bàn về 2 dạng tóan của giải tích tổ hợp

Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp







(Bài viết được đăng trên đặc san Toán học & Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013)
www.MATHVN.com

Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy - www.MATHVN.com

Trang 1

BÀN VỀ HAI DẠNG TOÁN CỦA GIẢI TÍCH TỔ HỢP


LÊ NGÔ NHẬT HUY (Bến Tre)

G
GG
G
iải tích Tổ hợp là một mảng Toán khó trong Đại Số, do độ rộng của dạng Toán này nên
trong chuyên đề chỉ đề cập hai vấn đề chính: Phương trình Tổ hợp và Nhị thức Newton,
trước khi vào nội dung chính, ta nhắc lại các công thức sau:

I/ CÔNG THỨC TỔ HỢP, NHỊ THỨC
NEWTON.
* Với n và k thuộc tập hợp các số tự nhiên
ta có các công thức sau:

1) Công thức hoán vị:
.1.2.3) 2)(1(!
−
−
=
=
nnnnP
n

( n giai thừa, n > 1).
2) Công thức chỉnh hợp:
)1(
)!(
!
nk
kn
n
A
k
n
≤≤
−
=

3) Công thức Tổ hợp:
)0(
)!(!
!
nk
knk

n
C
k
n
≤≤
−
=

* Một số tính chất số Tổ hợp:
kn
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
CCCCCC
−
−
−
−+
−
=+=+
1
1

11
1
,

*Khai triển nhị thức Newton:

( )
0
( , ) . .
n
n
k n k k
n
k
P a b a b C a b
−
=
= + =
∑
(I)
+ Có n + 1 số hạng trong khai triển.
+ Tổng các số mũ của a và b trong mỗi
số hạng bằng số mũ của nhị thức.
4) Các công thức biến đổi với số mũ.
( )
.)5,
1
)4
,.)3,)2,)1
.

n
m
n
mn
n
mnmnmn
m
n
mn
m
n
aaa
a
aaaa
a
a
aa
==






===
−
+−
II/ PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP

 Phương trình tổ hợp là phương trình

(PT) có ẩn số nằm trong các công thức tổ
hợp, chỉnh hợp, hoán vị.







Ví dụ 1:
Giải phương trình :

1 2 3
7
2
x x x
C C C x
+ + =
(1)
Lời giải:
Điều kiện:
3;
≥
Ν
∈
xx
. Sử dụng công thức tổ
hợp, ta có:

( )

( ) ( ) ( )
x
x
x
x
x
x
x
2
7
!3!3
!
!2!2
!
!1!1
!
1 =
−
+
−
+
−
⇔


(
)
(
)
x

xxxxx
x
2
7
6
21
2
)1(
=
−
−
+
−
+⇔


(
)
(
)
(
)
( )





=
−=

=
⇔=−⇔=−⇔
=−−+−+⇔
4
4
0
016016
2121136
23
x
x
x
xxxx
xxxxxxx

Đối chiếu nghiệm với ĐK đề bài ta có PT (1)
có nghiệm là x = 4.



Ví dụ 2: Giải phương trình:

3 2 2
1 1 2
2
.
3
x x x
C C A
− − −

− =
(2)
Lời giải:
Đk:
Ν
∈
≥
xx ,4
.Sử dụng công thức tổ hợp,
ta có:
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )( ) ( )
( )



=
=
⇔=+−⇔
−=
−
−

−−
⇔
−
−
=
−
−
−
−
−
⇔
2
9
01811
3.
3
2
2
1
6
31
!4
!2
.
3
2
!3!2
!1
!4!3
!1

)2(
2
x
x
xx
x
xxx
x
x
x
x
x
x

So với ĐK đầu bài PT (2) chỉ có duy nhất một
nghiệm x = 9.


Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp







(Bài viết được đăng trên đặc san Toán học & Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013)
www.MATHVN.com

Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy - www.MATHVN.com

Trang 2




Ví dụ 3: Giải phương trình:
3 1 3 2
1 1 6
2 3 3 159
x x
x x x
A C C x P
− −
+ −
+ − = + +
(3)
Lời giải:
Đk :
Ν
∈
≥
xx ,3
.
( )
(
)
( )
(
)

( )
159!63
!3!2
!13
!1!2
!12
!3
!
)3(
2
++=
−
−
−
−
+
+
−
⇔ x
x
x
x
x
x
x
( )( ) ( ) ( )( )
0176415132
879321
2
3

121
23
2
=−+−⇔
+=−−−++−−⇔
xxx
xxxxxxxx
Đến đây bằng cách nhập PT này vào máy
tính ta tìm được một nghiệm x = 12 .Sử
dụng sơ đồ Horner tách PT trên ta được:
(
)
(
)
12014711212
2
=⇔=++− xxxx
nghiêmvô
  

Từ ĐK
Ν
∈
≥
xx ,3
nên PT (3) chỉ có duy
nhất một nghiệm x = 12.




Ví dụ 4: Giải phương trình (ẩn n):
6 7 8 9 8
2
3 3 2
n n n n n
C C C C C
+
+ + + =
(4)
Lời giải:
Đk:
Ν
∈
≥
nn ,9
,theo tính chất số Tổ hợp
k
n
k
n
k
n
CCC
1
1
+
−
=+
, ta có
(

)
9
3
9
2
8
2
9
1
8
1
7
1
9887769876
2
233
++++++
=+=++=
+++++=+++
nnnnnn
nnnnnnnnnn
CCCCCC
CCCCCCCCCC
Vậy, theo giả thiết tương đương với:
(
)
( )
(
)
( )

152
9
3
!6!8
!22
!6!9
!3
2
8
2
9
3
=⇔=
+
⇔
−
+
=
−
+
⇔=
++
n
n
n
n
n
n
CC
nn

Từ điều kiện đầu bài ta có PT (4) có duy
nhất một nghiệm là n = 15.
 Lưu ý:
Khi giải PT tổ hợp ta làm như sau:
+ Đặt đk cho ẩn số, với một chú ý đối với
số tổ hợp thì
nk
≤
≤
0
, ví dụ:
8
3+n
C
thì đk của
n là:
583
≥
⇔
≥
+
nn
.
+Trong trường hợp có nhiều số tổ hợp
chứa ẩn thì phải chọn đk cho ẩn tổng quát
và bao hàm nhất, ví dụ:
7
2
9

1 ++
+
nn
CC
thì đk là:



≥⇔≥+
≥⇔≥+
572
891
nn
nn
8
≥
⇔
n
.
+ Sử dụng các công thức về hoán vị, chỉnh
hợp, tổ hợp, hoặc tính chất số tổ hợp (nếu
được) để biến đổi, rút gọn và giải PT.

+ Đối chiếu nghiệm tìm được với đk của bài
toán để kết luận.
III/ NHỊ THỨC NEWTON.
Hai vấn đề chính thường gặp đối với dạng này
là : Khai triển nhị thức và tìm hệ số của đa
thức, ta xét cụ thể các ví dụ sau:



Ví dụ 1: Khai triển
( )
5
x y
−
thành tổng các
đơn thức.
Lời giải:
Theo công thức Nhị thức Newton ta có:
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
.
5
05
5
4
4

5
3
23
5
2
32
5
41
5
0
50
5
55
yxCyxCyxC
yxCyxCyxCyxyx
−+−+−+
+−+−+−=−+=−
54322345
510105 yxyyxyxyxx −+−+−=
.



Ví dụ 2: Tìm số hạng không chứa x trong
khai triển
( )
6
2
1
2 ,( 0)

A x x x
x
 
= − ≠
 
 
.
Lời giải:
Với
6;
1
;2
2
=
−
== n
x
bxa
, Từ (I) ta có:
( ) ( )
( )
∑∑
∑
=
−−
=
−−−
=
−
−=−=







−
=
6
0
366
6
6
0
266
6
6
0
2
6
6
.1.2 )1.(2.
1
.2.
k
k
k
kk
k
kkkkk

k
k
k
k
xCxxC
x
xCxA

Do là số hạng không chứa x nên ta tìm k sao
cho
2036
=
⇔
=
−
kk


Vậy số hạng cần tìm là
240)1.(2.
2262
6
=−
−
C




Ví dụ 3: Tìm số hạng chứa

8
x
trong khai
triển
( )
12
5
3
1
,( 0)
B x x x
x
 
= + ≠
 
 
.
Lời giải:
Ta có
12,;
1
2
5
53
3
=====
−
nxxbx
x
a

Từ (I) ta có:
( )
( )
∑∑
=
+−
=
−
−
=








=
12
0
2
1172
12
12
0
2
5
12

3
12

k
k
k
k
k
k
k
xCxxCxB

Tìm k sao cho
88
2
1172
=⇔=
+
−
k
k

Vậy số hạng cần tìm là :
495
8
12
=C
.
Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp

(Bài viết được đăng trên đặc san Toán học & Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013)
www.MATHVN.com

Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy - www.MATHVN.com

Trang 3




Ví dụ 4: Xét khai triển
( )
(
)
15
3
,
C x y x xy
= +
.Tìm hệ số chứa
21 12
x y
.
Lời giải:

Ở đây, ta có
15,,
3
=== nxybxa

Từ (I) ta có
( )
( )
∑∑
=
−
=
−
==
15
0
245
15
15
0
15
3
15
).(.,
k
kkk
k
k
k
k

yxCxyxCyxC

Đến đây, ta tìm k sao cho
12
12
21245
=⇔



=
=−
k
k
k
.
Vậy hệ số chứa
1221
yx
là
455
12
15
=C
.



Ví dụ 5: Tìm hệ số chứa
7

x
trong khai
triển
( ) ( )
2
2
, 0,
n
D x x x n
x
 
= − ≠ ∈Ν
 
 
, biết n
thỏa mãn hệ thức sau:
3 2 3
1
4 2
n n n
C C A
+
+ =
.

Lời giải:
Đk:
.;2
Ν
∈

≥
nn

Theo công thức tổ hợp thì hệ thức tương
đương :
(
)
( ) ( ) ( )
( )
11222211.
6
4
!3
!
!2!2
!
.2
!2!3
!1
.4
=⇔=⇔−=++⇔
−
=
−
+
−
+
nnnn
n
n

n
n
n
n

Ta có
11,.2
2
,
12
=−=
−
==
−
nx
x
bxa

Từ (I) ta có
( )
( ) ( )
( )
k
k
k
k
k
kk
k
xCxxCxD

322
11
0
11
11
0
1
11
2
11
.2.2.
−
==
−
−
−=−=
∑∑
Tìm k sao cho
57322
=
⇔
=
−
kk

Vậy số hạng cần tìm là :
(
)
147842.
5

5
11
−=−C




Ví dụ 6: Tìm số hạng không chứa x trong
khai triển
( )
3
2
n
E x x
x
 
= +
 
 
, biết rằng n
thỏa mãn hệ thức:
(
)
9 8
3 2
2 , 0, .
n n
C C x n
+ +
= > ∈Ν

Lời giải:
Đk:
Ν
∈
≥
nn ;6
.
Theo công thức tổ hợp thì hệ thức tương
đương :



(
)
( )
(
)
( )
15
!8
2
!9
3
!6!8
!2
.2
!6!9
!3

=⇔
=
+
⇔
−
+
=
−
+
n
n
n
n
n
n

Ta có
15,.2
2
,
2
1
3
1
3
=====
−
nx
x
bxxa

Từ (I) ta có:
( )
∑∑
=
−
=
−
−
=
















=
15
0
6

530
15
15
0
2
1
15
3
1
15
.2 2.
k
k
kk
k
k
k
k
xCxxCxE
Ta
tìm k sao cho
60
6
530
=⇔=
−
k
k

Vậy số hạng cần tìm là:

3203202.
66
15
=C
.



Ví dụ 7: Khi khai triển nhị thức Newton
( )
( ) 1
n
G x ax
= +
ta được số hạng thứ hai là
24
x
;
số hạng thứ ba là
2
252
x
. Hãy tìm a và n.
(a ∈ R; n ∈ N*).

Lời giải:
Ta có:
axba
=
=

,1
. Từ (I) ta có
( )
0 0
( ) .1 . . .
n n
k
k n k k k k
n n
k k
G x C ax C a x
−
= =
= =
∑ ∑

*Theo đề bài số hạng thứ hai là
x24
nên:



=
=
⇒
=
)1(24.
1
24
1

aC
k
xxaC
n
kkk
n

*Theo đề bài số hạng thứ ba là
2
252x
nên:



=
=
⇒
=
)2(252.
2
252
22
2
aC
k
xxaC
n
kkk
n

*Từ PT(1) và PT(2) ta có hệ phương trình
sau:





=
=
)2(252.
)1(24.
22
1
aC
aC
n
n

PT (1)
1
24
n
C
a =⇔
thay vào (2) ta được:
( )
( )
( )
8162
16

7
2
1
16
7
!2!2
!
16
7
16
7
24
252
252
24
.2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
=⇔=⇔
=
−
⇔

=
−
⇔=⇔
==⇔=








⇔
nn
nn
n
n
n
n
C
C
C
C
CPT
n
n
n
n
n

* Với n = 8 thay vào (1)
3
24
1
8
==
C
a

Vậy
8,3
=
=
na
.
Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp







(Bài viết được đăng trên đặc san Toán học & Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013)
www.MATHVN.com

Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy - www.MATHVN.com

Trang 4



Ví dụ 8:
Khi khai triển
( ) ( )
6 3
( )
H x a x b x
= + +
(*) ta
được hệ số chứa
7
x
là
9
−
; không có số hạng
chứa
8
x
. Hãy tìm a và b. (a,b
∈
R).
Lời giải:
Ta có nhận xét: (*) là tích của hai nhị thức:
nhị thức bậc 6 và nhị thức bậc 3. Vậy để tạo
ra số hạng
7
x
thì phải tồn tại trong nhị thức

bậc 6 các biến
654
,, xxx
nhân với các biến số
tương ứng trong nhị thức bậc 3 là
xxx ,,
23
.
*Vậy trong nhị thức bậc 6 ta có:
∑
=
−
6
0
6
6

k
kkk
xaC
số hạng chứa
654
,, xxx
tương
ứng với k lần lượt là 4, 5,6.
06
6
5
6
24

6
.,.,. aCaCaC⇒

*Vậy trong nhị thức bậc 3 ta có:
∑
=
−
3
0
3
3

k
kkk
xbC
số hạng chứa
xxx ,,
23
tương ứng
với k lần lượt là 3, 2, 1.
21
3
2
3
03
3
.,.,. bCbCbC⇒

*Hệ số chứa
7

x
là
9
−
vậy:
21
3
6
6
2
3
5
6
23
3
4
6
bCCabCCaCC ++
=
9
−
(1)
(với quy ước
1
0
=a
)
*Tương tự trên, đối với
8
x

ta cũng có:
)2(0
3
3
5
6
2
3
6
6
=+ aCCbCC

Từ PT (1) và PT (2) ta có hệ phương trình
sau:
( ) ( )



−=
=
⇔



−=
−=−+−+
⇔




−=
−=++
⇔



=+
−=++
⇔





=+
−=++
ab
a
ab
aaaa
ab
baba
ab
baba
aCCbCC
bCCabCCaCC
2
1
2
32265

2
365
063
931815
0
9
2
2
2
2222
3
3
5
6
2
3
6
6
21
3
6
6
2
3
5
6
23
3
4
6

Vậy có hai kết quả là:

2,1
−
=
=
ba
và
2,1
=
−
=
ba

 Lưu ý: Để tính hệ số của số hạng
α
x
(α
là một số hữu tỉ cho trước) trongkhai triển
nhị thức Newton của
n
xfxP ))(()(
=
ta làm
như sau:
+ Biểu diễn
∑
=
=
n

k
kg
k
xaxP
0
)(
)(

+ Số hạng chứa α tương ứng với
α
=
)(kg

+ Giải phương trình
α
=
)(kg
ta tìm được k.
+ Nếu
,, nkk
≤
Ν
∈
hệ số phải tìm là
k
a
.
Nếu
Ν
∉

k
hoặc
nk
>
thì trong khai triển không
có số hạng chứa
α
x
hệ số cần tìm bằng 0.
* Một số đề bài không cho bậc n của đa thức
)(
xP
, ẩn n sẽ được cho trong một hệ thức, lúc
đó ta giải PT chứa ẩn n,
0)(
=
nF
để tìm bậc
của
)(
xP
, sau đó ta thực hiện các bước như
trên.
IV/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
1)Giải các phương trình sau:
79)
21
=++
−− n
n

n
n
n
n
CCCa
Đs: n = 12
12)
23
=−
nn
AAb
Đs: n = 4
)3(7)
3
1
4
+=−
+
+
+
nCCc
n
n
n
n
Đs: n = 12
1
4
2
1

1
.6
711
)
++
=−
xxx
CCC
d
Đs: x = 8 & x = 3.
2) Tìm số hạng chứa
10
x
trong khai triển
n
x
x






−
2
3
1
biết rằng n thỏa mãn hệ
thức:
Ν∈= nCC

nn
,13
24
,Đs: n = 15; k = 7; -6435.
3) Cho khai triển nhị thức
12
3
3






−
x
x

a)Tìm số hạng chứa
4
x
. Đs:
9
55
;4=k
.
b)Tìm số hạng không chứa
x
Đs:
924;6

=
k
.

4) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
n
x
xx








+
15
28
3
1
.
, biết rằng n thỏa mãn hệ thức:
(
)
.,0,79
21
Ν∈≠=++
−−
nxCCC

n
n
n
n
n
n
Đs: 792
5) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
n
x
xx






+
4
1
.
, biết rằng n thỏa mãn hệ thức:
(
)
2 1
44, 0, .
n n
C C x n
− = > ∈ Ν
Đs: n = 11, k=3,165.

6) a)Tìm hệ số chứa
3
x
trong khai triển và rút
gọn của đa thức:
(
)
(
)
(
)
743
11312)( +++−+= xxxxP

Đs:
65
−

b)Tìm hệ số chứa
9
x
trong khai triển và rút
gọn của đa thức:
(
)
(
)
1210
22)( xxxQ −++=

Đs:
1740
−

7) Xét khai triển
(
)
6
32
1 xxx −+−
thành đa
thức
18
18
3
3
2
210
)( xaxaxaxaaxP +++++=
.
Tìm hệ số
9
a
.Đs: -580
HẾT


Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp

(Bài viết được đăng trên đặc san Toán học & Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013)
www.MATHVN.com

Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy - www.MATHVN.com

Trang 5