Xác suất thống kê

Chuyên đề IX: Xác suất:
Lý thuyết:
1. Phép thử và biến cố - sự kiện:
+ Phép thử ngẫu nhiên: Việc thực hiện một số điều kiện nào đó.
+ Không gian mẫu: Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra. VD: Gieo hai con xúc xắc KGM có 6
2
= 36 phần tử.
+ Biến cố: Là một tập con của không gian mẫu.
+ Biến cố sơ cấp: Là tập con chỉ có đúng một phần tử. VD trên: {1}; {5}.
+ Biến cố chắc chắn, biến cố không thể có. Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố bù, biến cố xung khắc.
2. Biến cố sơ cấp đồng khả năng - xác xuất: P(A) =
m
n
(m - số phần tử của tập A, n- số PT của mẫu)
+ Các tính chất: 0 P(A) 1; P() = 0; P(E) = 1; P(A U B) = P(A) + P(B) nếu A, B xung khắc.
+ Định lý cộng: P( A U B) = P(A) + P(B) - P(AB)
3. Xác suất có điều kiện (Định lý nhân): P
A
(B) = P(B/A) =
P A B
P A
( )
( )

P(A B) = P
A
(B).P(A)
Bài tập:
1. a. ĐH Cần Thơ. 96 (A + B):
Bình đựng 5 bi xanh và 3 bi đỏ. Lấy một viên không hoàn lại, lấy tiếp viên nữa. Tính XS:
+. Lần thứ nhất đợc bi xanh, lần hai đợc bi đỏ: p =

5
8
3
7
.
+. Lần hai đợc bi xanh: p =
5
8
4
7
3
8
5
7
. .
+
.
b. ĐH Cần Thơ. 96 (D): Bình đựng 4 bi xanh và 3 bi đỏ. Lấy hai viên bi đồng thời. Tính xác suất để:
+. Đợc 2 bi xanh: p =
C C
C
4
2
3
0
7
2
.
. +. Hai bi đỏ (Tơng tự). +. Hai bi khác màu: p =
2

4
1
3
1
7
2
. .C C
C
c. ĐH Nông Nghiệp I. 96: Bình đựng 5 bi xanh, 3 bi vàng, 4 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tính xác suất:
1. A = Đợc 3 bi xanh P(A) =
C C C
C
5
3
3
0
4
0
12
3
. .
. 2. B = ít nhất có một bi vàng P(B) = 1 -
C
C
9
3
12
3
3. C = 3 bi cùng màu P(C) =
C C C

C
5
3
3
3
4
3
12
3
+ +
.
d. ĐH An Ninh (C). 97: Thùng 20 bi = 12 đỏ + 8 xanh. Lấy 3 viên bi.
1. Cả 3 viên đỏ. 2. Cả 3 viên xanh. 3. Có ít nhất một viên đỏ. Bạn tự giải tiếp.
e. SHSP 2. 97: Thùng kín có 10 bi = 7 xanh + 3 ẵị. Lấy 3 viên bi. Tính xác suất để:
1. Có 2 viên xanh. 2. Lấy từng viên một liên tíêp hai lần. Tính xác suất đợc bi đỏ lần một, bi xanh lần hai.
f. TCKT. 98: Thùng kín có 7 bi = 4 xanh + 3 ẵị. Lấy 3 viên bi. Tính xác suất đợc:
+. 2bi đỏ và 1 bi xanh. +. Cả ba bi xanh.
g. ĐH TCKToán. 96: Bình đựng 5 bi đen và 7 bi trắng. 1. Lấy 3 bi. Tính xác suất có 2 bi trắng p =
C C
C
7
2
5
1
12
3
.
2. Lấy không hoàn lại hai lần, mỗi lần một bi. Tính xác suất bi 1 trắng và bi 2 đen: p =
7
12

5
11
.
.
2. a. ĐH Đà Nẵng. 96: Hai máy điện thoại A, B độc lập. Xác suất máy A làm việc tốt là P(A) = 0,96. Xác suất
máy B làm việc tốt là P(B) = 0,85. Tính xác suất để:
+. Hai máy cùng làm việc tốt: p = P(A).P(B) = 0,96.0,85 +. ít nhất một máy làm việc tốt: p = 1 - 0,04.0,15.
b. ĐH Đà Nẵng. 97: Tung hai con xúc xắc. Tính xác suất B = Tổng số điểm là 8. P(B) =
5
36
Tính xác suất tổng số điểm lẻ hay chia hết cho 3: p =
24
36
3. ĐH Huế. 96: Bát giác đều ABCDEFGH. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của bát giác. Tính xác suất để:
a. Đợc tam gíac cân: (Vẽ hình) Xét các khả năng:
+ Đáy là hai đỉnh liên tiếp: Không có cân.
+ Đáy AC có hai cân: ACB, ACF có 16 tam giác cân kiểu này. + Đáy AD: Không có cân.
+ Đáy AE (Đờng chéo qua tâm) có 2 cân: AGE, ACE có 8 tam giác cân kiểu này Vậy p =
24 3
7
8
3
C
=
b. Đợc tam giác vuông hoặc cân: Có 24 cân (ở trên) và 16 vuông không cân vì mỗi cạnh cho 2 vuông:
Chẳng hạn cạnh AB thì có: ABF, ABE p =
24 16 5
7
8
3

+
=
C
.
5. a. HVKT Quân Sự. 96: Có ba thùng đựng các quả cầu. Thùng I: 4 trắng + 2đen. Thùng II: 3 trắng + 5 đen.
Thùng III: 2 trắng + 2 đen. Lấy 1 quả ở thùng I cho vào thùng II; sau đó lấy 1 quả ở thùng II cho vào thùng
III; sau đó lấy một quả ở thùng III cho vào thùng I .
+. Tính xác xuất để thùng I có 3 trắng + 3 đen. +. Với xác suất lớn nhất thì thùng một có mấy quả T, Đ.
Giải: +. Quả ở thùng I chuyển sang thùng II là trắng p
1
=
4
6
.
Khả năng 1: Quả ở thùng II chuyển sang III là trắng có: P
T
=
4
9
, Thùng III chuyển sang I phải là đen P
Đ
=
2
5

Khả năng này có xác suất P
1
=
4
6

4
9
2
5
.
Khả năng 2: Có P
Đ
=
5
9
và P
T
=
3
5
P
2
=
4
6
5
9
3
5
. Vậy Ycbt P =
4
6
4
9
2

5
+
4
6
5
9
3
5
=
92
270
+. Còn hai sự kiện nữa là ở thùng I cuối cùng có 1. 5 trắng + 1 đen 2. 4 trắng + hai đen
Tính xác suất tơng tự nh trên thì P(4 trắng + hai đen) =
136
220
là lớn nhất (Vẫn nh ban đầu).
b. HVKT Quân Sự. 97: Có 25 quả cầu đen và trắng để trong 2 thùng. Thùng nào nhiều cầu hơn thì quả trắng
nhiều hơn. Lấy từ mỗi thùng một quả. Biết xác suất đợc hai quả trắng là P(TT) = 0,48.
Tính xác xuất đợc một đen, một trắng.
Giải: Giả sử thùng I có m, thùng hai có n quả (m > n > 0). t, s là số quả trắng tơng ứng (t > s )
P(TT) =
t
m
s
n
.
= 0,48 =
48
100
12

25
=
. Vì m.n 25
m p
n q
=
=



5
5

m
n
m
n
=
=



=
=

20
5
15
10
1 Nếu: m = 20, n = 5 Thì: 25.t.s = 12.20.5 t.s = 48 = 48.1 = 24.2 = 16.3 = 12.4 = 8.6.
Vậy có các khả năng: t = 16, s = 3. t = 12, s = 4. Gọi TĐ = Một quả đen, một quả trắng Thì:
Nếu: t = 16, s = 3: P(TĐ) =
16
20
2
5
4
20
3
5
.
+ +
. Nếu: t = 12, s = 4: P(TĐ) =
12
20
1
5
8
20
4
5
. .

+
2. Nếu: m = 15, n = 10 Thì: 25.t.s = 12.15.15 t.s = 72 = 72.1 = 36.2 = 24.3 = 18.4 = 12.6 = 9.8
Vậy có các khả năng: t = 12, s = 6 Hoặc t = 9, s = 8.
Nếu: t = 12, s = 6: P(TĐ) =
12
15
4
10
13
15
6
10
. .
+
. Nếu: t = 9, s = 8 Thì: P(TĐ) =
9
15
2
10
6
15
8
10
. .
+
c. ĐH Nông Nghiệp I. 97: Một tổ có 9 nam, 3 nữ: 1. Chọn 4 ngời. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:
C
12
4
cách.

2. Tính xác suất để khi chọn một nhóm thì đợc nhóm có một nữ: Có
C C
9
3
3
1
.
cách chọn một nhóm có một nữ P =
C C
C
9
3
3
1
12
4
.
.
3. Có bao nhiêu cách chia tổ thành 3 nhóm, mỗi nhóm 4 ngời: Có
C
12
4
cách chọn một nhóm 4 ngời,
còn 8 ngời có
C
8
4
cách chọn 4 ngừơi tiếp, còn lại 4 có
C
4

4
cách chọn. KL: Có
C
12
4
C
8
4
C
4
4
cách.
4. Tính xác suất để mỗi nhóm ở 3. có đúng một nữ: Theo 2. thì
C C
9
3
3
1
.
= 84.3 cách chọn ra 4 ngời trong đó
có đúng một nữ. Còn lại 6 nam và hai nữ có:
C C
6
3
2
1
.
cách chọn nhóm hai có đúng một nữ. Còn lại:
3 nam một nữ có
C C

3
3
1
1
.
= 1 Cách chọn. Vậy P =
( . ).( . ).( . )
. .
C C C C C C
C C C
9
3
3
1
6
3
2
1
3
3
1
1
12
4
8
4
4
4
=
16

55
6. a. ĐH Xây dựng. 96: +. Hộp I có: 2 bi đỏ, 3 bi trắng. Hộp II có: 4 đỏ, 2 trắng, 1 xanh.
Gieo đồng thời hai con xúc xắc:
1. Tính xác xuất tổng số chấm 6: Có các kết quả đồng khả năng sau. Bạn tự giải tiếp. p =
5
12

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
2. Nếu tổng số chấm 6, ta lấy hộp I, Ngợc lại lấy hộp II, sau đó lấy 1 bi. Tính xác suất để đợc bi đỏ.
Gọi Đ = Đợc bi đỏ H
1
= Đợc bi ở hộp I. H
2
= Đợc bi ở hộp II. H
1
, H
2
là nhóm đầy đủ.
P(Đ) = P
H1
(Đ).P(H
1
) + P
H2
(Đ).P(H
2
) =
2
5

5
12
4
7
7
12
1
2
. .
+ =

3. Gọi A = 4 < x + y < y; B = x + y lẻ và x + y < 8. Tính: P(A U B) = P(A) + P(B) - P( A B) = P(B) =
11
36
b. Xuân, Thu chơi trò chơi: Gieo 2 con xúc xắc. Nếu tổng số chấm là một số lẻ > 5. Hoặc chỉ có một mặt 1
Thì Xuân thắng. Ai có hy vọng thắng nhiều hơn.
Giải: Không gian mẫu nh trên: Số kết quả thuận lợi cho Xuân thắng là: 16 của Thu là: 20.
c. Gieo hai xúc xắc: Gọi x là số chấm con xúc xắc xanh, y đỏ. Nếu A = x > y; B = x + y = 7
C = x lẻ, y chẵn; D = x + y = 6.
Tính: P(AUB) =
17
36
. P(B) =
6
36
; P(C) =
9
36
; P(D) =
5

36
; P(B/C) =
P B C
P C
( )
( )

=
3
36
9
36
=
1
3
; P(D/C) = 0.
d. ĐH Xây dựng. 97: Gieo một con xúc xắc 3 lần. a. Tính xác suất để ít nhất hai lần gieo mà số chấm xuất hiện nh nhau
Giải : Không gian mẫu có 6
3
= 216 phần tử. Gọi B = Số chấm 3 lần gieo đôi một khác nhau.
Vậy số lần B xảy ra là số cách chọn 3 trong 6 phần tử (1, 2, 3, 4, 5, 6) có thứ tự có
A
6
3
= 6.5.4 = 120 cách
P(B) =
120
216
. KL: P(ít nhất hai lần gieo mà số chấm xuất hiện nh nhau) = 1- P(B) =
96

216
=
4
9
.
Gọi: A = Có ít nhất một lần mặt 6 chấm xuất hiện; B = Số chấm xuất hiện ở 3 làn gieo khác nhau. Tính P(A/B) =
P A P B
P B
( ). ( )
( )
=
P A B
P B
( . )
( )
. Trong đó A.B = A B xảy ra khi có 3 số khác nhau trong đó có số 6 .
Chọn 6 vào một trong 3 số có 3 cách chọn. Sao đó chọn 2 số trong 5 số (1, 2, 3, 4, 5) có thứ tự
có
A
5
2
= 5.4 = 20 Vậy có 3.20 = 60 cách chọn: P(A/B)
P A P B
P B
( ). ( )
( )
=
P A B
P B
( . )

( )
=
60
216
120
216
=
1
2
e. ĐH Giao thông vận tải. 97: Có 20.000 vé số. Trong đó có 1 giải nhất, 100 nhì, 200 ba, 1000 t và 5000
giải khuyến khích. Một ngời mua 3 vé. Tính xác suất trúng một giải nhì, hai giải khuyến khích.
p =
C C C C C
C
1
0
100
1
200
0
1000
0
5000
2
20000
3
. . . .
.
f. Báck Khoa. 98: Trong 100 vé số có 1 vé trúng 10.000đ, 5 vé trúng 5.000đ, 10 vé trúng 1000đ. Mua 3 vé.
Tính xác suất trúng 3.000: P =

C C C
C
10
3
1
0
5
0
100
3
. .
; Trúng ít nhất 3000đ: Có khả năng: + Cả ba vé trúng 1000
+ Hai vé trúng. + Môt vé trúng. Bạn tự giải tiếp.
g. ĐH Thuỷ lợi. 97: Trong hộp kín có 10 cầu trắng, 8 cầu đỏ. Lấy hú hoạ 5 quả cầu.
Tính xác suất có đúng 3 quả đỏ: P =
C C
C
10
2
8
3
18
5
.
7.a. Y Hà Nội.97: 1. Cho mời chữ số: 0, 1, 2, . . ., 9. Có thể lập bao nhiêu số lẻ 6 chữ số khác nhau, nhỏ hơn 600.000.
Gọi chữ số tho m n đề bài là ã ã
ABCDGH
. A {1, 2, 3, 4, 5}; H {1, 3, 5, 7, 9};
+ Nếu: A là 2 hoặc 4 (Có hai cách chọn) thì H Có 5 cách chọn: 1, 3, 5, 7, 9. Còn B, C, D, G là chọn 4
trong các số: 0, 1, . . ., 9 loại đi 2 số A, H (còn 8 số) có:

A
8
4
cách chọn. Vậy có: 2.5.
A
8
4
số kiểu này.
+ Nếu: A là 1, 3, 5 (Có 3 cách) thì H là các số: 1, 2, 3, 5, 7, 9 loại đi số A (Còn 4 cách) . Lúc đó: B, C, D, G
có
A
8
4
cách chọn. Vậy có: 3.4.
A
8
4
cách chọn số dạng này KL có: 2.5.
A
8
4
+ 3.4.
A
8
4
= 36960 số.
b. Một bà mẹ muốn sinh bằng đợc con gái. Xác suất sinh con gái là 0,486. Tính xác xuất sinh con gái ở
lần sinh thữ hai: P(G) = 0,514.0,486 0,25.
8.a-Gieo 3 đồng tiền. Gọi A = ít nhất một mặt ngửa; B = Có 2 mặt ngửa. Tính: P(A); P(B); P(B/A); P(A/B).
Giải:Không gian mẫu: (S,S,S); (S,S,N); (S,N,N); (S,N,S); (N,S,S); (N,S,N); (N,N,N); (N,N,S)

P(A) = 1 -
1
8
=
7
8
; P(B) =
3
8
; P(B/A) =
3
7
=
P A B
P A
( )
( )

=
3
8
7
8
; P(A/B) = 1 =
P A B
P B
( )
( )

=

3
8
3
8
b. Hai ngời cùng bắn con nai. Xác suất hạ con nai của ngời I là 0,8; ngời II là 0, 7. Tính xác suất con nai
bị hạ: P(H) = P(AUB) = P(A) + P(B) - PA B) = 0,8 + 0,7 - 0,8.0,7 = 0,94.
9. a. Đoàn tàu có 3 toa vào ga, 12 hành khách chờ tàu. Tìm xác suất:
+ 4 ngời lên toa I, 5 ngời lên toa II, còn lại lên toa III: p =
12
4 5 3 3
12
!
! ! !

+ Mỗi toa có 4 ngời: p =
12
4 4 4 3
12
!
! ! !
. + Hai hành khách A, B cùng lên một toa: p =
1
3
.
b. Thang máy khách sạn có 10 tầng. Có 5 ngời đi từ tầng I. Tính xác suất:
+ Tất cả cùng ra ở tầng 5: p =
1
9
5
. + Tất cả cùng ra ở một tầng: p = 9.

1
9
5
=
1
9
4
.
+ Mỗi ngời ra một tầng khác nhau: p =
A
9
5
5
9
(m - số cách chọn 5 phần tử trong 9 phần tử).
+ Hai ngời ra cùng một tầng, 3 ngời kia ra 3 tầng khác nhau: p =
A A
9
2
9
4
5
9
.
.
c. Một em bé xếp các chữ: N,N,A,H,H. Tìm xác suất đợc chữ NHANH: n = 5!;
m = ?. N có 2 cách; H có 2 cách; A có 1 cách; N có 1 cách, H có 1 cách: p =
2 211
5
. . .

!
.
d. Viết các số: 1, 2, 3, 4, 5 lên Năm quả cầu. Chọn từng quả liên tiếp ba lần xếp từ trái sang phải. Tính xác
suất đợc số chẵn: n = 5.4.3 = 60 cách . m: số có dạng
abc
. c có 2 cách, b có 3 cách (trừ 2 và 4), a có 2
cách (trừ 2, 4 và b) m = 12 cách. P(C) = 12/60 =
1
5
.
e. Lấy 5 con bài từ cỗ tam cúc có 32 con. Tính xác suất đợc:
+ Một tớng, một sỹ, hai xe, một tốt: p =
C C C C
C
2
1
4
1
4
2
10
1
32
5
. . .
+ Lập đợc tú tử: p =
( ).C C C
C
5
4

5
4
27
1
32
5
+
.
d. Biển đăng ký xe máy có 3 phần: Phần đầu là số 14. Phần giữa 3 chữ số, phần cuối 2 chữ cái.
+ Lập đợc bao nhiêu biển : Phần đầu không ảnh hởng. Phần giữa có 10
3
cách. cuối có 24
2
có: 10
3
.24
2
.
+ Tính xác xuất gặp xe biển có 3 số giữa là 468: p =
11124
10 24
2
3 2
. . .
.
=
1
10
3
.

10. a. Có 10 thăm trong đó có một thăm có thởng. Mỗi ngời rút một thăm. Tính xác suất ngời thue hai
đợc thởng: P(X = 2) =
9
10
1
10
.
=
9
100
(Nếu không bỏ thăm ra); P(X = 2) =
9
10
1
9
.
=
1
10
(Nếu bỏ thăm ra).
b. Gieo 4 đồng tiền, ghi kết quả: a, b, c, d (Chỉ là S hay N).
+ Mẫu có bao nhiêu phần tử: n = 2
4
+ Tính xác xuất đợc 2 mặt sấp: p =
C
4
2 4
1
2
( )

=
6
16
3
8
=
= P(x = 2)
+ Gọi x là số đồng tiền lật mặt sấp trong một lần gieo. Tính: P(x = 0) = (
1
2
)
4
=
1
16
P(x = 1) =
C
4
1
(
1
2
)
4
; P(x = 3) =
C
4
3
(
1

2
)
4
; P(x = 4) = (
1
2
)
4
=
1
16
= P(x = 0).