Xác suất thống kê

A. XÁC SUẤT


1.Một thiết bị có bộ phận hoạt động độc lập. Biết xác suất để bộ phận 1 bị hỏng là 0,5 và
xác suất có ít nhất 1 bộ phận bị hỏng là 0,7. Tìm xác suất để bộ phận 2 bị hỏng.

2. Một lớp học có 20 sinh viên, trong đó có 10 sinh viên biết tiếng Anh, 12 sinh viên biết
tiếng Pháp, và 7 sinh viên biết cả 2 thứ tiếng. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên. Tìm xác suất
để:
a.Sinh viên đó biết ít nhất một ngoại ngữ.
b. Sinh viên đó không biết ngoại ngữ.

3. Trong thời gian có dịch bệnh ở một vùng dân cư. Cứ 100 người bị bệnh thì phải có 20
người đi cấp cứu. Xác suất gặp người đi cấp cứu do mắc phải dịch ở vùng đó là 0,08. Tìm
tỷ lệ mắc bệnh của vùng dân cư đó.

4. Một người có chùm chìa khóa gồm 10 chìa hình thức giống nhau nhưng trong đó chỉ có
1 chìa mở được phòng học. Người ấy mở ngẫu nhiên từng chìa khóa một cho đến khi mở
được phòng. Tìm xác suất:
a. Để anh ta mở tới lần thứ 3 thì mở được kho.
b. Để anh ta mở được khóa mà không quá 3 lần mở.

5. Một hộp có 2 bi đỏ, 4 bi xanh, 6 bi vàng và 1 bi tím. Lấy từ hộp cùng 1 lúc ra 4 bi.
a) Tìm xác suất 4 bi lấy ra có 2 bi xanh và 2 bi vàng
b) Tìm xác suất 4 bi lấy ra có 2 bi đỏ và 1 bi xanh và 1 bi vàng.

6. Có 03 chiếc hộp:
- Hộp 1: có 3 bi đỏ và 2 bi xanh
- Hộp 2: có 5 bi đỏ và 3 bi xanh
- Hộp 3: có 4 bi đỏ và 4 bi xanh
Chọn ngẫu nhiên ra một hộp rồi từ hộp đó lấy ra 2 bi.

a) Tìm xác suất 2 bi lấy ra là 2 bi đỏ
b) Biết 2 bi lấy ra là 2 bi đỏ. Tìm xác suất để 2 bi đó là 2 bi của một hộp.

7. Ba phân xưởng A, B, C cùng sản xuất một loại bóng đèn. Tỉ lệ phế phẩm của ba phân
xưởng A, B, C tương ứng là 1%, 3%, 2%. Giả sử trong kho có 1/4 số bóng đèn của phân
xưởng A, 1/5 số bóng đèn của phân xưởng B và số bóng đèn còn lại là của phân xưởng C,
Lấy ngẫu nhiên một bóng đèn từ kho
a) Tìm xác suất để bóng đèn là phế phẩm?
b) Nếu bóng đèn lấy ra là bóng đèn tốt. Tìm xác suất để bóng đèn lấy ra không là sản
phẩm của phân xưởng A?

8. Một cửa hàng bán một loại xe máy do 3 nhà máy cung cấp. Nhà máy 1,2,3 cung cấp
một lượng xe máy tương ứng 35%, 25%, 40%. Biết rằng tỉ lệ xe máy không đạt chuẩn
chất lượng của nhà máy 1,2,3 tương ứng là 2%, 3%, và 2%. Một người nào đó mua ngẫu
nhiên 1 xe máy của cửa hàng
a) Tính xác suất để xe máy người ấy mua đạt tiêu chuẩn chất lượng?
b) Giả sử xe máy người ấy mua đạt tiêu chuẩn chất lượng. Hỏi xe máy người ấy có
khả năng do nhà máy nào sản xuất cao nhất?

9. Một lớp học sinh được chia thành ba tổ. Tổ 1 có 2 sinh viên (sv) giỏi, 4 sv khá, 6 sv
trung bình. Tổ 2 có 1sv giỏi, 6 sv khá, 5 sv trung bình.Tổ 3 có 3sv giỏi, 4 sv khá, 5 sv
trung bình. Chọn ngẫu nhiên một tổ và tổ đó chọn ngẫu nhiên một sv
a) Tính xác suất để sv chọn ra là sv giỏi
b) Giả sử sv chọn ra là sv giỏi, tính xác suất để sv đó thuộc tổ 3?

10. Để đánh giá năng lực của sv có thể áp dụng một trong hai phương pháp đó là tổ chức
thi viết hoặc thi vấn đáp. Phương pháp thi viết đạt độ chính xác là 95%, còn pp thi vấn
đáp đạt độ chính xác là 98%. Ở một trường đại học có 1/3 số sv tham gia thi viết, số còn
lại thi vấn đáp. Chọn ngẫu nhiên một sv trong trường đó
a) Tính xác suất để sv không tham gia thi lại đánh giá đúng năng lực

b) Giả sử sv đó tham gia thi đánh giá đúng năng lực, hỏi sv này thi bằng phương pháp
nào nhiều hơn?

11. Trường đại học A đào tạo sv thuộc 3 hệ: Đại học, cao đẳng và trung cấp. Tỉ lệ sinh
viên thuộc 3 hệ này lần lượt là: 50%, 30%, 20%. Tỉ lệ sinh viên có học bổng của 3 hệ này
lần lượt là 4%, 3%, 2%, Chọn ngẫu nhiên một sv của trường A
a) Tính xác suất để chọn được sinh viên có học bổng.
b) Giả sử chọn được sinh viên có học bổng. Tính xác suất để sinh viên này thuộc hệ
Đại học.

12. Một chiếc máy bay địch có thể xuất hiện ở vị trí A với xác suất 2/5 và có thể xuất hiện
ở vị trí B với xác suất 3/5. Một đại đội phòng không có 4 khẩu pháo bắn máy bay, xác
suất bắn máy bay của mỗi khẩu pháo là 0,7. Có 3 phương án bố trí 4 khẩu pháo bắn máy
bay như sau:
Phương án 1: 3 khẩu đặt tại A, 1 khẩu tại B
Phương án 2: 2 khẩu tại A, 2 khẩu tại B
Phương án 3: 1 khẩu tại A, 3 khẩu tại B
Biết rằng khi máy bay đến vị trí nào đó các khẩu pháo đặt tại đó đều bắn đồng loạt một
lần một cách độc lập. Hãy chọn phương án tốt nhất và lí giải vì sao lại chọn phương án
đó.
13*. Một thùng rượu có 30 chai, trong đó có 25 chai thật và 5 chai giả. Trong quá trình
vận chuyển bị mất 2 chai không rõ chất lượng.Ta lấy ngẫu nhiên một chai trong 28 chai
còn lại. Tìm xác suất chai ta lấy là chai thật.

B. BIẾN NGẪU NHIÊN

1. Một thùng có 10 sản phẩm trong đó có 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên cùng một lúc 3 sản
phẩm. Gọi X là số phế phẩm trong 3 sản phẩm lấy ra.
a. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X.
b. Tính kỳ vọng E(X), phương sai D(X) và xác định hàm phân phối xác suất F(x).

2. Một sinh viên làm bài thi kết thúc học phần môn Toán kinh tế gồm 3 câu hỏi . Xác suất
làm đúng mỗi câu là 0,65. Gọi X là số câu hỏi thi sinh viên đó làm đúng.
a. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X.
b. Tìm hàm phân phối xác suất.
c. Xác định E(X), Mod(X), Med(X),
)(X
σ

d. Tính ?
)310( <<− XP

3. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ:

⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

⎡
−∈
−<
=
2
0
2
;
2
cos
2
0
)(
π
ππ
π
x
xxk
x
xf

a. Tìm hệ số k.
b. Tìm xác suất để trong hai phép thử độc lập có ít nhất 1 lần X nhận giá trị trong
)
4
;0(
π

4. Cho hàm số :

⎩
⎨
⎧
∉
∈
=
)3;0(0
)3;0(
)(
2
x
xax
xf
a. Tìm a để hàm f(x) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X nào đó. Vẽ đồ thị của hàm số
f(x) ứng với giá trị a tìm được.
b. Tìm xác suất để trong 3 phép thử độc lập có ít nhất 1 lần X nhận giá trị trong khoảng
.
)2;1(
5. Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng 3, độ lệch chuẩn 0,5. Hãy
tính
a.
?)31( =<< XP
b.
?)2( =>XP
c.
?)1( =<XP

6. Lãi suất (% ) đầu tư vào một dự án năm 2008 được coi như một đại lượng ngẫu nhiên
tuân theo luật phân phối chuẩn. Theo đánh giá của ủy ban đầu tư thì lãi suất cao hơn 20%
có xác suất 0,1587 là lãi suất cao hơn 25% có xác suất là 0,0228. Vậy khả năng đầu tư mà

không bị thua lỗ là bao nhiêu phần trăm?

C. THỐNG KÊ TOÁN

1. Khảo sát về doanh thu của một số công ty tư nhân ở địa bàn thành phố Đà Nẵng,
người ta thu được bảng số liệu sau :


Doanh thu X
ĐVT tỷ đồng/ năm
4-6 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20
Số công ty 10 18 20 25 15 10 7 5

a. Vẽ biểu đồ đa giác tần số và hình chữ nhật tần số.
b. Tính doanh thu trung bình mẫu
x
và độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh .
1
S
c. Hãy tìm khoảng tin cậy về doanh thu trung bình của tất cả các công ty tư nhân ở thành
phố Đà Nẵng với độ tin cậy 95%.
d. Người ta coi những công ty có doanh thu 12 tỷ đồng/ năm là công ty có thu nhập cao.
Với độ tin cậy 99%, hãy tìm khoảng tin cậy về tỉ lệ công ty tư nhân có doanh thu cao của
thành phố Đà Nẵng.
≥
e. Nếu thành phố Đà Nẵng báo cáo mức doanh thu bình quân của mỗi công ty tư nhân là
10,5 tỷ đồng/ năm thì có chấp nhận được không với mức ý nghĩa 5%.
f. Chi cục thuế cho biết tỉ lệ công ty tư nhân của thành phố có doanh thu cao là 35%.
Nhưng có ý kiến cho rằng tỷ lệ đó cao hơn so với thực tế. Hãy kết luân về ý kiến nhận
định trên với mức ý nghĩa 1%.

Biết rằng X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.

2. Thu nhập X(triệu đồng / tháng) của công nhân xí nghiệp tuân theo phân phối chuẩn.
Trước khi cổ phần hóa thu nhập trung bình của công nhân xí nghiệp đó là 2 (triệu
đồng / tháng). Sau khi cổ phần hóa để xác định thu nhập trung bình của công nhân;
người ta điều tra ngẫu nhiên thu nhập của 100 công nhân và thu được kết quả sau:

Thu nhập X
ĐVT tr đồng/ tháng
1,5-1,7 1,7-1,9 1,9-2,1 2,1-2,3 2,3-2,5 2,5-3,0
Số người 8 12 20 30 20 10


a. Ước lượng thu nhập trung bình của công nhân sau khi xí nghiệp cổ phần hóa với độ tin
cậy 95%.
b. Với mức kiểm định 0,01 thì cổ phần hóa có lợi cho công nhân hay không ?
c. Nếu biết độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X là
1,0=
σ
thì khi ước lượng thu nhập
trung bình của công nhân xí nghiệp đó đạt độ tin cậy 90% và sai số
ε
không vượt quá
0,01. Cần điều tra ít nhất bao nhiêu công nhân?

3. Độ dài thời gian X (giờ ) cho mỗi ô tô đậu ở một bãi đậu xe ở trung tâm thành phố có
phân phối chuẩn. Người ta theo dõi độ dài thời gian đậu xe của 100 chiếc x có số liệu:

Độ dài thời gian
(giờ)

0,5 1 2 4 5
Số xe 10 25 45 15 5

a. Hãy ước lượng độ dài thời gian đậu xe của mỗi ô tô với độ tin cậy 95%.
b. Hãy ước lượng tỉ lệ ô tô có độ dài thời gian đậu xe ít nhất 4 giờ với độ tin cậy 95%.
c. Có người cho rằng độ dài thời gian trung bình đậu xe của mỗi ô tô là 1,5 giờ. Với mức
ý nghĩa
01,0=
α
có thể nói độ dài thời gian trung bình đậu xe của ô tô lớn hơn 1,5 giờ được
không?

4. Theo dõi doanh số bán ra của siêu thị A trong 100 ngày sau đợt quảng cáo có số liệu
sau:

Doanh số
(triệu)
180 190 195 200 210
Số ngày 15 25 40 15 5

a. Hãy tìm khoảng ước lượng đối xứng của doanh số trung bình bán ra trong 1 ngày của
siêu thị A sau đợt quảng cáo với độ tin cậy 99%.
b. Trước đợt quảng cáo doanh số trung bình bán ra của siêu thị A trong 1 ngày là 191 triệu
đồng. Với mức ý nghĩa
01,0=
α
có thể nói sau đợt quảng cáo doanh số bán ra của siêu thị
A có tăng lên không? Biết doanh số X bán ra của siêu thị A có phân phối chuẩn.

5. Tại thị trấn M các hộ gia đình chỉ mua ga của 1 trong 2 công ty A và B. Điều tra ngẫu

nhiên 2500 hộ của thị trấn M thấy có 1600 hộ dùng ga trong đó có 850 hộ dùng ga của
công ty A.
a. Hãy ước lượng đối xứng của tỉ lệ các hộ dùng ga của thị trấn M với độ tin cậy 99%.
b. Với mức ý nghĩa
01,0=
α
có thể nói công ty A có thu hút khách hàng hơn công ty B hay
không ?

6. Nhà sản xuất săm lốp ô tô tuyên bố : Tuổi thọ trung bình của 1 chiếc lốp là 20.000 km.
Nghi ngờ tuổi thọ của chiếc lốp nhỏ hơn 20.000 km. Người ta kiểm tra 100 chiếc có số
km như sau:

Tuổi thọ
1.000km
15-17 17-19 19-21 21-23 23-25
Số lốp 15 25 40 15 5

a. Với mức ý nghĩa
01,0=
α
. Hãy kết luận về điều nghi ngờ trên.
b. Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của chiếc lốp đó bằng khoảng tin cậy đối xứng
với độ tin cậy 95%.
c. Ta gọi lốp loại I là lốp có tuổi thị ít nhất là 21.000km. Hãy ước lượng tỉ lệ lốp loại I
với độ tin cậy 95%.

7. Một công ty nhập một hệ thống máy tính mới để xử lý các hóa đơn. Công ty chạy kiểm
tra trong 100 giờ có số liệu:

Số hóa đơn được xử
lý
150 170 180 200 210
Số giờ 15 25 40 15 5
Biết rằng số hóa đơn được xử lý có phân phối chuẩn
a. Hãy ước lượng số hóa đơn được xử lý trong 1 giờ bằng khoảng tin cậy đối xứng với
độ tin cậy 99%.
b. Trước đây, công ty có 1 hệ thống máy tính trung bình 1 giờ xử lý được 175 hóa
đơn. Với mức ý nghĩa
01,0=
α
có thể kết luận hệ thống mới tốt hơn hệ thống cũ
không?

8. Kiểm tra tuổi thọ của 25 linh kiện điện tử có số liệu