Điện trở của khí điện tử trong cấu trúc lớp, giếng lượng tử SILICON sixge1 x – si – sixge1 x

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




VÕ VĂN TÀI


ĐIỆN TRỞ CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ
TRONG CẤU TRÚC LỚP: GIẾNG LƯỢNG TỬ SILICON
Si
x
Ge
1-x
– Si – Si
x
Ge
1-x




Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số ngành: 60 44 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ


NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS NGUYỄN QUỐC KHÁNH

TP. HỒ CHÍ MINH – 2010
Mở đầu
Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh
1

MỞ ĐẦU
Tiến bộ của vật lý chất rắn trong hai thập kỷ cuối của thế kỷ XX được đặc trưng
bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các khối tinh thể sang các màng
mỏng và cấu trúc nhiều lớp. Trong các đối tượng mới được nêu trên, hầu hết các tính
chất của electron đều thay đổi một cách đáng kể. Đặc biệt, đã xuất hiện một số tính
chất mới khác, được gọi là các hiệu ứng kích thước. Trong các cấu trúc có kích thước
lượng tử, nơi các hạt dẫn bị giới hạn trong những vùng có kích thước đặc trưng vào cỡ
bậc của bước sóng de Broglie, các tính chất vật lý và electron thay đổi đầy kịch tính. Ở
đây, các quy luật cơ học lượng tử bắt đầu có hiệu lực, trước hết thông qua việc biến đổi
đặc trưng cơ bản nhất của hệ electron là phổ năng lượng của nó. Phổ năng lượng trở
thành gián đoạn dọc theo hướng tọa độ giới hạn. Dưới ảnh hưởng của trường ngoài hay
các tâm tán xạ (tạp chất, phonon, v.v…) thường chỉ hai, mà không phải ba thành phần
động lượng của hạt dẫn có thể biến đổi. Do đó, dáng điệu của hạt dẫn trong cấu trúc
kích thước lượng tử tương tự như trong khí hai chiều. Các cấu trúc với khí điện tử hai
chiều có một loạt các tính chất khác thường so với các đặc tính của các hệ điện tử và lỗ
trống ba chiều thông thường.
Các chất bán dẫn tồn tại trong tự nhiên là các nguyên tố và hợp chất với các cấu
trúc tuần hoàn như: Si, Ge và GaAs. Tuy nhiên, trong cuối những năm 1960 đến đầu

những năm 1970, Esaki và Tsu đưa ra một ý tưởng hoàn toàn mới để phát triển các vật
chất mới (không tồn tại trong tự nhiên) được gọi là siêu mạng (superlattice), và các
siêu mạng này được xây dựng trên kỹ thuật nuôi cấy tinh thể, epitaxy bằng chùm phân
tử (MBE, Molecular – Beam Epitaxy). MBE là một công nghệ thích hợp nhất để tạo ra
các cấu trúc với phân bố thành phần tùy ý và với độ chính xác tới từng lớp đơn phân tử
riêng lẻ.
Có một vài giới hạn để phát triển một bán dẫn khác loại trên một chất nền. Khi các
vật chất khác loại A và B phát triển trên cùng một chất nền, thì cấu trúc này được gọi là
cấu trúc dị thể (heterostructure), và các tính chất đặc trưng của cấu trúc dị thể phụ
Mở đầu
Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh
2

thuộc vào các tính chất vật lý và hóa học của cả hai vật chất. Để thu được một cấu trúc
dị thể tương đối lý tưởng thì điều cơ bản là:
(i) Cấu trúc tinh thể phải giống nhau hoặc đối xứng (các hợp chất IV – V thông thường
đáp ứng được điều này).
(ii) Nếu không có sự biến dạng trong cấu trúc cuối cùng thì hai hằng số mạng phải gần
như đồng nhất.
Các giản đồ vùng năng lượng của các cấu trúc dị thể có hằng số mạng tương thích
với nhau được chia thành ba trường hợp (Hình 1).

Hình 1 Ba loại cấu trúc dị thể. (a) loại I: các electron và lỗ trống bị giam trong cùng một không gian.
(b) loại II: các electron và lỗ trống bị giam trong các không gian khác nhau. (c) loại III: vùng cấm
bằng không.
(i) Loại I (phủ): vùng dẫn của chất bán dẫn B có vùng cấm nhỏ hơn trở thành cực tiểu
và vùng hóa trị cực đại. Do đó, electron và lỗ trống bị kích thích trong miền này.
(ii) Loại II (so le): cực tiểu vùng dẫn của bán dẫn loại A và cực đại vùng hóa trị của
bán dẫn loại B nằm trong không gian khác nhau, dẫn đến vùng cấm không cùng không
gian.

(iii) Loại III (cách quãng): các cấu trúc dị thể hành xử như vật chất không có vùng
cấm (bán kim loại) hay như vật chất có vùng cấm hẹp.
Mở đầu
Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh
3

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ khảo sát giếng lượng tử của cấu trúc dị thể loại II


1 1
/ /
x x x x
Si Ge Si Si Ge
 
. Các miền của vùng dẫn cực tiểu và cực đại được gọi là lớp
giếng và lớp rào, một cách tương ứng. Khi lớp rào dày, thì các electron không thể
xuyên qua và bị giam trong miền giếng lượng tử, dẫn đến sự lượng tử hóa của electron
có chuyển động vuông góc với mặt tiếp xúc dị thể, hình thành nên một cấu trúc vùng
con. Vì các electron có thể chuyển động trong mặt phẳng song song với mặt tiếp xúc dị
thể, nên các electron biểu hiện các tính chất hai chiều.
Ở nhiệt độ thấp, các electron chiếm ở các mức năng lượng cơ bản, độ chênh lệch
đáy vùng dẫn của hai loại vật liệu
1
/
x x
Si Ge Si

vào khoảng
0.29
eV

, rất lớn so với năng
lượng Fermi và năng lượng chuyển động nhiệt
B
k T
của hạt tải (động năng trung bình
chuyển động tịnh tiến, ở nhiệt độ phòng
0.026
B
k T eV
 ). Như vậy, giếng lượng tử trong
cấu trúc này được xem là giếng lượng tử vuông sâu vô hạn.
Ở đây, chúng tôi sử dụng lý thuyết vận chuyển Boltzmann để tính độ linh động và
điện trở suất theo mật độ hạt tải, nhiệt độ (thấp), và từ trường ngoài của khí điện tử hai
chiều trong giếng lượng tử
Si
với chiều dày
a
. Tuy nhiên, để xác định độ linh động
(cũng như điện trở suất) của hạt tải chúng ta cần phải biết các cơ chế tán xạ. Trong luận
văn này, chúng tôi xét hai cơ chế tán xạ: tán xạ trên tạp chất ion hóa (pha tạp xa, và pha
tạp nền đồng nhất), và tán xạ trên bề mặt. Kết quả tính toán về độ linh động theo mật
độ hạt tải (tại
0
T

) sẽ được so sánh với kết quả của A. Gold [1].
Bố cục của luận văn được trình bày như sau:
Chương 1: Chúng tôi trình bày phương trình vận chuyển Boltzmann của khối bán dẫn
(ba chiều), đồng thời sử dụng phương pháp gần đúng thời gian hồi phục để giải phương
trình Boltzmann và từ đó tính độ linh động và độ dẫn điện của chất bán dẫn.

Chương 2: Giải phương trình Schrödinger trong giếng lượng tử để tìm hàm sóng và
năng lượng tương ứng; đồng thời tính hàm phân bố mật độ các trạng thái và mật độ
electron theo nhiệt độ và từ trường của khí điện tử hai chiều.
Mở đầu
Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh
4

Chương 3: Trình bày thời gian hồi phục, hiệu ứng chắn và hàm điện môi của khí điện
tử hai chiều.
Chương 4: Xét hai cơ chế tán xạ, tán xạ trên tạp chất ion hóa (pha tạp xa và pha tạp nền
đồng nhất) và tán xạ trên bề mặt.
Chương 5: Trong chương này, chúng tôi sử dụng phương pháp giải số (lập trình C) để
tính toán kết quả độ linh động và điện trở suất (ứng với hai cơ chế tán xạ ở chương 4)
theo mật độ hạt tải, nhiệt độ (thấp), từ trường và so sánh với kết quả của A. Gold [1].
MỤC LỤC

Mở đầu……………………………………………….……………………………… 1
1 Lý thuyết vận chuyển Boltzmann………………………………………………… 5
1.1 Phương trình vận chuyển Boltzmann………………………………………… 5
1.2 Gần đúng thời gian hồi phục……………………………………………… 7
1.3 Độ linh động và Tính dẫn điện……………………………………………… 11
2. Đặc tính của khí điện tử hai chiều……………………………………………… 17
2.1 Giếng lượng tử……………………………………………………………… 17
2.2 Mật độ trạng thái………………………………………………………………20
2.3 Mật độ electron trong từ trường và nhiệt độ………………………………… 23
3. Thời gian hồi phục và các hiện tượng động học…………………………………25
3.1 Thời gian hồi phục…………………………………………………………….25
3.2 Hiệu ứng chắn và hàm điện môi………………………………………………29
3.2.1 Hiệu ứng màn chắn…………………………………………………… 29
3.2.2 Hàm điện môi………………………………………………………… 30

4. Các cơ chế tan xạ………………………………………………………………… 36
4.1 Tán xạ trên các tạp chất ion hóa………………………………………………36
4.1.1 Pha tạp xa……………………………………………………………….37
4.1.2 Pha tạp nền đồng nhất………………………………………………… 39
4.2 Tán xạ trên bề mặt…………………………………………………………….40
5. Độ linh động và Điện trở suất…………………………………………………….42
5.1 Độ linh động của khí điện tử hai chiều……………………………………… 42
5.2 Điện trở suất của khí điện tử hai chiều……………………………………… 48
Kết kuận………………………………………………………………………………51
Phụ lục A…………………………………………………………………………… 52
Phụ lục B…………………………………………………………………………… 55
Phụ lục C…………………………………………………………………………… 62
Tài liệu tham khảo………………………………………………………………… 66
DANH SÁCH HÌNH VẼ
Hình 1 Ba loại cấu trúc dị thể. (a) loại I: các electron và lỗ trống bị giam trong cùng
một không gian. (b) loại II: các electron và lỗ trống bị giam trong các không gian khác
nhau. (c) loại III: vùng cấm bằng không……………………………………………… 2
Hình 1.1. Quỹ đạo electron và sự thay đổi hàm phân bố. Hàm phân bố


, ,
f k kdt r rdt t dt
  
 
 


tại thời điểm
t dt


sẽ trở thành


, ,
f k r t


tại thời điểm
t
. Hàm
phân bố


, ,
f k r t


tại thời điểm
t
sẽ thay đổi thành một trạng thái khác sau một khoảng
thời gian
dt
. ……………………………………………………………………………6
Hình 1.2. Sự thay đổi hàm phân bố dưới tác dụng của điện trường. Trong không gian
k

hàm phân bố dịch chuyển nhẹ dọc theo hướng của trường……………………… 12
Hình 2.1 Cấu hình của một giếng lượng tử
1 1
/ /

x x x x
Si Ge Si Si Ge
 
…………………… 18
Hình 2.2 Năng lượng và hàm sóng của hạt trong giếng thế
1 1
/ /
x x x x
Si Ge Si Si Ge
 
…….20
Hình 2.3 Mật độ trạng thái trong hệ hai chiều (đường liền nét) và mật độ trạng thái
trong mẫu khối ba chiều (đường đứt nét)…………………………………………… 22
Hình 2.4 Độ phân cực spin




/
n n n n

   
   là hàm của từ trường cho
11 2
1.5 10
n cm

  và ứng với các nhiệt độ



0;1.0;2.0;3.0
T K
 .
S
B
là trường phân cực
spin hoàn toàn ở


0
T K
 . Khi


0
T K
 , sự phân cực hoàn toàn thỏa khi
2
S
B B
 24
Hình 3.1 Mối liện hệ trong không gian
k

giữa vectơ sóng
q

và góc tán xạ

………27

Hình 3.2 Hàm điện môi ứng với các giá trị khác nhau của


/ 2
TF F
q k
……………….33
Hình 3.3 Hàm phân cực cho hệ
1
/
x x
Si Si Ge

trong các từ trường ngang khác nhau a)
cho
0
B

và
2
s
B B
 , và b) cho
s
B B

. Ở đây
0
2 /
F v

F
N N g m

  là mật độ trạng thái
của hệ không phân cực và
0
2
F
F
k k

 ……………………………………………… 34
Hình 4.1 Các thừa số cấu trúc


,
R i
F q z
(các đường đứt nét) và


C
F q
(đường liền nét)
theo q. Mũi tên chỉ
2
F
k
với
12 2

3.10
n cm

 , và
0
60
a A
 . (a) theo A. Gold, (b) kết quả
giải số……………………………………………………………… ……………… 38
Hình 5.1 Độ linh động do pha tạp xa với
/ 2
i
z a
  theo mật độ, (a) A. Gold, (b) kết
quả giải số…………………………………………………………………………… 45
Hình 5.2 Độ linh động do pha tạp xa với
/ 2
i
z a
 theo mật độ, (a) A. Gold, (b) kết quả
giải số……………………………………………………………………………….…46
Hình 5.3 Độ linh động do pha tạp nền , (a) theo A. Gold, (b) theo mật độ………… 47
Hình 5.4 Độ linh động do bề mặt gồ ghề theo mật độ, (a) theo A. Gold, (b) kết quả giải
số………………………………………………………………………………………47
Hình 5.5 Điện trở suất pha tạp xa với
/ 2
i
z a
  , (a) mật độ, (b) nhiệt độ và (c) từ
trường……………………………………………………………………………….…48

Hình 5.6 Điện trở suất pha tạp xa với
/ 2
i
z a
 theo, (a) mật độ, (b) nhiệt độ và (c ) từ
trường………………………………………………………………………………….49
Hình 5.7 Điện trở suất do pha tạp nền, (a) mật độ, (b) nhiệt độ và (c ) từ trường…….49
Hình 5.8 Điện trở suất do bề mặt gồ ghề , (a) theo mật độ, (b) theo nhiệt độ……… 50
1.1 Phương trình vận chuyển Boltzmann
Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh
5

Chương 1
LÝ THUYẾT VẬN CHUYỂN BOLTZMANN
Nếu khí electron (trong tinh thể) ở trạng thái cân bằng nhiệt thì tính chất của nó
được xác định bởi hàm phân bố lượng tử Fermi – Dirac hay hàm phân bố cổ điển
Maxwell – Boltzmann. Trong trường hợp khí electron chịu tác dụng của các yếu tố bên
ngoài như điện trường, từ trường, chênh lệch nhiệt độ v.v thì nó ở trong trạng thái
không cân bằng. Khi đó sẽ xảy ra hiện tượng liên quan đến chuyển động của các
electron dẫn như: hiện tượng dẫn điện, dẫn nhiệt v.v…Các hiện tượng đó gọi chung là
hiện tượng truyền hay hiện tượng động học. Các hiện tượng này có thể giải thích bằng
thuyết điện tử kim loại, trong đó xem điện tử như một khí lý tưởng. Tuy nhiên, để có
được những biểu thức định lượng chính xác người ta phải dùng phương trình vận
chuyển Boltzmann, phương trình này cho phép ta tìm được hàm phân bố trong trường
hợp không cân bằng, nghĩa là khi có tác dụng của yếu tố bên ngoài nhỏ và chỉ xét
những hiệu ứng tuyến tính.
1.1 Phương trình vận chuyển Boltzmann
Giả sử một electron có vectơ sóng
k


, và vectơ sóng này sẽ thay đổi dưới tác dụng của
trường ngoài
F

:
dk
F
dt



 (1.1)
Gọi


, ,
f k r t


là hàm xác suất của một hạt (electron) có vectơ định sứ
r

, vectơ sóng
k


tại thời điểm
t
, và gọi nó là hàm phân bố của hạt (electron). Đầu tiên, chúng ta giả thiết
rằng, electron không bị tán xạ và sự thay đổi trạng thái là do sự tác động của ngoại lực

(điện trường, từ trường, v.v…). Vì vậy, sau một khoảng thời gian
dt
, thì electron thay
đổi thành một trạng thái mới với vị trí
r rdt

 

và vectơ sóng
k kdt

 

. Từ (Hình 1.1),
chúng ta có thể tính toán sự thay đổi trong hàm phân bố


, ,
f k r t


trong khoảng thời
gian
dt
.
1.1 Phương trình vận chuyển Boltzmann
Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh
6

Một hạt chiếm một trạng thái ở vị trí

r rdt

 

và vectơ sóng
k kdt

 

tại thời điểm
t dt


sẽ chuyển thành trạng thái


, ,
f k r t


sau một khoảng thời gian
dt
(tại thời điểm
t
). Do
đó, tốc độ thay đổi của hàm phân bố được đưa ra như sau:





, , , ,
drift
f k kdt r rdt t dt f k r t
df
dt dt
   
 

 
 
  
  


(1.2)
Vế bên phải của phương trình (1.2) được giải thích như sau. Số hạng đầu tiên của vế
bên phải sẽ thay đổi thành


, ,
f k r t


sau một khoảng thời gian
dt
(


, ,
f k r t



tăng) và số
hạng thứ hai


, ,
f k r t


sẽ thay đổi thành một trạng thái khác sau một khoảng thời gian
dt
(


, ,
f k r t


giảm). Vì ta không tính đến tán xạ của hạt nên tốc độ ở trên biểu diễn
dòng liên tục của hạt nên số hạng này được gọi là số hạng drift.

Hình 1.1. Quỹ đạo electron và sự thay đổi hàm phân bố. Hàm phân bố


, ,
f k kdt r rdt t dt
  
 
 



tại
thời điểm
t dt

sẽ trở thành


, ,
f k r t


tại thời điểm
t
. Hàm phân bố


, ,
f k r t


tại thời điểm
t
sẽ
thay đổi thành một trạng thái khác sau một khoảng thời gian
dt
. Sự thay đổi của hàm phân bố gây ra
số hạng drift.
Khai triển Taylor số hạng đầu tiên vế bên phải trong (1.2)



, ,
f k r t




, ,
f k kdt r rdt t dt
  
 
 


1.2 Gần đúng thời gian hồi phục
Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh
7



 
 


 
, , , , . .
, , . .
r

k
f f f
f k kdt r rdt t dt f k r dt k r dt
r t
k
f
f k r dt k f r f dt
t
  
 
       
 
 

 

 
      
 

 


   
   
 
 


 

 


(1.3)
Ở đây chúng ta xác định
k


như đạo hàm theo thời gian của
k

, và
v r

 

là vận tốc của
hạt. Trong (1.3) chỉ giữ lại các số hạng đến bậc hai và thay vào (1.2), ta có:
.
r
k
drift
df f
k f v f
dt t

   
     
 
 


   





(1.4)
Vì sự biến thiên theo thời gian của vectơ sóng
k

dưới tác dụng của lực ngoài
F

được
đưa ra trong (1.1), nên số hạng drift được viết lại như sau:
 
1
. .
r
k
drift
df f
F f v f
dt t

   
     
 
 


   





(1.5)
Trái lại, một hạt thay đổi trạng thái của nó qua tán xạ (va chạm), và chúng ta xác
định tốc độ thay đổi trong hàm phân bố do một va chạm qua
drift
df
dt
 
 
 
. Vì hàm phân bố
phải thỏa mãn điều kiện cân bằng (điều kiện trạng thái ổn định), chúng ta có:
0
drift coll
df df
dt dt
   
 
   
   
(1.6)
Thay (1.5) vào (1.6), chúng ta nhận được:
 
1

. .
r
k
coll
f df
F f v f
t dt

 
    
 

 





(1.7)
Phương trình này được gọi là phương trình vận chuyển Boltzmann [2].
1.2 Gần đúng thời gian hồi phục
Xét một tinh thể đồng nhất và giả sử hàm phân bố không phụ thuộc vào
r

. Vì vậy,
hàm phân bố được viết như


f k


. Tốc độ thay đổi hàm phân bố


f k

bao gồm hai số
hạng. Tốc độ tăng


f k

do sự chuyển tất cả các trạng thái khả dĩ
k


(ngoại trừ
k

)
1.2 Gần đúng thời gian hồi phục
Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh
8

thành
k

, và tốc độ giảm


f k


do sự chuyển từ trạng thái
k

thành những trạng thái
k



khả dĩ khác. Xác định các tốc độ chuyển tương ứng trên đơn vị thời gian qua


,
W k k

 

và


,
W k k

 
, thì số hạng va chạm được viết như:
           


, 1 , 1
k

coll
df
W k k f k f k W k k f k f k
dt

 
   
   
   
 
   
 


       
(1.8)
Ở đây, thừa số




1
f k f k
 


 
 
của



,
W k k

 
biểu diễn xác suất chiếm electron trong
trạng thái đầu
k


và của chỗ khuyết electron trong trạng thái cuối
k

.
Để đơn giản, chúng ta khảo sát trường hợp mức Fermi nằm dưới đáy của vùng dẫn
(thuộc vùng cấm); vì vậy, các điều kiện


1
f k


và


1
f k




được thỏa mãn. Xác
định hàm phân bố trong cân bằng nhiệt qua


0
f k

, chúng ta có
0
coll
df
dt
 

 
 
trong (1.8),
và vì vậy chúng ta nhận được hệ thức








0 0
, ,
W k k f k W k k f k
  


     
(1.9)
Hệ thức này được gọi là nguyên lý cân bằng chi tiết. Thay (1.9) vào (1.8), ta có hệ thức
sau:
     


 
0
0
,
k
coll
f k
df
W k k f k f k
dt
f k

 
 
 
 
  
 
 

 
 




   

(1.10)
Khi thay tổng theo
k


bằng tích phân, chúng ta có:
 
     


 
0
3
3
0
,
2
coll
f k
df V
d k W k k f k f k
dt
f k

 

 
 
  
  
 
 

 
 


    

(1.11)
với
3
V L

là thể tích tinh thể. Khi ngoại lực rất yếu và độ dịch chuyển của hàm phân
bố so với giá trị cân bằng nhiệt rất nhỏ chúng ta có thể viết (hay khai triển theo chuỗi
Taylor)
1.2 Gần đúng thời gian hồi phục
Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh
9














0 1 1 0
,
f k f k f k f k f k
 
    
 (1.12)
Giả thiết rằng năng lượng thay đổi do tán xạ là nhỏ và năng lượng


k


của trạng thái
đầu
k

rất gần với năng lượng


k




của trạng thái cuối
k


(điều kiện này được gọi là
điều kiện va chạm đàn hồi), chúng ta có thể đặt




0 0
f k f k


 
. Trong trường hợp này,
chúng ta viết lại (1.11):
 
 
 


 
 
 
   
 
1
3
1

3
1
1 0
, 1
2
coll
f k
df V
f k d k P k k
dt
f k
f k f k f k
k k

 
 
 
 
 
  
 
 

 
 

   


   


  
 
(1.13)


k


được gọi là thời gian hồi phục của va chạm
 
 
 


 
1
3
3
1
1
, 1
2
f k
V
d k W k k
k f k
 
 
 

 
 
 

 


  
 
(1.14)
và là một hàm của vectơ sóng electron
k

, nên cũng là một hàm theo năng lượng.
Phương pháp gần đúng này được gọi là phương pháp gần đúng thời gian hồi phục.
Ta xét trường hợp hệ electron nằm trong trạng thái kích thích và tại
0
t

ta ngắt
trường kích thích, hệ electron sẽ dần trở lại trạng thái cân bằng. Quá trình trở lại trạng
thái cân bằng gọi là quá trình hồi phục. Từ phương trình Boltzmann (1.7) và phương
trình (1.13), ta có:
0
coll
f f
f df
t dt




 
  
 

 
(1.15)
Để đơn giản chúng ta giả thiết rằng thời gian hồi phục

là không đổi, và vì vậy chúng
ta nhận được
 
0 0
0
exp
t
t
f f f f


 
   
 
 
(1.16)
1.2 Gần đúng thời gian hồi phục
Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh
10

với



0
0
t
f f

 là sự dịch chuyển của hàm phân bố từ cân bằng nhiệt tại thời điểm
0
t

.
Kết quả trên ám chỉ rằng, hàm phân bố là hàm mũ với thời gian không đổi

gần giá trị
cân bằng nhiệt sau khi ngắt trường ngoài tại
0
t

.
Khi sử dụng phương pháp gần đúng thời gian hồi phục, thì phương trình vận
chuyển Boltzmann được viết như sau:
0
1
. .
r
k
f f
f
F f v f

t



     






(1.17)
Tính đồng nhất trong không gian dẫn đến
0
r
f
 

và trạng thái dừng dẫn đến
0
f
t



.
Do đó, chúng ta nhận được
1
1
.

k
f
F f

  



(1.18)
Và khi trường ngoài được áp vào theo hướng
x
thì (1.18) giản ước thành
1 x
x
f
f F
k


 


(1.19)
Năng lượng của electron là một hàm của vectơ sóng có dạng
2 2
*
2
k
m




cho một electron
với khối lượng hiệu dụng đẳng hướng
*
m
, và vận tốc của hạt theo hướng
x
có dạng
*
x x
k m v


. Do đó, chúng ta nhận được
1 x x x
x
f f
f F v F
k
 

 
  
   
  

(1.20)
Khi chúng ta sử dụng hệ thức
0 1

f f f
 
và
0 1
f f

trong phương trình (1.20), thì
chúng ta có thể tính gần đúng nó như sau:
0
1 x x
f
f v F



 

(1.21)
Khi chúng ta thừa nhận tán xạ là tán xạ đàn hồi và thời gian hồi phục

là một hàm của
năng lượng

, thì độ lớn của thời gian hồi phục

không thay đổi sau sự kiện tán xạ.

1.3 Độ linh động và tính dẫn điện
Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh
11

Thay (1.21) vào (1.14), thì thời gian hồi phục


k


được diễn đạt như sau:
 
 
 
 
 
 
3
3
3
3
1
, 1
2
, 1 cos
2
x
x
k
V
d k W k k
k
k

V
d k W k k




 

 
 
 
 
 
 


  

  
(1.22)
với
x
k
và
x
k

là các thành phần vectơ sóng electron
k


và
k


dọc theo hướng lực ngoài
(thành phần
x
) trước và sau tán xạ, và

là góc giữa
k

và
k


.
Trong trường hợp bán dẫn suy biến, nguyên lý cân bằng chi tiết nhận được từ (1.8)
như sau













0 0 0 0
, 1 , 1
W k k f k f k W k k f k f k
   
   
  
   
       
(1.23)
Dùng hệ thức này, thì thời gian hồi phục của bán dẫn suy biến được đưa ra bởi
   
   
 
 
   
0
0
3
0
3
0
1 1
, 1 1
1
1
, 1 1
1 2
x
k

x
x
x
k
W k k f k
k
k f k
k
V
d k W k k f k
k
f k



 
 
 
  
 
 

 
 

 
  
  
 
 


 



  
 
   

(1.24)
Phương trình trên giản ước thành (1.22) cho trường hợp bán dẫn không suy biến khi
chúng ta cho


0
1
f k


và


0
1
f k



. Có thể chỉ ra rằng khi trạng thái cuối được
chiếm bởi một electron,



0
1 0
f k

 

, thì sự biến đổi (tán xạ) không được phép [2].
1.3 Độ linh động và Tính dẫn điện
Khi thời gian hồi phục được dẫn ra theo năng lượng electron hay vectơ sóng electron,
thì độ linh động và tính dẫn điện được tính toán như sau.
Khi điện trường áp vào theo hướng
x
, chúng ta có thể viết
x x
F eE
  ; từ (1.12) và
(1.21) đưa ra hệ thức sau:
   
0
0 x x
f
f k f k eE v



 

 

(1.25)
1.3 Độ linh động và tính dẫn điện
Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh
12

Do đó, mật độ dòng theo hướng
x
có dạng như sau:
 
 
   
2
3 3 2 3
0
0
3
3 3
2
4 4
2
x
x x x x
e E fe
J e v f k d k v f k d k v d k

  


    


  
    
(1.26)
với
2
là do sự suy biến spin và
*
/
x x
v k m


. Hàm


0
f k

là hàm phân bố Fermi – Dirac
hay hàm phân bố Boltzmann, là một hàm theo năng lượng


k


. Vì

là một hàm chẵn
theo
k


, nên


0x
v f k

là một hàm lẻ theo
x
v
. Tích phân theo
x
dk
lấy từ

đến

, nên
số hạng đầu tiên trong (1.26) bằng không, và chỉ còn lại số hạng thứ hai
2
2 3
0
3
4
x
x x
e E f
J v d k

 


 



(1.27)
Kết quả này được giải thích từ (Hình 1.2).

Hình 1.2. Sự thay đổi hàm phân bố dưới tác dụng của điện trường. Trong không gian
k

hàm phân bố
dịch chuyển nhẹ dọc theo hướng của trường.
Khi không có điện trường, hàm phân bố trạng thái trong cân bằng nhiệt đẳng hướng
trong không gian
k

và do đó dòng có cùng độ lớn theo mọi hướng dẫn đến triệt tiêu
lẫn nhau và dòng tổng cộng bằng không. Khi điện trường áp vào, hàm phân bố được
đưa ra bởi
0 1
f f f
 
và được thay thế bởi
1
f
theo hướng của điện trường, dẫn đến kết
quả là dòng tỷ lệ với độ dịch chuyển dọc theo hướng điện trường. Sử dụng mật độ
electron
n

1.3 Độ linh động và tính dẫn điện
Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh
13

 
3
0
3
2
2
n f d k




(1.28)
(1.27) được viết lại như sau:
 
2 3
0
2 3
2
0 0
2
3 3
0 0
1
x
x

x
x x
B
df
v d k
v f f d k
e nE
d
J e nE
k T
f d k f d k




  


 


  (1.29)
(1.29) nhận được qua việc sử dụng các hệ thức sau:
 
 
0
/
1
1
F B

k T
f
e
 




(1.30)
 
0
0 0
1
1
B
f
f f
k T


  

(1.31)
Vì số hạng


0 0
1
f f


 trong tích phân (1.29) là hàm theo năng lượng

, nên chúng
ta diễn đạt nó như


 
. Chú ý
3
x y z
d k dk dk dk


, chúng ta có
       
2 3 2 3 2 3 2 3
1
3
x y z
v d k v d k v d k v d k
       
  
   
   
(1.32)
Tích phân theo
3
d k

thay đổi thành tích phân theo


thông qua sử dụng hệ thức
2 2 *
/ 2
k m



. Khi đó, chúng ta nhận được


3/2
*
3 2 1/2 1/2
3
8
4
2
m
d k k dk d A d

    
  


(1.33)
Trong phương trình trên, khối lượng hiệu dụng
*
m
là khối lượng mật độ các trạng thái

thay cho khối lượng hiệu dụng đẳng hướng (vô hướng), và được ký hiệu
*
d
m
. Trong các
chất bán dẫn, chẳng hạn như Ge và Si, chúng ta biết rằng các vùng dẫn có cấu trúc
nhiều valley và bề mặt năng lượng không đổi được diễn tả qua một elipxoit với khối
lượng hiệu dụng ngang
t
m
và khối lượng hiệu dụng dọc
l
m
. Trong trường hợp như vậy
khối lượng mật độ các trạng thái
*
d
m
được dẫn ra


1/3
2 *
t l d
m m m
 . Thay hệ thức này,
(1.32) và (1.33) vào (1.29), chúng ta được
1.3 Độ linh động và tính dẫn điện
Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh
14

 
3/2
0 0
2
0
*
1/2
0
0
1
2
3
x
x
B
f f d
e nE
J
k Tm
f d
 
 






(1.34)

Tiếp theo chúng ta thực hiện tính toán (1.34) cho hai trường hợp.
(a) Kim loại và bán dẫn suy biến. Trong trường hợp này, năng lượng Fermi
F

nằm
trong vùng dẫn, và số hạng


0 0 0
/ 1 /
B
df d f f k T

   có giá trị lớn gần năng lượng
Fermi. Do đó,
0
/
df d

 có thể được tính gần đúng qua hàm

- Dirac. Thêm vào đó,
các hệ thức sau


 
0
0
1
0

F
F
f
f
 
 
 
 

đúng cho hàm phân bố Fermi, và do đó chúng ta nhận được
   
   
3/2
0 0
0
3/2 3/2
0
0
1
1
B
F F
f f d
k T
df
d
d
   
      





  


(1.35)
1/2 1/2 3/2
0
0 0
2
3
F
F
f d d

    

 
 
(1.36)
Thay (1.35) và (1.36) vào (1.34), chúng ta nhận được


2
*
F
x x
ne
J E

m
 
 (1.37)
Ở đây


F
 
là thời gian hồi phục của electron tại
F
 

(hay tại bề mặt Fermi). Từ
(1.28), (1.33) và (1.36), ta suy ra được mối liên hệ giữa năng lượng Fermi
F

và mật
độ electron
n

 
2
2/3
2
*
3
2
F
n
m

 


(1.38)
1.3 Độ linh động và tính dẫn điện
Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh
15

(b) Bán dẫn không suy biến. Với các bán dẫn không suy biến, chúng ta có
0
1
f

và
0
1 1
f
 
, và có thể tính gần đúng
0
exp exp exp
F
F
B B B
f A
k T k T k T

 
     
   

     
     
(1.39)
Lúc đó (1.34) giản ước thành
3/2
0
2
0
*
1/2
0
0
2
3
x
x
B
f d
e nE
J
k Tm
f d
 
 





(1.40)

Ta tính tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần
3/2 3/2 1/2 1/2
0 0 0 0
0
0 0 0
3 3
2 2
B B B
f d k T f k T f d k T f d
      
  

   
  
(1.41)
Thay (1.41) vào (1.40), ta có hệ thức sau:
3/2
0
2
0
*
3/2
0
0
x
x
f d
e nE
J
m

f d
 
 





(1.42)
Ta có thể viết (1.42) gọn lại như sau:
2
*
x x
e n
J E
m

 (1.43)
với

là thời gian hồi phục trung bình của


 
.
3/2
0
0
3/2
0

0
f d
f d
 

 





(1.44)
Khi chúng ta xác định vận tốc trung bình của electron
x
v
có điện trường được đặt
theo hướng
x
thì
x
v
cũng được tính theo

từ (1.44). Vận tốc trung bình thường
1.3 Độ linh động và tính dẫn điện
Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh
16

được xem như vận tốc drift. Bởi vì electron đóng góp cho dòng qua chuyển động drift
dọc theo hướng của điện trường. Thời gian trung bình giữa các sự kiện tán xạ (các va

chạm) hay tốc độ tán xạ (tốc độ va chạm) được dẫn ra qua giá trị trung bình của thời
gian hồi phục

.
Sử dụng mật độ electron
n
, mật độ dòng được viết như sau:


x x
J n e v
  (1.45)
Từ (1.43) và (1.45), vận tốc drift có dạng
*
x x x
e
v E E
m


    (1.46)
Với

là vận tốc electron trung bình (vận tốc drift) dưới tác dụng một điện trường đơn
vị và đưa ra sự đo lường độ linh động; và nó được gọi là độ linh động electron. Độ linh
động này thường được xem như độ linh động drift để phân biệt với độ linh động Hall.
Từ (1.46), biểu thức độ linh động có dạng:
*
e
m




(1.47)
và khi chúng ta xác định tính dẫn (tính dẫn điện)

qua
x x
J E

 (1.48)
thì biểu thức của tính dẫn được đưa ra như sau:
2
*
ne
ne
m

 
 
(1.49)
Những hệ thức trên cũng thỏa mãn cho các bán dẫn suy biến bằng cách thay


 

thành


F

 
[2].
2.1 Giếng lượng tử
Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh
17

Chương 2
ĐẶC TÍNH CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ HAI CHIỀU
Hệ hai chiều là hệ mà trong đó các điện tử có thể di chuyển tương đối tự do trong hai
chiều còn một chiều bị hạn chế. Trong hệ hai chiều thuần tuý thì chiều bị hạn chế có
kích thước bằng không, nghĩa là điện tử thực sự chỉ có thể chuyển động trong hai
chiều. Tuy nhiên, hệ hai chiều thuần tuý chỉ là một mô hình lý tưởng không có trong
thực tế. Việc nghiên cứu các hệ hai chiều trong thực tế đòi hỏi phải có những bổ chính
thích hợp vì các điện tử ít nhiều vẫn có thể chuyển động trong chiều thứ ba, làm cho hệ
hai chiều không còn là hai chiều nữa mà là giả hai chiều.
2.1 Giếng lượng tử
Khảo sát một vật rắn có kích thước rất lớn theo các phương
x
và
y
, nhưng kích
thước (chiều dày) của nó theo phương


z a
chỉ vào cỡ vài nanomet. Như vậy, các
electron có thể vẫn chuyển động hoàn toàn tự do trong mặt phẳng


xy

, nhưng chuyển
động của chúng theo phương
z
bị giới hạn. Hệ như thế tạo thành hệ electron hai chiều.
Khi kích thước của vật rắn giảm xuống vào cỡ vài nanomet (nghĩa là cùng độ lớn với
bước sóng de Broglie của hạt tải điện), thì hạt tải điện tự do trong cấu trúc này sẽ thể
hiện tính chất giống như một hạt chuyển động trong giếng thế


V z
(Hình 2.1).
 
0, 0
, 0
z a
V z
z z a
 



   

(2.1)
Phương trình Schrödinger của electron trong giếng thế


V z
có dạng:
     

2 2 2 2 2
* 2 2 2
, , , ,
2 2
z
V z x y z E x y z
m x y m z
 
 
 
  
 
      
 
 
 
  
 
 
 
 
 
(2.2)
trong đó
*
m
là khối lượng hiệu dụng của electron trong mặt phẳng


xy

, và
z
m
là khối
lượng hiệu dụng của electron theo phương
z
.
2.1 Giếng lượng tử
Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh
18

Si
x
Ge
1-x

z
a
0
z
i

Si
Si
x
Ge
1-x

ionized
+ + + + + + +

Hình 2.1 Cấu hình của một giếng lượng tử
1 1
/ /
x x x x
Si Ge Si Si Ge
 
[1].
Thế năng


V z
chỉ phụ thuộc vào
z
, nên electron được xem như chuyển động tự do
trong mặt phẳng


xy
và hàm sóng của electron theo trục
x
và
y
là sóng phẳng. Khi
đó, hàm sóng của electron được viết lại như sau:









, , exp exp
x y
x y z ik x ik y z

  (2.3)
Thay (2.3) vào (2.2) và đơn giản các thừa số thì ta thu được phương trình sau:
   
 
 
2 2 2
2 2
2 *
2 2
x y
z
V z z E k k z
m z m
 
 
 
 

 
    
 
 
 


 
  
 
 
(2.4)
Đặt:
2 2
*
2
k
E
m

 


(2.5)
với


,
x y
k k k


là vectơ sóng hai chiều và phương trình (2.4) được viết lại như sau:
     
2 2
2

2
z
V z z z
m z
 
 
 

 
  
 
 

 
 
 

(2.6)
Phương trình (2.6) là phương trình Schrödinger một chiều và việc giải phương trình
này trở nên đơn giản cho các trường hợp thế khác nhau.
Phương trình Schrödinger cho electron bên trong giếng thế (


0
V z

):
       
2 2
2

2
0
2
z
z z z k z
m z
   
 


    
 

 

(2.7)
2.1 Giếng lượng tử
Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh
19

với
2
2
2
z
m
k




Nghiệm của phương trình (2.7) có dạng






sin cos
z A kz B kz

  (2.8)
Từ các điều kiện biên




0 0
a
 
 
, hàm sóng (2.8) được viết lại như sau:
 
sin
z
z
n
n z
z A
a



 

 
 
(2.9)
với
z
n
k
a


Từ điều kiện chuẩn hóa
 
2
1
z dz





, ta có:
 
2
2 2
0 0
sin 1

2
a a
z
n z
z dz A dz
a
A
a


 
 
 
 
 
 

Vậy, hàm sóng và năng lượng tương ứng của electron trong giếng lượng tử


0
z a
 

(Hình 2.2) là:
   
 
2 2 2
2
2

sin , 0
1,2,3
0, 0
, 1,2,3
2
z
z
z
n z
z
n z
z
n z
z a
z n
a a
z z a
n
n
m a





 
 

 
 


 

  

 

(2.10)
2.2 Mật độ trạng thái
Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh
20

E
3
= 102.8 meV
E
2
= 45.7 meV

3

2
E
1
= 11.4 meV

1
a = 60(A)

Hình 2.2 Năng lượng và hàm sóng của hạt trong giếng thế

1 1
/ /
x x x x
Si Ge Si Si Ge
 

2.2 Mật độ trạng thái
Mọi hệ điện tử đều được đặc trưng không chỉ bởi phổ năng lượng của nó mà còn
bằng một đại lượng quan trọng khác: mật độ các trạng thái


g E
.
Trước khi đi vào mật độ các trạng thái của hệ hai chiều, ta nhắc lại mật độ các trạng
thái trong ba chiều (khối).
Xét một hệ các điện tử trong tinh thể bán dẫn khối lập phương, mỗi cạnh có chiều
dài
L
. Hàm sóng điện tử trong tinh thể là hàm tuần hoàn




 
 
 
 
   
, , , ,
exp

exp exp
x y z
x x y y z z
x y z x x y y z z
x y z x L y L z L
i k x L k y L k z L
i k x k y k z i k L k L k L
 
   
 
     
 
   
    
   

với
x y z
L L L L
  
, ta có:
 
2 ,
2 , , ,
2 ,
x x
y y x y z
z z
k L n
k L n n n n Z

k L n




 


Thể tích của một ô đơn vị


0
k
V
trong không gian
k

được chiếm bởi một trạng thái
 
3
0
3
2
k x y z
V k k k
L

  (2.11)