chuyên đề tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất

INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
Chúng ta sẽ rèn luyện chuyên đề tìm GTLN, GTNN thông qua hai bước chính
1. Ôn tập các kiến thức về bất đẳng thức (tập trung vào AM - GM và CBS).
2. Sử dụng kiến thức về bất đẳng thức AM - GM và CBS kết hợp với công cụ khảo sát hàm
số để giải quyết các bài toán tìm GTLN, GTNN.
1
INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
2
Phần I
LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
3

Chương 1
Kiến thức căn bản
1.1. Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Bunyakovky -
Schwarz
Đây là hai bất đẳng thức được sử dụng rất nhiều trong việc chứng minh. Sau đây chúng ta
nhắc lại hai kết quả quan trọng đó.
1.1.1 Định lí (Bất đẳng thức AM - GM). Cho 3 số không âm a, b, c. Khi đó
(i) a + b ≥ 2
√
ab
(ii) a + b + c ≥ 3
3
√
abc
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
1.1.2 Định lí (Bất đẳng thức Cauchy - Bunyakovky - Schwarz). Cho hai bộ số a, b, c và x, y, z.
Khi đó
(i) (a
2

+ b
2
)(x
2
+ y
2
) ≥ (ax + by)
2
(ii) (a
2
+ b
2
+ c
2
)(x
2
+ y
2
+ z
2
) ≥ (ax + by + cz)
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hai bộ số này tỉ lệ a : b : c = x : y : z.
Từ hai kết quả quan trọng này, chúng ta dễ dàng chứng minh được một số kết quả quan
trọng sau
1.1.3 Mệnh đề. Chứng minh các bất đẳng thức sau (nếu điều kiện không có gì đặc biệt thì các
số đều dương)
(i) (a + b)

1

a
+
1
b

≥ 4, (a + b + c)

1
a
+
1
b
+
1
b

≥ 9
(ii) a
3
+ b
3
≥ ab(a + b), a
3
+ b
3
≥
(a + b)
3
4
.

(iii)
1
a + b
≤
1
4

1
a
+
1
b

,
1
a + b + c
≤
1
9

1
a
+
1
b
+
1
c

5

INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
(iv) Cauchy - Schwarz dạng angel.
a
2
x
+
b
2
y
+
c
2
z
≥
(a + b + c)
2
x + y + z
, a, b, c ∈ R
(v)
√
a
2
+ x
2
+

b
2
+ y
2

+
√
c
2
+ z
2
≥

(a + b + c)
2
+ (x + y + z)
2
,
∀a, b, c, x, y, z ∈ R.
(vi) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 +
√
ab)
2
, (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 +
3
√
abc)
3
.
(vii)
1
(1 + a)
2
+
1

(1 + b)
2
≥
1
1 + ab
.
(viii)
1
1 + a
2
+
1
1 + b
2
≤
2
1 + ab
với ab ≤ 1.
1.2. Chọn điểm rơi
Vấn đề quan trọng nhất của việc sử dụng hai bất đẳng thức nói trên nằm ở việc chọn điểm rơi.
Ta xét ví dụ quan trọng sau
1.2.1 Ví dụ. Cho các số dương x, y, z thoản mãn xyz = 1. Chứng minh rằng

1 + x
3
+ y
3
xy
+


1 + y
3
+ z
3
yz
+
√
1 + z
3
+ x
3
zx
≥ 3
√
3.
Dấu “=” xảy ra khi nào?
Giải. Trước khi giải bài toán ta cần phân tích một chút: bài toán cho những biểu thức chứa
mũ bậc 3 và các số đều dương. Vậy ta có thể áp dụng bất đẳng thức AM - GM được không?
Nếu áp dụng thì cho mấy số và đó là những số nào? Trở lại yêu cầu của bài toán, dấu “=” xảy
ra khi nào? Ta nhận thấy bài toán có tính đối xứng với x, y, z, thế thì có khả năng dấu bằng
xảy ra khi x = y = z. Kết hợp với giả thiết xyz = 1 dẫn đến x = y = z = 1. Với việc dự
đoán điểm rơi này, ta sẽ khống chế toàn bộ các dấu “=” trong quá trình chứng minh của mình.
Theo quá trình phân tích, ta áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho ba số 1, x
3
, y
3
như sau
1 + x
3
+ y

3
≥ 3
3

1.x
3
.y
3
= 3xy
suy ra

1 + x
3
+ y
3
xy
≥
√
3xy
xy
=
√
3
√
xy
=
√
3z.
Tương tự ta có


1 + y
3
+ z
3
yz
≥
√
3x
√
1 + z
3
+ x
3
zx
≥

3y
6
INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
Cộng theo vế ta được

1 + x
3
+ y
3
xy
+

1 + y
3

+ z
3
yz
+
√
1 + z
3
+ x
3
zx
≥
√
3

√
x +
√
y +
√
z

≥
√
3.3
3

√
x
√
y

√
z = 3
√
3.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1 = x
3
= y
3
x = y = z
hay x = y = z = 1. 
Với việc dự đoán điểm rơi x = y = z = 1 đã giúp chúng ta lựa chọn bất đẳng thức và số
thích hợp để áp dụng. Tiếp theo là một ví dụ thể hiện rõ điều đó.
1.2.2 Ví dụ. Cho x ≥ 2, y ≥ 3, z ≥ 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P =
xy
√
z −4 + yz
√
x −2 + xz
√
y −3
xyz
.
Giải. Bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, từ đây ta chuyển về đánh giá P ≤ C với C là
một hằng số nào đó. Để đơn giản hơn, ta biến đổi P về
P =
√
z −4

z
+
√
x −2
x
+
√
y −3
y
.
Do yêu cầu phải đánh giá P ≤ C, nên ta sẽ lần lượt đánh giá từng số hạng. Cụ thể ta sẽ cố
gắng đánh giá
√
z −4
z
≤ m
Biểu thức
√
z −4 làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức AM - GM, nhiệm vụ là ta chọn số k
sao cho biểu thức sau khi đánh giá có thể đơn giản với z ở mẫu

k(z − 4) ≤
k + z − 4
2
Nhận thấy ngay giá trị k nhận chính là 4. Từ phân tích đó ta có lời giải như sau:
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 4, z − 4 ta có

4(z −4) ≤
4 + z − 4
2

=
z
2
hay
√
z −4
z
≤
1
4
.
Tương tự ta có
√
x −2
x
≤
1
2
√
2
√
y −3
y
≤
1
2
√
3
Cộng theo vế ta có P ≤
1

2

1
2
+
1
√
2
+
1
√
3

hay
max P =
1
2

1
2
+
1
√
2
+
1
√
3

khi x = 4, y = 6, z = 8. 

Kế tiếp chúng ta xét một ví dụ để làm rõ kĩ thuật chọn điểm rơi trong việc sử dụng CBS.
7
INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
1.2.3 Ví dụ. Cho 3 số thực dương a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c =
47
12
. Chứng minh rằng
3a
2
+ 4b
2
+ 5c
2
≥
235
12
.
Giải. Quan sát thấy vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có liên hệ gì với a + b + c ?
Nếu ta bỏ đi các hệ số thì a
2
+ b
2
+ c
2
và a + b + c có liên hệ gì với nhau ? Câu trả lời chính
là bất đẳng thức CBS
(a
2
+ b
2

+ c
2
)(x
2
+ y
2
+ z
2
) ≥ (ax + by + cz)
2
khi đó ta chỉ việc chọn (x, y, z) = (1, 1, 1) thì sẽ có được điều mong muốn! Thế khi có hệ số
vào thì sao?
(3a
2
+ 4b
2
+ 5c
2
)(x
2
+ y
2
+ z
2
) ≥ (ax
√
3 + by
√
4 + cz
√

5)
2
Đến đây ta chỉ cần chọn (x, y, z) sao cho vế phải chỉ còn lại (a + b + c)
2
. Thật đơn giản đó
chính là
(x, y, z) =

1
√
3
,
1
2
,
1
√
5

.
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức CBS ta có
(3a
2
+ 4b
2
+ 5c
2
)

1

3
+
1
4
+
1
5

≥

a
√
3
1
√
3
+ b
√
4
1
2
+ c
√
5
1
√
5

2
≥ (a + b + c)

2
≥
47
2
12
2
Suy ra
3a
2
+ 4b
2
+ 5c
2
≥
47
2
12
2
.
60
47
=
235
12
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi










√
3a
1
√
3
=
√
4a
1
√
4
=
√
5a
1
√
5
a + b + c =
47
12
hay










a =
5
3
b =
5
4
c = 1

Trong các hệ quả của bất đẳng thức AM - GM thì (iii) có nhiều ứng dụng. Bây giờ ta sẽ
bàn đến ứng dụng của chúng
1.2.4 Ví dụ. Cho x, y, z > 0 và
1
x
+
1
y
+
1
z
= 4. Chứng minh rằng
1
2x + y + z
+
1
x + 2y + z

+
1
x + y + 2z
≤ 1.
8
INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
Giải.
Dựa vào việc dự đoán điểm rơi là x = y = z nên ta áp dụng hệ quả (iii) như sau
1
2x + y + z
=
1
x + y + x + z
≤
1
4

1
x + y
+
1
x + z

Áp dụng lần nữa ta được
1
2x + y + z
≤
1
4


1
4

1
x
+
1
y
+
1
x
+
1
z

≤
1
16

2
x
+
1
y
+
1
z

Tương tự ta thu được
















1
2x + y + z
≤
1
16

2
x
+
1
y
+
1
z

1

x + 2y + z
≤
1
16

1
x
+
2
y
+
1
z

1
x + y + 2z
≤
1
16

1
x
+
1
y
+
2
z

Dẫn đến

1
2x + y + z
+
1
x + 2y + z
+
1
x + y + 2z
≤
1
4

4
x
+
4
y
+
4
z

= 1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. 
Bất đẳng thức khó một phần vì hình dáng cồng kềnh của nó. Bằng phương pháp đổi biến
sẽ phần nào giúp cho hình dáng của chúng nhẹ nhàng hơn.
1.2.5 Ví dụ. Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức sau
P =
x
2
(y + z)

y
√
y + 2z
√
z
+
y
2
(z + x)
z
√
z + 2x
√
x
+
z
2
(x + y)
x
√
x + 2y
√
y
.
Giải. Nhận thấy P là tổng của những biểu thức khá cồng kềnh. Ta sẽ tiến hành đặt ẩn phụ
như sau






a = x
√
x
b = y
√
y
c = z
√
z
theo giả thiết thì xyz = 1 nên abc = 1. Lúc này, nếu chúng ta thay vào P một cách máy móc
thì vẫn chưa làm P đơn giản hơn. Ta nhận thấy khi áp AM - GM thì
x
2
(y + z) ≥ x
2
.2
√
yz = 2x
√
x = 2a
y
2
(z + x) ≥ y
2
.2
√
zx = 2y
√
y = 2b

z
2
(x + y) ≥ z
2
.2
√
xy = 2z
√
z = 2c
Thật vậy, biểu thức P được đánh giá như sau
P ≥ 2

a
b + 2c
+
b
c + 2a
+
c
a + 2b

9
INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
Dựa vào hình dáng mới, ta thấy có thể ăn khớp với bất đẳng thức CBS dạng angel, nhưng ở
tử chưa có dạng bình phương. Do đó
P ≥ 2

a
2
ab + 2ac

+
b
2
bc + 2ab
+
c
2
ac + 2bc

≥ 2
(a + b + c)
2
3(ab + bc + ca)
Sử dụng một kết quả khá quen thuộc (a + b + c)
2
≥ 3(ab + bc + ca) ta thu được
P ≥ 2.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 hay x = y = z = 1. 
Để khắc sâu và làm rõ hơn các kĩ thuật cơ bản này, chúng ta có các bài tập sau.
1.2.6 Bài tập. (1) Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x + y + z =
3
4
. Chứng minh rằng
3

x + 3y +
3

y + 3z +
3

√
z + 3x ≤ 3.
(2) Cho x, y, z thỏa mãn
1
3
x
+
1
3
y
+
1
3
z
= 1. Chứng minh rằng
9
x
3
x
+ 3
y+z
+
9
y
3
y
+ 3
z+x
+
9

z
3
z
+ 3
x+y
≥
3
x
+ 3
y
+ 3
z
4
.
(3) Cho x, y là các số thực không âm. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức sau
P =
(x −y)(1 − xy)
(1 + x)
2
(1 + y)
2
.
(4) Cho x, y, z > 0. Tìm GTNN của biểu thức
P = x

x
2
+
1
yz


+ y

y
2
+
1
zx

+ z

z
2
+
1
xy

.
(5) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng
x
2
1 + y
+
y
2
1 + z
+
z
2
1 + x

≥
3
2
.
(6) Cho hai số thực dương thỏa mãn x + y ≥ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của
A =
3x
2
+ 4
4x
+
2 + y
3
y
2
.
(7) Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 thì
(1 + x)

1 +
y
x


1 +
9
√
y

2

≥ 256.
10
Chương 2
Hàm hai biến
2.1. Công cụ đạo hàm
Ta đã biết đến công cụ đạo hàm dùng để khảo sát hàm số, qua đó giúp ta tìm được GTLN,
GTNN. Thế nhưng nó chỉ áp dụng được cho 1 biến, thế nhiều biến thì thế nào? Ta sẽ tiến hành
qua các bước sau
1. Biến đổi hoặc đánh giá biểu thức P về một biến mới t (thay thế hoặc đặt ẩn phụ).
g(t) ≤ P ≤ f(t).
2. Tìm điều kiện “chặt” cho biến mới t (chẳng hạn t ∈ [a, b]).
3. Khảo sát hàm số g(t), f (t) với t ∈ [a, b].
4. Kết luận GTLN, GTNN của P và giá trị các biến khi P đặt max, min.
2.1.1 Ví dụ. Cho a, b không âm thỏa mãn a + 3b = 4. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức
P =
a
1 + a
+
3b
1 + b
.
Giải. Vì công cụ đạo hàm chỉ áp dụng cho một biến nên ta sẽ đưa P về một biến. Do a+3b = 4
nên a = 4 − 3b, khi đó b ∈

0,
4
3

.
Lúc này P =

4 −3b
1 + 4 − 3b
+
3b
1 + b
=
4 −3b
5 −3b
+
3b
1 + b
, vì thế ta xét hàm số
f(t) =
4 −3t
5 −3t
+
3t
1 + t
, t ∈

0,
4
3

.
Suy ra f

(t) =
−3
(3t −5)

2
+
3
(t + 1)
2
, do đó f

(t) = 0
⇔
−3
(3t −5)
2
+
3
(t + 1)
2
⇔

t = 3 (loại)
t = 1
Ta có bảng biến thiên
11
INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
Vậy GTLN của P là
12
7
khi a = 0, b =
4
3
và GTNN của P là 2 khi a = b = 1. 

2.1.2 Nhận xét. Chúng ta thấy rõ: nếu chỉ kết luận b ∈ [0, +∞) thì ta không tìm được giá
trị lớn nhất của P . Điều này càng chứng tỏ việc tìm điều kiện chặt cho b quan trọng như thế
nào.
2.1.3 Bài tập. (1) Cho các số thực dương thỏa mãn x + y =
5
4
. Tìm GTNN của biểu thức
S =
4
x
+
1
4y
.
(2) Tìm giá trị nhỏ nhất của
A =

(x −1)
2
+ y
2
+

(x + 1)
2
+ y
2
+ |y − 2|.
(3) Cho hai số thực không âm thỏa mãn x + y = 1. Tìm max, min của biểu thức
S = (4x

2
+ 3y)(4y
2
+ 3x) + 25xy.
(4) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x
2
− xy + 3 = 0 và 2x + 3y ≤ 14. Tìm GTLN và
GTNN của biểu thức
P = 3x
y
− xy
2
− 2x(x
2
− 1).
(5) Cho các số thực x, y thỏa mãn
√
2x + 3 +
√
y + 3 = 4. Tìm GTNN và GTLN của biểu
thức P =
√
x + 2 +
√
y + 9.
2.2. Xử lí biểu thức đối xứng
Biểu thức cần tìm max, min thường có hình dáng đối xứng của x, y. Để áp dụng được
phương pháp hàm số chúng ta thường đưa về biến t với
t = x + y, t = xy, t =
x

y
+
y
x
.
2.2.1 Ví dụ. Cho các số thực thỏa mãn (x − 4)
2
+ (y − 4)
2
+ 2xy ≤ 32. Tìm GTNN của
biểu thức
A = x
3
+ y
3
+ 3 (xy − 1) (x + y −2) .
Giải. Biểu thức A đã có dạng đối xứng, bây giờ ta biến đổi để có những biểu thức tổng tích
A = x
3
+ y
3
+ 3 (xy − 1) (x + y −2)
= (x + y)

x
2
+ y
2
− xy


+ 3 (xy − 1) (x + y −2)
= (x + y)

(x + y)
2
− 3xy

+ 3 (xy − 1) (x + y −2)
= (x + y)
3
− 3xy(x + y) + 3xy(x + y) − 6xy − 3(x + y) + 6
= (x + y)
3
− 6xy − 3(x + y) + 6
12
INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
Nhận thấy A chỉ chứa x + y và xy nên ta sẽ đánh giá để đưa A chỉ còn chưa một biểu thức.
Vì cần tìm giá trị nhỏ nhất nên ta đánh giá A ≥ A

như sau
A = (x + y)
3
− 6xy − 3(x + y) + 6
≥ (x + y)
3
− 6
(x + y)
2
4
− 3(x + y) + 6

≥ (x + y)
3
−
3
2
(x + y)
2
− 3(x + y) + 6
Vậy là ta đạt được yêu cầu thứ nhất là đánh giá A theo hàm một biến t = x + y. Tiếp theo
ta tìm điều kiện cho t. Sử dụng giả thiết ta được
(x −4)
2
+ (y − 4)
2
+ 2xy ≤ 32
⇔ x
2
+ y
2
− 8x − 8y + 32 + 2xy ≤ 0
⇔ (x + y)
2
− 8(x + y) ≤ 0
⇔ 0 ≤ x + y ≤ 8
Đến đây ta chỉ còn việc khảo sát hàm số f(t) = t
3
−
3
2
t

2
− 3t + 6 với t ∈ [0, 8]. Hàm số có
f

(t) = 3t
2
− 3t − 3, suy ra
f

(t) = 0 ⇔



t =
1 +
√
5
2
t =
1 −
√
5
2
(loại)
mà f(0) = 6, f

1 +
√
5
2


=
17 −5
√
5
4
, f(8) = 398. Dẫn đến f (t) ≥
17 −5
√
5
4
hay
A ≥
17 −5
√
5
4
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
17 −5
√
5
4
khi x = y =
1 +
√
5
4
. 
Việc đưa biểu thức đối xứng về biểu thức xuất hiện tổng tích ở ví dụ trên tương đối dễ

dàng. Song những biểu thức đối xứng (tổng của nhiều phân số) lại khiến chúng ta khó khăn
trong việc tạo ra x + y hoặc xy. Để khắc phục điều này, chúng sẽ sử dụng một số kết quả đã
biết về bất đẳng thức.
2.2.2 Ví dụ. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x, y ∈ [1, 2]. Tìm GTNN của biểu thức
P =
x + 2y
x
2
+ 3y + 5
+
y + 2x
y
2
+ 3x + 5
+
1
4 (x + y − 1)
Giải. Dựa vào dạng phân số của P ta sẽ biến đổi ở hai phân số đầu để làm xuất hiện biểu
thức tổng. Ý tưởng này làm cho chúng ta có suy nghĩ sẽ qui đồng, biến đổi để đưa về chung
mẫu, sử dụng CBS,. . . Những suy nghĩ này khiến ta quên đi giả thiết khá đặt biệt x, y ∈ [1, 2]!
Từ giả thiết này ta có

(x −1)(x − 2) ≤ 0
(y −1)(y −2) ≤ 0
⇔

x
2
≤ 3x −2
y

2
≤ 3y −2
13
INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
Sử dụng hai bất đẳng thức phụ này ta sẽ đánh giá P như sau
P ≥
x + 2y
3x −2 + 3y + 5
+
y + 2x
3y −2 + 3x + 5
+
1
4 (x + y − 1)
≥
x + 2y
3x + 3y + 3
+
y + 2x
3y + 3x + 3
+
1
4 (x + y − 1)
≥
x + y
x + y + 1
+
1
4 (x + y − 1)
Công việc còn lại là chúng ta chỉ cần khảo sát hàm số f(t) =

t
t + 1
+
1
4 (t −1)
với t ∈ [2, 4].
Đạo hàm có nghiệm là t = 3. Do đó
f(t) ≥ min{f(2), f (3), f (4)} = min

11
12
,
7
8
,
53
60

=
7
8
.
Suy ra P ≥
7
8
. Vậy giá trị nhỏ nhất của P =
7
8
khi x = 1, y = 2 hoặc x = 2, y = 1. 
2.2.3 Nhận xét. Điều kiện x ∈ [1, 2] đã giúp chúng ta hạ được bậc của x

2
. Ngoài điều kiện
này, đôi khi chúng ta còn gặp dạng điều kiện a < x, y ≤ b hoặc x, y ≥ b. Với những dạng này
chúng ta có thể khai thác theo hướng (b −x)(b − y) ≥ 0 hoặc (x −1)(y −1) ≥ 0.
2.2.4 Bài tập. (1) Cho các số thực thỏa mãn (x + y)
3
+ 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
A = 3(x
4
+ y
4
+ x
2
y
2
) −2(x
2
+ y
2
) + 1.
(2) Cho các số thực x, y thỏa mãn x

2 −y
2
+ y
√
2 −x
2
= 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức
P = (x + y)
2
− 12(x − 1)(y −1) +
√
xy.
(3) Cho hai số thực khác không x, y thỏa mãn (x + y)xy = x
2
+ y
2
− xy. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
A =
1
x
3
+
1
y
3
.
(4) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2(a
2
+ b
2
) + ab = (a + b)(ab + 2). Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 4

a

3
b
3
+
b
3
a
3

− 9

a
2
b
2
+
b
2
a
2

.
(5) Cho hai số thực x, y ∈ (0, 1] thỏa mãn x + y = 4xy. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
của biểu thức M = x
2
+ y
2
− 7xy.
(6) Cho x, y thỏa mãn x, y ≥ 1 và 3(x + y) = 4xy. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu
thức

P = x
3
+ y
3
+ 3

1
x
3
+
1
y
3

.
14
INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
(7) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x + y − 1 =
√
2x −4 +
√
y + 1. Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S = (x + y)
2
−

9 −x − y +
1
√

x + y
.
(8) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x
4
+ y
4
+
1
xy
= xy + 2. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
P =
2
1 + x
2
+
2
1 + y
2
−
3
1 + 2xy
.
(9) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a
2
+ b
2
+ a + b = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
P = 2


a
2
+ 1
a
2
+ a
+
b
2
+ 1
b
2
+ b

+
a + b

(a + b)
2
+ 1
.
2.3. Xử lí biểu thức bất đối xứng
Trong dạng này chúng ta thường sẽ đưa về hàm f(t) với t =
x
y
.
2.3.1 Ví dụ. Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện 4x
2
+ 2xy + y

2
= 3. Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x
2
+ 2xy − y
2
.
Giải. Ta xét tỉ số A =
P
3
=
x
2
+ 2xy − y
2
4x
2
+ 2xy + y
2
. Việc lập tỉ số này giúp ta tạo ra một phân số
đẳng cấp.
Nếu y = 0, từ giả thiết suy ra x = ±
√
3
2
. Do đó P =
3
4
.
Nếu y = 0, chia tử và mẫu của A cho y

2
ta được
A =

x
y

2
+ 2

x
y

− 1
3

x
y

2
+ 2

x
y

+ 1
Đặt t =
x
y
và xét hàm số f(t) =

t
2
+ 2t − 1
4t
2
+ 2t + 1
. Ta có
f

(t) =
−6t
2
+ 10t + 4
(4t
2
+ 2t + 1)
2
; f

(t) = 0 ⇔

t = 2
t = −
1
3
Bảng biến thiên
15
INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
Dựa vào bảng biến thiên ta có min f (t) = f


−
1
3

, max f(t) = f(2) =
1
3
.
Kết hợp lại hai trường hợp, ta có giá trị lớn nhất của P là 1 khi (x, y) =

2

1
7
,

1
7

hoặc (x, y) =

−2

1
7
, −

1
7


và giá trị nhỏ nhất của P là -6 khi (x, y) =


3
7
, −3

3
7

hoặc (x, y) =

−

3
7
, 3

3
7

. 
2.3.2 Bài tập. (1) Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x
2
+ xy + y
2
≤ 3. Tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = x
2
− xy − 3y

2
.
(2) Cho hai số thực thay đổi và thỏa mãn hệ thức x
2
+ y
2
= 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
P =
2(x
2
+ 6xy)
1 + 2xy + 2y
2
.
(3) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện xy ≤ y −1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
P =
x + y

x
2
− xy + 3y
2
−
x −2y
6(x + y)
.
(4) Cho các số thực x, y thỏa mãn xy ≥ 0 và x + y > 0. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức

P =
x
2
y −4y
3
x
3
+ 8y
3
.
16
Chương 3
Hàm ba biến
3.1. Xét hàm từng biến
3.2. Xử lí biểu thức đối xứng
Kĩ thuật xử lí đối với biểu thức 3 biến đối xứng cũng giống như phần hai biến đối xứng,
trong đó
t = a + b + c, t = ab + bc + ca, t = abc, t =
a
b
+
b
c
+
c
a
Bên cạnh đó ta chú ý một số kết quả thông dụng
(i) a
2
+ b

2
+ c
2
≥ ab + bc + ca.
(ii) (a + b + c)
2
≥ 3(ab + bc + ca).
(iii) a
2
+ b
2
+ c
2
≥
(a + b + c)
2
3
3.2.1 Ví dụ. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
M = 3(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a

2
) + 3(ab + bc + ca) + 2

a
2
+ b
2
+ c
2
.
Giải. Sử dụng các kết quả trên, ta biến đổi đánh giá M về biểu thức chỉ toàn chứa ab+bc+ca
M = 3(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
) + 3(ab + bc + ca) + 2

a
2
+ b
2
+ c

2
= 3

(ab)
2
+ (bc)
2
+ (ca)
2

+ 3(ab + bc + ca) + 2

a
2
+ b
2
+ c
2
≥ 3.
(ab + bc + ca)
2
3
+ 3(ab + bc + ca) + 2

1 −2(ab + bc + ca)
≥ (ab + bc + ca)
2
+ 3(ab + bc + ca) + 2

1 −2(ab + bc + ca).

Tiếp theo ta tìm điều kiện cho biến t = ab + bc + ca. Sử dụng điều kiện a + b + c = 1 nên ta
được
1 = (a + b + c)
2
≥ 3(ab + bc + ca) = 3t
⇒ t ≤
1
3
17
INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
cùng với điều kiện a, b, c không âm nên t ∈

0,
1
3

.
Xét hàm số f(t) = t
2
+3t+2
√
1 −2t, t ∈

0,
1
3

. Khi đó f

(t) = 2t+3−

2
√
1 −2t
, f

(t) =
2 −
2

(1 −2t)
3
< 0 với mọi t ∈

0,
1
3

. Dẫn đến f

(t) đồng biến, tức f

(t) ≥ f

(0) = 1
nên kéo theo f(t) cũng đồng biến. Suy ra f(t) ≥ f(0) = 2, vậy M ≥ 0 hay max M = 2 khi
(a, b, c) = (1, 0, 0) và các hoán vị của nó. 
3.2.2 Nhận xét. - Trong ví dụ trên, chúng ta đánh giá (ab)
2
+(bc)
2

+(ca)
2
≥
(ab + bc + ca)
2
3
và thay thế a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 −2(ab + bc +ca). Thế nếu chúng ta không thay thế mà đánh giá
a
2
+ b
2
+ c
2
≥ ab +bc + ca thì có gì khác biệt? Câu trả lời là khi đó f(t) = t
2
+ 3t +2
√
t ≥ 0
nhưng dấu “=” không xảy ra được. Một lần nữa cho thấy việc khống chế điểm rơi có giá trị
như thế nào.
- Về mặt phương pháp tương đối giống như biểu thức hai biến.
3.2.3 Bài tập. (1) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn của
biểu thức
P =

2
3 + ab + bc + ca
+
3

abc
(1 + a)(1 + b)(1 + c)
.
(2) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện
3(a
2
+ b
2
+ c
2
) + ab + bc + ca = 12.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
P =
a
2
+ b
2
+ c
2
a + b + c
+ ab + bc + ca
(3) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x
2
+ y
2

+ z
2
= 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
P =
(x + y + z − 1)
2
x
2
y + y
2
z + z
2
x
+
1
x
+
1
y
+
1
z
.
(4) Cho các số thực thỏa mãn x + y + z = 0 . Tìm GTNN của biểu thức
P = 3
|x−y|
+ 3
|y−z|
+ 3

|z−x|
−

6x
2
+ 6y
2
+ 6z
2
.
(5) Cho các số thực a, b, c ∈ [0, 1]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = abc +
1
1 + a
3
+
1
1 + b
3
+
1
1 + c
3
.
18
INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
3.3. Xử lí biểu thức đối xứng hai biến
Giả sử chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức P chưa ba biến a, b, c.
Trong đó hai biến a, b có tính đối xứng với nhau. Trong các trường hợp này ta có thể giải quyết
bằng cách đánh giá P theo hàm f(t) với

t =
a + b
c
, t = c, t = a + b + c
Chú ý: trong trường hợp t = a + b + c thì phải kiểm soát dấu “=” thật chặt vì có thể dấu “=”
xảy ra khi a = b = c hoặc a = b = c.
3.3.1 Ví dụ. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + c)(b + c) = 4c
2
. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
32a
3
(b + 3c)
3
+
32b
3
(a + 2c)
3
−
√
a
2
+ b
2
c
.
Giải. Biểu thức P chứa ba biến a, b, c, trong đó a, b có tính đối xứng với nhau. Ta dự đoán
dấu bằng xảy ra khi a = b.

Biến đổi P như sau
P = 32






a
c

3

b
c
+ 3

3
+

b
c

3

a
c
+ 3

3






−


a
c

2
+

b
c

2
Trở lại với giả thiết, chia cho c
2
được

a
c
+ 1


b
c
+ 1


= 4.
Để thuận tiện cho bài toán ta đặt x =
a
c
, y =
b
c
, lúc này bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ
nhất của
P = 32

x
3
(y + 3)
3
+
y
3
(x + 3)
3

−

x
2
+ y
2
với (x + 1)(y + 1) = 4 hay xy + x + y = 3. Bài toán tìm cực trị cho biểu thức hai biến đối
xứng.

19
INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
Sử dụng kết quả a
3
+ b
3
≥
(a + b)
3
4
ta được
P ≥ 8

x
y + 3
+
y
x + 3

3
−

x
2
+ y
2
≥ 8

x(x + 3) + y(y + 3)
(y + 3)(x + 3)


3
−

(x + y)
2
− 2xy
≥ 8

x
2
+ y
2
+ 3(x + y)
xy + 3(x + y) + 9

3
−

(x + y)
2
− 2xy
≥ 8

(x + y)
2
− 2xy + 3(x + y)
3 −x − y + 3(x + y) + 9

3

−

(x + y)
2
− 2(3 − x −y)
≥ 8

(x + y)
2
− 2(3 − x −y) + 3(x + y)
12 + 2(x + y)

3
−

(x + y)
2
− 2(3 − x −y)
≥ 8

(x + y)
2
+ 5(x + y) − 6
12 + 2(x + y)

3
−

(x + y)
2

+ 2(x + y) − 6
≥ 8

(x + y − 1)(x + y + 6)
2(x + y + 6)

3
−

(x + y)
2
+ 2(x + y) − 6
≥ (x + y − 1)
3
−

(x + y)
2
+ 2(x + y) − 6
Tiếp theo tìm điều kiện cho biến t = x + y. Vì xy + x + y = 3 nên
t = x + y = 3 −xy ≥ 3 −
(x + y)
2
4
= 3 −
t
2
4
suy ra t ≥ 2. Xét hàm số f(t) = (t −1)
3

−
√
t
2
+ 2t − 6 với t ∈ [2, +∞). Khi đó
f

(t) = 3(t −1)
2
−
t + 1
√
t
2
+ 2t − 6
Vì t ≥ 2 nên 3(t − 1)
2
≥ 3 và
t + 1
√
t
2
+ 2t − 6
≥
3
√
2
2
. Do đó f


(t) ≥ 3 −
3
√
2
2
> 0, nên
f(t) ≥ f(2) = 1 −
√
2 hay P ≥ 1 −
√
2.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 −
√
2 khi a = b = c. 
3.3.2 Bài tập. (1) Cho x, y, z ∈ [1, 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
x
2x + 3z
+
y
y + x
+
z
z + x
.
(2) Chứng minh rằng với mọi số tực dương x, y, z thỏa mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có
(x + y)
3
+ (x + z)
3

+ 3(x + y)(x + z)(y + z) ≤ 5(y + z)
3
.
(3) Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P =
4
√
a
2
+ b
2
+ c
2
+ 4
−
9
(a + b)

(a + 2c)(b + 2c)
.
20
INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán
(4) Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x ≥ y ≥ z và điều kiện x
2
+ y
2
+ z
2
= 3.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

P = 2xy + 3yz + 3zx +
6
x + y + z
.
(5) Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn
5(x
2
+ y
2
+ z
2
) = 6(xy + yz + zx)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

2(x + y + z) −(y
2
+ z
2
).
(6) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
P =
a
1 + a
2
+
b
1 + b
2
+

3c
√
1 + c
2
.
21