bất đẳng thức ôn thi đại học

Nguyễn Văn Quốc Tuấn

Bất đẳng thức ôn thi đại học
1

Cho các số thực
, , 2x y z 
thỏa mãn
1 1 1
1
x y z
  
. Chứng minh rằng:

   
1 1 1 8x y z   



2

Cho các số thực
, 0x y 
thỏa mãn
 
2 2
1
2 5x y
xy
  
. Tìm giá trị lớn nhất của:

2 2
3 3 4
1 2
1 1
P
xy
x y
  

 


3

Cho các số thực phân biệt
, ,a b c
thỏa mãn
1a b c  
và
0ab bc ca  
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2 2 2 5
P
a b b c c a
ab bc ca
   
  
 

4

Cho các số thực
1
, , ;3
3
x y z
 
 

 
 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
x y z
P
x y y z z x
  
  


5

Cho
, ,a b c
là các số thực dương thỏa mãn
1a b c  
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2 2 2
2 2

4
1 1
2 2 2
a b c
P
b a
a b
  
 
 


6

Cho các số thực dương
, ,zx y
thỏa mãn
  
2 2
3 2 1 3 2 1
x y x z
x y z x z y
   
     

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 
2
2 2
2 2 2

2 3
2
x y z
P
x y z
  

 




Nguyễn Văn Quốc Tuấn

7

Cho
, , 0a b c 
thỏa mãn
3a b c  
. Chứng minh
2 2 2
4a b c abc   


8

Cho
, ,a b c
là các số thực dương và

 
 
2
2 2 2
2a b c a b c    
. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của:
  
3 3 3
a b c
P
a b c ab bc ca
 

   


9
Cho các số thực không âm
, ,a b c
thỏa mãn
3a b c  
. Tìm giá trị lớn nhất của:
   
2 2 2 2 2 2
P a ab b b bc c c ca a      


10
Cho

, , 0a b c 
thỏa mãn
1ab bc ca  
. Tìm giá trị lớn nhất của:
2 2
2
3
1 1
1
a b c
P
a b
c
  
 



11
Cho
, ,a b c
là 3 số thực không âm và
4a b c  
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
   
2 2 2
1 1 1P a b c   


12

Cho
x,y,z
là các số thực không âm thỏa mãn
x y z xyz   
3 3 3
2 3
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
P x y z  
2 2 2
2 3


13

Cho các số thực
x,y
thỏa mãn điều kiện
x y x y    1 2 2
. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất của:
  
P x y x y x y       
2 2
2 1 1 8 4


14

Cho các số thực
x,y

dương thỏa mãn điều kiện
xy x y
xy
   
4 4
2
3 3
. Tìm giá trị lớn nhất của:
P x y
x y
 
 
2 2
2 2
16
2


Nguyễn Văn Quốc Tuấn

15

Cho các số thực
a,b,c
không âm thỏa mãn
 
a b c ab bc ca     
2 2 2
3 12
. Tìm giá trị lớn

nhất, nhỏ nhất của:
a b c
P ab bc ca
a b c
 
   
 
2 2 2


16

Cho các số thực dương
a,b,c
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
P
ab c ca a b c
 
   
1 9
6 7 8


17

Cho các số thực dương
a,b,c
. Tìm giá trị lớn nhất của:
   
P

a b c
a b c
 
 
  
2 2 2
25 5 36
1 1 1


18

Cho các số thực dương
a,b,c
thỏa mãn
abc  1
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
  
P .
c c
a a b b

 
 
   
2
2 2
5 3 1 1
3
1

1 1


19

Cho các số thực dương
x,y,z
thỏa mãn
 
 
x y z xy yz zx    
2 2 2
7 11
.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của:
x y z
P
y z z x x y
  
  


20

Cho các số thực
x,y,z ;
 

 
 

1 3
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
 
 
z y
T
x xy yz zx


  
2
2
25
12 2012


21
Cho các số thực không âm
x,y,z
thỏa mãn
xz yz xy  1
. Tìm giá trị lớn nhất của:
x y z
P
x y z

  
  
2
2 2 2

2 2 1
1 1 1



Nguyễn Văn Quốc Tuấn

22

Cho các số thực dương
a,b,c
. Tìm giá trị lớn nhất của:
 
   
a b c
P
a b c
a b c
  
 
  
  
2
2 2 2
3
2
3 1 1 1
1

23
Cho các số thực dương
a,b,c
thỏa mãn
 
a b c ab a b c     
2 2 2
2 3
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của:
 
P a b c
a c b
    
 
2
2014 2014
6
2


24
Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
a b c 1.  
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a b
P a b
b c bc c a ca
2 2
2

2 2
3
( ) .
4
( ) 5 ( ) 5
   
   



25
Cho các số thực
x,y,z
thỏa mãn
x y z  
2 2 2
1
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
 
 
P xy yz zx
x y z xy yz
   
    
2
2
8
2
2

26
Cho các số thực dương
a,b,c
thỏa mãn
a b c ab bc ac     
2 2 2
2 2 0
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của:
 
c c ab
P
a b
a b
a b c
  


 
2 2
2 2 2



27
Cho các số thực dương
a,b,c
thỏa mãn
  

a b b c bc  2 4
và
a c3
. Tìm giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của:
a b
P
ac


2 2
2





Nguyễn Văn Quốc Tuấn

28
Cho các số thực dương
a,b,c
thỏa mãn
ab
a c b c
c
   
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
a b c
P

b c c a
a b
  
 

2
2 2


29
Cho các số thực dương
a,b,c
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
      
bc abc
P
a b a c a b b c c a
 
    
4




Các bạn có thể tham gia thêm các diễn đàn như:

Nguyễn Văn Quốc Tuấn