Tài liệu về thế lưu.pdf

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
THE LUU 1
CHƯƠNG
Dòng chảy có thế ⇔∃ϕ/thoả đ.k. (1) ⇔
0
xyyx
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
∂
∂
⇔

0
y
u
x
u
x
y
=
∂
∂
−
∂
∂
⇔ rot(u)=0
dòng chảy phẳng, lưu chất lý tưởng không nén được chuyển động ổn đònh
Giới hạn:
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1. Hàm thế vận tốc:
Ta đònh nghóa hàm ϕ sao cho:
θ∂
ϕ∂
=
∂
ϕ∂
=
∂
ϕ∂
=
∂
ϕ∂

=
θ
r
1
u;
r
uhay
y
u;
x
u
ryx
Trường véctơ u là trường có thế khi:
∫
B
A
dsu
G
chỉ phụ thuộc vào hai vò trí A và B.
Ta có:
BA
B
A
B
A
B
A
)1(thoảtồntại
y
B

A
x
B
A
d
)dy
y
dx
x
(dsu)dyudxu(dsu
ϕ−ϕ=ϕ=
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
=+=
∫
∫∫
⇒
∫∫
ϕ
GG
chỉ phụ thuộc vào giá trò hàm thế tại A và B.
Rõràngtừchứngminhtrên,
∫
B
A
dsu
G

Vậy:
(1)
A
B
n
u
u
n
u
s
0dyudxu0d
yx
=+⇔=ϕ
2. Phương trình đường đẳng thế:
3. Ý nghóa hàm thế vận tốc:
ABAB
ϕ−ϕ=Γ
∫
=Γ
B
A
sAB
dsu
là lưu số vận tốc
4. Tính chất hàm thế:
Từ ptr liên tục, ta có:
0
yx
0
yyxx

0
y
u
x
u
2
2
2
2
y
x
=
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
⇔=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
∂
∂

+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
∂
∂
⇔=
∂
∂
+
∂
∂
⇔ Hàm thế thoả phương trình Laplace
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
THE LUU 2
5. Hàm dòng:
Khi dòng chảy lưu chất không nén được tồn tại, thì các thành phần vận tốc của nó
thoả ptr liên tục :
r
u;
r
1
uhay
x
u;

y
u/0
y
u
x
u
ryx
y
x
∂
ψ∂
−=
θ∂
ψ∂
=
∂
ψ∂
−=
∂
ψ∂
=ψ∃⇔=
∂
∂
+
∂
∂
θ
ψ gọi là hàm dòng.
Như vậy ψ tồn tại trong mọi dòng chảy,
còn ϕ chỉ tồn tại trong dòng chảy thế.

6. Hàm dòng trong thế phẳng:
Vì là dòng chảy thế nên:
0
yx
0
yyxx
0
y
u
x
u
2
2
2
2
x
y
=
∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
⇔=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎝
⎛
∂
ψ∂
∂
∂
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
ψ∂
∂
∂
−⇔=
∂
∂
−
∂
∂
Vậy trong dòng thế thì hàm ψ thoả ptr Laplace.
7. Đường dòng và ptr:
Từ ptr đường dòng:
0d0dx
x
dy
y

0dxudyu
yx
=ψ⇔=
∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
⇔=−
x
y
O
n
n
x
n
y
dx
dy
ds
α
(-dx=ds.sinα)
Như vậy trên cùng một đường dòng thì giá trò ψ là hằng số.
8. Ý nghóa hàm dòng:
Ta có:
∫∫∫
∫∫∫∫
ψ−ψ=ψ=
∂
ψ∂

−
∂
ψ∂
=−=
α+α=+===
B
A
AB
B
A
B
A
yx
B
A
yx
B
A
yyxx
B
A
B
A
nAB
ddx
x
dy
y
dxudyu
dssinudscosudsnudsnudsnudsuq

GG
Vậy:
ABAB
q ψ−ψ=
9. Sự trực giao giữa họ các đường dòng và đường đẳng thế:
0)u(u)u(u
yyxx
xyyx
=+−=
∂
ψ∂
∂
ϕ∂
+
∂
ψ∂
∂
ϕ∂
Suy ra họ các đường dòng và các đường đẳng thế trực giao với nhau.
10. Cộng thế lưu:
...
...
21
21
+ψ+ψ=ψ
+ϕ+ϕ=ϕ
11. Biễu diễn dòng thế:
với z = x+iy = e
iα
.

Thế phức f(z):
ψ+ϕ= i)z(f
Như vậy:
dy
d
i
dx
d
iuu
dz
d
f
yx
ψ
+
ϕ
=−=
Để biểu diễn dòng chảy thế, ta có thể biễu diễn riêng từng hàm dòng và hàm thế, ta
cũng có thể kết hợp hàm dòng với hàm thế thành một hàm thế phức như sau::
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
THE LUU 3
II. CÁC VÍ DỤ VỀ THẾ LƯU
x
O
y
ϕ=0
ϕ=1
ϕ=2
ϕ=3
ϕ=-1

ϕ=-2
ϕ=-3
ψ=0
ψ=1
ψ=2
ψ=3
ψ=-3
ψ=-2
ψ=-1
V
0
α
1. Chuyển động thẳng đều: từ xa vô
cực tới, hợp với phương ngang một góc
α.
u
x
= V
0
cosα;u
y
= V
0
sinα
dψ = u
x
dy - u
y
dx
ψ = V

0
ycosα -V
0
xsinα + C
Chọn:ψ=0 là đường qua gốc toạ độ
⇒ C=0.
Vậy: ψ = V
0
ycosα -V
0
xsinα
Tương tự: ϕ = V
0
xcosα + V
0
ysinα
Biễu diễn bằng hàm thế phức:
F(z) = ϕ+iψ =(V
0
xcosα + V
0
ysinα) + i(V
0
ycosα -V
0
xsinα)
= x(V
0
cosα-iV
0

sinα)+yi(V
0
cosα -iV
0
sinα)
= az
với: a=(V
0
cosα -iV
0
sinα) là số phức; z=x+iy là biến phức.
2. Điểm nguồn, điểm hút: với lưu lượng q tâm đặt tại gốc toạ độ.
(q>0:điểm nguồn; q<0:điểm hút).
⇒ Họ các đường dòng là những đường thẳng qua O.
)yxln(
4
q
)rln(
2
q
1rkhi0chọn;C)rln(
2
q
dr
r2
q
drudrudruddr
r
d
22

rr
+
π
=
π
=ϕ⇒
==ϕ+
π
=ϕ⇒
π
==θ+=θ
θ∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
=ϕ
θ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
=θ
π
=ψ⇒
=θ=ψ+θ
π

=ψ⇒
θ=θ+−=θ
θ∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
=ψ⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
π
θ
θ
x
y
arctg
2
q
2
q
0khi0chọn;C
2
q
drudrudruddr
r
d

0u
r2
q
u
rr
r
=
Hàm dòng:
Hàm thế vận tốc:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
π
=
π
=
+
π
=θ+

π
=
+
π
=
π
=ϕ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
=θ
π
=ψ
θ
θ
zlnazln
2
q
)reln(
2
q
)elnr(ln
2
q
)ir(ln
2

q
)z(f
)yxln(
4
q
)rln(
2
q
x
y
arctg
2
q
2
q
i
i
22
Kết luận:
O
ϕ
ψ=0
ψ=(q/4)
ψ=q/2
ψ=3q/
4
Ghi chú:
Trường hợp điểm nguồn (hút) có tâm đặt tại một vò trí khác gốc toạ độ, ví dụ đặt tại
A(x
0

; y
0
) thì trong công thức tính hàm dòng (hoặc thế vận tốc), tai vò trí nào có các biến x
phải thay bằng (x=x
0
) ; tại vò trí nào có biến y phải thay bằng (y-y
0
).
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
THE LUU 4
3. Xoáy tự do: đặt tại gốc toạ độ và có lưu số vận tốc
∫
==Γ
C
constdsu
G
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=

π
Γ−
=
π
Γ−
=
θ+
π
Γ
−=−θ
π
Γ
=
+
π
Γ−
=
π
Γ−
=ψ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
Γ
=θ
π

Γ
=ϕ
⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
π
Γ
=
=
θ
θ
zlnazln
2
i
)reln(
2
i
)ir(ln
2
i
)rlni(
2
)z(f
)yxln(
4
)rln(

2
x
y
arctg
22
const
r2
u
0u
i
22
r
O
ψ
ϕ=0
ϕ=Γ/4
ϕ = Γ/2
ϕ=3Γ/4
Γ>0: xoáy dương
Ghi chú:
Γ>0: xoáy dương ngược chiều kim đồng hồ;
Γ<0: xoáy âm thuận chiều kim đồng hồ;
Tương tự, ta có trên đây là xoáy đặt tại O(0,0).
Muốn biễu diễn cho xoáy có tâm đặt tại điểm
bất kỳ, ta cũng thực hiện như trong phần ghi
chú của điểm nguồn, hút.
4. Lưỡng cực: là cặp điểm nguồn + hút có cùng lưu lượng qđặt cách nhau một
đoạn ε vôâ cùng nhỏ (cho ε→0 với điều kiện εq→m
0
, là moment lưỡng cực).

Ví dụ ta xét trường hợp nằm trên trục hoành:
Tìmhàmdòng:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
ε
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ε
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
ε
−
π
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
ε
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
ε
+
+
⎟
⎟
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
ε
−
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
ε
+
π
=
⎟
⎟
⎟

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
ε
−
−
ε
+
π
=θ−θ
π
=ψ+ψ=ψ
2
2
2
hnhn
y
4
x
2
xy
2
xy
arctg

2
q
2
x
y
2
x
y
1
2
x
y
2
x
y
arctg
2
q
2
x
y
arctg
2
x
y
arctg
2
q
)(
2

q
Khi ε→0 tử số trong dấu arctg tiến tới 0 nên ta có thể viết:
22
0
2
2
22
2
2
yx
y
2
m
y
4
x
y
2
q
y
4
x
2
xy
2
xy
2
q
+
π

−
→
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
ε
−
ε−
π
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜

⎝
⎛
+
ε
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ε
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ε
−
π
=ψ
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
THE LUU 5
+q
-q
ψ
Tìmhàmthếvậntốc:
⎥

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ε
−
ε
+
π
=
⎥
⎥
⎥
⎥

⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ε
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ε
+
π
=

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ε
−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ε
+
π
=ϕ+ϕ=ϕ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
hn
y
2
x
x2
1ln

4
q
y
2
x
y
2
x
ln
4
q
y
2
xlny
2
xln
4
q
Triển khai
...
2
x
x)x1ln(
2
+−=+
và bỏ qua các số hạng bậc cao vô cùng bé, ta có:
0khi
yx
x
2

m
y
2
x
x2
2
q
22
0
2
2
→ε
+
π
→
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ε
−
ε
π
=ϕ
Vậy tóm lại, đối với chuyển động lưỡng cực thì:
z
1
2
m
)sini(cosr
sincos
2
m
r
sinicos
2
m
)z(f
r
cos
2
m
yx
x

2
m
r
sin
2
m
yx
y
2
m
0
22
00
0
22
0
0
22
0
π
=
θ+θ
θ+θ
π
=
θ−θ
π
=
θ
π

=
+
π
=ϕ
θ
π
−
=
+
π
−
=ψ
Là chồng nhập của chuyển động thẳng đều ngang (U
0
)+ nguồn tại gốc toạ độ (q)
5. Dòng chảy quanh nửa cố thể:
θ
π
+θ=
π
+=ψ
π
+θ=+
π
+=ϕ
2
q
sinru)
x
y

(arctg
2
q
yu
rln
2
q
cosru)yxln(
4
q
xu
00
0
2
0
2
Điểm dừng A:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=⇔=
+π
=
∂
ϕ∂
π

−=⇔=
+π
+=
∂
ϕ∂
⇔
==⇔=
⇑
0y0
yx
y2
4
q
y
u2
q
x0
yx
x2
4
q
u
x
0u;0u0u
A
22
0
A
22
0

yAxAA
A
Điểm dừng