design and implementation of an inverse dynamics controller for uncertain nonholonomic robotic systems

Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 1

Design and Implementation of an Inverse Dynamics Controller for Uncertain
Nonholonomic Robotic Systems
Khoshnam Shojaei-Alireza Mohammad Shahri-Behzad Tabibian
Tóm tắt: Bài báo này đề tới vấn đề điều khiển bám quĩ đạo của hệ thống Robot nonholonomic với sự có mặt không
chắc chắn của mô hình. Một bộ điều khiển bám được đề xuất để nó kết hợp kỹ thuật kiếm soát động lực học ngược và
một bộ điều khiển PID thích nghi mạnh mẽ với chiến lược đảm bảo tính bất định cho cả tham số và phi tham số. Lý
thuyết SPR-Lyapunov phân tích ổn định chứng minh rằng lỗi bám quĩ đạo được thống nhất cuối cùng cũng bị chặn
(UUB) và theo cấp số nhân hội tụ về một hình cầu nhỏ có nguồn gốc. Mục đích của điều khiển bám động lực học ngược
được áp dụng thành công cho Robot di động có bánh xe nonholonomic (WMR) và kết quả thử nghiệm đều có phần giới
hạn để xác nhận hiệu quả của bộ điều khiển đề xuất.
Keywords: Adaptive-robust, Inverse dynamics control, nonholonomic systems, uncertainty, trajectory tracking.
1.Introduction
Vấn đề điều khiển chuyển động của chủ đề hệ thống cơ
khí nonholonomic constranins đã thu hút một sự chú ý
đáng kể trong những năm qua [9]. Xe hai bánh, Robot di
động có bánh xe (WMRs), robot đa ngón tay và robot
không gian là những ví dụ điển hình của những hệ thống
như vậy. Theo định lý cơ bản của Brockett [1], những hệ
thống như vậy không thể được ổn định ở bất kỳ trạng thái
cân bằng cấu hình bằng cách làm trơn tru thông tin phải
hồi ở trạng thái tĩnh. Từ đánh giá của bài báo [9], định lý
nổi tiếng này và bản chất phi tuyến của hệ thống
nonholonomic đã thúc đẩy các nhà nghiên cứu tập trung
vào các vấn đề điều khiển chuyển động của hệ thống như
thế. Mặc dù rất nỗ lực vào việc thiết kế ổn định cho bộ
điều khiển hệ thống nonholonomic, nhưng các thông tin
về hạn chế bộ điều khiển phản hồi đã được phát triển.
Một số kết quả cơ bản trên mô hình, điều khiển và ổn
định của hệ thống nonholonomic đã được báo cáo trong

[3-5]. Một số nhà nghiên cứu đề xuất bộ điều khiển ổn
định chi hệ thống nonholonomic bằng cách chuyển đổi
chúng thành dạng chuỗi [10, 17, 19, 21]. Trong số các
vấn đề điều khiển chuyển động khác của hệ thống
nonholonomic, hầu hết cá nhà nghiên cứu tập trung vào
việc theo dõi quỹ đạo với luật điều khiển liên quan tới
thời gian được gọi là bám quỹ đạo. Một loạt các thuật
toán điều khiển cho vấn đề bám quỹ đạo được phát triển
trong tài liệu [8, 18, 19, 21, 29]. Khác biệt giữa lý thuyết
điều khiển hình học có thể sử dụngtruyền thống để thiết
kế bộ điều khiển phản hồi tuyến tính để giải quyết vấn đề
bám quỹ đạo của hệ thống nonholonomic [14]. Từ việc
xem xét các tài liệu, kết quả sau đây được tóm tắt liên
quan việc áp dụng kỹ thuật này cho hệ thống
nonholnomic: 1. Một hệ thống nonholonomic được kiểm
soát và điểm cân bằng của nó được lý thuyết Lyapunov
đảm bảo ổn định, nhưng không thể làm cho ổn định tiệm
cận bởi

một phần phản hồi trạng thái tĩnh trơn [4]. 2. Nó được chỉ
ra rằng hệ thống nonholonomic không tuyến tính hóa
trạng thái vào. Tuy nhiên, nếu lựa chọn một tập hợp các
phương trình đầu ra, nó có thể được tuyến tính hóa đầu
vào-ra [6, 8]. 3. Kích thước của các hệ thống tuyến tính
phản hồi của mô hình động học và mô hình động lực học
của hệ thống nonholonomic là hai lần số lượng thiết bị
truyền động của nó và chỉ số khả năng kiểm soát của mỗi
hệ thống là bằng 2 [3]. 4. Bản chất động lực học của các
hệ thống là ổn định [13]. Có một sự tồn tại vô giá các tài
liệu đề xuất các bộ điều khiển bám quỹ đạo dựa trên

thông tin phản hồi tuyến tính cho hệ thống nonholonomic
mà hầu hết trong số chúng được phát triển robot
nonholonomic di động có bánh xe [3, 8, 15, 20, 22]. Tuy
nhiên, chúng sử dụng động học chính xác và mô hình
động học của các hệ thống nonholonomic. Thông tin
phản hồi tuyến tính dựa trên việc lý tưởng hóa các điều
kiện phi tuyến. Do đó, việc lý tưởng hóa có thể không đạt
được một cách hoàn hảo trong sự hiện diện không chắc
chắn của hệ thống robot nonholonomic. Trong [25], một
thông tin phản hồi tuyến tính của hệ thống điều khiển
thích nghi đã được phát triển để giải quyết vấn đề này
cho một WMR nonholonomic. Kết quả thực nghiệm của
bộ điều khiển được đề xuất trong [25] trên WMR thực
được trình bày trong [27]. Tuy nhiên, các mô phỏng máy
tính và thí nghiệm thực tế cho thấy các đề xuất hệ thống
điều khiển thích nghi của nó mất ổn định trong một số thí
nghiệm vởi sự có mặt của nonparametric không chắc
chắn như ma sát bề mặt và unmodeled castor wheels.
Martins và cộng sự [24] đề nghị một bộ điều khiển bám
động học với sgnma-modification cho một ổ đĩa WMR
khác. Tuy nhiên, kích thước ràng buộc cuối cùng của lỗi
bám phụ thuộc vào sự hỗn loạn bên ngoài và nó không
thể tự do chỉnh định thông số. Ngoài ra, việc thực hiện
qua loa của bộ điều khiển đề xuất của họ không rõ ràng.
Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 2

Trong công việc trước đây [26], những vấn đề này được
giải quyết bằng cách thiết kế một luật điều bám thích
nghi. Tuy nhiên, bộ điều khiển không phải là thực
nghiệm được đánh giá bởi WMR thực. Dựa trên kiến

thức hiện tại của các tác giả, không có sẵn công việc hiện
tại đề xuất điều khiển động lực học ngược để giải quyết
vấn đề điều khiển bám quỹ đạocủa hệ thống robot
nonholonomic trong sự có mặt của cả tham số và phi
tham số bất định. Hơn nữa, hầu hết các bộ điều khiển bền
vững đề xuất [16, 21, 26, 28, 30] đã không đánh giá thực
nghiệm trên hệ thống robot thực nonholonomic.
Vì vậy, những đóng góp chính của bài báo này được nêu
rõ như sau. Một bộ điều khiển bám động lực học ngược
thích nghi-bền vững được thiết kế cho một động học tích
hợp và trình bày rõ ràng động học của hệ thống robot
nonholonomic trong sự tham gia của tham số và phi tham
số bất định. Công việc của Sarhar [8] là điều cần thiết để
phát triển bộ điều khiển. Ngược lại với nhiều kết quả có
sẵn cái mà sử dụng các kỹ thuật backstepping trong thiết
kế bộ điều khiển cho những WMR, bài viết này đề xuất
một điều khiển bám cái mà bao gồm động lực học ngược
thích nghi-bền vững và luật điều khiển PID bền vững.
SPR-Lyapunov phân tích tính ổn định được sử dụng để
chứng minh các lỗi bám là được thống nhất cuối cùng
cũng tiệm cận (UUB) và theo cấp số nhân hội tụ về một
hình cầu nhỏ chứa gốc, có đường kính có thể tự do chỉnh
định bằng điều khiển các thông số. Kết quả thực nghiệm
dựa trên thương mại về WMR nonholonomic được trình
bày để đánh giá ý tưởng của bộ điều khiển được đề xuất.
Kể từ khi thiết bị truyền động động học bị bác bỏ dựa
trên giả định momen xoắn bánh xe như đầu vào của hệ
thống robot trong hầu hết các nghiên cứu trước đây, nó
hợp lý và thiết thực hơn việc đưa điện áp đầu vào thiết bị
truyền động như là điều khiển đầu vào. Tuy nhiên,

WMRs có thể được yêu cầu tốc độ và họ không chấp
nhận thiết bị truyền động đầu vào là điện áp [23, 24]. Kết
quả bài báo [30] đề xuất một bộ điều khiển thích nghi
dựa trên mạng neuron cho một WMR nonholonomic
chứa thiết bị truyền động động học. Tuy nhiên, bộ điều
khiển đề xuất của họ cung cấp tín hiệu điện áp ở đầu vào
và không thể áp dụng cho thương mại WMRs có sẵn . Bộ
điều khiển đề xuất trong bài báo của Martins [24] đã xem
xét vấn đề này và cung cấp vận tốc đầu vào trong mô
hình động học của WMR dựa trên mô hình đươc trình
bày bởi De La Cruz và Carelli [23]. Trong việc này, mô
hình trình bày trong [23] cũng được sử dụng để cung cấp
tính khả thi của việc đánh giá thí điểm bộ điều khiển
được đề xuất ở quan hệ WMR.
Phần còn lại của bài báo được tổ chức như sau. Trong
phần 2, mô hình động học và động lực học của hệ thống
robot nonholonomic được xem xét trong thời gian ngắn
và mục tiêu điều khiển được quy định. Phần 3 đề xuất bộ
điều khiển bám quỹ đạo và phân tích sự ổn định của hệ
thống closed-loop. Phương pháp đề xuất áp dụng cho một
drive WMR vi sai nonholonomic trong phần 4. Kết quả
mô phỏng được trình bày trong phần này để đánh giá
hiệu quả bộ điều khiển. Phần 5 trình bày thí nghiệm trên
robuLAB WMR 10 để xác minh hiệu quả của luật điều
khiển được đề xuất. Cuối cùng, phần 6 kết luận bài báo.
2. Trình bày vấn đề
Xét một lớp hệ thống robot nonholonomic m ràng buộc
[8]:
( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
T

d d
M q q C q q q B q F q B q B q A q
  
    
   
(1)
( ) 0
A q q


(2)
Với
1 2
[q ,q , ,q ]
T
n
q  là vector biến khớp tổng quát,
( ) 1
n m

 

,
( )
n n
M q


là matran đối xứng xác định
dương , ( , )

n n
C q q



là matran lực hướng tâm và
Coriolis,
( ) 1
( )
n m
F q
 


biểu thị vector ma sát,
( ) 1
n m
d

 

biểu thị ranh giới của nhiễu không biết,
( )
( )
n n m
B q
 

là matran biến đổi đầu vào,
( )

m n
A q



là matran đầy đủ hạng và
1
m



là vector nhân tử
Lagrange cái mà biểu thị sự ràng buộc về lực. Từ bình
luận của [8, 16], để
1 2
( ) [s (q),s (q), ,s (q)]
T
n m
S q

 là
matran đầy đủ hạng cái mà được tạo thành từ một tập hợp
các vector độc lập tuyến tính, ( ) , 1, ,
n
i
s q i n m
  
,
trong không gian trống của
( )

A q
mà
( ). ( ) 0
A q S q

. Xét
phương trình Ep.2, ta tìm được vector giả vấn tốc của hệ
thống như sau:
1 2
( ) [v (t),v (t), ,v (t)]
T
n m
v t

 , như vậy:
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
n m n m
q S q v t s q v s q v
 
   

(3)
Lấy vi phân Eq.3 ta có:
( ) ( )
q S q v S q v
 

 
được kết quả

thay vào Eq.1và nhân với
( )
T
S q
ta được phương trình:
( ) ( , ) ( ) ( )
d
Mv t C q q v t F q B
 
   
  
(4)
Với
, ( , ) , ,
T T T T
M S MS C q q S MS S CS B S B
   

( ) ,
d d
F q BF B
 
 

Xét thiết bị truyền động động học,
người ta cho rằng robot được kích thích bởi n-m động cơ
Brushed DC (động cơ một chiều không dùng chổi than)
Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 3

với bánh răng cơ khí. Phương trình điện thay thế cho mỗi

phần ứng động cơ là:
/
a a a a a b m
u L di dt R i k

  

(5)
Có
b
k
là hằng số EMF,
,
a a
R L
điện trở và điện cảm của
phần ứng động cơ tương ứng,
a
u
là điện áp đầu vào.
Bằng cách bỏ qua điện cảm của mạch phần ứng và xem
xét mối quan hệ giữa mô-men xoắn và dòng phần ứng
(tức là
m a
k i


 )và mối quan hệ giữa mô-men xoắn và
tốc độ trước và sau bánh răng (i.e
,

m m
n n
   
 
 
), mô-
men xoắn được cho bởi:
1 2
a
k u k
 
 

(6)
Có:
1 2 1
( / ), , /
a b w m
k nk R k nk k n n n

  
là tỉ số truyền
và
k

là hằng số mô-men xoắn của động cơ. Khi đó Ep.6
được viết là:
1 2
a T
k u k X v


  (7)
Lại có:
( ) ( )
n m n m
T
X
  
 là matran biến đổi vận tốc bánh
xe thành vector giả vận tốc. Sau khi thay thế Eq.7 vào
Eq.4 ta có:
2
1
( ) ( ( , ) ) ( )
( )
T
d a
Mv t C q q k BX v t
F q k Bu

 
  
 


(8)
Tính chất 1:
( )
M q
là matran đối xứng và xác định

dương bị giới hạn trên và dưới
1 2
( )
m M q m
 
với
1
m
và
2
m
là hằng số vô hướng.
Tính chất 2: Giá trị động học và mô hình động học của
hệ thống nonholonomic:
1 1
1 2 1
1 1 2 1 1
( ) , ( , ) ,
( ) ,
, , ,
d
S q s C q q c v
F q f f v
s f f c and
 

 
  



(9)
Có
1 1 2 1 1
, , ,
s f f c and

là các hằng số tích cực vô hướng.
Mô hình động học 3 và phương trình động học 8 có thể
được gộp vào không gian trạng thái như sau:
1
1
1
2
0
0
0
(( ( , ) ) (( ) ( ) )
a
T d
q Sv
x u
v
k M B
M C q q k BX v t F q



 
   

  
 
   
   
 
 

 
   
 



 
(10)
Với
(2 )
n m
x


là vector trạng thái. Phép biểu diễn này
cho phép áp dụng sự khác biệt giữa hình học lý thuyết
điều khiển trong vấn đề điều khiển bám. Dựa trên các vấn
đề thảo luận, công việc sẽ được tập trung vào kỹ thuật
điều khiển đầu vào-đầu ra tuyến tính để giải quyết vấn đề
điều khiển bám. Vì vậy, bằng cách lựa chọn thích hợp để
thiết lập đầu ra
( ) ( ( ))
y t h q t


, mục đích điều khiển được
thiết lập như sau. Cho quỹ đạo đặt
( ) ( ( ))
r r
y t h q t
 và
r
q
đáp ứng vấn tốc giả định ràng buộc 2, sau đó tổng hợp
các động học và vấn đề điều khiển bám động học được
thảo luận trong bài báo thiết kế luật điều khiển phản hồi
cho hệ thống 10 với kết quả đầu ra
( ) ( ( ))
y t h q t

đảm bảo
lim ( ) 0
t
e t


với
( ) ( ) ( )
r
e t y t y t
  là sai lệch bám. Giả
định sau đây rất cần thiết để phát triển bộ điều khiển
trong phần tiếp theo.
Giả thiết 1: Phép đo của tất cả không gian trong thái (tức

,
T
T T
x q v
 

 
) là có tính thời gian thực,
Giả thiết 2: Giá trị đặt
( )
r
y t
được chọn sao cho
( ), ( ), ( )
r r r
y t y t y t
 
là những tín hiện bị chặn.
Giả thiết 3: Các thông số động học của hệ thống
nonholonomic là hình học và dễ dàng đo lường, chẳng
hạn các thông số được giả định hợp lý để đảm bảo tính
tin cậy của bài báo. Tuy nhiên, sự phát triển của bộ điều
khiển là đơn giản và tầm thường cho động học tham số
bất định trong phần tiếp.
3 Development of the Inverse Dynamics Control ()
3.1 Thiết kế SPR-Lyapunov
Phần này đề xuất một BĐK bám thích nghi-bền vững dựa
trên kỹ thuật động lực học ngược cho việc xây dựng tích
hợp động học và động lực học của hệ thống
nonholonomic cho bởi Eq.10. Hệ thống 10 có thể được

biểu diễn nhiều đầu vào mô hình phi tuyến:
1
( ) ( , ) ( )
n m
i ai
i
x f x g x u x
 


  


(11)
Có
(2 )
( ), ( , ) ( )
n m
i
x andf x g x and x
 


là vector mịn trên
trường
(2 )
n m

 với
(0, ) 0

g


. Tham số vector
p


bao gồm tham số bất định ở matran đầu vào trong Eq.10.
Kết quả đầu ra là hàm tọa độ tổng quát q. Vì số lượng các
bậc tự do của hệ thống là n-m (kết quả đầu ra độc lập):
 
1 2
( ) ( ), ( ), , ( )
T
n m
y h x h q h q h q

 
(12)
Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 4

Phương pháp tiếp cận cơ bản để có được quan hệ tuyến
tính đầu vào-ra là liên tục phân biệt các kết quả đầu ra để
có được quan hệ rõ ràng với đầu vào. Sau qua trình nhận
dạng, ta có được:
1
( ) ( ) ( ) , 1, ,
n m
j f j j gi j ai hj
i

y L h L h L h u J q S q v j n m



     


(13)
Nó không liên quan tới cơ cấu truyền động. Trong Eq.13
( ) ( ) /
hj j
J q h q q
  
, nhận dạng lần nữa ta có được:
2 2
1 1
( ( ) ( ) )
j f j f j f j j
n m n m
gi f j ai gi j ai
i i
y L h L L h L L h L h
L L h u L L h u
  

 
 
   
 
 


(14)
Rõ ràng là
( ) 0
gi f j
L L h

. Sau khi đơn giản hóa, Eq.14 có
thể được viết như sau:
2
( ) ( ) ( )
j f f g f a
y L h x L L h x L L h x u

  

(15)
Đặt
( ): ( )
g f
L L h x D x
 được gọi là matran tách:
1 1 1
1
( )
g f gn m f
g f n m gn m f n m
L L h L L h
D x
L L h L L h


  
 
 

 
 



(16)
Giả thiết rằng
det( ( )) 0
D x

. Như vậy là hệ thống 11 và
12 là tuyến tính đầu vào-ra. Các thông tin phản hồi phi
tuyến sau:
1 2
( )( ( ))
a f
u D x L h x


 
(17)
là hệ thống tuyến tính và riêng biệt với n-m nhiễu tích
hợp gấp đôi như sau:
f
y L L h



 

(18)
có
j

j=1, ,n-m là biến đầu vào mới. Người ta cho rằng
có p tham số chưa biết trong mô hình động học của hệ
thống robot nonholonomic và
( )
f
L L h x

biểu thị tham số
bất định. Theo nguyên tắc tương đương, D(x) phải được
thay thế bằng điều khiển tách ước lượng trong luật 17
1 2
ˆ
( )( ( ))
a f
u D x L h x


 
(19)
Với
ˆ
ˆ

( ) ( )
g f
D x L L h x

(20)
Vì f(x) và h(x) không chứa bất kỳ giới hạn bất định và
không gian hệ thống để phản hồi thông tin bằng phép đo
cảm biến theo giả thiết 1 và 3,
2
f
L h
cũng có sẵn. Thay
Eq.19 vào Eq.15 ta được:
2 1 2
ˆ
( ) ( ) ( )( ) ( )
f f f
y L h x D x D x L h L L h x



   

(21)
Sau một số biến đổi, Eq.21 thay thế bởi:
1 2
ˆ
( ) ( )( ) ( )
f f
y D x D x L h L L h x


 

   


(22)
với
ˆ
( ) ( ) ( )
D x D x D x
 

(23)
Sau đó viết gọn Eq.22 lại ta được:
W( , ) ( )
f
y x L L h x

  
  


(24)
ở đó
1
, ,
T
p
  

 

 
  
là vector ước lượng tham số lỗi và
matran
( )
W
n m p
 

là matran truy hồi theo thời gian
được tạo từ hàm đã biết. Theo như thuộc tính cấu trúc
của hệ thống nonholonomic, hình thức tham số này có thể
đạt được cho hệ thống nonholonomic. Bây giờ, luật điều
khiển thích nghi được suy ra từ phương pháp thiết kế
SPR-Lyapunov ở [2,12]. Thừa nhận rằng đầu vào điều
khiển bên ngoài
j

chohệ thống con thứ j Eq.24 được
chọn để đầu ra thứ j,
( )
j
y t
, bám đầu ra mong muốn,
( )
jr
y t
, trong vòng ngoài:

0
( )
1,2, ,
t
j jr pj j vj j ai j Rj
y k e k e k e d v
j n m
  
    
 

 
(25)
pj
k
vj
k
ai
k
biểu thị hệ số khuếch đại vòng ngoài của vộ
điều khiển. Điều khiển bền vững 25 được giải thích như
sau:
1. Thuật ngữ điều khiển
Rj
v
là luật điều khiển bền
vững, được thiết kế để bù cho phi tham số bất
định
( )
f

L L h x


2. Tác dụng điều khiển phản hồi
jr
y

là bù cho sự
tăng tốc của quỹ đạo mong muốn.
3. Một BĐK phản hồi PID đóng vai trò quan trọng
để ổn định sai lệch hệ thống được phát triển như
sau.
Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 5

Thêm luật điều khiển PID bền vững đưa trong Eq.25 để
hê thống con thứ j của Eq.24 dẫn đến phương trình sai
lệch sau:
0
( )
W ( ( ))
t
j vj j pj j ai j
j f j Rj
e k e k e k e d
L L h x v

 

  
  


 


(26)
ở đó
1 2
W w ,w , ,w
j j j jn m
 

 
là hàng thứ j của ma trận
hồi quy. Với mục đích thích nghi, người ta có thể sử dụng
các bộ lọc lỗi cho tín hiệu đầu ra thứ j:
1 2
0
( ) ( ) ( ) ( ) ,
1,2, ,
t
j j j j j j
t e t e t e d
j n m
    
  
 


(27)
Vì

j j jr
e y y
 
  
được biết như là chức năng của trạng thái
đo được xem bởi Eq.13, nó rõ ràng thấy
j

là có sẵn.
Thông số
1
j

và
2
j

được chọn như vậy cho hàm truyền
của lỗi hệ thống vong kín 26 và 27, cái được xác định đầu
ra
( )
j
t

từ đầu vào
W ( ( ))
j f j Rj
L L h x v



 

, sẽ được xác
định dương (SPR):
2 3 2
1 2
( ) ( ) / ( )
j j j vj pj aj
H s s s s k s k s k
 
      (28)
Hàm truyền
( )
j
H s
thực xác định dương (SPR) dựa trên
các định lý sau:
Định lý 1: Giả thiết rằng một hàm hữu tỷ
( )
j
H s
có biến
phức
s j
 
 
là không đồng nhất không cho tất cả s.
Cho
*
n

ở mức độ tương đối của
( )
j
H s
với
*
| | 1
n

. Khi
đó,
( )
j
H s
là SPR khi và chỉ khi
i)
( )
j
H s
có
Re[s]>0

ii)
Re[H (j )]>0, (- , )
j
 
   

iii) Khi
* 2

| |
*
| |
1, lim Re[ (j )]>0
1 lim ( ) / 0
j
j
n H
n H j j


 
 



  

Nội dung cụ thể trong bài báo [12].
Theo các điều kiện trong định lý 1, ta dễ dàng
thấy
( )
j
H s
là SPR khi
2 2
, , ,
pj vj pj vj aj pj aj vj
k k k k k k sk k
  

1
/
j pj vj
k k


và
2
/
j aj vj
k k


.Bổ đề sau cần thiết cho
việc thiết kế SPR-Lyapunov trong đoạn tiếp.
Bổ đề 1 (Meyer-Kalman-Yakubovitch)Xét hệ thống
tuyến tính sau:

Ax+Bu
y=Cx
x 


Hệ thống được gọi là SPR khi và chỉ khi : a) cho Q bất kỳ
đối xứng xác định, nếu tồn tại nghiệm P cũng đối xứng
xác định thì phương trình Lyapunov
T
A P PA Q
  
. b)

matran B và C thỏa mãn phương trình:
T
B P C

[7]
Theo như bổ đề 1, tồn tại ma trận P
j
và Q
j
để mà
,
T T
j j j j j j j j
A P P A Q P B C
   
(29)
trong đó, A
j
,B
j
,C
j
là ma trận không gian trạng thái cực
tiểu của Eqs.26 và 27 trong hình thức sau:
=A X +B (W ( ( )) )
j j j j j f j Rj
j j j
X L L h x
C X


 

 



(30)
ở đó
0
( )
T
t
j j j j
X e d e e
 
 

 
 


là biến trạng thái và
2 1
0 1 0 0
0 0 1 , 0 ,
1
1
j j
aj pj vj
j j j

A B
k k k
C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 

 
(31)

Kết quả là phương trình sai lệch của hệ thống được viết
như sau:
1
=AX+B(W ( ( )) ), E
f R
X L L h x CX

 
  



(32)
Với
3( ) 3( ) 3( ) 3( ) 3( ) 3( )
, ,
n m n m n m n m n m n m
A B C
        
  
là các ma trận đường chéo:
1
1
1
( , , ),
( , , ),
( , , )
n m
n m
n m
A diag A A
B diag B B
C diag C C






(33)

Và
1 2
[X ,X , ,X ]
T T T T
n m
X


. Phươpng trình Lyapunov 29
được viết như sau:
,
T T
A P PA Q PB C
   
(34)
Trong đó
Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 6

1
1
( , , ),
( , , )
n m
n m
P diag P P
Q diag Q Q





(35)
Đee thiết kế điều khiển bền vững
n m
R



, ta giả sử
rằng
( ) ( , )
f
L L h x q

 
 với
( , )
q
 
là giới hạn trên của
hàm. Xét Eqs.10 và 13,
( )
f
L L h x

được tính như sau:
1
2
( ) ( ) ( ) (( ( , )
) ( ) ( ) )
f h

T d
L L h x J q S q M C q q
k BX t F q

 

  
  


(36)
ở đó
1 2
( ) [J (q),J (q), ,J (q)]
T T T T
h h h hn m
J q

 là ma trận
Jacobian. Xét Eq.36 và thuộc tính cấu trúc của hệ thống
nonholonomic (xem tính chất 2), có thể kết luận rằng:
2
1 2 3
( )
f
L L h x

    
  
(37)

Vì vậy, giới hạn của hàm thu được là
2
1 2 3
( )
      
  
nó có thể được xác định theo
tham số sau:
( ) ( )
Y
   

với
2
1 2 3
( ) [1 ], [ ]
T
Y
      
 
(38)
và

là vector của hằng số chưa rõ của giới hạn hàm số.
3.2 Phân tích tính ổn định
Định lý sau đây được trình bày để giải quyết vấn đề động
học và động lực học điều khiển bám quỹ đạo của hệ
thống robot nonholonomic trong sự có mặt của tham số
và phi tham số bất định dựa trên các giả thiết 1 và 2.
Định lý 2: với điều kiện là các quỹ đạo đầu

( )
r
y t
được
lựa chọn cho tất cả times t>0, dưới giả thiết 1-3, bộ điều
khiển bám thích nghi-bền vững đảm bảo rằng tất cả các
tín hiệu trong hệ thống vòng kín được giới hạn và sai
lệch bám quỹ đạo và tốc độ
j
e
và
j
e

với
1,2, ,
j n m
 
là những giới hạn bị chặn thống nhất (UUB) và theo cấp
số nhân hội tụ về hình cầu có gốc:
1
0
2 2
1 1
1 1 1 1 0
2 1 2 2 0
ˆ
( )( ( )
ˆ ˆ
/ ( ( )) ),

ˆ ˆ
W ( ),
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ), ( ) ( )
t
a r p v a
f
T
T
u D x y K e K e K e d
E E t L h
E
Y E Y
 
  
   
       

   
  
    
     

 


(39)
Trong đó
ˆ
( )

D x
là ma trận tách được cho bởi Eq.20,
( )
W
n m p
 
 là ma trận suy biến,
( )
1
n m
E

 là vector
lọc tín hiệu lỗi và
1
p p

  ,
3 3
2

 
là ma trận đối
xứng xác định dương như hệ số khuếch đại thích nghi.
( ) ( )
K , ,
n m n m
p v a
K K
  

 là ma trận đường chéo, biều thị
tỷ lệ, đạo hàm và tích phân của luật điều khiển tuyến tính
trong toàn bộ hệ thống tương ứng. Tham số
1

và
2

là
hằng số tích cực nhỏ và
( )
t

hàm thời gian tích cực được
coi là không đổi. Thông số
0

và
0

là những giá trị ước
tính của tham số

và

.
Chứng minh: Xét hàm Lyapunov cho dưới đây


,


,

=
1
2



+ 







+ 




(40)
Với = −và 

= −

. Bằng cách phân biệt công
thức 40 và áp dụng công thức 32 và 34, ta được :


̇

,

,

= −




+ 






+ Γ




̇
+ 




+





ℎ
(

)




+ Γ



̇
(41)
Xét luật thích nghi trong công thức 39 và

̇
= −

̇
và

̇
= −
̇
công thức (41) được viết như sau :


̇

,

,

= −




+ 







−


+ 




+





ℎ
(

)




−




|


|

+




(
−

)

(42)
Bằng cách sử dụng các dạng tham số bị chặn trên của




ℎ
(

)
, tức là = , chúng ta có được :

̇

,

,

≤−




+ 




+ 





|


|

−





|


|

+ 







−



+




(
−

)
(43)
Sau đó, bằng cách chọn luật điều khiển bền vững khi


= −(

^2)/(||

||+ ) và thế vào công thức
(43), ta nhận được bất đẳng thức sau :

̇

,

,

≤−
1
2



+


|


|




|


|

+ 
+ 







−


+ 




(−

)(44)
Vì
0 ≤||

||/(||

|| + ) ≤(45)
Và xem rằng 

= −

và = −, ta có thể viết
công thức (44) như sau :
Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 7


̇

,

,

≤−
1
2



+ + 




(
−

)
−






+ 



(
−

)
−




 ̃(46)
Bây giờ, bằng cách hoàn thành các điều kiện trong công
thức (46) và xem xét giá trị nhỏ nhất của ma trận Q, tức
là 

= 

(



)
, ta được :

̇

,

,

≤−
1
2



|

|



−

1−
0,5










+
1
2





|
−

|


−


1 −
0,5




|

|



+
1
2





|
−

|

+ (47)
Với 

=











 chỉ giá trị nhỏ nhất của ma trận


. Bằng cách xác định các tham số dưới đây :


=
1
2


> 0,

= 

1 −
0,5


> 0,



= 

1 −
0,5


> 0
=
1
2





|
−

|


+
1
2






|
−

|

+(48)
Với >
√
2/2, bất đẳng thức (47) được viết lại như sau :

̇

,

,

≤−


|

|


−









−


|

|


+ (49)
Mặt khác, từ công thức (40) và thực tế rằng :


(

)

|

|


≤

≤

(


)

|

|



(
50
)

Cho bất kì () ∈

, bất đẳng thức (49) trở thành:

̇

(

)
,

(

)
,
(


)
≤−


(

)
,

(

)
,
(

)
+ (51)
Với


= min

2



()
,
2




(



)
,
2



(



)


(
52
)

Giải các bất phương trình khác trong (51)
0 ≤
(

)
≤
(



)




+



(
1 −



)
,
∀∈
[
0,∞
)
(53)
Từ công thức (53), rõ ràng các hàm Lyapunov bị chặn
trên bởi

(

)
≤max



(


)
,





(
54
)

Cùng với định nghĩa của () trong công thức (40) ta
được kết quả

|

(

)|

≤

2
max
(



)
,






(

)

(
55
)

Công thức (53) có nghĩa rằng V(t) cuối cũng cũng bị
chặn bởi /

. Công thức (49) có nghĩa là 
̇
() thực sự
âm khi ≤


|

|



có nghĩa là
̇
< 0 bên ngoài các tập
compact 

=


(

)
|

|

(

)|

≤

/


. Kết quả là,
||X(t)|| giảm bất cứ khi nào X(t) nằm ngoài tập compact



, và do đó ||X(t)|| là UUB. Bài thảo luận này hàm ý
rằng sai lệch bám là UUB và hội tụ theo hàm mũ về một
hình cầu nhỏ chứa gốc tọa độ. Xem xét những công thức
(12) và (13) và giả thiết 2, khi 

(

)
,̇

(

)
,
(

)
,̇() ∈

∞
, có thể kết luận rằng 
(

)
,() ∈
∞
. Phân tích ổn
định chứng tỏ rằng một tính chuyển tiếp được đảm bảo và
độ chính xác cuối cùng cũng thu được khi tỉ lệ 


giảm
theo cấp số nhân và bán kính của hình cầu của sai lệch
bám có thế được tự do điểu chỉnh bởi các thông sô
Γ

,Γ

, 

, 

, 

,

,

và.
Nhận xét 1 : Yếu tố quyết định trong việc tách ma trận


() trong luật điều khiển trong công thức (39) có thể
bao gồm một vài thông số ước lượng 

. Do đó, những
giới hạn đầu tiên của những tham số là đủ để đảm bảo
không có điểm kì dị của ma trận tách. Được nó đến trong
công việc của Sastry [2], một vài kĩ thuật như là chiều
toán tử tồn tại trong bài báo cho mục đích này [12].
Nhận xét 2 : Sự biến đổi các rò rỉ cho luật thích nghi cho

các tham số ước lượng  trong công thức (39) là cần thiế
cho sự tăng cường tính bền vững. Sự biến đổi này đảm
bảo sự bị chặn của các tham số ước lượng vector  để
cung cấp một chặn trên cho bất định 



ℎ
(

)
để áp
dụng luật điều khiển bền vững 


[
11
]

Nhận xét 3 : Người ta có thể thỏa hiệp giữa độ bám chính
xác cuối cùng và tín hiệu điều khiển trơn bằng cách điều
chỉnh () trong công thức (39). Điều khiển bền vừng


có thể được làm trơn bằng cách chọn một giá trị lớn hơn
cho 
(

)
. Tuy nhiên, giá trị lớn hơn đó có thể dẫn đến

một ràng buộc cuối cugnf lớn hơn. Người ta có thể chọn
một hàm thời gian thích hợp cho () để điều chỉnh độ
trơn của tín hiệu điều khiển và độ bám chính xác. Ví
dụ,từ sự bất ổn lớn trong khoảng thời gian đầu của việc
Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 8

bám, nó đòi hỏi hoạt động điều khiển cao của hệ thống cơ
cấu chấp hành vì hiện tượng chattering. Do đó, ta chọn

(

)
=



,ế0 ≤≤


+ 



(

)
ế> 

Với 


,

,> 0(

≫

) giúp giữ độ dày của lớp biên

(

)
ở một giá trị lớn ở thời gian bắt đầu để ngăn chặc
hiện tượng chattering của các cơ cấu chấp hành và sự bão
hòa. Sau đó, () giảm theo thời gian giúp bảo tồn độ
bám chính xác cuối cùng.
Nhận xét 4 : Các chương trình điều khiển được đề xuất có
thể được mở rộng cho một số loại khác của bộ điều khiển
trong vòng ngoài được xác định bởi bộ lọc phụ sai lệch
bám () ∈

trong công thức (27) khi 
(

)
=
Λ

(

)


(

)
, trong đó
Λ

(

)
= 

+
1


(

)

Trong đó s là toán tử Laplace và ma trận () được chọn
khi Λ() là một ma trận hợp thức chặt, ổn định.
Chú ý rằng 
(

)
phải được chọn khi () không phụ
thuộc vào phép đo ̈. Cho mục đích này, Λ() được chọn
như nó có một sự liên quan tới nó. Các bộ điều khiển có
tính đa dạng có thể được phát triển bằng cách lựa chọn

ma trận () khác nhau.
Nhận xét 5 : Vì hầu hết của việc thương mại hóa MWRs
cũng được trang bị cản biến, giả thiết 1 luôn luôn được
thỏa mãn. Tuy nhiên, vì thường xuyên được báo cáo
trong tài liệu [31, 32], việc sử dụng một bộ quan sát vận
tốc là cần thiết từ quan điểm thực tế như là một thực hiện
có hiệu quả không là chủ đề của nghiên cứu này. Tính bị
chặn của quỹ đạo tham chiếu và đạo hàm của nó đến bậc
2 trong giả định 2 là hạn chế để chọn tất cả các quỹ đạo
mong muốn trong các tình huống thực tế trên thế giới.
Tuy nhiên, nó là cần thiết cho việc phát triển các lí thuyết
được trình bày.
4. Simulation Study on a Nonholonomic WMR
Phần này trình bày ứng dụng của luật điều khiển dự báo
trong phần 3 trên hệ có ràng buộc robot 2 bánh phát
động. Kết quả mô phỏng máy tính cũng đánh giá độ hiệu
quả của bộ điều khiển. Hình dạng cảu robot 2 bánh phát
động như Fig.1. Robot có 2 bánh cố định thông thương
trên 1 trục và 1 bánh để duy trì trạng thái cân bằng. Trọng
tâm của robot được đặt ở
( , )
c c
Pc x y
 . Điểm


0 0 0
,
P x y
 là giao của trục 2 bánh phát động và trục

đối xứng của xe, khoảng cách
0 c
P P d

. Điểm


,
L L L
P x y

là một điểm ảo trên trục x có khoảng cách
với
0
P
là L[8]. Tham số
2
b
là khoảng cách giữa 2 bánh cố
định. Bán kính của mỗi bánh kí hiệu là r. Nếu véc tơ tọa
độ tổng quát được chọn là
 
0 0
, ,
T
q x y


, một ràng buộc
vận tốc thu được

0 0
cos sin 0
y x
 
 
. Do đó, vận tốc
giả định của hệ WMR được định nghĩa là
     
1 2
,
T
v t v t v t
  
 
với
1
v
và
2
v
lần lượt là vận tốc
tiếp tuyến và vận tốc hướng tâm của robot. Theo các kí
hiệu mô tả trước đó,các ma trận động học và động năng
thu được dưới đây:
 
cos 0
0
sin 0 , ,
0 1
0 1

1/ /
0
,
1/ /
0
C
T
C
m
S q M
r b r
m d
C X
r b r
m d




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 


 
 



(56)
Trong đó:

2 2
2 , 2 2 ,
T
C w C m C w T
m m m I I I m d m b B X
      
.
Tham số
C
m
là trọng lượng của thân xe,
w
m
là khối
lượng mỗi bánh xe,
C
I

là momen quán tính của thân xe
theo trục thẳng đứng,
m
I
là momen quan tính của mỗi
bánh xe trục đi qua tâm bánh xe.

Hình 1: Cấu hình của một bánh xe robot di động
Điện áp đầu vào của động cơ phải và trái của hệ được kí
là
 
1 2
,
T
a a a
u u u
. Momen quán tính và tham số cơ cấu
chấp hành phải được cho là bất đính. Sau đó, bằng việc
Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 9

thế biểu thức 56 và 10 và định nghĩa là các tham số bất
định mới
1 1
/
k m

 và
2 1
/
k I


 , ta thu được:
 


 
 
 
 
1 1 2
1 1 2
2 1 2
cos sin 0 0
, 0 0 0 / /
, 0 0 0 / /
T
T
T
f x v v v
g x r b r
g x r b r
 
  
  


 

(57)
Các biến đẩu ra dưới đây được chon để theo dõi quỹ đạo

mong muốn dựa trên phương pháp điều khiển tiên đoán(
2
n m
 
):
     
 
1 2
0 0
,
cos , sin
T
T
y h x h q h q
x L y L
 
   
 
  
(58)
Sau khi tính toán






2 1
ˆ
,

f
L h x D x D x


trong (22),










2
/ ,
f h
L h x q J q S q v S q v
  

(59)
   


 
1 2 1 2 1 1
1 1 2 2 1 1 2 2
1
1 1 1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
cos sin cos sin
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
cos sin sin cos
D x D x
           
           
   

   
 
 
 

 
 
 
 
   

   

(60)
Ma trận hồi quy trong (24) thu được dưới dạng sau:
1 2 1 2
1 1 2 2 1 2
1 2 1 2 2
1 1 2 2 2 2

ˆ ˆ
( cos sin cos ) ( sin sin cos )
W
ˆ ˆ
( sin cos sin ) ( sin cos cos )
       
       
 
 
 
     

 
     
 
 

(61)
Trong đó:
1 1 1
2 2 2
/ ( ) ,
/ ( ) ,
h
h
q J Sv Sv
q J Sv Sv


    

    
(62)
Sơ đồ khối của bộ điều khiển động học ngược được thể
hiện trong Fig.2. Một số mô phỏng thực hiện để cho thấy
sự bám và bền vững của bộ điều khiển mục tiêu dưới
nhũng tham sô bất định. Tham số của WMR được chọn
đê phù hợp với robot thực, và ồn trắng Gaussian cũng
được thêm các trạng thái để mô phỏng hệ thống bên
trong. Tất cả các mô phỏng được thực hiện dựa trên xấp
sỉ Euler với bước nhảy là 20ms. Nhưng tham số vật lý
thực của WMR và tham số điều khiển được liệt kê dưới
đây:
2 2
1 2
0.1 , 0.3 , 0.05 , 0.1 , 10 ,
0.2 , 0.006 . , 2 . , 0.2
c
w m c
r m b m d m L m m Kg
m Kg I Kg m I Kg m k k
    
    
Trên cơ sở điều kiện SPR của hệ thống (28) được trình
bày trong phần 3 để đảm bảo sự ổn định SPR-Lyapunov
của hệ kín, tham số bộ điều khiển được cài đặt
1
1, 2, 0.2, 0.1
p v d
k k k


   
. Tăng khả năng thích nghi
trong phương trình (39) ta chọn
1
[1,1];
diag 
2
[1,1]
diag  . Các tham số điều khiển còn lại được chọn
là
1
0.005,


2
0.005


,
0 0
10, 0, 0.
  
  
Quỹ đạo
hình số tám được coi như giá trị đặt đầu vào được tính
bởi


1
sin(2 )

r g r
y t x R t

  và


2
sin(2 )
r g r
y t y R t

 
trong đó
( , )
g g
x y

(2.5 ,5.5 ), 2
m m R m

và
0.05
r

 .
Các điều kiện ban đầu được cho là
(0) 3 ;
x m




0
0 6.5 ; (0) 30 ;
y m

  
1 2
(0) 0; (0) 0
v v
 
. Để đánh
giá hiệu quả của luật điều khiển dự tính, giả định rằng
tham số momen quán tính có 15-20% không chắc chắn,
ma sát được xem rằng
( ) 0.5 0.8
F q v
 

, nhiễu hình
sin được coi là
   
3sin / 20 ,3sin / 20
T
d
t t

  
 

Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 10

Hình 2: Sơ đồ khối bộ điều khiển để xuất
Tín hiệu điều khiển
24
a
u V
 . Mô phỏng máy tính thực
hiện thành công với các bộ khác nhau của tham sô WMR,
tham số điều khiển và quỹ đạo đặt. Một vài kết quả được
chọn trên cơ sở các tham số nói trên và được báo cáo
trong Fig.3 và 4, bộ điều khiển ARFL (adaptive-robust
feedback linearrizing) cho thấy thực hiện bám và độ bền
vững tốt hơn bộ điều khiển AFL(adaptive feedback
linearizing) trong [27]. Tuy nhiên, bộ điều khiển thích
nghi tạo ra tín hiệu điều khiển trơn trong Fig 5 và 6 chỉ ra
rằng hiện tượng chattering là không thể tránh khỏi trong
các tín hiệu điều khiển của bộ điều khiển AFL. Sự kiểm
soát các loại bão hòa trong phương trình 39 có thể thực
hiện mượt hơn bằng các chọn giá trị lón hơn cho tham số

. Tuy vậy, giá trị lơn hơn của

làm tăng

trong
phương trình 55 có thể dẫn đến kết quả giá trị chặn cuối
cùng lớn hơn.

Hình 3: Quỹ đạo thích nghi được tạo ra bằng bộ điều

khiển phản hồi tuyến tính (đường gạch nét) và bộ điều
khiển thích nghi-bền vững phản hòi tuyến tính (đường
liền nét). Người ta có thể chọn một cách xấp xỉ hàm cho
tham số

để có sự cân bằng giữa độ mượt của sự điều
khiển và độ bám chinh xác.
5. Các nghiên cứu thực nghiệm trên WMR thương
mại
Robot di dộng RobuLAB 10 được sử dụng để đánh giả
thử nghiệm bộ điều khiển (39).RobuLABlà một robot di
động bánh lái khác nhau được sản xuất bởi Robosoft
trong hình 7, có kích thước
450 400 243
mm mm mm
 
.
Cấu hình hai chiều của robutLAB 10 chính xác được
minh họa bằng Fig.1. WMR được trang bị 2 vòng cảm
biến siêu âm, một máy định tầm URG-04LX, một mạng
LAN không dây để truyền thông, pin 12V và 2 động cơ
một chiều kết nỗi với mỗi bánh xe qua hộp giảm số 5.5:1.
Mỗi bánh được trang bị Encoder tương đối cho hệ thống
bên trong mà được cập nhật ví trí tương đối của WMR
mỗi 200ms.Vì vậy, thời gian trích mẫu của bộ điều khiển
được giới hạn bời giá trị này trong thí nghiệm thực tế.
Khoảng cách giữa 2 bánh lái và trục đối xứng là
187.5mm, bán kính của mỗi bánh xe là 72.5mm. Hai
bánh bị động được đặt ở phía sau và trươc WMR để giữ
trạng thái cân bằng. Tải trọng của WMR là 30kg. Thí

nghiệm vòng mở chỉ ra rằng vận tốc tiếp tuyến và vận tốc
góc của WMR lần lượt là 4m/s và 0.5 rad/s. Đây là WMR
không nhận điện áp motor là đầu vào. Nó chỉ được chỉ
huy bởi vận tốc tiếp tuyến và vận tốc góc, được kí hiệu là




,1 ,2
,
ref ref
v t v t
. Do đó, để kiểm tra luật điều khiển đề
xuất [39] qua thí nghiêm, mô hình dưới đây được sử dụng
trình bày bởi De La Cruz[23]:
Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 11

Hình 4: Sai lệch bám cho bộ điều
khiển thích nghi phản hồi tuyến
tính (đường nét đứt) và bộ điều
khiển thích nghi-bền vững phản
hồi tuyến tính (đường nét đậm)






Hình 5: Tín hiệu điều khiển cho bộ
điều khiển thích nghi

Hình 6: Tín hiệu điều khiển cho
bộ điều khiển thích nghi-bền
vững.








Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 12


Hình 7: RobuLAB 10 bánh xe di động trên nền phẳng









1 ,1 2 ,2
, ,
ref ref
x f x g x v g x v x
  
   

(63)
Trong đó


f x
giống (57), phương trình đầu ra được
chọn là [58] và
 


 
 
 
1
2
1 1
2 2
2
1 2 2 1
3 1 2 4 2
, 0 0 0 0 ,

, 0 0 0 0
0 0 0
T
T
T
v
v
g x
g x
p v p v
x
p v v p v
 
 





 
 

 
  
 
(64)
Và
 
1 2
, , , ,

T
x x y v v


kí hiệu vecto trạng thái,
, 1, ,4
i
p i  là các tham số ràng buộc, giới hạn
1
v

và


Hình 8: Quỹ đạo mong
muốn (đường nét đứt) và
quỹ đạo của bộ điều khiển
(đường nét đậm)



2
v

kí hiệu chuẩn bị chặn không cấu trúc bất định do ma
sát và không xác định mô hình động học. Người đọc quan
tâm đến [23.24] cho nhiều chi tiết về mô hình được trình
bày ở trên. Trong thí nghiệm này, Microsoft Robotics
Developer Studio(MRDS) được sử dụng để thực hiện bộ
điều khiển được đề xuất. MRDS thực hiện mã chương

trình điều khiển trên một máy chủ và tạo ra giá trị đặt vận
tốc tiếp tuyến và vận tốc góc của WMR. Máy chủ là một
bộ xử lý Pentium 4 , đưa ra lệnh cho RobuLAB 10 qua
mang Lan không dây. Vận tốc chỉ đạo được đưa đện bộ
điều khiển mức thấp , cái được thực hiện trên robuLAB
10. Phép đó tư thế của encoder tương đói được đưa lại
máy chủ qua WLAN. Để ước lượng vận tốc WMR từ
phép đo tư thế,đạo hàm:


1 1
/
k d k k k s
u v q q T

 
   (65)
Trong đó
d

là tham số thiết kế,
k
q
là tư thế ở bước thứ
k-th và T
s
là thời gian trích mẫu. Các nguồn khác nhau
của sự bất định có thể được quan sát trong kinh nghiệm
thực tế, một vài được liệt kê như dưới đây:
1. Không biết về moomen quán tính và tham số cơ

cấu chấp hành của WMR. Điều đó cho thấy sự
không chắc chắn về hệ thống WMR. Hơn nữa, để
kiểm tra tính bền vững của bộ điều khiển, robot
phải được tải và gỡ bỏ bởi các đối tượng chuyển
động.





Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 13


Hình 9: Sai lệch bám cho bộ điều khiển

2. Bánh xe không xác định mô hình của robuLAB
10 cho thấy hiệu ứng không mong muốn trong
chuyển động của WMR trong thì nghiệm vòng
hở. Đông lực học mô hình không xác định được
xem như là không xác định số các tham số.
3. Các bánh xe trượt và lăn không trượt của mặt đất
cũng đặt ra các tham số bất định cho việc hệ
thống điều khiển WMR trong thí nghiệm này

Hình 10: Quỹ đạo mong muốn (nét đứt), quỹ đạo của
nộ điều khiển không thích nghi (đường nét gach-
chấm), bộ điều khiển thích nghi (đường chấm) và bộ
điều khiển đề xuất (đường nét liền đậm).
4. Các lệnh điều khiển, cái mà đưa tới WMR qua
mạng LAN chắc chắn bị nhiễu do môi trường.

5. Sai số phép đo bên trong hệ thống được tích lũy
qua thời gian,gây ra một số nguồn của sự bất
định.
6. Sai số xấp xỉ PD trong mô hinh 62 áp đặt một sự
bất định tới hệ thống điều khiển WMR
Thoe những thủ tục thiết kế được tình bày, một bộ điều
khiển động học ngược thích nghi bên vững được thiết kế
dựa trên mô hình 63,64 và 58. Sau đó, viết chương trình
điều khiển bằng C# trong MRDS. Tham số bộ điều khiển
cho thí nghiệm được chọn gióng như tham số mô phỏng.
Trọng cuộc thí nghiệm đầu tiện, đường quỹ đạo được xét
như là giá trị đặt đầu vào được xác định bởi






1
0.275 30
r g
y t x t H t H t
     
 
và


2
r g
y t y



với




, 0,0
g g
x y  và


H

kí hiệu hàm bước nhảy
chuẩn Heaviside. Giá trị bán đầu của chuyển động WMR
được cài đặt






0
1
(0) 0; 0 1 ; 0 0 ; 0 0;
x y m v

   



2
0 0
v

. Hình 8 và 9 minh họa kết quả bám đường quỹ
đạo. Như đã thấy, bộ điều khiển được đề xuất cho thấy
sự thỏa mẫn của việc thực hiện bám.
Như một sự nghiên cứu so sánh, một cuộc thí nghiệm
khác đã được thực hiện. Lần này, quỹ đạo đặt là hình
tròn, được xác đinh
1
cos( ),
r g r
y x R t

 



2
sin )
r g r
y y R t

 
trong đó


,

g g
x y



0.5 ,0.5 ; 1
m m R m

.Chú ý rằng
r

phải được chọn nhỏ
vì sự thoái hóa hiệu suất điều khiển khi
r

xa 0. Các giá
trị ban đầu của WMR:








0
1
0 0.75 ; 0 0.25 ; 0 0 ; 0 0;
x m y m v


   


2
0 0.
v

Để đánh giá việc bám và độ bền vững của bộ
Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 14

điều khiển, luật điều khiển tuyến tính phản hồi không
thích nghi [8] và luật điều khiển tuyến tính phản hồi thích
nghi [27] cũng được kiểm tra trên WMR. Hình 10 minh
họa một trong những kết quả thực nghiệm, cho thấy quỹ

Hình 11: Quỹ đạo mong muốn (đường nét gạch), quỹ đạo bộ điều khiển không thích nghi (đường nét gạch chấm), bộ
điều khiển thích nghi (đường chấm) và bộ điều khiển đề xuất (đường liền đậm)
đạo mong muốn và quỹ đạo thật của robuLAB 10, cái mà
được tạo thành bởi tất cả các bộ điều khiển. Như hình 10
và 11, kết quả thí nghiệm cũng chỉ ra rằng bộ điều khiển
đề xuất trên giấy có hiệu quả hơn bộ điều điều khiển
tuyến tính phản hồi và phiên bản thích nghi của nó trong
sự hiên diện của tham số và không tham số bất định.Điều
này cho thấy rằng bộ điều khiển tuyến tính phản hồi
không thể hoàn toàn hủy bỏ sự không tuyến tính do sự
bất định. Bộ điều khiển thích nghi cũng không thể đối
phó nhưng tham số không biết. Tuy nhiên, mặc dù tính
ưu biệ của bộ điều khiển thích nghi-vững được đề xuất
trong thí nghiện, các tác giả tin rằng với dải băng thông
thấp của cơ cấu chấp hành WMR ngăn chặn các loại bão

hòa thích nghi bên vững của bộ điều khiển được đề xuất
để có sự thực hiện hiệu quả không phụ thuộc vào hiện
tượng chattering trong tín hiệu điều khiển. Vì vậy, vân đề
này có khả năng hạn chế bộ điều khiển trong thí nghiệm
thục. Để thực hiện như trước đây, tín hiệu điều khiển có
thể được làm trơn bởi việc chọn giá trị lớn hơn cho tham
số

trong 39.
Hình 12 cho thấy tín hiêu điều khiển được tạo ra bởi bộ
điều khiển. Như được thể hiện trên hình, sự bão hòa của
vận tốc góc ở
0.5 /
rad s

ngăn cản bộ điều khiển để có
được kết quả bám khả quan hơn so với kết quả mô
phỏng. Vì vậy, vấn đề bão hòa cơ cấu truyền động và vận
tốc ràng buộc áp đặt một số hiệu ứng tiêu cực đến kết quả
thí nghiệm được trình bày phải được khác phục bằng một
số giải pháp hiện có bao gồm anti-windup compensation
và kỹ thuật ràng buộc đường cong. Tuy nhiên, cần lưu ý
rằng các bánh xe castor của robuLAB 10 với một hệ
thống giảm xóc đáng chú ý ảnh hưởng đến các thí
nghiệm được trình bày. Một vấn đề khác liên quan đến
các kết quả thử nghiệm với nổi lên từ bộ mã hóa tín hiệu
độ phân giải thấp của robuLAB 10 có sự khác biệt toán
học bởi phương trình 65 cung cấp vận tốc xấp xỉ. Việc sử
dụng một người quan sát có thể giải quyết vấn đề này.
Tuy nhiên, nguwoif ta có thể đạt được kết quả tốt hơn

bằng cách điều chỉnh thông số điều khiển. Mặc dù có độ
vững của bộ điều khiển tham số bất định và phi tham số,
nhưng các vẫn đề sau đây cũng có tác dụng không mong
muốn trong thí nghiệm thực tế: sự không lý tưởng của hệ
thống cơ khí, bánh xe trượt, sai số lượng tử, độ trễ của
truyền thông, sai số xấp xỉ PD mô hinh WMR trong 63 và
Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 15






Hình 12: Tín hiệu điều khiển được tạo ra cho bộ điều khiển không thích nghi a, cho bộ điều khiển thích nghi b và tín
hiệu bộ điều khiển đề xuất thích nghi bền vững c
Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 16

đặc biệt là tần số thấp của hệ thống odometry mà có thể
gây ra một số hiệu ứng phi tuyến trong hệ thống vòng
kín. Cải thiện kết quả trình bày đòi hỏi nhiều điều tra để
xác định sự chỉ đạo của các công trình tương lai trong
phần tiếp theo.
6. Kết luận, thảo luận và hướng phát triển
Trong lưu ý này, vấn đề quỹ đạo bám của hệ thông robot
có ràng buộc đã được giải quyết.Luật điều khiển bám
thích nghi- vững đã được đề xuất dựa trên cơ sở của kỹ
thuật động học ngược và bộ điều khiển PID.Sự ổn đinh
của vị trí và tốc độ được chưng minh bởi phân tích ổn
định SPR-Lyapunov. Kết quả mô phỏng đã được thực
hiện để xác minh tính hiệu quả của bộ điều khiển được đề

xuất. Để xác nhận kết quả mô phỏng, mô số thí nghiệm
được thực hiện trên robuLAB 10. Kết quả thực nhiệm
cho thấy sự thực hiện bám và độ vững của bộ điều khiển
đề xuất là tốt hơn so với các bộ điều khiển trong [8,27].
Trên cơ sở các thí nghiệm đã được trình bày ở phần
trước, các vấn đề sau được nhấn mạnh phải được giải
quyết trong các công trình trong tương lai.
1. Thật không may, bộ encoder tương đối cảu các bánh
xe WMR là không đáng tin cậy do sự trượt cảu bánh
xe robot. Hơn nữa, thời gian lấy mẫu bị hạn chế bởi
cảm biến odometry mà tự nhiện ngăn cản người sử
dụng đạt tới gián hạn theo dõi sai số nhỏ. Để cải thiện
các kết quả thí nghiệm, ứng dụng cám biến
extroceptive, chẳng hạn như một máy ảnh cố định,
được đề nghị cho công việc tương lai.
2. Những nghiên cứu trong tương lai sẽ tập trung vào các
vấn đề cơ cấu truyền động bão hòa để cải thiện hiệu
suất theo dõi trong các thí nghiệm thực tế. Vấn đề này
là rất quan trọng khi các tư thế đâu của WMR được
chọn xa quỹ đạo mong muốn. Một số giải pháp tích
hợp bù chông windup trong các vòng ngoài của bộ
điều khiển và kỹ thuật ràng buộc độ cong[33]
3. Hiệu suất của bộ điều khiển bị giảm do ảnh hưởng của
hiệu ứng chatterring của các bộ điều khiển dạng bão
hòa và nhiễu. Kết quả là các nghiên cứu trong tương
lai cũng dành cho những vẫn dề này để cải thiện hiệu
suất theo dõi của bộ điều khiển dược đề xuất.
4. Như đã đề cập trước đây, khi sự bị chặn của quỹ đạo
đăt và đạo hàm của nó tới bậc 2 có thể không có,Giả
định 2 làm cho các sự điều khiển được đề xuất tiệm

cận với giới hạn trong các ứng dụng thực tế. Vì vậy,
loại bỏ giả định 2 là đồi tượng của các nghiên cứu tiếp
theo.
5. Như mô tả trong phần trước, vận tốc WMR được ươc
tính từ các phép đo tư thế. Trong trường hợp của một
WMR với hệ thống bên trong tần số thâp (như
robuLAB), xấp xỉ vận tốc kém được cung cấp theo
cách này. Hơn nữa, không hỗ trợ lý thuyết để định
lượng các tác động của xấp xỉ như vậy trong sự ổn
định cảu hệ thống vòng kín. Vì vậy, thiết kế của bộ
quan sát vận tốc được khuyến khích cho công việc
trong tương lai. Như nguwoif ta có thể nghiên cứu kỹ
trong các tài liệu, có các công trình nhỏ [31,32] để
giải quyết
một bộ điều khiển bám-quan sát dựu trên hệ thống
robot ràng buộc động học bất định.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Brockett, R.W.: Asymptotic stability and fedback sta-
bilization. In: Brockett, R.W., Milman, R.S., Sussman
H.J. (eds.) Differential Geometric Control Theory, pp.
181–191. Boston (1983)
2. Sastry, S.S., Bodson, M.: Adaptive Control: Stability,
Convergence and Robustness. Prentice-Hall, Engle-wood
Cliffs, NJ (1989)
3. Campion, G., d’Andrea-Novel, B., Bastin, G.: Mod-
eling and State Feedback Control of Nonholonomic
Mechanical Systems. In: Proceedings of the 30th Con-
ference on Decision and Control, IEEE, pp. 1184–1189.

England (1991)
4. Campion, G., d’Andrea-Novel, B., Bastin, G.: Control-
lability and state feedback stabilization of nonholo-nomic
mechanical systems. In: de Wit, C.C. et al. (eds.) Lecture
Notes in Control and Information Science, vol. 162, pp.
106–124. Springer, New York (1991)
5. Bloch, A.M., Reyhanoglu, M., McClamroch, N.H.:
Control and stabiliztion of nonholonomic dynamic sys-
tems. IEEE Trans. Automat. Contr.37(11), 1746–1757
(1992)
6. Yun, X., Kumar, V., Sarkar, N., Paljug, E.: Control of
multiple arms with rolling constraints. In: Proceedings of
the International Conference on Robotics and Au-
tomation, pp. 2193–2198 (1992)
7. Lewis, F.L., Abdallah, C.T., Dawson, D.M.: Con-tol of
Robot Manipulators. MacMillan, New York (1993)
8. Sarkar, N., Yun, X., Kumar, V.: Control of mechanical
Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 17

systems with rolling constraint: application to dynamic
control of mobile robots. Int. J. Rob. Res.13(1), 55–69
(1994)
9. Kolmanovsky, I., McClamroch, N.H.: Developments
in nonholonomic control problems. IEEE Control Syst.
Mag.15(6), 20–36 (1995)
10. Walsh, G., Bushnell, L.G.: Stabilization of multiple
in-put chanied form control systems. Syst. Control Lett.
25, 227–234 (1995)
11. Qu, Z., Dawson, D.M.: Robust Tracking Control of
Robot Manipulators. IEEE Press, Piscataway, NJ (1996)

12. Ioannou, P.A., Sun, J.: Robust Adaptive Control.
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ (1996)
13. Yun, X., Yamamoto, Y.: Stability analysis of the
inter-nal dynamics of a wheeled mobile robot. J. Robot.
Syst.14, 697–709 (1997)
14. Yun, X., Sarkar, N.: Unified formulation of robotic
systems with holonomic and nonholonomic constraints.
IEEE Trans. Robot. Autom.14(4), 640–650 (1998)
15. Kim, D H., Oh, J H.: Tracking Control of a two-
wheeled mobile robot using input-output linearization. J.
Control Eng. Pract.7, 369–373 (1999)
16. Dong, W., Xu, W.L., Huo, W.: Trajectory tracking
con-trol of dynamic non-holonomic systems with
unknown dynamics. Int. J. Robust Nonlinear Control9,
905–922 (1999)
17. Jiang, Z P., Nijmeijer, H.: A recursive technique for
tracking control of dynamic nonholonomic systems in
chained form. IEEE Trans. Automat. Contr.34(32), 265–
279 (1999)
18. Dixon, W.E., Dawson, D.M.: Tracking and regulation
control of a mobile robot system with kinematic dis-
turbances: a variable structure-like approach. Trans.
ASME J. Dyn. Syst. Measure. Control122, 616–623
(2000)
19. Dong, W., Xu, W.L.: Adaptive tracking control of un-
certain nonholonomic dynamic system. IEEE Trans.
Automat. Contr.46(3), 450–454 (2001)
20. Oriolo, G., De Luca, A., Vendittelli, M.: WMR
control via dynamic feedback linearization: design,
implemen-tation, and experimental validation. IEEE

Trans. Con-trol Syst. Technol.10(6), 835–852 (2002)
21. Oya, M., Su, C Y., Katoh, R.: Robust adaptive mo-
tion/force tracking control of uncertain nonholonomic
mechanical systems. IEEE Trans. Robot. Autom. 19(1),
175–181 (2003)
22. Coelho, P., Nunes, U.: Lie algebra application to mo-
bile robot control: a tutorial. Robotica21(5), 483–493
(2003)
23. De La Cruz, C., Carelli, R.: Dynamic modeling and
centralized formation control of mobile robots. In:
Proceedings of thirty-second annual conference of the
IEEE industrial electronics society, pp. 3880–3885.
IECON, Paris (2006)
24. Martins, F.N., Celeste, W.C., Carelli, R., Filho, M.S.,
Filho, T.F.B.: An adaptive dynamic controller for au-
tonomous mobile robot trajectory tracking. J. Control
Eng. Pract.16, 1354–1363 (2008)
25. Shojaei, K., Tarakameh, A., Mohammad Shahri, A.:
Adaptive trajectory tracking of WMRs based on feedback
linearization technique. In: Proceedings of the
International Conference on Mechatronics and
Automation, IEEE, pp. 729–734. Changchun, China
(2009)
26. Shojaei, K., Mohammad Shahri, A., Tarakameh, A.:
Adaptive feedback linearizing control of nonholo-nomic
wheeled mobile robots in presence of paramet-ric and
nonparametric uncertainties. Robot. Comput Integr.
Manuf.27, 194–204 (2011)
27. Shojaei, K., Mohammad Shahri, A., Tarakameh, A.,
Tabibian, B.: Adaptive trajectory tracking control of a

differential drive wheeled mobile robot. Robotica29,
391–402 (2010)
28. Park, B.S., Yoo, S.J., Park, J.B., Choi, Y.H.: A sim-
ple adaptive control approach for trajectory tracking of
electricaslly driven nonholonomic mobile robots. IEEE
Trans. Control Syst. Technol.18(5), 1199–1206 (2010)
29. Chwa, D.: Tracking control of differential-drive
wheeled mobile robots using a backstepping-like feed-
back linearization. IEEE Trans. Syst. Man Cybern. 40(6),
1285–1295 (2010)
30. Das, T., Kar, I.N., Chaudhury, S.: Simple neuron-
based adaptive controller for a nonholonomic mobile ro-
bot including actuator dynamics. J. Neurocomput.69,
2140–2151 (2006)
31. Park, B.S., Yoo, S.J., Park, J.B., Coi, Y.H.: Adaptive
ouput-feedback control for trajectory tracking of elet-
crically driven non-holonomic mobile robots. J. IET
Control Theor. Appl.5(6), 830–838 (2010)
32. Shojaei, K., Shahri, A.M.: Output feedback tracking
control of uncertain non-holonomic wheeled mobile
robots: a dynamic surface control approach. J. IET
Control Theor. Appl.6(2), 216–228 (2012)
33. Moustris, G.P., Tzafestas, S.G.: Switching fuzzy
track-ing control for mobile robots under curvature con-
straints. J. Control Eng. Pract.19(1), 45–53 (2011)