PHƯƠNG PHÁP SỐ HÓA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI CÁC XẤP XỈ TAYLOR

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN



HOÀNG THN MINH THẢO





PHƯƠNG PHÁP SỐ
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN
VỚI CÁC XẤP XỈ TAYLOR






Chuyên ngành : Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số : 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC





NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS TÔ ANH DŨNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010
1

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành với lòng tri ân sâu sắc mà tôi kính gửi đến quí
thầy cô, đồng nghiệp, bạn đồng khóa và gia đình thân thương của tôi.
Trước tiên, tôi hết lòng tri ân thầy hướng dẫn TS.Tô Anh Dũng, những kiến
thức chuyên môn và kinh nghiệm quí báu mà thầy đã tận tình truyền đạt cho tôi
trong suốt quá trình học tập cũng như thực hiện luận văn.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học,
Khoa Toán – Tin học cùng các cán bộ công nhân viên khác thuộc Trường Đại học
Khoa học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ, tạo
điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian theo học tại trường. Đặc biệt, tôi vô cùng
cảm ơn PGS.TS.Nguyễn Bác Văn, TS.Dương Tôn Đảm đã tận tâm trong giảng dạy,
kiến thức mà tôi tiếp thu được từ các thầy là nền tảng quan trọng giúp tôi hoàn
thành luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ ở đây lòng biết ơn đối với Ban Giám hiệu Trường Đại học
Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM, các đồng nghiệp công tác tại Khoa Khoa học Cơ bản,
các anh Dương Ngọc Hảo, Phạm Duy Khánh và các bạn lớp Cao học Xác suất
Thống kê K17, sự giúp đỡ, động viên quí báu cùng những điều kiện thuận lợi mà
Ban Giám hiệu và các anh chị dành cho tôi đã giúp tôi hoàn thành luận văn.
Cuối cùng, tôi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc và lòng kính yêu vô hạn đến

song thân của tôi, những người luôn luôn kiên nhẫn, không bao giờ nề hà gian lao,
khó nhọc để sinh thành, nuôi dưỡng, dạy bảo tôi một cách tốt nhất.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2010
Tác giả luận văn
Hoàng Thị Minh Thảo


2

Lời nói đầu

Phương trình vi phân ngẫu nhiên có nguồn gốc phát sinh từ mô hình toán của
các hệ thống vật lý có nhiễu bản chất và tính không ổn định. Tiếp đó, các mô hình
toán có liên quan đến phương trình vi phân ngẫu nhiên tương tự như thế trở nên phổ
dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học ứng dụng như sinh học, dịch tễ học, cơ học,
kinh tế học và tài chính, v.v… Tuy nhiên, hầu hết các phương trình vi phân ngẫu
nhiên phát sinh từ thực tế nghiên cứu của các ngành khoa học ứng dụng lại không
thể được giải một cách chính xác. Do đó, xây dựng phương pháp để xấp xỉ nghiệm
của phương trình vi phân ngẫu nhiên một cách hiệu quả với sự trợ giúp của máy
điện toán trở thành vấn đề rất quan trọng. Đến nay, một phần trọng yếu của vấn đề
vừa nêu đã được giải quyết và kết quả chính là các sơ đồ số cho phép xấp xỉ nghiệm
của phương trình vi phân ngẫu nhiên.
Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi giới thiệu một số sơ đồ số được xây
dựng trên cơ sở khai triển Ito-Taylor (còn gọi là khai triển Taylor ngẫu nhiên) của
quá trình ngẫu nhiên Ito, các sơ đồ số này cho phép tìm xấp xỉ Taylor của quá trình
ngẫu nhiên Ito thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito. Luận văn gồm có 4
chương:
Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ bản trong lý thuyết xác suất sẽ được
đề cập đến nhiều lần trong nội dung các chương tiếp theo của luận

văn.

Chương 2 trình bày một số kiến thức quan trọng làm cơ sở cho việc nghiên
cứu phương pháp số giải phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito) bao
gồm quá trình Wiener, tích phân Wiener, tích phân Ito, quá trình Ito,
phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito) và nghiệm của nó.

Chương 3 trình bày các khái niệm liên quan đến khai triển Ito-Taylor cho hàm
đủ trơn của quá trình Ito như tích phân Ito lặp, công thức khai triển
3

Ito-Taylor. Khai triển Ito-Taylor được ví như chiếc chìa khóa mở
cánh cửa dẫn tới các sơ đồ số xấp xỉ nghiệm của phương trình vi
phân ngẫu nhiên.

Chương 4 trình bày các sơ đồ số cho phép tìm xấp xỉ rời rạc thời gian của quá
trình ngẫu nhiên Ito thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito).
Các sơ đồ số này được xây dựng trên cơ sở giản lược khai triển Ito-
Taylor của quá trình ngẫu nhiên Ito, chỉ giữ lại một số lượng thích
hợp những số hạng đầu trong khai triển. Các xấp xỉ cho bởi các sơ
đồ số này được gọi là xấp xỉ Taylor và được chia thành hai loại là
xấp xỉ Taylor mạnh và xấp xỉ Taylor yếu.

4

Mục lục Trang
Lời cảm ơn

Lời nói đầu

Mục lục

Bảng kí hiệu

Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

§1.1. Không gian xác suất

Định nghĩa 1.1.1 σ-đại số

Định nghĩa 1.1.2 Độ đo xác suất

Định nghĩa 1.1.3 Không gian xác suất

§1.2. Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.2.1 Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.2.2 Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.2.3 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.2.4 Kỳ vọng có điều kiện

Định nghĩa 1.2.5 Kỳ vọng có điều kiện

§1.3. Sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.3.1 Hội tụ hầu chắc chắn

Định nghĩa 1.3.2 Hội tụ bình phương trung bình

Định nghĩa 1.3.3 Hội tụ theo xác suất

Định nghĩa 1.3.4 Hội tụ căn bản

Định nghĩa 1.3.5 Hội tụ yếu

Định lý giới hạn trung tâm

§1.4. Vector ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.4.1 Vector ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.4.2 Hàm phân phối của vector ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.4.3 Hàm đặc trưng của vector ngẫu nhiên

1
2
4
9

10
10
10
10
10
11
11
11
11
11
11
12
12
12
12
12
13
13
13
13

13
13
5

Định nghĩa 1.4.4 Các biến ngẫu nhiên độc lập

Chương 2. MỘT SỐ KHÁI NIỆM
TRONG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN

§2.1. Quá trình ngẫu nhiên

Định nghĩa 2.1.1 Quá trình ngẫu nhiên

Định nghĩa 2.1.2 Quá trình Gauss

Định nghĩa 2.1.3 Quá trình số gia độc lập

Định nghĩa 2.1.4 Quá trình Wiener

Định nghĩa 2.1.5 Quá trình Wiener

Định nghĩa 2.1.6 Quá trình Wiener tiêu chuNn

Định nghĩa 2.1.7 Bộ lọc và martingale

Định nghĩa 2.1.8 Thời điểm dừng

Ví dụ 2.1.1

Ví dụ 2.1.2

Ví dụ 2.1.3

Ví dụ 2.1.4

§2.2. Tích phân Wiener

Định nghĩa 2.2.1 Hàm đơn giản trên
[0, ]
T


Định nghĩa 2.2.2 Tích phân Wiener của hàm đơn giản

Định nghĩa 2.2.3 Tích phân Wiener

Ví dụ 2.2.1

Ví dụ 2.2.2

§2.3. Tích phân Ito

2.3.1 Tích phân Ito của hàm ngẫu nhiên thuộc lớp
T
N

Ví dụ 2.3.1

2.3.2 Các tính chất cơ bản của tích phân Ito
của hàm ngẫu nhiên thuộc lớp

T
N


2.3.3 Tích phân Ito nhiều chiều

13

14
14
14
14
14
14
15
15
15
16
16
17
17
17
18
18
18
19
20
20
21
21

23

24
25
6

§2.4. Quá trình Ito

2.4.1 Quá trình Ito 1-chiều

Định nghĩa 2.4.1

Định lý 2.4.1 Công thức Ito 1-chiều

Ví dụ 2.4.1.1

Ví dụ 2.4.1.2

Ví dụ 2.4.1.3

2.4.2 Quá trình Ito nhiều chiều

Định nghĩa 2.4.2

Định lý 2.4.2 Công thức Ito nhiều chiều

Ví dụ 2.4.2

§2.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito)

Định nghĩa 2.5.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1-chiều

Định nghĩa 2.5.2 Nghiệm mạnh

Định nghĩa 2.5.3 Nghiệm yếu

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Định nghĩa 2.5.4 Phương trình vi phân
ngẫu nhiên nhiều chiều

Ví dụ 2.5.1

Ví dụ 2.5.2

Chương 3. KHAI TRIỂN ITO-TAYLOR

§3.1. Giới thiệu

3.1.1 Khai triển Taylor tất định

3.1.2 Xây dựng khai triển Ito-Taylor cho
quá trình Ito 1-chiều

§3.2. Tích phân Ito lặp

3.2.1 Đa-chỉ số

Ví dụ 3.2.1

3.2.2 Tích phân Ito lặp

26
26
26
26
26
28
28
29
29
30
30
32
32
32
32
33

33
34
34
36
36
36

37
40
40
40

41
7

Ví dụ 3.2.2.1

Ví dụ 3.2.2.2

3.2.3 Quan hệ giữa các tích phân Ito lặp

Ví dụ 3.2.3.1

Ví dụ 3.2.3.2

§3.3. Khai triển Ito-Taylor

3.3.1 Hàm hệ số Ito

Ví dụ 3.3.1.1

Ví dụ 3.3.1.2

3.3.2 Tập có thứ bậc và tập phần dư

Ví dụ 3.3.2.1

Ví dụ 3.3.2.2

3.3.3 Khai triển Ito-Taylor

Ví dụ 3.3.3.1

Ví dụ 3.3.3.2

Ví dụ 3.3.3.3

Chương 4. PHƯƠNG PHÁP SỐ CHO
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN

§4.1. Một số khái niệm

4.1.1 Phép rời rạc hóa thời gian

4.1.2 Hội tụ mạnh

4.1.3 Hội tụ yếu

4.1.4 Tổng quan về các sơ đồ số
được trình bày trong chương 4

§4.2. Các sơ đồ số cho xấp xỉ Taylor mạnh

4.2.1 Sơ đồ Euler-Maruyama

Ví dụ 4.2.1.1

Ví dụ 4.2.1.2

4.2.2 Sơ đồ Milstein

42

42
42
45
45
47
47
47
48
49
49
49
49
51
52
53

54
54
54
54
55

55
57
57
58
59
59
8

Ví dụ 4.2.2.1

Ví dụ 4.2.2.2

4.2.3 Sơ dồ Taylor mạnh bậc 1.5

Ví dụ 4.2.3.1

Ví dụ 4.2.3.2

§4.3 Các sơ đồ số cho xấp xỉ Taylor yếu

4.3.1 Sơ đồ Euler yếu

Ví dụ 4.3.1

4.3.2 Sơ đồ Taylor yếu bậc 2.0

Ví dụ 4.3.2

4.3.3 Sơ đồ Taylor yếu bậc 3.0

Ví dụ 4.3.3

§4.4. Sai số tuyệt đối và sai số trung bình

4.4.1 Sai số tuyệt đối

4.4.2 Sai số trung bình

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Phụ lục. MATLAB CODE

61
62
62
66
67
69
69
70
70
73
74
75
77
77
78
81
82
83

9

Bảng kí hiệu

∅

d
R

1
≡
R R

A B
⊆

\
A B

a A
∈

i
i
A
U

i
i
A
I

i
i
a
∑

i
i
a
∏

!
( )
b
a
f x dx
∫

(
)
2
[0, ]
L T

(

)
2
L
Ω

A
I

h.c.c
. .
l i m

tập hợp rỗng
không gian Euclide d-chiều
không gian Euclide 1-chiều, tập số thực
tập A chứa trong tập B
phần bù của tập B trong tập A
a là phần tử của tập A
phần hội các tập
i
A

phần giao các tập
i
A

tổng các số hạng
i
a

tích các thừa số
i
a

phép toán giai thừa
tích phân Riemann
không gian các hàm số bình phương khả tích trên
[ , ]
a b

không gian các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích
hàm chỉ tiêu của tập A
hầu chắc chắn
giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình






10

CHƯƠNG 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT


§1.1. KHÔNG GIAN XÁC SUẤT

Cho tập hợp
Ω ≠ ∅
, đặt

(
)
Ω
P
là tập hợp tất cả các tập con của Ω.
Định nghĩa 1.1.1 Lớp
(
)
⊂ Ω
A P
được gọi là một
σ
-đại số nếu:
i)
Ω∈
A
(1.1.1)
ii)
(
)
\
A A
c
A A A
∈ ⇒ = Ω ∈
(1.1.2)

iii)
( )
1

1,2,
n n
n
A n A
∞
=
∈ = ⇒ ∈
U
A A
(1.1.3)
Định nghĩa 1.1.2 Cho A là một
σ
-đại số các tập con của Ω, hàm tập P xác định
trên A được gọi là độ đo xác suất
σ
-cộng tính trên A nếu:
i)
(
)
P 0,A A
≥ ∀ ∈
A
(1.1.4)
ii)
(
)
P 1
Ω =
(1.1.5)
iii)

( )
1
1,2, , , ,
n i j n
n
A n A A i j A
∞
=
∈ = ∩ = ∅ ≠ ∈
U
A A

( )
1
1
P P
n n
n
n
A A
∞
∞
=
=
 
 
 
⇒ =
∑U
(1.1.6)

Định nghĩa 1.1.3 (Hệ tiên đề Kolmogorov) Ta gọi bộ ba (Ω,A,P) là không gian
xác suất, với
a) Ω là tập hợp bất kỳ (khác ∅), được gọi là không gian các biến cố sơ cấp;
b) A là
σ
-đại số các tập con của Ω;
c) P là độ đo xác suất
σ
-cộng tính trên A (gọi tắt là xác suất trên A).


11

( )
:

X
X
ω ω
Ω →
a
R
§1.2. BIẾN NGẪU NHIÊN

Định nghĩa 1.2.1 Biến ngẫu nhiên X xác định trên không gian xác suất (Ω,A,P) là
ánh xạ sao cho:

(
)
(

)
{
}
1
X B X B
ω ω
−
= ∈Ω ∈ ∈
A
,
B
∀ ∈
B
(B là
σ
-đại số Borel trên R) (1.2.1)
Định nghĩa 1.2.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X xác định trên
không gian xác suất (Ω,A,P) là hàm số
( ) ( )
{
}
(
)
P ,
X
F x X x x
ω ω
= ∈Ω < ∈
R
(1.2.2)

Định nghĩa 1.2.3 Cho X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất
(Ω,A,P) thì
a) Kỳ vọng của X là
(
)
P
EX X d
ω
Ω
=
∫
(1.2.3)
b) Moment gốc bậc n của X là
n
EX

c) Phương sai của X là
( ) ( )
2 2
2
VarX E X EX EX EX
= − = − (1.2.4)
Định nghĩa 1.2.4 Cho X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất
(Ω,A,P) và A ∈ A sao cho
P( ) 0
A
>
thì kỳ vọng của X với điều kiện A là
( )
( )

1
/ P
P
A
E X A Xd
A
=
∫
(1.2.5)
Định nghĩa 1.2.5 Cho không gian xác suất (Ω,A,P) và F là một
σ
-đại số con của A.
a) Kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên
0
X
≥
đối với F là biến ngẫu nhiên
suy rộng không âm
(
)
[
]
: 0,
E X
Ω → ∞
F
sao cho:
i)
(
)

E X
F
là F-đo được;
ii)
(
)
, P P
A A
A Xd E X d
=∀ ∈
∫ ∫
F F
(1.2.6)
12

b) Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ sao cho hầu chắc chắn ta có
min ,E X E X
 
+ −   
< ∞
   
 
   
 
F F , khi đó kỳ vọng có điều kiện của X đối với F
được xác định bởi
(
)
(
)

(
)
E X E X E X
+ −
= −
F F F
(1.2.7)


§1.3. SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN

Sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
Cho biến ngẫu nhiên X và dãy các biến ngẫu nhiên
(
)
n
X
cùng xác định trên
không gian xác suất cố định (Ω,A,P).
Định nghĩa 1.3.1 (Hội tụ hầu chắc chắn) Dãy biến ngẫu nhiên
(
)
n
X
được gọi là
hội tụ h.c.c đến biến ngẫu nhiên X khi
( ) ( )
{
}
(

)
P :lim 0 1
n
n
X X
ω ω ω
→∞
∈Ω − = =
(1.3.1)
Định nghĩa 1.3.2 (Hội tụ bình phương trung bình) Dãy biến ngẫu nhiên
(
)
n
X

được gọi là hội tụ bình phương trung bình đến biến ngẫu nhiên X khi
(
)
2
lim 0
n
n
E X X
→∞
− =
(1.3.2)
Định nghĩa 1.3.3 (Hội tụ theo xác suất) Dãy biến ngẫu nhiên
(
)
n

X
được gọi là hội
tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X khi
{
}
(
)
n
limP : ( ) ( ) 0, 0
n
X X
ω ω ω ε ε
→∞
∈Ω − ≥ = ∀ >
(1.3.3)
Sự hội tụ theo phân phối
Định nghĩa 1.3.4 Dãy hàm phân phối
(
)
n
X
F
xác định trên R được gọi là hội tụ căn
bản đến hàm phân phối
X
F
khi
(
)
(

)
(
)
,
n
X X X
F x F x x C F
→ ∀ ∈
(1.3.4)
(trong đó
(
)
X
C F
là tập hợp các điểm liên tục của hàm
X
F
)
13

Định nghĩa 1.3.5 Dãy hàm phân phối
(
)
n
X
F
được gọi là hội tụ yếu đến hàm phân
phối
X
F

(trong
d
R
) khi
(
)
(
)
(
)
,( ) ( )
n
d d
d
X X b
f x dF x f x dF x f C→ ∀ ∈
∫ ∫
R R
R
(1.3.5)
(
(
)
d
b
C
R
là tập hợp các hàm số liên tục bị chặn trong
d
R

)
Định lý giới hạn trung tâm
Giả sử
(
)
n
X
là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối và có phương
sai hữu hạn. Đặt
2
1 1
,
m EX VarX
σ
= = , khi đó với mọi ,a b
∈
R
ta có :
(
)
2
1
2
1
1 1
limP
2
b
n
x

n
k
a
a X m b e dx
k
n
σ π
−
→∞
=
 
 
 
≤ − ≤ =
∑
∫
(1.3.6)


§1.4. VECTOR NGẪU NHIÊN

Định nghĩa 1.4.1
(
)
1
, ,
d
X X X
=
là một vector ngẫu nhiên d chiều khi mỗi thành

phần
( 1, , )
k
X k d
=
là một biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω,A,P).
Định nghĩa 1.4.2 Hàm phân phối của vector ngẫu nhiên X (hay hàm phân phối
đồng thời của các biến ngẫu nhiên
1
, ,
d
X X
) được cho bởi
( )
{
}
(
)
( )
1 1 1
P ( ) , , ( ) , , ,
d
X d d d
F x X x X x x x x
ω ω ω
= ∈Ω < < = ∈
R
(1.4.1)
Định nghĩa 1.4.3 Hàm đặc trưng của vector ngẫu nhiên X được cho bởi
(

)
(
)
, , ,
:
d
i t X i t X i t x
X X
t Ee e dP e dF x
ϕ
Ω
= = =
∫ ∫
R
(1.4.2)
trong đó,
( ) ( )
1 1
1
, , , , , , ,
d
d d
d d k k
k
t t t x x x t x t x
=
= ∈ = ∈ =
∑
R R

Định nghĩa 1.4.4 Các biến ngẫu nhiên
1
, ,
d
X X
độc lập
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
1
1
1
1
x x
x x
d
d
X X X d
X X X d
F x F x F x
t t t
ϕ ϕ ϕ
⇔ =
⇔ =
(1.4.3)
14

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN


§2.1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

Định nghĩa 2.1.1 Xét tập hợp vô hạn
T
⊂
R
, một quá trình ngẫu nhiên là một họ
các biến ngẫu nhiên
{
}
t
t T
X
∈
xác định trên không gian xác suất (Ω,A,P).
Chú ý : Có thể xem một quá trình ngẫu nhiên như một hàm hai biến
: x
X T
Ω →
R

mà với mỗi t cố định thuộc T ta có một biến ngẫu nhiên
(
)
,
X t

ω
, và với mỗi
ω
cố
định thuộc Ω ta có một hàm
(
)
,
X t
ω
mà đồ thị của nó theo t được gọi là một quỹ
đạo (hay một đường mẫu) của
t
X
.
Định nghĩa 2.1.2 Quá trình ngẫu nhiên
{
}
t
t T
X
∈
được gọi là quá trình Gauss khi
phân phối của vector ngẫu nhiên
(
)
1
, ,
n
t t

X X
là Gauss với mọi tập con hữu hạn
{
}
1
, ,
n
I t t T
= ⊂
.
Đặc biệt, nếu
(
)
t
m t EX const
= =
và
(
)
(
)
(
)
, cov ,
t s
R t s X X R t s
= = −
với mọi
,
t s T

∈
thì
{
}
t
t T
X
∈
được gọi là quá trình Gauss dừng.
Định nghĩa 2.1.3 Quá trình ngẫu nhiên
{
}
(
)
t
t T
X T
∈
⊂
R
là quá trình số gia độc lập
khi các số gia của nó trên các khoảng thời gian rời nhau là các biến ngẫu nhiên độc
lập, tức là với mỗi phân hoạch hữu hạn
(
)
0 1
, 0,1, ,
n k
t t t t T k n
< < < ∈ =

các số
gia
0 1 0 1
, , ,
n n
t t t t t
X X X X X
−
− −
là các biến ngẫu nhiên độc lập.
Định nghĩa 2.1.4 Quá trình ngẫu nhiên
{
}
[0, )
t
t
W
∈ ∞
được gọi là quá trình Wiener
khi :
i)
(
)
0
0 . . ;
W h c c
=
(2.1.1)
ii)
{

}
[0, )
t
t
W
∈ ∞
là quá trình số gia độc lập;
15

iii) Biến ngẫu nhiên , 0
t s
W W s t
− ≤ ≤
có phân phối chun với kỳ vọng 0 và
phương sai
(
)
t s
−
;
iv) Hầu hết các quỹ đạo của
{
}
[0, )
t
t
W
∈ ∞
là hàm liên tục.
Định nghĩa 2.1.5 (tương đương với định nghĩa 2.1.4) Quá trình ngẫu nhiên

{
}
[0, )
t
t
W
∈ ∞
được gọi là quá trình Wiener với tham số phương sai
2
σ
khi
{
}
[0, )
t
t
W
∈ ∞
là
quá trình Gauss thỏa mãn
(
)
(
)
(
)
(
)
2
0 và , min , , , 0

t t s
E W R t s E WW t s t s
σ
= = = ∀ ≥
.
Định nghĩa 2.1.6 Quá trình Wiener tiêu chun là quá trình Wiener với tham số
phương sai
2
1
σ
=
.
Đặc điểm quỹ đạo của quá trình Wiener : Xét
t
W
là một quỹ đạo (tương ứng với
một
ω
cố định thuộc Ω) của quá trình Wiener, ta có :
i)
t
W
liên tục h.c.c;
ii)
t
W
không đơn điệu trên bất kỳ đoạn
[ , ] [0, )
a b
⊂ ∞

nào;
iii)
t
W
không khả vi tại bất kỳ điểm nào.
Chú ý : Quá trình Wiener có đạo hàm suy rộng là nhiễu trắng - thường được ký
hiệu bởi
t
W
•
- là quá trình Gauss dừng có hàm tương quan
(
)
(
)
,
R t s t s
δ
= −
, trong
đó
δ
là hàm Dirac (tức là
δ
thỏa mãn
0 , t 0
( ) và ( ) 1
+ , 0
t t dt
t

δ δ
+∞
−∞



∀ ≠
= =
∞ =
∫
).
Định nghĩa 2.1.7 Xét không gian xác suất (Ω,A,P) và tập hợp
T
⊂
R

a) Họ các
σ
-đại số
( )
t
t T
⊂ ∈
A A
được gọi là bộ lọc nếu nó thỏa mãn các
điều kiện sau:
• , ; ,
s t
s t s t T
⊆ ∀ ≤ ∈

A A
(họ không giảm) (2.1.2)
•
t u
u t>
=
I
A A
(họ liên tục phải) (2.1.3)
• Nếu
A
∈
A
và
P( ) 0
A
=
thì
0
A
∈
A
(2.1.4)
b) Quá trình ngẫu nhiên
{
}
t
t T
X
∈

được gọi là tương thích với họ
{
}
t
t T
∈
A
nếu
• Họ
{
}
t
t T
∈
A
không giảm.
16

•
t
X
là
t
A
-đo được,
t T
∀ ∈
.
c) Cho quá trình ngẫu nhiên
{

}
t
t T
X
∈
tương thích với bộ lọc
{
}
t
t T
∈
A
và thỏa
mãn các điều kiện sau:
• ,
t
E X t T
< ∞ ∀ ∈
(2.1.5)
•
(
)
P-h.c.c, ; ,
t s
s
E X X s t s t T
= ∀ ≤ ∈
A
(2.1.6)
Khi đó,

{
}
, ,
t t
X t T
∈
A
là martingale.
Định nghĩa 2.1.8 Cho (Ω,A,P) là không gian xác suất đầy đủ (tức là, A chứa tất cả
các tập có xác suất 0) và
{
}
t
t T
∈
A
là họ các
σ
-đại số con của A sao cho mỗi
t
A
chứa
tất cả các tập có xác suất 0. Ta gọi biến ngẫu nhiên
: [0, )
τ
Ω → ∞
là thời điểm
dừng khi và chỉ khi
{
}

: ( ) ,
t
t t T
ω τ ω
≤ ∈ ∀ ∈
A
(2.1.7)

Ví dụ 2.1.1
Chúng ta xét một ví dụ đơn giản về việc mô phỏng quỹ đạo của quá trình
Wiener
t
W
với
[
]
0,
t T
∈
.
Phân hoạch
[
]
0,
T
thành N đoạn con bằng nhau:
0 1 1
0
N N
t t t t T

−
= < < < < =
L ,
mỗi đoạn con như vậy đều có độ dài
T
dt
N
=
.
Đặt
(
)
(
)
j
W t W j
= với mỗi
(
)
0,1, ,
j
t jdt j N
= =
.
Dựa vào đặc điểm của quá trình Wiener ta chọn
(
)
0 0
W
=

và
(
)
(
)
(
)
1 , 1, ,
W j W j dW j j N
= − + =

trong đó mỗi
(
)
dW j
là một biến ngẫu nhiên độc lập có dạng
(
)
0;1
dt N .
Giả sử
1 và 500
T N
= =
ta có một quỹ đạo mô phỏng của quá trình Wiener
t
W

như Hình 2.1:
17

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.5
0
0.5
1
t
W(t)


Ví dụ 2.1.2
Trên không gian xác suất (Ω,A,P) cho quá trình ngẫu nhiên
{
}
,
t
X X t T
= ∈
.
Với mỗi
t T
∈
và B là σ-đại số Borel của R ta có σ-đại số
1
( ) ( )
t t
X X
σ
−
=

B
.
Ký hiệu
{
}
(
)
,
t
X t T
σ
∈
là σ-đại số con bé nhất của A chứa tất cả các σ-đại số
(
)
,
t
X t T
σ
∈
và gọi
{
}
(
)
,
t
X t T
σ
∈

là σ-đại số sinh bởi X.
Đặt
{
}
(
)
(
)
, ,
X
t s
X s t s t T
σ σ
≤
= ≤ ∈
ta có
{
}
,
X
t
t T
σ
≤
∈
là họ σ-đại số con không
giảm của A và quá trình ngẫu nhiên X tương thích với họ này.
Ví dụ 2.1.3
Cho
{

}
,
t
X t T
∈
là quá trình số gia độc lập tương thích với bộ lọc
{
}
,
t
t T
∈
A

sao cho
(
)
, và 0 , ; ,
t t s
E X t T E X X s t s t T
< ∞ ∀ ∈ − = ∀ < ∈
. Khi đó ta có
s
X

độc lập với các số gia
( )
t s
X X s t
− <

nên
t s
X X
−
độc lập với
s
A
, hơn nữa,
s
X

là
s
A
-đo được. Vì vậy
( | ) ( | ) ( | )
( )
t s t s s s s
t s s
s
E X E X X E X
E X X X
X
= − +
= − +
=
A A A

Suy ra
{ , , }

t t
X t T
∈
A
là martingale.
Ví dụ 2.1.4 Cho quá trình Wiener
{
}
,
t
W t T
∈
tương thích với bộ lọc
{
}
,
t
t T
∈
A
, khi
đó
{
}
, ,
t t
W t T
∈
A
là martingale.

Hình 2.1
18

§2.2. TÍCH PHÂN WIENER

Cho không gian xác suất (Ω,A,P), số T không âm và quá trình Wiener
[
]
{
}
, 0,
t
W t T
∈ .
(
)
2
L
Ω
là không gian các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích
( ) ( )
2
2
: ( ) PL X X d
ω ω
Ω
 
 
Ω = Ω → < ∞
 

 
 
∫
R
(2.2.1)
[
]
(
)
2
0,
L T
là không gian các hàm số bình phương khả tích
[ ]
( )
[ ]
2
2
0
0, : 0, ( )
T
L T f T f t dt
 
 
= → < ∞
 
 
 
∫
R

(2.2.2)
Định nghĩa 2.2.1 Hàm số
[
]
: 0,f T
→
R
được gọi là hàm đơn giản trên
[
]
0,
T
khi
nó có dạng

{ }
1
0
0
k
n
k A
k
f c c
−
=
= +
∑
I I
(2.2.3)

trong đó
0 1
0
n
t t t T
= < < < =
là phân hoạch của
[
]
0,
T
;
,
k
c c

(
)
0, , 1
k n
= −
là các số thực ;
(
]
1
, , 0, , 1;
k k k
A t t k n
+
= = −

( )
1 khi
0 khi
A
t A
t
t A



∈
=
∉
I là hàm chỉ tiêu của tập
A

Ký hiệu S là không gian các hàm đơn giản trên
[
]
0,
T
thì S là không gian tuyến tính
đồng thời là tập trù mật trong không gian Hilbert
[
]
(
)
2
0,

L T
.
Định nghĩa 2.2.2 Với
f S
∈
và có dạng (2.2.3) thì tích phân Wiener của f trên
[
]
0,
T
được định nghĩa bởi:

( ) ( )
( )
1
1
0
0
:
k k
T
n
t k t t
k
I f f t dW c W W
+
−
=
= = −
∑

∫
(2.2.4)
19

Hơn nữa, với
0
s t T
≤ ≤ ≤
ta có
( ) ( ) ( )
0 0
t t s
u u u
s
f u dW f u dW f u dW
= −
∫ ∫ ∫
(2.2.5)
Tích phân (2.2.4) có các tính chất cơ bản sau: ([5])
(i)
(
)
I f
là biến ngẫu nhiên có phân phối chuNn với kỳ vọng bằng 0 và
phương sai bằng
2
0
( )
T
f t dt

∫

(ii)
(
)
2
:I S L
→ Ω
là ánh xạ tuyến tính, tức là
( )
0 0 0
, , , ,
T T T
t t t
af bg dW a fdW b gdW f g S a b
+ = + ∀ ∈ ∀ ∈
∫ ∫ ∫
R
(2.2.6)
(iii)
(
)
2
:I S L
→ Ω
bảo toàn tích vô hướng của hai không gian Hilbert
[
]
(
)

(
)
2 2
0, và L T L
Ω
, tức là ,
f g S
∀ ∈
ta có :
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( )
2
2
0,
0 0 0
, : : ,
T T T
t t
L T
L
I f I g E f t dW g t dW f t g t dt f g
Ω
 
= = =
 
 
∫ ∫ ∫

(2.2.7)
Bây giờ xét hàm tất định bất kỳ
[
]
(
)
2
0,
f L T
∈ .
Vì S là tập trù mật trong không gian Hilbert
[
]
(
)
2
0,
L T
nên tồn tại dãy
n
f S
∈
sao
cho
[ ]
( )
2
0,
0
n

L T
f f
− →
(2.2.8)
Chú ý rằng
{
}
n
f
là dãy Cauchy trong
[
]
(
)
2
0,
L T
, từ các tính chất (ii) và (iii) nêu
trên ta suy ra
(
)
(
)
( )
2
0 khi ,
n m
L
I f I f n m
Ω

− → → ∞
.
Vậy
(
)
{
}
n
I f
là dãy Cauchy trong
(
)
2
L
Ω
(là không gian đủ) nên tồn tại giới hạn
theo nghĩa bình phương trung bình
( )
0
. .
T
n t
n
l i m f t dW
→∞
∫
.
Định nghĩa 2.2.3 Tích phân Wiener của hàm tất định f đang xét là biến ngẫu nhiên
( ) ( ) ( )
0 0

: . .
T T
t n t
n
I f f t dW l i m f t dW
→∞
= =
∫ ∫
(2.2.9)
20

Với
0
s t T
≤ ≤ ≤
ta có
0 0
( ) ( ) ( )
t t s
u u u
s
f u dW f u dW f u dW
= −
∫ ∫ ∫
(2.2.10)
Ví dụ 2.2.1
Cho
0,
T
>

quá trình Wiener
[
]
{
}
, 0,
t
W t T
∈ và hàm hằng
1
f
≡
, ta có
( )
0 0
T T
t t T
f t dW dW W
= =
∫ ∫

Ví dụ 2.2.2
Cho
0,
T
>
quá trình Wiener
[
]
{

}
, 0,
t
W t T
∈ và hàm số
[
]
: 0,f T
→
R
khả vi
liên tục thuộc
[
]
(
)
2
0,
L T
, ta có
( ) ( ) ( )
0 0
T T
t T t
f T dW f T W f t W dt
′
= −
∫ ∫

Thật vậy, tương ứng với phân hoạch gồm n đoạn bằng nhau

0 1 1
0
n n n n
n n
t t t t T
−
= < < < < =
L

đặt
(
)
(
)
)
1
khi , , 0, , 1
n n n
n j j j
f t f t t t t j n
+


= ∈ = −

thì
(
)
{
}

n
f t
là dãy hàm đơn giản và
( ) ( )
( )
(
)
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1
1
0 0
1
1
1
0 1
0
0
. .
. .
. . 0
n n
j j
n
j
T T
t n t
n

n
n
n j
t t
n
j
n
n n
n T n n j n j
t
n
j
T
T t
f t dW l i m f t dW
l i m f t W W
l i m f T W f W W f t f t
f T W f t W dt
+
+
→∞
−
→∞
=
−
+
→∞
=
=
= −

 
= − − −
 
 
′
= −
∫ ∫
∑
∑
∫





21

§2.3. TÍCH PHÂN ITO

Cho không gian xác suất (Ω,A,P) và số
T
không âm.
Giả sử đã cho họ không giảm các σ-đại số
[
]
(
)
0,
t
t T

⊂ ∈A A
và quá trình Wiener
{
}
[ ]
0,
t
t T
W
∈
tương thích với họ
{
}
t
A
sao cho số gia
(
)
u t
W W u t
− >
sau thời điểm t
độc lập với σ-đại số
t
A
.
Ký hiệu
T
N
là lớp các hàm ngẫu nhiên

[
]
: 0, x f T Ω →
R
thỏa mãn:
•
(
)
,
f t
ω
là hàm đo được (theo hai biến);
•
t
f
là tương thích đối với
t
A
(nghĩa là,
t
f
là
t
A
-đo được);
•
( )
2
0
,

T
E f t dt
ω
< ∞
∫

2.3.1 Tích phân Ito của hàm ngẫu nhiên thuộc lớp
T
N

Hàm
T
ϕ
∈
N
là hàm sơ cấp khi nó có dạng:
( )
{ }
( )
1
0
0
,
k
n
k A
k
t
ϕ ω λ λ ω
−

=
= +
∑
I I
(2.3.1)
trong đó,
0 1
0
n
t t t T
= < < < =
là phân hoạch của
[
]
0,
T
,
λ
là biến ngẫu nhiên
0
A
-đo được,
( )
k
λ ω
là các biến ngẫu nhiên
k
t
A
-đo được

(
)
0, , 1
k n
= −
,
(
]
1
, , 0, , 1,
k k k
A t t k n
+
= = −
và
A
I
là hàm chỉ tiêu của tập A.
Định nghĩa 2.3.1 Với
T
ϕ
∈
N
là hàm sơ cấp có dạng (2.3.1), tích phân Ito của
ϕ

được định nghĩa bởi:

( ) ( ) ( )
( )

1
1
0
0
, :
k k
T
n
t k t t
k
I t dW W W
ϕ ϕ ω λ ω
+
−
=
= = −
∑
∫
(2.3.2)


22

Đẳng cự Ito đối với hàm sơ cấp :
(
)
0
EI
ϕ
=

(2.3.3)
( ) ( )
2
2
0
,
T
EI E t dt
ϕ ϕ ω
 
=
 
 
∫
(2.3.4)
Chứng minh. Vì
(
)
k
λ ω
là
k
t
A
-đo được và
(
)
1k k
t t
W W

+
−
độc lập với
k
t
A
nên
(
)
(
)
( )
( )
1 1
1
0
0
2.3.3
k k k k k
k k
k t t t k t t
k t t
E W W E W W
E W W
λ λ
λ
+ +
+
 
− = − =

 
⇒ − =
⇒
A

Lý luận tương tự, ta có :
( )
( )
( )
( )
1 1
2
1
0 khi
khi
2.3.4
i i j j
i j t t t t
j j j
i j
E W W W W
E t t i j
λ λ
λ
+ +
−
≠


− − =


− =


⇒


Từ các xấp xỉ: ([5])
a) Với
T
g
∈
N
bị chặn và
(
)
,
g
ω
⋅
liên tục với mỗi
ω
thì tồn tại dãy hàm
sơ cấp
n T
ϕ
∈
N
sao cho
( )

2
0
lim 0
T
n
n
E g dt
ϕ
→∞
 
− =
 
 
∫
(2.3.5)
b) Với
T
h
∈
N
bị chặn thì tồn tại dãy hàm
n T
g
∈
N
bị chặn và
(
)
,
n

g
ω
⋅

liên tục với mỗi
ω
sao cho
( )
2
0
lim 0
T
n
n
E g h dt
→∞
 
− =
 
 
∫
(2.3.6)
c) Với
T
f
∈
N
tồn tại dãy hàm
n T
h

∈
N
bị chặn sao cho
( )
2
0
lim 0
T
n
n
E h f dt
→∞
 
− =
 
 
∫
(2.3.7)
ta kết luận rằng với
T
f
∈
N
tồn tại dãy hàm sơ cấp
n T
ϕ
∈
N
bị chặn sao cho
( )

2
0
lim 0
T
n
n
E f dt
ϕ
→∞
 
− =
 
 
∫
. Do đó
( )
n
I
ϕ
là dãy Cauchy trong
2
( )
L
Ω
.
23

Định nghĩa 2.3.2 Tích phân Ito của
T
f

∈
N
được định nghĩa bởi:
( ) ( ) ( )
0 0
, : . . ,
T T
t n t
n
I f f t dW l i m t dW
ω ϕ ω
→∞
= =
∫ ∫
(2.3.8)
(ký hiệu l.i.m chỉ giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình)
Đẳng cự Ito :
( )
2
2
0 0
, ( , )
T T
t
E f t dW E f t dt
ω ω
   
=
   
   

∫ ∫
(2.3.9)

Hơn nữa, với
0
s t T
≤ ≤ ≤
ta định nghĩa :
( ) ( ) ( )
0 0
, , ,
t t s
u u u
s
f u dW f u dW f u dW
ω ω ω
= −
∫ ∫ ∫
(2.3.10)
Ví dụ 2.3.1
Cho
{
}
, 0
t
W t
≥
là quá trình Wiener tiêu chuNn với
0
0

W
=
và
0
T
>
, ta có
( )
2
0
1
2
T
t t T
W dW W T
= −
∫

Thật vậy, với phân hoạch gồm n đoạn bằng nhau
0 1 1
0
n n
t t t t T
−
= < < < < =
L

đặt
( ) ( )
)

( )
1
1
,
0
,
j
j j
n
n t
t t
j
f t W t
ω ω
+
−


=
=
∑
I

ta nhận được
( )
( )
( )
( )
( )
1

1
1
1
2
2
0
0
1
2
0
1
0
2
1
2
1
0
1
2 2
j
j
j
j
j
j
j
j
t
T
n

n t t t
j
t
t
n
t t
j
t
t
n
j
j
t
n
j j
j
E f W dt E W W dt
E W W dt
t t dt
T
t t
n
+
+
+
−
=
−
=
−

=
−
+
=
 
 
 
− = −
 
 
 
 
 
= −
 
 
= −
= − =
∑
∫ ∫
∑
∫
∑
∫
∑

24

Khi làm mịn phân hoạch thì
2

2
T
n
dần đến 0, vì vậy
( )
1
1
0
0 0
. . . .
j j j
T T
n
t t n t t t t
n n
j
W dW l i m f dW l i m W W W
+
−
→∞ →∞
=
= = −
∑
∫ ∫

Chú ý rằng
0
0
W
=

nên
( )
1
1
0
0
j j
n
T T t t
j
W W W W W
+
−
=
= − = −
∑
và
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1 1
1 1
1 1
2
2
0 0
1 1
2
0 0
2

2
j j j j i i
j j j j j
n n
T t t t t t t
j j i j
n n
t t t t t
j j
W W W W W W W
W W W W W
+ + +
+ +
− −
= = <
− −
= =
= − + − −
= − + −
∑ ∑∑
∑ ∑

Ta có
2
T
W
không phụ thuộc vào phân hoạch và
( )
1
1

2
0
. . 0
j j
n
t t
n
j
l i m W W T T
+
−
→∞
=
− = − =
∑
.
Do đó
( )
1
1
2
0
0
2 . .
2
j j j
n
T t t t
n
j

T
t t
W T l i m W W W
T W dW
+
−
→∞
=
= + −
= +
∑
∫

Suy ra
( )
2
0
1
2
T
t t T
W dW W T
= −
∫


2.3.2 Các tính chất cơ bản của tích phân Ito của hàm ngẫu nhiên thuộc lớp
T
N

([5])
i)
(
)
2
:
T
I L
→ Ω
N
là ánh xạ tuyến tính
ii)
( ) ( )
[
)
2
2
, , , 0,
T T
t
s s
E f t dW E f t dt s T
ω ω
   
= ∀ ∈
   
   
∫ ∫
(2.3.11)
iii)

( ) ( )
0
, . .
s
s u
E I f f u dW h c c
ω
 
=
 
∫
A
(2.3.12)
Đặc biệt,
(
)
0,
T
EI f f= ∀ ∈
N
(2.3.13)