G lên
( )
0
C V
cảm sinh từ tác động của G lên V .
Mệnh đề 3.1.7 ([22, Proposition 2.1.6]). Giả sử phân lá
( )
,V F
được cho bởi
phân thớ (với thớ liên thông)
:p V B
→
. Khi đó
( )

,V F
không có holonomy và đồ
thị
( ) ( ) ( )
{ }
, :H x y V V p x p y
= ∈ × =
là đa tạp con của
V V
×
, đặc biệt
( ) ( )
*
0
,C V F C B
≅ ⊗
K
.
3.2 Phép đặc trưng các C*-đại số bằng phương pháp K-hàm tử
Trong mục này, ta nhắc lại những ý tưởng cơ bản của phép đặc trưng các C*-
đại số bằng phương pháp K-hàm tử được khởi xướng lần đầu tiên bởi Đ. N. Diệp
([11]) và được phát triển bởi J. Rosenberg ([18], [19]), G. G. Kasparov ([14]), H.
H. Việt ([35]),
Thông thường, để đặc trưng một C*-đại số A nào đó (đặc biệt là bằng phương
pháp K-hàm tử), ta sẽ tìm cách nhúng A vào một mở rộng dạng
0 0
i
J A B
µ
→ → → →

(3.1)
với J là một ideal (đã biết) đóng trong A, còn
B A J
≅
cũng là một C*-đại số đã
biết. Mở rộng (3.1) sinh ra một dãy khớp tuần hoàn 6 thành phần (còn gọi là dãy
khớp K-lý thuyết) của các K-nhóm:
( ) ( ) ( )
0 0 0
K J K A K B
→ →
(3.2)
( ) ( ) ( )
1 1 1
K B K A K J
¬  ¬ 
Các mũi tên thẳng đứng
0 1
,
δ δ
gọi là các đồng cấu nối của (3.2). Việc xác
định cặp
( )
0 1
,
δ δ
cho phép ta tính các nhóm
( )
0
K A

và
( )
1
K A
. Thật ra, ta còn
thu được nhiều thông tin hơn trong phép tính cặp
( )
0 1
,
δ δ
, cụ thể là cặp này xác
định cho ta “kiểu ổn định” ([22]) của C*-đại số A được xét.
Cụ thể, mỗi dãy khớp (3.1) sẽ xác định duy nhất một phần tử
γ
nào đó trong
KK-nhóm Ext(B,J) của Kasparov ([14]). Tuy nhiên, chiều ngược lại không đúng,
0
δ
1
δ
20
mỗi phần tử
γ
của Ext(B,J) không đủ xác định một mở rộng dạng (3.1) mà chỉ xác
định duy nhất một lớp tương đương unita các mở rộng hấp thụ mà thôi. Do đó, ta
nói phần tử
γ
xác định “kiểu ổn định” của C*-đại số được xét.
Định nghĩa 3.2.1 ([2, Định nghĩa 2.4.1]). Phần tử
γ

được gọi là bất biến chỉ số
của C*-đại số A và được ký hiệu là Index A.
Như vậy, Index A xác định “kiểu ổn định” của (mở rộng) A. Theo Định lí hệ số
phổ dụng của Rosenberg và Schochet ([17]), ta có dãy khớp:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
1 1
0 0 1 1
0 Ext , Ext , Ext ,K B K J K B K J B J
σ
→ ⊕ → →
¢ ¢


( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
0 1 1 0
Hom , Hom , 0K B K J K B K J
σ
→ ⊕ →
¢ ¢

(3.4)
Trong dãy khớp này, đồng cấu
σ

chuyển
Index A
γ
=
thành cặp của (3.2). Còn
( )
1
Ext ,
− −
¢
là hàm tử mở rộng thông thường (trong đại số đồng điều). Khi mở
rộng (3.1) có
( )
i
K B
là các nhóm abel tự do (điều này luôn thỏa mãn đối với các
mở rộng được xét trong luận án), các nhóm
( ) ( )
( )
( )
1
Ext , 0, 0,1
j j
K B K J j
= =
¢
. Nhờ (3.4), ta có đẳng cấu:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )

( )
0 1 1 0
: , , ,Ext B J Hom K B K J Hom K B K J
σ
≅
→ ⊕
¢ ¢
trong đó
( ) ( )
0 1
Index ,A
σ δ δ
=
.
Bởi vậy, nhờ đẳng cấu
σ
, ta có thể đồng nhất
Index A
với cặp
( )
0 1
,
δ δ
các
đồng cấu nối của dãy khớp K-lý thuyết (3.2) liên kết với mở rộng (3.1). Nói cách
khác, chính cặp
( )
0 1
,
δ δ

xác định kiểu ổn định của C*-đại số A (như là một mở
rộng của B bởi J). Đặc biệt, khi mở rộng (3.1) là hấp thụ, chính
( )
0 1
,
δ δ
sẽ đặc
trưng duy nhất A (sai kém một tương đương unita).
Trong nhiều trường hợp phức tạp, nếu không thể nhúng C*-đại số cần đặc
trưng A vào một mở rộng (3.1) với J, B có dạng như thế. Khi đó, cần phải dùng tới
các mở rộng lặp có dạng sau đây:
1 1
0 0J A B
→ → → →
2 1 2
0 0J B B
→ → → →
(3.7)
21

1
0 0
k k k
J B B
−
→ → → →
trong đó các C*-đại số
1 2
, , ,
k

J J J
và
k
B
đều có dạng
( )
0
C X
⊗
K
.
Bấy giờ tất cả các phần tử
1 2
, , ,
k
γ γ γ
trong các KK-nhóm
( ) ( )
1 1
Ext , , ,Ext ,
k k
B J B J
tương ứng với các mở rộng trong (3.7) mới đủ xác
định kiểu ổn định của C*-đại số cần đặc trưng A như là một phần tử của
( )
1
Ext ,
k
i i
i

B J
=
⊕
. Dựa trên ý tưởng đó, H. H. Việt [35] đưa ra định nghĩa dưới đây.
Định nghĩa 3.2.5. Tập hợp
{ }
1 2
, , ,
k
γ γ γ
gọi là hệ bất biến chỉ số của C*-đại
số A, ký hiệu Index A.
3.3 K-lý thuyết đối với phân lá
Mục này sẽ giới thiệu sơ bộ về K-lý thuyết đối với phân lá được A. Connes
đưa ra trong [8].
K-lý thuyết hình học là một lý thuyết đối đồng điều suy rộng với giá compact.
Nó đặc biệt thích hợp với các cấu trúc đại số mà ở đó không gian Hausdorff,
compact địa phương X được thay thế bởi C*-đại số
( )
0
C X
các hàm trên X nhận
giá trị phức và triệt tiêu ở vô cùng. Cụ thể, ta định nghĩa
( ) ( )
( )
0
i
i
K X K C X
=

.
Đối với phân lá, đáng tiếc là không gian các lá
V F
thường có tôpô không
Hausdorff, do đó ta không thể định nghĩa được K-lý thuyết đối với không gian các
lá (theo nghĩa thông thường). Đây là một trở ngại lớn trong nghiên cứu tôpô phân
lá. Để khắc phục hạn chế này, năm 1982, A. Connes ([8]) đã đề ra ý tưởng là thay
( )
0
C V F
bởi
( )
*
,C V F
, mà từ đó Connes định nghĩa:
( ) ( )
( )
( )
*
, , 0,1
i
i
K V F K C V F i
= =
Như vậy, để nghiên cứu K-lý thuyết của một phân lá, thông thường ta cần phải
đặc trưng C*-đại số Connes liên kết với phân lá đó bằng phương pháp K-hàm tử.
Bởi thế, đôi khi ta đồng nhất hai việc nghiên cứu này.
Khi phân lá
( )
,V F

được cho bởi phân thớ
:p V B V F
→ =
thì
( )
( )
*
,
i
K C V F
thật sự trùng với K-nhóm hình học thông thường
( ) ( )
i i
K V F K B
=
của không gian các lá
B V F
=
.
22
Trong mục kế tiếp, ta sẽ nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các
MD(5,4)-phân lá, đồng thời đặc trưng các C*-đại số Connes liên kết với các phân
lá này bằng phương pháp K-hàm tử. Chú ý rằng, theo Mệnh đề 3.1.4, các C*-đại số
Connes liên kết với các phân lá cùng kiểu tôpô là đẳng cấu nhau. Do vậy, ta sẽ
dùng ký hiệu
( ) ( ) ( )
* * *
1 2 3
, , C C CF F F
để chỉ chung các C*-đại số Connes

liên kết với các MD(5,4)-phân lá tương ứng thuộc kiểu F
1
, F
2
và F
3
.
3.4 K-lý thuyết đối với các MD(5,4)-phân lá
3.4.1 Mô tả giải tích cấu trúc các C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-
phân lá
Theo kết quả của Định lí 2.4.2 về phân loại tôpô trên lớp các MD(5,4)-phân lá,
ta có tất cả là 3 kiểu tôpô F
1
, F
2
và F
3
trên 14 họ các MD(5,4)-phân lá được xét.
Trong đó các MD(5,4)-phân lá thuộc kiểu F
1
được cho bởi phân thớ với thớ liên
thông trên không gian đáy S
3
. Còn các MD(5,4)-phân lá kiểu F
2
, F
3
được cho bởi
các tác động (liên tục) của
2

¡
trên đa tạp phân lá
( )
*
4
V
≡ ×
¡ ¡
.
Do vậy, áp dụng Mệnh đề 3.1.6 và Mệnh đề 3.1.7, ta có ngay mô tả giải tích
cấu trúc các C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá trong khẳng định
sau đây.
Mệnh đề 3.4.1. (Mô tả giải tích cấu trúc C*-đại số của các MD(5,4)-phân lá)
( )
( )
3
1
C C S
∗
≅ ⊗
F K
,
( ) ( )
4,12
2
2 0
,
P
C C V
∗

≅
¡ãF
( ) ( )
4,14
2
3 0
.
P
C C V
∗
≅
¡ãF
Trong đó,
4,12 4,14
, P P
vẫn là ký hiệu để chỉ tác động của
2
¡
lên
( )
0
C V
cảm sinh
tự nhiên từ tác động của
2
¡
lên V
Nhận xét 3.4.2. Các MD(5,4)-phân lá kiểu F
1
đều là các phân lá được cho bởi

phân thớ với thớ liên thông trên không gian đáy S
3
, do đó K-lý thuyết đối với
không gian lá
( )
i
K V F
của các phân lá này chính là các K-nhóm hình học thông
thường trên không gian các lá S
3
. Tức là:
( ) ( )
( )
3 3i
i
K S K C S
=
23
Do vậy, ta chỉ cần đặc trưng C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá
thuộc kiểu F
2
và F
3
mà thôi.
3.4.2 Đặc trưng C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá kiểu F
2
và F
3
Nhắc lại rằng, để đặc trưng C*-đại số Connes liên kết với một phân lá
( )

,V F

nào đó, thông thường ta trải qua 2 bước chính như sau:
(1) Nhúng
( )
*
,C V F
vào một mở rộng dạng (3.1) với các C*-đại số J, B ở hai
đầu đều có dạng tích tenxơ
( )
0
C X
⊗
K
, hoặc vào mở rộng lặp dạng (3.7).
(2) Sau đó tính (hệ) bất biến chỉ số Index
( )
*
,C V F
để đặc trưng “kiểu ổn
định” của
( )
*
,C V F
trong (các) KK-nhóm tương ứng.
Sau đây là kết quả đặc trưng các C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-
phân lá kiểu F
2
và F
3

theo 2 bước đã chỉ ra ở trên.
Định lí 3.4.3. (Mở rộng của các C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân
lá kiểu F
2
và F
3
)
1.
( )
*
2
C F
được nhúng vào mở rộng lặp như sau:
( ) ( )
*
1 1 2 1
0 0J C B
γ
→ → → →F
( )
2 2 1 2
0 0J B B
γ
→ → → →
2.
( )
*
3
C F
được nhúng vào mở rộng (đơn) như sau:

( ) ( )
*
3 3 3 3
0 0J C B
γ
→ → → →F
Trong đó,
( )
( ) ( )
4,12 4,12
2 4 * 2 3 3
1 0 1 0 0P P
J C V C C≅ ≅ × ≅ ∪ ⊗¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ã ã K
,
( )
( )
(
)
4,12 4,12
*
2 3 2
1 0 1 0P P
B C W C
≅ ≅ ×
¡ ¡ ¡ ¡ã ã
,
( )
( ) ( )
4,12 4,12
2 3 * 2 2 2

2 0 2 0 0P P
J C V C C≅ ≅ × ≅ ∪ ⊗¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ã ã K
,
( )
( )
(
)
( )
4,12 4,12
*
2 2 2
2 0 2 0 0P P
B C W C C
+
≅ ≅ × ≅ ⊗
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ã ã K
,
( ) ( )
4,12
* 2
2 0
.
P
C C V
≅
¡ãF
( )
( )
(
)

( )
4,14 4,14
*
2 2 2 2 2
3 0 3 0 0P P
J C V C C
+
≅ ≅ × × ≅ × ⊗
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ã ã K
,
( )
( )
(
)
( )
4,14 4,14
*
2 2 2
3 0 3 0 0P P
B C W C C
+
≅ ≅ × ≅ ⊗
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ã ã K
,
24
( ) ( )
4,14
* 2
3 0
.

P
C C V
≅
¡ãF
Ở đây, ta vẫn dùng ký hiệu
4,12 4,14
, P P
để chỉ tác động của
2
¡
lên
( )
0
C V

(tương ứng
( ) ( )
0 0
, ,
i i
C V C W
i = 1,2,3) được cảm sinh tự nhiên từ tác động
4,12 4,14
, P P
của
2
¡
lên đa tạp V (tương ứng
, , 1,2,3
i i

V W i
=
).
Định lí 3.4.4. ((Hệ) Bất biến chỉ số của
( )
*
2
C F
và
( )
*
3
C F
)
1. Dãy khớp K-lý thuyết liên kết với mở rộng
( )
1
γ
là:
2
0
→ →
¢ ¢
2
0
¬  ¬ 
¢ ¢
và dãy khớp K-lý thuyết liên kết với mở rộng
( )
2

γ
là:
2
0 0
→ →
¢
2 2

¬  ¬ 
¢ ¢ ¢
Do vậy, Index
( ) { }
*
2 1 2
,C
γ γ
=F
, trong đó:
•
1
0 1
0 1
γ
 
=
 ÷
 
trong KK-nhóm
( )
( )

2 2
1 1
Ext , Hom ,B J
≡
¢ ¢
,
•
( )
2
1,1
γ
=
trong KK-nhóm
( )
( )
2
2 2
Ext , Hom ,B J
≡
¢ ¢
.
2. Dãy khớp K-lý thuyết liên kết với mở rộng
( )
3
γ
như sau:
2
0 0
→ →
¢

2 2

¬  ¬ 
¢ ¢ ¢
Do vậy, Index
( )
*
3 3
C
γ
=F
, trong đó
( )
3
0,1
γ
=
trong KK-nhóm
( )
( ) ( )
3 3
Ext , Hom , Hom ,B J
≡ ⊕
¢ ¢ ¢ ¢
.
0
0 1
0 1
δ
 

=
 ÷
 
1
0
δ
=
0
1
1
δ
 
=
 ÷
 
1
0
δ
=
0
0
δ
=
1
1
δ
=
25
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Trong luận án, ta đã giải quyết xong bài toán nghiên cứu K-lý thuyết đối với

không gian lá của các MD(5,4)-phân lá, đồng thời đặc trưng cấu trúc các C*-đại
số Connes liên kết với các phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử. Chúng tôi
hy vọng rằng, trên cơ sở những kết quả ban đầu này, ta có thể cải tiến để giải
quyết trọn vẹn bài toán tương tự trên toàn bộ lớp MD5. Hơn nữa, chúng tôi
cũng hy vọng rằng các kỹ thuật đã dùng trong việc nghiên cứu trên lớp con
MD(5,4) không chỉ có ích cho các trường hợp MD5 còn lại mà còn hữu dụng
cho trường hợp MDn tổng quát, đương nhiên là với những cải tiến thích hợp.
2. Một điều quan trọng nữa là, các kết quả chính của luận án được chỉ ra trong các
Định lí 1.3.1, 2.4.2, 3.4.3, 3.4.4 vẫn còn đúng đối với tất cả các MD(5,4)-nhóm
liên thông (không nhất thiết đơn liên), bất khả phân. Cụ thể, nếu G là một
MD(5,4)-nhóm liên thông, bất khả phân thì bức tranh các K-quỹ đạo của G
hoàn toàn trùng khớp với bức tranh các K-quỹ đạo của phủ đơn liên
o
G
của nó
(do các Bổ đề 1.2.1, 1.2.3 và Mệnh đề 1.2.2 vẫn còn đúng đối với các MD(5,4)-
nhóm liên thông, hơn nữa việc tính toán
( )
F
Ω
G
chỉ phụ thuộc vào đại số Lie
chung của G và
o
G
). Tiếp theo, họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của G cũng lập
thành cùng một MD(5,4)-phân lá như phủ đơn liên
o
G
của nó. Do đó, các kết

quả tiếp theo liên quan đến MD(5,4)-phân lá cũng như C*-đại số Connes liên
kết với chúng đều không thay đổi.
3. Từ các kết quả đạt được trong luận án, một cách tự nhiên, chúng gợi ý cho ta các
hướng mở cần nghiên cứu sau:
• Nghiên cứu bài toán tương tự trên toàn bộ lớp MD5 và xa hơn nữa là lớp
MDn với số chiều n tuỳ ý.
• Xây dựng lượng tử hóa biến dạng trên các K-quỹ đạo của tất cả các
MD(5,4)-nhóm đã xét.