Tiêu chuẩn ổn định nghiệm của hệ vi phân điều khiển mờ

Lời cảm ơn
Lời đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến PGS.TS
Nguyễn Đình Phư. Thầy đã tận tâm chỉ dẫn, cung cấp các tài liệu khoa học, truyền đạt
kiến thức và những kinh nghiệm hết sức quý báu để tôi hoàn thành một cách có hệ thống
luận văn này.
Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường, Khoa Toán-Tin học, Phòng Sau Đại Học trường
Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để
tôi hoàn thành tốt chương trình học tập.
Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô đã trực tiếp giảng dạy tôi trong suốt thời
gian học tập tại trường.
Tôi cũng xin được gởi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, các đồng nghiệp công tác tại
cơ sở II Trường THPT Hòa Bình đã động viên và giúp đỡ trong suốt quá trình học tập.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Gia đình và những lời cảm ơn chân thành
đến những bạn bè xung quanh đã giúp đỡ tôi rất nhiều để luận văn này được hoàn thành.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2009
Lâm Quốc Dũng
1
MỤC LỤC
Lời cảm ơn 1
Mục lục 3
Danh mục kí hiệu 4
Lời nói đầu 5
1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 8
1.1 Tậplồi 8
1.2 ĐạohàmDini 11
1.3 Tập lồi compact trong không gian R
n
11
1.4 Metric Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 HỆ VI PHÂN MỜ 17

2.1 Không gian metric mờ (E
n
,d) 17
2.1.1 Mờ hóa không gian thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Tập mờ và Không gian metric mờ (E
n
,d) 18
2.2 Ánhxạmờ 21
2.2.1 Đònhnghóa 21
2.2.2 Đạo hàm Hukuhara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3 Tích phân Hukuhara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Hệviphânmờø 23
2.3.1 Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.2 Các đònh lý so sánh nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2
3 BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH 30
3.1 Các khái niệm ổn đònh hệ vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Ổn đònh hệ vi phân mờø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Ổn đònh hệ vi phân điều khiển mờ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Bài toán điều khiển được đối với hệ vi phân điều khiển mờ . . . . . . . . 49
KẾT LUẬN 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO 55
3
Danh mục kí kiệu
R
n
: không gian vecter n chiều.
convS : bao lồi của tập hợp S.
aff(M):bao affine của tập hợp M.
K

c
(R
n
):tất cả các tập lồi khác rỗng trong không gianR
n
.
K(R
n
):tất cả các tập compact khác rỗng trong không gianR
n
.
C(R
n
):tất cả các tập đóng khác rỗng trong không gianR
n
.
d(x, A):khoảng cách từ x đến tập hợp A.
d
H
(B,A):Hausdorff tách hai tập hợp B và A.
D (A, B):khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp A và B.
[u]
α
: tập mức α của tập mờ u.
E
n
: không gian tất cả các tập mờ của R
n
.
d(u

1
,u
2
):khoảng cách giữa hai tập mờ u
1
và u
2
.
D
H
f(τ ):đạo hàm Hukuhara tại τ.
D
+
f(t):đạo hàm trên theo nghóa Dini tại t.
D
−
f(t):đạo hàm dưới theo nghóa Dini tại t.
FDE : hệ vi phân mờ.
FCDE : hệ vi phân điều khiển mờ.
SLFCDE : hệ vi phân điều khiển mờ tuyến tính dừng.
SLFCDEP : hệ vi phân điều khiển mờ có nhiễu.
USLFCDE : hệ vi phân điều khiển mờ không dừng.
U SLF C DEP : hệ vi phân điều khiển mờ không dừng có nhiễu.
4
Lời nói đầu
Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lónh vực toán học ứng dụng quan
trọng. Nhiều vấn đề trong đời sống thực tế được mô tả bằng các phương trình toán học
điều khiển thuần tuý. Hệ điều khiển cho bởi phương trình vi phân bắt đầu được chú ý từ
những năm 1950. Bài toán điều khiển tối ưu được Pontryagin và cộng sự nghiên cứu vào
năm 1956, Bellman nghiên cứu vào năm 1957. Tính điều khiển được của hệ tuyến tính

được nghiên cứu bởi R. Kalman vào năm 1960. Trong khi tính ổn đònh đã được nghiên
cứu từ cuối thế kỉ 19 với những công trình xuất sắc của nhà toán học người Nga A. M.
Lyapunov. Cho đến nay, tính ổn đònh được xây dựng thành lý thuyết độc lập và có nhiều
ứng dụng hữu hiệu trong kinh tế, khoa học và kỹ thuật (xem [1], [7]). Cùng với sự ra
đời của lý thuyết hệ thống vào thập niên 60 của thế kỉ XX, tính ổn đònh ngày càng được
quan tâm nghiên cứu ứng dụng vào các mô hình điều khiển kỹ thuật. Từ đó xuất hiện
các bài toán nghiên cứu tính ổn đònh hóa các hệ điều khiển. Bài toán điều khiển và điều
khiển tối ưu đã có nhiều ứng dụng hữu hiệu trong nhiều lónh vực: kinh tế, kỹ thuật và môi
trường (xem [6]).
Tuy nhiên, nhiều vấn đề trong thực tế không phải lúc nào cũng rõ ràng tuyệt đối để
biểu diễn bằng các mô hình toán học như mong muốn. Do đó đòi hỏi phải có những khái
niệm mới thực tế và phù hợp hơn. Để chỉ những khái niệm mơ hồ, không rõ ràng đó,
Zadeh đã xây dựng nên lý thuyết tập mờ vào năm 1965 (xem [28]). Nhiều kết quả về
điều khiển mờ dựa trên logic mờ đã ứng dụng thành công vào thực tế mang lại hiệu quả
cao thông qua các mô hình toán học của Mamdani, Takagi-Sugeno. . . Tiếp theo đó nhiều
lónh vực toán học mờ lần lượt được quan tâm nghiên cứu như là: quy hoạch mờ, tôpô mờ,
hệ vi phân mờ, phương trình vi phân ngẫu nhiên mờ. Trong đó, hệ vi phân mờ (FDE -
fuzzy differential equations) cho bởi
D
H
u(t)=f(t, u(t)),u(t
0
)=u
0
∈ E
n
với D
H
là đạo hàm Hukuhara, E
n

là không gian các tập mờ của R
n
và f ∈ C[R
+
×E
n
,E
n
].
Hệ này được Giáo sư V. Lakshmikantham và các tác giả khác nghiên cứu đạt nhiều
5
kết quả quan trọng (xem [2],[12]-[14] và [27]).
Gần đây, hệ vi phân điều khiển tập và hệ vi phân điều khiển mờ (FCDE - fuzzy control
differential equations) đang được quan tâm nghiên cứu dựa trên cơ sở hệ vi phân mờ với
các kết quả được biết đến trong [15]-[21]. Theo hướng nghiên cứu này, hệ điều khiển
được mô tả bởi hệ phương trình vi phân mờ dạng
D
H
u(t)=f(t, u(t),v(t)),u(t
0
)=u
0
trong đó f ∈ C[R
+
× E
n
× E
n
,E
n

] là hàm liên tục theo thời gian mô tả quá trình chuyển
động của trạng thái. u(.) ∈ E
n
là biến trạng thái mờ mô tả đối tượng đầu ra, u
0
là trạng
thái ban đầu. v(.) ∈ E
p
là biến điều khiển mờ chấp nhận được mô tả đối tượng đầu vào
của hệ thống. E
n
,E
p
là không gian gồm tất cả các tập mờ tương ứng trong R
n
, R
p
và D
H
là đạo hàm Hukuhara.
Trong mỗi hệ điều khiển, dữ liệu đầu vào phải có tác động làm ảnh hưởng đến sự vận
hành đầu ra của hệ thống, tức là biến trạng thái phải phụ thuộc vào biến điều khiển của
hệ thống. Tuy nhiên trong các kết quả đó, biến điều khiển chưa chỉ ra được tính phụ thuộc
vào biến trạng thái của hệ điều khiển (tức là chưa chỉ ra hàm điều khiển ngược - feedback
control) nên biến điều khiển mang tính chất như là một tham số. Việc nghiên cứu để tìm
hàm điều khiển ngược thực sự hấp dẫn đã thu hút sự quan tâm của tác giả. Tác giả cùng
Giáo sư hướng dẫn đã xây dựng được một số mô hình hàm điều khiển ngược áp dụng để
xét tính điều khiển được đối với hệ vi phân điều khiển mờ (xem [23, 24]). Trong khuôn
khổ luận văn này, tác giả trình bày một trường hợp đặc biệt khi biến điều khiển và biến
trạng thái của hệ điều khiển cùng thuộc không gian E

n
sẽ có hàm điều khiển ngược dạng
v(t)=λ(t)u(t), trong đó λ : R
+
→ R \{0} khả vi. Với kết quả tìm được trong trường hợp
này dẫn đến sự thay đổi giả thiết các đònh lý trong bài toán FDE. Trên cơ sở đó, tác giả
khảo sát tính ổn đònh hệ vi phân điều khiển mờ theo phương pháp hàm Lyapunov.
Luận văn gồm ba phần.
Phần mở đầu: Nêu xuất xứ vấn đề và đặt bài toán nghiên cứu.
Phần nội dung:
Chương 1: Trình bày một số khái niệm và kết quả trong giải tích lồi. Đặc biệt là metric
Hausdorff dùng để xây dựng không gian metric mờ (E
n
,d) là cơ sở cho các chương sau.
Chương 2: Giới thiệu hệ vi phân mờ xét trong không gian mờ (E
n
,d) với đạo hàm và
6
tích phân Hukuhara; các kết quả về sự tồn tại và so sánh nghiệm của hệ vi phân mờ.
Chương 3: Giới thiệu hệ vi phân điều khiển mờ xét trong không gian mờ (E
n
,d). Khảo
sát tính ổn đònh các hệ vi phân mờ và hệ vi phân điều khiển mờ. Đồng thời khảo sát tính
điều khiển được đối với hệ vi phân điều khiển mờ.
Phần kết luận: Đưa ra các nhận xét và vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu.
Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong muốn nhận được sự góp ý
quý giá của Quý Thầy, Cô và các bạn để nội dung luận văn được hoàn thiện.
7
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Chương này chủ yếu trình bày cơ sở lý thuyết trong giải tích lồi và metric Hausdorff
của tập lồi compact trong R
n
để sử dụng cho các kết quả nghiên cứu ở những chương sau.
Nhiều mệnh đề phát biểu không có chứng minh. Các vấn đề này đã được trình bày trong
các tài liệu [3], [13].
1.1 Tập lồi
Trong không gian tuyến tính hữu hạn chiều R
n
Đònh nghóa 1.1.1. Cho a, b ∈ R
n
, đường thẳng qua a và b là tập hợp
A = {x ∈ X : x =(1− λ)a + λb, λ ∈ R}.
Mỗi điểm x ∈ A (λ ∈ R,λ cố đònh) được gọi là một tổ hợp affine của a và b.
Đònh nghóa 1.1.2. Tập con của R
n
được gọi là tập affine (đa tạp affine, đa tạp tuyến tính)
nếu nó chứa mọi đường thẳng qua các cặp điểm của nó.
Tập ∅ và không gian R
n
là các tập affine. Giao của họ bất kì các tập affine cũng là một
tập affine.
Đònh nghóa 1.1.3. Bao affine của một tập M là giao của tất cả các tập affine chứa M .
Bao affine là tập affine nhỏ nhất chứa M, kí hiệu aff(M).
8
Tập L là không gian con của R
n
nếu ∀ a, b ∈ L thì x = λa + µb ∈ L, λ, µ ∈ R. Không
gian con là tập affine chứa gốc tọa độ O.
Tập M + a được gọi là dòch chuyển affine (tònh tiến affine) của tập M theo vectơ a ∈ R

n
có dạng
M + a = {x + a : x ∈ M,a ∈ R
n
}.
Tập affine E được gọi là song song afine F khi và chỉ khi E = F + a. Mỗi tập affine
E = ∅ đều song song với một không gian con duy nhất L = {x − y : x, y ∈ E}. Số chiều
của tập affine E (dim E) là số chiều của không gian con song song với E.
Mệnh đề 1.1.1. Trong không gian R
n
, mỗi tập affine r chiều (r<n) đều có dạng
M = {x ∈ R
n
: Ax = b}
trong đó b ∈ R
n
, A là ma trận cấp m × n và rankA = n − r. Ngược lại mọi tập affine có
dạng trên đều là tập affine.
Đònh nghóa 1.1.4. Tập affine H ⊂ R
n
có dimH = n − 1 gọi là một siêu phẳng có dạng
H = {x : a, x = α, a ∈ R
n
\{0},α ∈ R}.
Qua n điểm độc lập affine trong R
n
có một siêu phẳng duy nhất.
Tập H = {x : a, x≤α} gọi là nửa không gian.
Đònh nghóa 1.1.5. Cho a, b ∈ R
n

, đoạn thẳng nối a và b là tập hợp
B = {x ∈ X : x =(1− λ)a + λb, λ ∈ [0, 1]}.
Mỗi điểm x ∈ B (λ ∈ [0, 1], cố đònh) được gọi là một tổ hợp lồi của a và b.
Đònh nghóa tổ hợp lồi có thể mở rộng cho n điểm như sau:
Nếu x =
k

i−1
λ
i
a
i
với a
i
∈ R
n
,λ
i
≥ 0,
k

i=1
λ
i
=1thì x được gọi là tổ hợp lồi của các điểm
a
i
,i =1, 2 k.
Đònh nghóa 1.1.6. Tập con của R
n

được gọi là tập lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng qua
các cặp điểm của nó.
Tập ∅ và không gian R
n
là các tập lồi. Nửa không gian đóng và nửa không gian mở là
các tập lồi.
9
Đònh nghóa 1.1.7. Cho tập S ⊂ R
n
lồi, giao của tất cả các tập lồi chứa S gọi là bao lồi,
kí hiệu convS.
Bao lồi hữu hạn các điểm trong không gian R
n
được gọi là đa diện.
Đònh lý 1.1.1. (i) Tập C ⊆ R
n
là tập lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi các điểm
của C.
(ii) Giao họ bất kì các tập lồi là tập lồi.
(iii) Nếu C ⊆ R
n
,D⊆ R
n
là hai tập lồi, α ∈ R thì
C + D = {c + d : c ∈ C, d ∈ D},
αC = {αc : c ∈ C},
cũng là các tập lồi.
Đònh lý 1.1.2. Bao lồi của S là tập hợp gồm mọi tổ hợp lồi các điểm của S.
Đònh lý 1.1.3. (Caratheodory). Giả sử E là một tập chứa trong một tập affine r chiều
trong không gian R

n
. Khi đó, mọi x ∈ convE đều có thể biểu diễn là tổ hợp lồi của r +1,
hoặc ít hơn, các điểm của E.
Đònh nghóa 1.1.8. Siêu phẳng H = {x : a, x = α, a ∈ R
n
\{0},α ∈ R} được gọi là tách
hai tập khác rỗng A và B nếu x ∈ A ⇒ ax ≤ α và x ∈ B ⇒ ax ≥ α. Khi đó, A và B gọi
là tách được.
Đònh lý 1.1.4. Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng, không giao nhau trong R
n
. Khi đó,
luôn tồn tại một siêu phẳng tách chúng, tức là x ∈ A ⇒ ax ≤ α và x ∈ B ⇒ ax ≥ α.
Đònh lý 1.1.5. Cho A, B là hai tập lồi khác trống trong R
n
, A compact và B đóng. Nếu
A ∩ B = ∅ thì tồn tại một siêu phẳng tách chặt A và B.
Đònh nghóa 1.1.9. Giả sử S ⊂ R
n
là tập lồi và f : S → R. Khi đó,
(i) f được gọi là lồi tại x
0
∈ S nếu ∀x ∈ S, ∀λ ∈ [0, 1] ta có
f((1 − λ)x
0
+ λf (x)) ≤ (1 − λ)f(x
0
)+λf(x).
(ii) f được gọi là lồi chặt tại x
0
∈ S nếu ∀x ∈ S, x = x

0
, ∀λ ∈ (0, 1) ta có
f((1 − λ)x
0
+ λf (x)) < (1 − λ)f(x
0
)+λf(x).
(iii) f được gọi là lõm tại x
0
∈ S nếu −f lồi chặt tại x
0
.
(iv) f được gọi là lồi trên S nếu f lồi tại mọi x ∈ S.
10
1.2 Đạo hàm Dini
Cho f : R → R, đạo hàm trên và đạo hàm dưới theo nghóa Dini tại t được đònh nghóa
như sau
D
+
f(t) = lim
h→0
+
sup
1
h
[f(t + h) − f(t)];
D
−
f(t) = lim
h→0

+
inf
1
h
[f(t + h) − f(t)]
trong đó, lim sup và lim inf của hàm thực g : R → R được xác đònh bởi
lim
x→a
sup g(x) = lim
→0
sup{g(x):x ∈ B(a, ) \{a}};
lim
x→a
inf g(x) = lim
→0
inf{g(x):x ∈ B(a, ) \{a}}
và B(a, ) là quả cầu tâm a, bán kính >0 trong R.
1.3 Tập lồi compact trong không gian R
n
Chúng ta xét ba không gian sau:
(i) K
c
(R
n
) bao gồm tất cả các tập lồi compact khác rỗng trong không gian R
n
;
(ii) K(R
n
) bao gồm tất cả các tập compact khác rỗng trong không gian R

n
;
(iii) C(R
n
) bao gồm tất cả các tập đóng khác rỗng trong không gian R
n
.
Cho A, B là hai tập con khác rỗng trong không gian R
n
và λ ∈ R. Phép cộng và phép
nhân vô hướng được đònh nghóa như sau
A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B},
λA = {λa : a ∈ A}.
Từ đó ta có các tính chất sau
11
Tính chất 1.3.1.
a. A + θ = θ + A = A, θ ∈ R
n
, là vectơ không trong không gian R
n
;
b. (A + B)+C = A +(B + C);
c. A + B = B + A;
d. A + C = B + C ⇒ A = B;
e. 1.A = A;
f. λ(A + B)=λA + λB;
g. (λ + µ)A = λA + µA
trong đó A, B, C ∈ K
c
(R

n
),λ,µ∈ R
+
.
Nhận xét 1.3.1. A +(−A) = {θ}.
Ví dụ 1.3.1 Cho A =[0, 1] thì (−1)A =[−1, 0], do đó
A +(−1)A =[0, 1] + [−1, 0] = [−1, 1].
Đònh nghóa 1.3.1. Cho trước A và B ∈ K
c
(R
n
), nếu tồn tại C ∈ K
c
(R
n
) sao cho A = B +C
thì ta nói Hiệu Hukuhara giữa A và B tồn tại, kí hiệu A − B.
Nhận xét 1.3.2. Hiệu hukuhara A − B khác với tập hợp
A +(−B)={a +(−b):a ∈ A, b ∈ B}.
Nếu Hiệu Hukuhara A − B tồn tại thì nó là duy nhất.
Ví dụ 1.3.2 Từ ví dụ 2.1.4, ta có các Hiệu Hukuhara:
[−1, 1] − [−1, 0] = [0, 1] và [−1, 1] − [0, 1]=[−1, 0].
1.4 Metric Hausdorff
• Cho x ∈ R
n
,A⊂ R
n
,A= ∅, khoảng cách từ x đến A được xác đònh như sau
d(x, A)=inf{x − a : a ∈ A}.
12

Khi đó, d(x, A) ≥ 0, d(x, A)=0khi và chỉ khi x thuộc bao đóng của A.
Với ε>0. Đặt
S
ε
(A)={x ∈ R
n
: d (x, A) <ε} ,
S
ε
(A)={x ∈ R
n
: d (x, A) ≤ ε} .
Trường hợp đặc biệt,
S
n
1
= S
1
({θ}) là quả cầu đơn vò đóng trong R
n
Do đó,
S
ε
(A)=A + εS
n
1
.
• Cho A, B ⊂ R
n
,A,B= ∅. Hausdorff tách B và A được xác đònh như sau

d
H
(B,A) = sup {d (b, A):b ∈ B}
hoặc
d
H
(B,A) = inf

ε>0:B ⊆ A + εS
n
1

.
Tính chất 1.4.1.
a. d
H
(B,A) ≥ 0,d
H
(B,A)=0⇔ B ⊆ A;
b. d
H
(B,A) ≤ d
H
(B,C)+d
H
(C, A);
c. d
H
(B,A) = d
H

(A, B)
với mọi A, B và C là tập con không rỗng trong không gian R
n
.
• Trong không gian R
n
, cho tập A, B = ∅. Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A và
B được đònh nghóa như sau
D (A, B)=max{d
H
(A, B) ,d
H
(B,A)} .
Tính chất 1.4.2.
a. D (B, A) ≥ 0,D(B,A)=0⇔
B = A;
b. D (B, A)=D (A, B);
c. D (B, A) ≤ D (B,C)+D (C, A)
với mọi A, B và C là tập con không rỗng trong không gian R
n
.
13
Bổ đề 1.4.1. Cho A, B ∈ K
c
(R
n
), C ∈ K(R
n
) và A + C ⊆ B + C thì A ⊆ B.
Chứng minh. Lấy a ∈ A, ta cần chứng minh a ∈ B. Thật vậy, cho c

1
∈ C thì a+c
1
∈ B+C.
Khi đó phải tồn tại b
1
∈ B và c
2
∈ C sao cho a + c
1
= b
1
+ c
2
. Tương tự, tồn tại b
2
∈ B
và c
3
∈ C để a + c
2
= b
2
+ c
3
. Lặp lại quá trình trên và lấy tổng của n đẳng thức ta được:
na +
n

i=1

c
i
=
n

i=1
b
i
+
n+1

i=2
c
i
⇔ na + c
1
+
n

i=2
c
i
=
n

i=1
b
i
+
n


i=2
c
i
+ c
n+1
⇔ na + c
1
=
n

i=1
b
i
+ c
n+1
⇔ a =
1
n
n

i=1
b
i
+
c
n+1
n
−
c

1
n
.
Đặt x
n
=
1
n
n

i=1
b
i
.VìB lồi nên x
n
∈ B ∀n và
c
n+1
n
−
c
1
n
→ 0 trong tập compact C.
Do đó, x
n
→ a và B cũng là tập compact nên a ∈ B. Nếu A + C = B + C thì A = B. Bổ
đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.4.1. Nếu A, B ∈ K
c

(R
n
) và C ∈ K(R
n
) thì
D(A + C, B + C)=D(A + B).
Chứng minh. Lấy λ ≥ 0 và gọi S là quả cầu đơn vò đóng. Xét các bao hàm thức sau:
(1) A + λS ⊃ B;
(2) B + λS ⊃ A;
(3) A + C + λS ⊃ B + C;
(4) B + C + λS ⊃ A + C.
Đặt d
1
= D (A, B) và d
2
= D (A + C, B + C) thì d
1
là infimum của tất cả các số dương λ
thỏa (1) và (2). Tương tự d
2
là infimum của tất cả các số dương λ thỏa (3) và (4). Cộng
C vào hai vế của (1), (2) ta được (3) và (4) nên d
1
≥ d
2
. Theo bổ đề 1.4.1, ta có thể loại
bỏ C trong (3) và (4) nên ta có d
1
≤ d
2

. Vậy d
1
= d
2
.
Mệnh đề 1.4.2. Nếu A, B ∈ K(R
n
) thì
D(convA, conv B) ≤ D(A, B). (1.1)
14
Nếu A, A

,B,B

∈ K
c
(R
n
) và Hiệu Hukuhara A − A

,B − B

,A− B tồn tại thì
D(tA, tB)=tD(A, B) ∀t ≥ 0; (1.2)
D(A + A

,B+ B

) ≤ D(A, B)+D(A


,B

); (1.3)
D(A − A

,B− B

) ≤ D(A, B)+D(A

,B

); (1.4)
D(λA, µB) ≤ βD(A, B)+|λ − µ|[D(A, θ)+D(B,θ)] (1.5)
với β = max{λ, µ};
D(λA, λB)=λD(A − B,θ). (1.6)
Chứng minh. Ta có (1.2), (1.3) là hiển nhiên. Ta chứng minh (1.4). Với mọi a ∈ A và
c ∈ A

, do tính compact của B và B

nên tồn tại b(a) ∈ B và d(c) ∈ B

sao cho
inf
b∈B
|a − b| = |a − b(a)|; inf
c∈B

|c − d| = |c − d(c)|.
Mặt khác

|a + c − b(a) − d(c)|≤|a − b(a)| + |c − d(c)|
do đó
sup
a∈A,c∈A

inf
b∈B,d∈B

|a + c − b − d|≤sup
a∈A
inf
b∈B
|a − b| + sup
c∈A

inf
d∈B

|c − d|.
Ta chứng minh (1.5).
Áp dụng Mệnh đề 1.4.1, ta có
D(A − A

,B− B

)=D(A − A

+ A

+ B


,B− B

+ B

+ A

)
= D(A + B

,B + A

)
≤ D(A, B)+D(A

,B

).
Tiếp tục, ta chứng minh (1.6). Xét λ − µ ≥ 0, ta được
D(λA, µB) ≤ µD(A, B)+(λ − µ)D(A, θ)
và nếu λ − µ ≤ 0 thì
D(λA, µB) ≤ λD(A, B)+(µ − λ)D(B,θ).
15
Đặt β = max{λ, µ} ta suy ra được (1.6).
Cuối cùng, chứng minh (1.7). Từ (1.3) và kết hợp Mệnh đề 1.4.1, ta có
D(λA, λB)=λD(A, B)
= λD(A − B,B − B)
= λD(A − B,θ).
Vậy mệnh đề được chứng minh.
16

CHƯƠNG 2
HỆ VI PHÂN MỜ
Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm tập mờ và metric d của hai tập mờ
dựa trên tập mức của chúng. Từ đó xây dựng nên không gian metric mờ (E
n
,d) với phần
tử là các tập mờ. Trong không gian này, đạo hàm và tích phân Hukuhara của ánh xạ mờ
được xét có liên quan trực tiếp đến khái niệm hệ vi phân mờ (FDE). FDE được giới thiệu
đầu tiên tại Nhật Bản vào năm 1978 đã thu hút sự chú ý của các nhà toán học từ các bài
báo của Kaleva. Tiếp theo đó, các kết quả về sự tồn tại nghiệm, nghiệm đòa phương cũng
được Kaleva và Nieto nghiên cứu [9, 10, 11]. Kết quả so sánh nghiệm, nghiệm toàn cục
được V. Lakshmikantham và Mohapatra trình bày trong [12]. Sự liên quan giữa hệ vi phân
tập và hệ vi phân mờ cũng được chỉ ra bởi Lakshmikantham và Gnana Bhaskar trong [13].
Nội dung của chương này có thể tìm thấy chi tiết trong [12, 13].
2.1 Không gian metric mờ (E
n
,d)
2.1.1 Mờ hóa không gian thực
Trong không gian R
n
xét ánh xạ:
ω : R
n
→ [0, 1].
Nếu n =1thì ω được gọi là số thực mờ. Nếu n>1 thì ω được gọi là vectơ mờ n chiều.
Tập mức α của lớp mờ ω, kí hiệu [ω]
α
gọi là lớp mờ α:
[ω]
α

= {x ∈ R
n
: ω(x) ≥ α, α ∈ (0, 1]}
17
trong đó, [ω]
0
=

α∈(0,1]
[ω]
α
.
Nhận xét 2.1.1. [ω]
α
là tập lồi trong R
n
với mọi α ∈ (0, 1].
Giả sử ω là lồi mờ và x, y ∈ [ω]
α
,α∈ (0, 1] thì ω(x) ≥ α, ω(y) ≥ α. Khi đó,
ω(λx +(1− λ)y) ≥ min[ω(x),ω(y)] ≥ α, λ ∈ [0, 1]
do đó, λx +(1− λ)y ∈ [ω]
α
. Vậy [ω]
α
lồi trong R
n
.
Cho ω
1

,ω
2
∈ E
n
, α ∈ I và c ∈ R \{0}, ta đònh nghóa phép cộng và phép nhân vô
hướng hai tập mức như sau
[ω
1
+ ω
2
]
α
=[ω
1
]
α
+[ω
2
]
α
,
[cω
1
]
α
= c[ω
1
]
α
.

Đònh lý 2.1.1. (i) Nếu ω ∈ E
n
, thì [ω]
α
∈ K
C
(R
n
) với 0 ≤ α ≤ 1,
(ii) [ω]
α
2
⊂ [ω]
α
1
với 0 ≤ α
1
≤ α
2
≤ 1,
(iii) [ω]
α
=

k≥1
[ω]
α
k
với {α
k

}→α>0 là dãy tăng.
Khi đó, nếu {A
α
:0≤ α ≤ 1} là họ tập con trong R
n
thõa mãn (i), (ii) and (iii) thì tồn tại
ω ∈ E
n
sao cho
[ω]
α
= A
α
với 0 <α≤ 1
và
[ω]
0
= cl

0<α≤1
A
α
⊂ A
0
.
2.1.2 Tập mờ và Không gian metric mờ (E
n
,d)
Kí hiệu E
n

= {ω : R
n
→ I =[0, 1]} là không gian tất cả các tập mờ hóa của R
n
thỏa
mãn các tính chất sau:
a. ω chuẩn tắc, tức là tồn tại x
0
∈ R
n
sao cho ω(x
0
)=1;
b. ω là tập mờ lồi, tức là ω(λx +(1− λ)y) ≥ min[ω (x) ,ω(y)] với λ ∈ [0, 1];
c. ω là nửa liên tục trên;
d. [ω]
0
= cl{x ∈ R
n
: ω(x) > 0} là compact.
18
Ta kí hiệu θ
n
∈ E
n
là phần tử không của E
n
θ
n
(z)=




1 nếu z = θ
0 nếu z = θ
trong đó θ là vectơ không của R
n
, ω là tập mờ của E
n
.
Cho ω
1
,ω
2
là hai tập mờ trong không gian E
n
, x ∈ R
n
. D(., .) là khoảng cách Hausdorff.
Ta đònh nghóa khoảng cách giữa hai tập mờ ω
1
và ω
2
là
d[ω
1
,ω
2
] = sup
0≤α≤1

D

[ω
1
]
α
, [ω
2
]
α

.
Tính chất 2.1.1.
a. d[ω
1
+ ω
3
,ω
2
+ ω
3
]=d[ω
1
,ω
2
];
b. d[λω
1
,λω
2

]=|λ|d[ω
1
,ω
2
];
c. d[ω
1
,ω
2
] ≤ d[ω
1
,ω
3
]+d[ω
3
,ω
2
]
với mọi ω
1
,ω
2
,ω
3
∈ E
n
,λ∈ R.
Ví dụ 2.1.3 Lấy ω
1
,ω

2
∈ E
1
sao cho [ω
1
]
α
=[ω
2
]
α
=[0, 1] với 0 ≤ α ≤
1
2
và
[ω
1
]
α
= {0},
[ω
2
]
α
=[0, 2(1 − α)], với
1
2
<α≤ 1. Khi đó
D([ω
1

]
α
, [ω
2
]
α
)=





0 với 0 ≤ α ≤
1
2
2(1 − α) với
1
2
<α≤ 1.
Vậy d[ω
1
,ω
2
]=1.
Đònh lý 2.1.2. (E
n
,d) là không gian metric đầy đủ.
Chứng minh. Lấy {ω
k
} là dãy Cauchy trong (E

n
,d). Khi đó, {[ω
k
]
α
} cũng là dãy Cauchy
trong không gian đầy đủ (K
c
(R
n
),D), với α ∈ I. Nên tồn tại C
α
∈ K
c
(R
n
), sao cho
D([ω
k
]α, C
α
) → 0 khi k →∞
đều theo α ∈ I. Ta sẽ chỉ ra rằng họ {C
α
: α ∈ I} thỏa điều kiện (1.5.1), (1.5.3) của Đònh
lý 1.5.1 trong [12] và tồn tại ω ∈ E
n
sao cho [ω]
α
= C

α
với α ∈ I.VìC
α
∈ K
c
(R
n
),α ∈ I
19
nên (1.5.1) là hiển nhiên thỏa mãn. Xét 0 ≤ β ≤ α ≤ 1 thì
d
H
(C
α
,C
β
) ≤ d
H
(C
α
, [ω
k
]
α
)+d
H
([ω
k
]
α

, [ω
k
]
β
)+d
H
([ω
k
]
β
,C
β
)
≤ D(C
α
, [ω
k
]
α
)+D([ω
k
]
β
,C
β
)
→ 0,k→∞
với d
H
là Hausdorff tách trong R

n
, nên d
H
([ω
k
]
α
, [ω
k
]
β
)=0vì ([ω
k
]
α
⊆ [ω
k
]
β
). Do đó,
d
H
(C
α
,C
β
)=0, C
α
,C
β

compact, C
α
⊆ C
β
nên (1.5.2) cũng được thỏa mãn. Lấy dãy số
tăng {α
i
⊂ I, α
i
 α ∈ I}. Theo kết quả ở trên thì C
α
⊆ C
α
i
với i =1, 2, 3, để
C
α
⊆
∞

i=1
C
α
i
. (∗)
Lấy x ∈
∞

i=1
C

α
i
, sao cho x ∈ C
α
i
với i =1, 2, 3 thì
d
H
({x},C
α
) ≤ d
H
(C
α
i
,C
α
)
≤ d
H
(C
α
i
, [ω
k
]
α
i
)+d
H

([ω
k
]
α
i
, [ω
k
]
α
)+d
H
([ω
k
]
α
,C
α
)
→ 0,k→∞
trong ba điều kiện hội tụ trên trên thì dạng hội tụ về 0 khi k →∞thứ nhất và thứ ba
là hội tụ đều trong α, α
i
và dạng hội tụ về 0 khi k →∞thứ hai là hội tụ điểm. Vì thế
x ∈ C
α
và
∞

i=1
C

α
i
⊆ C
α
. Kết hợp với (*) được
C
α
=
∞

i=1
C
α
i
Áp dụng Đònh lý 1.5.1 trong [12] thì tồn tại ω ∈ E
n
sao cho [ω]
α
= C
α
với α ∈ I. Hơn
nữa,
D([ω
k
]
α
, [ω]
α
) ≤ D([ω
k

]
α
, [ω
j
]
α
)+D([ω
j
]
α
, [ω]
α
)
≤ D(ω
k
,ω
j
)+D([ω
j
]
α
, [ω]
α
)
<+ D([ω
j
]
α
, [ω]
α

)
với mọi j, k ≥ N(),vì{ω
k
} là dãy Cauchy trong (E
n
,d). Lấy giới hạn khi j →∞ta
có D([ω
k
]
α
, [ω]
α
) ≤  với mọi k ≥ N() đều trong α ∈ I, sao cho d(ω
k
,ω) ≤  với mọi
k ≥ N(). Vậy ω
k
→ u trong (E
n
,d).
20
2.2 Ánh xạ mờ
2.2.1 Đònh nghóa
Ánh xạ u : R
+
⊇ I =[t
0
,T] → E
n
được gọi là ánh xạ mờ thì [u(t)]

α
∈ K
C
(R
n
).
Ta nói ánh xạ mờ u được gọi là liên tục tại t
0
nếu với mọi >0, tồn tại δ(, t
0
) > 0 sao
cho |t − t
0
| <δvới mọi t ∈ I thì d[u(t),u(t
0
)] <.
Hàm mờ của tập mờ: f (t, u(t)) : I × E
n
→ E
n
, với t ∈ I ⊆ R
+
và u(t) ∈ E
n
.
Hàm mờ của nhiều biến mờ : f(t,u,v, ):I × E
n
× E
n
→ E

n
, với t ∈ I ⊆
R
+
,u(t) ,v(t) ∈ E
n
.
2.2.2 Đạo hàm Hukuhara
Đònh nghóa 2.2.1. Ánh xạ mờ u : I =[t
0
,T] ⊆ R
n
→ E
n
gọi là có đạo hàm Hukuhara tại
điểm t ∈ I, kí hiệu D
H
u(t) nếu
lim
τ→0
+
u(t + τ ) − u(t)
τ
và lim
τ→0
+
u(t) − u(t − τ )
τ
cùng tồn tại trong E
n

và cùng bằng D
H
u(t).
Giới hạn được lấy trong không gian metric mờ (E
n
,d), nghóa là:
lim
τ→0
+
d

u(t + τ ) − u(t)
τ
,D
H
u(t)

=0
và
lim
τ→0
+
d

u(t) − u(t − τ )
τ
,D
H
u(t)


=0.
Ta chỉ xét đạo hàm một bên tại điểm biên của I. Nếu D
H
u liên tục thì u là hàm khả
vi liên tục, kí hiệu u ∈ C
1
[I, E
n
]. Nếu u khả vi tại t thì liên tục tại t. Điều ngược lại
không đúng.
Đònh nghóa 2.2.2. Ta nói ánh xạ u : I → E
n
là đo được mạnh nếu u
α
: I → K
C
(R
n
) xác
đònh bởi u
α
(t)=[u(t)]
α
đo được với mọi α ∈ [0, 1].
Đònh lý 2.2.1. Cho u : I → E
1
khả vi. Đặt [u(t)]
α
= {x : u(t)(x) ≥ α} =[u
α

1
(t),u
α
2
(t)].
Khi đó, u
α
1
và u
α
2
: I → R khả vi và [D
H
u(t)]
α
=[u
α
1
(t),u
α
2
(t)], với u
α
1
(t),u
α
2
(t) là đạo
hàm của hàm thực.
21

Đònh lý 2.2.2. Nếu u : I → E
n
khả vi liên tục trên I thì
d[u(t
1
),u(t
2
)] ≤ (t
1
− t
2
) sup
t∈I
d [D
H
u(t)] .
2.2.3 Tích phân Hukuhara
Ánh xạ u : I → E
n
được gọi là khả tích bò chặn (integrably bounded) nếu tồn tại hàm
khả tích h sao cho ||x|| ≤ h(t) với mọi x ∈ u
0
(t).
Đònh nghóa 2.2.3. Cho u : I → E
n
. Tích phân của u trên I, kí hiệu

I
u(t)dt hay


a
b
u(t)dt
(khi I =[a, b]), được xác đònh như sau


I
u(t)dt

α =

I
u
α
(t)dt =


I
h(t)dt|h : I → R
n

h là một chọn khả tích của u
α
, với mọi 0 <α≤ 1.
Ánh xạ u : I → E
n
đo được mạnh và khả tích bò chặn gọi là khả tích trên I nếu

I
u(t)dt ∈ E

n
.
Đònh lý 2.2.3. Nếu u : I → E
n
đo được mạnh và khả tích bò chặn thì u khả tích.
Hệ quả 2.2.1. Nếu u : I → E
n
liên tục thì u khả tích.
Đònh lý 2.2.4. Nếu u
1
,u
2
: I → E
n
khả tích và λ ∈ R,t
0
≤ t
1
≤ t
2
∈ I thì các mệnh đề
sau thõa mãn:
(i)

t
2
t
0
u
1

(s)ds =

t
1
t
0
u
1
(s)ds +

t
2
t
1
u
1
(s)ds;
(ii)

t
1
t
0
u
1
(s)+u
2
(s))ds =

t

1
t
0
u
1
(s)ds +

t
1
t
0
u
2
(s)ds;
(iii)

t
1
t
0
λu
1
(s)ds = λ

t
1
t
0
u
1

(s)ds;
(iv) d


t
1
t
0
u
1
(s)ds,

t
1
t
0
u
2
(s)ds

≤

t
1
t
0
d[u
1
(s),u
2

(s)]ds.
Đònh lý 2.2.5. Nếu u : I → E
n
liên tục thì tích phân z(t)=

t
t
0
u(s)ds khả vi và D
H
z(t)=
u(t). Hơn nữa,
u(t) − u(t
0
)=

t
t
0
D
H
u(s)ds.
22
2.3 Hệ vi phân mờø
Xét hệ vi phân mờ (FDE)
D
H
u(t)=f(t, u(t)),u(t
0
)=u

0
,t
0
≥ 0 (2.1)
trong đó, f ∈ C[I × E
n
,E
n
],I=[t
0
,t
0
+ a],t
0
≥ 0,a>0 và D
H
là đạo hàm Hukuhara.
Ta kí hiệu u : I → E
n
là nghiệm của FDE (2.1) khi và chỉ khi nó liên tục và thỏa mãn
u(t)=u
0
+

t
t
0
f(s, u(s))ds, t ∈ I. (2.2)
Nhận xét 2.3.1. Nếu u(t) thỏa mãn (2.2) thì
dia[u(t)]

α
≥ dia[u
0
]
α
,α∈ [0, 1].
Sau đây sẽ phát biểu các đònh lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ vi phân mờ
(2.1).
2.3.1 Sự tồn tại nghiệm
Đònh lý 2.3.1. Giả sử f ∈ C[I × E
n
,E
n
] và d[f(t, u(t)),θ
n
] ≤ M, t ∈ I, u(t) ∈ E
n
, với
θ
n
∈ E
n
thì FDE (2.1) có nghiệm u(t) trên I.
Chứng minh. Gọi C[I, E
n
] là tập tất cả các hàm số liên tục từ I vào E
n
. B là tập giới
nội trong C[I, E
n

]. TB = {Tu : u ∈ B} là gới nội hoàn toàn khi và chỉ khi nó liên tục
đồng bậc với mọi t ∈ I, [TB](t)=[[Tu](t):t ∈ I] là tập giới nội hoàn toàn trong E
n
.
Theo Đònh lý 2.5.8 trong [12], ∀t
1
,t
2
∈ I và u ∈ B, ta có
d[Tu(t
1
),Tu(t
2
)] ≤|t
2
− t
1
| max
I
d[f(t, u(t)),θ
n
]
≤|t
2
− t
1
|M,
do đó TB là liên tục đồng bậc. Cố đònh t ∈ I, ta có
d[Tu(t),Tu(t
1

)] ≤|t − t
1
|M,
với mọi t
1
∈ I và u ∈ B. Do đó, tập {Tu(t):u ∈ B} là tập giới nội hoàn toàn trong E
n
.
Suy ra TB là tập compact trong C[I, E
n
] (theo Đònh lý Ascoli).
23
Trong không gian metric (C[I, E
n
],H), quả cầu B =[u ∈ C[I, E
n
]:H(u, θ
n
) ≤ aM] chứa
trong TB với u ∈ C[I, E
n
],
d[(Tu)(t), (Tu)(t
0
)] = d[(Tu)(t),θ
n
]
≤|t − t
0
|M ≤ aM.

Đặt
¯
0(t):I → E
n
sao cho
¯
0(t)=θ
n
,t ∈ I, ta có
H[Tu,Tθ
n
] = sup
I
d[(Tu)(t), (T
¯
0)(t)] ≤ Ma.
Vì T compact nên theo Đònh lý Schauder về điểm cố đònh thì, T có một điểm cố đònh u
là nghiệm của (2.1).
Đònh lý 2.3.2. Giả sử f ∈ C[I × E
n
,E
n
] thỏa mãn điều kiện Lipschitz
d[f(t, u(t)),f(t, ¯u(t))] ≤ kd[u(t), ¯u(t)], (2.3)
với t ∈ I, u(t), ¯u(t) ∈ E
n
, k>0 là hằng số thì (2.1) có nghiệm duy nhất u(t) trên I.
Chứng minh. Gọi C[I, E
n
] là tập tất cả các hàm số liên tục từ I vào E

n
. Ta đònh nghóa
H(u, ¯u)=sup
I
d[u(t), ¯u(t)]e
−λt
với u, ¯u ∈ C[I, E
n
],λ>0.
Vì (E
n
,d) là không gian metric đầy đủ nên (C[I, E
n
],H) cũng là không gian đầy đủ.
Với w ∈ C[I, E
n
], ta đònh nghóa
Tw(t)=u
0
+

t
t
0
f(s, w (s)) ds. (2.4)
Theo Hệ quả 2.4.2 trong [12], Tw ∈ C[I, E
n
]. Hơn nữa, từ điều kiện (2.3) và tính chất
tích phân trong Đònh lý 2.2.4 ta có
d[Tu(t),T¯u(t)] = d


u
0
+

t
t
0
f(s, u(s))ds, u
0
+

t
t
0
f(s, ¯u(s))ds

= d


t
t
0
f(s, u(s))ds,

t
t
0
f(s, ¯u(s))ds


≤

t
t
0
d[f(s, u(s)),f(s, ¯u(s))ds]
≤ k

t
t
0
d[u(s), ¯u(s)]ds, t ∈ I.
24