Nghiên cứu phương trình sóng kirchhoff phi tuyến với điều kiện biên robin – neumann không thuần nhất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN



HUỲNH THANH TOÀN


NGHIÊN CỨU PHƯƠNG TRÌNH SÓNG
KIRCHHOFF PHI TUYẾN VỚI
ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN – NEUMANN
KHÔNG THUẦN NHẤT



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành Toán giải tích








Thành phố Hồ Chí Minh – năm 2010

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HUỲNH THANH TOÀN




NGHIÊN CỨU PHƯƠNG TRÌNH SÓNG
KIRCHHOFF PHI TUYẾN VỚI
ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN – NEUMANN
KHÔNG THUẦN NHẤT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành Toán giải tích
Mã số: 60.46.01


NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC




Thành phố Hồ Chí Minh – năm 2010


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HUỲNH THANH TOÀN


NGHIÊN CỨU PHƯƠNG TRÌNH SÓNG
KIRCHHOFF PHI TUYẾN VỚI
ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN – NEUMANN
KHÔNG THUẦN NHẤT



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành Toán giải tích








Thành phố Hồ Chí Minh – năm 2010



2
MỤC LỤC


LỜI CẢM ƠN …………………………………………………………… …… 1

MỤC LỤC……………………………………………………………………… 2
Chương 0. TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN…………………………… …… 3
Chương I. CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ…………………………………… 6
1.1. Các ký hiệu và không gian hàm…………………………………… 6
1.2. Một số công cụ thường sử dụng……………………………………. 6
Chương II. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM………………………. 9
2.1. Giới thiệu………………………………………………………… 9
2.2. Thuật giải xấp xỉ tuyến tính……………………………………… 11
2.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm…………………………… 22
Chương III. NGHIÊN C
ỨU KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM YẾU CỦA
BÀI TOÁN NHIỄU THEO THAM SỐ BÉ…………………………………… 33
Chương IV. MINH HỌA BẰNG MỘT BÀI TOÁN CỤ THỂ……………… 55
KẾT LUẬN………………………………………………………………………. 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………. 58











1
LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô hướng dẫn, TS
Lê Thị Phương Ngọc, người đã tận tình hướng dẫn và động viên tôi vượt qua mọi
khó khăn để hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy, TS Nguyễn Thành Long và Thầy, TS
Trần Minh Thuyết đã truyền đạt cho tôi những kiến thức vô cùng quý báu trong
suốt thời gian tôi học tập và tham dự các buổi seminar do Thầy chủ trì.
Tôi xin trân trọng c
ảm ơn Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã
đọc cẩn thận luận văn của tôi và cho nhiều nhận xét quý báu để luận văn được hoàn
chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô trong và ngoài khoa Toán – Tin học
trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và
truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt thời gian học tập.
Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đạ
i học đã tạo điều kiện thuận lợi cho
tôi hoàn thành khóa học và làm các thủ tục bảo vệ luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Khoa Khoa học Cơ bản Đại học
Y Dược Tp. Hồ Chí Minh đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi về mặt công tác để tôi
hoàn thành luận văn.
Tôi xin cảm ơn các anh chị trong nhóm seminar do Thầy Nguyễn Thành
Long hướng dẫn và các bạn lớp Cao h
ọc Toán giải tích K17 đã đóng góp, động viên
giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập và làm luận văn.
Tôi cũng không quên gửi lời biết ơn đến gia đình tôi, những người đã luôn
ủng hộ tôi trong những lúc khó khăn nhất.
Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo của Quý Thầy Cô và những đóng góp
quý báu của các bạn đồng nghiệp. Xin chân thành cảm ơn.
Học viên Cao học
Huỳnh Thanh Toàn

2
MỤC LỤC


LỜI CẢM ƠN …………………………………………………………… …… 1
MỤC LỤC……………………………………………………………………… 2
Chương 0. TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN…………………………… …… 3
Chương I. CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ…………………………………… 6
1.1. Các ký hiệu và không gian hàm…………………………………… 6
1.2. Một số công cụ thường sử dụng……………………………………. 6
Chương II. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM………………………. 9
2.1. Giới thiệu………………………………………………………… 9
2.2. Thuật giải xấp xỉ tuyến tính……………………………………… 11
2.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm…………………………… 22
Chương III. NGHIÊN C
ỨU KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM YẾU CỦA
BÀI TOÁN NHIỄU THEO THAM SỐ BÉ…………………………………… 33
Chương IV. MINH HỌA BẰNG MỘT BÀI TOÁN CỤ THỂ……………… 55
KẾT LUẬN………………………………………………………………………. 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………. 58

3
Chương 0

TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN


Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và ban đầu cho
phương trình sóng phi tuyến
()
()
()
()
22
,, , , 0 1,0 ,
tt x xx x
uutufxtuut x tTμ− =<<<< (0.1)
(
)
()
(
)
(
)
0, , 1, 1, 0,
xx
utgtut utη=+= (0.2)
(
)

()
(
)
()
01
,0 , ,0 ,
t
ux u x u x u x==

(0.3)
trong đó
0η ≥ là một hằng số,
01
,,,,uugfμ

là các hàm cho trước thoả điều kiện
mà ta sẽ chỉ ra sau.
Trong phương trình (0.1), các số hạng phi tuyến
()
()
2
x
utμ
,
()
()
2
,, ,
x
f

xtu u t là các hàm phụ thuộc vào tích phân
()
()
1
2
2
0
,
xx
ut uxtdx=
∫
. (0.4)
Phương trình (0.1) có nguồn gốc từ phương trình mô tả dao động phi tuyến
của một dây đàn hồi (Kirchhoff [4])

()
2
0
0
,,0,0,
2
L
tt xx
Eh u
hu P y t dy u x L t T
Ly
ρ
⎛⎞
∂
⎟

⎜
⎟
⎜
=+ << <<
⎟
⎜
⎟
⎜
∂
⎟
⎝⎠
∫

ở đây,
u là độ võng, ρ là khối lượng riêng, h là thiết diện, L là chiều dài sợi dây
ở trạng thái ban đầu,
E là môđun Young và
0
P là lực căng ở trạng thái ban đầu.
Trong [2], Carrier thiết lập phương trình dưới dạng

()
2
01
0
,,
L
tt xx
uPPuytdyu
⎛⎞

⎟
⎜
⎟
=+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
∫



4
với
01
,PP là hằng số.
Bài toán (0.1) – (0.4) có nhiều ý nghĩa trong vật lý và cơ học và được nhiều
nhà toán học quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây.
Phương trình (0.1) với các dạng khác nhau của
μ và
f
và các điều kiện biên
khác nhau đã được khảo sát bởi nhiều tác giả, chẳng hạn:
Trong [8], Nguyễn Thành Long, Trần Ngọc Diễm đã khảo sát phương trình
(0.1) với
1μ ≡ , (,, , , )
xt

f
fxtuu u= , điều kiện biên
(
)
(
)
(
)
0
0, 0, 1,
xx
uthutut− =
(
)
1
1, 0hu t− = , và nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu u
ε
đến cấp 2 theo ε
với
()()
1
,, , , ,, , ,
xt xt
f
f xtuu u f xtuu uε=+ .
Khi
0
f
= ,
()

2
x
uμμ= với điều kiện biên hỗn hợp hay Cauchy cũng được
nghiên cứu bởi nghiều tác giả: Ebihara, Mederios, Minranda [3].
Trong [10], Nguyễn Thành Long, Bùi Tiến Dũng đã khảo sát (0.1) với
()
2
x
uμμ= ,
()
2
,, , , ,
xt x
ffxtuuuu= với điều kiện biên
(
)
(
)
0
0, 0,
x
uthut− =
()
1, 0,ut= và nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu u
ε
đến cấp
1N +
theo
ε với
()()

1
,, , , ,, , ,
xt xt
f
f xtuu u f xtuu uε=+ ,
() ()
22
1
xx
uuμμ εμ=+ .

Trong [7], Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Trần Ngọc Diễm
đã khảo sát (0.1) với
()
(
)
2
0 x
bbutμ =+
, điều kiện biên Dirichlet thuần nhất và
nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu
u
ε
đến cấp 2 theo ε với
()()
1
,, , , ,, , ,
xt xt
f
f xtuu u f xtuu uε=+

,
()
()
()
()
22
01xx
bbut butμε=+ +
.
Trong [11], Nguyễn Thành Long, Bùi Tiến Dũng đã khảo sát phương trình
(0.1) với
()
2
,
x
Bt uμ = ,
()
2
,, , , ,
xt x
ffxtuuuu= , điều kiện biên
()
0,
x
ut−
(
)
(
)
00

0,hu t g t= ,
(
)
()
1
1,ut gt= , và nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu u
ε

đến cấp 3 theo
ε
với
()()
22
1
,, , , , ,, , , ,
xt x xt x
ffxtuuuu fxtuuuuε=+ ,
()
()
2
,
x
bt u tμ =
()
()
2
1
+,
x
btu tε .

5
Trong [19], Lê Xuân Trường, Lê Thị Phương Ngọc, Nguyễn Thành Long đã
nghiên cứu (0.1) với
()
2
2
,,
x
tu uμμ= ,
(
)
,,
f
fxtu= cùng điều kiện biên
(
)
(
)
0
0, 0, 0
x
uthut− = ,
(
)
(
)
1
1, 1, 0

x
uthut− = .
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu
của bài toán (0.1) – (0.3), chứng minh được dựa vào phương pháp xấp xỉ Galerkin
cùng với kỹ thuật hội tụ yếu và về tính compact. Sau đó, chúng tôi nghiên cứu khai
triển tiệm cận nghiệm yếu của bài toán nhiễu theo tham số bé
ε sau đây

()
()
()
()
()
()
()
() ()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
(
)
()

(
)
()
(
)
22
01
22 2
1
22 2
1
,, , , 0 1,0 ,
0, , 1, 1, 0,
,0 , ,0 ,
,, , ,, , ,, , ,
,
tt xx
t
uutuFxtuutxtT
ut gt ut ut
Puxuxuxux
F xtu ut f xtu ut f xtu ut
ut ut ut
εε
ε
ε
ε
μ
η
ε

μμεμ
⎧
⎪
⎪
−∇ = ∇ << <<
⎪
⎪
⎪
⎪
∇ = ∇ +=
⎪
⎪
⎪
⎪
==
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
∇ = ∇ + ∇
⎪
⎪
⎪
⎪
∇ = ∇ + ∇
⎪
⎪
⎩


trong đó các hàm
11
,,,
f
fμμ
sẽ thỏa thêm một số điều kiện phụ.
Luận văn được trình bày theo các chương mục sau:
Chương 0, phần mở đầu, tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm
qua các kết quả trước đó và nêu bố cục luận văn.
Chương 1, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại
một số không gian hàm, một số kế
t quả về phép nhúng compact và một số kết quả
về lý thuyết phổ được sử dụng trong luận văn.
Chương 2, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài
toán (0.1) – (0.4).
Chương 3, chúng tôi nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu của bài toán
(
)
P
ε
theo tham số bé
ε
.
Chương 4, chúng tôi cho một ví dụ cụ thể để minh họa về khai triển tiệm cận
nghiệm yếu của bài toán
(
)
P
ε

.
Kế đến là phần kết luận và sau cùng là danh mục tài liệu tham khảo.


6
Chương I

CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ


1.1 . Các ký hiệu và không gian hàm
Chúng tôi bỏ qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng và để tiện lợi,
chúng tôi kí hiệu:
(
)
(0, 1), 0, , 0
T
TTΩ = Ω = Ω×>,
(
)
(
)
(
)
,2 , ,
,,
pp m m m mp mp
LL H H WW W= Ω = Ω ==Ω ,
., .,. lần lượt chỉ chuẩn và tích vô hướng trên
2

L .
Với mỗi không gian Banach
X , ta ký hiệu chuẩn trên X là .
X
và ký hiệu
(
)
0, ; , 1
p
LTX p≤≤+∞ là không gian Banach gồm tất cả các hàm đo được
(
)
:0,uT X→ sao cho
()
()
()
1
0, ;
0
,1
p
T
p
p
LTX
X
uutdt p
⎛⎞
⎟
⎜

⎟
=<+∞≤<+∞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
∫
,
và
()
()
()
(
)
0, ;
0
sup ,
LTX
X
tT
uessutp
∞
≤≤
==+∞
.
Ta ký hiệu
()

,ut
() ()
,
t
ut ut=

() ()
,
tt
ut ut=

() ()
,
x
ut ut= ∇
(
)
xx
ut
()
ut= Δ để chỉ
() () () () ()
22
22
,, ,, ,, ,, ,
uuuu
uxtxt xtxt xt
tt xx
∂∂ ∂∂
∂∂ ∂∂

theo thứ tự.

1.2 . Một số công cụ thường sử dụng
Cho ba không gian Banach
01
,,XXX
với
0
X
1
X
1
1
X
là các phép
nhúng liên tục sao cho


7
(i)
01
,XX phản xạ, (1.1)
(ii)
0
X 1 X là phép nhúng compact. (1.2)
Với
(
)
0,1 0,1
i

Tpi<<+∞≤≤+∞ = , ta đặt
() ()
{}
01
01
0, ; : 0, ;
pp
dv
WvLTX vLTX
dt
= ∈ = ∈

.
Trên
W ta trang bị chuẩn
()
()
0
1
0
1
0, ;
0, ;
p
p
WLTX
LTX
vv v=+

.

Khi đó,
W là một không gian Banach. Hiển nhiên W 1
(
)
0
0, ;
p
LTX.
Ta cũng có kết quả sau liên quan đến phép nhúng compact.
Bổ đề 1.1. (Bổ đề về tính compact của Lions). Với các giả thiết (1.1), (1.2)
và
1,0,1
i
pi<<+∞ = thì phép nhúng W 1
(
)
0
0, ;
p
LTX là compact.
Chứng minh bổ đề 1.1 có thể tìm thấy trong [5, trang 57].
Bổ đề 1.2. (Bất đẳng thức Gronwall). Giả sử
[
]
:0,
f
T → R là hàm khả tích,
không âm trên
[
]

0,T và thỏa mãn bất đẳng thức
()
()
[]
12
0
,0,
t
f
tCCfsdst T≤ + ∀∈
∫
,
trong đó
12
,CC là các hằng số không âm.
Khi đó
()
[
]
2
1
,0,
Ct
f
tCe t T≤∀∈.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số kết quả về lý thuyết phổ.
Ta thành lập các giả thiết sau:
Cho
V và H là hai không gian Hilbert thỏa các điều kiện:
(i) Phép nhúng từ

V
1
H
là compact, (1.3)
(ii)
V trù mật trong H . (1.4)
Cho
:aV V× → R
là dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục và bức. (1.5)
Chi tiết hơn, ta gọi a là:


8
(j) Dạng song tuyến tính, nếu
(
)
,uauv6 tuyến tính trên V với mọi vV∈
và
(
)
,vauv6 tuyến tính trên V với mọi
uV∈
.
(jj) Đối xứng, nếu
(
)
(
)
,,,,auv avu uv V= ∀∈.
(jjj) Liên tục, nếu

(
)
11
0: , , ,
VV
CauvCuvuvV∃ > ≤∀∈.
(jv) Bức, nếu
(
)
2
00
0: , ,
V
CauuCuuV∃ > ≥∀∈.
Khi đó ta có kết quả sau.
Bổ đề 1.3. Với các giả thiết (1.3) – (1.5), tồn tại một cơ sở trực chuẩn
{}
1
j
j
w
+∞
=
của H gồm các hàm riêng
j
wV∈ tương ứng với các giá trị riêng
j
λ sao
cho
123

0 , lim
jj
j
λλλ λ λ
→+∞
< ≤≤≤≤≤ =+∞ và
()
,,,,1,2,
jjj
aw v w v v V jλ= ∀∈ ∀=
Hơn nữa, dãy
j
j
w
λ
⎧⎫
⎪⎪
⎪⎪
⎨⎬
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎭
cũng là một cơ sở trực chuẩn của V đối với tích vô
hướng
()
.,.a .
Chứng minh bổ đề 1.3 có thể tìm thấy trong [18, trang 87, định lý 7.7].
Ta cũng có bổ đề sau mà chứng minh không khó khăn.
Bổ đề 1.4. Phép nhúng
1

H 1
[
]
0, 1C là compact và
[]
()
1
1
0,1
2,
CH
uuuH≤∀∈.
Chứng minh bổ đề 1.4 có thể tham khảo trong nhiều tài liệu liên quan đến lý
thuyết về không gian Sobolev, chẳng hạn trong [1].
Bổ đề 1.5. Cho dãy số thực
{}
m
γ thỏa
0
0,γ =
1
0,
mm
γσγ δ
−
≤≤ +
1m∀≥, trong đó 01,0σδ≤ < ≥ là các hằng số cho trước, khi đó

,1
1

m
m
δ
γ
σ
≤∀≥
−
.



9
Chương II

SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM


2.1. Giới thiệu
Trong chương này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và ban đầu sau đây
()
()
()
()
22
,, , , 0 1,0 ,
tt x xx x
uutufxtuut x tTμ− =<<<< (2.1)
(
)
()

(
)
(
)
0, , 1, 1, 0,
xx
utgtut utη=+= (2.2)

(
)
()
(
)
()
01
,0 , ,0
t
ux u x u x u x==

, (2.3)
trong đó
0η ≥ là một hằng số,
01
,,,,uugfμ

là các hàm cho trước thoả điều kiện
mà ta sẽ chỉ ra sau.
Trong phương trình (2.1), các số hạng phi tuyến
()
()

2
x
utμ
,
()
()
2
,, ,
x
f
xtu u t là các hàm phụ thuộc vào tích phân
()
()
1
2
2
0
,
xx
ut uxtdx=
∫
.
Ta đưa bài toán (2.1) – (2.3) về bài toán có điều kiện biên thuần nhất như sau
Với
[
]
0, 1x ∈ và 0t ≥ , ta đặt
()
()
()

2
1
,1
2
xt g t xΦ = −−
, (2.4)
(
)
(
)
(
)
,,,v xt u xt xt= −Φ , (2.5)
(
)
(
)
()
,, , ,, ,
tt xx
f
xtvz f xtv z zμ=+Φ−Φ+ Φ

, (2.6)
() ()
(
)
() ()
(
)

00 11
,0 , ,0 ,
t
vx ux x vx ux x= −Φ = −Φ


(2.7)
cùng với điều kiện tương thích
(
)
(
)
(
)
0
00,0 0.
xx
gu u==

(2.8)
Khi đó bài toán (2.1) – (2.3) tương đương với bài toán giá trị biên ban đầu
sau


10
() ()
()
() ()
()
22

,, , ,
tt x x xx x x
vvt tvfxtvvt tμ− + Φ =+Φ



01,0 ,xtT<< << (2.9)
(
)
(
)
(
)
0, 1, 1, 0
xx
vtvt vtη=+ =, (2.10)
(
)
()
(
)
()
01
,0 , ,0
t
vx v x v x v x==

. (2.11)
Trong luận văn này, chúng tôi đặt
1

VH= và sử dụng dạng song tuyến tính
()
() ()
() ()
1
1
0
,'' 11,,auv u xv xdx u v uv Hη=+∀∈
∫
, (2.12)

() () ()
1
1
0
,,,, ,,buv auv uv auv uvdx uv H=+=+ ∀∈
∫
. (2.13)
Trên
1
H , chúng tôi sử dụng chuẩn
()
1
1
2
2
2
'
H
vvv=+

. Khi đó, chúng tôi
có các bổ đề sau.
Bổ đề 2.1. Dạng song tuyến tính đối xứng
()
.,.b xác định bởi (2.13) liên tục
trên
11
HH× và bức trên
1
H , tức là
(i)
(
)
11
1
11
0, , , , ,
HH
CbuvCuv uvH∃ > ≤∀∈
(ii)
(
)
1
1
2
00
0, , , ,
H
CbvvCv vH∃ > ≥∀∈
Và chuẩn

(
)
,
V
vbvv= tương đương với chuẩn
()
1
1
2
2
2
'
H
vvv=+ ,
ở đây
0
1C = và
1
12C η=+ .
Chứng minh bổ đề 2.1 không khó, chúng tôi bỏ qua.
Bổ đề 2.2. Tồn tại một cơ sở trực chuẩn
{}
1
j
j
w
+∞
=
của
2

L gồm các hàm riêng
j
w tương ứng với các giá trị riêng
j
λ sao cho
123
0 , lim
jj
j
λλλ λ λ
→+∞
< ≤≤≤≤≤ =+∞
và
()
1
, , , , 1, 2,
jjj
bw v w v v H jλ= ∀∈ ∀=


11
Hơn nữa, dãy
j
j
w
λ
⎧⎫
⎪⎪
⎪⎪
⎨⎬

⎪⎪
⎪⎪
⎩⎭
cũng là một cơ sở trực chuẩn của
1
H với tích vô
hướng
()
.,.b .
Và các
j
w thỏa bài toán biên sau
()
()
() ()
[]
1,
'0 0, '1 1 0,
0, 1 .
jj j
jjj
j
wwtrong
www
wC
λ
η
∞
⎧
⎪

−Δ = −Ω
⎪
⎪
⎪
⎪
=+=
⎨
⎪
⎪
⎪
∈
⎪
⎪
⎩
(2.14)
Bổ đề 2.2 suy ra từ bổ đề 1.3 với
(
)
21
,,,HLVHbuv== xác định từ
(2.13).
Trong chương này, chúng tôi xây dựng một dãy
{}
m
v bằng quy nạp và
chứng minh dãy
{}
m
v hội tụ về nghiệm yếu của bài toán (2.9) – (2.11) trong không
gian hàm thích hợp.

2.2. Thuật giải xấp xỉ tuyến tính
Ta thành lập các giả thiết sau:
(H1)
(
)
2
,gC
+
∈ R
(H2)
21
01
,,uHuH∈∈


(H3)
(
)
()
1
0
,0Czμμμ
+
∈≥>R ,
(H4)
[
]
(
)

0
0, 1
f
C
++
∈ ×××RRR thỏa
[
]
(
)
0
0, 1 , , ,
i
Df C
++
∈ RRR.
Cho trước
*0T > , ta đặt:
()
[]
()
[]
()
11
0, * 0, *
*, '
CT CT
MMTg g g==+
, (2.15)
với mỗi

(]
0, 0, *MTT> ∈ , ta đặt:
(
)
(
)
00
(,,,)
,sup,,,
xtvz A
KKMf fxtvz
∈
==


, (2.16)


12
(
)
(
)
()
11 1 3 4
(,,,)
,sup ,,,
xtvz A
KKMf DfDfDfxtvz
∈

== ++


, (2.17)
trong đó
()
()
{
,* ,,, :0 1,0 *,AAMT xtvz x tT== ≤≤ ≤≤



()
}
2
1
,0vM z MM≤≤≤+ ;
(
)
(
)
()
(
)
2
1
00
0
,sup
zMM

KKM zμμ
≤≤ +
==

, (2.18)
(
)
(
)
()
(
)
2
1
11
0
,sup'
zMM
KKM zμμ
≤≤ +
==

; (2.19)
()
(
)
(
)
()
{

()
()
()
}
2
12
212
0, ;
0, ;
,0,;:0,;,,
,,,
T
tttT
LTH
ttt
LTH LQ
WMT v L TH v L TH v LQ
vMv MvM
∞
∞
∞∞
= ∈∈∈
≤≤≤
(2.20)
() ()
(
)
{}
2
1

,,:0,;
tt
WMT v WMT v L TL
∞
= ∈∈. (2.21)
Rõ ràng, với các giả thiết (H1), (H3) và (H4), các hằng số trong (2.15) –
(2.19) hoàn toàn được xác định. Với sự lựa chọn các
0M > và 0T > thích hợp,
ta sẽ xây dựng dãy
{}
m
v
như sau:
Chọn số hạng đầu tiên
0
0v = .
Giả sử
(
)
11
,
m
vWMT
−
∈ . (2.22)
Ta liên kết bài toán (2.9) – (2.11) với bài toán biến phân sau:
Tìm
(
)
1

,, 1
m
vWMTm∈≥ thỏa
() () ()
()
()
1
,,,,
mmm m
vtw tavtw Ftw w Hμ+=∀∈

, (2.23)

(
)
(
)
()
00
0,0
mm
vvxvxv===

, (2.24)
(
)
(
)
()
11

0,0
mm
vvxvxv===


, (2.25)
trong đó

() () ()
()
()
()
() ()
()
2
1
2
11
,
,,,, .
mm
mm mm
tvtt
Ft Fxt fxtv v t t
μμ
−
−−
⎧
⎪
= ∇ + ∇Φ

⎪
⎪
⎨
⎪
== ∇ + ∇Φ
⎪
⎪
⎩

(2.26)


13
Sự tồn tại các
m
v được cho bởi định lý sau.
Định lý 2.1. Giả sử các giả thiết (H1) – H(4) đúng, khi đó tồn tại các hằng
số
0M > và 0T > sao cho với
0
0v =
cho trước, tồn tại một dãy quy nạp tuyến
tính
{}
(
)
1
,
m
vWMT⊂ được xác định bởi (2.23) – (2.25).

Chứng minh định lý 2.1
Bước 1. Xấp xỉ Galerkin
Gọi
{}
j
w là cơ sở trực chuẩn của
2
L , trực giao trong
1
H như trong bổ đề 2.2.
Đặt
()
()
()
()
1
k
kk
mmjj
j
vt ctw
=
=
∑
, (2.27)
trong đó
(
)
()
k

mj
ct thoả hệ phương trình vi phân tuyến tính sau
(
)
() ()
(
)
()
()
()
,,,,1,
kk
mjm mjmj
vtw tavtw Ftw jkμ+=≤≤

(2.28)
(
)
(
)
(
)
(
)
01
0,0,
kk
mkmk
vvvv==



(2.29)
với

()
00
1
k
k
kmjj
j
vwvα
=
= →
∑

mạnh trong
2
H , (2.30)

()
11
1
k
k
kmjj
j
vwvβ
=
= →

∑

mạnh trong
1
H . (2.31)
Bổ đề 2.4. Giả sử (H1) – (H4) đúng, khi đó với các hằng số
0M > ,
(]
0, *TT∈ cố định, hệ (2.27) – (2.29) có nghiệm duy nhất
(
)
()
k
m
vt trên
[
]
0,T .
Chứng minh bổ đề 2.4
Bỏ qua các chỉ số m và k trong trong biểu thức
(
)
()
01
,,
k
mkk
vtvv

, hệ (2.27) –

(2.29) viết lại như sau
()
()
() () ()
() ()
'' 1 , , 1 ,
0,'0,
jjmj mj
jjjj
ct tct Ftw jk
cc
λμ
αβ
⎧
⎪
+ − = ≤≤
⎪
⎪
⎨
⎪
==
⎪
⎪
⎩
(2.32)
với


14
() ()

1
k
jj
j
vt c tw
=
=
∑
.
Viết lại (2.32) dưới dạng sau
()
()
00
,
t
jjj mj
ct t d F swds
τ
αβ τ=+ +
∫∫


()
() ()
00
1,1
t
jmj
dscsdsjk
τ

λτμ−− ≤≤
∫∫


()
[]
()
,1
jj
Gt Lct j k=+ ≤≤, (2.33)
với
()
()
00
,
t
jjj mj
Gt t d F swds
τ
αβ τ=+ +
∫∫
và
[]
()
()
() ()
00
1,1
t
jj mj

L c t d sc sds j k
τ
λτμ= −− ≤≤
∫∫
.
Ta viết lại hệ (2.33) theo dạng phương trình điểm bất động
()
[]
()
,ct Hc t= (2.34)
trong đó

() () () ()
()
12
, , , ,
k
ct c t c t c t= (2.35)

[]
()
[]
()
[]
()
[]
()
()
12
, , ,

k
Hct Hct Hct Hct= . (2.36)
Xét
[
]
()
0, ,
k
XC T= R là không gian Banach với chuẩn được định nghĩa
như sau:

() () ()
11
0
1
sup ,
k
X
j
tT
j
cctctct
≤≤
=
==
∑
. (2.37)
Ta có
:HX X→ . Ta nghiệm lại rằng với số tự nhiên
0

n thích hợp thì ánh
xạ
0
:
n
HXX→ là ánh xạ co, tức là tồn tại
[
)
0, 1ρ ∈ sao cho

[]
[
]
00
,,
nn
X
X
Hc Hd cd cdXρ−≤−∀∈
. (2.38)
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng:


15
[]
()
[]
()
()
()

2
1
2!
n
nn
k
X
t
Hct Hdt c d
n
σ
−≤−

, (2.39)
ở đây
(
)
0
1
kk
Kσλ= −


. (2.40)
Ta có
[]
()
[
]
()

[]
()
[
]
()
jj jj
HctHdt LctLdt− = −

()
() () ()
00
1
t
jmjj
dscsdsds
τ
λτμ≤− −
∫∫


()
() ()
0
00
1
t
kjj
Kd csdsds
τ
λτ≤− −

∫∫

,
suy ra
[]
()
[]
()
()
() ()
0
1
1
00
1
t
k
Hc t Hd t K d cs ds ds
τ
λτ−≤− −
∫∫

, (2.41)
do đó
[]
()
[]
()
()
22

2
0
1
1.
22
kk
XX
tt
Hc t Hd t K c d c dλσ−≤−−= −


.
Điều này chứng tỏ (2.39) đúng với
1n = .
Ta giả sử (2.39) đúng với
n , tức là
[]
()
[]
()
()
()
2
1
2!
n
nn
k
X
t

Hct Hdt c d
n
σ
−≤−

.
Ta chứng minh (2.39) đúng với
1n + như sau:
Từ (2.41) ta có
[]
()
[]
()
[]
()
[]
()
112
1
1
00
t
nn nn
k
HctHdt dHcsHdsds
τ
στ
++
−≤ −
∫∫




()
()
2
2
00
2!
n
t
k
k
X
s
dcdds
n
τ
σ
στ≤−
∫∫


,
suy ra


16

[]

()
[]
()
()
()
22
11
1
22!
n
nn
k
X
t
HctHdt cd
n
σ
+
++
−≤−
+

,
hay (2.39) đúng với
1n + .
Vậy (2.39) đúng với mọi
n ∈ R .
Từ (2.39) ta có

[]

[]
()
()
2
2!
n
nn
k
X
X
T
Hc Hd cd
n
σ
−≤ −

,
Mà
()
()
2
lim 0
2!
n
k
n
T
n
σ
→+∞

=

, nên tồn tại
0
n sao cho
()
()
0
2
0
01
2!
n
k
T
n
σ
≤ <

. Chọn
()
()
0
2
0
2!
n
k
T
n

σ
ρ =

, khi đó ta có (2.38).
Vậy
0
:
n
HXX→ là ánh xạ co nên
H
có nghiệm duy nhất, suy ra hệ (2.27)
– (2.29) có nghiệm duy nhất
(
)
()
k
m
vt trên
[
]
0,T .
Bổ đề 2.4 được chứng minh. ■
Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm.
Đặt

()
()
()
()
()

()
()
()
2
0
,
t
kkk k
mmm m
St XtYt vsds=++
∫

(2.42)
với

()
()
()
() ()
()
()
()
()
()
2
,,
kk kk
mm mmm
Xt vt tavtvtμ=+


(2.43)

()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
2
,
kkk k
mmmmm
Yt avtvt t vtμ=+Δ

. (2.44)
Khi đó ta có bổ đề sau.
Bổ đề 2.5

()
()
()
()
()
()
()
()

()
()
()
()
()
()
()
2
0
00' ,
t
kkk kk k
mmm mmm m
St X Y savsvs vs dsμ=++ +Δ
∫


()
()
() ()
()
()
()
()
()
2
00 0
2, 2 ,
tt t
kkk

mm mm m
Fsv sds aFsv sds v s ds++ +
∫∫∫




17

(
)
(
)
(
)
(
)
1234
00
kk
mm
XY IIII=+++++
. (2.45)
Chứng minh bổ đề 2.5
Nhân (2.28) với
(
)
()
k
mj

ct

sau đó lấy tổng theo
j
ta được

(
)
()
(
)
() ()
(
)
()
(
)
()
()
()
(
)
()
,,,
kk kk k
mm m mm mm
vtvt tavtvt Ftvtμ+=
   
, (2.46)
và từ (2.43) ta có

()
()
()
()
()
() ()
()
()
()
()
()
1
,,
2
kkk kk
mmmmmm
d
Xt vtvt tavtvt
dt
μ=+
  


()
()
()
()
()
()
1

',
2
kk
mmm
tavtvtμ+


()
()
() ()
()
()
()
()
()
1
,',
2
kkk
mm m m m
Ftvt tavtvtμ=+

. (2.47)
Nhân (2.28) với
(
)
1
j
λ − và từ (2.14)
1

ta được
(
)
() ()
(
)
()
()
()
,,,
kk
mjmmjmj
vt w tavt w Ft wμ−Δ + −Δ = −Δ

,
1.
j
k≤≤ (2.48)
Ta có các kết quả sau:
()
()
()
()
()
()
()
1
0
,,
kkk

mjmjmj
vt w vtw vt w−Δ = −∇+ ∇∇
  


(
)
(
)
()
(
)
()
(
)
()
()
1, 1 , ,
kkk
mj m j mj
vtw vtwavtwη=+∇∇=
  
, (2.49)
()
()
()
()
()
()
()

()
()
1
0
,1,1
kkk
mj m jmj
av t w v t w dx v t wη−Δ = −∇ ∇Δ − Δ
∫


()
()
()
()
()
()
()
()
1
1
0
0
1, 1
kkk
mj mjm j
vtw vtwdx v twη= −∇ Δ + ΔΔ− Δ
∫

(
)
()
,
k
mj
vt w= ΔΔ, (2.50)

() ()
()
()
1
1
0
0
,
m j mj mj
Ft w Ft w Ft wdx−Δ = −∇+ ∇∇
∫


()
()
() ()
()
1
0
1, 1 ,
mj m j mj
Ftw FtwdxaFtwη=+∇∇=

∫
. (2.51)


18
Ta viết lại (2.48) như sau:
(
)
()
()
()
(
)
() ()
()
,,,,1
kk
mjm m j mj
av tw t v t w aFtw j kμ+ ΔΔ= ≤≤

. (2.52)
Trong (2.52), nhân với
(
)
()
k
mj
ct

sau đó tổng theo

j
ta được
(
)
()
(
)
()
()
()
(
)
()
(
)
() ()
(
)
()
()
,,,,
kk k k k
mm m m m mm
avtvt t vt vt aFtvtμ+ ΔΔ =
   


1
j
k≤≤. (2.53)

Từ (2.44) và (2.53) ta có
()
() ()
()
() ()
()
()
()
2
11
',,1
22
kkk
mmm mm
d
Yt t vt aFtvt jk
dt
μ= Δ + ≤≤

. (2.54)
Lấy tích phân (2.47) theo
t ta được
()
()
()
()
()
()
() ()
()

()
()
()
()
00
02 , ' , .
tt
kk k kk
mm mm mmm
X t X Fsv sds sav sv sdsμ− =+
∫∫


(2.55)
Lấy tích phân (2.54) theo
t ta được
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
2
00
02 , ' .

tt
kk k k
mm mm mm
YtY aFsvsds s vsdsμ− =+Δ
∫∫

(2.56)
Từ (2.42), (2.55), (2.56) ta được (2.45).
Vậy bổ đề 2.5 được chứng minh. ■
Ta đánh giá các tích phân trong (2.45).
* Tích phân thứ nhất

()
()
()
()
()
()
()
()
()
2
1
0
',
t
kk k
mmm m
Isavsvsvsdsμ=+Δ
∫

.
Ta có
()
'
m
tμ =


() ()
()
() () () ()
2
111
2' ,
mmm
vt t vt tvt tμ
−−−
= ∇ + ∇Φ ∇ + ∇Φ ∇ + ∇Φ




() ()
()
() () () ()
2
111
2'
mmm
vt t vt tvt tμ

−−−
≤∇ + ∇Φ ∇ + ∇Φ + ∇Φ




()
2
11
2KM M≤ +

. (2.57)


19
do đó

()
()
()
()
()
()
()
()
()
2
2
11 1
0

2,
t
kk k
mm m
IKMM avsvs vsds≤ ++Δ
∫



()
()
()
2
11
0
0
2
t
k
m
KM M
Ssds
μ
+
≤
∫

. (2.58)
* Tích phân thứ hai
Ta có

() ()
()
11
2
22
22
11 0 0
00
,, ,
mmm
Fs fxsv v s dx Kdx K
−−
= ∇≤=
∫∫

.
do đó

() () () () ()
2 0
000
2, 2 2
ttt
kkk
mm m m m
IFsvsdsFsvsdsKvsds= ≤≤
∫∫∫


()
()
()
2
22
00
00
tt
k
k
mm
TK v s ds TK X s ds≤ + ≤ +
∫∫

. (2.59)
* Tích phân thứ ba
Ta có

()
() ()
11
13 1
1
mm
m
vs vs
Fs Df Df K
xx
−−

⎛⎞
∂∂
⎟
⎜
∇≤+ ≤ +
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
∂∂

,
khi đó
()
() ()
1
11
22
2
00
,,
mm m
H
Fs Fxsdx Fxsdx=+∇
∫∫


()
()

()
1
2
2
22 2 2
1
01 0 1 1
121
m
m
H
vs
KK K K v s
x
−
−
∂
≤ ++ ≤ ++
∂


(
)
22 2
01
21KK M≤ ++
,
mặt khác
()
()

()
()
()
()
()
()
()
1
2
,
kkkk
mmmm
H
vs bvsvs Ss≤≤

,
do đó