Đề thi học sinh giỏi lớp 10 khu vực duyên hải và đồng bằng bắc bộ năm 2013 2014 môn toán có đáp án

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM HỌC 2013 - 2014
ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 10
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19/04/2014
(Đề thi co 01 trang)
Câu 1 (4 điểm):
Giải phương trình sau trên tập số thực
.
Câu 2 (4 điểm):
Cho tam giác (). Gọi là trung điểm
của , vuông góc với tại , vuông góc với tại . Giả sử đường thẳng cắt đường thẳng
tại . Chứng minh rằng , trong đó là trực tâm tam giác .
Bài 3 (4 điểm): Cho hàm số (
là tập số thực) thỏa mãn với
mọi . Chứng minh rằng tồn tại 3 số thực phân biệt sao cho .
Bài 4 (4 điểm):
Tìm giá trị lớn nhất của để bất đẳng thức sau đúng với mọi giá trị :
Bài 5 (4 điểm): Tìm số nguyên
dương n nhỏ nhất để chia hết cho
HẾT
( ) ( )
2
6 3 7 3 15 6 3 2 2 9 27 14 11x x x x x x− − + − − = − + − +
ABC
BC AC<
M
ABAP
BC
P

BQ
AC
Q
PQ
AB
T
TH CM⊥
H
ABC
:f →¡ ¡
¡
( )
3
3
( )
4
f f x x x= +
x ∈¡
, ,a b c
( ) ( ) ( ) 0f a f b f c+ + =
k
, ,a b c
4 4 4 2
( ) ( )a b c abc a b c k ab bc ca+ + + + + ≥ + +
2013 1
n
-
2014
2
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM HỌC 2013 - 2014
ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN HỌC LỚP 10
Câu 1 (4 điểm):
Giải phương trình sau trên tập số thực
.
(Quốc học
Huế)
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
Điều kiện: .
Đặt (). Suy ra
1,0
1,0
1,0
Thử lại thỏa mãn. Vậy nghiệm
phương trình là hoặc .
1,0
Câu 2 (4 điểm):
Cho tam giác (). Gọi là trung điểm của ,
vuông góc với tại , vuông góc với tại . Giả sử đường thẳng cắt đường thẳng tại . Chứng
minh rằng , trong đó là trực tâm tam giác .
(Bắc Ninh)
( ) ( )
2
6 3 7 3 15 6 3 2 2 9 27 14 11x x x x x x− − + − − = − + − +
2
3
7
3

x≤ ≤
7 3 , 3 2a x b x= − = −
, 0a b ≥
( ) ( )
2 2
2 2
5
2 1 . 2 1 2 11
a b
b a a b ab

+ =


+ + + = +


2
2 5
2 2 11
s p
sp s p

− =
⇔

+ = +

( )
2

2 2
2 5
5 5 11
p s
s s s s

= −

⇔

− + = − +


2
3 2
2 5
4 6 0
p s
s s s

= −
⇔

− − − =

( )
, s a b p ab= + =
( )
( )
2

2
2 5
3 2 2 0
p s
s s s

= −

⇔

− + + =


2
3
p
s
=

⇔

=

2
1
1
2
a
b
a

b
=




=


⇔

=



=



1
2
x
x
=

⇔

=

1x =

2x =
ABC
BC AC<
M
ABAP
BC
P
BQ
AC
Q
PQ
AB
T
TH CM⊥
H
ABC
ĐỀ SỐ 1
Gọi tại . Khi đó đồng quy nên là hàng điểm điều hòa ().
Do đó ta có .
Xét hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác và ngoại tiếp tứ giác , tâm của hai đường
tròn này đều nằm trên .
Nhưng và nên nằm trên trục đẳng
phương của hai đường tròn nói trên.
Do đó ta có . (ĐPCM)
Bài 3 (4 điểm): Cho hàm số ( là
tập số thực) thỏa mãn với mọi .
Chứng minh rằng tồn tại 3 số thực
phân biệt sao cho .
(Vĩnh Phúc)
Nội dung trình bày Điểm

Đặt thì . Suy ra .
Dễ thấy là đơn ánh nên từ suy ra
cũng là đơn ánh.
1,0
Gọi là một điểm cố định
của hàm .
1,0
Ta có , suy ra cũng là một
điểm cố định của hàm
1,0
là một song ánh trên tập nên
Từ đó ta có điều phải
chứng minh.
1,0
Bài 4 (4 điểm):
Tìm giá trị lớn nhất của để bất đẳng thức sau đúng với mọi giá trị :
.
(Lê Quí Đôn - Đà Nẵng)
CD AB⊥
D
, ,AP BQ CD
, , ,T B D A
( ) 1TBDA = −
. .TM TD TATB=
CDM
ABPQ
CM
. .TM TD TATB=
. .HP HA HQ HB
=

,H T
TH CM⊥
:f →¡ ¡
¡
( )
3
3
( )
4
f f x x x= +
x ∈¡
, ,a b c
( ) ( ) ( ) 0f a f b f c+ + =
3
3
( )
4
g x x x= +
( )
( ) ( )f f x g x=
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )f g x f f f x g f x= =
( )g x
( )
( ) ( )f f x g x=
( )f x
0
x

0 0 0
1 1
( ) ( ) 0; ;
2 2
g x g x x x
 
⇒ = ⇒ ∈ −
 
 
( ) ( )
0 0 0
( ) ( ) ( )f x f g x g f x= =
0
( )f x
( )g x
( )f x
1 1
0; ;
2 2
D
 
= −
 
 
1 1 1 1
(0) 0 0
2 2 2 2
f f f
   
− + + = − + + =

 ÷  ÷
   
k
, ,a b c
( ) ( )
+ + + + + ³ + +
2
4 4 4
a b c abc a b c k ab bc ca
Q
H
B
C
A
T
D
P
M
Vì bất đẳng thức đúng
với mọi giá trị nên phải
đúng với
Ta chứng minh là gtln 1,0
Xét bất đẳng thức trở thành (1)
1,0
Áp dụng bđt AM – GM ta có
Suy ra (2) 1,0
Mặt khác
(3)
Từ (2) và (3) suy ra (1) được chứng minh
Vậy số k lớn nhất

1,0
Bài 5 (4 điểm): Tìm số nguyên dương n nhỏ
nhất để chia hết cho
(Nam Định)
Xét với k, t là các số tự nhiên và t là số lẻ.
Đặt
Do t là số lẻ
nên
Ta có
a chia 4 dư 1 nên chia 4
dư 2
Do đó
Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất
của n cần tìm là .
HẾT
, ,a b c
2
1
3
a b c k= = = Þ £
2
3
k =
2
3
k =
( ) ( )
+ + + + + ³ + +
2
4 4 4

2
3
a b c abc a b c ab bc ca
( ) ( )
( )
4 4 4 2 2 2 2 2 2
3 2a b c a b b c c a abc a b cÛ + + ³ + + + + +
( ) ( ) ( )
4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2
2 2 2a b b c b c a b b c c a+ + + + + ³ + +
( ) ( )
4 4 4 2 2 2 2 2 2
3 3a b c a b b c c a+ + ³ + +
( )
2 2 2 2 2 2
a b b c c a abc a b c+ + - + +
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
0
2 2 2
ab bc bc ca ca ab= - + - + - ³
2
3
k =
2013 1
n
-
2014
2

2 .
k
n t=
2013 1 1
n n
a- = -
( ) ( ) ( )
1
2 . 2 2 2 2
1 1 1 1 [ 1]
k k k k k
t t
n t
a a a a a a
-
- = - = - = - + + +
2014 2 2014
1 2 1 2
k
n
a a- Û -M M
1
2 2 2 4 2
1 ( 1)( 1)( 1) ( 1)
k k
a a a a a
-
- = - + + +
1
2

1
i
a
-
+
2014
1 2 ( 1) 3 2014
n
a k- Û - + ³M
2012
2n =