luận văn nghiên cứu dao động ngẫu nhiên phi tuyến bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (694.05 KB, 67 trang )
đại học quốc gia hà nội viện khoa học và công nghệ việt nam
Trờng đại học công nghệ viện cơ học
NGUYễN NHƯ HIếU
NGHIÊN CứU DAO Động ngẫu nhiên phi tuyến
bằng phơng pháp
tuyến tính hóa tơng đơng
Luận văn thạc sĩ
Hà Nội - 2011
đại học quốc gia hà nội viện khoa học và công nghệ việt nam
Trờng đại học công nghệ viện cơ học
NGUYễN NHƯ HIếU
NGHIÊN CứU DAO Động ngẫu nhiên phi tuyến
bằng phơng pháp
tuyến tính hóa tơng đơng
Ngành: Cơ học
Chuyên ngành: Cơ học Vật thể rắn
Mẫ số: 60 44 21
Luận văn thạc sĩ
Ngời hớng dẫn khoa học: ts. Trần Dơng Trí
Hà Nội - 2011
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi và chưa
được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Các kết quả trong
luận văn là trung thực.
Người cam đoan
Nguyễn Như Hiếu
Lời cảm ơn
Tôi chân thành cám ơn các thầy, cô của trường Đại học Công nghệ,
Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt là các thầy, cô trong Khoa Cơ
học kỹ thuật và Tự động hóa đã giúp đỡ và chỉ bảo tận tình trong
suốt thời gian tôi học tập tại Khoa. Tôi rất cám ơn Phòng Cơ học
Công trình, Viện Cơ học đã tạo điều kiện cho tôi học tập và nghiên
cứu tại đây. Tôi gửi lời cám ơn chân thành tới TS. Trần Dương Trí,
người đã quan tâm chỉ bảo trong thời gian tôi thực hiện luận văn
này. Đặc biệt tôi gửi lời cám ơn chân thành tới GS. Nguyễn Đông
Anh và GS. Issac Elishakoff vì những kiến thức bổ ích trong nhiều
năm học của tôi.
1
Mục lục
MỞ ĐẦU 3
Chương 1. Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa tương đương 5
1.1. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự do 5
1.1.1. Phương trình vi phân chuyển động 5
1.1.2. Hệ tuyến tính hóa tương đương 6
1.1.3. Ma trận mật độ phổ 11
1.2. Phương pháp tuyến tính hóa tương cho hệ một bậc tự do 13
1.3. Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho các hệ Duffing và
Van der Pol 15
1.3.1. Hệ Duffing 15
1.3.2. Hệ Van der Pol 17
Chương 2. Một số mở rộng của phương pháp tuyến tính hóa tương đương 20
2.1. Phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh 20
2.2. Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh cho các hệ Atalik-Utku,
Lutes-Sarkani và Van der Pol 23
2.2.1. Hệ Atalik-Utku 23
2.2.2. Hệ Lutes-Sarkani 26
2.2.3. Hệ Van der Pol 30
2.3. Mở rộng của phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh: điều chỉnh hai
bước 31
2.3.1. Phương pháp điều chỉnh hai bước cho hệ Atalik-Utku 32
2.3.2. Phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh hai bước cho hệ Lutes-Sarkani 33
Chương 3. Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho bài toán dao
động của dầm 35
3.1. Phương trình dao động của dầm 35
3.2. Phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh cho bài toán dao động của dầm 39
KẾT LUẬN 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO 49
PHỤ LỤC 50
2
DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ HÌNH VẼ
CÁC BẢNG
Trang
Bảng 1.
Đáp ứng bình phương trung bình của hệ Duffing với các tham số
0.5,h
2
0
1, 2
17
Bảng 2.
Đáp ứng bình phương trung bình của hệ Van der Pol với các tham số
0.2,
0
1, 2
18
Bảng 3.
Phương sai của hệ Lutes-Sarkani với các giá trị khác nhau của
a
29
Bảng 4.
Đáp ứng bình phương trung bình của hệ Van der Pol với các phương
pháp khác nhau (
0
0.2, 1, 2
)
31
CÁC HÌNH
Hình 1.
Đáp ứng bình phương trung bình
2
1
E w
theo tham số
R
với
0
1,S
0, 0.1
45
Hình 2.
Đáp ứng bình phương trung bình
2
1
E w
theo tham số
R
với
0
1,S
1, 0.1
45
Hình 3.
Đáp ứng bình phương trung bình
2
1
E w
theo tham số
R
với
0
5,S
1, 0.1
46
Hình 4.
Đáp ứng bình phương trung bình
2
1
E w
theo tham số
với
0
5,S
0.1, 1R
46
3
MỞ ĐẦU
Dao động là một trong hiện tượng xảy ra phổ biến trong tự nhiên. Nó xuất hiện
trong các lĩnh vực như vật lý, hóa học, sinh học, kinh tế và kỹ thuật. Từ các lĩnh vực
này, có lớp các bài toán quan trọng là dao động ngẫu nhiên phi tuyến của các hệ động
lực. Ta thường bắt gặp những hệ ngẫu nhiên phi tuyến trong thực tế như dao động của
các kết cấu xây dựng, nhà cao tầng hay những cây cầu dây văng chịu tác động của tải
trọng gió hay kích động động đất, các công trình cảng sông, cảng biển hay những giàn
khoan chịu tác động của các tải trọng sóng hay cũng có thể là dao động của các máy
trong các nhà máy xí nghiệp trong quá trình hoạt động của chúng Ta có thể đặt vấn
đề làm thế nào để tăng cường tuổi thọ và duy trì độ bền của các hệ cơ học nói trên
Nhiều mô hình toán học được đưa ra để phục vụ thực tiễn đó. Các phương trình toán
học được mô tả và giải quyết dưới nhiều phương diện khác nhau. Với hệ động lực phi
tuyến, người ta bắt gặp các phương trình phi tuyến yếu và các phương trình phi tuyến
mạnh. Phương trình phi tuyến yếu được quan tâm nghiên cứu và phát triển với nhiều
phương pháp khác nhau trong những thập kỷ gần đây. Có thể kể đến một trong những
phương pháp phổ biến nhất là phương pháp tuyến tính hóa tương đương hay phương
pháp tuyến tính hóa thống kê. Đây là phương pháp được đưa ra đồng thời trong những
năm 50 của thế kỷ trước bởi các tác giả Booton [1], Kazakov [2], Caughey [3, 4]. Tuy
nhiên ý tưởng của phương pháp này đã được nhen nhóm từ trước đó. Ban đầu phương
pháp tuyến tính hóa được trình bày cho các hệ tiền định, cơ sở toán học của nó được
đề cập trong [5] bởi Krylov và Bogoluboff. Đến Caughey, ông áp dụng phương pháp
tuyến tính hóa cho các hệ phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên. Ông gọi phương pháp
này là “phương pháp tuyến tính hóa tương đương”. Còn tên gọi “phương pháp tuyến
tính hóa thống kê” được trình bày bởi Booton và Kazakov. Điều thú vị là phương pháp
không ngừng được cải tiến và được đóng góp bởi nhiều tác giả [6-23] sao cho nó giải
quyết phù hợp với từng loại bài toán khác nhau chẳng hạn các bài toán liên quan đến
các không gian trạng thái, miền các tần số, không gian các hàm đặc trưng [11].
Phương pháp dựa trên các tiêu chuẩn tuyến tính hóa để tìm ra các công thức dạng ẩn
hoặc dạng hiện cho hệ số tuyến tính hóa. Hệ số này phụ thuộc vào đặc trưng đáp ứng
chưa biết (như giá trị trung bình, các tương quan, các mô men bậc cao ). Tuy nhiên
khi áp dụng phương pháp vào các phương trình phi tuyến mạnh thì gặp phải các sai số
lớn hơn so với việc áp dụng nó vào các hệ phi tuyến yếu. Vì vậy nhu cầu cải tiến
phương pháp là cần thiết cho việc giải quyết các hệ phi tuyến mạnh. Điều này là một
trong những mấu chốt hình thành nhiều cải tiến mới đây [12-15]. Một trong những cải
tiến đó được trình bày trong [12], trong đó các tác giả Nguyễn Đông Anh và Di Paola
giải quyết bài toán cho các hệ phi tuyến bằng một phương pháp với tên gọi “phương
pháp tuyến tính hóa điều chỉnh”. Phương pháp này dựa trên ý tưởng rằng thành phần
phi tuyến ban đầu không được tuyến hóa trực tiếp như phương pháp tuyến tính hóa
4
kinh điển mà nó được thay thế bằng thành phần phi tuyến có bậc cao hơn, sau đó thành
phần phi tuyến này được thay thế bởi thành phần phi tuyến bậc thấp hơn cùng bậc với
thành phần phi tuyến ban đầu, rồi mới thay thế thành phần phi tuyến sau cùng bởi một
thành phần tuyến tính. Phương pháp này sau đó được mở rộng bởi các tác giả
Elishakoff, Andrimasy, Dolley [15]. Các tác giả đó đã thực hiện điều chỉnh số bước
thay thế so với cách làm như ban đầu [12]. Kết quả là đối với một số hệ phi tuyến, việc
thay đổi số bước thay thế như vậy dẫn đến sai số của các đáp ứng của hệ giảm đi đáng
kể. Cho đến nay phương pháp mới được áp dụng cho các hệ rời rạc, còn đối với các hệ
liên tục vẫn chưa có tính toán nào được thực hiện. Do đó đây là vấn đề được đặt ra
trong luận văn này. Trong luận văn này, tác giả trình bày phương pháp tuyến tính hóa
điểu chỉnh cho một số hệ rời rạc và một hệ liên tục điển hình là bài toán dao động của
dầm Euler-Bernoulli phi tuyến chịu kích động ngoài ngẫu nhiên.
Luận văn gồm 3 chương với nội dung như sau
Chương 1. Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa tương đương.
Chương này trình bày những nội dung cơ bản của phương pháp tuyến tính hóa tương
đương và áp dụng phương pháp vào hai hệ một bậc tự do điển hình là hệ Duffing và hệ
Van der Pol chịu kích động ngoài ngẫu nhiên ồn trắng.
Chương 2. Một số mở rộng của phương pháp tuyến tính hóa tương đương.
Phương pháp tuyến hóa với tên gọi “phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh” được
trình bày trong chương này. Sau đó là một số mở rộng của phương pháp và áp dụng
vào nghiên cứu một số hệ phi tuyến như Atalik-Utku, Lutes-Sarkani và Van der Pol.
Chương 3. Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho bài toán dao động
của dầm.
Chương này trình bày ứng dụng của phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh vào bài
toán dao động của dầm Euler-Bernoulli chịu kích động ngoài ngẫu nhiên.
Trong khuôn khổ luận văn, tác giả chỉ trình bày một số hệ phi tuyến điển hình với việc
sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương để nghiên cứu đáp ứng của các hệ
đó. Trong quá trình thực hiện luận văn này tác giả đã hết sức cố gắng nhưng chắc chắn
rằng không tránh khỏi những khiếm khuyết, tác giả mong nhận được ý kiến đóng góp
của quý thầy cô và các bạn.
Chương 1
Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa
tương đương
1.1. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự do
1.1.1. Phương trình vi phân chuyển động
Trong phần này ta xét hệ dao động nhiều bậc tự do có phương trình chuyển
động được cho dưới dạng sau đây
, , ,MX CX KX X X X U t
(1.1)
trong đó
, ,X X X
là các véc tơ vị trí, vận tốc và gia tốc của hệ,
1 2
T
n
X X X X
,
các ma trận vuông cấp
n
gồm
ij
n n
M m
,
ij
n n
C c
,
ij
n n
K k
lần lượt là ma trận
khối lượng, ma trận cản và ma trận độ cứng của hệ, hàm phi tuyến
1 2
, , , , , , , ,
T
n
X X X X X X X X X X X X
là một véc tơ
n
thành
phần, véc tơ
1 2
T
n
U U U U
là một quá trình ngẫu nhiên có
n
thành phần. Nếu
hệ (1.1) không chứa thành phần phi tuyến
thì nó có dạng một hệ phương trình vi
phân tuyến tính hệ số hằng số được biết trong lý thuyết dao động ngẫu nhiên tuyến
tính. Vì rất khó để tìm được nghiệm chính xác của hệ phi tuyến (1.1) nên người ta sẽ
tìm cách xây dựng nghiệm xấp xỉ bằng nhiều phương pháp gần đúng khác nhau [11].
Phương pháp tuyến tính hóa tương đương là một trong những phương pháp điển hình
để nghiên cứu các hệ ngẫu nhiên phi tuyến. Ý tưởng của phương pháp tuyến tính hóa
tương đương cho hệ nhiều bậc tự do nói chung và hệ một bậc tự do nói riêng là sự thay
thế thành phần phi tuyến của hệ bằng một thành phần tuyến tính tương ứng với việc sử
dụng một tiêu chuẩn tối ưu nào đó trong đó chú ý rằng kích động ngoài của hệ phi
tuyến vẫn giữ cho hệ tuyến tính. Hệ tuyến tính như thế người ta gọi là hệ tuyến tính
hóa tương đương. Hệ tuyến tính hóa này có một ưu điểm nổi bật là ta có thể tìm được
nghiệm của nó khi biết đầy đủ các thông số của hệ. Do đó khi sử dụng hệ tuyến tính
hóa tương đương, ta có thể nghiên cứu hệ phi tuyến bằng các lý thuyết đã biết của hệ
tuyến tính.
6
1.1.2. Hệ tuyến tính hóa tương đương
Hệ tuyến tính hóa tương đương của hệ (1.1) có dạng sau đây
.
,
e e e
M M X C C X K K X U t
(1.2)
trong đó
, ,
e e e
M C K
là các ma trận vuông cấp
n
được xác định bằng cách sử dụng một
tiêu chuẩn tối ưu nào đó. Có nhiều tiêu chuẩn khác nhau để tìm ra các ma trận này
(xem [9]). Song một tiêu chuẩn có lẽ được sử dụng nhiều và phổ biến hơn cả là tiêu
chuẩn sai số bình phương trung bình nhỏ nhất. Sai số giữa phương trình ban đầu (1.1)
và phương trình tuyến tính hóa (1.2) cho bởi
, ,
, , .
e e e
e e e
e MX CX KX X X X M M X C C X K K X
X X X M X C X K X
(1.3)
Các ma trận
, ,
e e e
M C K
được xác định sao cho nghiệm
X t
của hệ tuyến tính hóa
(1.2) là một xấp xỉ “tốt nhất” của nghiệm hệ phi tuyến (1.1). Vì nghiệm của hệ tuyến
tính hóa phụ thuộc vào
,
e e
M C
và
e
K
nên người ta phải thiết lập một hệ kín giữa ba
ma trận này và đáp ứng
X t
, từ đó mới xác định các đáp ứng khác của hệ.
Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình áp dụng cho (1.3) được biểu diễn dưới dạng:
, ,
min ,
e e e
ij ij ij
T
m c k
E e e
(1.4)
trong đó
, ,
e e e
ij ij ij
m c k
là các phần tử của các ma trận
, ,
e e e
M C K
tương ứng, ký hiệu
E
là toán tử kỳ vọng toán học. Điều kiện (1.4) dẫn tới các phương trình sau đây
0 , 1, ,
T
e
ij
E e e i j n
m
(1.5)
0 , 1, ,
T
e
ij
E e e i j n
c
(1.6)
0 , 1, .
T
e
ij
E e e i j n
k
(1.7)
Tiêu chuẩn (1.4) có thể được viết lại là
2 2 2
1 2
, ,
min ,
e e e
ij ij ij
n
m c k
E e e e
(1.8)
trong đó
1 2
, , ,
n
e e e
là các phần tử của véc tơ
1 2
T
n
e e e e
.
7
Sử dụng tính chất tuyến tính của toán tử kỳ vọng, điều kiện (1.8) dẫn tới
2
, ,
1
min
e e e
ij ij ij
n
i
m c k
i
D
(1.9)
với
i
D
được định nghĩa bởi
2 2
1, ,
i i
D E e i n
(1.10)
hay
2
2
1
- .
n
e e e
i i ij j ij j ij j
j
D E m X c X k X
(1.11)
Từ (1.11), ta có thể thấy rằng đại lượng
2
i
D
chỉ phụ thuộc vào
e e
ij ij
,m c
và
e
ij
k
(
1,j n
)
do đó điều kiện (1.9) được thay thế bởi điều kiện đơn giản hơn sau đây [9]
2
, ,
min .
e e e
ij ij ij
i
m c k
D
(1.12)
Tức là ta có các phương trình:
2
0 , 1, ,
i
e
ij
D i j n
m
(1.13)
2
0 , 1, ,
i
e
ij
D i j n
c
(1.14)
2
0 , 1, .
i
e
ij
D i j n
k
(1.15)
Ta biến đổi vế trái của phương trình (1.13)
2
1
1
1
-
2 -
2 2 .
n
e e e
i is s is s is s
e
s
ij
n
e e e
i is s is s is s j
s
n
e e e
j i is s j is s j is s j
s
E m X c X k X
m
E m X c X k X X
E X m E X X c E X X k E X X
(1.16)
Do đó phương trình (1.13) tương đương với phương trình sau
1
.
n
e e e
is s j is s j is s j j i
s
m E X X c E X X k E X X E X
(1.17)
8
Hoàn toàn tương tự, hai phương trình (1.14) và (1.15) tương đương với lần lượt hai
phương trình sau đây
1
,
n
e e e
is s j is s j is s j j i
s
m E X X c E X X k E X X E X
(1.18)
1
.
n
e e e
is s j is s j is s j j i
s
m E X X c E X X k E X X E X
(1.19)
Các phương trình (1.17), (1.18) và (1.19) có thể được viết dưới dạng ma trận tương
ứng
,
e T e T e T T
i i i i
M E XX C E XX K E XX E X
(1.20)
,
e T e T e T T
i i i i
M E XX C E XX K E XX E X
(1.21)
,
e T e T e T T
i i i i
M E XX C E XX K E XX E X
(1.22)
trong đó
, ,
e e e
i i i
M C K
là các véc tơ hàng thứ
i
của các ma trận
,
e e
M C
và
e
K
tương
ứng. Hệ (1.20), (1.21) và (1.22) có thể viết thành dạng ma trận
,
T T T
e e e T T T
i i i
T T T
T T T
i i i
E XX E XX E XX
K C M E XX E XX E XX
E XX E XX E XX
E X E X E X
(1.23)
trong đó chú ý rằng ma trận đầu tiên trong vế trái của (1.23) có cỡ là
1 3n
, ma trận thứ
hai có cỡ là
3 3n n
, vế phải có cỡ là
1 3n
. Lấy chuyển vị cả hai vế của (1.23) ta được
.
T
T T
T
T
T T T
T
eT
i
i
T T T T
T T T eT T
i i
eT
T T T T
T T T T
i
i
E XX E XX E XX
E X
K
E XX E XX E XX C E X
M
E XX E XX E XX E X
(1.24)
Biến đổi các ma trận chuyển vị ta được
9
.
T T T
eT
i
i
T T T eT
i i
eT
T T T
i
i
E XX E XX E XX
E X
K
E XX E XX E XX C E X
M
E XX E XX E XX E X
(1.25)
Ta đưa vào ký hiệu véc tơ
,
X
X X
X
(1.26)
trong đó chú ý rằng véc tơ
X
có dạng ma trận cỡ
3 1n
. Chuyển vị của véc tơ
X
.
T
T T T
X X X X
(1.27)
Dễ thấy rằng ma trận
T
E X X
chính là ma trận thứ nhất trong vế phải của hệ (1.25),
nên hệ (1.25) được viết lại là
eT
i
T
eT
i i
eT
i
K
E X X C E X
M
(
1,i n
). (1.28)
Trong hệ (1.28) với mỗi chỉ số
i
ta có
3n
phương trình với
3n
ẩn chưa biết
, ,
e e e
i i i
M C K
. Do đó hệ này tất cả có
2
3n
phương trình với
2
3n
ẩn chưa biết là các thành
phần của các ma trận
,
e e
M C
và
e
K
. Ma trận
T
E X X
là ma trận vuông cấp
3n
. Để
hệ (1.28) giải được với các ẩn
, ,
e e e
i i i
M C K
thì điều kiện cần và đủ là ma trận
T
E X X
không suy biến, nghĩa là
det 0.
T
E X X
(1.29)
Bây giờ ta chỉ ra rằng ma trận
T
E X X
suy biến khi và chỉ khi ít nhất một thành phần
của
X
có thể biểu diễn bằng một tổ hợp tuyến tính qua các thành phần còn lại. Để
chứng minh điều kiện đủ, ta chú rằng, sự phụ thuộc tuyến tính tương đương với sự tồn
tại
3n
số thực
, ,
k k k
a b c
(
1,k n
) không đồng thời bằng không sao cho
1
0.
n
k k k k k k
k
a X b X c X
(1.30)
10
Sử dụng ký hiệu véc tơ, phương trình (1.30) được viết lại là
0,
T
X v
(1.31)
trong đó
1 2 1 2 1 2
0.
T
n n n
v a a a b b b c c c
(1.32)
Nhân trái hai vế của (1.31) và áp dụng toán tử kỳ vọng vào hai vế, đồng thời chú ý tính
chất tuyến tính của toán tử này ta được
0.
T
E X X v
(1.33)
Vì véc tơ
v
khác không nên từ phương trình (1.33) ta suy ra ma trận
T
E X X
là một
ma trận suy biến.
Để chứng minh điều kiện cần, ta giả sử rằng ma trận
T
E X X
là một ma trận suy biến.
Khí đó tồn tại một véc tơ
v
khác không sao cho phương trình (1.33) thỏa mãn. Nhân
trái cả hai vế của phương trình (1.33) với
T
v
, ta được
0.
T
T
v E X X v
(1.34)
Sử dụng tính chất tuyến tính của toán tử kỳ vọng và chú ý đại lượng
T
X v
là một vô
hướng, ta biến đổi vế trái của (1.34)
2
.
T T T
T T
v E X X v E v X X v E X v
(1.35)
Từ (1.34) và (1.35) suy ra rằng
2
0.
T
E X v
(1.36)
Mà
0 0E
, nên phương trình (1.36) dẫn tới phương trình (1.31). Điều đó có nghĩa
các phần tử của véc tơ
X
là phụ thuộc tuyến tính. Ta có điều phải chứng minh.
Trong [9] đã chỉ ra rằng các phần tử của các ma trận
, ,
e e e
M C K
có thể được xác định
như sau
11
,
e
i
ij
j
m E
X
(1.37)
,
e
i
ij
j
c E
X
(1.38)
.
e
i
ij
j
k E
X
(1.39)
Các công thức (1.37), (1.38) và (1.39) được sử dụng đầu tiên cho các bài toán dao
động ngẫu nhiên dừng bởi Atalik và Utku năm 1976 (xem [7]), sau đó Spanos [19] chỉ
ra rằng nó vẫn có thể áp dụng được cho bài toán dao động ngẫu nhiên không dừng.
1.1.3. Ma trận mật độ phổ
Để đơn giản, ta xét hệ (1.1) mà thành phần phi tuyến
không chứa tọa độ
X
mà chỉ phụ thuộc vào tọa độ của vị trí và vận tốc, nghĩa là
, ,MX CX KX X X U t
(1.40)
trong đó
U t
là quá trình ngẫu nhiên trung bình không với ma trận mật độ phổ
U
S
1 1 1 2 1
1 2
n
n n n n
U U U U U U
U
U U U U U U
S S S
S
S S S
(1.41)
với
i j
U U
S
là phổ chéo của các thành phần
,
i j
U U
(
, 1,i j n
).
Từ hệ tuyến tính hóa tương đương (1.2), hàm truyền của hệ này là
1
2
.
e e
H K K i C C M
(1.42)
Ma trận
ij
n n
H H
là ma trận vuông cấp
n
với điều kiện không suy biến,
nghĩa là
2
det 0.
e e
K K i C C M
(1.43)
12
Các thành phần
ij
H
liên quan đến các xung đơn vị
ij
h t
bởi phép biến đổi Fourier
sau
,
1
.
2
i t
ij ij
i t
ij ij
H h t e dt
h t H e d
(1.44)
Nghiệm
i
X t
của (1.2) có thể biểu diễn qua xung đơn vị
ij
h t
và kích động ngoài
U t
của hệ bởi tích phân Duhamel như sau
1 1 1 2 2 1
, .
i ik k j jp p
X h t U d X h t U d
(1.45)
Từ đó ta tính được mô men bậc hai
1 2 1 2 1 2
.
i j ik jp k p
E X X h t h t E U U d d
(1.46)
Trong khi đó mô men
1 2k p
E U U
liên quan đến mật độ phổ
U
S
của kích
động ngoài
U t
như sau
2 1
1 2
.
k p
k p U U
E U U S e d
(1.47)
Thay (1.47) vào (1.46) và đổi thứ tự lấy tích phân ta được
2 1
1 2
1 2 1 2
1 1 2 1
.
k p
k p
k p
i j ik jp U U
i t i t
ik jp U U
ik jp U U
E X X h t h t S e d d d
h t e d h t e d S d
H H S d
(1.48)
Biểu thức (1.48) có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau
.
T T
U
E XX H S H d
(1.49)
13
Từ (1.49) ta có thể chỉ ra rằng ma trận phổ đầu ra
X
S
của đáp ứng
X t
của (1.2)
có dạng
.
T
X U
S H S H
(1.50)
Khi đó ta có thể viết mô men bậc hai (1.49) như sau
,
i j
i j X X
E X X S d
(1.51)
trong đó
i j
X X
S
là các thành phần của ma trận
X
S
được xác định từ (1.50).
Như vậy từ (1.28) và (1.51) ta đã thiết lập được một hệ phương trình gồm các ẩn là các
phần tử của các ma trận
,
e e
K C
. Nói chung, hệ phương trình này là một hệ phương
trình đại số phi tuyến. Để đơn giản trong việc tính toán ta xét trường hợp riêng là hệ
một bậc tự do chịu kích động ngoài ngẫu nhiên.
1.2. Phương pháp tuyến tính hóa tương cho hệ một bậc tự do
Hệ một bậc tự do được xem là trường hợp riêng của hệ nhiều bậc tự do. Tuy
nhiên trường hợp hệ một bậc tự lại rất quan trọng và rất được quan tâm nghiên cứu.
Trong phần này ta đề cập tới dao động của hệ một bậc tự chịu kích động ngẫu nhiên ồn
trắng có phương trình như sau
2
0
2 , ,x hx x g x x f t
(1.52)
trong đó hàm phi tuyến
,g x x
phụ thuộc vào hai đối số là tọa độ của vị trí
x
và vận
tốc
x
, hàm
f t
là một kích động ngoài ngẫu nhiên ồn trắng Gaussian có trung bình
không. Dựa vào (1.2), phương trình tuyến tính hóa tương đương của phương trình phi
tuyến (1.52) có dạng đơn giản hơn như sau
2
0
2 ,x h b x k x f t
(1.53)
trong đó hai hệ số
,b k
được tìm từ tiêu chuẩn tuyến tính hóa (1.12). Cụ thể trong
trường hợp này ta có tiêu chuẩn sau đây
14
2
1
,
, min.
b k
e E g x x bx kx
(1.54)
Tiêu chuẩn (1.54) được gọi là tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình đối với hệ một
bậc tự do. Nó dẫn đến hệ hai phương trình với hai ẩn
,b k
1
0,
e
b
(1.55)
1
0.
e
k
(1.56)
Giải hệ (1.55)-(1.56) với chú ý rằng
0E xx
ta được
2
,
E xg
b
E x
(1.57)
2
.
E xg
k
E x
(1.58)
Từ phương trình tuyến tính hóa, các quá trình
x
và
x
là các quá trình chuẩn. Do đó
các mô men bậc lẻ đều bằng không, các mô men
E xg
và
E xg
đều biểu diễn qua
được các mô men bậc hai của
x
và
x
. Hệ (1.57) và (1.58) lập thành một hệ hai
phương trình nhưng lại có bốn ẩn bao gồm
2 2
, , ,b k E x E x
. Để đóng kín hệ này ta
cần tới hai phương trình nữa. Dựa vào ma trận của phổ đầu ra được trình bày trong
mục 1.1.3, áp dụng (1.50) và (1.51) cho hệ một bậc tự do, ta có hai phương trình sau
đây để đóng kín hệ (1.57)-(1.58)
2
2
2
2 2 2
0
,
2
f
S d
E x
h b k
(1.59)
2
2
2
2
2 2 2
0
,
2
f
S d
E x
h b k
(1.60)
trong đó
f
S
là hàm mật độ phổ của kích động ngoài
f t
. Với kích động ồn trắng
ta có
0
const
f
S S
. Do đó, sử dụng định lý giá trị thặng dư trong lý thuyết hàm
biến phức ta có thể tính được hai tích phân suy rộng (1.59) và (1.60) dưới dạng kết quả
sau
2
0
2
0
2
,
2 2
S
E x
h b k
(1.61)
2
0
2
.
2 2
S
E x
h b
(1.62)
15
1.3. Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho các hệ Duffing và
Van der Pol
1.3.1. Hệ Duffing
Ta xét hệ Duffing một bậc tự do có phương trình chuyển động được mô tả bởi
2 3
0
2 ,x hx x x t
(1.63)
trong đó hàm phi tuyến là hàm bậc ba đối với tọa độ
x
với tham số phi tuyến
được
giả sử là dương. Kích động ngoài
t
là kích động ồn trắng cường độ đơn vị với hàm
tương quan
R t
cho bởi
,R E t t
(1.64)
với
là hàm Delta-Dirac. Áp dụng (1.57) và (1.58) với
3
g x
, các hệ số
,b k
của
phương trình tuyến tính hóa được xác định là
0,b
(1.65)
4
2
,
E x
k
E x
(1.66)
trong đó chú ý rằng
,x x
là các quá trình Gaussian độc lập, hay các quá trình chuẩn. Ta
có công thức sau đây rút ra từ quá trình chuẩn
x
2 2
2 1 !!
n
n
E x n E x
(
1,2,3 n
). (1.67)
Sử dụng (1.67), biểu thức của
k
trong (1.66) có dạng
2
3 .k E x
(1.68)
Từ biểu thức (1.68), phương trình tuyến tính hóa của (1.63) là
2 2
0
2 3 .x hx E x x t
(1.69)
16
Đáp ứng bình phương trung bình của
x
được tìm từ quan hệ (1.61) như sau (xem [9])
2
2
2 2
0
.
2.2 3
E x
h E x
(1.70)
Nếu nói đến mật độ phổ hằng số
0
S
của kích động đầu vào thì ta chú ý quan hệ giữa
2
và
0
S
cho bởi
2
0
2 .S
(1.71)
Giải phương trình (1.70) với ẩn
2
E x
ta thu được
2
2 2 4
0 0
1 3
.
6
E x
h
(1.72)
Nghiệm (1.72) là một nghiệm xấp xỉ của đáp ứng trung bình phương của hệ phi tuyến
gốc (1.63). Để đánh giá độ chính xác của nghiệm xấp xỉ này, ta sẽ so sánh giá trị của
nó khi biết các tham số đầu vào
0
, , ,h
với nghiệm chính xác của (1.63) (xem
[11]). Hàm mật độ chính xác của (1.63) là
2 2 4
0
2
4 1 1
exp ,
2 4
h
p x A x x
(1.73)
trong đó hằng số
A
được tìm từ điều kiện chuẩn hóa của hàm
p x
1 2 2 4
0
2
4 1 1
exp .
2 4
h
A x x dx
(1.74)
Đáp ứng bình phương trung bình chính xác là
2 2 2 4
0
2
2
cx
2 2 4
0
2
4 1 1
exp
2 4
.
4 1 1
exp
2 4
h
x x x
E x
h
x x dx
(1.75)
Kết quả tính toán số đáp ứng bình phương trung bình (1.72) và nghiệm chính xác (1.75)
theo sự thay đổi của tham số phi tuyến
được trình bày trong Bảng 1.
17
Bảng 1. Đáp ứng bình phương trung bình của hệ Duffing với các tham số
2
0
0.5, 1, 2h
2
cx
E x
2
kd
E x
Sai số
(%)
0.1
0.8176
0.5054
1.4876
0.5
0.5792
0.5486
5.2861
1.0
0.4679
0.4343
7.1938
5.0
0.2543
0.2270
10.7384
10
0.1889
0.1667
11.7721
50
0.0904
0.0784
13.2721
100
0.0650
0.0561
13.6491
Quan sát bảng ta nhận thấy rằng khi tham số
(
0.1
) nhỏ thì phương pháp tuyến
tính hóa tương đương (phương pháp kinh điển) cho kết quả của đáp ứng bình phương
trung bình
2
kd
E x
tính theo (1.72) có sai số so với nghiệm chính xác
2
cx
E x
tính
theo (1.75) là nhỏ (1.4876%). Khi tăng tham số
thì sai số
tăng dần, nhất là khi
100
thì kết quả của phương pháp tuyến tính hóa kinh điển cho sai số lên tới
13.6491% so với nghiệm chính xác.
1.3.2. Hệ Van der Pol
Xét phương trình vi phân có dạng sau đây
2 2
0
,x x x x t
(1.76)
trong đó
0
, , ,
là các hằng số dương cho trước, hàm
t
là quá trình ngẫu nhiên
ồn trắng trung bình không, cường độ đơn vị và có hàm tương quan dưới dạng (1.64).
Áp dụng (1.57)-(1.58) cho hàm
.
2
g x x
ta thu được các hệ số tuyến tính hóa của
phương trình tuyến tính hóa của phương trình phi tuyến (1.76) là
2
,b E x
(1.77)
0.k
(1.78)
18
Do đó phương trình tuyến tính hóa của (1.76) có dạng
2 2
0
.x E x x x t
(1.79)
Từ phương trình (1.79), đáp ứng bình phương trung bình
2
E x
được tìm từ quan hệ
sau (xem [9])
2
2
2 2
0
.
2
E x
E x
(1.80)
Giải phương trình (1.80) với ẩn
2
E x
ta được
2
2 2
2
0
1 2
.
2
E x
(1.81)
Đây là một nghiệm xấp xỉ của đáp ứng bình phương trung bình của hệ Van der Pol
một bậc tự do. Khi biết các tham số đầu vào, ta hoàn toàn tính được đáp ứng bình
phương trung bình này. Ta có thể quan sát sai số tương đối của nghiệm xấp xỉ này so
với nghiệm mô phỏng theo Monte-Carlo khi kích động ngoài là ngẫu nhiên ồn trắng.
Các nghiệm tính toán bằng số được trình bày trong Bảng 2 với sự thay đổi của
2
.
Bảng 2. Đáp ứng bình phương trung bình của hệ Van der Pol với các tham số
0
0.2, 1, 2
2
2
MC
E x
2
kd
E x
error (%)
0.02
0.2081
0.1366
34.3573
0.20
0.3638
0.2791
23.2741
1.00
0.7325
0.5525
24.5742
2.00
1.0255
0.7589
25.9998
4.00
1.4525
1.0512
27.6248
Quan sát Bảng 2 ta thấy rằng sai số của đáp ứng bình phương trung bình
2
kd
E x
của
phương pháp kinh điển tính theo công thức (1.81) so với đáp ứng bình phương trung
bình
2
MC
E x
thu được từ mô phỏng Monte-Carlo là khá lớn, từ 23.2741% đến
34.3573% khi
2
thay đổi từ 0.02 đến 4.00.
19
Tổng kết chương 1
Trên đây, phương pháp tuyến tính hóa tương đương được trình bày với nội
dung của tiêu chuẩn tuyến tính hóa kinh điển, giả thiết Gaussian ồn trắng. Với hai hệ
điển hình được minh họa, phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho kết quả
nghiệm giải tích gần đúng tính đáp ứng bình phương trung bình của hệ. Tuy nhiên
cũng dễ nhận thấy rằng khi hệ phi tuyến yếu thì nghiệm giải tích này cho một kết quả
có thể nói là tốt, nhưng khi tính phi tuyến của hệ tăng lên thì sai số tăng lên. Do đó đòi
hỏi chúng ta phải cải tiến phương pháp để đạt được sai số nhỏ hơn theo mong muốn.
Để làm điều đó, ta có thể sử dụng các tiêu chuẩn tuyến tính hóa khác nhau, như được
giới thiệu trong [11]. Trong nội dung của chương sau, tác giả trình bày một cách tiếp
cận khác đối với bài toán tuyến tính hóa tương đương nhằm tăng độ chính xác của đáp
ứng của hệ phi tuyến.
Chương 2
Một số mở rộng của phương pháp tuyến tính
hóa tương đương
Như đã nói ở chương 1, trong một số hệ phi tuyến, phương pháp tuyến tính hóa
tương đương Gaussian có thể cho ta sai số lớn khi tính phi tuyến của hệ tăng lên. Để
giảm sai số, trong chương này, tác giả trình bày một cách tiếp cận khác của bài toán
tuyến tính hóa tương đương với tên gọi “Phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh” [12].
Sau đó là một số mở rộng của phương pháp này.
2.1. Phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh
Xét phương trình phương trình vi phân chuyển động của hệ một bậc tự do chịu
kích động ngoài ngẫu nhiên Gaussian
f t
được cho dưới dạng sau đây
2
0
2 , ,z hz z g z z f t
(2.1)
trong đó các hằng số dương
0
,h
cho trước, hàm phi tuyến
,g z z
được giả thiết có
dạng đa thức của các đối số
z
và
z
2 2 1 2 2 1
0 0
, ,
n n
p q p q
pq pq
p q
g z z z z z z
(2.2)
(
,
pq pq
(
, 0,1,2, p q
) là các hằng số). Theo phương pháp tuyến tính hóa tương
đương kinh điển, thì các số hạng phi tuyến của hàm
,g z z
được thay thế bởi các số
hạng tuyến tính
2 2 1
,
p q
pq pq
z z z
(2.3)
2 2 1
,
p q
pq pq
z z z
(2.4)
trong đó
,
pq pq
được tìm từ tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình nhỏ nhất
2
2 2 1
min,
pq
p q
pq pq
E z z z
(2.5)
21
2
2 2 1
min.
pq
p q
pq pq
E z z z
(2.6)
Tuy nhiên như đã chỉ ra [12], trong một số hệ phi tuyến, phương pháp tuyến tính hóa
tương đương kinh điển cho kết quả tốt đối với các hệ phi tuyến bé, còn đối với các hệ
phi tuyến mạnh thì phương pháp này lại cho sai số lớn. Điều này đòi hỏi cần phải cải
tiến phương pháp theo một cách nào mà sai số của các hệ phi tuyến mạnh có thể giảm
đi. Theo tinh thần này, ta sẽ tuyến tính hóa các số hạng phi tuyến của
,g z z
bằng một
con đường khác với phương pháp tuyến tính hóa kinh điển. Trước tiên số hạng phi
tuyến được thay thế bằng một số hạng phi tuyến bậc cao hơn, số hạng phi tuyến bậc
cao này lại được thay thế bởi số hạng phi tuyến cùng bậc với số hạng phi tuyến ban
đầu, cuối cùng ta mới thay thế bởi một số hạng tuyến tính. Cụ thể ta có
2 2 1p q
pq
z z
được thay thế bởi
1 1
2 2 1 2 2 4 4 1p q p q p q
pq pq
z z z z z z
, sau đó số hạng này được thay thế
bởi
2
2 2 1p q
pq
z z
, cuối cùng là số hạng phi tuyến
2
2 2 1p q
pq
z z
được thay thế bởi
3
pq
z
:
1 2 3
2 2 1 4 4 1 2 2 1
.
p q p q p q
pq pq pq pq
z z z z z z z
(2.7)
Tương tự
1 2 3
2 2 1 4 4 1 2 2 1
,
p q p q p q
pq pq pq pq
z z z z z z z
(2.8)
trong đó các hệ số
, 1,2,3
k k
pq pq
k
được tìm từ tiêu chuẩn sai số bình phương trung
bình áp dụng cho mỗi bước thay thế. Tức là với mỗi bước thay thế, sai số bình phương
trung bình giữa các số hạng phi tuyến được cực tiểu hóa theo các tham số tương ứng.
Với sơ đồ (2.7) ta có các tiêu chuẩn sau đây để xác định các hệ số
k
pq
:
1
2
1
2 2 1 4 4 1
min,
pq
p q p q
pq pq
E z z z z
(2.9)
2
2
1 2
4 4 1 2 2 1
min,
pq
p q p q
pq pq
E z z z z
(2.10)
3
2
2 3
2 2 1
min.
pq
p q
pq pq
E z z z
(2.11)
Các tiêu chuẩn (2.9), (2.10), (2.11) dẫn đến đạo hàm riêng theo
1
pq
,
2
pq
,
3
pq
của các
biểu thức ở vế phải tương ứng bằng không
2
1
2 2 1 4 4 1
1
0,
p q p q
pq pq
pq
E z z z z
(2.12)
