Bài tập thảo luận phương trình vi phân

- GVHD : Lê Ng c C ng ọ ườ

- L p HP ớ : 1016FMAT0211
M c l c:ụ ụ

Các d ng ph ng trình vi phân c p 1 và ví d .ạ ươ ấ ụ
•
Ph ng trình vi phân c p 1 bi n s phân li.ươ ấ ế ố
•
Ph ng trình vi phân có d ng y’= f(x).ươ ạ
•
Ph ng trình đ ng c p c p 1.ươ ẳ ấ ấ
•
Ph ng trình tuy n tính c p 1.ươ ế ấ
•
Ph ng trình Bernoulli.ươ

Các d ng ph ng trình vi phân c p 2 và ví d .ạ ươ ấ ụ
•
Ph ng trình vi phân c p 2 gi m c p đ c.ươ ấ ả ấ ượ
•
Ph ng trình vi phân tuy n tính c p 2.ươ ế ấ
•
Ph ng trình vi phân tuy n tính c p 2 h s ươ ế ấ ệ ố
h ng.ằ

ng d ng c a ph ng trình vi phân.Ứ ụ ủ ươ
•
Mô hình ô nhi m môi tr ng.ễ ườ
Các khái ni m c b n:ệ ơ ả

•
Đ nh nghĩa: Ph ng trình vi phân là ph ng trình liên h ị ươ ươ ệ
gi a bi n đ c l p (hay các bi n đ c l p) hàm ch a bi t và ữ ế ộ ậ ế ộ ậ ư ế
đ o hàm c a hàm s đó.ạ ủ ố
•
C p c a ph ng trình vi phân: là c p cao nh t c a đ o ấ ủ ươ ấ ấ ủ ạ
hàm c a hàm s có m t trong phuong trình đó.ủ ố ặ
-
D ng t ng quát c a PTVP c p n v i bi n đ c l p x, bi n ph ạ ổ ủ ấ ớ ế ộ ậ ế ụ
thu c y là trong đó không đ c ộ ượ
khuy t .ế
•
Nghi m c a ph ng trình vi phân: ệ ủ ư
Cho m t PTVP c p n, m i hàm s , kh bi n đ n c p n mà khi ộ ấ ọ ố ả ế ế ấ
thay vào ph ng trình đó cho ta đ ng nh t th c đ u g i là ươ ồ ấ ứ ề ọ
nghi m c a PTVP đó.ệ ủ

PH NG TRÌNH VI PHÂN C P 1ƯƠ Ấ
1.Đ nh nghĩa:ị
Ph ng trình vi phân c p 1 có d ng : ươ ấ ạ
+ D ng t ng quát ạ ổ F(x, y, y’) =0
+ D ng chính t cạ ắ y’= f(x)
2. Đ nh lí t n t i và duy nh t nghi mị ồ ạ ấ ệ :
- Cho PTVP c p 1:y’=f(x,y) n u f(x,y) liên t c trên mi n ấ ế ụ ề
m D v i Mo(xo,yo) D t n t i nghi m y=f(x) Th a mãn ở ớ ồ ạ ệ ỏ
yo=y(xo). N u f(x)liên t c trên D thìế ụ nghi m đó là duy ệ
nh t ấ
3.Đi u ki n ban đ u c a PTVP:ề ệ ầ ủ
∈
N u ế g i là đi u ki n ban đ uọ ề ệ ầ

∫∫
+= cdxxfdyyg )()(
2.2 Ph ng trình vi phân c p 1 bi n s phân li:ươ ấ ế ố
a. D ngạ : f(x)dx = g(y)dy
b. PP: tích phân 2 v ta đ cế ượ
0=+ ydyxdx
vd:
∫∫
=+ cydyxdx
c
y
x
=+⇒
22
2
2
cyx 2
22
=+⇒
là nghi m c a ph ng trình.ệ ủ ươ
tích phân 2 v ta đ cế ượ
2.1 Ph ng trình có d ng ươ ạ y’= f (x)
Ph ng pháp gi i: tích phân 2 v ta đ c ươ ả ế ượ

2.Các lo i ph ng trình vi phân c p 1 ạ ươ ấ
2.3 Ph ng trình đ ng c pươ ẳ ấ c p 1:ấ
a.D ngạ
cách làm:

Đ t ặ

''. xuuyxuy
x
y
u +=⇒=⇒=
Thay y’ vào ph ng trình (1) ta đ cươ ượ
0)2(
=−+
xdydxyx
vd: gpt
)0:(21 ≠+=⇒ xĐK
x
y
dx
dy
''. xuuyxuy
x
y
u +=⇒=⇒=
Đ t ặ
(1)
x
y
u
=
)1(
−=
cxxy
0=x
Thay ta có:
Tr ng h p là nghi m c a (1) ườ ợ ệ ủ

.
xcucxu .1ln1ln
=+⇒+=+⇒
)01:(
1
≠+=
+
⇒
uĐK
x
dx
u
du
Thay y’ vào ph ng trình ta đươ c ượ
uxuu 21'
+=+
b.Ph ng trình đ a v ph ng trình đ ng c pươ ư ề ươ ẳ ấ
- D ng ạ
-
Cách gi i:ả
+ Xét đ nh th c + Đ t:ị ứ ặ
Khi đó ta có
Đ t .Ta gi i ặ ả  gi i PT đ ng c pả ẳ ấ
+ N u đ nh th c thìế ị ứ
Đ t đ a v PT v ph i không ch a ặ ư ề ế ả ứ









+
+
=
eYdX
bYaX
f
dX
dY
Ví d : ụ GPT
Ta có: Đ t:ặ
Khi đó ta có: (*)
Đ t: ặ
)()(' xQyxPy
=+
0)(
=
xQ
0)('
=+
yxPy
0)(
≠
xQ
2.4 Ph ng trình tuy n tính c p 1ươ ế ấ
•
N u ế thì ph ng trình ươ
thì ph ng trình (*)ươ

đ c g i là ph ng trình tuy n tính c p 1 ượ ọ ươ ế ấ không
thu n nh t.ầ ấ
a. D ng: ạ
(*)
đ c g i là ph ng trình tuy n tính c p 1 ượ ọ ươ ế ấ thu n nh t.ầ ấ
•
N u ế
]).([
)()(
∫
+=
∫∫
−
cdxexQey
dxxPdxxP
a. Cách gi iả :
Nghi m t ng quát c a ph ng trình ệ ổ ủ ươ
tuy n tính c p 1 (*) có d ng:ế ấ ạ
Cách gi i:ả
B c 1ướ : gi i pt thu n nh t:ả ầ ấ
( y=0 không ph i nghi m c a ph ng trình đã cho)ả ệ ủ ươ

B c 2ướ : Coi D=D(x)

thay y’ vào PT: đ c:ượ

0)('
=+
yxPy

)()(' xQyxPy
=+
]).()(
)(
∫
+
∫
=
cdxexQxD
dxxP
⇒
⇒
Ví d : GPTụ
(*)
Xét ph ng trình thu n nh t:ươ ầ ấ
Coi D=D(x)

Thay y’ vào (*) ta đ c:ượ
(1)
α
yxQyxPy ).()('
=+
2.5 Ph ng trình Bernouliươ
α
−
=
1
yz
a) Cách gi i:ả

a) D ng ạ
chia c 2 v ả ế
(*) là pt tuy n tính c p 1ế ấ
[ ]
0)()(' =−+ yxQxPy
0
=
α
1
=
α
Đây là pt tuy n tính c p 1 thu n nh tế ấ ầ ấ
(*)
(*) có d ngạ

1,0#
α

+
+,
+,
Đ tặ
α
y
)()( xQ
y
y
xP
y
y

=
′
+
′
αα
(*) có d ng ạ
α
α
y
y
z
′
−=
′
⇒
)1(
(*)
)()(
1
xQzxP
z
=+
−
′
α
)()1()()1( xQxzPzz
α
−=−+
′
⇒

+,y=0 là nghi m c a ptệ ủ
PH NG TRÌNH VI PHÂN C P 2ƯƠ Ấ
1.Đ nh nghĩaị
•
Ph ng trình vi phân c p 2 t ng quát có d ng: ươ ấ ổ ạ
0)",',,(
=
yyyxF
hay
)',,(" yyxfy
=
•
Nghi m t ng quát c a ph ng trình vi phân c p 2 ệ ổ ủ ươ ấ
là hàm
),,(
21
ccxy
ϕ
=
Tìm nghi m ph ng trình vi phân c p 2: ệ ươ ấ
)',,(" yyxfy
=



=
=
bxy
axy
)('

)(
0
0
x, a, b các s cho trố cướ
mãn đi u ki n đ u: ề ệ ầ thỏa
)',(" yxfy
=
- Cách gi i:ả
')( yxz
=
2. Các d ng toán c a ph ng trình vi phân ạ ủ ươ
c p2:ấ
a. D ngạ
- Cách gi iả :tích phân 2 l nầ
b- D ng: ạ
H b c b ng cách đ t ạ ậ ằ ặ
)(" xfy
=
3. Ph ng trình d ng:ươ ạ
b- Cách gi i:ả
')( yyz
=
zz
dy
dz
z
dx
dy
dy
dz

dx
dz
y '."
=⋅=⋅==⇒
a- D ng:ạ
H b c b ng cách đ t ạ ậ ằ ặ
-Vd:
)',(" yyfy
=
Vd: gi i pt:ả
0'".
2
=−yyy
')( yyz =
Đ tặ
z
dy
dz
y ⋅=⇒ "
0
2
=−⋅
zz
dy
dz
y
(1)
(1)
)0,0:(;
≠≠=⇒

zyĐK
z
dz
y
dy
zcy lnln
1
=+⇒
ycz
1
=⇒
V ph ng trình cóậỵ ươ nghi mệ
ycz
1
=
4.Ph ng trình vi phân tuy n tínhươ ế c p 2 :ấ
)('" xfbyayy =++
các h ng s ằ ố
ba,
Ph ng trình tuy n tính c p 2 có d ng t ng quát làươ ế ấ ạ ổ
a) Ph ng trình tuy n tính c p 2 thu n nh t v i ươ ế ấ ầ ấ ớ
h s h ng s :ệ ố ằ ố
(*)
Ph ng trình ươ
0
2
=++ ba
λλ
đ c g i làượ ọ
ph ng trình đ c tr ng c a ph ng trình (*).ươ ặ ư ủ ươ

0'"
=++
byayy
21
,
λλ
xx
ececxy
21
21
)(
λλ
+=
N u ph ng trìnhế ươ đ c tr ng có 2 nghi mặ ư ệ phân
bi t ệ
Nghi m t ng quát c a pệ ổ ủ trinh (*) là:
∗
N u ph ng trình đ c tr ng có nghi m kép ế ươ ặ ư ệ
21
λλ
=
Nghi m t ng quát c a pệ ổ ủ trình (*) là:
x
exccxy
1
)()(
21
λ
+=
∗

N u ph ng trình đ c tr ng có nghi m ph c ế ươ ặ ư ệ ứ



−=
+=
βαλ
βαλ
i
i
2
1
∗

Nghi m t ng quát c a ph ng trình ệ ổ ủ ươ (*) là:
)cossin()(
21
xcxcexy
x
ββ
α
+=
a) Ph ng trình tuy n tính c p 2 không thu n nh t ươ ế ấ ầ ấ
v i h s h ng s :ớ ệ ố ằ ố
)('" xfbyayy
=++
là nghi m t ng quát c a phệ ổ ủ ng trình ươ
thu n nh t: ầ ấ
là nghi m riêng c a ph ng trình ệ ủ ươ
không thu n nh t: ầ ấ

Nghi m t ng quát c a ph ng trình này có d ng:ệ ổ ủ ươ ạ
V i ớ
0'"
=++
byayy
)('" xfbyayy
=++







)(
ˆ
)(
xy
xy
)(
ˆ
)()( xyxyxy
+=
Cách tìm nghi m riêngệ
Tr ng h p ườ ợ
)()( xPexf
n
x
α
=


N u ế α không ph i là nghi m c a ph ng trình ả ệ ủ ươ
đ c tr ng: ặ ư
0
2
=++
ba
λλ

N u ế α là nghi m kép c a ph ng trình đ c ệ ủ ươ ặ
tr ng: ư
0
2
=++
ba
λλ
Lúc này:
)( )(
ˆ
2
xQexxy
n
x
α
=
)(.)(
ˆ
xQexy
n
x

α
=
)(
ˆ
xy

N u ế α là nghi m đ n c a ph ng trình đ c ệ ơ ủ ươ ặ
tr ng: ư
Khi đó:
)( )(
ˆ
xQexxy
n
x
α
=
vd: tìm nghi m t ng quátệ ổ
x
xeyyy
2
'2"
=+−
Nghi m t ng quát c a pt có d ng: ệ ổ ủ ạ
)(
ˆ
)()( xyxyxy
+=
B c 1ướ : Tìm
)(xy
Ph ng trình đ c tr ng ươ ặ ư

012
2
=+−
kk
có
x
exccxykk )()(1
2121
+=⇒==
nghi m képệ
B c 2ướ :
Tìm
Ta có:
xexf
x2
)(
=
α=2 là ko là nghi m ệ c a ph ng trình đ c ủ ươ ặ
tr ngư
(1)
L y ấ thế vào
2,1
−==
BA
(1)
xx
exexccxy
2
21
).2()()(

−++=
V y nghi m TQ là:ậ ệ
là nghi m riêng c a ệ ủ (1)
).()(
ˆ
2
BAxexy
x
+=
)(
ˆ
xy
(1)
•
Tr ng h p ườ ợ
]cos).()(sin([)( xxQxxPexf
mn
x
ββ
α
+=
xxKxxHexy
ll
x
]cos)(sin)([)(
ˆ
ββ
α
+=
]cos)(sin)([.)(

ˆ
xxKxxHexxy
ll
x
ββ
α
+=

N u ế α ± iβ không ph i là nghi m c a ả ệ ủ
ph ng trình đ c tr ng thì ươ ặ ư
},max{ nml
=

N u ế α ± iβ là nghi m c a ph ng trình đ c ệ ủ ươ ặ
tr ng thì ư
},max{ nml
=
VD1: Tìm nghi m t ng quát c a ph ng trình ệ ổ ủ ươ
xyy 2cos4"
=+
B c 1ướ : Tìm
)(xy
04
2
=+
k
ikik 2,2
21
−==
B c 2ướ : Tìm

)(
ˆ
xy
)2sin.02cos.1()( xxxf +=
)2sin2cos()(
21
xcxcexy
ox
+=⇒
)0,0,2,0( ==== nm
βα
Ph ng trình đ c tr ngươ ặ ư
có nghi mệ
ph c là: ứ
Ta có:
ii 2
±=±
βα
là nghi m c a ph ng trìnhệ ủ ươ
)2sin2cos()(
ˆ
xBxAxexy
ox
+=
L y ấ
)(
ˆ
xy
th vào ph ng trình đ u ta tính đ c ế ươ ầ ượ
4

1
,0
==
BA
V y nghi m t ng quát c a ph ng trình đ u là: ậ ệ ổ ủ ươ ầ
)(
ˆ
)()( xyxyxy
+=
đ c tr ng nênặ ư
xxxcxc 2sin
4
1
)2sin2cos(
21
++=