Tài liệu về hàm zeta riemann

CHỨNG MINH GIẢ THUYẾT RIEMANN
(RIEMANN HYPOTHESIS’S PROFF)

I. Hàm Zeta Riemann ( Riemann Zeta Funtion).
Hàm Zeta Rieman là một hàm được đặt theo tên nhà toán học nổi tiếng
người Đức Georg Friedrich Benhard Riemann. Nó được định nghĩa như sau:
Hàm được xác định với mọi số phức khác 1. Giá trị của hàm cũng là số
phức. Riemann đã chứng minh rằng
( )s
ζ
có thể được mở rộng bởi sự liên tục
thành một hàm giải tích trên cả mặt phẳng phức ngoại trừ tại điểm s=1.
II. Giả thuyết Riemann ( Riemann hypothesis).
Được nêu bởi Riemann vào năm 1856, giả thuyết Riemann phát biểu
rằng :
“Mọi không điểm phi tầm thường (non-trivial zeros) của hàm zeta
Riemann đều có phần thực là
1
2
.”
Nói cách khác, mọi không điểm phi tầm thường của hàm zeta Riemann
đều nằm trên đường giới hạn chứa số phức
1
2
+ it với t là số thực, i là đơn vị ảo.
Ngoài ra, giả thuyết cũng hàm ý về một vấn đề rất quan trọng - sự phân bố số
nguyên tố.
Phần thực (màu đỏ) và phần ảo (màu xanh) của hàm Zeta Riemann dọc theo đường giới hạn Re(s)=
1
2
.

Các không điểm phi tầm thường đầu tiên tại lm(s) = ±14,135; ±21,022 và ±25,011
1
( )
2
it
ζ
+
với 0 < t < 50
Do độ khó đặc biệt và vị trí quan trọng trong ngành lý thuyết số, cùng với
6 bài toán khác, nó là một trong 7 bài toán thiên niên kỷ (7 millenium problem).
Với mỗi bài toán giải được, tác giả của lời giải sẽ được 1 phần thưởng trị giá
$1.000.000 do Viện Toán học Clay trao tặng.
Nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler đã chứng minh rằng khi
Re(s) > 1, hàm zeta Riemann sẽ bằng với tích Euler :
1 1 1 1 1 1
( ) · · ·
1 1 2 1 3 1 5 1 7 1
s s s s s s
p P
s
p p
ζ
− − − − − −
∈
= =
− − − − − −
∏
L L
Trong đó, tích vô hạn mở rộng trên mọi số nguyên tố p. Chuỗi này lại hội
tụ khi Re(s) > 1. Chính sự hội tụ của tích Euler đã thể hiện rằng không có một

không điểm phức nào khi Re(s) > 1.
Nếu như 0 < Re(s) < 1, hàm zeta Riemann thỏa mãn một phương trình
hàm thú vị sau:
1
( ) 2 sin (1 ) (1 ).
2
s s
s
s s s
π
ζ π ζ
−
 
= Γ − −
 ÷
 
Có thể định nghĩa ζ(s) cho mọi số phức s khác 0 còn lại bằng cách giả sử
rằng phương trình này thỏa mãn cả bên ngoài miền xác định, và đặt ζ(s) bằng vế
phải của phương trình khi s có phần thực không dương. Nếu s là một số nguyên
âm chẵn thì ζ(s) = 0 bởi vì nhân tử sin(πs/2) bằng 0; đây là các không điểm tầm
thường của hàm zeta. (Lập luận này không đúng nếu s là một số nguyên dương
chẵn bởi vì giá trị 0 của sin bị triệt tiêu tại các cực của hàm gamma khi nó nhận
các tham số nguyên âm.) Giá trị tại
1
(0)
2
ζ
=
không được xác định bởi phương
trình hàm, nhưng nó là giới hạn của ζ(s) khi s tiến đến 0. Phương trình hàm

cũng hàm ý rằng hàm zeta không có các không điểm với phần thực âm ngoại trừ
các không điểm tầm thường nêu ở trên; do đó mọi không điểm phi tầm thường
nằm trong miền giới hạn với s có phần thực nằm giữa 0 và 1.Nói cách khác,
mọi không điểm phi tầm thường s sẽ có 0 < Re(s) < 1.
III. Chứng minh giả thuyết Riemann
Giả sử mọi không điểm phi tầm thường s của hàm zeta Riemann đều có
phần thực khác
1
2
.
Đặt Re(s) = a (a ≠
1
2
, 0 < a < 1), ta có:
Giả sử a =1- a ⇒ 2a=1⇒ a=
1
2
(vô lý).Vậy a ≠ 1- a.
Ta có: a ≠ 1- a ⇒ s ≠ 1-s ⇒
( )s
ζ
≠
(1 )s
ζ
−
. Vậy nếu
( )s
ζ
= 0 thì
(1 )s

ζ
−
≠
0.
Ta thấy:
2
s

và
1s
π
−
đều là lũy thừa nên
2
s
và
1s
π
−
sẽ khác không với mọi
s C
∈
.
Ta lại có: 0 < Re(s) < 1nên s sẽ không chia hết cho 2 ⇒ sin
2
s
π
 
 ÷
 

≠0 .
Mà
1 (2 )! (2 1)!!
2
4 ! 2
n n
n n
n
n
π π
−
 
Γ + = =
 ÷
 
. Do
π
≠0 và
(2 1)!!
2
n
n
−
≠0
nên
(2 1)!!
2
n
n
π

−
≠0 ⇒
1
2
n
 
Γ +
 ÷
 
≠0 ⇒
(1 )s
Γ −
≠0 với mọi
s C
∈
.
Chú ý rằng do 0 < Re(s) < 1nên từ phương trình hàm:


1
( ) 2 sin (1 ) (1 ).
2
s s
s
s s s
π
ζ π ζ
−
 
= Γ − −

 ÷
 

⇒
1
2 sin (1 ) (1 ) 0
2
s s
s
s s
π
π ζ
−
 
Γ − − =
 ÷
 

Ta nhận được sự vô lý: Một tích khác 0 lại có kết quả bằng 0
Vậy Re(s)=

1
2
khi ζ(s)=0 (s >0).(QED)