skkn một số bài tập về hệ thức vietphương trình bậc hai

1




THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1.Tên sáng kiến: Một số bài tập về hệ thức Viet-phương trình bậc hai.

2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến này được áp dụng trong môn toán lớp 9-
Trung học cơ sở.

3.Thời giang áp dụng sáng kiến: Từ tháng 2 năm 2012 đến tháng 5 năm 2012

4. Tên tác giả:
Họ và tên: Dương Thị Thu Hà
Năm sinh: 1971
Nơi thường trú: xã Thành Lợi – huyện Vụ Bản – tỉnh Nam Định
Trinhđộ chuyên môn: Đại học Sư phạm
Chức vụ công tác: phó hiệu trưởng
Nơi làm việc : Trường THCS Thành Lợi, huyện Vụ Bản, tỉnh Nam Định
Địa chỉ liên hệ: Dương Thị Thu Hà - trường THCS Thành Lợi, huyện Vụ Bản,
tỉnh Nam Định
Điện thoại: 0987765320

5. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị : Trường THCS Thành Lợi, huyện Vụ Bản, tỉnh Nam Định.
Địa chỉ : xã Thành Lợi – huyện Vụ Bản – tỉnh Nam Định.
Điện thoại: 03503820666

2

PHẦN I : ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
Đất nước ta hiện nay đang trên đà phát triển công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất
nước nên phải nhanh chóng tiếp thu khoa học và kỹ thuật hiện đại của thế giới. Do sự
phát triển như vũ bão của khoa học và kỹ thuật, kho tàng kiến thức của nhân loại tăng
lên nhanh chóng. Cái mà hôm nay còn là mới ngày mai đã trở thành lạc hậu. Nhà
trường không thể nào luôn luôn cung cấp cho học sinh những hiểu biết cập nhật được.
Điều quan trọng là phải trang bị cho các em năng lực tự học để có thể tự mình tìm
kiếm những kiến thức khi cần thiết trong tương lai.
Sự phát triển của nền kinh tế thị trường, sự xuất hiện nền kinh tế tri thức trong
tương lai đòi hỏi người lao động phải thực sự năng động, sáng tạo và có những phẩm
chất thích hợp để bươn chải vươn lên trong cuộc cạnh tranh khốc liệt này. Việc thu
thập thông tin, dữ liệu cần thiết ngày càng trở lên dễ dàng nhờ các phương tiện truyền
thông tuyên truyền, máy tính, mạng internet .v.v. Do đó, vấn đề quan trọng đối với
con người hay một cộng đồng không chỉ là tiếp thu thông tin, mà còn là sử lý thông
tin để tìm ra giải pháp tốt nhất cho những vấn đề đặt ra trong cuộc sống của bản thân
cũng như của xã hội.
Như vậy yêu cầu của xã hội đối với việc dạy học trước đây nặng về việc thuyết
trình truyền thụ kiến thức, thì nay đã thiên về việc hình thành những năng lực hoạt
động cho học sinh. Để đáp ứng yêu cầu mới này cần phải thay đổi đồng bộ các thành
tố của quá trình dạy học về mục tiêu, nội dung, phương pháp, hình thức tổ chức,
phương tiện, cách kiểm tra đánh giá…

Quan điểm về đổi mới phương pháp dạy học và phương pháp dạy học tích cực :
1. Quan điểm đổi mới phương pháp dạy học :
Luật Giáo dục 2005 (Điều 5) quy định : "Phương pháp giáo dục phải phát huy
tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người
học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên".
Với mục tiêu giáo dục phổ thông là "giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo
đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính
năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa,
xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên
hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc";
Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số
16/2006/QĐ-BGD ĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trưởng Bộ giáo dục và Đào tạo cũng đã
nêu :
"Phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp
với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng đối tượng học
sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả
năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình
cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh ".
- Quan điểm dạy học : là những định hướng tổng thể cho các hành động phương
pháp, trong đó có sự kết hợp giữa các nguyên tắc dạy học làm nền tảng, những cơ sở
lý thuyết của lý luận dạy học, những điều kiện dạy học và tổ chức cũng như những

3

định hướng về vai trò của giáo viên và học sinh trong quá trình dạy học. Quan điểm
dạy học là những định hướng mang tính chiến lược, là mô hình lý thuyết của Phương
pháp dạy học. Những quan điểm dạy học cơ bản : Dạy học giải thích minh hoạ, Dạy
học gắn với kinh nghiệm, Dạy học kế thừa, Dạy học định hướng học sinh, Dạy học
định hướng hành động, giao tiếp; Dạy học nghiên cứu, Dạy học khám phá,
2. Phương pháp dạy học tích cực : (PPDHTC).

Thực hiện đổi mới chương trình giáo dục phổ thông đòi hỏi phải đổi mới đồng
bộ từ mục tiêu, nội dung, phương pháp, Phương pháp dạy học đến cách thức đánh giá
kết quả dạy học, trong đó khâu đột phá là đổi mới Phương pháp dạy học.
Mục đích của việc đổi mới Phương pháp dạy học ở trường phổ thông là thay đổi
lối dạy học truyền thụ một chiều sang dạy học theo PPDHTC, nhằm giúp học sinh
phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen và khả năng tự
học, tinh thần hợp tác, kỹ năng vận dụng kiến thức vào những tình huống khác nhau
trong học tập và trong thực tiễn; tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú trong học tập. Làm
cho "Học" là quá trình kiến tạo; học sinh tìm tòi, khám phá, phát hiện luyện tập khai
thác và sử lý thông tin… học sinh tự hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm chất. Tổ
hoạt động nhận thức cho học sinh, dạy học sinh cách tìm ra chân lý. Trú trọng hình
thành các năng lực(tự học, sáng tạo, hợp tác,…) dạy phương pháp và kỹ thuật lao
động khoa học, dạy cách học. Học để đáp ứng những yêu cầu của cuộc sống hiện tại
và tương lai. Những điều đã học cần thiết, bổ ích cho bản thân học sinh và cho sự phát
triển xã hội.
PPDHTC được dùng với nghĩa là hoạt động, chủ động, trái với không hoạt động,
thụ động.
PPDHTC hướng tới việc tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh, nghĩa là
hướng vào phát huy tính tích cực, chủ động của người học chứ không chỉ hướng vào
phát huy tính tích cực của người dạy.
Muốn đổi mới cách học phải đổi mới cách dạy. Cách dạy quyết định cách học,
tuy nhiên, thói quen học tập thụ động của học sinh cũng ảnh hưởng đến cách dạy của
thầy. Mặt khác, cũng có trường hợp học sinh mong muốn được học theo PPDHTC
nhưng giáo viên chưa đáp ứng được. Do vậy, giáo viên cần phải được bồi dưỡng, phải
kiên trì cách dạy theo PPDHTC, tổ chức các hoạt động nhận thức từ đơn giản đến
phức tạp, từ thấp đến cao, hình thành thói quen cho học sinh. Trong đổi mới phương
pháp phải có sự hợp tác của thầy và trò, sự phối hợp hoạt động dạy với hoạt động học
thì mới có kết quả. PPDHTC hàm chứa cả phương pháp dạy và phương pháp học.
* Đặc trưng của phương pháp dạy học tích cực :
a) Dạy học tăng cường phát huy tính tự tin, tính tích cực, chủ động, sáng tạo

thông qua tổ chức thực hiện các hoạt động học tập của học sinh.
b) Dạy học trú trọng rèn luyện phương pháp và phát huy năng lực tự học của học
sinh.
c) Dạy học phân hóa kết hợp với học tập hợp tác.
d) Kết hợp đánh giá của thầy với đánh giá của bạn, với tự đánh giá.

4

e) Tăng cường khả năng, kỹ năng vận dụng vào thực tế, phù hợp với điều kiện
thực tế về cơ sở vật chất,
3. Căn cứ vào mục tiêu của ngành giáo dục .Đào tạo con người phát triển toàn diện,
căn cứ vào nhiệm vụ năm học 2011 - 2012 là tiếp tục dạy theo chuẩn kiến thức kỹ
năng, nội dung phương pháp giáo dục ở tất cả các bậc học, cấp học, ngành học Xây
dựng đội ngũ giáo viên, cán bộ quản lý giáo dục có đủ phẩm chất giáo dục chính trị,
đạo đức, đủ về số lượng, đồng bộ về cơ cấu, chuẩn hoá về trình độ đào tạo…Nhằm
nâng cao chất lượng giáo dục.
- Hiện nay mục tiêu giáo dục cấp THCS đã được mở rộng, các kiến thức và kỹ
năng được hình thành và củng cố để tạo ra 4 năng lực chủ yếu :
+) Năng lực hành động .
+) Năng lực thích ứng.
+) Năng lực cùng chung sống và làm việc.
+) Năng lực tự khẳng định mình.
Trong đề tài này tôi quan tâm để đi khai thác đến 2 nhóm năng lực chính là:
"Năng lực cùng làm việc" và "Năng lực tự khẳng định mình" vì kiến thức và kỹ năng
là một trong những thành tố của năng lực học sinh.
Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp, tôi đã phát hiện ra rằng còn rất
nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn kém trong đó có rất nhiều học sinh
chưa thực sự hiểu kỹ về phương trình bậc hai và trong khi thực hiện các phép toán về
phương trình bậc hai rất hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục đích…
Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó là

một công việc vô cùng cần thiết và cấp bách nó giúp các em có một sự am hiểu vững
trắc về lượng kiến thức Hệ thức Viet-phương trình bậc hai : chươngIV - Đại số 9 trong
phạm vi “hẹp” của kho tàng kiến thức, tạo nền móng để các em tiếp tục nghiên cứu
các dạng toán cao hơn sau này./.













5





PHẦN II . THỰC TRẠNG CỦA VIỆC TỔNG KẾT KINH NGHIỆM :
1. Qua giảng dạy bộ môn toán và tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp nhiều
năm kinh nghiệm, tôi nhận thấy : trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán Đại số
về phương trình bậc hai - Hệ thức Viet thì học sinh rất lúng túng khi vận dụng các
khái niệm, định lý, bất đẳng thức, các công thức toán học.Sự vận dụng lí thuyết vào
việc giải các bài tập cụ thể của học sinh chưa linh hoạt. Khi gặp một bài toán đòi hỏi
phải vận dụng và có sự tư duy thì học sinh không xác định được phương hướng để

giải bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc không làm được bài.
Một vấn đề cần chú ý nữa là kỹ năng giải toán và tính toán cơ bản (khi thực hiện
dạy theo chuẩn kiến thức kỹ năng) của một số học sinh còn rất yếu. Để giúp học sinh
có hệ thống các dạng bài tập cơ bản và có thể làm tốt các bài tập về phương trình bậc
hai trong phần chương IV - đại số 9 bản thân tôi tìm tòi sưu tầm một số dạng bài tập
về hệ thức Viet-phương trình bậc hai, giảng dạy để hình thành phương pháp giải lưu ý
được các khuyết điểm mà học sinh thường mắc phải, từ đó có phương án giúp học
sinh phát hiện và tránh sai lầm khi giải toán về phương trình bậc hai.
2.Do thời gian có hạn nên tôi nghiên cứu với mục đích như sau :
*) Giúp giáo viên toán THCS quan tâm hơn đến một phương pháp dạy học tích
cực rất dễ thực hiện.
*) Giúp giáo viên toán THCS nói chung và bản thân tôi dạy toán 9 THCS nói
riêng có thêm thông tin về phương pháp dạy học để có thể hệ thống cho học sinh các
kiến thức về phương trình bậc hai- hệ thức viet, các dạng bài tập và phương pháp giải
các dạng bài tập trong nội dung kiến thức này.
*)Qua sáng kiến này tôi muốn tìm ra một số lỗi mà học sinh hay mắc phải trong
quá trình lĩnh hội kiến thức ở chương phương trình bậc hai để từ đó có thể giúp học
sinh khắc phục các lỗi mà các em hay mắc phải trong quá trình giải bài tập hoặc trong
thi cử, kiểm tra

Cũng qua sáng kiến này tôi có thêm cái nhìn mới sâu sắc hơn, chú ý
đến việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về phương trình bậc hai cho học sinh
để từ đó khai thác hiệu quả và đào sâu suy nghĩ tư duy lôgic của học sinh giúp học
sinh phát triển khả năng tiềm tàng trong con người học sinh.
*) Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình những kinh nghiệm
để làm luận cứ cho phương pháp dạy học mới của tôi những năm tiếp theo.
3. Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số Nhóm sai lầm mà học sinh thường
mắc phải trong quá trình làm bài tập về phương trình bậc hai – Hệ thức Viet trong
chương IV - Đại số 9.
Phân tích sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy được những lập

luận sai hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác.

6

Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải bài toán về phương trinh bậc
hai – Hệ thức Viet



PHẦN III – CÁC GIẢI PHÁP :
1. Như tôi đã trình bày ở trên nên trong sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu trên
hai nhóm đối tượng cụ thể sau :
1.1. Giáo viên dạy toán 9 - THCS
1.2. Học sinh lớp 9- THCS : bao gồm 1 lớp 9 với tổng số 42 học sinh
2. Tôi nghiên cứu theo các bước sau:
- Đọc sách, tham khảo tài liệu, lựa chọn bài tập.
- Thảo luận cùng đồng nghiệp.
- Thông qua học tập chuyên môn
- Dạy học thực tiễn giảng dạy trên lớp để rút ra kinh nghiệm.
Cụ thể:
Trong những năm học vừa qua tôi đã quan tâm đến những vấn đề mà học sinh mắc
phải. Qua những giờ học sinh làm bài tập tại lớp, qua các bài kiểm tra dưới các hình
thức khác nhau, bước đầu tôi đã nắm được các sai lầm mà học sinh thường mắc phải
khi giải bài tập. Sau đó tôi tổng hợp lại, phân loại thành hai nhóm cơ bản.
*)Quá trình thực hiện tổng kết kinh nghiệm ôn tập cho học sinh về phương trình
bậc hai – hệ thức Viet này tôi đã sử dụng những phương pháp sau :
-Hệ thống lí thuyết; hệ thống các dạng bài tập cơ bản và phương pháp giải; luyện
tập các bài tập tương tự, gợi ý, mở rộng, nâng cao.
- Quan sát trực tiếp các đối tượng học sinh để phát hiện ra những vấn đề mà học
sinh thấy lúng túng, khó khăn khi giáo viên yêu cầu giải quyết vấn đề đó.

- Điều tra toàn diện các đối tượng học sinh trong 1 lớp 9 của khối 9 với tổng số
42 học sinh để thống kê học lực của học sinh. Tìm hiểu tâm lý của các em khi học
môn toán, quan điểm của các em khi tìm hiểu những vấn đề về giải toán có liên quan
đến phương trình bậc hai (bằng hệ thống các phiếu câu hỏi trắc nghiệm ).
- Nghiên cứu về các hoạt động của giáo viên và học sinh để phát hiện trình độ
nhận thức, phương pháp và chất lượng hoạt động nhằm tìm giải pháp nâng cao chất
lượng giáo dục.
- Thực nghiệm giáo dục trong khi giải bài mới, trong các tiết luyện tập, tiết trả
bài kiểm tra tôi đã đưa vấn đề này ra hướng dẫn học sinh cùng trao đổi, thảo luận bằng
nhiều hình thức khác nhau như hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để học
sinh khắc sâu kiến thức, tránh được những sai lầm trong khi giải bài tập. Yêu cầu học
sinh giải một số bài tập theo nội dung trong sách giáo khoa rồi đưa thêm vào đó những

7

yếu tố mới, những điều kiện khác để xem xét mức độ nhận thức và suy luận của học
sinh.
- Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội dung đang nghiên
cứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm tìm ra nguyên nhân những sai lầm mà học sinh
thường mắc phải khi giải toán. Từ đó tổ chức có hiệu quả hơn trong các giờ dạy tiếp
theo.


3. nội dung các dạng bài tập chủ yếu :
3.1.Các dạng bài tập và phương pháp giải
Dạng 1: Giải phương trình bậc hai: Học sinh cần nắm vững công thức để giải
phương trình bậc hai, lưu ý các phương trình hệ số phức tập
Dạng 2: Điều kiện phương trinh bậc 2 có nghiệm , có nghiệm kép, có hai nghiệm
phân biệt, vô nghiệm
Xét phương trình: 0

2
 cbxax (a )0

(1)
Có: acb 4
2

Có thể xảy ra 4 trường hợp
+ Phương trình (1) có nghiệm

0
0
a



 


+ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

0
0
a



 


+ Phương trình (1) có nghiệm kép

0
0
a



 


+ Phương trình (1) vô nghiệm

0
0
a



 


 Lưu ý: Có những trường hợp Muốn tìm điều kiện để PTB2 có nghiệm ,vô
nghiệm ta giải bất phương trình
Muốn chứng minh PTB2 luôn có nghiệm , có 2 nghiệm phân biệt , vô
nghiệm phải chứng minh

luôn không âm ,luôn dương , luôn âm.
Ví dụ 1: Cho Phương trỡnh: 2x
2

+ (2m-1)x + m - 1= 0 (1)
a, Giải phương trình với m= 2
b, Tìm m để phương trình có nghiệm ; có 2 nghiệm phân biệt
Giải :
a, Thay m = 2 vào phương trỡnh (1) ta cú.
2x
2
+ 3x + 1 = 0
Cú ( a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0)
=> Phương trỡnh (1) cú nghiệm x
1
= -1 ; x
2
= - 1/2
b. Phương trỡnh (1) cú

= (2m -1)
2
- 8(m -1)
= 4m
2
- 12m + 9 = (2m - 3)
2


0 với mọi m.

8

 Phương trỡnh (1) luụn cú hai nghiệm x

1
; x
2
với mọi giỏ trị của m.
 Phương trỡnh (1) luụn cú hai nghiệm phân biệt khi

> 0 hay m

3
2


Dạng 3 : áp dụng hệ thức Viet nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
VD 1 : PT : 2x
2
+ 3x + 1 = 0
Cú ( a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0)
Phương trỡnh (1) cú nghiệm x
1
= -1 ; x
2
= - ẵ
VD 2: Giải phương trỡnh
a) x
2
- 49x - 50 = 0
b) (2- 3 )x
2
+ 2 3 x – 2 – 3 = 0
Giải:

a) Giải phương trỡnh x
2
- 49x - 50 = 0
Ứng dụng của định lí Viet
Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0
Nên phương trỡnh cú nghiệm: x
1
= - 1; x
2
= 50
1
50



+ Lời giải 2:  = (- 49)
2
- 4.1.(- 50) = 2601
Theo định lí Viet ta có :













50
1
50).1(5049.
50)1(49
2
1
21
21
x
x
xx
xx

Vậy phương trỡnh cú nghiệm: x
1
= - 1; x
2
= 50
1
50



b) Giải phương trỡnh (2- 3 )x
2
+ 2 3 x – 2 – 3 = 0
Giải:

Ứng dụng của định lí Viet

Do a + b + c = 2- 3 + 2 3 + (- 2 - 3 ) = 0
Nên phương trỡnh cú nghiệm:
x
1
= 1; x
1
= )347(
32
32




Dạng 4 : áp dụng hệ thức Viet, không giải phương trình, Tính tổng, tích hai
nghiệm, tính giá trị 1 biểu thức của 2 nghiệm
Phương pháp giải : - Kiểm tra điều kiện có nghiệm .Tính tổng ,tích 2 nghiệm theo
Viét
-Biến đổi biểu thức về dạng toàn Tổng ,Tích 2 nghiệm
Chú ý –Nếu gặp Hiệu ,Căn thì tính bình phương rồi suy ra
-Nếu mũ quá lớn thì có thể nhẩm nghiệm
Ngoài ra ở những bài khó cần khéo léo vận dụng linh hoạt
VD: Cho phương trỡnh x
2
+ 3 x - 5 = 0 cú 2 nghiệm là x
1
và x
2
.
Không giải phương trỡnh hóy tớnh giỏ trị của biểu thức sau:

9

A =
22
11
xx

; B = x
1
2
+ x
2
2
; C =
2
2
2
2
11
xx

; D = x
1
3
+ x
2
3

Giải
Do phương trỡnh cú 2 nghiệm là x

1
và x
2
nên theo định lí Viet ta có:
x
1
+ x
2
= 3 ; x
1
.x
2
= 5
A =
15
5
1
5
3
.
11
21
21
22







xx
xx
xx
;
B = x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= 523)5(2)3(
2

C =
)523(
5
1
)5(
523
.

2
2
2
2
1
2
2
2
1





xx
xx
;
D = (x
1
+x
2
)( x
1
2
- x
1
x
2
+ x
2

2
) = )15333()]5(523)[3( 
BT: Cho phương trình:
x
2
- 3x + 1 = 0 có 2 nghiệm x
1
, x
2
. Tính:
a. x
2
1
+ x
2
2
d. x
5
1
+ x
5
2
h.
2
1
1
x
x 
+
1

2
1
x
x 

b. x
3
1
+ x
3
2
e.
21
xx  i) x
1
2
x
+ x
2
1
x

c. x
4
1
+ x
4
2
g. x
1

1
x
+ x
2
2
x
k. x
1
(2x
1
- 3) + x
2
2

( Lưu ý : phần i và g cần điều kiện xác định của biểu thức)
Dạng 5 : Viết 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm độc lập với tham số
Phương pháp giải :
Bước 1 : Tính tổng và tích 2 nghiệm theo Viét
Bước 2 : Rút tham số từ tổng thay vào tích hoặc ngược lại
Chú ý : Nếu bậc của tham số ở tổng và tích đều là 2 trở lên ta phải khử bậc cao
trước bẳng cách như phương pháp cộng trong giải HPT
VD: Cho phương trình x
2
- 2(m-1)x + m - 3 = 0 (1)
a. Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b. Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình (1) mà không
phụ thuộc vào m.
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x
2
1

+ x
2
2
(với x
1
, x
2
là nghiệm của phương
trình (1))
Giải:
a.
'

= m
2
–3m + 4 = (m -
2
3
)
2
+
4
7
>0

m.
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt
b. Theo Viét:






3
)1(2
21
21
mxx
mxx
=>





622
22
21
21
mxx
mxx

<=> x
1
+ x
2
– 2x
1
x
2

– 4 = 0 không phụ thuộc vào m
c. P = x
1
2
+ x
1
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= 4(m - 1)
2
– 2 (m-3)

10

= (2m -
2
5
)
2
+ m
4

15
4
15

VậyP
min
=
4
15
với m =
4
5






Dạng 6 ; Tìm tham số biết 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm
Phương pháp giải :
Bước1 : Tìm ĐK có nghiệm . Tính tổng và tích 2 nghiệm theo Viét
Bước 2 : Biến đổi tương đương hệ thức về dạng toàn Tổng ,Tích 2 nghiệm .Nếu
không được thì giải hệ ( Hệ thức có bậc 1 )
Chú ý : -Phải đối chiếu với ĐK có nghiệm Nếu hệ thức chứa Hiệu ,căn thì có thể
bình phương ,chứa dấu giả trị tuyệt đối thì có thể thành 2 phần
VD 1 : Cho Phương trỡnh: 2x
2
+ (2m-1)x + m - 1= 0 (1)
Tìm ma để (1) có hai nghiệm x
1

; x
2
thoả món:
4x
1
2
+ 4x
2
2
+ 2x
1
x
2
= 1
Giải:
Phương trỡnh (1) cú

= (2m -1)
2
- 8(m -1)
= 4m
2
- 12m + 9 = (2m - 3)
2


0 với mọi m.
 Phương trỡnh (1) luụn cú hai nghiệm x
1
; x

2
với mọi giỏ trị của m.
+ Theo hệ thức Vi ột ta cú:











2
1
2
21
21
21
m
xx
m
xx

+ Theo điều kiện đề bài: 4x
1
2
+ 4x
2

2
+ 2x
1
x
2
= 1
<=> 4(x
1
+ x
2
)
2
- 6 x
1
x
2
= 1
<=> ( 1 - 2m)
2
- 3m + 3 = 1
<=> 4m
2
- 7m + 3 = 0
+ Cú a + b + c = 0 => m
1
= 1; m
2
= 3/4
Vậy với m = 1 hoặc m = 3/4 thỡ phương trỡnh (1) cú hai nghiệm x
1

; x
2
thoả món:
4x
1
2
+ 4x
2
2
+ 2x
1
x
2
= 1
VD 2: Cho phương trỡnh x
2
– 2mx + m
2
– m + 3 =0
Tỡm m để phương trình có hai nghiệm sao cho biểu thức x
1
2

+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
( a = 1 ; b = - 2m => b’ = - m ; c = m
2
- m + 3 )

Ä’ = = m
2
- 1. ( m
2
- m + 3 ) = m
2
- m
2
+ m - 3 = m – 3 ,
do pt cú hai nghiệm x
1
; x
2
(với m là tham số )

Ä’ ≥ 0

m ≥ 3 .Áp dụng hệ thức
Vi-ột ta cú:
x
1
+ x
2
= 2m
x
1

. x
2

= m
2
- m + 3
x
1
2

+ x
2
2
= ( x
1
+ x
2
)

2
– 2x
1
x
2
= (2m)
2
- 2(m
2
- m + 3 )=2(m
2
+ m - 3 )

11

=2(m
2
+ 2m
1
2
+
1
4
-
1
4
-
12
4
) =2[(m +
1
2
)
2
-
13
4
]=2(m +
1
2
)
2
-
13

2

Do điều kiện m ≥ 3

m +
1
2
≥ 3+
1
2
=
7
2

(m +
1
2
)
2
≥
49
4


2(m +
1
2
)
2
≥

49
2


2(m +
1
2
)
2
-
13
2
≥
49
2
-
13
2
= 18
Vậy GTNN của x
1
2

+ x
2
2
là 18 khi m = 3
VD3: Cho PT: x
2
– 2mx – 1 = 0 (m là tham số)

a) Chứng minh phương trỡnh trờn luụn cú 2 nghiệm phõn biệt.
b) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trỡnh trờn. Tỡm m để
2 2
1 2 1 2
x x x x 7
  
.

Cỏch 1: Ta cú: ' = m
2
+ 1 > 0 với mọi m nên phương trỡnh trờn luụn cú hai nghiệm
phõn biệt.
Cỏch 2: Ta thấy với mọi m, a và c trái dấu nhau nên phương trỡnh luụn cú hai phõn
biệt.
Theo a) ta có với mọi m phương trỡnh luụn cú hai nghiệm phõn biệt.
Khi đó ta có S =
1 2
x x 2m
  và P = x
1
x
2
= –1.
Do đó
2 2
1 2 1 2

x x x x 7
  
 S
2
– 3P = 7  (2m)
2
+ 3 = 7  m
2
= 1  m =  1.
Vậy m thoả yờu cầu bài toỏn  m =  1.

Dạng 7 : Lập phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm
VD: Cho phương trỡnh: x
2
+ 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x
1
; x
2
thoả món 3x
1
+2x
2
= 1
c) Lập phương trỡnh ẩn y thoả món
2
11
1
x

xy 
;
1
22
1
x
xy 
với x
1
; x
2
là nghiệm của
phương trỡnh ở trờn
Giải
a) Ta cú 
’
= 1
2
– (m-1) = 2 – m
Phương trỡnh cú hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

2
2
2
11
02
1
0
'



















 m
m
m
m
m
P

Vậy m = 2
b) Ta cú 
’
= 1
2
– (m-1) = 2 – m

Phương trỡnh cú nghiệm    0  2 – m  0  m  2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x
1
+ x
2
= -2 (1); x
1
x
2
= m – 1 (2)
Theo bài: 3x
1
+2x
2
= 1 (3)
Từ (1) và (3) ta cú:
1 2 1 2 1 1
1 2 1 2 1 2 2
2 2 2 4 5 5
3 2 1 3 2 1 2 7
x x x x x x
x x x x x x x
       
  
        
   
   
   

Thế vào (2) ta cú: 5(-7) = m -1  m = - 34 (thoả món (*))

12

Vậy m = -34 là giỏ trị cần tỡm
d) Với m  2 thỡ phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: x
1
+ x
2
= -2 (1) ; x
1
x
2
= m – 1 (2)
Khi đó:
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 2
2
1 1
x x
m
y y x x x x
x x x x m m


           
 
(m≠1)

2
1 2 1 2 1 2
2 1 1 2
1 1 1 1
( )( ) 2 1 2
1 1
m
y y x x x x m
x x x x m m
          
 
(m≠1)
 y
1
; y
2
là nghiệm của phương trỡnh: y
2
-
m
m

1
2
.y +
1
2

m

m
= 0 (m≠1)
Phương trỡnh ẩn y cần lập là: (m-1)y
2
+ 2my + m
2
= 0

Dạng 8 :Tìm 2 số biết tổng và tích :
Dùng phương pháp thế đưa về PTB2
Khi lập PT B2 cần biết 2 nghiệm và ẩn
- Muốn lập PTB2 có 2 nghiệm
1 2
,
x x
ta làm như sau :
Tính
1 2 1 2
, .
x x S x x P
  
Vậy PTB2 cần lập là : x
2
- Sx+ P =0
VD1: Tỡm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phương trỡnh
x
2
– 42x + 441 = 0 (*)

Ta cú: 
’
= (- 21)
2
- 441 = 0
Phương trỡnh (*) cú nghiệm x
1
= x
2
= 21
Vậy u = v = 21


*Bài tương tự:
1. Tỡm hai số u và v biết:
a) u+v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24
c) u+v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10
2. Tỡm kớch thước mảnh vườn hỡnh chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tớch bằng
30m
2

Dạng 9 : Tìm tham số khi biết một nghiệm và tìm nghiệm còn lại
VD : Cho phương trình bậc hai sau, với tham số m :
x
2
- (m + 1)x + 2m - 2 = 0 (1)
1. Giải phương trình (1) khi m = 2.
2. Tìm giá trị của tham số m để x = -2 là một nghiệm của phương trình (1) Khi
đó,tìm nghiệm còn lại.
Giải :.

a) Khi m = 2 thỡ phương trỡnh (1) trở thành: x
2
– 3x + 2 = 0 (*)

13

Vỡ phương trỡnh (*) là một phương trỡnh bậc hai cú: a + b + c = 1 + (-3) + 2 = 0
Nên phương trỡnh (*) cú hai nghiệm là x
1
= 1 v à x
2
= 2.
Vậy khi m = 2 th ỡ phương trỡnh (1) cú hai nghiệm l à x
1
= 1 v à x
2
= 2.
b) Giả sử x = - 2 là một nghiệm của phương trỡnh (1). Thay x = - 2 vào phương trỡnh
(1) ta được: 022)2).(1()2(
2
 mm
022224






mm 044




m 44



m 1



m

Ta có :
1 2
x x

=m+1, m= -1 và x
1
=-2 nên -2 + x
2
= 0 do đó x
2
=2
Vậy với m = -1 thỡ phương trỡnh(1) cú một nghiệm là x = -2, khi đó x
2
=2

Dạng 10: Xét dấu các nghiệm của PT
Xét phương trình bậc hai: 0
2
 cbxax (a )0


Có acb 4
2

P =
a
c
xx 
21

S =
a
b
xx 
21

Trong nhiều trường hợp ta cần so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với
một số cho trước hoặc xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai mà không cần giải
phương trình đó, ta có thể ứng dụng định lí Viét .
1. Phương trình có 2 cùng dấu

0
0
P

 





2. Phương trình có 2 khác dấu

P 0


3. Phương trình có 2 nghiệm cùng dương









0
0
0
S
P
4. Phương trình có 2 nghiệm cùng âm


0

0
0
P
S
 








5. Phương trình có nghiệm dương: Có 3 trường hợp: hai nghiệm cùng dương; hai
nghiệm trái dấu, một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0
6. Phương trình có nghiệm âm: Có 3 trường hợp: hai nghiệm cùng âm; hai nghiệm
trái dấu, một nghiệm âm và một nghiệm bằng 0
VD 1: Cho phương trình: x
2
-( 2m + 1)x + m
2
+ m - 6= 0 (*)
a.Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm âm.
b.Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn
3
2

3
1
xx 
=50
giải: Để phương trình có hai nghiệm âm thì:

14















012
06
06412
21
2
21
2
2

mxx
mmxx
mmm
3
2
1
0)3)(2(
025











 m
m
mm

b. Giải phương trình:


50)3(2
3
3
 mm














2
51
2
51
0150)733(5
2
1
22
m
m
mmmm

VD 2: Cho phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm dương phân biệt x

1
,
x
2
Chứng minh:
a,Phương trình ct
2
+ bt + a =0 cũng có hai nghiệm dương phân biệt t
1
và t
2
.
b,Chứng minh: x
1
+ x
2
+ t
1
+ t
2


4
giải
a. Vì x
1
là nghiệm của phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 nên ax
1

2
+ bx
1
+ c =0. .
Vì x
1
> 0 => c.
.0
1
.
1
1
2
1







a
x
b
x
Chứng tỏ
1
1
x
là một nghiệm dương của phương

trình: ct
2
+ bt + a = 0; t
1
=
1
1
x
Vì x
2
là nghiệm của phương trình:
ax
2
+ bx + c = 0 => ax
2
2
+ bx
2
+ c =0
vì x
2
> 0 nên c. 0
1
.
1
2
2
2



















a
x
b
x
điều này chứng tỏ
2
1
x
là một nghiệm dương của
phương trình ct
2
+ bt + a = 0 ; t
2
=

2
1
x

Vậy nếu phương trình: ax
2
+ bx + c =0 có hai nghiẹm dương phân biệt x
1
; x
2
thì
phương trình : ct
2
+ bt + a =0 cũng có hai nghiệm dương phân biệt t
1
; t
2
. t
1
=
1
1
x
; t
2

=
2
1
x

b. Do x
1
; x
1
; t
1
; t
2
đều là những nghiệm dương nên
t
1
+ x
1
=
1
1
x
+ x
1


2 t
2
+ x
2
=
2
1
x

+ x
2


2

15

Do đó x
1
+ x
2
+ t
1
+ t
2


4






Dạng 11: Nghiệm chung của 2 phương trình
Phương pháp giải : đưa về hệ phương trình
+ tính tham số theo ẩn từ một phương trình rồi thay vào phương trình còn lại để tìm
ẩn( nghiệm chung)
+ Thay nghiệm chung vào PT ban đầu để tìm tham số.

Lưu ý : có thể tính ẩn theo tham số rồi tìm tham số trước.

Bài toán 1: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó.
012)23(2
2
 xmx (1)
036)29(4
2
 xmx (2)
Giải:
012)23(2
2
 xmx (1)

m=
x
xx
3
1222
2

(3)( vì x=0 không là nghiệm)
Thay vào (2) ta có:
0362
3
1222
.94
2
2










 x
x
xx
x




036
3686
4
2
2








 x

x
xx
x


x
2
-4x =0


x=0(loại) ; x= 4(thỏa mãn)
Thay x= 4 vào (3) ta có: m=3
Vậy m= 3, nghiệm chung là x= 4


Bài toán 2: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có nghiệm chung, tìm
nghiệm chung đó.

019)17(6
09)13(2
2
2


xmx
xmx


Dạng 12:Hai phương trình tương đương

Học sinh hay nhầm lẫn vấn đề sau: Khi tìm ra hai phương trình vô nghiệm thường
vội kết luận ngay là hai phương trình đó không tương đương với nhau:

VD1: Tìm m để hai phương trình x
2
– mx + 2m -3 = 0 (1); x
2
– (m
2
+ m - 4)x + 1= 0
(2) tương đương.

Hướng dẫn: Hai phương trình trên tương đương trong hai trường hợp

16

* Trường hợp 1: PT(1) và PT(2) vô nghiệm






0
0
2
1

 









044
0128
2
2
2
mm
mm









21
23
62
m
m
m
(không xảy ra)

* Trường hợp 2: PT(1) và PT(2) cùng có nghiệm x
1
; x
2
thì

theo định lý Vi-ét ta có:
2
042
04
132.
4
2
21
2
21












m
m

m
mxx
mmmxx
.
Thử lại với m = 2 thì hai phương trình tương đương vì chỉ có một nghiệm x = 1. Vậy
m = 2
Với loại toán này ta cần lưu ý học sinh: Khi cả hai phương trình vô nghiệm thì hai
phương trình đó cũng là hai phương trình tương đương. Cho nên với một số bài toán
ta phải xét hai trường hợp, trường hợp cả hai phương trình vô nghiệm và trường hợp
cả hai phương trình có cùng một tập hợp nghiệm.

VD2: Tìm m, n để phương trình x
2
– (m + n)x -3 = 0 (1)
và phương trình x
2
– 2x + 3m – n – 5 = 0 (2) tương đương.

Hướng dẫn:
PT(1) có


nmnm ,012
2
 nên PT(1) luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2

Do đó PT(1) và PT(2) tương đương khi hai phương trình này có cùng tập hợp nghiệm

nghĩa là:

















1
1
23
2
533.
2
21
21
n
m
nm
nm

nmxx
nmxx
. Vậy m =1 và n =1 là các giá trị cần tìm
Với bài toán này ta đã chỉ ra được một phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt,
nên để cho hai phương trình tương đương thì phương trình còn lại cũng phải có hai
nghiệm giống hai nghiệm của phương trình trên. áp dụng định lý Vi-ét về tổng tích hai
nghiệm ta sẽ tìm được m, n

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:Cho phương trình : x
2
– (m + 5)x – m + 6 = 0, với m là tham số. Tìm m để giữa
hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn : 2x
1
+ 3x
2
= 13

Bài 2: Cho phương trình: x
2
- 2mx + m = 7
a. Giải phương trình với m = 7, m = - 4, m = 3
b. Cm phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với m
c. Viết một hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m. Tính x
1
theo x

2
.
d. Tính theo m:
3
1
1
x
+
3
2
1
x
, 3x
2
1
- 2mx
1
+ 2x
2
2
+ m
e. Tính m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu, 2 nghiệm dương.

17

g. Với điều kiện nào của m thì
21
xx  = 4 ; 2x
1
+ x

2
= 0 ;
(x
1
+ 3x
2
)(x
2
+ 3x
1
) = 8 ; x
2
2
- (2m + 1)x
2
- x
1
+ m > 0
h. Tìm giá trị lớn nhất của A = x
,1
(x
2
– x
1
) - x
2
2
.
Lập phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là số đối của các nghiệm phương trình
trên.

Bài 3 : Cho phương trình: x
2
-(m+1)x + m = 0
a) giải phương trình với m = 3
b) Tìm m để tổng bình phương các nghiệm bằng 17
c) Lập hệ thức độc lập giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m
d) Giải phương trình trong trường hợp tổng bình phương các nghiệm đạt giá trị
nhỏ nhất.
Bài 4 : Cho phương trình: x
2
- 2mx + 2m – 1 = 0
a) Giải phương trình với m= 4
b) Tìm m để tổng bình phương các nghiệm bằng 10.
c) lập hệ thức độc lập giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m
d) Tìm m sao cho : 2(x
1
2
+x
2
2
)- 8x
1
x
2
= 65
Bài 5: Cho phương trình : x
2
-(2k+1)x +k
2

+2 = 0
a) Tìm k để phương trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
b) Tìm k để phương trình có x
1
2
+x
2
2
nhỏ nhất .
Bài6: Cho phương trình x
2
+mx+m-1=0
a) Giải phương trình với m=3
b) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m
c) Tính tổng và tích giữa các nghiệm của phương trình
Bài 7: Cho phương trình: x
2
+( 2m+1 ).x+m
2
+m-2=0
a) Giải phương trình với m= 4
b) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m
c) Gọi x
1
,x
2
là nghiệm của phương trình. Tính theo m: ( x
1
+1) ( x
2

+1)+ 7x
1
x
2
.
Bài 8: Cho x
2
-4x-( m
2
+2m)=0
a) Giải phương trình với m=5.
b) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m.
c) Tính x
2
1
+x
2
2
+8( x
1
x
2
+1) theo m
d) Tìm m để x
2
1
+x
2
2
=5( x

1
+x
2
)
Bài 9: Cho phương trình 2x
2
+6x+m=0

18

a)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
b) Xác định m để phương trìnhcó 2 nghiệm thoả mãn 5
1
2
2
1

x
x
x
x

Bài 10: Cho x
2
-2( m-1)x +m-3=0
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m
c) Tìm m để x
1
-3x

2
=5
Bài 11:Cho phương trình mx
2
+(2m-1)x+(m-2)=0
2. Giải phương trình với m = 3
3. Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x
1
,x
2
thoả mãn
x
1
2
+x
2
2
=2006
4. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài 12: Cho phương trình (m-1)x
2
+ 2mx + m – 2 = 0.
a) Giải phương trình khi m = 1
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 16, và tìm nghiệm còn lại.
Bài 13: Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình x

2
– 2(m- 1)x – 4

=0
( m là tham số )
Tìm m để
1
x +
2
x = 5
Bài 14: Cho phương trình:
x
2
- 3x + 1 = 0 có 2 nghiệm x
1
, x
2
. Tính:
a. x
2
1
+ x
2
2
d. x
5
1
+ x
5
2

h.
2
1
1
x
x 
+
1
2
1
x
x 

b. x
3
1
+ x
3
2
e.
21
xx  i) x
1
2
x
+ x
2
1
x

c. x
4
1
+ x
4
2
g. x
1
1
x
+ x
2
2
x

k. x
1
(2x
1
- 3) + x
2
2


Bài 15Cho phương trình:
x
2
- 2x + m - 3 = 0
* Tìm m để phương trình :
a. Có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép.

b. Có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
b
1
. (x
1
+ 3x
2
)( x
2
+ 3x
1
) = 0 b
2
. 3x
1
+ 5x
2
= 0

19

b
3
. x
2
1

+ x
2
2
- x
1
x
2
= 0
* Biết phương trình có 1 nghiệm là x
1
= 4. Tìm m và x
2
.
Bài 16Cho phương trình x
2
- (m+4)x + 3m+3 = 0 ( m là tham số)
a. Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
b. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn x
1
3
+ x
2
3




0 .


Bài 17Cho phương trình bậc 2 đối với x.
(m + 1)x
2
- 2(m - 1)x + m - 3 = 0 (3)
a. Chứng minh rằng phương trình (3) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
giá trị của m khác - 1.
b- Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu.
c. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu và trong hai
nghiệm đó có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài 18: Cho phương trình: x
2
- 2(m -1)x+ m -3 = 0 (1)
1, Giải phương trình với m = 0
2, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2

3, Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m
4, Với m

3, hãy lập phương trình có hai nghiệm là
1

1
x
và
2
1
x

5, Đặt A =


2
212
2
1
2
21
22 xxxx
xx


, với m

1, m

3. Hãy tìm số nguyên m để A là số nguyên
6, Tìm m để (1)
a, Có một nghiệm là - 2, khi đó tìm nghiệm còn lại.
b, Có hai nghiệm trái dấu.
c, Có hai nghiệm cùng dấu , khi đó hãy tính B =
21

xx  theo m.
d, Có nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia,
e, Có hai nghiệm thỏa mãn : x
2
1
- x
2
2
= - 4m
2
+ 16m -12
g, Có hai nghiệm thỏa mãn : x
1
< x
2
< 1
h, Có hai nghiệm sao cho : x
2
1
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất
i, Có nghiệm chung với phương trình x
2
- 2mx- m -1 = 0

20

Trên đây là một số phương pháp giải toán về phương trình bậc hai và những sai lầm
mà học sinh hay mắc phải, xong trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài tập, tôi đã
phân tích kỹ đề bài để học sinh tìm được phương pháp giải phù hợp, tránh lập luận sai
hoặc hiểu sai đầu bài sẽ dẫn đến kết quả không chính xác.



PHẦN IV - HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN MANG LẠI :
Qua thực tế giảng dạy: chương IV - đại số 9 năm học 2011 - 2012 này. Sau khi
xây dựng đề cương chi tiết của sáng kiến kinh nghiệm được rút ra từ năm học 2010 -
2011 tôi đã vận dụng vào các giờ dạy ở các lớp 9A, chủ yếu vào các tiết luyện tập, ôn
tập. Qua việc khảo sát chấm chữa các bài kiểm tra tôi nhận thấy rằng tỉ lệ bài tập học
sinh giải đúng tăng lên.
Cụ thể :
- Bài kiểm tra 15 phút : Tổng số 42 em
Số bài kiểm tra học sinh giải đạt yêu cầu là 35 em chiếm 83,3%. (ở năm học
2010 - 2011 là 73%) Tuy mới dừng lại ở các bài tập chủ yếu mang tính áp dụng nhưng
hiệu quả đem lại cũng đã phản ánh phần nào hướng đi đúng.
- Bài kiểm tra chương IV : Tổng số 42 em
Số bài kiểm tra học sinh giải đạt yêu cầu là 37 em chiếm 88% (ở năm học 2010 -
2011 là 71,4%) các bài tập đã có độ khó, cần suy luận và tư duy cao.
Như vậy sau khi tôi phân tích kỹ các sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong
khi giải bài toán về căn bậc hai thì số học sinh giải đúng bài tập tăng lên, số học sinh
mắc sai lầm khi lập luận tìm lời giải giảm đi nhiều. Từ đó chất lượng dạy và học môn
Đại số nói riêng và môn Toán nói chung được nâng lên.
BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN :
Qua quá trình giảng dạy bộ môn Toán, qua việc nghiên cứu ,phương án giúp học
sinh tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai trong chương IV-Đại số 9, tôi đã rút ra

một số kinh nghiệm như sau :
* Về phía giáo viên :
- Người thầy phải không ngừng học hỏi, nhiệt tình trong giảng dạy, quan tâm
đến chất lượng của từng học sinh, nắm vững được đặc điểm tâm lý của từng đối
tượng học sinh và phải hiểu được gia cảnh cũng như khả năng tiếp thu của học sinh, từ
đó tìm ra phương pháp dạy học hợp lý theo sát từng đối tượng học sinh. Đồng thời
trong khi dạy các tiết học luyện tập, ôn tập giáo viên cần chỉ rõ những sai lầm mà học
sinh thường mắc phải, phân tích kĩ các lập luận sai để học sinh ghi nhớ và rút kinh
nghiệm trong khi làm các bài tập tiếp theo. Sau đó giáo viên cần tổng hợp đưa ra
phương pháp giải cho từng loại bài để học sinh giải bài tập dễ dàng hơn.
- Thông qua các phương án và phương pháp trên thì giáo viên cần phải nghiêm
khắc, uốn nắn những sai sót mà học sinh mắc phải, đồng thời động viên kịp thời

21

khi các em làm bài tập tốt nhằm gây hứng thú học tập cho các em, đặc biệt lôi cuốn
được đại đa số các em khác hăng hái vào công việc.
- Giáo viên cần thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp để học hỏi và rút ra kinh
nghiệm cho bản thân, vận dụng phương pháp dạy học phù hợp với nhận thức của học
sinh, không ngừng đổi mới phương pháp giảng dạy để nâng cao chất lượng dạy và
học.
- Giáo viên phải chịu hy sinh một số lợi ích riêng đặc biệt về thời gian để bố trí
các buổi phụ đạo cho học sinh.

* Về phía học sinh :
- Bản thân học sinh phải thực sự cố gắng, có ý thức tự học tự rèn, kiên trì và chịu
khó trong quá trình học tập.
- Trong giờ học trên lớp cần nắm vững phần lý thuyết hiểu được bản chất của
vấn đề, có kỹ năng vận dụng tốt lí thuyết vào giải bài tập. Từ đó học sinh mới có thể
tránh được những sai lầm khi giải toán.

- Phải có đầy đủ các phương tiện học tập, đồ dùng học tập đặc biệt là máy tính
điện tử bỏ túi Caisio f(x) từ 220 trở lên; giành nhiều thời gian cho việc làm bài tập ở
nhà thường xuyên trao đổi, thảo luận cùng bạn bè để nâng cao kiến thức cho bản
thân./.


KẾT LUẬN :
Phần kiến thức về phương trình bậc hai trong chương IV - Đại số 9 rất rộng và
sâu, tương đối khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và mang tính thực tiễn
rất cao, bài tập và kiến thực rộng, nhiều. Qua việc giảng dạy thực tế tôi nhận thấy để
dạy học được tốt phần chương IV - Đại số 9 này thì cần phải nắm vững những sai lầm
của học sinh thường mắc phải và bên cạnh đó học sinh cũng phải có đầy đủ kiến thức
cũ, phải có đầu óc tổng quát, lôgic do vậy sẽ có nhiều học sinh cảm thấy khó học phần
kiến thức này.
Để nâng cao chất lượng dạy và học giúp học sinh hứng thú học tập môn Toán nói
chung và phần chương IV - Đại số 9 nói riêng, thì tôi phải tích luỹ kiến thức, phải có
phương pháp giảng dạy tích cực, củng cố kiến thức cũ cho học sinh và là cây cầu nối
linh hoạt giữa kiến thức và học sinh.
Với sáng kiến “
Một số bài tập về hệ thức Vi et- phương trình bậc hai” tôi đã cố
gắng trình bày các sai lầm của học sinh thường mắc phải một cách tổng quát nhất, bên
cạnh đó tôi thấy có nhiều điểm mới và khó trong phần kiến thức này so với khả năng
tiếp thu của học sinh, để giáo viên có khả năng phát hiện ra những sai lầm của học
sinh ,từ đó định hướng và đưa ra được hướng đi cũng như biện pháp khắc phục các sai
lầm đó.
Bên cạnh đó tôi đưa ra các sai lầm của học sinh và nêu các phương pháp khắc
phục và định hướng dạy học ở từng dạng cơ bản để nâng cao cách nhìn nhận của học
sinh qua đó có thể giải quyết vấn đề mà học sinh mắc phải một cách dễ hiểu hơn.

22

Ngoài ra tôi còn đưa ra một số bài tập tiêu biểu thông qua các ví dụ để các em có thể
thực hành kỹ năng của mình.Vì thời gian nghiên cứu có hạn và tối chỉ nghiên cứu ở
một phạm vi “hẹp”. Vì vậy tôi chỉ đưa ra những vấn đề cơ bản nhất để áp dụng vào
trong giảng dạy .
Tôi xin được đề xuất một số ý nhỏ như sau nhằm nâng cao chất lượng dạy và
học của giáo viên và học sinh :
- Giáo viên cần nghiên cứu kĩ nội dung và chương trình sách giáo khoa, soạn
giáo án cụ thể và chi tiết, đồ dùng dạy học và thiết bị dạy học sao cho sinh động và
thu hút đối tượng học sinh tham gia.
- Giáo viên cần phải tích cực học hỏi và tham gia chuyên đề, hội thảo của tổ,
nhóm và nhà trường,cum tổ chức, tham gia tích cực và nghiên cứu tài liệu về bồi
dưỡng nâng cao.
- Học sinh cần học kĩ lý thuyết và cố gắng hiểu kĩ kiến thức ngay trên lớp, tích
cực làm bài tập đầy đủ, phân phối thời gian hợp lý.
- Gia đình học sinh và các tổ chức đoàn thể xã hội cần quan tâm hơn nữa và
trách nhiệm hơn nữa tới việc học tập của con em mình.
Vì khả năng có hạn, kinh nghiệm giảng dạy môn Toán 9 chưa nhiều, tầm quan
sát tổng thể chưa cao, lại nghiên cứu trong một thời gian ngắn, nên khó tránh khỏi
thiếu sót và khiếm khuyết. Rất mong được đồng nghiệp chỉ bảo, giúp đỡ và bổ xung
cho tôi để sáng kiến được đầy đủ hơn có thể vận dụng được tốt và có chất lượng trong
những năm học sau.
Tôi xin chân thành cám ơn !
Thành Lợi, ngày 28 tháng 5 năm 2012.
Người viết :

Dương Thị Thu Hà

23










Trêng THCS Thµnh Lîi





HiÖu trëng

Phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o vô b¶n








24










Các phụ lục kèm theo sáng kiến


Tài liệu tham khảo

1. Sách " Một số vấn đề về đổi mới phơng pháp dạy học ở trờng THCS môn
toán" của Bộ giáo dục và Đào tạo

2. Sách Các chuyên đề nâng cao và phát triển Đại số lớp 9 của tác giả Vũ Hữu
Bình
Nhà xuất bản giáo dục./.

3. Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục trung học cơ sở môn toán của Bộ
giáo dục và Đào tạo.

4. Tài liệu " Phơng pháp dạy học toán" tác giả Hoàng Chúng - BGD&ĐT.

5.
Sách giáo khoa
và Sách giáo viên toán 6 ; 7 ; 8 ; 9.(BGD&ĐT).

6. Tài liệu Nâng cao và các chuyên đề toán 9 tác giả Vũ Dơng Thuỵ
Nhà xuất bản giáo dục./.
7. Tạp chí Toán học và tuổi thơ




25