Đề thi học sinh giỏi lớp 11 khu vực Duyên Hải và đồng bằng Bắc Bộ năm 2013 - 2014

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM HỌC 2013 - 2014
ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 11
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19/04/2014
Câu 1(4 điểm):
Giải hệ phương
trình:
Câu 2 (4 điểm): Cho dãy : .
a) Chứng minh
dãy hội tụ và tính .
b) Chứng minh .
Câu 3 (4 điểm): Gọi là ba đường phân
giác trong của tam giác vuông ở . Đoạn thẳng cắt tại . Đường thẳng qua song song với cắt lần
lượt ở . Chứng minh rằng:
Câu 4(4 điểm): Tìm tất cả các
hàm số thoả mãn
Câu 5 (4 điểm): Cho 100 số tự nhiên không lớn hơn 100 có tổng bằng 200. Chứng minh rằng từ
các số đó có thể chọn được ít nhất một bộ các số có tổng bằng 100.
HẾT
3
3
2x 2y 2x y 2xy 1 1
3y 1 8x 2y 1
x 0

− + + + + =


+ = − −



>


1
( )
n n
a
∞
=
2
1 1
5 10
1; 1
5
n n
n
n
a a
a a n
a
+
− +
= = ∀ ≥
−
( )
n
a
lim

n
a
1 2
5 5
1
2
n
a a a
n
n
+ + + −
< ∀ ≥
, ,AD BE CF
ABC
A
AD
EF
KK
BC
,AB AC
,M N
( )
2 2
.
2
MN AB AC
−
≥ +
:f →¡ ¡
( )

( ) ( )
2 2
, , (1)f x y xf x yf y x y+ = + ∀ ∈ ¡
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM HỌC 2013 - 2014
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN HỌC LỚP 11
Câu 1(4 điểm):
Giải hệ phương
trình:
(Quảng Trị)
(1)
ĐK: (2x + 1)(y + 1) 0 Mà x > 0
(1)
Thay vào (2): (3)
Hàm số f(t) = t
3
+ t đồng biến trên R
(3)
NX: x >1 không là nghiệm của
phương trình
Xét 01: Đặt x = cos với Ta có:
(k) Do
Vậy hệ có nghiệm
1đ
1đ
1đ
1đ
Câu 2 (4 điểm): Cho dãy : .

a) Chứng minh
dãy hội tụ và tính .
b) Chứng minh .
(Hải Phòng)
a) Bằng phương pháp chứng minh 1,0
3
3
2x 2y 2x y 2xy 1 1
3y 1 8x 2y 1
x 0

− + + + + =


+ = − −


>


3
3
2 2 2 2 1 1 (1)
3 1 8 2 1 (2)
x y x y xy
y x y

− + + + + =



+ = − −


⇔
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2 1 1 0x y x y+ − + + + + =
≥
2 1 0
1 0
x
y
+ >

⇒

+ ≥

( ) ( )
2 1 1 2 1 2 1 0x y x y⇔ + − + + + + =
2 1 1 0x y⇔ + − + =
2y x
⇔ =
3
3
6 1 8 4 1x x x+ = − −
( ) ( )
3
3
6 1 6 1 2 2x x x x⇔ + + + = +
3

6 1 2x x⇔ + =
3
1
4 3
2
x x⇔ − =
x< ≤
α
0
2
π
α
≤ <
1
cos3
2
α
=
2
9 3
2
9 3
k
k
π π
α
π π
α

= +


⇔


= − +


Z∈
0
2
π
α
≤ ≤
9
π
α
⇒ =
cos ;2cos
9 9
π π
 
 ÷
 
1
( )
n n
a
∞
=
2

1 1
5 10
1; 1
5
n n
n
n
a a
a a n
a
+
− +
= = ∀ ≥
−
( )
n
a
lim
n
a
1 2
5 5
1
2
n
a a a
n
n
+ + + −
< ∀ ≥

3
1
2
n
a n≤ ≤ ∀
ĐỀ SỐ 1
qui nạp ta có: .
Đặt A= và xét hàm .
Suy ra , như vậy nghịch biến trên
đoạn
Dẫn đến .
1,0
Kết hợp công thức xác định dãy ta được

Vậy =.
1,0
b) Nhận xét: thì .
Dẫn đến
(1)
Như vậy bất đẳng
thức đúng với .
Trường hợp , chú ý , kết hợp với (1)
thu được:
.
Vậy bất đẳng
thức được chứng minh.
1,0
Câu 3 (4 điểm): Gọi là ba đường phân
giác trong của tam giác vuông ở . Đoạn thẳng cắt tại . Đường thẳng qua song song với cắt lần
lượt ở . Chứng minh rằng:

(Chu Văn An-Hà Nội)
Đặt ta có suy ra . 1,0
5 5
2
−
2
5 10 10
( ) ( 5)
5 5
x x
f x x x
x x
− +
= = − ≠
− −
( )
2
10
3
'( ) 1 0 [1; ]
2
5
f x x
x
= − < ∀ ∈
−
( )f x
1
[ ;1].
2

1 3 5 2 1
2 4 6 2


k
k
a a a a A
a a a a A
−
< < < < < <


> > > > > >

2 1
2
lim
lim
k
k
a b A
a c A
−
∃ = ≤

⇒

∃ = ≥

2

2
5 10
5 5
5
2
5 10
5
c c
b
c
b c
b b
c
b

− +
=

−

−
⇔ = =

− +

=

−

lim

n
a
5 5
2
−
5 5
[1; )
2
t
−
∀ ∈
( ) 5 5t f t+ < −
2 1 2
5 5
k k
a a
−
+ < −
1k∀ ≥
1 2 2 1 2
5 5
2
2
k k
a a a a k
−
−
⇒ + + + + <
2n k=
2 1n k= +

2 1
5 5
2
k
a
+
−
<
1 2 2 1 2 2 1
5 5
(2 1)
2
k k k
a a a a a k
− +
−
+ + + + + < +
, ,AD BE CF
ABC
A
AD
EF
KK
BC
,AB AC
,M N
( )
2 2
.
2

MN AB AC
−
≥ +
, ,BC a CA b AB c= = =
( )
2
2 2 2
2
b c
a b c
+
= + ≥
2
b c
a
+
≤
Dùng tính chất đường phân
giác tính được .
0,5
Dùng phương pháp diện tích, hoặc công thức đường phân giác trong tính được
.
1,0
Từ đó . 1,0
Suy ra: .
0,5
Câu 4(4 điểm): Tìm tất cả các hàm số
thoả mãn
(Thái Bình)
Đáp án:

Cho , từ suy ra
Cho , từ suy ra .
Do đó (1) trở thành:
thay bởi từ ta được :
, chứng tỏ là hàm số
lẻ. Do đó với mọi ta
có
Với mọi ta có
Kết hợp và ta được .
tínhtheo hai cách. Ta có
Câu 5 (4 điểm): Cho
100 số tự nhiên không
lớn hơn 100 có tổng
bằng 200. Chứng minh
rằng từ các số đó có thể
chọn được một số số có
tổng bằng 100.
(Yên Bái)
Đáp án:
Nếu tất cả các số bằng nhau thì tất cả các số là 2. Khi đó ta lấy 50 số 2 sẽ có tổng
là 100.
1,0
Giả sử ta xét 100 số có dạng 1,0
,
bc bc
AF AE
a b a c
= =
+ +
2 2 . 2

,
2
bc AE AF bc
AD AK
b c AE AF a b c
= = =
+ + + +
2 2
AK b c MN b c
AD a b c a a b c
+ +
= → =
+ + + +
( )
1 1 2 2
( ) ( )
2
2 2
2
MN b c b c AB AC
b c
a
−
= + ≥ + = +
+
+
+
:f →¡ ¡
( )
( ) ( )

2 2
, , (1)f x y xf x yf y x y+ = + ∀ ∈¡
0x =
( )
1
( )
( )
2
,f y yf y y= ∀ ∈¡
0y =
( )
1
( )
( )
2
,f x xf x x= ∀ ∈¡
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
, , , , 0 *f x y f x f y x y f x y f x f y x y+ = + ∀ ∈ ⇒ + = + ∀ ≥¡
y
y−
( )
1
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2

, ,

f x y xf x yf y
yf y yf y y f x f x x
+ = − −
⇒ − − = ∀ ∈ ⇒ − = − ∀ ∈¡ ¡
( ) ( ) ( ) ( )
, ,yf y yf y y f x f x x− − = ∀ ∈ ⇒ − = − ∀ ∈¡ ¡
f
0, 0x y≥ ≤
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
, 0, 0 **
f x y f x y f x f y f x f y
f x f x y f y
f x y y f x y f y
f x y f x f y x y
− = + − = + − = −
⇒ = − +
⇒ − + = − +
⇒ + = + ∀ ≥ ∀ ≤
0, 0x y≤ ≤
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )

( ) ( ) ( )
***f x y f x y f x f y f x f y f x f y+ = − − − = − − + − = − − − = +
( ) ( )
* , ** ,(***)
( ) ( ) ( )
, ,f x y f x f y x y+ = + ∀ ∈¡
( )
( )
2
1f x +
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2
1 2 1
1 1 2 1
1 1 2 1
1 ,
, ,
f x f x x

x f x f x f x f
x f x f xf x f x f
f x xf x
f x ax x a
+ = + +
⇔ + + = + +
⇔ + + = + +
⇔ = ∀ ∈
⇔ = ∀ ∈ ∈
¡
¡ ¡
1 2
a a≠
1 2 1 2 1 2 3 1 2 99
0 a ,a ,a a ,a a a , ,a a a 200< + + + + + + <

Nếu có một số chia hết cho 100 thì số đó bằng 100 vì số đó bé hơn 200. 1,0
Nếu không có số nào chia hết cho 100 thì trong 100 số phải có hai số đồng dư
trong phép chia cho 100 (vì các số dư nhận giá trị từ 1 đến 99) suy ra hiệu của
chúng chia hết cho 100 và hiệu hai số đó chính là tổng cần tìm
1,0
HẾT