sáng kiến kinh nghiệm phát huy trí lực học sinh trong giải toán bất đẳng thức và cực trị

Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị
Phần I: Phần mở đầu
I.1. Lý do chọn đề tài
Toán học là bộ môn khoa học trí tuệ cao nhất đồng thời là chìa khoá mở
cửa, tạo nền cho tất cả các ngành khoa học khác. Song toán học mà chúng ta đã,
đang và tiếp tục nghiên cứu nó phần lớn trên cơ sở lý thuyết nhng nó cũng đã
góp phần nhiều cho thành tựu khoa học thực nghiệm nh Lí học, Hoá học, thiên
văn học và Tin học
Ngay từ thời kì tiền của loài ngời, toán học đã hình thành từ những vật cụ
thể để đi đến phép đếm rồi so sánh. Trải qua qú trình lao động sáng tạo con ngời
không những chiếm lĩnh khoa học ngày một hiện đại và sáng tạo, tìm ra những
quy luật của các con số, phép toán, công thức toán học và cả những chân lý
Ngày nay bộ môn Toán chiếm một u thế quan trọng trong giáo dục đặc
biệt là trong dạy học, học tập, nó đòi hỏi ở ngời thầy giáo một sự lao dộng nghệ
thuật sáng tạo, tạo ra những phơng pháp để dạy các em học sinh học và giải các
bài toán, đó cũng là nhiệm vụ trung tâm của ngời thầy giáo dạy Toán.
Ai cũng biết rằng muốn giải toán phải luyện tập nhiều thông qua việc giải
các bài toán đa dạng, gải các bài toán một cách khoa học, kiên nhẫn và tỉ mỉ, để
tự tìm ra đáp sốcủa chúng. Nh nhà tâm lí học, toán học cổ Xô Clat đã nói
Những hiểu biết mà ta thu đợc một cách không khó khăn thì sẽ không lâu bền,
chúng ta chỉ (có thể do sự giúp từ bên ngoài) những gì mà ta tìm hiểu đợc cũng
giống nh cây cối chỉ sự dụng thứ nớc do rễ của chúng hút đợc từ trong lòng đất
(Đối thoại toán học). Để đạt đợc nhiệm vụ trong giảng dạy muốn vậy ngời thầy
dạy toán, học sinh phải kiên trì biết vận dụng kiến thức đã học trong nhiều tình
huống khác nhau. Một bài toán thờng có nhiều cách giải, mỗi bài toán nằm trong
mỗi dạng toán khác nhau, nó đòi hỏi phải vận dụng kiến thức đã học trong nhiều
lĩnh vực, nhiều mặt một cách sáng tạo, do đó phải xếp bài toán nào vào vấn đề
nào là một việc rất khó, và cũng khó ở một số bài toán đợc gặp ở hai hoặc nhiều
vấn đề khác nhau.
Trong chơng trình phổ thông cấp 2 hiện nay các loại bài tập thật đa dạng,
phong phú và không ít phức tạp, mà học sinh gặp khó khăn. Trong khuôn khổ

của đề tài này, xin nêu một số phơng pháp đề cập đến giải toán về Bất đẳng thức
và cực trị. Phải nói rằng các loại toán này là khó, đa dạng mặc dù trong chơng
trình cấp 2 (từ lớp 8 - 9) đã đề cập song học sinh gặp nhiều bế tắc khi đứng trớc
loại toán này.
I.2. Mục đích nghiên cứu
Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II
1
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị
- Nhằm nâng cao chất lợng học tập bộ môn đại số nói chung. Rèn luyện khả
năng t duy, giúp học sinh có những hứng thú toán học, khắc phục tình tạng thụ
động, dập khuôn, máy móc trong quá trình giải bài tập. Giúp học sinh củng cố,
khắc sâu kiến thức về bất đẳng thức - bài toán tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ
nhất của một số dạng toán thờng gặp.
I.3. Thời gian, địa điểm
I.3.1. Thời gian
- Thời gian để tôi nghiên cứu đề tài là 2 năm
I.3.2. Địa điểm
- Địa điểm để thực nghiệm đề tài là học sinh các lớp khối 8 khối 9ủ trờng
THCS Mạo Khê II - Đông Triều - Quảng Ninh
I.4. Đóng góp mới về mặt lý luận và thực tiễn
Trong tình hình đổi mới sự nghiệp giáo dục, đặc biệt quan tâm tới những
học sinh có năng khiếu, ham học tập, thì đòi hỏi ngời thầy đặc biệt quan tâm,
giúp đỡ các em về phơng pháp giải toán. Cũng các loại bài tập này hiện nay hay
đợc đề cập đến và trong các kỳ thi học sinh giỏi từ cấp huyện thị trở lên, cũng có
thể nói rằng loại toán bất đẳng thức - cực trị không chỉ ở trong bộ môn đại số và
cả trong hình học, không những trong lý thuyết toán, mà có thể áp dụng trong
thực tiễn.
Từ những vấn đề nêu trên, những khó khăn, tác dụng, yêu cầu của toán
học, đó cũng là lí do chính để chọn đề tài: Phát huy trí lực học sinh trong giải
toán Bất đẳng thức - cực trị ở lớp 8 - 9.

Phần II: Phần nội dung
II.1. Ch ơng 1 : Tổng quan
Nắm đợc định nghĩa bất đẳng thức, các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
đại số, các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức thờng dùng. Nêu một số ví dụ
áp dụng bất đẳng thức. Một số dạng toán cực trị và phơng pháp giải chúng.
II.2. Ch ơng 2 : Nội dung vấn đề nghiên cứu
II.2.1. Bất đẳng thức
Ta đều biết để so sánh hai số a, b

R chỉ có thể xảy ra ba trờng hợp:
a > b

a - b > 0
a < b

a - b < 0
a = b

a - b = 0
Từ đó mở rộng ra bất đẳng thức là một hệ thức có một trong các dạng:
A>B hoặc A < B trong đó A, B là các biểu thức đại số chứa các biến số hay các
Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II
2
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị
số. Cần lu ý cho học sinh là khi nói về một bất đẳng thức mà không nói rõ gì hơn
thì đó là một bất đẳng thức đúng.
Trong khi học trong chơng trình thì học sinh phải nắm thật vững, cơ bản
và sâu sắc về định nghĩa bất đẳng thức, cùng với các tính chất và phơng pháp
chứng minh.
II.2.1.1. Định nghĩa: a, b bất kỳ

R: a > b

a - b > 0
a < b

a - b < 0
hoặc A > B

A - B > 0 A - B là những biểu thức chứa chữ v biến số
A < B

A - B < 0
Đó là cơ sở quan trọng và thờng lấy đó để chứng minh nhiều bài toán về bất
đẳng thức.
Trong quá trình giải các bài tập không đơn thuần chỉ là chứng minh những
bất đẳng thức đúng mà thông thờng ta gặp các bài toán dạng:
A

B

A - B

0
A

B

A - B

0
Trong trờng hợp

;

thì sau khi đã chứng minh đợc bất đẳng thức
đúng phải chỉ ra đợc các yếu tố nào (quan hệ) giữa các chữ có trong bất đẳng
thức với nhau hoặc quan hệ với một hằng số, tham số nào đó.
Ví dụ x
2


0 với

x thì dấu bằng xảy ra khi x =0
Hay đẳng thức quen thuộc (a - b)
2


0 thì dấu = xảy ra khi a - b = 0 hay a = b
Với x
2
+ y
2


0

x, y

R thì dấu = xảy ra khi x = y = 0
Nh vậy trong khi giải các bài toán về bất đẳng thức thì việc tìm điều kiện
để dấu = xảy ra lại là một vấn đề không đơn giản, nó là một bài toán nhỏ nằm
trong một bài toán lớn (sẽ đợc diễn giải đối với từng loại bài trong các ví dụ sau).
II.2.1.2. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức số
Vì bài toán về bất đẳng thức thờng đa dạng, phức tạp mới chỉ có định
nghĩa thì cha thể giải hết đợc các bài tập. Nh vậy cần nắm vững những tính chất
sau:
II.2.1.2.1 a > b

a + m > b+ m

a, b, m
II.2.1.2.2 a > b

am > bm nếu m > 0
am < bm nếu m < 0
II.2.1.2.3 a > b và b > c => a > c
II.2.1.2.4 a > b và c > d => a + c> b + c
II.2.1.2.5 a > b và ab > 0 =>
ba
11
<
II.2.1.2.6 a > b > 0 và c > d > 0 => ac > bd
II.2.1.2.7. a > b

0 và m

Z
+

=> a
m
> b
m
Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II
3
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị
II.2.1.2.8. a > b

0 và n

Z
+
=>
nn
ba >
Đó là những tính chất rất cơ bản cần trang bị cho học sinh khi tiếp nhận
vấn đề này song các tính chất trên không có tính chất hai chiều.
Trong khi giải bài tập đòi hỏi việc biến đổi đồng nhất hay tơng đơng là vô
cùng quan trọng, nó đòi hỏi phải nắm kỹ kiến thức cơ bản và kĩ năng kĩ xảo.
Cũng cần trang bị cho các em những vốn kiến thức cơ bản nh chứng minh và
công nhận những bất đẳng thức đúng để các em giải nhanh và góp phần cho sự t
duy để giải các bài toán khó.
Ví dụ: Trong khi giải các bài toán ta có thể lấy những bất đẳng thức đáng
nhớ nh: (a

b)
2

0 (a + b - c + d +)
2

0
Tổng quát hoá (a

b + +)
2k


0
Hoặc

a
i
mà a
i
là những số dơng =>

a
i


0
Hoặc: trong biểu thức có tổng độ dài của các yếu tố về đoạn thẳng hoặc
các tính chất về mối quan hệ cạnh (góc) của tam giác.
II.2.1.3. Các ph ơng pháp chứng minh bất đẳng thức th ờng dùng.
II.2.1.3.1. Dựa vào định nghĩa tức để chứng minh: A > B ta xét:
A - B nếu A - B > 0 thì khẳng dịnh A > B là đúng.
Nếu A - B < 0 thì bất đẳng thức sai.

II.2.1.3.2. Dùng phép biến đổi tơng đơng (có nhiều cách biến đổi) chẳng
hạn chứng minh A > B ta biến A -> M; B -> N rồi so sánh M với N:
M > N => A > B
Hoặc biến đổi tơng đơng dựa vào các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
II.2.1.3.3. Dụa vào các bất đẳng thức đúng đã biết nh các hằng đẳng
thức đã nói ở (2)
II.2.1.3.4. Dùng phép làm trội: thờng chứng minh với bất đẳng thức là
một dãy số. Tách dãy đó thành những nhóm có giá trị tổng đặc biệt nào đó theo
một quy luật nhất định để tính đợc giá trị tổng gồm nhiều hạng tử.
Giả sử: M
1
+ M
2
+ M
3
+ +M
n
> P
Khi đó ta tính

=
i
k
i
M
1
;
II.2.1.3.5. Dùng phép phản chứng để chứng minh: Để chứng minh A > B
ta giả sử A

B từ đó dẫn đến những điều trái giả thiết.
Ví dụ: Chứng mih:
ab
ba

+
2
22
Giả sử:
02
2
22
22
<+<
+
abbaab
ba
Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II
4
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị
0)(
2
< ba
(vô lý)
Vậy
ab
ba

+
2

22
II.2.1.3.6. Dùng phép trung toán (hay quy nạp toán học)
II.2.1.3.7. Dùng phối hợp các phơng pháp trên một cách hợp lí và lôgic.
Nói chung các bài tập về bất đẳng thức là rất đa dạng và khá phức tạp.
Thông thờng những bài toán vận dụng phơng pháp dùng định nghĩa, phép biến
đổi tơng đơng phản chứng đỡ khó khăn hơn và gần gũi với học sinh hơn hoặc kết
hợp các phơng pháp.
Bài toán về bất đẳng thức thờng là cho dới dạng khi biết một số điều kiện
nào đó hãy chứng minh một biểu thức, bất đẳng thức ở nhiều (hay đề cập) ở đại
số song có cả ở trong hình học cũng thờng gặp.
Việc giải bài toán về bất đẳng thức là khó bởi lẽ đơng nhiên ngoài kiến
thức cơ bản liên quan tới bất đẳng thức, đòi hỏi phải vận dụng một cách đúng
đắn trong trờng hợp nào cho phù hợp. Kĩ năng biến đổi tốt giúp cho trong khi
giải đỡ dài dòng và tránh đợc những sai lầm góp phần cho sự t duy, sáng tạo một
cách chắc chắn.
II.2.1.4. Thực tiễn trong giải toán và h ớng dẫn (các ví dụ)
II.2.1.4.1. Chứng minh rằng a > b > 0 thì a
2
> b
2
Dùng định nghĩa để chứng minh:
Xét a
2
- b
2
= (a - b) (a + b)
Vì a > b => a - b > 0 à a > b > 0 => a + b > 0
=> (a - b) (a + b) > 0

a

2
- b
2
> 0

a
2
> b
2
Nh vậy trên cơ sở điều phải chứng minh dùng định nghĩa và kết hợp điều
kiện cho biết để lí luận điều phải chứng minh.
Nếu ta thay đổi điều kiện ngợc lại nh sau:
Nếu a > 0, b > 0 => a > b
a
2
> b
2
ở đây nếu dùng định nghĩa việc chứng minh

xét a - b đến đây ta không
thể biến đổi tiếp đợc, vì vậy ta khai thác điều kiện ta có:
Vì a
2
> b
2


a
2
- b

2
> 0


(a - b) (a + b) > 0
Đến đây học sinh phải nắm đợc việc xét tích m.n > 0

m, n cùng dấu để
vận dụng vào bài toán.
Vì a > 0; b > 0 và => a + b > 0 mà (a -b) (a + b) > 0
Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II
5
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị
=> a - b > 0

a > b
Trong những bớc đầu hình thành kĩ năng cơ bản cho học sinh, giáo viên
thờng xuyên cho các em chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản, rồi sau khi
đã chứng minh đợc thì công nhận chúng để vận dụng vào các bài toán phức tạp
hơn.
II.2.1.4.2. Chứng minh (a + b)
2


4ab. Khi nào thì dấu bằng xảy ra?
Dùng định nghĩa xét: (a + b)
2
- 4ab

a

2
+ b
2
- 2ab = (a - b)
2


0
=> Dấu bằng xảy ra khi a - b = 0

a = b
II.2.1.4.3. Cho a, b không âm. Chứng minh
ab
ba

+
2
Với điều kiện của bài toán a

0, b

0 nên ta có thể vận dụng: a = (
a
)
2
;
b = (
b
)
2

Dùng phép biến đổi tơng đơng ta có:
ab
ba

+
2


0
2

+
ab
ba
Xét vế trái: VT


2
2 abba +

a + b - 2
ab
= (
a
-
b
)
2

0

nên => điều phải chứng minh. Dấu = xảy ra khi a = b
Thông qua bài toán này giáo viên giới thiệu bất đẳng thức trên (bất đẳng
thức Côsi với 2 số không âm)
Có thể giới thiệu công thức (định lí CôSi)
Với 3 số không âm: a, b, c
Ta luôn có a + b + c

3
3
abc
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Tổng quát a
1
+ a
2
+ +a
n


n
n
n
aaa
21
với các a
i
(i =
ni,
) không âm
Cần nhấn mạnh điều kiện để có thể vận dụng đợc định lí Côsi và với các số

không âm
* Chứng minh bất đẳng thức:
(a +b + c) (
cba
111
++
)

9 với a, b, c > 0
Cách 1: Xét (a +b + c) (
cba
111
++
) = 1 +
11 +++++++
b
c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a
Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II
6
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị

= 3 +
)()()(
c
a
a
c
b
c
c
b
a
b
b
a
+++++
Từ bất đẳng thứ đúng: (a - b)
2


0 ta có: a
2
+ b
2


2ab
Do a, b > 0 nên a.b > 0 ta có:
2)( +
a
b

b
a
Tơng tự:
2)( +
b
c
c
b
=> 3 +
)()()(
c
a
a
c
b
c
c
b
a
b
b
a
+++++

9
2)( +
c
a
a
c

Hay (a +b + c) (
cba
111
++
)

9
Cách 2: Vận dụng bất đẳng thức Côsi với 3 số không âm:
Ta có: a +b + c

3
3
abc
3
1
3
111
abccba
++
=> (a +b + c) (
cba
111
++
)

9
3
abc
abc
= 9

Rõ ràng vận dụng định lí Côsi giải ngắn gọn hớn và cũng không phức tạp
Trên cơ sở đó sử dụng kết quả 4.2.1 vận dụng vào bài toán sau:
Chứng minh bất đẳng thức:
2
3

+
+
+
+
+ yx
z
xz
y
zy
x
với x, y, z

0
Dựa vào bất đẳng thức chứng minh trên ta thay a = y + z; b= z + x; c = x + y
Rõ ràng a,b, c > 0
Ta có bất đẳng thức
92).)(
111
( ++
+
+
+
+
+

zyx
yxxzzy
)( zyx ++
2
9111
(
+
+
+
+
+ yxxzzy

2
9
111 +
+
++
+
++
+

yx
z
xz
y
zy
x
2
3
3

2
9
=
+
+
+
+
+

yx
z
xz
y
zy
x
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi: y + z = z + x = x + y hay x = y = z
II.2.1.4.4. Chứng minh rằng nếu x
2
+ y
2
= 1 thì -
22 + yx
Đối với bài toán này ta không thể dùng trớc định nghĩa hay biến đổi, áp dụng các
bất đẳng thức khác mà ta phải xuất phát từ bất đẳng thức đúng nào đó
Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II
7
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị
Từ: x
2
+ y

2
= 1 (*) và từ (x - y)
2


0
Ta có: x
2
+ y
2


2xy => 2xy

1 (**)
Cộng (*) với (**) ta có: x
2
+ 2xy + y
2


2


(x + y)
2


2
| x + y|

2
hay -
22 + yx
Dấu bằng xảy ra

x = y =
2
2
hoặc x = y = -
2
2
* Chứng minh rằng nếu a + b = 2 thì a
4
+b
4


2
Xét a
4
+b
4
- 2
Dùng phép biến đổi đồng thức: Vì a + b = 2 nên ta có thể đặt:
a = 1 + m
b = 1 - m
Có: a
4

+b
4
- 2 = (1 +m)
4
+ (1 - m)
4
- 2
= 1 + 4m + 6m
2
+ 4m
3
+ m
4
+ 1 - 4m +6m
2
- 4m
3
+ m
4
- 2
= 12m
2
+ 2m
4


0 vì m
2

0 ; m
4


0
Vậy từ đó => a
4
+b
4


2
Dấu =

a = b = 1 hoặc a = b = -1 nhng vì a + b = 2 => a = b = -1 (loại)
II.2.1.4.5. Cho 4 số a, b, c, d.Chứng minh (ab + cd)
2


(a
2
+ c
2
) (b
2
+ d
2
) (1)
Dùng phép biến đổi tơng đơng:
Từ (1)

a
2
b
2
+ 2abcd + c
2
d
2

a
2
b
2
+a
2
d
2
+c
2
b
2
+c
2
d
2


a
2

d
2
- 2adbc + b
2
c
2


0


(ad - bc)
2


0 Đây là hằng đẳng thức luôn đúng với

a, b, c, d

R
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi ad - bc = 0

ad = bc
hay

nào để k =
d
c
b
a

=
Trên đây cũng chính là bất đẳng thức Bunhiacopski
Từ đó đối với học sinh khá giỏi có thể đa ra trờng hợp tổng quát mà không
đòi hỏi phải chứng minh vì việc chứng minh rất phức tạp đối với học sinh
cấp 2 mà chỉ yêu cầu nhìn nhận đúng và sử dụng đến bất đẳng thức.
Cho 2n số a
1
, a
2
, a
n


R và b
1
, b
2
, b
n


R.
Khi đó ta có (a
1
b
1
+ +a
n
b
n

)
2


( a
2
1
+ + a
2
n
) ( b
2
1
+ + b
2
n
)
Dấu = xảy ra khi
k
b
a
b
a
b
a
n
n
====
2
2

1
1
Vận dụng kết quả bài toán 4.3.1. trên đa ra bài toán:
Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II
8
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị
Cho 4x - 6y = 1. Chứng minh rằng 4x
2
+ 9y
2



8
1
Thật vậy từ giả thiết: 4x - 6y = 1

2.2x + (-2).3y = 1
Rõ ràng a = 2; b = 2x; c = -2; d = 3y
Ta có [2.2x + (-2).3y]
2


[2
2
+ (-2)
2
][(2x)
2
+ (3y)

2
]
1

8 (4x
2
+ 9y
2
)


4x
2
+9y
2


8
1
Ta có:
])2(2[8
3
2
2
2
22
+==

=
yx

=> x =
8
1
10
2
=
; y = -
12
1
24
2
=
Vậy dấu = xảy ra khi x =
8
1
; y = -
12
1
II.2.1.4.6. Loại toán dùng phơng pháp làm trội
Chứng minh bất đẳng thức:
8
5
2000
1
1999
1

1003
1
1002

1
1001
1
>+++++
Rõ ràng vế trái gồm tổng của 1000 phân số và nhóm thứ nhất
1250
1

1003
1
1002
1
1001
1
++++
(*)
250 hạng tử
Vì
1250
1

1002
1
1001
1
>>>
nên (*) lớn hơn
5
1
1250

250
=
Tơng tự nhóm thứ hai:
Nhóm thứ ba:
7
1
1750
250
1750
1

1503
1
1502
1
1501
1
=>++++
Nhóm thứ t:
8
1
2000
250
2000
1

1753
1
1752
1

1751
1
=>++++
Vậy :
8
5
8
1
7
1
6
1
5
1
2000
1

1002
1
1001
1
=+++>+++
II.2.1.4.7. Loại chứng minh bằng quy nạp
Với những số nguyên dơng n nào thì bất đẳng thức sau đúng: 2
n
> n
2
Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II
9
6

1
1500
250
1500
1

1253
1
1252
1
1251
1
=>++++
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị
Dùng phơng pháp quy nạp:
Dùng phép thử: Với n = 1 : 2 > 1 đúng
Với n = 2 : 2
2
= 2
2
không đúng
Với n = 3, 4 bất đẳng thức không đúng
Với n = 5 : 2
5
> 5
2
đúng
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k

Z; k

5)
2
k
> k
2
Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 nghĩa là:
2
k+1
> (k +1)
2
Thật vậy

2
k
+ 2
k
- (k
2
+ 2k + 1)


(2
k
- k
2
) + [2
k
- [2k + 1]
Vì 2

k
> k
2
(đúng điều giả sử trên)
Vì k

5 => 2
k
> 2k+ 1. Do vậy bất đẳng thức đúng với n = 1 và n

5
* Cho A
n
= 1 +
12
1

3
1
2
1

+++
n
(n

Z; n > 1)
Chứng minh bất đẳng thức:
nA
n

n
<<
2
Trong một số phơng pháp trên trong các bài toán đã trình bày qua các ví
dụ thì các phơng pháp làm trội, phơng pháp quy nạp là gặp khó khăn đối với các
em bởi lẽ phơng pháp này ít đợc đề cập trong trờng phổ thông (loại trừ trờng
chuyên, lớp chọn). Do đó cần hớng dẫn chi tiết cho từng đối tợng học sinh cũng
không nêu ra nhiều mà cần tập trung cho những phơng pháp thông thờng. Kết
thúc phần này đợc nêu một số bài toán chứng minh bất đẳng thức trong tam giác.
II.2.1.4.8. Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác. Chứng minh bất
đẳng thức: a(b - c)
2
+b(c - a)
2
+ c(a - b)
2

+ 4abc > a
3
+ b
3
+ c
3
Đây là một bài toán khó đối với học sinh nhng có thể thấy đợc rằng a, b, c hiển
nhiên là những số dơng và phải thấy đợc quan hệ các cạnh trong một tam giác: a
+ b > c; b + c > a; a + c > b ( HH lớp 8)
Trớc hết ta có nhận xét:
c(a - b)
2
+ 4abc = c[(a - b)

2
+ 4ab]= c(a + b)
2
Bất đẳng thức

a(b - c)
2
+b(c - a)
2
+ c(a - b)
2

+ 4abc - a
3
- b
3
- c
3
> 0


[a(b - c)
2
- a
3
] + [b(c - a)
2
- b
3
] + [ c(a - b)

2

- c
3
] > 0


a[(b - c)
2
- a
2
] + b[(c - a)
2
- b
2
] + c[(a - b)
2

- c
2
] > 0


a(b - c - a)(b - c + a) + b(c - a - b)(c- a + b) + c(a + b - c)(a + b + c)> 0

a (a +b - c)(b - c - a) - b(a + b - c)(c - a + b) + (c(a+b - c) (a + b+c) > 0

(a + b - c) (ab - ac- a
2
- bc + ab - b

2
+ ac + ab + c
2
) > 0
Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II
10
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị

(a + b - c)(2ab - a
2
- b
2
+ c
2
) > 0
(a + b - c)[c - (a -b)
2
] > 0
(a + b - c)(c + a - b)(c + b - a) > 0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng. Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh.
* Cho tam giác ABC có chu vi 2p= a +b + c (a, b, c độ dài ba cạnh)
Chứng minh rằng:
)
111
(2
111
cbacpbpap
++

+

+

Để có thể giải dễ dàng thì cần đa ra trớc bài toán sau: Cho x, y dơng: Chứng
minh
yxyx +
+
411
Trên cơ sở kết quả bài toán này có thể giải quyết dễ dàng bài toán đã cho ban
đầu.
II.2.2. Toán cực trị
II.2.2.1. Lý luận
Cực trị đồng nghĩa với giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một biểu thức, để
giúp học sinh ban đầu nắm vững cơ sở lí luận này ta có thể đa ra một số vấn đề
cũng nh các tính chất, hằng đẳng thức có liên quan.
Ta nói rằng M là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của một biểu thức A nếu hai
điều kiện sau đây đợc thoả mãn.
1. A

M (Hằng số) hay A

M (Hằng)
2. Có lúc A = M ( trong điều kiện nào đó của bài toán để bài toán
xảy ra dấu bằng) thì ta nói biểu thức A đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là M.
Một số tính chất hằng bất đẳng thức:
a
2

0; a
2

= 0

a = 0
|a|

0; |a| = 0

a = 0
- |a|

a

|a|; - |a| = a = |a|

a = 0
|a + b|

|a| + |b|; |a+b|= |a| + |b|

ab

0
|a - b|

|a| - |b|; |a-b|= |a| - |b|

ab

0 và |a|

|b|
Vấn đề cực trị là loại toán khó, đa dạng, phong phú ở cả các môn số học, đại số,
hình học. Trong khuôn khổ của đề tài xin đợc nêu một số dạng quen thuộc ở bộ
môn đại số cấp 2, chủ yếu tập trung cho 2 lớp 8 và 9 bởi vấn đề cực trị hiện mà
nhiều học sinh khá giỏi cũng nh yêu cầu rất quan tâm và cũng là sự thay thế
nhiều trong lĩnh vực này.
II.2.2.2. Các bài toán đại số cực trị có thể ở một số dạng sau đây và ph-
ơng pháp giải:
II.2.2.2.1. A = |x+ a| + |x+b| + +|x
n
+ p| với a, b, p

Z
Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II
11
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị
Phơng pháp giải
Cách 1: Dựa vào tính chất giá trị tuyệt đối
A = A nếu những giá trị của biến để A

0
= - A nếu những giá trị của biến để A < 0
- Xét tất cả các nghiệm của |x
n
+ p|
- Phân ra từng miền (khoảng) xác định
- Lập bảng xét dấu.
- Tìm giá trị mà A đạt đợc giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong khoảng (miền)
xác định nào đó của biến)
Cách 2: Dựa vào các bất đẳng thức tam giác

II.2.2.2.2. A =
cbxax ++
2
+
'''
2
cxbxa ++

Phơng pháp giải:
- Trớc hết xác định miền của tam thức bậc 2 dới dấu căn sao cho thích hợp
- Nếu các biểu thức dới căn đa đợc về dạng luỹ thừa 2 của một tổng (hoặc
hiệu) thì đa về dạng (1)
- Nếu biến đổi biểu thức dới căn về dạng:(mx

n)
2
+ q thì khi đó có thể
tìm đợc giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất
Lu ý là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) phải thoả mãn với điều kiện của bài toán
tìm đợc ở phần đầu
II.2.2.2.3. Dạng a
1
x
n
+ a
2
x
n
+ a
3

x
n - 2
+ +a
n
Phơng pháp:
- Dùng phép biến đổi đồng nhất để đa về dạng tổng của các số dơng (hoặc
âm) hoặc bị chặn bởi một hằng số nào đó)
II.2.2.2.4. Dạng A =
'''
2
2
cxbxa
cbxax
++
++
Phơng pháp:
- Trớc hết phải đặt điều kiện để mẫu số khác 0
- Có thể đa mẫu số về dạng biểu thức luôn dơng (âm) hoặc luôn lớn hơn
hoặc nhỏ hơn một hằng số nào đó)
- Có thể thực hiện phép chia đa thức tử cho đa thức mẫu về dạng:
A= M +
'''
2
cxbxa
eDx
++
+
- Xác định giá trị x của biểu thức phân để nó triệt tiêu để đa về dạng cơ bản:
A = M +Q(x)

M hoặc A - M + Q(x)

M
Ngoài ra còn có một số dạng khác dới những dạng phức tạp hơn.
II.2.2.3. Thực tiễn giải toán và h ớng dẫn
Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II
12
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị
II.2.2.3.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = |x- 3| + | x - 5|
Cách 1:
Xét x - 3 nếu x

3
|x - 3| =
3 - x nếu x < 3
x - 5 nếu x

5
|x - 5| =
5 - x nếu x < 5
Để dễ dàng xét trong các miền ta lập bảng để xét
x -

3 5 +

|x - 3| 3 - x 0 | x - 3
|x - 5| 5 - x | 5- x 0 x - 5
A 8 -2x 2 2 2 2x - 8
- Nếu x < 3 thì A = 8 -2x < 2 => A < 2

- Nếu 3

x < 5 thì A = 2
- Nếu 5

x thì A = 2x - 8

2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 2 ứng với 3

x

5
Cách 2: Theo tính chất về giá trị tuyệt đối:
|a+ b|

|a|+ |b|
Nên A = | x - 3 | + | x - 5| = | x - 3| + | 5- x|

| x - 3 + 5- x| = 2
=> A= 2 với 3

x

5 hay (x - 3) (5 - x)

0
II.2.2.3.2. Tìm giá trị x

Z để cho biểu thức

M = |x- 2| + |x- 3| + |x - 4| + |x-5| với giá trị nhỏ nhất
Để giải nhanh bài này ta sử dụng bài trên bằng cách đặt:
|x- 2| + |x - 4| =M
1
|x- 3| + |x-5| = M
2
rồi sử dụng kết quả câu trên để tìm vì giá trị nhỏ nhất của M cũng là giá trị
nhỏ nhất của M
1
+M
2
II.2.2.3.3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y =
11
22
++++ xxxx
- Rõ ràng các biểu thức dới căn luôn có nghĩa với

x

R
- y =
4
3
)
2
1
(
4
3

)
2
1
(
22
++++ xx

=
2222
)0
2
3
())
2
1
(()0
2
3
()
2
1
( +++ xx
Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II
13
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị
=
2222
)
2
3

0())
2
1
(()
2
3
0()
2
1
( +++ xx
Ta biểu diễn các tọa độ:
M (x; 0) Theo quan điểm tính độ dài đoạn thẳng AB
A(
2
3
;
2
1
) trên mặt phẳng toạ độ
B( -
2
3
;
2
1
)
Nh vậy ta có thể chuyển bài toán về dạng hình học bằng cách biểu diễn
các toạ độ trên trục toạ độ. Từ đó bài toán dẫn tới:
Cho 2 điểm A, B cố định. Tìm điểm M sao cho MA + MB là nhỏ nhất với
M

đờng thẳng // với AB.
Khi đó lấy A đối xứng với A qua Ox thì
Min(AM + BM) =Min(BM + MA) M

(aB, Ox)
=> Suy ra đợc giá trị nhỏ nhất của bài toán
khi x = 0 giá trị y =
2
4
3
4
1
4
3
4
1
=+++
II.2.2.3.4. Tìm giá trị nhỏ nhất của
9612
22
+++ xxxx
II.2.2.3.5. Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của: A = x
2
+ x+ 1
Để giải đợc bài toán phải dùng các phép biến đổi để đa đợc về dạng
A = X
2
+ M
Có A = x

2
+ x + 1 = x
2
+ 2.
2
1
x + (
2
1
)
2
+
4
3
= (x +
2
1
)
2
+ 3/4 vì ( x +
2
1
)
2


0 nên A = (x +
2
1
)

2
+ 3/4

ắ
-> A
Min
= 3/4 khi x +
2
1
= 0 => x = -1/2
II.2.2.3.6. Tìm giá trị của x, y để cho M = x
3
+ y
3
+ xy là nhỏ nhất khi
x + y = 1
Ta biến đổi M = x
3
+ y
3
+ xy


(x + y) (x
2
- xy + y
2
) +xy
Vì x + y = 1 => M = x
2

- xy + y
2
+ xy = x
2
+ y
2
Có y = 1 - x
=> M = x
2
+ (1 - x)
2
= x
2
+ 1 - 2x + x
2
M = 2x
2
- 2x + 1
Đến đây ta dùng phép biến đổi giống bài 3.1
Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II
14
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị
2x
2
- 2x + 1 = 2(x
2
- x + 1/4) +1/2
M = 2 (x - 1/2)
2
+ 1/2

1/2
=> M nhỏ nhất =1/2 khi x = 1/2 => y = 1/2
II.2.2.3.7. Tìm giá trị lớn nhất A =
22
742
2
+
+
xx
xx
x
- Thực hiện phép chia đa thức tử cho mẫu ta đợc:
A =
22
742
2
+
+
xx
xx
x
=
22
3
2
2
+
+
xx

(đợc thơng là 2 d 3) đến đây thì A đạt giá
trị lớn nhất khi
22
3
2
+ xx
đạt giá trị lớn nhất ta biến đổi x
2
- 2x + 2 tơng tự loại
toán phần (3)
A = 2 +
1)1(
3
2
+x
Vì (x-1)
2
+ 1

1 nên A

2 +
1
3
= 5
Dấu = xảy ra khi x = 1 và A = 5
Lu ý đối với loại này học sinh hay mắc phải là việc tìm 2 giá trị: Để A lớn
nhất thì
1)1(
3

2
+x
lớn nhất.
1)1(
3
2
+x
lớn nhất thì (x -1)
2
+ 1 phải nhỏ nhất
II.2.2.3.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
A=
1
1
2
2
+
+
xx
x
Đây là loại toán có cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nên việc biến đổi
A phải tuỳ theo việc tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất.
* Tìm giá trị lớn nhất làm tơng tự II.2.2.3.7
A=
1
1
2
2
+
+

xx
x
=
4
3
)
2
1
(
)1(
2
1
)1(
2
1
)12()1(2
2
2
2
2
2
22
+

=
+

=
+
++

x
x
xx
x
xx
xxxx

Vì
0
4
3
)
2
1
(
)1(
2
2

+

x
x
nên A lớn nhất khi
10
4
3
)
2
1

(
)1(
2
2
==
+

x
x
x
A
Max
= 2
* Tìm giá trị nhỏ nhất thì ta phải viết A dới dạng tổng của các số dơng
(việc này là khó không phải bài nào cũng có thể làm dễ dàng đợc đòi hỏi phải có
kĩ năng kĩ xảo và nhìn nhận một cách thấu đáo)
Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II
15
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị
A=
)1(3
)1(3
2
2
+
+
xx
x
=
3

2
]
4
3
)
2
1
[(3
)1(
3
2
)1(3
)12()1(2
2
2
2
22

+

+=
+
+++
x
x
xx
xxxx
A
Min
=

3
2


x = -1
II.2.2.3.9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của M =
aa ++ 11
* Cuối cùng của phần này xin trình bày một vấn đề nhỏ về việc áp dụng
dùng bất đẳng thức để chứng minh về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.Cụ thể áp dụng
bất đẳng thức Côsi
Nếu tổng của 2 số dơng bằng hằng số thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số
bằng nhau
Gọi 2 số là x và y; x + y = 5
áp dụng bất đẳng thức Côsi:
422
2
S
xyxy
S
xy
yx

+
xy đạt giá trị lớn nhất là
24
2
S
xy
S
=

Nếu tích của 2 số là hằng số thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số bằng
nhau
Làm tơng tự 2 số đó là x, y có xy = P (hằng số)
áp dụng bất đẳng thức Côsi
2
yx
xy
+

hay
2
yx +
PyxP 2+=>
Giá trị nhỏ nhất của x + y = 2
P

Pyx ==
Trong tất cả các hình chữ nhật nội tiếp trong đờng tròn bán kính R hình
nào có diện tích lớn nhất
* Còn nhiều bài toán hình học khác cũng thờng dùng (vận dụng) các bất
đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) song cũng phải nói rằng các bài toán
trong hình học không dễ dàng gì mà có thể áp dụng trực tiếp đợc mà phải thông
qua quá trình biến đổi hoặc tạo ra đựơc tình huống phù hợp.
II.3. Ch ơng 3 : Ph ơng pháp nghiên cứu - kết quả nghiên cứu
II.3.1. Kết quả
Trong năm học 2007 - 2008 khi giảng dạy bình thờng, không đi vào
chuyên đề về bất đẳng thức và cực trị nên chỉ với những kiến thức đề cập trong
sách giáo khoa, sách ôn tập thì học sinh khó có thể giải đợc nhiều bài tập về toán
này thậm chí hiểu rất lơ mơ, không biết vận dụng cái đã có, cái công nhận để sử
Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II

16
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị
dụng vào bài tập, trong đó ngay cả vận dụng định nghĩa về bất đẳng thức cũng
khó khăn. Chính vì vậy mà chất lợng làm loại toán này rất thấp.
Thí nghiệm khi cho bài tập:
Chứng minh:Nếu a > 0, b > 0 thì
abba >+
.
Đây là bài toán lớp 9 - Chơng căn bậc 2
Đa số học sinh không giải đợc do đó chất lợng kiểm tra chỉ đạt 20 - 25%.
Qua xét nghiệm qua bài kiểm tra của học sinh thì thấy rằng không giải đợc bởi
những sai sót cơ bản sau:
* Vì để chứng tỏ rằng một bất đẳng thức nào đó đúng, ta cần phải lập luận
chặt chẽ, dựa trên những tính chất cơ bản của bất đẳng thức. Do vậy nhiều học
sinh đã phạm những sai lầm sau:
II.3.2.1. Trừ các vế tơng ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều.
Chẳng hạn A > B
C > D
=> A - C > B - D là một sai lầm lớn. Ta lấy ví dụ cụ thể:
5 > 3; 7 > 1 => 5 - 7 > 3- 1 => -2 > 2 (Vô lý)
II.3.2.2. Bình phơng 2 vế của một bất đẳng thức mà không đợc kiểm
nghiệm; xem xét hai vế của bất đẳng thức có dơng hay không? (trong khi dạy về
luỹ thừa bậc 2 có tính chất a> b (a , b > 0 => a
2
> b
2
) đa ra 1 phản ví dụ:
5 > - 7 nhng 5
2
< (-7)

2
II.3.2.3. Sử dụng các phép biến đổi không tơng đơng khác
Vì phơng pháp chứng minh bất đẳng thức là rất đa dạng, chủ yếu dựa vào
đặc thù riêng của từng bất đẳng thức cần chú ý có thể áp dụng nhiều cách khác
nhau để chứng minh; song cũng có nhiều bài phối hợp nhiều phơng pháp một
cách hợp lí mà đã đợc giới thiệu phần lí luận.
Sau những đúc rút thực tiễn của học sinh, tôi đã gắn bài dạy và luôn củng
cố trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức và giới thiệu
một số phơng pháp chứng minh và phơng pháp suy nghĩ, sử dụng phơng pháp
nào cho hợp lí. Dần dần các em hiểu kĩ vấn đề, từ biết vận dụng đến có kĩ năng
biến đổi, có phơng pháp áp dụng tốt. Vì vậy trong năm học 2007 - 2008 kết quả
cho thấy những bài toán đa ra các em làm đợc tơng đối tốt đạt 65% - 70% và
ngày càng gây niềm tin cho học sinh. Cũng từ cơ sở đó mà các em giải đợc cả
các bài toán về cực trị. Bởi các bài toán về cực trị áp dụng chủ yếu từ cơ sở việc
chứng minh bất đẳng thức.
II.3.2. Ph ơng pháp
II.3.2.1. Nghiên cứu lập luận qua đọc tài liệu tham khảo
Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II
17
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị
II.3.2.2. Tổng kết kinh nghiệm bằng thực tế giảng dạy (đặc biệt là bồi d-
ỡng học sinh giỏi) của bản thân và đồng nghiệp
II.3.2.3. Tham gia các lớp bồi dỡng giáo viên do Sở Giáo dục Đào tạo tổ
chức
Phần III: Phần kết luận - đề nghị
Là một ngời giáo viên đã trực tiếp giảng dạy ở trờng phổ thông cấp 2 trong
một thời gian nhất định. Do vậy cũng có một số kinh nghiệm nhất định. Giải bài
toán ở cấp 2 không phải đơn giản nh một số ngời ngoài và trong giảng dạy nhận
xét. Nếu chỉ đảm bảo những kiến thức cơ bản scsh giáo khoa mới là điều kiện
cần, songcha đủ mà phải đòi hỏi ngời giáo viên cần phải đi sâu vào từng vấn đề

cụ thể nghiên cứu nghiêm túc và hiểu thật sâu sắc nh PoLia có nói Phải hứng
thú và hiểu biết môn học của mình. Có nh vậy mới có thể giúp đỡ học sinh
của mình học tập có kết quả cao. Trong dạy học ngoài ngời thầy không chỉ nắm
vững kiến thức, mà điều vô cùng quan trọng tới chất lợng học của học sinh là ph-
ơng pháp dạy -dạy nh thế nào để các em dễ hiểu, hiểu kĩ, đúng bản chất và vận
dụng tốt rồi sáng tạo, tìm ra cách giải toán một cách độc lập. Có đợc nh vậy ngời
thầy còn là một nhà biểu diễn nghệ thuật tài tình nhng rất khó khăn.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy các em, bản thân luôn luôn có một
suy nghĩ là Dạy nh thế nào để các em học đợc nhanh và có kết quả tốt nhất.
Trong đề tài với khuôn khổ còn hạn chế, và một số phơng pháp khác cha đề cập
hết. Trong đó có phơng pháp cha đòi hỏi ở học sinh phổ thông cấp 2 nhng với
những phơng pháp trên và sự hớng dẫn chu đáo của thầy thì học sinh đã có thể tự
mình giải đợc nhiều loại bài tập, từ những bài toán đơn giản, đến cả những bài
toán phức tạp; với những kiến thức đợc trang bị trên các em học sinh sẽ phát huy
đợc khả năng của mình, tạo cơ sở cho mình có cách nhìn, phán đoán đúng, đồng
thời có kĩ năng biến đổi, áp dụng đợc công thức và những điều đã biết. Thông
qua giải đợc các bài toán về bất đẳng thức mà giúp các em giải các bài toán cực
trị một cách không khó khăn. Cái khó trong giảng dạy của ngời thầy dạy là làm
thế nào mình chỉ đóng vai trò của một bà đỡ còn học sinh phải tự mình tìm
thấy sự say mê trong khi học tập, tiếp thu kiến thức.
Mặc dù đã giành nhiều thời gian, công sức, tìm hiểu, rút kinh nghiệm và
cố gắng để cho bản đề tài song do nhiều lí do, trong đó lí do còn hạn chế về kiến
thức cũng nh phơng pháp nên bản đề tài chắc không thể tránh khỏi thiếu xót.Tôi
mong đợc sự đóng góp, bổsung.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Mạo Khê, ngày 20 tháng 4 năm 2008
Ngời viết
Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II
18
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị

Bùi Thị Nga
Phần IV: tài liệu tham khảo - phục lục
Tài liệu tham khảo
- Sách giáo khoa Đại số Lớp 8,9 NXB GD
- Sách ôn tập Toán, NXB Hà Nội
- Đại số Hoàng Chúng: Đinh Quang Hảo, Nguyễn Ngọc Huân, Phan
Hoàng Quý, Nguyễn Văn Vinh
- Một số phơng pháp chọn lọc, giải toán sơ cấp - Phan Đức Chính, Nguyễn
Văn Mậu
- Giải bài toán nh thế nào - Polia
- Những bài toán chọn lọc- Đại số, số học - Đỗ Đức Thái
- Sáng tạo toán học - Hoàng Chúng
- Toán chọn lọc cấp 2 - Lê Hải Châu
phụ lục
I. Phần mở đầu 1
I.1 Lý do chọn đề tài 1
I.2 Mục đích nghiên cứu 2
I.3 Thời gian địa điểm 2
I.4 Đóng góp mới về mặt lí luận, về mặt thực tiễn 2
II. Phần nội dung 3
II.1 Chơng 1: Tổng quan 3
II.2 Chơng 2: Nội dung vấn đề nghiên cứu 4
I.3 Chơng 3: Phơng pháp nghiên cứu, kết quả nghiên cứu 8
III. Phần kết luận - kiến nghị 9
IV. Tài liệu tham khảo 9
Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II
19
Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị
Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II
20