Tính điều khiển được của phương trình đạo hàm riêng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Lâm Quang Thiện
TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố HỒ CHÍ MINH - 2010
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Lâm Quang Thiện
TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
Chuyên ngành: Lý Thuyết Tối Ưu Và Hệ Thống
Mã số: 60 46 20
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người Hướng Dẫn Khoa Học: GS. TSKH. Đỗ Công Khanh
Thành phố HỒ CHÍ MINH - 2010
1
Lời nói đầu
Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực Toán học ứng
dụng quan trọng. Các khái niệm điều khiển được và quan sát được đã trở
thành trung tâm của lý thuyết điều khiển bởi các công trình của R. Kalman
vào những năm 1960. Rất nhanh sau đó, những công trình này được tổng
quát hoá cho các hệ vô hạn chiều. Những người đầu tiên đóng góp cho sự
tổng quát hoá này ta có thể kể tới D.L. Russell, H. Fattorini, T. Seidman và
J L. Lions. Trong đó Lions đã tạo ra ảnh hưởng to lớn và sâu sắc thông qua
cuốn sách [13], cuốn sách này cho tới nay vẫn là nguồn cảm hứng chính cho
rất nhiều nhà nghiên cứu.
Không giống như trong lý thuyết điều khiển hữu hạn chiều, với các hệ vô
hạn chiều có rất nhiều khái niệm về điều khiển được và quan sát được (các
khái niệm này là không tương đương). Trong đó khái niệm mạnh nhất đó

là điều khiển được chính xác và quan sát được chính xác. Điều khiển được
chính xác tại thời gian τ > 0 có nghĩa là trạng thái cuối cùng bất kỳ có thể
đạt được từ trạng thái ban đầu zero, bằng một tín hiệu đầu vào thích hợp
trên đoạn thời gian [0, τ]. Khái niệm đối ngẫu của điều khiển được chính xác
tại τ là quan sát được chính xác tại thời gian τ. Khái niệm này có nghĩa là
nếu tín hiệu đầu vào là zero, thì trạng thái ban đầu có thể được phục hồi
một cách liên tục từ tín hiệu đầu ra trên đoạn [0, τ].
Sự phát triển trạng thái của rất nhiều hệ phương trình vi phân từng phần
tuyến tính (PDE’s) có thể được biểu diễn bằng các nửa nhóm toán tử. Trạng
thái của những hệ như thế là một phần tử của không gian định chuẩn vô
hạn chiều, khi đó hệ được gọi là "hệ tuyến tính vô hạn chiều".
Việc nghiên cứu các nửa nhóm toán tử là một lãnh vực phát triển của giải
tích hàm, và nó vẫn còn đang tiếp tục phát triển (xem tài liệu tham khảo [4]).
Những nghiên cứu về toán tử quan sát được và điều khiển được cho các nửa
nhóm đó thì mới đựơc bắt đầu gần đây. Những toán tử này cần dùng để mô
tả sự tương tác của một hệ với thế giới xung quanh nó thông qua hàm đầu
vào và đầu ra.
Người nghiên cứu lãnh vực quan sát được và điều khiển được thường theo hai
hướng: giải tích hàm hoặc PDE. Thời gian gần đây các nhà nghiên cứu đã cố
gắng kết hợp hai hướng này lại (xem tài liệu tham khảo [21]). Sự kết hợp này
là cần thiết để tạo ra một hướng mới hiệu quả hơn. Cụ thể thì phương pháp
2
giải tích hàm là quan trọng cho việc thiết lập các khái niệm một cách chính
xác và nghiên cứu sự liên kết giữa chúng. Sau đó áp dụng những khái niệm
và kết quả này cho các hệ PDE’s. Khi đó chúng ta sẽ gặp phải những khó
khăn mới. Để giải quyết những khó khăn này thì những kỹ thuật của giải
tích toán học được dùng đến, ví dụ như: phương pháp nhân tử, ước lượng
Carleman và giải tích Fourier không điều hoà.
Mục lục
Lời nói đầu 1

1 Một số kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Tính chính quy của biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Công thức hàm Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Phổ và giải thức (resolvent) của một toán tử . . . . . . . . . . 12
1.6 Không gian con bất biến của nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Toán tử chéo hoá được và nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8 Nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9 Các không gian X
1
và X
−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.10 Toán tử dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.11 Dirichlet Laplacian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.12 Toán tử phản liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.13 Toán tử quan sát chấp nhận được . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Tính quan sát được và điều khiển được cho hệ tuyến tính
hữu hạn chiều 25
2.1 Tính quan sát được và điều khiển được cho hệ tuyến tính hữu
hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Điều kiện Hautus cho hệ tuyến tính hữu hạn chiều . . . . . . . 29
3 Tính quan sát được 33
3.1 Một số khái niệm về tính quan sát được . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Một số ví dụ dựa trên phương trình sóng một chiều . . . . . . 36
3.3 Điều kiện cần Hautus cho tính quan sát được chính xác . . . . 39
3.4 Điều kiện Hautus cho tính quan sát được chính xác với toán
tử sinh phản liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 Điều kiện phổ cho tính quan sát được chính xác với toán tử

sinh phản liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
MỤC LỤC 4
4 Tính quan sát được chính xác trên biên cho phương trình
sóng 55
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Một số kiến thức cơ bản về giải tích hàm
Trong chương này ta trình bày một số kiến thức cơ bản về Giải tích hàm.
Mệnh đề sau là hệ quả của định lý đồ thị đóng:
Mệnh đề 1.0.1 Giả sử Z
1
, Z
2
và Z
3
là các không gian Hilbert, F ∈ L(Z
1
, Z
3
)
và G ∈ L(Z
2
, Z
3
). Khi đó các phát biểu sau là tương đương:
1. RanF ⊂ Ran G;
2. Tồn tại c > 0 sao cho
F
∗
z

Z
1
≤ cG
∗
z
Z
2
∀z ∈ Z
3
;
3. Tồn tại toán tử L ∈ L(Z
1
, Z
2
) sao cho F = GL.
1.1 Tính chính quy của biên
Trong hai Định nghĩa sau ta trình bày về tính chính quy của biên ∂Ω.
Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω là tập con mở của R
n
. Biên ∂Ω là Lipschitz nếu
tồn tại L ≥ 0 (gọi là hằng số Lipschitz của ∂Ω) sao cho các tính chất sau
thoả: với mọi x ∈ ∂Ω, tồn tại một lân cận V của x trong R
n
và một hệ toạ
độ trực chuẩn ký hiệu là (y
1
, , y
n
) sao cho
1. V là hình chữ nhật trong hệ toạ độ mới,

V = {(y
1
, , y
n
)| − a
j
< y
j
< a
j
, 1 ≤ j ≤ n};
Một số kiến thức chuẩn bị 6
2. Tồn tại hàm Lipschitz ϕ với hằng số Lipschitz ≤ L xác định trên
V

= {(y
1
, , y
n−1
)| − a
j
< y
j
< a
j
, 1 ≤ j ≤ n − 1},
sao cho |ϕ(y

)| ≤
a

n
2
với mọi y

= (y
1
, , y
n−1
) ∈ V

,
Ω ∩ V = {y = (y

, y
n
) ∈ V | y
n
< ϕ(y

)},
∂Ω ∩V = {y = (y

, y
n
) ∈ V | y
n
= ϕ(y

)}.
Hay là, trong lân cận của điểm bất kỳ x ∈ ∂Ω, tập Ω nằm bên dưới đồ thị

của ϕ và ∂Ω là đồ thị của ϕ. Suy ra nếu Ω là một tập mở với biên Lipschitz
thì Ω không nằm về hai phía của ∂Ω tại bất kỳ điểm nào thuộc ∂Ω. Ví dụ
tập R
∗
= R\{0} là không có biên Lipschitz.
Nếu D là tập mở trong R
n
, f : D → C và m ∈ N, hàm f là thuộc lớp C
m, 1
nếu f thuộc lớp C
m
và mọi đạo hàm từng phần của f có cấp m là liên tục
Lipschitz. Điều này tương đương với mọi đạo hàm của f có cấp ≤ m + 1 là
thuộc L
∞
(D).
Định nghĩa 1.1.2 Cho Ω là tập con mở của R
n
và m ∈ Z
+
. Ta gọi ∂Ω là
thuộc lớp C
m
(tương ứng thuộc lớp C
m,1
) nếu các tính chất trong định nghĩa
trên thoả với ϕ thuộc lớp C
m
(tương ứng thuộc lớp C
m,1

) và chuẩn L
∞
của
ϕ và m (tương ứng m + 1) đạo hàm đầu tiên là giới nội đều.
Ví dụ, phần trong của một đa giác lồi trong R
2
có biên Lipschitz, nhưng
biên của nó lại không thuộc lớp C
1
. Nếu Ω = {(x, y) ∈ R
2
| y > sin x} thì
∂Ω thuộc lớp C
m
với mọi m, nhưng nếu ta thay sin x bằng sin(x
2
) thì ∂Ω là
không Lipschitz.
x
y
Ω
Hình 1.1. Tập Ω = {(x, y) ∈ R
2
| y > sin x}.
1.2 Công thức hàm Green 7
x
y
Ω
Hình 1.2. Tập Ω = {(x, y) ∈ R
2

| y > sin x
2
}.
1.2 Công thức hàm Green
Trong Định lý sau ta trình bày về công thức hàm Green.
Định lý 1.2.1 Cho Ω là tập con mở giới nội của R
n
với biên Lipschitz ∂Ω,
lấy f, g ∈ H
1
(Ω) và l ∈ {1, . . . , n}. Khi đó ta có

Ω
∂f
∂x
l
gdx +

Ω
f
∂g
∂x
l
dx =

∂Ω
(γ
0
f)(γ
0

g)ν
l
dσ, (1.1)
với ν
l
ký hiệu thành phần thứ l của trường véctơ pháp đơn vị hướng ngoài,
và γ
0
f = f|
∂Ω
∀f ∈ C
1
(clos Ω).
Giả sử v ∈ H
1
(Ω, C
n
) và g ∈ H
1
(Ω). Nếu ta lấy f = v
l
trong (1.1) và lấy
tổng với mọi l = 1, 2, . . . , n, khi đó ta thu được công thức:

Ω
(div v)gdx +

Ω
v · ∇gdx =


∂Ω
(v · ν)gdσ. (1.2)
Trường hợp đặc biệt nếu g(x) = 1, thì khi đó ta có công thức Gauss

Ω
div vdx =

∂Ω
v · νdσ. (1.3)
1.3 Không gian Sobolev
Với J là khoảng mở, U là không gian Hilbert, không gian Sobolev H
1
(J; U)
gồm những hàm liên tục tuyệt đối địa phương z : J → U sao cho
dz
dt
∈
L
2
(J; U). Không gian H
2
(J; U) được định nghĩa tương tự, nhưng với yêu cầu
Một số kiến thức chuẩn bị 8
dz
dt
∈ H
1
(J; U). Không gian H
1
0

(J; U) gồm những hàm trong H
1
(J; U) sao
cho nó biến mất tại những điểm cuối của J (chúng có giới hạn bằng 0 ở đây).
Với khoảng J bất kỳ, C(J; X) = C
0
(J; X) gồm những hàm liên tục từ J vào
X; C
m
(J; X) (với m ∈ N) gồm những hàm từ J vào X khả vi m lần và có
đạo hàm cấp ≤ m thuộc C(J; X). Những hàm trong C
m
(J; X) cũng được
gọi là những hàm thuộc lớp C
m
.
1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh
Họ các toán tử (e
tA
)
t≥0
(với A là toán tử tuyến tính trên không gian véctơ
hữu hạn chiều) đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết hệ thống, bởi vì nó
mô tả sự phát triển của trạng thái của một hệ tuyến tính với sự vắng mặt
của đầu vào. Nếu chúng ta muốn nghiên cứu những hệ có không gian trạng
thái là một không gian Hilbert, thì chúng ta cần sự tổng quát một cách tự
nhiên của một họ như thế thành một họ các toán tử tác động lên không gian
Hilbert. Những sự tổng quát khác nhau đều có thể, nhưng dường như khái
niệm về nửa nhóm liên tục mạnh là hợp lý hơn. Lý thuyết về những nửa
nhóm như thế là một phần quan trọng của giải tích hàm.

Định nghĩa 1.4.1 Một họ các toán tử T = (T
t
)
t≥0
của các toán tử trong
L(X) là một nửa nhóm liên tục mạnh trên X nếu
1. T
0
= I,
2. T
t+τ
= T
t
T
τ
với mọi t, τ ≥ 0 (tính chất nửa nhóm),
3. lim
t→0, t>0
T
t
z = z, với mọi z ∈ X (tính liên tục mạnh).
Ý nghĩa trực giác của họ toán tử như trên là nó mô tả sự phát triển trạng
thái của một quá trình theo cách sau: nếu z
0
∈ X là trạng thái ban đầu của
quá trình tại thời gian t = 0, thì trạng thái của nó tại thời gian t ≥ 0 là
z(t) = T
t
z
0

. Hơn nữa z(t + τ ) = T
t
z(τ), vì thế quá trình không thay đổi bản
chất của nó theo thời gian.
Một lớp đơn giản của các nửa nhóm liên tục mạnh được cho như sau: đặt
A ∈ L(X) và
T
t
= e
tA
=
∞

k=0
(tA)
k
k!
. (1.4)
1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh 9
Nhận thấy rằng dãy này hội tụ trong L(X) với mọi t ≥ 0 và hàm T
t
là liên
tục đều lim
t→0
||T
t
− I|| = 0. Từ (1.4) ta có
||e
tA
|| ≤ e

t||A||
∀t ≥ 0 (1.5)
Biên tăng (growth bound) của nửa nhóm liên tục mạnh T là số ω
0
(T) được
định nghĩa bởi
ω
0
(T) = inf
t∈(0,∞)
1
t
log ||T
t
|| (1.6)
Nhận thấy ω
0
(T) ∈ [−∞, ∞). Việc đặt tên là biên tăng (growth bound)
được giải thích theo mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.4.2 Đặt T là nửa nhóm liên tục mạnh trên X, với biên tăng
ω
0
(T). Khi đó
1. ω
0
(T) = lim
t→∞
1
t
log ||T

t
||
2. Với mọi ω > ω
0
(T), tồn tại một M
ω
∈ [1, ∞) sao cho
||T
t
|| ≤ M
ω
e
ωt
∀t ∈ [0, ∞). (1.7)
3. Hàm ϕ : [0, ∞) ×X → X được định nghĩa bởi ϕ(t, z) = T
t
z là liên tục
(ứng với topô tích).
Chứng minh. Cho z ∈ X. Từ tính liên tục bên phải của hàm t → T
t
z tại
t = 0, suy ra rằng tồn tại một τ > 0 sao cho hàm này là giới nội trên [0, τ].
Theo tính chất nửa nhóm, hàm như vậy là giới nội trên [0, T ], với mọi T > 0.
Áp dụng định lý giới nội đều, ta suy ra rằng hàm t → ||T
t
|| là giới nội với
t ∈ [0, T ], với mọi T > 0.
Chứng minh (1). Ký hiệu p(t) = log ||T
t
||. Từ tính chất nửa nhóm ta có

p(t + τ) ≤ p(t) + p(τ ). Ký hiệu [t] và {t} là phần nguyên và phân số của
t ∈ [0, ∞). Ta có
p(t) = p([t] + {t}) ≤ [t]p(1) + p({t})
.
Từ phần đầu của chứng minh này ta biết rằng p({t}) là giới nội trên. Chia
cho t và lấy lim sup, ta có
lim sup
t→∞
p(t)
t
≤ p(1).
Một số kiến thức chuẩn bị 10
Công thức tương tự (với chứng minh tương tự) thoả nếu ta thay p bằng p
α
,
với p
α
(t) = p(αt), α ∈ (0, ∞). Từ đây ta có
lim sup
t→∞
p(t)
t
≤
p(α)
α
∀α > 0,
do đó lim sup
t→∞
p(t)
t

≤ inf
t∈(0, ∞)
p(t)
t
. Bất đẳng thức ngược lại hiển nhiên
thoả, vì thế ta có
lim
t→∞
p(t)
t
= inf
t∈(0, ∞)
p(t)
t
= ω
0
(T)
Chứng minh (2). Được suy ra từ (1). Thực ra, nếu ω > ω
0
(T) thì ||T
t
|| ≤ e
ωt
với mọi t ≥ t
ω
thoả với t
ω
≥ 0 nào đó. Do đó ta có thể đặt M
ω
=

sup
t∈[0, t
ω
]
||T
t
||e
−ωt
.
Chứng minh 3. Đầu tiên chúng ta chứng minh rằng với mọi z
0
∈ X cho trước,
hàm t → ϕ(t, z
0
) là liên tục. Tính liên tục theo hướng bên phải là rõ ràng. Ta
chứng minh tính liên tục theo hướng bên trái. Cho t
n
→ t
0
> 0 với t
n
< t
0
.
Khi đó ||ϕ(t
n
, z) −ϕ(t
0
, z)|| = ||T
t

n
(I − T
t
0
−t
n
)z|| ≤ K||(I −T
t
0
−t
n
)z||, với
K là chặn trên cho T
t
n
. Cuối cùng chúng ta chứng minh tính liên tục của ϕ.
Lấy (t
n
, z
n
) → (t
0
, z
0
) ∈ [0, ∞) ×X. Khi đó
T
t
n
z
n

− T
t
0
z
0
= T
t
n
(z
n
− z
0
) + T
t
n
z
0
− T
t
0
z
0
,
suy ra
||ϕ(t
n
, z
n
) − ϕ(t
0

, z
0
)|| ≤ K||z
n
− z
0
|| + ||ϕ(t
n
, z
0
) − ϕ(t
0
, z
0
)||,
với K là chặn trên nào đó của ||T
t
n
|| 
Định nghĩa 1.4.3 Cho T là nửa nhóm liên tục mạnh trên X, với biên tăng
ω
0
(T). Nửa nhóm này được gọi là ổn định mũ nếu ω
0
(T) < 0.
Định nghĩa 1.4.4 Toán tử tuyến tính A : D(A) → X được định nghĩa bởi
D(A) =

z ∈ X| lim
t→0, t>0

T
t
z − z
t
tồn tại

,
Az = lim
t→0, t>0
T
t
z − z
t
∀z ∈ D(A),
được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm T.
1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh 11
Ví dụ nếu T
t
= e
tA
thì khi đó toán tử sinh là A.
Mệnh đề 1.4.5 Cho T là nửa nhóm liên tục mạnh trên X, với toán tử sinh
A. Khi đó với mọi z ∈ D(A) và t ≥ 0 ta có T
t
z ∈ D(A) và
d
dt
T
t
z = AT

t
z = T
t
Az. (1.8)
Chứng minh. Nếu z ∈ D(A), t ≥ 0 và τ > 0, thì
T
τ
− I
τ
T
t
z = T
t
T
τ
− I
τ
z → T
t
Az, khi τ → 0. (1.9)
Vì thế T
t
z ∈ D(A) và AT
t
z = T
t
Az. Hơn nữa (2.1.6) suy ra rằng đạo hàm
phía bên phải của T
t
z tồn tại và bằng với AT

t
z. Chúng ta phải chỉ ra rằng,
với t > 0, đạo hàm bên trái của T
t
z cũng tồn tại và bằng với T
t
Az. Điều này
được suy ra từ
T
t
z − T
t−τ
z
τ
− T
t
Az = T
t−τ

T
τ
z − z
τ
− Az

+ (T
t−τ
Az − T
t
Az).


Mệnh đề 1.4.6 Cho T là nửa nhóm liên tục mạnh trên X, với toán tử sinh
A. Lấy z
0
∈ X và với mọi τ > 0 đặt
z
τ
=
1
τ
τ

0
T
t
z
0
dt.
Khi đó z
τ
∈ D(A) và lim
τ→0
z
τ
= z
0
.
Chứng minh. z
τ
→ z

0
(khi τ → 0) được suy ra từ tính liên tục của hàm
t → T
t
z
0
(vì z
τ
là trung bình của hàm này trên [0, τ ]). Với mọi τ, h > 0,
T
h
− I
h
z
τ
=
1
h
τ
τ+h

τ
T
t
z
0
dt −
1
h
τ

h

0
T
t
z
0
dt
Lấy giới hạn khi h → 0, ta có z
τ
∈ D(A) và Az
τ
=
1
τ
(T
τ
z
0
− z
0
) 
Chú ý 1.4.7 Chứng minh trên cũng chỉ ra đẳng thức sau:
T
τ
z − z = A
τ

0
T

σ
zdσ ∀z ∈ X.
Hệ quả 1.4.8 Nếu A như trên, khi đó D(A) là trù mật trong X.
Một số kiến thức chuẩn bị 12
1.5 Phổ và giải thức (resolvent) của một toán
tử
Định nghĩa 1.5.1 Nếu A : D(A) → X, với D(A) ⊂ X, thì tập giải thức
(resolvent set) của A, ký hiệu ρ(A), là tập những điểm s ∈ C sao cho toán
tử sI −A : D(A) → X là khả nghịch và (sI −A)
−1
∈ L(X). Phổ của A, ký
hiệu σ(A), là phần bù của ρ(A) trong C. (sI − A)
−1
được gọi là giải thức
(resolvent) của A.
Mệnh đề 1.5.2 Giả sử A : D(A) → X, D(A) ⊂ X và β ∈ ρ(A). Ký hiệu
r
β
= (βI − A)
−1
. Nếu s ∈ C sao cho |s − β| <
1
r
β
, thì s ∈ ρ(A) và
(sI − A)
−1
 ≤
r
β

1 − |s −β|r
β
· (1.10)
Chú ý 1.5.3 Từ mệnh đề trên suy ra, với mọi A : D(A) → X, tập ρ(A)
là mở và do đó σ(A) là đóng. Từ Mệnh đề trên ta cũng suy ra, với mọi
β ∈ ρ(A), |λ −β| ≥
1
r
β
với mọi λ ∈ σ(A), và do đó
(βI −A)
−1
 ≥
1
min
λ∈σ(A)
|β −λ|
·
Cho A : D(A) → X với D(A) ⊂ X. Ta định nghĩa không gian D(A
n
) một
cách đệ quy:
D(A
n
) = {z ∈ D(A)|Az ∈ D(A
n−1
)}.
Mũ của A, A
n
: D(A

n
) → X được định nghĩa một cách tự nhiên.
Xét toán tử A
n
với n ∈ N. Ta có nhận xét rằng, với mọi t ≥ 0, T
t
D(A
n
) ⊂
D(A
n
). Giới thiệu không gian D(A
∞
) như sau:
D(A
∞
) =

n∈N
D(A
n
).
Hệ quả 1.5.4 Nếu T là nửa nhóm liên tục mạnh trên X, với toán tử sinh
A, và nếu M
ω
và ω thoả (1.7), thì
(sI − A)
−1
 ≤
M

ω
Res −ω
∀s ∈ C
ω
. (1.11)
Mệnh đề 1.5.5 Nếu A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh trên X
thì D(A
∞
) là trù mật trong X.
1.6 Không gian con bất biến của nửa nhóm 13
1.6 Không gian con bất biến của nửa nhóm
Định nghĩa 1.6.1 Cho T là nửa nhóm liên tục mạnh trên X, với toán tử
sinh A. V là không gian con của X. Phần của A trong V , ký hiệu là A
V
,
là hạn chế của A lên miền
D(A
V
) = {z ∈ D(A) ∩ V | Az ∈ V }.
V được gọi là bất biến đối với T nếu T
t
z ∈ V với mọi z ∈ V và mọi t ≥ 0.
1.7 Toán tử chéo hoá được và nửa nhóm
Mệnh đề 1.7.1 Cho A : D(A) → X là chéo hoá được. (φ
k
) là một cơ sở
Riesz gồm các véctơ riêng của A. Lấy (
˜
φ
k

) là dãy song trực giao với (φ
k
) và
ký hiệu giá trị riêng ứng với véctơ riêng φ
k
là λ
k
. Khi đó
D(A) =

z ∈ X






k∈N
(1 + |λ
k
|
2
)|z,
˜
φ
k
|
2
< ∞


, (1.12)
Az =

k∈N
λ
k
z,
˜
φ
k
φ
k
∀z ∈ D(A). (1.13)
A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh T trên X nếu và chỉ nếu
sup
k∈N
Re λ
k
< ∞. (1.14)
Nếu điều trên thoả, thì
sup
k∈N
Re λ
k
= ω
0
(T) (1.15)
và với mọi t ≥ 0,
T
t

z =

k∈N
e
λ
k
t
z,
˜
φ
k
φ
k
∀z ∈ X. (1.16)
Nửa nhóm được cho như trong mệnh đề trên được gọi là nửa nhóm chéo
hoá được.
Một số kiến thức chuẩn bị 14
1.8 Nhóm liên tục mạnh
Toán tử T ∈ L(X) được gọi là khả đảo trái nếu tồn tại T
−1
left
∈ L(X) sao
cho T
−1
left
T = I. Điều này tương đương với tồn tại m > 0 sao cho
||T z|| ≥ m||z|| ∀z ∈ X.
Với lý do này mà toán tử khả đảo trái cũng được gọi là toán tử giới nội dưới.
T ∈ L(X) được gọi là khả đảo phải nếu tồn tại một toán tử T
−1

right
∈ L(X)
sao cho T T
−1
right
= I. Điều này tương đương với RanT = X (T là toàn ánh).
Định nghĩa 1.8.1 Cho T là nửa nhóm liên tục mạnh trên X. T được gọi là
khả đảo trái ( khả đảo phải) nếu với τ > 0 nào đó, T
τ
là khả đảo trái (khả
đảo phải). Nửa nhóm được gọi là khả đảo nếu nó vừa khả đảo trái và khả
đảo phải.
Mệnh đề 1.8.2 Cho T là nửa nhóm liên tục mạnh trên X.
Nếu T là khả đảo phải thì T
t
là khả đảo phải với mọi t > 0.
Nếu T là khả đảo trái thì T
t
là khả đảo trái với mọi t > 0.
Chứng minh. Lấy τ > 0 sao cho T
τ
là toàn ánh. Cho t > 0 và lấy n ∈ N sao
cho t ≤ nτ. Khi đó T
nτ
là toàn ánh. Đặt  = nτ − t. Khi đó từ T
nτ
= T
t
T


ta thấy rằng T
t
là toàn ánh.
Lấy τ > 0 sao cho T
τ
là giới nội dưới. Cho t > 0 và lấy n ∈ N sao cho t ≤ nτ.
T
nτ
là giới nội dưới. Đặt  = nτ − t. Khi đó từ T
nτ
= T

T
t
ta thấy rằng T
t
là giới nội dưới. 
Định nghĩa 1.8.3 Cho X là không gian Hilbert. Họ T = (T
t
)
t∈R
các toán
tử trong L(X) là nhóm liên tục mạnh trên X nếu nó có tính chất (1) và
(3) trong Định nghĩa 1.4.1 và nó có tính chất nhóm T
t+τ
= T
t
T
τ
với mọi

t, τ ∈ R.
Toán tử sinh của nhóm được định nghĩa tương tự như toán tử sinh nửa nhóm.
Một toán tử U ∈ L(X) được gọi là unita nếu UU
∗
= U
∗
U = I. Nửa nhóm
liên tục mạnh T trên X được gọi là unita nếu T
t
là unita với mọi t > 0.
Một nửa nhóm unita có thể mở rộng tới một nhóm, khi đó nhóm này được
gọi là nhóm unita.
1.8 Nhóm liên tục mạnh 15
Chú ý 1.8.4 Nếu trong X có một cơ sở trực chuẩn tạo ra bởi các véctơ riêng
của A, thì T là unita nếu và chỉ nếu Re λ = 0 với mọi λ ∈ σ(A).
Ví dụ 1.8.5 Trong ví dụ này ta xây dựng nửa nhóm ứng với hệ phương trình
mô tả sự dao động của một sợi dây đàn hồi được cố định 2 đầu mút và có
chiều dài π. Mối liên hệ giữa nửa nhóm trong ví dụ này và phương trình
sóng một chiều (hay phương trình của sợi dây) sẽ được giải thích trong Chú
ý 1.8.6.
0
w(x, 0) = f(x)
π
x
w
t
Hình 1.3. Sợi dây đàn hồi được cố định hai đầu và có chiều dài π.
Ký hiệu X = H
1
0

(0, π) ×L
2
[0, π] là một không gian Hilbert với tích vô hướng

f
1
g
1

,

f
2
g
2

=
π

0
df
1
dx
(x)
df
2
dx
(x)dx +
π


0
g
1
(x)g
2
(x)dx.
Định nghĩa toán tử A : D(A) → X như sau
D(A) = [H
2
(0, π) ∩ H
1
0
(0, π)] × H
1
0
(0, π),
A

f
g

=

g
d
2
f
dx
2


, ∀

f
g

∈ D(A).
Ký hiệu Z
∗
là tập các số nguyên khác 0. Với n ∈ Z
∗
, ký hiệu ϕ
n
(x) =

2
π
sin(nx). Họ (ϕ
n
)
n∈N
là cơ sở trực chuẩn trong L
2
[0, π]. Điều này suy ra
họ (φ
n
)
n∈Z
∗
cho bởi
φ

n
=
1
√
2

1
in
ϕ
n
ϕ
n

∀n ∈ Z
∗
, (1.17)
là một cơ sở trực chuẩn trong X. Ta có thể chứng minh họ này là cơ sở trực
chuẩn trong X một cách trực tiếp như sau. Nếu z =

f
g

∈ X sao cho
Một số kiến thức chuẩn bị 16
z, φ
n
 = 0 với mọi n ∈ Z
∗
, thì ta cũng có điều tương tự với z =


f
g

(ở
đây chúng ta sử dụng φ
n
= −φ
−n
). Từ đây suy ra rằng Rez và Imz là trực
giao với φ
n
, với mọi n ∈ Z
∗
. Vì
ReRez, φ
n
 =
1
√
2
Reg, ϕ
n
 ∀n ∈ N,
Ta thu được Reg = 0. Tương tự xét ReImz, φ
n
, ta cũng thu được Img = 0.
Vì thế g = 0. Xét ImRez, φ
n
 =
1

√
2

d(Ref)
dx
,
dϕ
dx

với mọi n ∈ N, ta thu
được
d(Ref)
dx
là hằng số. Lập luận tương tự ta có
d(Imf)
dx
là hằng số. Vì thế
f là hàm affine. Vì f(0) = f(π) = 0, nên f = 0. Ta đã chỉ ra rằng z = 0, vì
thế họ (φ
n
)
n∈Z
∗
là cơ sở trực chuẩn trong X.
Các véctơ φ
n
từ 1.17 là các véctơ riêng của A và các giá trị riêng tương ứng
là λ
n
= in, với n ∈ Z

∗
. Hơn nữa ta kiểm tra được là 0 ∈ ρ(A), vì thế A là
chéo hoá được. Theo Chú ý 1.8.4 toán tử A sinh ra một nhóm unita T trên
X. Theo Mệnh đề 1.7.1 T được cho bởi
T
t

f
g

=

n∈Z
∗
e
int

f
g

, φ
n

φ
n
∀

f
g


∈ X.
Từ mối quan hệ ở trên suy ra rằng
T
t

f
g

=
1
√
2

n∈Z
∗
e
int

i
n

df
dx
,
dϕ
n
dx

L
2

[0,π]
+ g, ϕ
n

L
2
[0,π]

φ
n
(1.18)
Chú ý 1.8.6 Sự diễn giải theo thuật ngữ PDE’s của nửa nhóm xây dựng
trong Ví dụ 1.8.5 là như sau:
với f ∈ H
2
(0, π) ∩ H
1
0
(0, π) và g ∈ H
1
0
(0, π), tồn tại một hàm liên tục duy
nhất w : [0, ∞) → H
2
(0, π) ∩ H
1
0
(0, π) (gắn với chuẩn trong H
2
(0, π)), khả

vi liên tục từ [0, ∞) vào H
1
0
(0, π) thoả hệ sau











∂
2
w
∂t
2
(x, t) =
∂
2
w
∂x
2
(x, t), x ∈ (0, π), t ≥ 0,
w(0, t) = 0, w(π, t) = 0, t ∈ [0, ∞),
w(x, 0) = f(x),
∂w

∂t
(x, 0) = g(x), x ∈ (0, π)
(1.19)
Bằng cách đặt
z(t) =

w(·, t)
∂w
∂t
(·, t)

,
1.8 Nhóm liên tục mạnh 17
Ta kiểm tra được rằng w thoả các điều kiện ở trên nếu và chỉ nếu z là liên
tục với giá trị trong D(A) (gắn với chuẩn đồ thị), khả vi liên tục với giá trị
trong X và thoả hệ phương trình
˙z(t) = Az(t) ∀t ≥ 0, z(0) =

f
g

·
Ví dụ 1.8.7 Trong ví dụ này ta xây dựng nửa nhóm ứng với hệ phương trình
mô tả sự dao động của một sợi dây đàn hồi được cố định tại đầu mút x = π
trong khi tại đầu mút x = 0 sợi dây được tự do di chuyển vuông góc với trục
của sợi dây. Chúng ta chỉ ra rằng nửa nhóm này có mối quan hệ với phương
trình sợi dây như thế nào. Vì vấn đề được xét trong ví dụ này tương tự như
trong ví dụ 1.8.5 và Chú ý 1.8.6, nên ta chỉ phát biểu các kết quả mà không
chứng minh.
0

w(x, 0) = f(x)
π
x
w
t
∂w
∂x
(0, t) = 0
Hình 1.4. Sợi dây đàn hồi được cố định một đầu mút x = π, trong khi đầu
mút còn lại di chuyển vuông góc với trục sợi dây.
Ký hiệu
H
1
R
(0, π) = {f ∈ H
1
(0, π)|f(π) = 0}
Khi đó X = H
1
R
(0, π) × L
2
[0, π] là không gian Hilbert với tích vô hướng

f
1
g
1

,


f
2
g
2

=
π

0
df
1
dx
(x)
df
2
dx
(x)dx +
π

0
g
1
(x)g
2
(x)dx (1.20)
Ta định nghĩa A : D(A) → X như sau
D(A) =

f ∈ H

2
(0, π) ∩ H
1
R
(0, π)|
df
dx
(0) = 0

× H
1
R
(0, π),
Một số kiến thức chuẩn bị 18
A

f
g

=

g
d
2
f
dx
2

∀


f
g

∈ D(A).
Với n ∈ N, ký hiệu ϕ
n
(x) =

2
π
cos[(n −
1
2
)x] và µ
n
= n −
1
2
. Nếu −n ∈ N ta
đặt ϕ
n
= −ϕ
−n
và µ
n
= −µ
−n
. Khi đó họ
φ
n

=
1
√
2

1
iµ
n
ϕ
n
ϕ
n

∀n ∈ Z
∗
, (1.21)
là một cơ sở trực chuẩn trong X tạo ra bởi các véctơ riêng của A và các giá
trị riêng tương ứng là λ
n
= iµ
n
, với n ∈ Z
∗
. Hơn nữa ta có thể kiểm tra rằng
0 ∈ ρ(A), do đó A là chéo hoá được. Sử dụng Chú ý 1.8.4 và Mệnh đề 1.7.1
ta có A sinh ra một nhóm unita T trên X, được cho bởi công thức sau
T
t

f

g

=

n∈Z
∗
e
iµ
n
t

f
g

, φ
n

φ
n
∀

f
g

∈ X.
Từ mối quan hệ trên suy ra
T
t

f

g

=
1
√
2

n∈Z
∗
e
iµ
n
t

i
µ
n

df
dx
,
dϕ
n
dx

L
2
[0,π]
+ g, ϕ
n


L
2
[0,π]

φ
n
(1.22)
Theo thuật ngữ PDE’s, nửa nhóm trên được giải thích như sau: với mọi

f
g

∈ D(A), bài toán giá trị biên và ban đầu sau











∂
2
w
∂t
2

(x, t) =
∂
2
w
∂x
2
(x, t), x ∈ (0, π), t ≥ 0,
∂w
∂x
(0, t) = 0, w(π, t) = 0, t ∈ [0, ∞),
w(x, 0) = f(x),
∂w
∂t
(x, 0) = g(x), x ∈ (0, π),
(1.23)
có một nghiệm duy nhất
w ∈ C([0, ∞); H
2
(0, π)) ∩ C
1
([0, ∞); H
1
(0, π))
nghiệm này được cho bởi công thức

w(·, t)
∂w
∂t
(·, t)


= T
t

f
g

∀

f
g

∈ D(A).
1.9 Các không gian X
1
và X
−1
19
1.9 Các không gian X
1
và X
−1
Giới thiệu hai không gian X
1
và X
−1
, hai không gian này có vai trò quan
trọng trong lý thuyết các toán tử quan sát và điều khiển không giới nội. Cho
X là một không gian Hilbert.
Mệnh đề 1.9.1 Xét A : D(A) → X là một toán tử xác định một cách trù
mật (D(A) trù mật trong X), có ρ(A) = ∅. Khi đó với mọi β ∈ ρ(A), không

gian D(A) với chuẩn
z
1
= (βI − A)z ∀z ∈ D(A)
là một không gian Hilbert,ký hiệu là X
1
. Chuẩn sinh ra như trên với β ∈ ρ(A)
là tương đương với chuẩn đồ thị. Ánh xạ nhúng X
1
⊂ X là liên tục. Nếu
L ∈ L(X) sao cho LD(A) ⊂ D(A), thì L ∈ L(X
1
).
Cho A như trong Mệnh đề 1.9.1, khi đó A
∗
cũng có các tính chất tương tự.
Vì thế ta định nghĩa X
d
1
= D(A
∗
) với chuẩn
z
d
1
= (βI − A
∗
)z ∀z ∈ D(A
∗
),

với β ∈ ρ(A
∗
), hay tương đương với β ∈ ρ(A), và X
d
1
là một không gian
Hilbert.
Mệnh đề 1.9.2 Cho A như trong Mệnh đề 1.9.1 và lấy β ∈ ρ(A). Ký hiệu
X
−1
là sự mở rộng của X ứng với chuẩn
z
−1
= (βI − A)
−1
z ∀z ∈ X. (1.24)
Khi đó chuẩn có dạng trên ứng với các β ∈ ρ(A) khác nhau là tương đương
(X
−1
độc lập với sự lựa chọn của β). Hơn nữa X
−1
là đối ngẫu của X
d
1
ứng
với không gian trụ X.
Nếu L ∈ L(X) thoả L
∗
D(A
∗

) ⊂ D(A
∗
), khi đó L có mở rộng duy nhất tới
toán tử
˜
L ∈ L(X
−1
).
Một số kiến thức chuẩn bị 20
1.10 Toán tử dương
Cho H là một không gian Hilbert và ta ký hiệu A
0
là toán tử xác định trên
không gian con trù mật D(A
0
) ⊂ H và lấy giá trị trong H.
Định nghĩa 1.10.1 Cho A
0
: D(A
0
) → H là tự liên hợp. Khi đó A
0
là
dương nếu A
0
z, z ≥ 0 với mọi z ∈ D(A
0
). A
0
là dương chặt nếu với m > 0

nào đó ta có
A
0
z, z ≥ mz
2
∀z ∈ D(A
0
). (1.25)
Ta viết A
0
≥ 0 (hay A
0
> 0) để chỉ ra rằng A
0
là toán tử dương (hay dương
chặt).
1.11 Dirichlet Laplacian
Laplacian ∆ là một toán tử vi phân từng phần, được cho bởi
∆ =
n

k=1
∂
2
∂x
2
k
,
toán tử này tác động lên các hàm phân bố trong D


(Ω).
Ký hiệu H
1
0
(Ω) là bao đóng của D(Ω) trong H
1
(Ω). H
1
0
(Ω) là một không gian
Hilbert. Với bất kỳ ϕ ∈ H
1
0
(Ω) sẽ thoả điều kiện sau:
ϕ(x) = 0 với x ∈ ∂Ω.
Với điều kiện biên này ϕ được gọi là thoả điều kiện biên Dirichlet thuần
nhất.
Chuẩn trong H
1
0
(Ω) được cho như sau:
ϕ
H
1
0
= ∇ϕ
L
2
.
Trong đó gradient ∇ϕ = (

∂ϕ
∂x
1
, · · ·,
∂ϕ
∂x
n
) (∇ϕ được xem như hàm phân bố
trong D

(Ω) và thuộc L
2
(Ω; C
n
).)
Ta định nghĩa toán tử A
0
: D(A
0
) → L
2
(Ω) như sau
D(A
0
) = {φ ∈ H
1
0
(Ω)| ∆φ ∈ L
2
(Ω)}, A

0
φ = −∆φ. (1.26)
Toán tử −A
0
được gọi là Dirichlet Laplacian trên Ω.
1.12 Toán tử phản liên hợp 21
Không gian H
−1
(Ω) được định nghĩa là đối ngẫu của H
1
0
(Ω) ứng với không
gian trụ L
2
(Ω).
Mệnh đề 1.11.1 Toán tử A
0
được định nghĩa như trên là dương chặt và
D(A
1
2
0
) = H
1
0
(Ω). (1.27)
Nếu H = L
2
(Ω) thì khi đó các không gian H
1

2
, H
−
1
2
thoả điều sau
H
1
2
= H
1
0
(Ω), H
−
1
2
= H
−1
(Ω).
(Trong đó H là không gian Hilbert, H
1
2
= D(A
1
2
0
), và H
−
1
2

là đối ngẫu của
H
1
2
ứng với không gian trụ H).
Định lý 1.11.2 Giả sử ∂Ω là thuộc lớp C
2
. Khi đó
D(A
0
) = H
2
(Ω) ∩ H
1
0
(Ω). (1.28)
1.12 Toán tử phản liên hợp
Trong phần này chúng ta giới thiệu một lớp các toán tử phản liên hợp (skew-
adjoint) phát sinh khi chúng ta tìm hiểu những hệ vi phân cấp 2 trong một
không gian Hilbert có dạng sau
¨w(t) + A
0
w(t) = 0, với A
0
> 0.
Đặt z(t) =

w(t)
˙w(t)


và A =

0 I
−A
0
0

. Khi đó ta đưa phương trình vi
phân cấp 2 về hệ sau: ˙z(t) = Az(t).
Toán tử A được gọi là Phản liên hợp (skew-adjoint) nếu A
∗
= −A (điều
này tương đương với iA là toán tử tự liên hợp). Nếu A
∗
= −A thì σ(A) ⊂ iR.
A là phản liên hợp nếu và chỉ nếu nó là toán tử sinh của một nhóm unita.
Mệnh đề 1.12.1 Cho A
0
: D(A
0
) → H là toán tử dương chặt trên không
gian Hilbert H. Định nghĩa X = H
1
2
× H, với tích vô hướng

w
1
v
1


,

w
2
v
2

X
= A
1
2
0
w
1
, A
1
2
0
w
2
 + v
1
, v
2
.
Một số kiến thức chuẩn bị 22
Xác định một không gian con trù mật trong X là D(A) = D(A
0
) × D(A

1
2
0
)
và toán tử tuyến tính A : D(A) → X được cho bởi
A =

0 I
−A
0
0

, khi đó A

ϕ
ψ

=

ψ
−A
0
ϕ

. (1.29)
Khi đó A là toán tử phản liên hợp (skew-adjoint) trên X và 0 ∈ ρ(A). Hơn
nữa ta có
X
1
= H

1
× H
1
2
, X
−1
= H × H
−
1
2
.
1.13 Toán tử quan sát chấp nhận được
Cho C ∈ L(X
1
, Y ). Chúng ta quan tâm tới hàm đầu ra y sinh bởi hệ sau

˙z(t) = Az(t), z(0) = z
0
,
y(t) = Cz(t),
với z
0
∈ X
1
và t ≥ 0. Bài toán giá trị ban đầu ˙z(t) = Az(t), z(0) = z
0
có
nghiệm duy nhất z(t) = T
t
z

0
.
Giới thiệu toán tử sau
(Ψ
τ
z
0
)(t) =

CT
t
z
0
với t ∈ [0, τ],
0 với t > τ.
=

CP
τ
y với t ∈ [0, τ]
0 với t > τ.
(1.30)
Trong đó hàm chặt cụt P
τ
y trên đoạn [0, τ] được xác định bởi P
τ
y =

y với t ∈ [0, τ]
0 với t /∈ [0, τ]

.
Chúng ta xem những toán tử Ψ
τ
này là phần tử của L(X
1
, L
2
([0, ∞); Y )).
Toán tử Ψ : X
1
→ L
2
([0, ∞); Y ) sao cho
(Ψz
0
)(t) = CT
t
z
0
∀z
0
∈ D(A), t ≥ 0.
Ta gọi Ψ là ánh xạ đầu ra mở rộng của (A, C). Ta có hàm chặt cụt của Ψ
được xác định như sau
P
τ
Ψ = Ψ
τ
∀τ ≥ 0.
1.13 Toán tử quan sát chấp nhận được 23

Định nghĩa 1.13.1 Toán tử C ∈ L(X
1
, Y ) được gọi là toán tử quan sát
chấp nhận được của T nếu với τ > 0 nào đó, Ψ
τ
có mở rộng liên tục trên X.
Từ Định nghĩa trên ta có nhận xét, C ∈ L(X
1
, Y ) là toán tử quan sát chấp
nhận được cho T nếu và chỉ nếu với τ > 0 nào đó, tồn tại hằng số K
τ
≥ 0
sao cho
τ

0
CT
t
z
0

2
Y
≤ K
2
τ
z
0

2

X
∀z
0
∈ D(A). (1.31)
Định lý 1.13.2 Cho C ∈ L(X
1
, Y ) là toán tử quan sát chấp nhận được của
T và Ψ là ánh xạ đầu ra mở rộng của (A, C). Khi đó với mọi z
0
∈ X và mọi
s ∈ C thoả Re s > ω
0
(T), hàm t → e
−st
(Ψz
0
)(t) là thuộc L
1
([0, ∞); Y ), vì
thế phép biến đổi Laplace của Ψz
0
tồn tại tại s. Phép biến đổi Laplace này
được cho bởi

(Ψz
0
)(s) = C(sI − A)
−1
z
0

.
Hơn nữa, với mọi α > ω
0
(T), tồn tại K
α
≥ 0 sao cho
C(sI − A)
−1
 ≤
K
α
√
Re s − α
∀s ∈ C
α
. (1.32)