Sự liên tục holder của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng

[TY P E T H E C O M P A N Y A D D R E S S ]

CẦN THƠ 2008


LUẬN VĂN TOÁN HỌC

SỰ LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ
NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BẰNG



TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƢ PHẠM
BỘ MÔN TOÁN



Giáo viên hƣớng dẫn: Sinh viên thực hiện:
TS. Lâm Quốc Anh. Phạm Thanh Dƣợc.
MSSV: 1040051.
Lớp: Sƣ Phạm Toán K30.


Sinh viên: Phạm Thanh Dược

2

Mục lục
Phần mở đầu 4
Phần nội dung 6
Chương 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN. 7
1.1 Bài toán cân bằng 7
1.1.1. Bài toán cân bằng 7
1.1.2. Một vài khái niệm 7
1.1.3. Một số trƣờng hợp đặc biệt 12
1.2 Sự tồn tại nghiệm 15
1.2.1. Định nghĩa 15
1.2.2. Định lý 15
1.2.3. Bổ đề 16
1.2.4. Bổ đề 17
1.2.5. Bổ đề 18
Chương 2. LIÊN TỤC 19
2.1 Một số khái niệm 19
2.2 Liên tục 22
2.2.1. Định nghĩa 22
2.2.2. Mệnh đề 22
2.2.3. Định lý 23
2.2.4. Định lý 23
2.2.5. Định nghĩa 23
2.2.6. Định nghĩa 24
2.2.7. Định lý 24
2.2.8. Hệ quả 25

May 1, 2008
3

2.2.9. Định lý 25

2.2.10. Hệ quả 26
2.3 Sự duy nhất và liên tục của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng 27
2.3.1. Mệnh đề 27
2.3.2. Mệnh đề 29
2.3.3. Tính liên tục và tính duy nhất của ánh xạ nghiệm bài toán
cân bằng 29
2.3.3.1. Định lý 29
2.3.3.2. Hệ quả 30
2.3.3.3. Định lý 30
2.3.4. Sự duy nhất và liên tục của ánh xạ nghiệm bài toán tựa
cân bằng 31
2.3.4.1. Bài toán 31
2.3.4.2. Định lý 31
2.3.4.3. Định lý 34
Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG 36
3.1 Định nghĩa 36
3.2 Ứng dụng 36
3.2.1. Bài toán tựa bất đẳng thức biến phân 36
3.2.2. Bài toán tựa tối ƣu 38
3.2.3. Bài toán điểm bất động 39
3.2.4. Bài toán điểm trùng lập 40
Phần kết luận 41


Sinh viên: Phạm Thanh Dược

4

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.

Tôi sinh ra và lớn lên trong một gia đình nông dân nghèo. Vì vậy, tôi đã sớm
chứng kiến biết bao nỗi lo toan của bố mẹ trong việc xây dựng cuộc sống gia đình.
Tôi tự hỏi liệu có cách nào giúp công việc làm ăn của bố đạt hiệu quả cao, kiếm
đƣợc nhiều tiền hơn. Khi lên lớp 8, từ việc giải một bất phƣơng trình thông thƣờng
nhƣ các bạn học cùng lớp tôi thầm nghĩ nếu vế trái của một bất phƣơng trình
là khoảng tiền lời mà bố mình kiếm đƣợc sau mỗi vụ mùa thì tốt biết bao.
Tôi suy nghĩ “Toán học có giúp nhiều trong việc lên kế hoạch sản xuất, kinh doanh
không?”. Qua những năm tìm hiểu về Toán học, tôi đã nhận thức đƣợc rằng “Toán
học có nhiều ứng dụng quan trọng trong đời sống”. Chẳng hạn, một nhà kinh doanh
giỏi thì họ luôn có kế hoạch rõ ràng, luôn xác định những lợi nhuận hay tổn thất
trong kinh doanh theo từng giai đoạn. Nếu ta gọi f là hàm lợi nhuận thì hàm f phải
dƣơng, khi đó công việc kinh doanh mới có thể tiếp tục. Xuất phát từ ý tƣởng “làm
kinh tế thì phải có lợi nhuận” tôi đã quan tâm rất nhiều đến Toán tối ƣu để xây dựng
một hàm lợi nhuận lý tƣởng.
Các tạp chí Toán học của các nƣớc, tạp chí Toán học quốc tế đã và đang là
nơi sinh hoạt giao lƣu giữa những ngƣời yêu thích Toán học. Đây là một trong
những lí do thúc đẩy sự phát triển không ngừng của Toán học trên mọi lĩnh vực.
Nhiều năm qua, tạp chí Toán học đã mang lại biết bao nguồn cảm hứng cho giới trẻ
trong việc chia sẻ sự hiểu biết, những ý tƣởng, cũng nhƣ những bƣớc thăng trầm của
Toán học hiện đại. Từ một bài toán hay một khái niệm khi thảo luận có thể đƣợc
xây dựng thành một chuyên đề. Riêng tôi, tôi luôn cập nhật những thông tin mới từ
các tạp chí Toán học, đặc biệt là các khái niệm, công cụ Toán học mới giải quyết
các bài toán kinh tế. Từ các bài báo của các tác giả “Banichi và Pini 2003”; “Blum
và Oettli 1994”; “Noor và Oettli 1994”; “Bianchi et al 1997”; “Chadli và Riahi
2000”; “Ansari et al 2001”; “Lin et al 2003”; “Hai và Khanh 2006”; “Anh và Khanh
2007” ta thấy liên tục là một trong những công cụ có thể giải quyết bài toán

May 1, 2008
5

“làm kinh tế thì phải có lợi nhuận” . Vì vậy, tôi quyết định chọn ”Sự liên tục
của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng” làm đề tài luận văn tốt nghiệp.
2. Mục tiêu nghiên cứu.
Trong tình hình nền kinh tế phát triển hiện nay, Toán ứng dụng không thể
thiếu trong công tác vạch định chiến lƣợc. Trong phần nghiên cứu này, tôi hy vọng
sẽ mang đến cho các bạn yêu toán một phần tổng hợp khá đầy đủ và những ý tƣởng
của tôi về sự liên tục và một số
ứng dụng của nó, đặc biệt là các bài toán kinh tế. Nếu bạn cũng yêu thích vấn đề này
thì bạn có thể nghiên cứu sâu hơn thậm chí là chọn nó làm đề tài nghiên cứu. Hơn
nữa, tôi đã cố gắng trình bày khá chi tiết và đƣa ra ví dụ cụ thể bám sát từng khái
niệm.
3. Phương pháp nghiên cứu.
a) Phƣơng pháp thu thập tài liệu:
Thu thập các tài liệu có liên quan đến đề tài: Từ các bài báo, tạp chí, sách,
trao đổi cùng thầy hƣớng dẫn, các bạn trong nhóm và trao đổi trên diễn đàn Toán
học.
b) Phƣơng pháp so sánh, tổng hợp:
Từ tài liệu thu thập đƣợc tiến hành so sánh nét giống và khác nhau giữa các
tài liệu. Quan tâm nhiều đến các ứng dụng và độ khái quát của các định lý. Trích lọc
các thông tin sẽ trình bày trong luận văn này.
4. Các bước nghiên cứu.
Trƣớc tiên, tôi gặp giáo viên hƣớng dẫn trao đổi về đề tài luận văn của tôi.
Thứ hai, tôi thu thập tài liệu từ các nguồn khác nhau, chuyển mọi tài liệu về
cùng ngôn ngữ tiếng việt.
Thứ ba, tôi xây dựng đề cƣơng chi tiết và trình bày với giáo viên hƣớng
dẫn.
Thứ tƣ, tôi đi vào nghiên cứu sâu và hoàn chỉnh từng nội dung theo đề
cƣơng đã vạch định.
Thứ năm, tôi trao đổi với giáo viên hƣớng dẫn lần cuối trƣớc khi nộp luận
văn về hội đồng bảo vệ.

Sinh viên: Phạm Thanh Dược

6

PHẦN NỘI DUNG
Luận văn này có thể dùng làm tài liệu tham khảo về liên tục và ứng
dụng cho các bạn yêu thích Toán học.
Luận văn gồm 3 chƣơng.
Chƣơng 1, trình bày các kiến thức cơ bản hổ trợ cho việc xây dựng các bài toán
mở đầu.
Chƣơng 2, đề cập đến liên tục , sự tồn tại nghiệm trong bài toán cân
bằng, đặc biệt là định lý 2.3.4.2 và định lý 2.3.4.3.
Chƣơng 3, liên quan đến ứng dụng liên tục trong các trƣờng hợp đặc
biệt.












May 1, 2008
7

Chương 1. Kiến thức cơ bản
1.1. Bài toán cân bằng
Trong nhiều năm qua, giải tích hiện đại ngày càng đóng vai trò quan trọng
trong lý thuyết tối ƣu và các ứng dụng của nó. Chúng ta thƣờng bắt gặp các bài toán
tối ƣu trong kinh tế, kĩ thuật và đặc biệt là trong tài chính tối ƣu. Bài toán cân bằng
là một trong những vấn đề, bao gồm nhiều mối quan hệ với vấn đề tối ƣu nhƣ là bất
đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng của Nash, bài toán tìm phần bù, bài toán
điểm bất động, bài toán điểm trùng lập, bài toán mạng giao thông
Bài toán cân bằng đƣợc nhiều tác giả đề cập đến với việc giải quyết đƣợc sự
tồn tại và sự duy nhất của nghiệm trong một số điều kiện. Bạn có thể tìm đọc trong
một số bài báo nhƣ “Blum và Oettli 1994”; “Noor và Oettli 1994”; “Bianchi và Al
1997”; “Chadli và Riahi 2000”; “Ansari và Al 2001”; “Lin và Al 2003”; “Hai và
Khanh 2006”; “Anh và Khanh 2007”.
1.1.1. Bài toán cân bằng.
Mô hình bài toán.
Giả sử X là không gian véctơ tôpô thực, M là tập con khác rỗng của X, M là
tập đóng và lồi. Cho hàm với mọi .
Tìm thỏa mãn
(EP) .
1.1.2. Một vài khái niệm.
1.1.2.1. Định nghĩa.
Giả sử X là không gian véctơ tôpô thực. Hàm đƣợc gọi là đơn
điệu nếu
.
Giả sử F là ánh xạ từ X vào Y, với X, Y là các không gian Banach. Kí hiệu
(X,Y) là không gian các toán tử tuyến tính liên tục đi từ X vào Y.
Sinh viên: Phạm Thanh Dược

8

1.1.2.2. Định nghĩa.
Đạo hàm của F theo phƣơng v tại x đƣợc xác định bởi:

nếu giới hạn này tồn tại.
1.1.2.3. Định nghĩa.
Ánh xạ F đƣợc gọi là khả vi tại x nếu tồn tại sao cho
với mỗi thỏa mãn:

với là vô cùng bé bậc cao hơn t khi
Khi đó ta gọi A là đạo hàm của F tại x.
Nhận xét.
Ánh xạ F khả vi tại x thì:

sự hội tụ này là đồng đều theo v trên các tập hữu hạn.
1.1.2.4. Định nghĩa.
Ánh xạ F đƣợc gọi là khả vi Fréchet tại x nếu tồn tại sao cho

trong đó
Nhận xét.
Ánh xạ F khả vi Fréchet tại x khi và chỉ khi tồn tại sao cho với
mỗi
(I)
(II)
hội tụ đều theo v trên các tập bị chặn.

May 1, 2008
9

Chứng minh
- Chiều thuận

Khi F là khả vi Fréchet tại x.
+ Lúc đó,
sao cho


Do đó,
ta có


Mặt khác

Do đó,

Vậy hay F khả vi Gâteaux
+ Với mọi tập V bị chặn và cho trƣớc
Ta chứng minh

Do đó



Vì V bị chặn nên sao cho

Ta có

Nên tồn tại dƣơng đủ nhỏ sao cho
Sinh viên: Phạm Thanh Dược

10

Mặt khác,





Suy ra,

- Chiều đảo
Vì F thoả mãn (II) hội tụ đồng đều theo v trên các tập bị chặn nên



Vì F thoả mãn (I) nên
+r(v)
Do đó

Hay

May 1, 2008
11


Vậy F khả vi Fréchet.
Lưu ý: F khả vi Fréchet thì khả vi Gâteaux nhƣng chiều ngƣợc lại thì không đúng.
 Ví dụ. Cho thỏa mãn:

Khi đó, f khả vi Gâteaux nhƣng f không liên tục và không khả vi Frechet tại (0;0).

Chứng minh
Với mỗi
- Nếu x = y = 0 thì rõ ràng

- Nếu
Ta chọn

Lúc đó,

Do đó,

Vậy f khả vi Gâteaux.
Ta xét thì f( )=1.
Nếu thì f( ) = 1
Vậy f không liên tục.
Giả sử f khả vi Fréchet tại (0;0)
Lúc đó tồn tại
(III)

Trong R
2
ta chọn chuẩn
Sinh viên: Phạm Thanh Dược

12



Từ (III) ta có

V ì nên
Do đó,

Rõ ràng,

Vậy f không khả vi Fréchet.
1.1.2.5. Định nghĩa.
Ánh xạ F đƣợc gọi là khả vi liên tục theo tại x nếu tồn tại đạo hàm
theo DF trong một lân cận của x và liên tục tại x (theo
tôpô chuẩn toán tử).
1.1.2.6. Định nghĩa.
Giả sử U là tập lồi, mở trong không gian Banach X. Hàm đƣợc gọi
là lồi trên U, nếu và thì
.
1.1.3. Một số trường hợp đặc biệt.
(Blum và Oettli; Variational Inequalities to Equelbrium Problem1994; trang 124-127)
Xét X, M nhƣ ở mục 1.1.1.
1.1.3.1. Bài toán tối ưu.
Cho hàm
(OP) Tìm sao cho

May 1, 2008
13

Đặt thì bài toán (OP) sẽ trở thành bài toán (EP). Hơn
nữa, f là hàm đơn điệu trên M.
1.1.3.2. Điểm yên.
Cho hàm đƣợc gọi là điểm yên của nếu
(SP) , , .
Đặt và là ánh xạ xác định bởi:

Khi đó, là nghiệm của (EP) khi và chỉ khi là nghiệm của
(SP).
Dễ thấy f đơn điệu.
1.1.3.3. Bài toán cân bằng của Nash.
Cho I là một tập hợp hữu hạn (tập hợp tất cả các ngƣời chơi). Lấy ta xây
dựng tập (số chiến lƣợc của ngƣời chơi thứ i).
Đặt với mỗi i ta xây dựng một hàm là hàm đặc
trƣng cho sự tổn thất của ngƣời chơi thứ i.
Lấy
,
ta đặt ,
Điểm đƣợc gọi là phƣơng án của bài toán trên nếu ta
có:
(NP) .
Ta có thể viết gọn là
- Nếu ánh xạ đƣợc xác định bởi:

- Khi đó là nghiệm của (NP) khi và chỉ khi là nghiệm của (EP).
1.1.3.4. Bài toán điểm bất động.
Cho X=X
*
là không gian Hilbert. M là một không gian con của X.
(FP) Ánh xạ T: M Tìm thỏa mãn .
Sinh viên: Phạm Thanh Dược

14

Đặt Khi đó thỏa mãn (EP) khi và chỉ khi là
một nghiệm của (FP).

Thật vậy,
- Nếu thỏa mãn (FP) thì thỏa mãn (EP).
- Nếu thỏa (EP) thì thì ta chọn .
Khi đó,
0 f( .
Suy ra,
.
Vậy (FP) tƣơng đƣơng (EP).
1.1.3.5. Bài toán cân bằng trong giải tích lồi, khả vi.
Cho hàm là hàm lồi có đạo hàm G teaux tại x với .
(CDOP) Tìm min .
Từ tính chất của giải tích lồi ta suy ra thỏa (CDOP) khi và chỉ khi thỏa bất
đẳng thức biến phân.
, .
Đặt f(x,y)= thì đây là bài toán cân bằng (EP).
1.1.3.6. Bất đẳng thức biến phân trên các toán tử.
Cho A: X
*
là một ánh xạ.
(VIP) Tìm .
Dễ thấy, nếu f(x,y)= thì (VIP) tƣơng đƣơng (EP)
1.1.3.7. Bài toán phần bù:( đây là trường hợp đặc biệt của bài toán trên).
Giả sử M là một hình nón lồi, đóng với
M
*
= là một nón.
Cho T: M X
*
là ánh xạ.
(CP) Tìm thỏa, .

May 1, 2008
15

Bài 2. Sự tồn tại nghiệm
Trong phần này ta sẽ chỉ ra sự tồi tại nghiệm của bài toán cân bằng (EP) trong
một số điều kiện cơ bản.
Giả sử f(x,y) = g(x,y) + h(x,y) với g là hàm đơn điệu, liên tục; h là hàm liên
tục.
1.2.1. Định nghĩa.
Giả sử M,C là các tập lồi, C là tập con của M.
Khi đó, .
trong đó,
1.2.2. Định lý. Giả sử các điều kiện sau đây thỏa mãn:
(i) X là một không gian vectơ tôpô thực, M con X là một tập khác rỗng, đóng
và lồi.
(ii) là ánh xạ thỏa mãn :


g là hàm lồi và liên tục.
(iii) là ánh xạ thỏa mãn:

h là hàm lồi và liên tục.
(iv) Giả sử tồn tại và C là tập khác rỗng, compăc, lồi thỏa với mọi
luôn tồn tại số sao cho:
g(x,a)+h(x,a)
Khi đó, tồn tại thỏa mãn:


Sinh viên: Phạm Thanh Dược

16

1.2.3. Bổ đề.
Giả sử g, h đƣợc xác định nhƣ trên. Khi đó, tồn tại sao cho
.
Chứng minh
- Đặt
Vì g, h liên tục nên S(y) là tập đóng.
- Ta cần chứng minh

Lấy y
i
, i là một tập con hữu hạn của C. với I là tập con của N, I khác rỗng,
ta đặt S(I)={y
i
|i }.
Lấy thuộc bao lồi của S(I). Khi đó, với và .
Giả sử g(y
i
, ,y
i
) .
Ta thấy,
(*).
Mặt khác,

.
Hơn nữa,

Do đó,
(**).
Vì (*) và (**) mâu thuẫn nên tồn tại i I sao cho
g(y
i
, ,y
i
)
Dễ thấy bao lồi L của S(I) là tập con của hợp các S(y
i
)

May 1, 2008
17

Vì L là tập con khác rỗng của tập đóng nên
Giao bất kì một họ các tập con khác rỗng của S(y) là khác rỗng và S(y) là tập
con đóng của tập compăc C.
Do đó,

Vậy luôn tồn tại
1.2.4. Bổ đề. Giả sử g, h đƣợc xác định nhƣ trên, hai mệnh đề sau là tƣơng đƣơng.
(a)
(b)
Chứng minh
+ Giả sử (b) thỏa, tức là tồn tại sao cho:

-Vì g đơn điệu (giả thiết chung cho cả bài này) nên
0 hay
- Do đó:

+ Giả sử (a) thỏa, khi đó:
- Lấy y bất kì thuộc C, ta đặt x
t
= ty+(1-t) , 0
Khi đó,

và (a) thỏa nên g(x
t
,
- Hơn nữa, với 0
0 = g(x
t
,x
t
) = g(x
t
, ty+(1-t) ) tg(x
t
, y)+(1-t)g(x
t
, ) ( g là hàm lồi).
tg(x
t
, y)+(1-t)h( x
t
)
tg(x
t
, y)+(1-t)(t.h( )+(1-t)h( )) = tg(x

t
, y)+(1-t)t.h( )
- Chia hai vế cho t ta đƣợc
0 g(x
t
, y)+(1-t)h( y)
Sinh viên: Phạm Thanh Dược

18

- Khi và g liên tục nên
Vậy:
1.2.5. Bổ đề. Giả sử là hàm lồi,
.
Chứng minh
Giả sử tồn tại sao cho
mà suy ra, tồn tại thỏa mãn (mâu thuẫn với
).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Chứng minh định lý 1.2.2.
- Theo Bổ đề 1.2.3 thì tồn tại thỏa mãn

- Theo Bổ đề 1.2.4 thì
- Đặt
Khi đó, là hàm lồi,
Thật vậy,
* Nếu
* Nếu với a là số xác định ở (iv).
Khi đó, và . Theo Bổ đề 1.2.5 thì
.

Vậy .




May 1, 2008
19

Chương 2. Liên tục
2.1. Một số khái niệm
2.1.1. Định nghĩa.Giả sử X là một không gian véctơ thực.
Hàm là tựa nếu
thỏa mãn
.
 Ví dụ.
Hàm biến cặp (x,y) thành x-y.
Rõ ràng, nếu thì .
Suy ra, Hay
Vậy g là hàm tựa đơn điệu.
Nhận xét: Nếu g là hàm đơn điệu thì g tựa đơn điệu.
Thật vậy,
-
- Giả sử

2.1.2. Định nghĩa.
Cho X là không gian mêtric thực. Hàm đƣợc gọi là
giả đơn điệu mạnh trong x y
trong đó h>0, và d(.,.) là mêtric xác định trên
X.
2.1.3. Định nghĩa. Giả sử X là không gian mêtric thực.

Hàm đƣợc gọi là h. đơn điệu mạnh nếu:

 Ví dụ.
Sinh viên: Phạm Thanh Dược

20

Hàm biến cặp (x,y) thành x-y.
- Hàm f thỏa giả đơn điệu mạnh vì .
.
Suy ra,
.
- Nhƣng hàm f không là đơn điệu mạnh
vì
Mà

Biến phân:
Giả sử trong đó R là không gian các số thực.
2.1.4. Định nghĩa. Biến phân của hàm trên [b,c] là cận trên đúng của các số

lấy theo tất cả các cách chia [b,c] bởi các điểm
trong đó n là số tự nhiên tùy ý.
Kí hiệu biến phân của là .
2.1.5. Định nghĩa.
Hàm đƣợc gọi là có biến phân giới nội nếu
Nhận xét.
a) Hàm đơn điệu không giảm suy ra có biến phân giới nội. Khi
đó,
b) Tổng hay hiệu của các hàm có biến phân giới nội cũng có biến phân giới
nội.

c) Hiệu của hai hàm đơn điệu không giảm có biến phân giới nội.

May 1, 2008
21

2.1.6. Mệnh đề. Hàm có biến phân giới nội khi và chỉ khi là hiệu của hai
hàm đơn điệu không giảm.
Chứng minh
Giả sử có biến phân giới nội. Kí hiệu V(x) =
Ta có:


Nếu thì với mọi cách chia bởi các điểm

Ta đƣợc:

Suy ra,

Rõ ràng, đơn điệu không giảm và
Giả sử đơn điệu không giảm và Khi đó, theo nhận xét
trên thì có biến phân giới nội.
2.1.7. Mệnh đề.
Nếu
Chứng minh
- Theo Mệnh đề 2.1.6. thì tồn tại đơn điệu không giảm và
.
- Vì đơn điệu không giảm nên có đạo hàm hầu khắp nơi.
Do đó, có đạo hàm hầu khắp nơi.

Sinh viên: Phạm Thanh Dược

22

2.2. Liên tục
2.2.1. Định nghĩa.
Giả sử X,Y là các không gian Banach. Hàm đƣợc gọi là liên tục
nếu tồn tại một lân cận U của x
0
và :

Hàm f đƣợc gọi là liên tục trên tập nếu f liên tục tại mọi điểm
2.2.2. Mệnh đề.
Hàm là liên tục khi và chỉ khi với mọi hệ
khoảng rời nhau trong [b,c] thì luôn tồn tại sao cho

Chứng minh
Giả sử f liên tục trên [b,c]. Tức là tồn tại
sao cho:
.
Suy ra,

Vậy

Giả sử f là hàm thỏa mãn:

Khi đó, ta chọn k = 1 thì:
,
Vậy f liên tục trên [b,c].

May 1, 2008
23

2.2.3. Định lý.
Nếu hàm là liên tục thì f có đạo hàm hầu khắp nơi.
Chứng minh
Vì f liên tục trên R. Tức là tồn tại sao cho:
.
Theo Mệnh đề 2.2.2 ta thấy biến phân của f trong khoảng có dộ dài sẽ không
vƣợt quá .
Khi đó,

Hay f có biến phân giới nội. Theo Mệnh đề 2.1.7 thì f có đạo hàm hầu khắp
nơi.
2.2.4. Định lý.
Giả sử là khả vi Fréchet và có đạo hàm bị chặn trên tập lồi U, tức là

Khi đó f là liên tục .
Chứng minh
Với ta có:

Suy ra,

Vậy f là liên tục
2.2.5.

Định nghĩa.
Cho là các số dƣơng và . f đƣợc
gọi là nếu có một lân

cận thoả mãn



Sinh viên: Phạm Thanh Dược

24

2.2.6. Định nghĩa. Giả sử X,Y là các không gian Banach.
Hàm địa phương tại nếu tồn tại một số
sao cho:

trong đó B là hình cầu đơn vị mở.
2.2.7. Định lý. Giả sử f là hàm lồi trên tập lồi, mở U, f bị chặn trong một lân cận
của một điểm nào đó thuộc U. Khi đó, f là địa phương trên U.
Chứng minh
Lấy ta chứng minh f là địa phương trong một lân cận của x.
Trƣớc hết ta chỉ ra f bị chặn trong một lân cận của x.
+ Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử f bị chặn trên bởi số M trên tập
.
+ Chọn p > 1 sao cho y:= px .
+ Đặt là một lân cận của
với bán kính
Khi đó, với mọi ta có:
.
Nhƣ vậy, f bị chặn trên trên lân cận V của x.
Hơn nữa, với thì tồn tại sao cho
Khi đó,
vì f là hàm lồi.
Suy ra,

hay f bị chặn dƣới trên trên V. Vậy f bị chặn trên V.
Giả sử N là đánh giá trên của | f(x)| trên tập .
Lấy

May 1, 2008
25

Đặt
với .
Dễ thấy,
.
Vì
Suy ra,

Mặt khác,

Thay đổi vai trò của x
1
,x
2
ta có:

Tƣơng đƣơng,

Vậy f là địa phương trên U.
2.2.8. Hệ quả:
Giả sử f là hàm lồi và |f(x)| < N trên tập lồi, mở U, trong đó U chứa - lân cận
của V. Khi đó, f thỏa mãn điều kiện .
Nói đến liên tục thì ta lại nghĩ đến việc xây dựng một hàm liên tục

nhƣ thế nào. Để tìm hiểu rõ hơn ta có định lý sau:
2.2.9. Định lý.
Giả sử f là hàm liên tục trên tập lồi . Khi đó, với mỗi cặp
hàm số là liên tục H trên [0,1].
Chứng minh