xây dựng một phần mềm mô phỏng các thuật toán này nhằm hỗ trợ cho việc học, nghiên cứu và tiến tới dạy các thuật toán trên cây 2-3-4

Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học
MỤC LỤC 1
LỜI MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 2
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI 2
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI 3
IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 3
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 3
PHẦN NỘI DUNG 4
CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CÂY 2-3-4 4
I. Giới thiệu về cây 2-3-4 4
II. Tổ chức cây 2-3-4
6
III. Tìm kiếm
8
IV. Tách node 8
1. Tách node con
8
2. Tách node gốc 11
3. Tách theo hướng đi xuống 12
V. Chèn node 14
VI. Tính hiệu quả của Cây 2-3-4 15
VII. Chuyển từ cây 2-3-4 sang cây đỏ đen 16
CHƯƠNG 2. MÔ PHỎNG THUẬT TOÁN TRÊN CÂY 2-3-4 21
I. Tổng quan về mô phỏng thuật toán 21
1. Khái niệm thuật toán và các đặc trưng của thuật toán 21
2. Khái niệm mô phỏng thuật toán
21
II. Các yêu cầu mô phỏng thuật toán 22
III. Quá trình thiết kế nhiệm vụ mô phỏng thuật toán 23
IV. Mô phỏng thuật toán trên Cây 2-3-4 23

1. Giới thiệu ngôn ngữ mô phỏng
23
2. Phân tích và thiết kế thuật toán mô phỏng 24
a. Phân tích 24
b. Thiết kế 24
TÀI LIỆU THAM KHẢO 36
Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT
1
Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học
LỜI MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Trong hai thập kỉ qua, mô phỏng thuật toán đã được các nhà sư phạm của
ngành công nghệ thông tin sử dụng như một công cụ hỗ trợ cho việc giảng dạy các
thuật toán trên máy tính. Nguyên nhân của việc mô phỏng thuật toán được sử dụng
như một công cụ trợ giúp cho việc giảng dạy là do nó có thể cung cấp các mô
phỏng động bằng đồ họa của một thuật toán và các thay đổi trong cấu trúc dữ liệu
của nó trong suốt quá trình thực thi.
Như một phần của quá trình học thuật toán, việc mô phỏng các thuật toán
còn góp phần giúp các em học sinh, sinh viên khi mới bắt đầu làm quen với giải
thuật có thể vừa dễ dàng theo dõi các bước duyệt ở lý thuyết vừa nhìn thấy các
bước chạy ở thực tế như thế nào. Tư đó có thể giúp các em tư duy thuật toán
nhanh hơn và ngày càng yêu thích giải thuật.
Mô phỏng thuật toán ngày càng trở nên hữu ích và trở thành một giáo cụ
trực quan rất quan trọng trong hầu hết các lĩnh vực, nhất là trong môi trường giáo
dục. Với các nhà sư phạm của ngành công nghệ thông tin thì mô phỏng thuật toán
có tác dụng như một tài liệu hướng dẫn trong việc dạy các thuật toán bằng máy
tính.
Cây 2-3-4 là một cây nhị phân tìm kiếm giải quyết tốt hơn các trường hợp
xấu nhất cho cây nhị phân tìm kiếm bình thường. Và đây còn là một nội dung khá
mới mẻ và phức tạp đối với nhiều học sinh, sinh viên. Vì vậy vấn đề “Cây 2-3-4 –

Lý thuyết và mô phỏng” được chọn làm đề tài nghiên cứu.
II. Mục đích nghiên cứu đề tài
Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT
2
Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học
Mục đích nghiên cứu của khóa luận này nhằm tìm hiểu và đánh giá các
thuật toán trên Cây 2-3-4, đồng thời xây dựng một phần mềm mô phỏng các thuật
toán này nhằm hỗ trợ cho việc học, nghiên cứu và tiến tới dạy các thuật toán trên
Cây 2-3-4.
III .Nhiệm vu nghiên cứu đề tài.
Nghiên cứu tổng quan về mô phỏng thuật toán, các yêu cầu, phương pháp
tiếp cận, phương pháp thiết kế một mô đun mô phỏng thuật toán.
Thiết kế minh họa các mô đun minh họa các thuật toán trên Cây2-3-4.
IV. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài nghiên cứu đi sâu vào nghiên cứu và cài đặt một số thuật toán:
- Thuật toán tìm kiếm trên Cây 2-3-4
- Thuật toán chèn một node và chèn một giá trị vào Cây 2-3-4
- Thuật toán tách node trên Cây 2-3-4
- Thuật toán xóa node và xóa một giá trị trên Cây 2-3-4
V. Phưong pháp nghiên cứu.
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu tham khảo các tài liệu tham khảo liên
quan đến Cây nhị phân tìm kiếm, Cây 2-3-4 thông qua các sách, tài liệu tham khảo
và đặc biệt là nguồn tài liệu phong phú trên mạng Internet.
Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT
3
Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học
PHẦN NỘI DUNG
Chương I. Lý thuyết về Cây 2-3-4
I. Giới thiệu về cây 2-3-4.
Như chúng ta đã biết, các thuật toán về cây nhị phân luôn rất tốt cho nhiều

ứng dụng, tuy nhiên chúng lại có những khuyết điểm trong trường hợp xấu nhất.
Chẳng hạn như trường hợp Quicksort, trường hợp xấu nhất của nó lại là trường
hợp dễ xuất hiện trong thực tế nếu người dùng không chú ý đến nó.
Các tập tin đã được xắp xếp thứ tự, các tập tin với thứ tự ngược, các tập các
khoá lớn, nhỏ xen lẫn nhau hay các tập tin với sự phân đoạn lớn có cấu trúc đơn
giản có thể làm thuật toán tìm trên cây hoạt động rất tồi.
Với thuật toán QuickSort, cái mà chúng ta cần để cái tiến tình huống là sắp
xếp lại để có trường hợp ngẫu nhiên: bằng cách chọn một phần tử phân hoạch
ngẫu nhiên, chúng ta có thể dựa vào quy luật xác xuất để tránh khỏi trường hợp
xấu nhất. Với tìm kiếm trên cây nhị phân thì may mắn hơn, bởi vì chúng ta có thể
làm tốt hơn nhiều; có một kỹ thuật tổng quát cho phép chúng ta bảo đảm trường
hợp xấu nhất sẽ không xuất hiện. Kỹ thuật này gọi là Cân bằng đã được dùng làm
cơ sở cho nhiều thuật toán khác nhau về “cây cân bằng”. Chúng ta sẽ xem xét kỹ
một thuật toán thuộc loại đó và cùng nhau thảo luận tóm tắt về sự liên quan của nó
đối với các phương pháp khác.
Để khử trường hợp xấu nhất của cây tìm kiếm nhị phân, chúng ta cần dùng
một vài linh động trong cấu trúc sẽ dùng. Để có sự linh động này, chúng ta giả sử
rằng các node trong cây của chúng ta có chứa nhiều hơn một khóa. Cụ thể hơn,
chúng ta sẽ thừa nhận các 3-node và 4-node mà có thể chứa tương ứng hai và ba
khóa. Một 3-node có ba liên kết ra khỏi nó, một liên kết cho tất cả các mẩu tin có
khóa nhỏ hơn cả hai khóa của nó, một cho tất cả các mẩu tin có khóa nằm giữa hai
Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT
4
Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học
khóa của nó, một cho tất cả các mẩu tin có khóa lớn hơn hai khóa của nó. Tương
tự với một 4-node có 4 liên kết đi ra khỏi nó.
Chúng ta sẽ xem xét các đặc tính của cây 2-3-4 và mối quan hệ khá gần gũi
giữa cây 2-3-4 và cây đỏ-đen.
Hình 4.1 Trình bày một cây 2-3-4 đơn giản. Mỗi node có thể lưu trữ 1, 2
hoặc 3 mục dữ liệu.

Hình 4.1 cây 2-3-4
Các số 2, 3 và 4 trong cụm từ cây 2-3-4 có ý nghĩa là khả năng có bao nhiêu
liên kết đến các node con có thể có được trong một node cho trước. Đối với các
node không phải là lá, có thể có 3 cách sắp xếp sau:
Một node với một mục dữ liệu thì luôn luôn có 2 con.
Một node với hai mục dữ liệu thì luôn luôn có 3 con.
Một node với ba mục dữ liệu thì luôn luôn có 4 con.
Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT
5
Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học
Như vậy, một node không phải là lá phải luôn luôn có số node con nhiều hơn
1 so với số mục dữ liệu của nó. Nói cách khác, đối với mọi node với số con là c và
số mục dữ liệu là d, thì : c = d + 1. Sau đây là các ví dụ cụ thể:
Hình 4.2. Các trường hợp của cây 2-3-4
Với mọi node lá thì không có node con nhưng có thể chứa 1, 2 hoặc 3 mục
dữ liệu, không có node rỗng.
Một cây 2-3-4 có thể có đến 4 cây con nên được gọi là cây nhiều nhánh bậc
4.
Trong cây 2-3-4 mỗi node có ít nhất là 2 liên kết ,trừ lnode lá (node không có
liên kết nào).
Hình 4.2 trình bày các trường hợp của cây 2-3-4. Một node với 2 liên kết gọi
là một 2-node, một node với 3 liên kết gọi là một 3-node, và một node với 4 liên
kết gọi là một 4-node, nhưng ở đây không có loại node nào là 1-node.
II. Tổ chức cây 2-3-4.
Các mục dữ liệu trong mỗi node được sắp xếp theo thứ tự tăng dần từ trái
sang phải (sắp xếp từ thấp đến cao).
Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT
6
Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học
Một đặc tính quan trọng của bất kỳ cấu trúc cây là mối liên hệ giữa các liên

kết với giá trị khóa của các mục dữ liệu. Trong cây tìm kiếm nhị phân, tất cả node
của cây con bên trái có khoá nhỏ hơn khóa của node đang xét và tất cả node của
cây con bên phải có khoá lớn hơn hoặc bằng khóa của node đang xét. Trong cây 2-
3-4 thì nguyên tắc cũng giống như trên, nhưng có thêm một số điểm sau:
Với node có một mục dữ liệu. Tất cả các node con của cây con có gốc tại
node con thứ 1 thì có các giá trị khoá nhỏ hơn giá trị khoá 1 của node cha. Tất cả
các node con của cây con có gốc tại node con thứ 2 thì có các giá trị khoá lớn hơn
giá trị khoá 1 của node cha.
Với node có hai mục dữ liệu. Tất cả các node con của cây con có gốc tại
node con thứ 1 thì có các giá trị khoá nhỏ hơn giá trị khoá 1 của node cha. Tất cả
các node con của cây con có gốc tại node con thứ 2 thì có các giá trị khoá lớn hơn
khoá 1 của node cha và nhỏ hơn giá trị khóa 2 của node cha. Tất cả các node con
của cây con có gốc tại node con thứ 3 thì có các giá trị khoá lớn hơn giá trị khoá 2
của node cha.
Với node có ba mục dữ liệu. Tất cả các node con của cây con có gốc tại
node con thứ 1 thì có các giá trị khoá nhỏ hơn giá trị khoá 1 của node cha. Tất cả
các node con của cây con có gốc tại node con thứ 2 thì có các giá trị khoá lớn hơn
khoá 1 của node cha và nhỏ hơn giá trị khóa 2 của node cha. Tất cả các node con
của cây con có gốc tại node con thứ 3 thì có các giá trị khoá lớn hơn khoá 2 của
node cha và nhỏ hơn giá trị khóa 3 của node cha. Tất cả các node con của cây con
có gốc tại node con thứ 4 thì có các giá trị khoá lớn hơn giá trị khoá 3 của node
cha.
Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT
7
Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học
Trong tất cả cây 2-3-4, các lá đều nằm trên cùng một mức. Các node ở mức
trên thường không đầy đủ, nghĩa là chúng có thể chứa chỉ 1 hoặc 2 mục dữ liệu
thay vì 3 mục.
Lưu ý rằng cây 2-3-4 là cây cân bằng. Nó vẫn giữ được sự cân bằng khi thêm
vào các phần tử có thứ tự (tăng dần hoặc giảm dần).

III. Tìm kiếm.
Thao tác tìm kiếm trong cây 2-3-4 tương tự như thủ tục tìm kiếm trong cây
nhị phân. việc tìm kiếm bắt đầu từ node gốc và chọn liên kết dẫn đến cây con với
phạm vi giá trị phù hợp.
Ví dụ, để tìm kiếm mục dữ liệu với khoá là 64 trên cây ở hình 4.1, bạn bắt
đầu từ gốc. Tại node gốc không tìm thấy mục khoá này. Bởi vì 64 lớn 50, chúng ta
đi đến node con 1, (60/70/80)(lưu ý node con 1 nằm bên phải, bởi vì việc đánh số
của các node con và các liên kết bắt đầu tại 0 từ bên trái). Tại vị trí này vẫn không
tìm thấy mục dữ liệu, vì thế phải đi đến node con tiếp theo. Tại đây bởi vì 64 lớn
hơn 60 nhưng nhỏ hơn 70 nên đi tiếp đến node con 1. Tại thời điểm chúng ta tìm
được mục dữ liệu đã cho với liên kết là 62/64/66.
IV. Tách node
1. Tách node con
Việc thêm vào sẽ trở nên phức tạp hơn nếu gặp phải một node đầy (node có
số mục dữ liệu đầy đủ) trên nhánh dẫn đến điểm thêm vào. Khi điều này xảy ra,
node này cần thiết phải được tách ra. Quá trình tách nhằm giữ cho cây cân bằng.
Loại cây 2-3-4 mà chúng ta đề cập ở đây thường được gọi là cây 2-3-4 top-down
bởi vì các node được tách ra theo hướng đi xuống điểm chèn.
Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT
8
Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học
Giả sử ta đặt tên các mục dữ liệu trên node bị phân chia là A, B và C. Sau
đây là tiến trình tách (chúng ta giả sử rằng node bị tách không phải là node gốc;
chúng ta sẽ kiểm tra việc tách node gốc sau này):
Một node mới và rỗng được tạo. Nó là anh em với node sẽ được tách và
được đưa vào bên phải của nó.
Mục dữ liệu C được chuyển vào node mới.
Mục dữ liệu B được chuyển vào node cha của node được tách.
Mục dữ liệu A không thay đổi.
Hai node con bên phải nhất bị hủy kết nối từ node được tách và kết nối đến

node mới.
⇒ Quá trình tách node con sẽ xảy ra các trường hợp sau đây:
 Node cha của node cần tách có một khóa.
1. Node cần tách là node con bên phải của node cha nó
Khi đó ta thêm một node mới có một mục dữ liệu, có giá trị khóa là
khóa thứ 3 của node đang tách. Chuyển giá trị khóa thứ 2 của node cần tách
nên node cha. Và gán lại quan hệ cha con của các node như hình dưới đây.

2. Node cần tách là node con bên trái của node cha nó.
Ta thêm một node mới có một mục dữ liệu, có giá trị khóa là khóa
thứ 1 của node đang tách. Chuyển giá trị khóa thứ 2 của node cần tách nên
node cha. Và gán lại quan hệ cha con của các node như hình dưới đây.
Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT
9
Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học
 Node cha của node cần tách có hai khóa.
1.Node cần tách là node con bên phải (con thứ nhất) của node cha nó.
Khi đó ta thêm một node mới có một mục dữ liệu, có giá trị khóa là
khóa thứ 3 của node đang tách. Chuyển giá trị khóa thứ 2 của node đang tách
nên node cha. Và gán lại quan hệ cha con của các node như hình dưới đây.
2. Node cần tách là node con bên giữa (con thứ hai) của node cha nó.
Khi đó ta thêm một node mới có một mục dữ liệu, có giá trị khóa là khóa
thứ 3 của node đang tách. Chuyển giá trị khóa thứ 2 của node đang tách nên node
cha. Và gán lại quan hệ cha con của các node như hình dưới đây.

3. Node cần tách là node con phải (con thứ ba) của node cha nó.
Khi đó ta thêm một node mới có một mục dữ liệu, có giá trị khóa là khóa
thứ 3 của node đang tách. Chuyển giá trị khóa thứ 2 của node đang tách nên
node cha. Và gán lại quan hệ cha con của các node như hình dưới đây.
Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT

10
Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học
Một ví dụ về việc tách node trình bày trên hình 4.4. Một cách khác để mô tả
sự tách node là một 4-node được chuyển đổi sang hai 2-nút.
Chú ý rằng ảnh hưởng của sự tách node là dịch chuyển dữ liệu đi lên về bên
phải. Sự sắp xếp lại này nhằm mục đích giữ cho cây cân bằng.
Hình 4.4: Tách một nút
(i ) Trước khi chèn vào
(ii) Sau khi chèn vào
2. Tách node gốc
Khi gặp phải node gốc đầy tại thời điểm bắt đầu tìm kiếm điểm chèn, kết quả
của việc tách thực hiện như sau:
Node mới được tạo ra để trở thành gốc mới và là cha của node được tách.
Node mới thứ hai được tạo ra để trở thành anh em với node được tách.
Mục dữ liệu C được dịch chuyển sang node anh em mới.
Mục dữ liệu B được dịch chuyển sang node gốc mới.
Mục dữ liệu A vẫn không đổi.
Hai node con bên phải nhất của node được phân chia bị hủy kết nối khỏi nó
và kết nối đến node mới bên phải.
Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT
11
Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học

Một ví dụ về việc tách node trình bày trên hình 4.5 cho ta thấy rõ hơn quá
trình tách node gốc.
Hình 4.5 Tách node gốc
i) Trước khi thêm vào
ii) Sau khi thêm vào
Hình 4.5 chỉ ra việc tách node gốc. Tiến trình này tạo ra một node gốc mới ở
mức cao hơn mức của node gốc cũ. Kết quả là chiều cao tổng thể của cây được

tăng lên 1.
Đi theo node được tách này, việc tìm kiếm điểm chèn tiếp tục đi xuống phía
dưới của cây. Trong hình 4.5 mục dữ liệu với khoá 41 được thêm vào lá phù hợp.
Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT
12
Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học
3. Tách theo hướng đi xuống
Chú ý rằng, bởi vì tất cả các node đầy được tách trên đường đi xuống nên
việc tách node không gây ảnh hưởng gì khi phải đi ngược lên trên của cây. Node
cha của bất cứ node nào bị tách phải đảm bảo rằng không phải là node đầy, để
đảm bảo node cha này có thể chấp nhận mục dữ liệu B mà không cần thiết nó phải
tách ra. Tất nhiên nếu node cha này đã có hai con thì khi node con bị tách, nó sẽ
trở thành node đầy. Tuy nhiên điều này chỉ có nghĩa là nó có thể sẽ bị tách ra khi
lần tìm kiếm kế tiếp gặp nó.
Hình 4.6 trình bày một loạt các thao tác chèn vào một cây rỗng. Có 4 node
được tách, 2 node gốc và 2 node lá.
Thêm vào 70, 30, 50
Thêm 40
Thêm vào 20, 80
Thêm vào 25, 90
Thêm vào 75
Thêm vào 10
Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT
13
Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học
Hình 4.6 Minh họa thêm một node vào cây 2-3-4
V. Chèn node
Các mục dữ liệu mới luôn luôn được chèn vào tại các node lá . Nếu mục dữ
liệu được thêm vào node mà có node con, thì số lượng của các node con cần thiết
phải được chuyển đổi để duy trì cấu trúc cho cây, đây là lý do tại sao phải có số

node con nhiều hơn 1 so với các mục dữ liệu trong một nút.
Việc thêm vào cây 2-3-4 trong bất cứ trường hợp nào thì quá trình cũng bắt
đầu bằng cách tìm kiếm node lá phù hợp.
Nếu không có node đầy nào (node có đủ 3 mục dữ liệu) được bắt gặp trong
quá trình tìm kiếm, việc chèn vào khá là dễ dàng. Khi node lá phù hợp được tìm
thấy, mục dữ liệu mới đơn giản là thêm vào nó. Hình 4.3 trình bày một mục dữ
liệu với khoá 18 được thêm vào cây 2-3-4.
Việc chèn vào có thể dẫn đến phải di chuyển một hoặc hai mục dữ liệu trong
node vì thế các khoá sẽ nằm với trật tự đúng sau khi mục dữ liệu mới được thêm
vào. Trong ví dụ này số 23 phải được đẩy sang phải để nhường chỗ cho 18.
Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT
14
Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học
Hình 4.3 Chèn vào không làm tách cây
(i) trước khi chèn vào
(ii) sau khi chèn vào
VI. Tính hiệu quả của Cây 2-3-4
Trong cây đỏ-đen node trên mỗi mức phải được duyệt trong quá trình tìm
kiếm, hoặc tìm kiếm một node đã tồn tại hoặc chèn vào một node mới. Số lượng
các mức trong cây đỏ-đen (cây nhị phân cân bằng) là log
2
(N+1), vì thế thời gian
tìm kiếm là tỷ lệ với giá trị này.
Một node cũng phải được duyệt trong cây 2-3-4, nhưng cây 2-3-4 thì ngắn
hơn (có ít mức hơn) so với cây đỏ-đen khi số lượng các mục dữ liệu như nhau.
Xem hình 4.8, ở đây cây 2-3-4 có ba mức còn cây đỏ-đen có năm mức.
Cụ thể hơn, trong cây 2-3-4 có đến 4 con trên một nút. Nếu mỗi node là đầy,
chiều cao của cây phải tỷ lệ với log
4
(N). Logarith với cơ số 2 và cơ số 4 khác nhau

bởi một thừa số hằng của 2. Kết quả, chiều cao của cây 2-3-4 sẽ thấp hơn một nửa
so với chiều cao của cây đỏ-đen, miễn là tất cả các node là đầy. Bởi vì tất cả chúng
là không đầy, chiều cao của cây 2-3-4 nằm trong khoảng log
2
(N+1) và
log
2
(N+1)/2.
Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT
15
Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học
Kết quả là việc giảm chiều cao của cây 2-3-4 sẽ dẫn đến việc giảm một ít thời
gian tìm kiếm so với cây đỏ-đen.
Mặt khác, có nhiều mục dữ liệu để kiểm tra trong mỗi nút, điều này sẽ tăng
thời gian tìm kiếm. Bởi vì các mục dữ liệu trong mỗi node được kiểm tra sử dụng
tìm tuyến tính, điều này sẽ nhân thời gian tìm kiếm hơn với một số lượng tỷ lệ với
M, số lượng trung bình của các mục dữ liệu trên một nút. Kết quả là thời gian tìm
kiếm xấp xỉ M*log
4
(N).
Một vài node chỉ chứa 1 mục dữ liệu, một vài node chứa 2, và một vài node
chứa 3. Nếu chúng ta ước lượng trung bình là 2, thời gian tìm kiếm sẽ xấp xỉ là
2*log
4
(N). Đây là hằng số nhỏ có thể bỏ qua trong biễu diễn độ phức tạp theo ký
hiệu Big-O.
Kết quả, với cây 2-3-4 số lượng tăng lên của các mục dữ liệu trên node dẫn
đến việc hủy chiều cao giảm xuống của cây. Thời gian tìm kiếm của cây 2-3-4 và
cây nhị phân cân bằng như cây đỏ-đen là xấp xỉ bằng nhau, và cả hai đều bằng O
(log(N)).

VII. Chuyển từ cây 2-3-4 sang cây đỏ đen.
Một cây 2-3-4 có thể được chuyển sang cây đỏ-đen bằng cách áp dụng các
luật sau:
Chuyển đổi bất kỳ 2-node ở cây 2-3-4 sang node đen ở cây đỏ-đen.
Chuyển đổi bất kỳ 3-node sang node con C (với hai con của chính nó) và
node cha P (với các node con C và node con khác). Không có vấn đề gì ở đây khi
một mục trở thành node con và mục khác thành node cha. C được tô màu đỏ và P
được tô màu đen.
Chuyển đổi bất kỳ 4-node sang node cha P và cả hai node con C1, C2 màu
đỏ.
Hình 4.7 trình bày các chuyển đổi này. Các node con trong các cây con được
tô màu đỏ; tất cả các node khác được tô màu đen.
Hình 4.8 trình bày cây 2-3-4 và cây đỏ-đen tương ứng với nó bằng cách áp
dụng các chuyển đổi này. Các đường chấm xung quanh các cây con được tạo ra từ
Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT
16
Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học
3-node và 4-nút. Các luật của cây đỏ-đen tự động thoả mãn với sự chuyển đổi này.
Kiểm tra rằng: Hai node đỏ không bao giờ được kết nối, và số lượng các node đen
là như nhau ở mọi đường dẫn từ gốc đến lá (hoặc node con null).
Bạn có thể nghĩ rằng một 3-node ở cây 2-3-4 là tương đương với node cha có
một node con màu đỏ ở cây đỏ-đen, và một 4-node là tương đương với node cha
có hai node con đỏ. Điều này nghĩa là node cha màu đen với node con đen ở cây
đỏ-đen không biểu diễn một 3-node ở cây 2-3-4; nó chỉ biểu diễn một 2-node với
node con 2-node khác. Tương tự, một node cha màu đen với 2 con màu đen không
biểu diễn cho 4-nút.
Hình 4.7 Chuyển đổi từ cây 2-3-4 sang cây đỏ-đen
Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT
17
Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học

Hình 4.8 Cây 2-3-4 và cây đỏ-đen tương ứng
Sự tương đương
Không những cấu trúc của cây đỏ-đen phù hợp với cây 2-3-4, mà các thao tác
hoạt động của hai loại cây này cũng tương đương nhau. Trong cây 2-3-4 nó được
giữ cân bằng bằng việc tách nút. Trong cây đỏ-đen hai phương thức cân bằng là sự
lật và quay màu.
Việc tách 4-node và lật màu
Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT
18
Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học
Trong cây 2-3-4 khi bạn tìm xuống điểm chèn cho node mới, bạn tách mỗi 4-
node thành hai 2-nút. Trong cây đỏ-đen bạn thực hiện việc lật màu. Làm thế nào
mà các thao tác này là tương đương với nhau?
Hình 4.9 Tách 4-node và lật màu
Trong hình 4.9.i trình bày một 4-node trong cây 2-3-4 trước khi bị tách nút;
Hình 4.9.ii trình bày tình trạng sau khi tách nút. 2-node (là cha của 4-nút) trở thành
3-nút.
Trong hình 4.9.iii. trình bày cây đỏ-đen tương đương với cây 2-3-4 ở hình
4.9.i,. Đường chấm viền quanh sự tương đương của 4-nút. Lật màu đưa đến kết
quả cây đỏ-đen ở hình 4.9.iv. Bây giờ các node 40 và 60 là màu đen và 50 là màu
đỏ. Kết quả 50 và node cha của nó hình thành sự tương đương với một 3-nút, như
trình bày bằng đường chấm. Điều này tương tự 3-node định dạng bằng việc tách
node trong hình 4.9.ii.
Kết quả chúng ta thấy rằng việc tách một 4-node trong quá trình chèn ở cây
2-3-4 là tương đương với việc thực hiện lật màu trong quá trình chèn ở cây đỏ-
đen.
Tách 3-node và quay
Khi một 3-node ở cây 2-3-4 được chuyển sang cây đỏ-đen tương đương của
nó, có thể có hai sự sắp xếp, như trình bày trong hình 4.8. Cả hai mục dữ liệu có
Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT

19
Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học
thể trở thành node cha. Tùy thuộc vào node nào được chọn, node con sẽ là node
con bên trái hoặc node con bên phải, và độ dốc của đường thẳng nối node cha và
node con sẽ ở bên trái hoặc bên phải.
Cả hai sự sắp xếp là hợp lệ; Tuy nhiên, chúng không tham gia để cân bằng
cây. Chúng ta hãy xem xét tình huống trong ngữ cảnh lớn hơn.
Hình 4.10-i trình bày cây 2-3-4 còn hình 4.10-ii, và 4.10-iii trình bày các cây
đỏ-đen tương đương được suy ra từ cây 2-3-4 bằng cách áp dụng các luật chuyển
đổi ở trên. Sự khác nhau giữa chúng là cách lựa chọn hai mục dữ liệu nào trong 3-
node để tạo node cha; Trong hình ii, 80 là node cha, trong hình iii, 70 là node cha.
Mặc dù cách sắp xếp này là hợp lệ, bạn có thể thấy rằng cây trong hình ii là
không cân bằng trong khi cây trong hình iii là cân bằng. Với cây đỏ-đen được cho
trong hình ii, chúng ta sẽ quay nó sang phải (và thực hiện việc chuyển đổi hai
màu) để cân bằng nó. Điều đáng ngạc nhiên sự quay này cho kết quả chính xác
giống như cây trong hình iii.
Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT
20
Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học
Hình 4.10: 3-node và phép quay
CHƯƠNG II. MÔ PHỎNG THUẬT TOÁN TRÊN CÂY 2-3-4
I. Tổng quan về mô phỏng thuật toán.
1. Khái niệm thuật toán và các đặc trưng của thuật toán.
Thuật toán là một dãy hữu hạn các thao tác được sắp xếp theo một trình tự
xác định sao cho sau khi thực hiện dãy các thao tác ấy, từ Input của bài toán nhận
được Output cần tìm.
Các thuật toán có một số tính chất chung, đó là:
 Đầu vào (Input): Một thuật toán có các giá trị đầu vào từ một
tập xác định.
 Đầu ra (Output): Từ mỗi tập giá trị đầu vào, thuật toán sẽ tạo

ra các giá trị đầu ra. Các giá trị đầu ra chính là nghiệm của bài toán.
Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT
21
Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học
 Tính xác định: Các bước của thuật toán phải được mô tả một
cách chính xác.
 Tính đúng đắn: Một thuật toán phải cho các giá trị đầu ra
đúng đối với mỗi tập giá trị đầu vào.
 Tính hữu hạn: Một thuật toán phải tại ra các giá trị đầu ra sau
một số hữu hạn (có thể rất lớn) các bước thực hiện đỗi với mỗi tập đầu
vào.
 Tính hiệu quả: Mỗi bước của thuật toán phải thực hiện được
một cách chính xác và trong một khoảng thời gian chấp nhận được.
 Tính tổng quát: Thuật toán cần phải áp dụng được cho mọi
tập dữ liệu đầu vào của bào toán, chứ không phải chỉ cho một tập đặc
biệt các giá trị đầu vào.

2. Khái niệm mô phỏng thuật toán.
Mô phỏng thuật toán là quá trình tách dữ liệu , thao tác ngữ nghĩa và tạo
mô phỏng đồ họa cho quá trình trên [Stasko 1990]. Mô phỏng thuật toán được
thiết kế để giúp người dùng có thể hiểu thuật toán, đánh giá chương trình và sửa
lỗi chương trình.
Một chương trình máy tính chứa các cấu trúc dữ liệu của thuật toán mà nó
thực thi. Trong quá trình thực thi chương trình, các giá trị trong cơ sở dữ liệu được
thay đổi. Mô phỏng thuật toán sử dụng biểu diễn đồ họa để biểu diễn cấu trúc dữ
liệu và chỉ ra sự thay đổi giá trị trong cơ sở dữ liệu trong mỗi trạng thái. Thông
qua đó, người sử dụng có thể xem được từng bước thực thi chương trình và nhờ
vậy có thể hiểu chi tiết được thuật toán.
Mô phỏng thuật toán cũng được dùng để đánh giá một chương trình đã có
bằng cách cung cấp các mô phỏng cho các thành phần của hệ thống, nhờ đó có thể

kiểm tra được hiệu năng của hệ thống.
Bên cạnh việc giúp người sử dụng hiểu hơn về hệ thống, mô phỏng thuật
toán còn được dùng để giúp thực hiện quá trình dò lỗi dễ dàng hơn.
II. Các yêu cầu về mô phỏng thuật toán.
 Phản ánh đúng nội dung của thuật toán
 Có thể thực hiện giải thuật theo hình thức từng bước một để
theo dõi giá trị của các biến và các đối tượng trong bài toán.
Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT
22
Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học
 Có hình ảnh động (có thể có âm thanh khi cần) để mô tả trực
quan quá trình thi hành của thuật toán.
 Có thể kiểm định thuật toán trong trường hợp ngẫu nhiên,
trường hợp xấu nhất, trường hợp tốt nhất.
 Tạo các mức độ sử dụng khác nhau cho người học.
 6.Cấu trúc tổng quát của mô phỏng.
INPUT GIẢI THUẬT OUTPUT




III. Quy trình thiết kế nhiếm vụ mô phỏng thuật toán.
Sơ đồ quy trình thiết kế nhiệm vụ mô phỏng thuật toán như sau:




Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT
23
- Tự động

- Từng bước
Dữ liệu mẫu
Dữ liệu ngẫu nhiên
Dữ liệu nhập trực tiếp
Cấu trúc dữ liệu trừu tượng.
Độ phức tạp của thuật
toán
Biểu diễn
đồ họa
Nghiên cứu và
phân thích giải
thuật
Xây dựng mô
hình mô phỏng
Input/Output
Cơ chế sinh dữ
liệu vào (Input)
Những khó khăn
thuận lợi khi tiếp
thu giải thiật
Tổng hợp các
bước thành giải
thuật
Phân tích giải
thuật thành nhiều
bước
Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học

IV. Mô phỏng thuật toán trên Cây 2-3-4.
1. Giới thiệu ngôn ngữ mô phỏng.

Visual FoxPro là một trong các ngôn ngữ lập trình quản trị cơ sơ dữ liệu.
Visual FoxPro đã được nhiều thế hệ những người lập trình Việt Nam sử dụng viết
các trình ứng dụng quản lý điểm, quản lý tài chính, quản lý bán hàng… từ những
phiên bản đầu tiên của FoxPro for DOS, đến các phiên bản FoxPro for Windows
và ngôn ngữ lập trình Visual FoxPro như hiện tại. Ngôn ngữ Visual FoxPro dễ sử
dụng, đã được dạy trong nhiều trường phổ thông Việt Nam.
Visual FoxPro ngoài tính năng cung cấp các chức năng giúp người lập trình
có thể tạo ra các hệ quản trị cơ sở dữ liệu, nó còn cung cấp cho chúng ta tập hợp
các lệnh, các hàm giúp người lập trình có thể lập trình hướng đối tượng trên đó.
Lập trình hướng đối tượng trong Visual FoxPro là một hướng xây dựng và sử
dụng ngôn gữ lập trình bằng các phân loại các đối tượng thành ra các lớp, điều
khiển chương trình thông qua các tác vụ của các đối tượng. Lập trình hướng đối
tượng tạo điều kiện cho người lập trình sắp xếp, tổ chức các môđun trong chương
trình một cách khoa học, chặt chẽ. Trên cơ sở đó tiết kiệm thời gian viết mã lệnh
và tạo thuận lợi cho công tác bảo trì phần mềm.
Ngoài ra, Visual FoxPro còn cung cấp các chức năng giúp cho người lập
trình có thể xây dựng giao diện phần mềm thân thiện và dễ sử dụng. Bên cạnh đó,
nó còn cung cấp cho chúng ta một số lớp đồ họa, giúp cho việc xây dựng các hình
ảnh mô phỏng được thuận tiện, đơn giản, tốn ít thời gian, mà không cần phải viêt
mã lệnh.
2. Phân tích và thiết kế thuật toán mô phỏng Cây 2-3-4.
Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT
24
Cây 2-3-4 – Lý thuyết và mô phỏng Nghiên Cứu Khoa Học
a. Phân tích.
Các node trong Cây 2-3-4 được sắp xếp theo giá trị các khóa của chúng –
giống cây tìm kiếm nhị phân.
Các giá trị khóa được sinh ra một cách ngẫu nhiên, nhiều lần.
Mỗi node có thể là hình chữ nhật, có hiện thị các mục giá trị. Do đó cần xây
dựng một lớp riêng cho các node gọi là lớp “node234”

Trong quá trình tạo ra Cây 2-3-4 với các node, có ba thao tác cơ bản nhất
đó là : Tìm kiếm, tách node, và chèn.
Trong thao tác tìm kiếm, ta cần tìm kiếm xem giá trị cần chèn đã xuất hiện
trong cây của chúng ta chưa. Nếu xuất hiện rồi, ta bỏ qua không chèn giá trị đó
vào nữa. Nếu chưa ta sẽ chèn giá trị đó vào vị trí tìm được trong cây.
Khi chèn các giá trị vào các node. Sẽ xảy ra một trường hợp là node đã đầy
các mục dữ liệu. Yêu cầy chúng ta phải tách node, sau đó chèn giá trị khóa vào vị
trí node cần chèn.
b. Thiết kế.
 Xây dựng lớp “node234”
- Các thành phần cơ bản của lớp: lớp “node234” là một container trong
đó chứa 3 thành phần : Ba textbox, một tên là txt_1, một tên là txt_2, một tên là
txt_3 để chứa lần lượt ba giá trị khóa của node đó.
- Một đối tượng “node234” khi sinh ra cần được thay đổi kích thước theo
giá trị khóa của node đó. Ngoài ra khi một node sinh ra được add thêm các giá
trị khóa thì ta cần phải kiểm tra xem giá trị đó có xuất hiện trong node đó hoặc
các con của node đó hay không. Vì vậy ta cần viết các thủ tục Refesh để thay
đổi kích thước cho node khi số mục dữ liệu trong node thay đổi, và thêm các
phương thức add_key, search_key rồi viết code cho nó để kiểm tra và thêm
mục giá trị vào cho node đó. Ngoài ra ta cần phải viết thêm thủ tục noi_canh
để nối các node với nhau.
Sinh viên: Đỗ Thị Thùy Dương – Lớp A_K54_CNTT
25