Về tính ổn định bình phương trung bình của hệ vi phân ngẫu nhiên có trễ không giải ra đối với đạo hàm

mở đầu
Bất cứ hệ thống nào dù là hệ thống kü tht, hƯ sinh th¸i hay hƯ thèng kinh tÕ
x· hội... bao giờ cũng tồn tại và phát triển ở trạng thái ổn định nhất. Trong thực tế
không có quá trình nào lại diễn ra một cách độc lập hoàn toàn. Các kích động thờng
tồn tại và gây nhiễu đến sự phát triển của quá trình làm cho các quá trình không còn
đợc bình thờng, từ đó nảy sinh khái niệm tính ổn định của các quá trình dới dạng định
nghĩa mô tả sau đây.
Một quá trình bị nhiễu dới tác động của các kích động mà vẫn duy trì đợc sự
phát triển bình thờng nh không có nhiễu đợc gọi là quá trình ổn định.
Một quá trình bị kích động mà phát triển khác xa bình thờng đợc gọi là quá
trình không ổn định.
Khóa luận này nghiên cứu tính ổn định bình phơng trung bình theo nghĩa
Liapunov của hệ vi phân ngẫu nhiên có trễ không giải ra đối với đạo hàm.
Khóa luận gồm hai chơng:
Chơng I:
Trình bày những khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định của hệ
vi phân tuyến tính theo nghĩa Liapunov.
Chơng II: Nghiên cứu tính ổn định tiệm cận bình phơng trung bình của
nghiệm tầm thờng của hệ vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính có
trễ không giải ra đối với đạo hàm.
Khóa luận này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn nhiệt tình của PGS-TS. Phan
Đức Thành. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy - Ngời đÃ
dành cho tôi sự hớng dẫn nhiệt tình trong suốt khóa học và nghiên cứu.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp quý báu và bổ ích của
các thầy PGS-TS. Nguyễn Văn Quảng, TS. Trần Xuân Sinh cùng các thầy cô ở tổ
Điều khiển - Khoa Toán - Trờng Đại Học Vinh.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và bạn bè đà tạo mọi
điều kiện thuận lợi cho bản thân trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu để tôi
hoàn thành tốt khóa luận này.
Vinh, tháng 4 năm 2005
Nguyễn Thị Lâm

1


Chơng I
Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính
Đ1. bài toán ổn định
Nh đà biết, phơng tiện cơ bản để mô tả một hệ thống là phơng trình vi phân.
Phơng trình vi phân liên kết những yếu tố quan trọng nhất của quá trình phân tích hệ
thống nh: Tác động điều khiển, trạng thái của tự nhiên và kết quả chờ đợi (đầu ra).
Xét hệ phơng trình vi phân thêng:
dy j
dt

= f j ( t , y1 , y 2 ,..., y n )

(j = 1, 2,..., yn)

(1. 1)

Díi dạng ma trận véc tơ ta có:
dy
= F( t , Y ) = [f1 ( t , Y ),..., f n ( t , Y)]T
dt

(1. 2)

Định nghĩa1.1.1. Nghiệm z = z(t) (a < t < ) của hệ (1.2) đợc gọi là ổn định theo
Liapunov khi t , nếu ∀ε > 0 vµ t0 ∈ (a, ∞), ∃δ = (, t0) > 0 sao cho :
i) Tất cả các nghiệm Y = Y(t) của hệ (1.2) thoả mÃn điều kiện:

||Y(t0) z(t0)|| <

(1. 3)

xác định trong khoảng t0 < t < ∞ tøc lµ Y(t) ∈ DY khi t [t0, ).
ii) Đối với nghiệm này bất dẳng thức sau đợc thoả mÃn:
||Y(t) z(t)|| <

(1. 4)

Trờng hợp đặc biệt, khi F(t, 0) 0 nghiệm tầm thêng z(t) ≡ 0 (0 < t < ∞) æn định
nếu > 0 và t0 (a, ) ∃ δ = δ(ε, t0) sao cho: ||Y(t0)|| < δ kéo theo đẳng thức : ||
Y(t)|| < khi t0 < t < .
Định nghĩa 1.1.2. Nếu số > 0 có thể chọn không phụ thuộc trờng hợp ban đầu t0
G, tức là = () thì ổn định đó gọi là ổn định đều trong miền G.

2


§Þnh nghÜa 1.1.3. NghiƯm z = z(t) (0 < t < ) đợc gọi là không ổn định theo
Liapunov, nếu > 0, t0 (a, ) nào đó và > 0 tồn tại nghiệm Y (t)và thêi ®iĨm
t1 = t1(δ) > t0 sao cho:
|| Yδ (t0) – z(t0) || < δ vµ || Yδ (t1) – z(t1) || .
Ngợc lại, nếu z 0 không thoả mÃn định nghĩa 3 thì ta nói nghiệm tầm thờng
z 0 không ổn định.
Định nghĩa 1.1.4. Nghiệm z = z(t) (0 < t < ) đợc gọi là ổn định tiệm cận khi t
nếu:
i) Nó ổn định theo Liapunov và
ii) t0 (a, ), = ∆(t0) > 0 sao cho mäi nghiÖm Y(t) (t0 ≤ t < ) thoả mÃn
điều kiện || Y(t0) z(t0) || < ∆ sÏ cã tÝnh chÊt:

lim Y ( t ) z ( t ) = 0

(1. 5)

t

Định nghĩa 1.1.5. Giả sử hệ (1.2) xác định trong nửa kh«ng gian Ω = {t0 < t < ∞}x{||
Y|| < ∞} nÕu nghiÖm z = z(t) (a < t < ) ổn định tiệm cận khi t và tất cả các
nghiệm Y = Y(t) (t0 t < ∞, t0 > a) ®Ịu cã tÝnh chÊt (1. 5) tức là = thì z(t) đợc
gọi là ổn định tiệm cận toàn cục.
Cùng với hệ (1. 2) ta xét hệ có nhiễu sau:
Định nghĩa 1.1.6. Nghiệm z = z(t) (0 < t < ∞) cđa hƯ (1. 2) đợc gọi là ổn định dới
tác động của nhiễu
~
t , Y )
(

<
δ

~
φ t , Y)
(

nÕu ∀ε > 0 vµ t0 ∈ (a, ∞), ∃δ = δ(ε, t0) > 0 sao cho khi

tất cả các nghiệm

xác định trong khoảng [t0, ) và

~
Y(t )

của hệ (1. 6) thoả mÃn điều kiện

~
Y ( t 0 ) −z ( t ) ≤δ víi t0

3

≤ t < ∞.

~
Y ( t 0 ) <δ

sÏ


Đ2. Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính.
Xét hệ phơng trình vi phân tuyến tính:
dY
= A ( t ) Y + F( t )
dt

(1)

và hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng:
~
dY
~

= A( t )Y
dt

(2)

Định nghĩa 1.2.1. Hệ vi phân tuyến tính (1) đợc gọi là ổn định (hoặc không ổn định)
nếu tất cả các nghiệm Y = Y(t) của hệ tơng ứng ổn định (hoặc không ổn định) khi t
+.
Định nghĩa 1.2.2.Hệ vi phân tuyến tính (1) đợc gọi là ổn định đều nếu tất cả cấc
nghiệm Y(t) của hệ ổn định đều khi t + đối với thời điểm ban đầu t0 (a, ).
Định nghĩa 1.2.3. Hệ vi phân tuyến tính (1) đựoc gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả
các nghiệm của hệ ổn định tiệm cận khi t +.
Định lý 1.2.4 Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (1) ổn định với số hạng
tự do bất kỳ F(t) là nghiệm tầm thờng:

~
Y0 0

(t0 < t < ∞, t0 ∈ (a, ∞)) cđa hƯ thuần

nhất tơng ứng (2) ổn định.
Định lý 1.2.5. Hệ vi phân tuyến tính (1) ổn định đều khi và chỉ khi nghiệm tầm thờng

~
Y0 0

của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (2) ổn định đều khi t

+.
Định lý 1.2.6. Hệ vi phân tuyến tính (1) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi nghiệm tầm

thờng

~
Y0 0 của

hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (2) ổn định tiệm cận khi

t +.
Hệ quả 1. Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi ít ra một nghiệm của nó ổn định
và không ổn định nếu một nghiệm nào đó của nó không ổn định.
Hệ quả 2. Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi và chỉ khi hệ vi phân thuần nhất tơng ứng ổn định.
4


Hệ quả 3. Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (1) với số hạng tự do
F(t) bất kỳ ổn định tiệm cận là hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (2) ổn định.

Đ3. Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính thuần nhất
Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất:
5


dY
= A( t )Y
dt

(1)

trong đó A(t) liên tục trong khoảng (a, ).
Định lý1.3.1. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1) ổn định khi và chỉ khi mỗi

nghiệm Y = Y(t) (t0 t < ) của hệ đó bị chặn trên nửa trục t0 t < .
Hệ quả. Nếu hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định thì tất cả các nghiệm
của hệ hoặc giới nội hoặc không giới nội khi t +.
Định lý 1.3.2. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi
tất cả các nghiệm Y = Y(t) của hệ dần tới không khi t +∞, tøc lµ:
lim Y( t ) = 0

t → +∞

HƯ quả. Hệ vi phân tuyến tính ổn định tiệm cận sẽ ổn định toàn cực.

6


Đ4. ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng
dY
= AY
dt

Xét hệ

(4.1)

trong đó A = [ajk] là ma trận hằng (n x n).
Định lý1.4.1. Hệ vi phân tun tÝnh thn nhÊt (4.1) víi [A] n x n ổn định khi và chỉ
khi tất cả các nghiệm đặc trng j = j(A) của A đều có phần thực không dơng
Rej(A) 0

( j = , n)
1

và các nghiệm đặc trng có các phần thực bằng không đều có -

ớc cơ bản đơn.
Định lý 1.4.2. Hệ vi phân tuyến tÝnh thn nhÊt (4.1) víi ma trËn h»ng A ỉn định
tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng j = j(A) của A đều có phần tử
thực âm, tc là:
Rej(A) < 0

7

( j = , n)
1


Đ5. Tiêu chuẩn Hurwitz.
Muốn chứng minh tính ổn định tiệm cËn cđa hƯ tun tÝnh thn nhÊt

(4. 1)

ta chØ cÇn khẳng định rằng tất cả các nghiệm 1, 2, , n của hệ phơng trình đặc trng
det(A E) = 0 có các phần thực âm.
Sau đây ta sẽ chỉ ra điều kiện cần và đủ để cho phơng trình đại số với các hệ số
thực có các nghiệm với các phần thực chỉ mang dấu âm.
5.1. Một số khái niệm cần thiết.
Xét đa thức: f(z) = a0 + a1z + ... + anzn (n ≥ 1)

(1)

Trong ®ã z = x + iy lµ sè phøc vµ a0, a1,.., an có thể là các hệ số thực hoặc phức.

Định nghĩa1.5.1. Đa thức f(z) bậc n 1 đợc gọi là đa thức Hurwitz nếu tất cả
các nghiệm z1, z2, ..., zn của nó đều có phần thực âm:
Rezj < 0

( j = , n)
1

(2)

Định lý1.5.2. Nếu đa thức chuẩn là đa thức Hurwitz thì tất cả các hệ số của
nó đều dơng.
5.2. Định lý Hurwitz. Ta xét đa thức chuẩn:
f(z) = a0 + a1z + ... + anzn (n ≥ 1)

(3)

Điều kiện cần và đủ để đa thức (3) là đa thức Hurwitz là tất cả các định thức chéo
chính của ma trân Hurwitz của nó đều dơng, tức là:

∆ 1 = a1 > 0

 ∆ = a1 a 0 > 0
 2
a3 a2

 .........................

 ∆ n = an∆ n− 1 > 0

8

(4)


Đ6. ổn định của hệ gần đúng thứ nhất
Giả sử ta có hệ phần tử vi phân:
dx i
= f i ( t , x1 , x 2 ,..., x n ) (i = 1, 2,...., n)
dt

(1)

Khai triĨn vÕ ph¶i cđa (6. 1) theo công thức Taylor tại lân cận gốc toạ độ, ta có:
n
dx i
= a ij ( t ) x j + R i ( t , x1 ,..., x n )
dt
j =1

(i = 1, ..., n)

(2)

(Khai triÓn theo Taylor ®Õn bËc nhÊt)
Tõ ®ã ta cã:

n
dx i
= ∑a ij ( t ) x j (i = 1, n )
dt

j =1

(3)

Hệ (3) đợc gọi là hệ phơng trình gần đúng (hay xấp xỉ) thứ nhất đối với hệ (1).
Định lý 1.6.1. NÕu:
i) HƯ (2) lµ dõng theo xÊp xØ thø nhất.
ii) Tất cả các số hạng Ri bị chặn theo t và khai triển đợc thành chuỗi luỹ thừa
n

đối với x1, x2,.., xn trong mét miÒn ∑x i2 ≤ H và tất cả các khai triển đều bắt đầu từ
i =1

số hạng không thấp hơn bậc hai.
iii) Tất cả các nghiệm của phơng trình đặc trng:

a11 k a12

...

a1n

a 21 a 22 - k ...

a 2n

.......................................
a n1 a n2 ... a nn − k
9

=0

(4)


đều có các phần thực âm.
Thì nghiệm tầm thờng xi ≡ 0 (i = 1, 2, ..., n) cđa hƯ (2) và hệ (3) là ổn định tiệm
cận, tức là trong trờng hợp này có thể nghiên cứu tính ổn định theo xấp xỉ thứ nhất..
Định lý 1.6.2. Nếu:
i) Hệ phơng trình (2) là dừng theo xấp xỉ thứ nhất.
ii) Tất cả các hàm của Ri thoả mÃn các điều kiện của định lý 1.
iii) Có ít nhất một nghiệm của hệ phơng trình đặc trng (4) có phần thực dơng.
Thì điểm cân bằng xi 0 (i = 1, 2, ..., n) của hệ (2) và (3) là không ổn định,
tức là trong trờng hợp này cũng có thể nghiên cứu tính ổn định theo xấp xỉ thứ nhất.

10


Đ7 Phơng pháp hàm Liapunov
Trong các mục trên để khảo sát tính ổn định nghiệm của phơng trình vi phân
ngời ta dựa vào nghiệm cụ thể của phơng trình hoặc thông qua đánh giá nghiệm của
phơng trình đà cho với nghiệm của phơng trình tuyến tính.
Trong mục này ta nghiên cứu tính ổn định của hệ bằng cách đánh giá gián tiếp
thông qua hàm số V(t, k) đợc gọi là hàm Liapunov.
7.1. Hệ qui đổi. Giả sử cho một hệ vi ph©n phi tuyÕn thùc
dY
= F( t , Y )
dt

Trong ®ã: Y(y1(t), ..., yn(t))T;

(1)

dy 
dY  dy1
=
,..., n 
dt  dt
dt 

T

; F(t, Y) = (f1, f2,,..., fn)T

tháa m·n ®iỊu kiện tồn tại và duy nhất nghiệm.
Giả sử hệ có mét nghiƯm z = z(t) tøc lµ

dz
= F( t , z )
dt

(2)

Đặt X = Y z ta có Y = X + z

(3)

Mặt khác
Lấy (1) trừ đi (2) ta cã:
Tõ (3) vµ (4) ta cã:

VËy

d (Y − z)
= F( t , Y) − F( t , z)
dt

(4)

dX
= F( t , Y) − F( t , z) = F( t , X + z) − F( t , z )
dt

dX
= G ( t , X) = F( t , X + z) F( t , z)
dt

(5)

Hệ phơng trình (5) có nghiệm tầm thờng X 0.
Hệ phơng trình mà có nghiệm X 0 là nghiệm tầm thờng gọi là hệ quy đổi
(Liapunov gọi là hệ phơng trình chuyển ®éng cã nhiƠu).
HƯ (5) cã nghiƯm tÇm thêng X ≡ 0. Nghiệm này trong không gian

Rn
y

tơng ứng với

nghiệm z = z(t) đà cho.
Nh vậy, để nghiên cứu tính ổn định cđa mét nghiƯm z = z(t) trong kh«ng gian

Rn
y

(kh«ng gian n chiều của biến y) có thể đa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm

11


tầm thờng (vị trí cân bằng) X = 0 trong kh«ng gian R n (kh«ng gian n chiỊu cđa biÕn
x
x).
7.2. Hàm có dấu xác định. Xét hàm số V = V(t, X) liên tục theo t và theo x1, ..., xn
trong miÒn

z0 = {a < t < ∞, ||X|| < h}.

Ta sẽ đa các định nghĩa cơ bản về các hàm có dấu xác định và có dấu không
đổi.
Định nghĩa7.2.1. Hàm thực hiện liên tục V(t, X) đợc gọi là có dấu không đổi (dơng
hoặc âm) trong z0 nếu:
V(t, X) ≥ 0 (hc V(t, X) ≤ 0) víi (t, X) z0
Định nghĩa 7.2.2. Hàm V(t, X) đợc gọi là hàm xác định dơng trong z0 nếu tồn tại
hàm W(X) ∈ C(||X|| < h) sao cho:
V(t, X) ≥ W(X) > 0 với ||X|| 0

(6)

Hàm V(t, X) đợc gọi là xác định âm trong z0, nếu tồn tại hàm W(X) ∈ C (||X||
< h) sao cho:
V(t, X) = W(X) < 0 víi ||X|| ≠ 0 Vµ V(t, X) = W(0) = 0.

Hàm xác định dơng hoặc âm đợc gọi là hàm có dấu xác định. Đôi khi W(X) có thể
lấy: W ( X ) = inf | V (t , X ) | .
t
Đặc biệt, V = V(X) là hàm có dấu xác định nếu (-1) V(X) > 0 với ||X|| 0 và X(0) =
0, trong đó đối với hàm xác định dơng = 0, còn đối với hàm xác định âm = 1.
Định nghĩa 7.2.3. Hàm V(t, X) đợc gọi là hàm có giới hạn vô cïng bÐ bËc cao
→
khi X → 0 nÕu víi t0 > a nào đó ta có V (t , X )  0 trªn [t0, ∞) khi X → 0, tøc lµ
t

víi mäi ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 sao cho:
|V(t, X)| < ε

(7)

khi ||X|| < δ vµ t [t0, ).
Từ bất đẳng thức (7) có thể kết luận rằng hàm V(t, X) có giới hạm vô cùng bé bậc cao
khi X 0 sẽ bị chặn trong bán trụ nào đó.
12


t0 ≤ t < ∞, ||X|| < h.
NÕu hµm V(X) liên tục, không phục thuộc vào thời gian t và V(0) = 0 thì V(X)
sẽ có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi X 0
7.3. Các định lý của Liapunov về tính ổn định và ổn định tiệm cận nghiệm.
Cho hệ vi phân qui đổi:
dX
= G ( t, X)
dt

(8)

với G(t, X) liên tục theo t và các đạo hàm riêng liên tục theo x1, x2, ..., xn.
Trong một miÒn T (T = {a < t < ∞; ||X|| < H}).
Giả sử V = V(t, X) khả vi liên tơc theo c¸c biÕn t, x1, ..., xn trong T0 = {a < t < ∞ ; ||X||
≤ h < H} ⊂ T vµ G(t, X) = [G1(t, x1, ..., xn),...., Gn(t, x1, ..., xn)]T.
o

Định nghĩa. Hàm số V (t , X ) =

∂V n ∂V
+∑
G j (t , X )
t j =1 x j

(9)

đợc gọi là đạo hàm (toàn phần) theo t của hàm V(t, X) theo nghĩa của hệ (8).
Định lý thứ nhất Liapunov. Nếu đối với hệ qui đổi (8) tồn tại một hàm xác định dơng. V(t, X) liên tục theo các biến t, x1, , xn.
trong ®ã T0 = {a < t < ∞ ; ||X|| h < H} T có đạo hàm dấu không dơng V(t,X)
theo t trong nghĩa của hệ thì nghiƯm tÇm thêng X ≡ 0 (a < t < ) của hệ đà cho ổn
định theo Liapunov khi t +.
Ví dụ: Xét tính ổn định nghiệm tầm thờng cđa hƯ:

 dX
= − (x − 2 y)(1 − x 2 − 3y 2 )
 dt


 dy = − ( y + x)(1 − x 2 − 3y 2 )

 dt

Giải: Chọn hàm V(t, x, y) = x2 + 2y2.
Rõ ràng V(t, x, y) là hàm xác định dơng. Đạo hµm cđa hµm nµy theo t trong nghÜa
cđa hƯ lµ:
13


dV ∂V ∂x ∂V dy
=
.
+
.
dt
∂x dt
∂y dt

= 2x(2y – x)(1 – x2 – 3y2) + 4y(x + y)(3y2 + x2 - 1)
= -2(1 – x2 – 3y2)(x2 + 2y2) ≤ 0 víi x, y ®đ bÐ.
Ta thÊy ®iỊu kiƯn cđa định lý trên đợc thoà mÃn, vì vậy nghiệm tầm thêng X ≡
0, Y ≡ 0 cđa hƯ ®· cho là ổn định.
Hệ quả. Nếu đối với hệ vi phân tuyến tính thuần nhất:
dX
= A(t )X
dt

(A(t) C[t0, ))

tồn tại hàm xác định dơng V(t, X) có đạo hàm trong nghĩa của hệ V(t, X) 0 thì tất cả
các nghiệm X(t) của hệ đó đợc xác định và bị chẵn trên nửa trục [t0, ).

Chú ý: Trong định lý thứ nhất Liapunov có thể thay tính xác định dơng của hàm V(t,
X) bằng tính xác định âm nhng khi đó đòi hỏi V(t, X) phải là hàm không âm.
Định lý thứ hai Liapunov. Giả sử đối với hệ qui đổi (8) tồn tại một hàm xác định
dơng V(t, X) (liên tục theo các biến t, x 1,..., xn trong T0 = {a < t < ∞ ; ||X|| ≤ h < H}
o

T) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi X 0 và có đạo hàm theo t xác định âm V
(t, X) trong nghĩa của hệ đó. Khi đó nghiệm tầm thờng

X 0 của hệ ổn định tiệm

cận khi t +.
Hệ quả. Nếu đối với hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

dX
= A(t )X
dt

tồn tại hàm xác

định dơng V(t, X) thoả mÃn các điều kiện trong định lý thứ 2 của Liapunov thì mọi
nghiệm của hệ đó đều ổn định tiệm cận toàn cục.
Chú ý:
Trong định lý trên ta có thể thay điều kiện xác định dơng của hàm V(t, X) bằng điều
kiện xác định âm nhng khi đó phải có điều kiện xác định dơng đối với V(t, X).

14


Chơng II

Tính ổn định bình phơng trung bình của hệ vi phân ngẫu
nhiên có trễ
Đ1. Vi phân Itô của hàm Liapunov
Để nghiên cứu tính ổn định bình phơng trung bình của hệ vi phân ngẫu nhiên
ta cần một số khái niệm cơ bản về vi phân Itô đợc xây dựng theo các quá trình
Wiener.
I. Quá trình Wiener.
Định nghĩa 2.1.1.1. Quá trình ngẫu nhiên W = (Wt, t 0) xác định trên không gian
xác suất (, f, p) đợc gọi là quá trình Wiener nếu:
i) W0 = 0.
ii) (Wt) có gia sè ®éc lËp.
iii) Wt – Ws ∼ N(0, t - s).
Tõ tÝnh chÊt iii) ta suy ra EdWt = 0, E(dWt)2 = .
Định lý sau đợc gọi là qui tắc vi phân Itô.
Định lý 2.1.1.2. Cho X = (Xt) là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân Itô:
d xt = A(t, xt) dt + B(t, xt)dWt.
Gi¶ sư y = g(t, x) là hàm một lần khả vi liên tục theo biến t, hai lần khả vi
liên tục theo biến x. Khi đó quá trình ngẫu nhiên y t = g(t, Xt) có vi phân Itô đợc tính
theo công thøc:
dy t =

∂g
∂g
1 ∂2g 2
dt +
dX t +
B dt
∂t
∂x
2 ∂2x

15


II. Vi phân Itô của hàm Liapunov.
2.1.2.1. Xét hệ vi phân tuyến tính dừng.
dx
= Ax
dt

hay dx = Axdt

(1)

trong đó A ∈ Rn xn lµ ma trËn h»ng, x ∈ Rn.
Ta xây dựng hàm Liapunov của hệ (1) dới dạng:
V = xTHx = (x, Hx).
Trong đó: H là ma trận hằng xác định dơng.
Khi đó:

dV dx
dx

= , Hx  +  x, H  = (Ax, Hx ) + ( x , HAx )
dt  dt
dt 
 

= (x, ATHx) + (x, HAx) = (x, (ATH + HA)x) = xT(ATH + HA)x.
2.1.2.2. XÐt hƯ vi ph©n ngÉu nhiªn.

dx = Axdt + BxdW(t) hay dx = [Adt + BdW(t)]x.

(2)

trong đó A, B Rnxn là các ma trận.
Ta xây dựng hàm Liapunov của hệ (2) có dạng toàn phơng V = xTHx.
Theo công thức vi phân Itô ta cã:
dV = d(xTHx) = dxTHx + xTHdx + (Bx)THBxdt
= (xTATdt+xTBTdW(t)) Hx + xTH(Axdt + BxdW(t))+ xTBTHBxdt
= xT(ATH + HA + BTHB)xdt + xT(BTH + HB)xdW(t).
Lêi kú väng hai vÕ ta cã: EdV = xT(ATH + HA + BTHB)xdt (v× EdW = 0).
2.1.2.3. Xét hệ sai phân ngẫu nhiên.
x(k + 1) = [A + Bξ(k)]x(k).
trong ®ã ξ(k) = W(k + 1) W(k) là quá trình ồn trắng ngẫu nhiên.
V = Vx(k + 1)) – Vx(k) = xT(k + 1)Hx(k + 1) – xT(k)Hx(k)
Thay x(k + 1) = [A + Bξ(k)]x(k) ta cã:
∆V = xT(k)[ATHA – H + (BTHA + ATHB)ξ(k) + BTHBξ2(k)]x(k).
LÊy kú väng hai vÕ ta cã: E∆V= xT(k)(ATHA – H + BTHB)x(k).(V× Eξ(k) = 0
Eξ2(k) = E(W(k + 1) – W(k))2 = 1)
16


Đ2. Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân có trễ không
giải ra đối với các đạo hàm
I. Xét các hệ động lực véctơ - ma trận dừng n chiều có mô hình toàn học là hệ
phơng trình vi phân có trễ sau đây.
D

dx ( t )
= Ax ( t ) + A1x ( t − τ)

dt

(1)

víi ®iỊu kiện ban đầu 0 t0 < t, x() = x0 ≠ 0 víi θ = t0, x(θ) = 0, t0 - τ ≤ θ < t0.
τ = Const ≥ 0, t0 – τ ≤ θ ≤ t0.
t0 lµ thêi ®iĨm gèc; x, x0 – vect¬ cét n – chiỊu; A, A1- các ma trận hằng
Định nghĩa2.2.1.1. Nghiệm x = 0 của hệ (1) ổn định theo Liapunov nếu à > 0 bÐ
t ý,∃δ > 0 sao cho tõ ®iỊu kiÖn ||x0|| < δ suy ra ||x(t, t0, x0)|| < à.
Trong trờng hợp trái lại nếu không tồn tại thì ta nói x = 0 không ổn định.
Định nghĩa 2.2.1.2. Nghiệm x = 0 của hệ (1) ổn định tiệm cận theo Liapunov nếu
nó ổn định theo định nghĩa 1 và thoả mÃn:
lim || x ( t , t 0 , x 0 ) ||= 0 víi ®iỊu kiƯn gốc x0 mà ||x0|| < .

t

Định nghĩa 2.2.1.3. Nghiệm x = 0 của hệ (1) ổn định mũ theo Liapunov với số mũ
> 0 nếu nó ổn định tiệm cận và thoả mÃn:
||x(t, t0, x0)|| < k||x0|| e β t
trong ®ã k > 0, β > 0 - các hằng số không phụ thuộc t0, x0.
Định nghĩa2.2.1.4. Nghiệm x(t, t0, x0) của hệ (1) bị chẵn tuyệt đối nÕu ∃C > 0 sao
cho

||x0|| < δ th× ||x(t, t0, x0)|| < C.
Bài toán đặt ra là với giả thiết chùm ma trận D và A chính quy tìm các điều

kiện ổn định tiệm cận của nghiệm các hệ vi ph©n cã trƠ.
D

dx ( t )

= Ax ( t ) + A1x ( t − τ)
dt

II. Mét sè kÕt qu¶ ®· biÕt.

17

(*)


Chùm ma trận A D đợc gọi là chính quy (hay kh«ng suy biÕn) nÕu det(A λD) ≠ 0 (theo ), muốn thế các ma trận A và D phải không suy biến.
Nếu detA = 0 thì điều đó cã nghÜa lµ hƯ:
D

dy ( t )
= Ay( t )
dt

t0 t, y(t0) = x0

(2)

đặt ở biên ổn định.
Về sau này ta luôn giả thiết detD 0.
Nếu hệ (2) ổn định tiệm cận theo Liapunov tức là chùm ma trận A D Hurwitz
(hoặc phần thực của các giá trị riệng âm) thì ta có bổ đề sau đây:
Bổ ®Ò 2.2.2.1. NÕu chïm ma trËn A − λD Hurwitz thì ồn tại ma trận xác định dơng
đối xứng duy nhất H0 cỡ nxn là nghiệm của phơng trình Sylvester.
T

AT H 0 D + D H 0 A = −G

(3)

Trong đó G là ma trận xác định dơng đối xứng chọn tuỳ ý cỡ nxn chọn tuỳ ý.
Mệnh đề ngợc cũng đúng: Nếu ồn tại H0 = H T > 0 của phơng trình (3) thì chùm ma
o
trận A λ D Hurwitz.
Bỉ ®Ị 2.2.2.2. (Kalman, Bertram). NÕu Chïm ma trận A D ổn định mũ với chỉ số
mũ > 0 thì tồn tại ma trận xác định dơng đối xứng duy nhất cỡ nxn là nghiệm cả
phơng tr×nh Sylverter.
(A + βD)TH0D + DTH0(A +βD) = - G

(4)

Trong đó G là ma trận xác định dơng đối xứng chọn tuỳ ý cỡ nxn.
Mệnh đề ngợc cũng đúng: nếu tồn tại H0 = H T > 0 của phơng tr×nh (4) th× chïm
0
ma trËn A − λ D ỉn ®Þnh mị víi chØ sè β.

18


III. Vì hệ (1) tuyến tính và Ôtô môn nên phiếm hàm Liapunov Krasovski đợc
tìm trong các phếm hàm toàn phơng dạng.
t

T
T
V(x(t+)) = xT(t)DT H0D x(t) + x (θ) D H 0 Dx (θ)dθ

t −τ

(5)

Tõ ®ã ta cã:
dV ( x ( t , θ))
dt

= [Ax(t) + A1x(t – τ)]TH0D x(t) + xT(t) DT H0[Ax(t) + A1x(t – τ)]
+ γ[xT(t) DT H0D x(t) – xT(t – τ) DT H0D x(t – τ)]

(6)

HƯ thøc (6) cã thĨ viÕt díi d¹ng ma trËn
T
T
T
T
T
dv ( x(t + θ ))  x (t )   A H 0 D + D H 0 A + γ D H 0 D D H 0 A1 
=

  T
− γ DT H 0 D 
dt
 x (t − τ )   A1 H 0 D

 x(t ) 
 x(t − τ ) 



Ta thÊy

dv ( x(t + θ ))
< 0 khi vµ chØ khi
dt
 AT H 0 D + DT H 0 A + γ DT H 0 D DT H 0 A1 
 T

− γ DT H 0 D 
 A1 H 0 D
Xác định không dơng.

AT H 0 D + DT H 0 A + γ DT H 0 D DT H 0 A1 
Tøc lµ  T
 ≤ 02 nx 2 n
A1 H 0 D
− γ DT H 0 D

T
T
T
Xảy ra khi và chỉ khi và chỉ khi ma trËn  A H 0 D + D H 0 A + γ D H 0 D 



x¸c định âm
T
T
T

ma trận A H 0 D + D H 0 A + γ D H 0 D  xác định âm khi và chỉ khi H0 là



nghiệm của phơng trình Sylvester

19


AT H 0 D + DT H 0 A + γ D T H 0 D = −G
1
1
hay ( A + γ D)T H 0 D + DT H 0 .( A + γ D ) = −G
2
2

(8)
(9)

Muèn tån t¹i > 0 để phơng trình trên giải đợc trong lớp các ma trận xác định
dơng H0 cần và đủ là chùm ma trận A- D ổn định mũ với chØ sè β khi Êy chän γ
trong kho¶ng 0 < γ < 2β ®Ĩ cho γ → 2β. Do ®ã ta có mệnh đề sau
Định lý (điều kiện ổn định tiƯm cËn cđa nghiƯm ë hƯ (1)). NghiƯm tÇm thêng
x = 0 của hệ (1) ổn định tiệm cận theo Liapunov với mọi độ trễ

0 khi và

chỉ khi thoả mÃn các điều kiện sau:
i) Ma trận A D ổn định mũ (với chỉ số mũ ) còn chùm A + A1- D
Hurwitz.

ii) Tồn tại ma trận xác định dơng H0 là nghiệm của phơng trình (9), trong đó
G là ma trận xác định dơng đối xứng chọn tuú ý (G = G T > 0), sè d¬ng γ ∈ (0, 2β)
víi γ → 2β.
iii) X¶y ra bÊt ®¼ng thøc ma trËn:
 −G
 T
 A1 H 0 D


DT H 0 A1 

-γ DT H 0 D 


≤ 02n x 2n.

(10)

Bất đẳng thức trên cho ta ttính hạn chế của ma trận A1.
Đ3. Tính ổn định nghiệm của hệ vi phân ngẫu nhiên Itô có
trễ.
I. Cùng với các hệ tiện định các phơng trình vi phân ta xét hệ phơng trình vi
phân Itô có trễ sau đây.
Ddx(t) = [Ax(t) + A1xξ(t) – τ]dt + [B(ξ)xξ(t) + B1(ξ)xξ(t – τ)]dW(t) (3.1)
Với điều kiện ban đầu:
t0 t, x() = x0 ≠ 0 víi θ = t
x(θ) = 0

víi t0 – τ ≤ θ < t0
20

(2)


x, x - các véctơ n chiều của các biến pha của các hệ không nhiễu và có nhiễu tơng
ứng các giá trị ban đầu của chúng trùng nhau x(t0) = x (t0)
B(0) = B1(0) = 0.
W(t) là quá trình Wiener
Định nghĩa 2.3.1.1. Nghiệm tầm thờng (x = 0) của hệ (3. 1) đợc gọi là ổn định bình
phơng trung bình tuyệt đối nếu à > 0 tuỳ ý bÐ ∃δ > 0 sao cho tõ ||x0|| < δ.Th× E{||x
(t, t0, x0) ||2/ ||x0|| < } < à đúng với 0.
Định nghĩa2.3.1.2. Nghiệm tầm thờng (x = 0) của hệ (1) đợc gọi là ổn định tiệm
cận bình phơng trung bình tuyệt đối nếu nó ổn định theo định nghĩa 1 và ngoài ra:
E{|| x ( t , t 0 , x 0 ) ||2 / || x 0 ||< } 0


(t )

Định nghĩa2.3.1.3. Nghiệm x (t, t0, x0) của hệ (1) bị chẵn bình phơng trung bình
tuyệt đối nếu C > 0 sao cho tõ ||x0|| < δ suy ra:
E{||xξ (t, t0, x0) ||2/ ||x0|| < δ} < C ∀τ ≥ 0.
II. C¸c ®iỊu kiƯn ỉn ®Þnh tiƯm cËn tut ®èi.
Tõ lý thut tổng quát của phơng pháp thứ 2 của Liapunov trong lý thuyết ổn
định nghiệm của phơng trình vi phân suy ra rằng, nếu đối với hệ ( 1) tồn tại phếm
hàm xác định dơng Liapunov krasovski V(x(t + ), t ) khả vi một lần theo t, hai
lần theo x sao cho kỳ vọng của đạo hàm toàn phần dọc theo nghiệm của hệ (1) là âm
thì nghiệm x = 0 ổn định tiệm cận bình phơng trung bình.
Bây giờ ta xét tính ổn định nghiệm của hệ phơng trình ngẫu nhiên dạng:
Ddx(t) = [Ax(t) + A1x(t )]dt + [B()x(t) + B1()x(t )]dW(t)
Vì hệ trên tuyến tính dừng nên phiếm hàm Liapunov Krosovski thiết lập

điều kiện cần và đủ của tính ổn định tiệm cận tuyệt đối bình phơng trung bình đợc
tìm trong các phiếm hàm toàn phơng dạng:






V ( x (t + )) = ( x (t )) D HDx (t ) + γ
T

T

t

∫ (x



( ))T DT HDx ( )d

t

Trong đó: H là ma trận đối xứng xác định dơng cỡ n x n.
21


Hệ số sẽ xác định sau nếu cần thiết.
áp dơng c«ng thøc It« ta cã:
dV ( x ξ ) = d ( x ξ ( t )) T D T HDx ξ ( t ) + ( x ξ ( t )) T D T HDdx ξ ( t ) +

+ [B(ξ) x ξ ( t ) + B1 (ξ) x ξ ( t − τ)]H[B(ξ) x ξ ( t ) + B1x ξ ( t − τ)]dt
+ γ( x ξ ( t )) T D T HDx ξ ( t )dt − γ( x ξ ( t − τ)) T D T HDx ξ ( t − τ)dt

={[Axξ(t) + A1(xξ(t – τ))T]dt + [B(ξ)xξ(t) + B1(ξ)(xξ(t – τ))T]dW(t)
+ (xξ(t))TDT H{[A xξ(t) + A1xξ(t – τ)]dt + B(ξ)xξ(t) + B1(ξ)xξ(t – τ)]dW(t)}
+ [B(ξ)xξ(t) + B1(ξ)xξ(t – τ)]TH[B(ξ)xξ(t) + B1(ξ)xξ(t – τ)]Tdt
+ γ(xξ(t))TDT HDxξ(t)dt - γ(xξ(t – τ))TDT HD xξ(t – τ)dt
LÊy kú väng hai vÕ ta cã:
dV ( x ξ )

E
 dt




 =[Ax(t)+A1x(t–τ)]THDx(t)+(x(t))TDTH[Ax(t)+A1x(t-τ)]+
ξ

x =x 

γ(x(t))TDTHDx(t)–γ(x(t–τ)TDTHDx(t– τ) + [B(ξ)x(t)+B1(ξ)x(t– τ)]TH[B(ξ)x(t) +
B1(ξ)x(t – τ)].
(v× EdWt = 0)

22


=

τT T T T T T
t x( ) A HD+ D HA+ γ D HD+ B HB D HA1+ B HB1  x(t) 
 T T T T   
 x( − τ )t
xB1+HD-γ D B H   ( − τ )t 
   A1HD+ A1HB

Ta thÊy:

dV ( x ξ )

E
 dt





ξ

x =x 

< 0 khi vµ chØ khi

 AT HD + DT HA + γ DT HD + BT HB DT HA1 + BT HB1 

 ≤ O2n x 2n
A1T HD + A1T HB
-γ DT HD + B1T HB

Điều kiện này xẩy ra khi ma trận [ATHD + DTHA + DTHD + BTHB] xác định
âm mà ma trận[ATHD + DTHA + DTHD + BTHB] xác định âm khi và chỉ khi H là
nghiệm của phơng trình Sylverter.
ATHD + DTHA + DTHD + BTHB =-G
Trong đó G là ma trận dơng lấy tuỳ ý, đối xứng cỡ nxn (G = GT > On xn) phơng trình
ma trận trên có thể viết dới dạng:
T

1
1



T
T
A + γED  HD + D H A + γD  + B HB = −G
2
2





23

Khi không có thành phần nhiễu (B = On xn) thì phơng trình có nghiệm
xn

H > On

khi và chỉ khi A là ổn định mũ với chỉ số > 0 (2 > > 0) (theo định lý Kelman

và Bertram (1960)).
Bằng cách chọn trong khoảng 0 < < 2β sao cho γ → 2β ta ®i ®Õn mệnh đề sau:
Định lý (tiêu chuẩn ổn định tiệm cận tuyệt đối, bình phơng trung bình).
Nghiệm tầm thờng (x = 0) của hệ (3. 1) ổn định tiệm cận tuyệt đối bình phơng
trung bình với 0 khi và chỉ khi thoả mÃn các điều kiện:
i) Ma trận A ổn định mũ (với chỉ số > 0) và ma trận A + A1 Hurwitz.
ii) Tồn tại nghiệm xác định dơng H của phơng trình ma trận:
T

1
1



T
T
A + γD  HD + D H A + γD + B HB = G
2
2

trong đó G là ma trận xác định dơng, đối xứng tuỳ ý chọn; số dơng lấy trong
khoảng 0 < < 2 ( 2)
iii) Xảy ra bất đẳng thức ma trận:

G
T
T
A1 HD + B1 HB


DT HA1 + BT HB1 

-γ DT HD + B1T HB1


O2n x 2n

Bất đẳng thức trên phản ánh tính hạn chế của các ma trËn A 1 vµ B1 dƠ dµng
nhËn thÊy r»ng khi kh«ng cã nhiƠu (B = B 1 = On xn) từ định lý trên suy ra định lý đối
với hệ tiên định có trễ

24


kết luận
1. Các vấn đề khóa luận đà trình bày.
1.1. Các khái niệm cơ bản của tính ổn định theo Liapunov của hệ phơng trình vi
phân tuyến tính
1.2. Các tính chất ổn định theo Liapunov của hệ phơng trinh vi phân tuyến tính

thuần nhất.
1.3. Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất với ma trận
hằng.
1.4. Phơng pháp thứ hai của Liapunov để nghiên cứu tính ổn định của hệ phơng
trình vi phân tuyến tính thuần nhất.
2. Những đóng góp của khóa luận:
Nghiên cứu tính ổn định bình phơng trung bình của hệ vi phân ngẫu nhiên Itô
có trễ không giải ra đối với đạo hàm. Thiết lập đợc điều kiện đủ để nghiệm tầm thờng
của hệ trên ổn định tiệm cận bình phơng trung bình biểu thị bằng ngôn ngữ của phơng trình ma trận Sylvester nhờ sử dụng phơng pháp hàm ngẫu nhiên Liapunov.

25