268 bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán 9 tham khảo
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (969.41 KB, 49 trang )
WWW.MATHVN.COM
MAI TR
PH
1. Ch
7 là s
2. a) Ch
b) Ch
3. Cho x + y = 2. Tìm giá tr
2
ÀI
+ (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
2
2
h
2
+ b2)(c2 + d2)
2
+y.
a+b
³ ab .
2
4. a) Cho a
bc ca ab
+ +
³a+b+c
a
b
c
b) Cho a, b, c > 0. Ch
c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá tr
a tích P = ab.
3
5. Cho a + b = 1. Tìm giá tr
+ b3 .
3
3
6. Cho a + b = 2. Tìm giá tr
3
7. Cho a, b, c là các s
+ b3 + abc
8. Tìm liên h
a và b bi
a+b > a-b
2
9. a) Ch
b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Ch
10. Ch
2
a) (a + b)2
+ b2)
b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2)
11. Tìm các giá tr
a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x
c) 2x(2x – 1)
– 1.
2
12. Tìm các s
+ b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)
2
13. Cho bi
+ ab + b2 – 3a – 3b + 2001. V
á tr ào c
à b thì M
nh
ìm giá tr
2
14. Cho bi
+ xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá tr
15. Ch
ào c
ãn
2
2
2
x + 4y + z – 2a + 8y – 6z + 15 = 0
A=
16. Tìm giá tr
17. So sánh các s
a) 7 + 15 và 7
c)
ùng máy tính) :
18. Hãy vi
ình :
b)
17 + 5 + 1 và
27
d)
3 2 và
àm
23 - 2 19
và
3
19. Gi
20. Tìm giá tr
1
x - 4x + 9
2
2
45
2 3
3
3x 2 + 6x + 7 + 5x 2 + 10x + 21 = 5 - 2x - x 2 .
2
yv
i
à 2x + xy = 4.
1
1
1
1
+
+ .... +
+ ... +
.
1.1998
2.1997
k(1998 - k + 1)
1998 - 1
1998
Hãy so sánh S và 2.
.
1999
22. Ch
ên a khơng ph à s
ì a là s
21. Cho S =
23. Cho các s
1
và y cùng d
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
MAI TR
x y
+ ³2
y x
ỉ x 2 y2 ư ỉ x y ử
b) ỗ 2 + 2 ữ - ỗ + ÷ ³ 0
x ø èy xø
èy
a)
ỉ x 4 y4 ö æ x 2 y2 ö æ x y ö
+ ữ-ỗ + ữ+ỗ + ữ 2.
y4 x 4 ứ ố y2 x 2 ứ ố y x ứ
ố
c) ỗ
24. Ch
às
a)
1+ 2
b) m +
3
v
n
à các s
25. Có hai s
26. Cho cỏc s
s
ổx yử
x 2 y2
+ 2 + 4 3ỗ + ÷ .
2
y
x
èy xø
à y khác 0. Ch
x 2 y2 z2 x y z
+ +
³ + + .
y2 z2 x 2 y z x
27. Cho các s
28. Ch
29. Ch
àm
2
a) (a + b)2
+ b2 )
2
b) (a + b + c)2
+ b2 + c2)
2
2
2
2
c) (a1 + a2 + ….. + an)
1 + a2 + ….. + an ).
30. Cho a3 + b3 = 2. Ch g minh r
31. Ch
[ x ] + [ y] £ [ x + y] .
1
.
x - 6x + 17
x y z
A= + + v
y z x
A=
32. Tìm giá tr
33. Tìm giá tr
34. Tìm giá tr
35. Tìm giá tr
36. Xét xem các s
2
A = x2 + y2 bi
à b có th à s
a
là s
b
a
b) a + b và
là s
b
a) ab và
c) a + b, a2 và b2 là s
37. Cho a, b, c > 0. Ch
38. Cho a, b, c, d > 0. Ch
39. Ch
40. Cho s
Ch
[ 2x ] b
3
+ b3 + abc
a
b
c
d
+
+
+
³2
b+c c+d d+a a +b
2 [ x ] ho 2 [ x ] + 1
à hai ch
ên là 96.
41. Tìm các giá tr
2
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
A= x 2 - 3
B=
MAI TR
1
x 2 + 4x - 5
C=
1
D=
x - 2x - 1
1
E= x+
1- x2 - 3
2
+ -2x
x
G = 3x - 1 - 5x - 3 + x 2 + x + 1
42. a) Ch
“=”x
ào ?
M = x + 4x + 4 + x 2 - 6x + 9 .
2
b) Tìm giá tr
c) Gi
4x 2 + 20x + 25 + x 2 - 8x + 16 = x 2 + 18x + 81
ình :
43. Gi
ình : 2x 2 - 8x - 3 x 2 - 4x - 5 = 12 .
44. Tìm các giá tr
A = x2 + x + 2
E=
1
G=
2x + 1 + x
45. Gi
1
1 - 3x
B=
ng trình :
C = 2 - 1 - 9x 2
x
+ x-2
x -4
1
D=
x 2 - 5x + 6
H = x 2 - 2x - 3 + 3 1 - x 2
2
x 2 - 3x
=0
x -3
A = x +x.
47. Tìm giá tr
B = 3- x + x
3 +1
48. So sánh : a) a = 2 + 3 và b=
b)
2
c) n + 2 - n + 1 và n+1 - n (n là s
46. Tìm giá tr
49. V
4-2 3
11 + 6 2
b)
d) A = m 2 + 8m + 16 + m 2 - 8m + 16
bi
M=
52. Tìm các s
53. Tìm giá tr
54. Gi
c)
27 - 10 2
e) B = n + 2 n - 1 + n - 2 n - 1 (n
8 41
45 + 4 41 + 45 - 4 41
.
(2x - y) 2 + (y - 2)2 + (x + y + z) 2 = 0
ãn
P = 25x 2 - 20x + 4 + 25x 2 - 30x + 9 .
ình sau :
a) x 2 - x - 2 - x - 2 = 0
d) x - x 4 - 2x 2 + 1 = 1
b) x 2 - 1 + 1 = x 2
e) x 2 + 4x + 4 + x - 4 = 0
h) x 2 - 2x + 1 + x 2 - 6x + 9 = 1
k) x + 3 - 4 x - 1 + x + 8 - 6 x - 1 = 1
3
3 -1
A = 1 - 1 - 6x + 9x 2 + (3x - 1) 2 .
ào c
50. Tính : a)
51. Rút g
5 - 13 + 4 3 và
c) x 2 - x + x 2 + x - 2 = 0
g) x - 2 + x - 3 = -5
i) x + 5 + 2 - x = x 2 - 25
l) 8x + 1 + 3x - 5 = 7x + 4 + 2x - 2
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
55. Cho hai s
MAI TR
à y th
ãn các
x 2 + y2
³2 2.
x-y
à x > y. CMR:
56. Rút g
a) 13 + 30 2 + 9 + 4 2
b) m + 2 m - 1 + m - 2 m - 1
c) 2 + 3. 2 + 2 + 3 . 2 + 2 + 2 + 3 . 2 - 2 + 2 + 3
2+ 3 =
57. Ch
d) 227 - 30 2 + 123 + 22 2
6
2
+
.
2
2
58. Rút g
a) C =
6+2
(
)
6 + 3 + 2 - 6-2
(
6- 3+ 2
)
9-6 2 - 6
.
3
b) D =
2
59. So sánh :
6 + 20 và 1+ 6
a)
2 +1
c)
28 - 16 3 và 3 - 2
A = x - x 2 - 4x + 4
60. Cho bi
a) Tìm t
b) Rút g
a)
61. Rút g
c)
17 + 12 2 và
b)
11 - 2 10
b)
9 - 2 14
3 + 11 + 6 2 - 5 + 2 6
2 + 6 + 2 5 - 7 + 2 10
1 1 1
1 1 1
+ 2+ 2 = + +
2
a
b
c
a b c
62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c
x 2 - 16x + 60 < x - 6 .
63. Gi
ình :
64. Tìm x sao cho :
65. Tìm giá tr
x2 - 3 + 3 £ x2 .
2
+ y2 , bi
x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (1)
66. Tìm x
a) A =
1
x - 2x - 1
67. Cho bi
a) Tìm giá tr
b) Rút g
68. Tìm 20 ch
69. Tìm giá tr
70. Tìm giá tr
71. Trong hai s
4
A=
16 - x 2
b) B =
+ x 2 - 8x + 8 .
2x + 1
x + x 2 - 2x
x - x - 2x
2
-
x - x 2 - 2x
x + x - 2x
2
.
ìm giá tr
ên c
0,9999....9 (20 ch
|x4
4
2|+|y–1|v |x|+|y|=5
4
+ y + z bi
n + n + 2 và 2 n+1 (n là s
ào l
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
MAI TR
A = 7 + 4 3 + 7 - 4 3 . Tính giá tr
72. Cho bi
73. Tính : ( 2 + 3 + 5)( 2 + 3 - 5)( 2 - 3 + 5)( - 2 + 3 + 5)
74. Ch
3- 2 ; 2 2 +3
a = 3 3 - 3 và b=2 2 - 1 ;
75. Hãy so sánh hai s
76. So sánh
3+ 5 ;
às
2 + 5 và
5 +1
2
4 + 7 - 4 - 7 - 2 và s
2+ 3+ 6+ 8+4
.
2+ 3+ 4
Q=
77. Rút g
78. Cho P = 14 + 40 + 56 + 140 . Hãy bi
2
79. Tính giá tr
80. Tìm giá tr
A = 1- x + 1+ x .
àl
M=
81. Tìm giá tr
x 1 - y2 + y 1 - x 2 = 1 .
+ y2 bi
(
a+ b
)
2
v
àa+b
82. CMR trong các s 2b + c - 2 ad ; 2c + d - 2 ab ; 2d + a - 2 bc ; 2a + b - 2 cd có ít
nh
, b, c, d > 0).
N = 4 6 + 8 3 + 4 2 + 18 .
83. Rút g
84. Cho x + y + z = xy + yz + zx
85. Cho a1, a2, …, an > 0 và a1a2…an = 1. Ch
(
86. Ch
a+ b
)
2
³ 2 2(a + b) ab
87. Ch
ài
88. Rút g
a) A =
1)(1
a, b, c c
ab - b 2
a
b
b
+ a2)…(1 + an)
n
.
(a, b
ài a, b, c l
ành m
ành m
ì các
(x + 2) 2 - 8x
.
2
xx
2
a +2
³2
2
a +1
b) B =
89. Ch
90. Tính : A = 3 + 5 + 3 - 5 b
91. So sánh : a)
92. Tính : P =
93. Gi
94. Ch
5
3 7 +5 2
và 6,9
b)
5
2+ 3
2- 3
+
.
2 + 2+ 3
2 - 2- 3
ình :
13 - 12 và
7- 6
x + 2 + 3 2x - 5 + x - 2 - 2x - 5 = 2 2 .
1.3.5...(2n - 1)
1
Pn =
<
; "n Î Z+
2.4.6...2n
2n + 1
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
MAI TR
95. Ch
a2
b2
a+ b£
+
.
b
a
ì
96. Rút g
A=
x - 4(x - 1) + x + 4(x - 1) ổ
1 ử
.ỗ1 ữ.
ố x -1 ø
x 2 - 4(x - 1)
a b +b a
1
:
= a - b (a, b > 0 ; a
ab
a- b
æ 14 - 7
ỉ a + a ưỉ a - a ử
15 - 5 ử
1
b) ỗ
+
= -2
c) ỗ 1 +
ữ:
ữỗ 1 ÷ = 1 - a (a >
1- 3 ø 7 - 5
a + 1 øè
a -1 ø
è 1- 2
è
a)
97. Ch
0).
5 - 3 - 29 - 6 20
98. Tính : a)
ỉ
c) ç
è
; b) 2 3 + 5 - 13 + 48 .
ư
28 - 16 3 ÷ . 7 + 48 .
ø
99. So sánh : a) 3 + 5 và 15
b) 2 + 15 và 12 + 7
16
c) 18 + 19 và 9
d)
và 5. 25
2
7 + 48 -
100. Cho h
a± b =
a + a2 - b
a - a2 - b
±
(a, b > 0 và a2 – b > 0).
2
2
Áp d
a)
c)
2+ 3
2 + 2+ 3
+
2- 3
2 - 2- 3
; b)
3- 2 2
-
17 - 12 2
3+ 2 2
17 + 12 2
2 10 + 30 - 2 2 - 6
2
:
2 10 - 2 2
3 -1
101.
a) A =
b) B =
xy - x 2 - 1. y 2 - 1
v
xy + x 2 - 1. y 2 - 1
a + bx + a - bx
a + bx - a - bx
102. Cho bi
v
6
x=
1ổ
1ử
ỗ b + ữ (a > 1 ; b > 1)
2è
bø
2am
, m < 1.
b (1 + m 2 )
2x - x 2 - 1
P(x) = 2
3x - 4x + 1
a) Tìm t
b) Ch
103. Cho bi
1ỉ
1ư
x = ỗa + ữ , y =
2ố
aứ
ỡ P(x).P(- x) < 0.
A=
x+2-4 x -2 + x +2+4 x -2
.
4 4
- +1
x2 x
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
MAI TR
a) Rút g
b) Tìm các s
104. Tìm giá tr l
a) 9 - x 2
e) 1 - 2 1 - 3x
àm
b) x - x (x > 0)
c) 1 + 2 - x
g) 2x 2 - 2x + 5
d) x - 5 - 4
1
i)
2x - x + 3
h) 1 - - x 2 + 2x + 5
A = x + 2x - 1 - x - 2x - 1 , b
105. Rút g
5 3 + 5 48 - 10 7 + 4 3
a)
106. Rút g
b)
ên.
4 + 10 + 2 5 + 4 - 10 + 2 5
c)
94 - 42 5 - 94 + 42 5 .
b
107. Ch
(
)
a)
a + b ± a - b = 2 a ± a2 - b
b)
a + a2 - b
a - a2 - b
a± b =
±
2
2
A = x + 2 2x - 4 + x - 2 2x - 4
108. Rút g
109. Tìm x và y sao cho :
x+y-2 = x + y - 2
(a + c)
2
+ (b + d) .
110. Ch
a 2 + b2 + c2 + d 2 ³
111. Cho a, b, c > 0. Ch
2
a2
b2
c2
a+b+c
+
+
³
.
b+c c+a a +b
2
112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Ch
a)
a + 1 + b + 1 + c + 1 < 3,5
113. CM :
(a
2
+ c 2 )( b 2 + c2 ) +
a +b + b+c + c+a £ 6 .
b)
(a
2
+ d 2 )( b 2 + d 2 ) ³ (a + b)(c + d) v
A=x+ x .
(x + a)(x + b)
A=
.
x
114. Tìm giá tr
115. Tìm giá tr
116. Tìm giá tr
117. Tìm giá tr
2
118. Gi
ình :
2-x .
x - 1 - 5x - 1 = 3x - 2
119. Gi
ình :
x + 2 x -1 + x - 2 x -1 = 2
120. Gi
ình : 3x 2 + 21x + 18 + 2 x 2 + 7x + 7 = 2
121. Gi
ình :
+ 3y2
122. Ch
123. Ch
124. Ch
3x 2 + 6x + 7 + 5x 2 + 10x + 14 = 4 - 2x - x 2
às
3- 2
;
2 2+ 3
x -2 + 4-x £ 2.
ình h
a 2 + b 2 . b 2 + c 2 ³ b(a + c)
7
v
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
MAI TR
(a + b)(c + d) ³ ac + bd v
125. Ch
126. Ch
ài a, b, c l
ành m
a, b, c c
ài
ành m
ì các
(a + b)2 a + b
+
³a b +b a v
2
4
a
b
c
+
+
>2 v
b+c
a+c
a+b
127. Ch
128. Ch
129. Cho x 1 - y 2 + y 1 - x 2 = 1 . Ch
2
+ y2 = 1.
130. Tìm giá tr
A = x - 2 x -1 + x + 2 x -1
131. Tìm GTNN, GTLN c
A = 1- x + 1+ x .
132. Tìm giá tr
A = x 2 + 1 + x 2 - 2x + 5
133. Tìm giá tr
A = - x 2 + 4x + 12 - - x 2 + 2x + 3 .
a) A = 2x + 5 - x 2
134. Tìm GTNN, GTLN c
135. Tìm GTNN c
(
b) A = x 99 + 101 - x 2
ãn
)
a b
+ = 1 (a và b là h
x y
136. Tìm GTNN c
xy yz zx
+ +
v
z
x
y
x2
y2
z2
A=
+
+
bi
x+y y+z z+x
A=
137. Tìm GTNN c
138. Tìm GTNN c
A=
139. Tìm giá tr
b) B =
(
a+ b
) (
4
+
v
140. Tìm giá tr
141. Tìm GTNN c
142. Gi
a+ c
) (
4
+
(
a+ b
a+ d
)
xy + yz + zx = 1 .
2
v
) (
4
+
b+ c
) (
+
b+ d
) (
4
+
c+ d
)
4
à a + b + c + d = 1.
A = 3x + 3y v
b
c
+
v
c+d a+b
A=
ình sau :
a) x - 5x - 2 3x + 12 = 0
2
d) x - 1 - x + 1 = 2
b) x 2 - 4x = 8 x - 1
e) x - 2 x - 1 - x - 1 = 1
h) x + 2 - 4 x - 2 + x + 7 - 6 x - 2 = 1
k) 1 - x 2 - x = x - 1
m) x 2 + 6 = x - 2 x 2 - 1
o) x - 1 + x + 3 + 2
8
4
c) 4x + 1 - 3x + 4 = 1
g) x + 2x - 1 + x - 2x - 1 = 2
i) x + x + 1 - x = 1
l) 2x 2 + 8x + 6 + x 2 - 1 = 2x + 2
n) x + 1 + x + 10 = x + 2 + x + 5
( x - 1) ( x 2 - 3x + 5) = 4 - 2x
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
MAI TR
p) 2x + 3 + x + 2 + 2x + 2 - x + 2 = 1 + 2 x + 2 .
q) 2x 2 - 9x + 4 + 3 2x - 1 = 2x 2 + 21x - 11
(
A = 2 2 - 5 +3 2
143. Rút g
)(
"n Ỵ Z+ , ta ln có : 1 +
144. Ch
1
1+ 2 + 5
a)
145. Tr
)
18 - 20 + 2 2 .
(
)
1
1
1
+
+ .... +
> 2 n +1 -1 .
2
3
n
1
b)
.
x + x +1
146. Tính :
5 - 3 - 29 - 6 20
a)
(
b) 6 + 2 5 - 13 + 48
147. Cho a = 3 - 5 . 3 + 5
148. Cho b =
a)
c)
(
3- 2 2
17 - 12 2
149. Gi
-
)(
17 + 12 2
ình sau :
)
(5 - x )
)
10 - 2 . Ch
3+ 2 2
3 -1 x - x + 4 - 3 = 0
5 - x + ( x - 3) x - 3
5- x + x -3
b)
=2
c)
(
5 - 3 - 29 - 12 5
às
. b có ph
)
às
3 -1 x = 2
(
ên.
hiên không ?
)
3 +1 x - 3 3
d) x + x - 5 = 5
150. Tính giá tr
M = 12 5 - 29 + 25 + 4 21 - 12 5 + 29 - 25 - 4 21
151. Rút g
152. Cho bi
A=
1
1
1
1
+
+
+ ... +
.
1+ 2
2+ 3
3+ 4
n -1 + n
1
1
1
1
P=
+
- ... +
2- 3
3- 4
4- 5
2n - 2n + 1
a) Rút g
b) P có ph
às
1
1
1
1
+
+
+ ... +
.
2 1 +1 2 3 2 + 2 3 4 3 + 3 4
100 99 + 99 100
1
1
1
154. Ch
1+
+
+ ... +
> n.
2
3
n
5
155. Cho a = 17 - 1 . Hãy tính giá tr
+ 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000.
156. Ch
a - a - 1 < a - 2 - a - 3 (a
1
157. Ch
x 2 - x + > 0 (x
2
158. Tìm giá tr
S = x - 1 + y - 2 , bi
153. Tính : A =
159. Tính giá tr
9
a=
3
1 + 2a
1 - 2a
: A=
+
.
4
1 + 1 + 2a 1 - 1 - 2a
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
160. Ch
(
MAI TR
)( 10 - 6 ) 4 - 15 = 2
5 ( 3 + 5 )( 10 - 2 ) = 8 d)
a) 4 + 15
c) 3 -
b) 4 2 + 2 6 =
7 + 48 =
2
2
(
2
(
)
3 +1
)
3 + 1 e) 17 - 4 9 + 4 5 = 5 - 2
161. Ch
5+ 5 5- 5
+
- 10 < 0
5- 5 5+ 5
ổ
ử
5 +1
5 - 1 ửổ
1
c) ỗ
+
+ 2 ữ 0, 2 - 1,01 > 0
ữỗ 3 - 4
3
ố 1 + 5 + 3 1 + 3 - 5 øè
ø
2 + 3 -1
2- 3ổ
3
3 ử 1
d)
+
+
+ 3- 2 > 0
ỗ
ữ2+ 6
2 6 è 2- 6 2+ 6 ø
2
27 + 6 > 48
a)
2+2
e)
h)
(
3+
b)
2 -1 +
5+
2 -2
)
7 -
(
2 - 1 > 1,9
)
3+ 5+ 7 <3
g)
i)
17 + 12 2 - 2 > 3 - 1
2 + 2 + 3 2- 2
< 0,8
4
1
< 2 n - 2 n -1 . T
n
1
1
1
2004 < 1 +
+
+ ... +
< 2005
2
3
1006009
2+ 3+ 4
3
163. Tr
a)
b)
.
2+ 3+ 6+ 8+4
2+ 3 2 + 3 4
3+ 2
3- 2
164. Cho x =
và y=
. Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2.
3- 2
3+ 2
2002
2003
165. Ch
+
> 2002 + 2003 .
2003
2002
x 2 - 3xy + y 2
166. Tính giá tr
A=
v x = 3 + 5 và y = 3 - 5 .
x+y+2
6x - 3
167. Gi
ình :
= 3 + 2 x - x2 .
x - 1- x
2 n +1 - 2 n <
162. Ch
168. Gi
a) 3 3 + 5x ³ 72
169. Rút g
b)
1
10x - 14 ³ 1 c) 2 + 2 2 + 2x ³ 4 .
4
i
a) A = 5 - 3 - 29 - 12 5
c) C =
10
x + 3 + 2 x2 - 9
2x - 6 + x 2 - 9
b) B = 1 - a + a(a - 1) + a
d) D =
a -1
a
x 2 + 5x + 6 + x 9 - x 2
3x - x 2 + (x + 2) 9 - x 2
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
MAI TR
1
1
1
1
+
- ... 1- 2
2- 3
3- 4
24 - 25
1
170. Tìm GTNN và GTLN c
A=
.
2 - 3 - x2
2
1
171. Tìm giá tr
A=
+
v
1- x x
172. Tìm GTLN c
a) A = x - 1 + y - 2 bi
E=
y-2
x -1
+
x
y
b) B =
173. Cho a = 1997 - 1996 ; b = 1998 - 1997 . So sánh a v
174. Tìm GTNN, GTLN c
a) A =
1
5+2 6-x
ào l
b) B = - x 2 + 2x + 4 .
2
A = x 1- x2 .
175. Tìm giá tr
176. Tìm giá tr
177. Tìm GTNN, GTLN c
178. Tìm GTNN, GTLN c
3
– y | bi
+ y3 bi
2
+ 4y2 = 1.
2
+ y2 = 1.
x + y = 1.
A = x x + y y bi
1 - x + x 2 - 3x + 2 + (x - 2)
179. Gi
ình :
180. Gi
x -1
= 3.
x-2
ình : x 2 + 2x - 9 = 6 + 4x + 2x 2 .
1
1
1
1
+
+
+ ... +
< 2.
2 3 2 4 3
(n + 1) n
1
1
1
1
182. Cho A =
+
+
+ ... +
. Hãy so sánh A và 1,999.
1.1999
2.1998
3.1997
1999.1
183. Cho 3 s
à x + y là s
x; y
às
181. CMR, "n Î Z+ , ta có :
h
184. Cho a =
185. Rút g
3+ 2
- 2 6 ; b = 3 + 2 2 + 6 - 4 2 . CMR : a, b là các s
3- 2
ỉ 2+ a
a - 2 ư a a + a - a -1
P=ỗ
ữ.
a
ố a + 2 a +1 a -1 ø
(a >0 ; a
186. Ch
187. Rút g
11
ổ a +1
ửổ
a -1
1 ử
+ 4 a ữỗ a ỗ
ữ = 4a .
a +1
aø
è a -1
øè
( x + 2)
(a > 0 ; a
2
- 8x
2
xx
(0 < x < 2)
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
MAI TR
ổ
b - ab ử ổ
a
b
a+bử
+
ỗ a+
ữ:ỗ
ữ
a + b ứ è ab + b
ab - a
ab ø
è
5a 2
2
2
189. Gi
ình : 2 x + x + a £
(a
x2 + a2
éæ 1 - a a
ưỉ 1 + a a
ứ
190. Cho A = (1 - a 2 ) : ờỗ
+ a ữỗ
- a ÷ú + 1
êè 1 - a
øè 1 + a
øú
ë
û
188. Rút g
)
(
a) Rút g
c) V
b) Tính giá tr c
ào c
ì | A | = A.
B=
191. Cho bi
a) Rút g
c) So sánh B v
a + b -1
a- bổ
b
b ử
+
+
ỗ
ữ.
a + ab
2 ab è a - ab a + ab ø
-1.
æ
192. Cho A = ỗ
1
+
ố a - a-b
a) Rỳt g
c) Tớnh giỏ tr
193. Cho bi
a =6+2 5.
b) Tớnh giỏ tr
a+b ử
ử ổ
: ỗ1 +
÷
÷
a + a+b ø è
a-b ø
1
b) Tìm b bi
a = 5+4 2 ; b = 2+6 2.
-A.
ỉ a +1
ưỉ
a -1
1 ử
A=ỗ
+ 4 a ữỗ a ữ
a +1
aứ
ố a -1
ứố
a) Rỳt g
b) Tìm giá tr
194. Cho bi
a=
6
2+ 6
.
ỉ a
1 ưỉ a - a a + a ử
A=ỗ
ữỗ
ữ.
2 2 a ứố a + 1
a -1 ø
è
a) Rút g
195. Th
196. Th
A > A.
c) Tìm giá tr
b) Tìm giá tr
-4
ỉ 1+ a
1- a ư ổ 1+ a
1- a ử
A=ỗ
+
ữ:ỗ
ữ
1+ a ứ ố 1- a
1+ a ø
è 1- a
2+ 3
2- 3
B=
+
2 + 2+ 3
2 - 2- 3
197. Rút g
é
x - y êỉ 1 1 ư
1
a) A =
: ỗ + ữ.
+
ờố x y ứ x + y + 2 xy
xy xy
ê
ë
v
(
)
x = 2- 3 ; y = 2+ 3 .
b) B =
12
ự
ổ 1
1 ửỳ
.
+
ữ
3 ỗ
ỗ
y ữỳ
x+ y è x
øú
û
2
x + x 2 - y2 - x - x 2 - y2
2(x - y)
v
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
c) C =
MAI TR
2a 1 + x 2
1+ x2 - x
(a
`d) D = (a + b) -
1 æ 1- a
a ử
x= ỗ
ữ
2ố a
1- a ứ
v
2
+ 1)( b 2 + 1)
v
c2 + 1
x + 2 x -1 + x - 2 x -1
e) E =
x + 2x - 1 + x - 2x - 1
x+
198. Ch
;
0
à ab + bc + ca = 1
. 2x - 1
x2 - 4
+
x
x-
x2 - 4
2x + 4
=
x
x
v
-1 + 2
-1 - 2
,b=
. Tính a7 + b7.
2
2
200. Cho a = 2 - 1
a) Vi 2 ; a3
m - m -1
199. Cho a =
`
ên.
vi
ên.
3
2
ình x + ax + bx + c = 0 v
n
ịn l
202. Ch
h
b) Ch
201. Cho bi
ìm các nghi
2 n -3<
203. Tìm ph
2 là m
1
1
1
+
+ ... +
<2 n -2 v
2
3
n
6 + 6 + ... + 6 + 6
ên c
204. Cho a = 2 + 3. Tính a)
205. Cho 3 s
b)
(có 100 d
éa 3 ù .
ë û
x + y là s
206. CMR, "n
éa 2 ù
ë û
ỴN;n
ỴN:
x, y
às
t
1
1
1
1
+
+
+ ... +
<2
2 3 2 4 3
(n + 1) n
1
1
1
1
ên a1 , a2 , a3 , … a25 th
+
+
+ ... +
=9.
a1
a2
a3
a 25
207. Cho 25 s
Ch
208. Gi
209. Gi
210. Gi
ình
à bi
2+ x
2 + 2+ x
+
2- x
= 2.
2 - 2- x
1+ x + 1- x
= a.
1+ x - 1- x
ì x (1 + y ) = 2y
ï
ï
g trình í y (1 + z ) = 2z
ï
ï z (1 + x ) = 2x
ỵ
211. Ch
13
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
MAI TR
(8 + 3 7 ) có 7 ch
(7 + 4 3 )
7
a) S
10
b) S
n nh
1 = 1 Þ a1 = 1 ;
2 » 1, 4 Þ a 2 = 1 ;
1 1 1
1
Tính :
+ + + ... +
.
a1 a 2 a 3
a1980
212. Kí hi
n
213. Tìm ph
là s
ên g
Ỵ N*), ví d
3 » 1,7 Þ a 3 = 2 ;
a n = 2 + 2 + ... + 2 + 2
ên c
b) a n = 4 + 4 + ... + 4 + 4
214. Tìm ph
c) a n = 1996 + 1996 + ... + 1996 + 1996
Ỵ N : A = 4n 2 + 16n 2 + 8n + 3
ên c
(
215. Ch
3+ 2
à 1, ch
216. Tìm ch
217. Tính t
218. Tìm giá tr
219. Gi
)
200
à 9.
ùng c
(
ên c
3+ 2
)
250
.
A = é 1 ù + é 2 ù + é 3 ù + ... + é 24 ù
ë û ë û ë û
ë
û
2
ình : a)
220. Có t
221. Ch
222. Ch
223. Cho a, b, c, d > 0. Bi
224. Ch
4 = 2 Þ a4 = 2
(3 – x) v
x - 2 + x +1 = 3 .
a) a + b = 2 b) a + b = 4 2 .
3
às
5
b) 3 2 + 3 4
a+b+c 3
m:
³ abc .
3
a
b
c
d
1
+
+
+
£ 1 . Ch
abcd £ .
1+ a 1+ b 1+ c 1+ d
81
2
2
2
x
y
z
x y z
+ 2+ 2³ + + v
2
y
z
x
y z x
3
x +1 + 3 7 - x = 2
b)
3
225. Cho a = 3 3 + 3 3 + 3 3 - 3 3 ; b = 2 3 3 . Ch
n
ổ 1ử
ỗ1 + ữ < 3 .
è nø
226. a) Ch
n
b) Ch
227. Tìm giá tr
228. Tìm giá tr
n (n là s
ên), s
3
3 có giá tr
h
A = x2 + x +1 + x2 - x + 1 .
2
(2 – x) bi
229. Tìm giá tr
A = x 9 - x2 .
230. Tìm giá tr
231. M
ìa hình vng có c
m
ình vng nh
ìa
hình vng nh
àl
2
14
2
– 6) bi
x
ình vng l
ình h
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
232. Gi
MAI TR
trình sau :
a) 1 + x - 16 = x + 3
3
c)
3
3
b)
x + 1 + 3 x - 1 = 3 5x
3
2 - x + x -1 = 1
d) 2 3 2x - 1 = x 3 + 1
x 3 - 3x - ( x 2 - 1) x 2 - 4
7- x - 3 x -5
g) 3
= 6-x
7- x + 3 x -5
3
= 2- 3
e)
3
h)
3
(x + 1) 2 + 3 (x - 1) 2 + 3 x 2 - 1 = 1
k)
4
1- x2 + 4 1+ x + 4 1- x = 3
2
3
i)
l)
x +1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0
a - x + 4 b - x = 4 a + b - 2x (a, b là
4
tham s
3
A=
233. Rút g
a 4 + 3 a 2 b2 + 3 b4
3
a 2 + 3 ab + 3 b 2
.
234. Tìm giá tr
A=
235.
ên a, b sao cho m
3x3 + ax2 + bx + 12 = 0 là 1 + 3 .
236. Ch
minh
3
x2 - x +1 + x2 + x + 1
ình :
3 là s
237. Làm phép tính : a)
3
1 + 2 .6 3 - 2 2
b)
6
9 + 4 5. 3 2 - 5 .
238. Tính : a = 3 20 + 14 2 + 3 20 - 14 2 .
7 + 5 2 + 3 7 - 2 5 = 2.
3
239. Ch
240. Tính : A =
(
4
)
7 + 48 - 4 28 - 16 3 . 4 7 + 48 .
241. Hãy l
ình f(x) = 0 v
3
242. Tính giá tr
à: x= 33+ 39.
ên có m
+ 3x – 14 v
1
x = 3 7+5 2 3
243. Gi
b)
3
g trình : a)
3
x + 2 + 25 - x = 3 .
x - 9 = (x - 3) 2 + 6
3
c)
x 2 + 32 - 2 4 x 2 + 32 = 3
(
)
)
(
A = x3 + 2 1 + x3 + 1 + x3 + 2 1 - x3 + 1 .
244. Tìm GTNN c
4 4 abcd .
245. Cho các s
246. Rỳt g
7+5 2
.
8-x
P=
2- 3 x
3
ổ
x2
:ỗ2+
ỗ
2+ 3 x
ố
ử ổ3
2 3 x ửổ 3 x2 - 4
ữ+ỗ x + 3
ữỗ
ữ
x - 2 ứỗ 3 x2 + 2 x
ố
ứ
ố
ử
ữ;
ữ
ứ
Voi x > 0 , x
247. CMR : x = 3 5 - 17 + 3 5 + 17 là nghi
1
248. Cho x =
3
15
4 - 15
+ 3 4 - 15 . Tính giá tr
ình x3 – 6x – 10 = 0.
y = x3 – 3x + 1987.
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
MAI TR
a + 2 + 5.
249. Ch
3
9-4 5
= - 3 a -1.
2 - 5 .3 9 + 4 5 - 3 a 2 + 3 a
ổ3
ử3
3
ỗ 9 + 4 5 + 2 + 5 ÷ . 5 - 2 - 2,1 < 0 .
ố
ứ
250. Ch
251. Rỳt g
ổ
ử ỗ 1+ 23 1
a + a b + b
4b
b
ữ .ỗ
a) A =
3 ữ
3 2
1
3
a + 3 ab + 3 b 2
b + 2 ữ ỗ 1 - 2.
3
ỗ
ứ
b
ố
ổ a 3 a - 2a 3 b + 3 a 2 b 2 3 a 2 b - 3 ab 2 ö 1
c) C = ç
.
+ 3
÷.
3 2
ç
a - 3 b ÷ 3 a2
a - 3 ab
ố
ứ
3
4
3
252. Cho M =
2
2
3
4
ổ
b
b) ỗ
ỗ b +8
ỗ
ố
(
)
ử
ữ 24
ữữ b +8
÷
ø
x 2 - 4a + 9 + x 2 - 4x + 8 . Tính giá tr
x 2 - 4x + 9 - x 2 - 4x + 8 = 2 .
P = x 2 - 2ax + a 2 + x 2 - 2bx + b 2 (a < b)
253. Tìm giá tr
254. Ch
ài 3 c
am
abc
– c)(b + c – a)(c + a – b)
– y | bi
à xy = -1
2 + 1 , b – c = 2 - 1, tìm giá tr
A = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca.
255. Tìm giá tr
256. Bi
–b=
x + y + z + 4 = 2 x - 2 + 4 y-3 +6 z -5 .
257. Tìm x, y, z bi
258. Cho y =
s
ì:
x + 2 x - 1 + x - 2 x - 1 . CMR, n
ì giá tr
àm
M = 7 x - 1 - x 3 - x 2 + x - 1 (x
ình ch
2 , hãy tìm hình ch
259. Phân tích thành nhân t
260. Trong t
tích l
261. Cho tam giác vng ABC có các c
c³
r
à a, b và c
à c. Ch
a+b
.
2
262. Cho các s
aa' + bb ' + cc ' = (a + b + c)(a '+ b '+ c ') thì
N
263. Gi
264. Ch
C=
265. Ch
16
ình : | x2 – 1 | + | x2 – 4 | = 3.
a b c
= =
.
a' b ' c '
o x, y :
1
ổ x+ y
x+y ử
ỗ
ữ
ỗ x+y
x+ y÷
è
ø
-
x+y
2 x y
( x + y)
4xy
4
v
ào a:
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
MAI TR
ỉ 2+ a
a - 2 ư a a + a - a -1
D=ỗ
v
ữ
a
ố a + 2 a +1 a -1 ứ
ổ
c - ac ử
1
266. Cho bi
B=ỗ a +
.
ữa
c
a+c
a+ cứ
ố
+
ac + c
ac - a
ac
a) Rút g
b) Tính giá tr
c) V
ào c
i c = 54 ; a = 24
ổ
2mn
2mn ử
1
A= ỗ m+
+ m1+ 2
2
2 ÷
1+n
1+ n ø
n
è
267. Cho bi
a) Rút g
c) Tìm giá tr
268. Rút g
b) Tìm giá tr
v
m = 56 + 24 5 .
c
ổ
ửổ 1
1+ x
1- x
1- x ử
x
D=ỗ
ữỗ 2 - 1 ÷
x ø1- x + 1- x2
1 - x 2 - 1 + x øè x
è 1+ x - 1- x
ỉ 1
ư ỉ 2 xư
2 x
269. Cho P = ç
÷ : ç1 ÷ v
è x -1 x x + x - x -1 ø è x +1 ø
a) Rút g
b) Tìm x sao cho P < 0.
x + x
2x + x
+1.
x - x +1
x
2
y=
270. Xét bi
a) Rút g
b) Gi
c) Tìm giá tr
ìm x
. Ch
-|y|=0
PH
1. Gi
7 là s
Þ
m
7=
(t
n
m2
7 = 2 hay 7n 2 = m 2
n
này ch
m 2 M 7 mà 7 là s
ên t ên m M
2
2
2
T
à (2) suy ra 7n = 49k nên n = 7k2 (3). T
nên n M 7. m và n cùng chia h
không ph à s
2. Khai tri
3. Cách 1 : T
V
Û x = y = 1.
17
ên phân s
Ỵ Z), ta có m2 = 49k2 (2).
2
M 7 và vì 7 là s
ên t
m
khơng t
n
7
7 là s
–
Þ b) vì (ad – bc)2
2
+ (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + 2
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
MAI TR
Cách 2 : Áp d
2
(x + y)2
+ y2)(1 + 1) Û 4
2
d = 1, ta có :
Þ mim S = 2 khi x = y = 1
+ y ) = 2S Û S
2
bc
ca bc
ab ca
ab
và
;
và
;
và
,
a
b a
c b
c
4. b) Áp d
ta l
bc ca
bc ca
bc ab
bc ab
ca ab
ca ab
+ ³2
. = 2c;
+
³2
. = 2b ; +
³2
. = 2a c
a
b
a b
a
c
a c
b
c
b c
v
c) V
Û (3a + 5b)2
ì P = a.b) Û 122
Û P
3a + 5b
³ 3a.5b .
2
12
12
Þ max P =
.
5
5
D
Û a = 2 ; b = 6/5.
3
5. Ta có b = 1
+ (1 a)3 = 3(a ẵ)2 + ẳ
ẳ.D
ẵ.
V
ẳ a=b=ẵ.
6.
ị b3 = 2 a3 = 2 (1 + x)3 = 1 – 3x – 3x2 – x3
– 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3.
Suy ra : b
– x. Ta l
ên : a + b
– x = 2.
3
3
V
ì a + b = 2 và a + b = 2. V
7. Hi
àv
– b)2(a + b).
8. Vì | a + b |
–b|
ên : | a + b | > | a – b | Û a2 + 2ab + b2 2 – 2ab + b2
Û 4ab > 0 Û ab > 0. V
à b là hai s ùng d
2
9. a) Xét hi
– 4a = a2 + 2a + 1 – 4a = a2 – 2a + 1 = (a – 1)2
2
2
b) Ta có : (a + 1)2
à các b
ày có hai v
2
2
.V
2
10. a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2). Do (a – b)2
ên (a + b) 2
+ b2).
b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai tri
à rút g
2
2
3(a2 + b2 + c2). V
+ b2 + c2).
é 2x - 3 = 1 - x
11. a) 2x - 3 = 1 - x Û ê
Û
ë 2x - 3 = x - 1
é3x = 4
êx = 2 Û
ë
4
é
êx = 3
ê
ëx = 2
3
b) x2 – 4x
5 Û (x – 2)2
Û |x–2|
Û -3
–2
Û -1
2
2
c) 2x(2x – 1)
– 1 Û (2x – 1)
– 1)
ên ch
–1=0
V
½.
2
12. Vi
ã cho d
+ b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = 0 (1). Nhân hai v
2
(1) v
+ (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2
a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = 0 . Suy ra : a = b = c = d = 0.
13. 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998
1998 Þ M
ìa + b - 2 = 0
ï
V
ía - 1 = 0
ïb - 1 = 0
ỵ
D
14. Gi
15.
16. A =
18
ài 13.
ã cho v
Û a = b = 1.
– 1)2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + 1 = 0.
1
1
1
1
=
£ . max A= Û x = 2 .
2
x - 4x + 9 ( x - 2 ) + 5 5
5
2
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
MAI TR
7 + 15 < 9 + 16 = 3 + 4 = 7 . V
7 + 15 < 7
b) 17 + 5 + 1 > 16 + 4 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7 = 49 > 45 .
23 - 2 19 23 - 2 16 23 - 2.4
c)
<
=
= 5 = 25 < 27 .
3
3
3
17. a)
d) Gi
3 2> 2 3 Û
(
) (
2
3 2
>
2 3
Û 3 2 > 2 3 Û 18 > 12 Û 18 > 12 .
3 2 > 2 3.
B
2+ 3
2
18. Các s
à 1,42 và
19. Vi
V
ra khi c
ình d
ình khơng nh
20. B
)
2
3(x + 1) 2 + 4 + 5(x + 1)2 + 16 = 6 - (x + 1) 2 .
ịn v
= -1.
2
ỉa+bư
ab Ê ỗ
ữ (*) (a, b
ố 2 ứ
a+b
ab Ê
vi
2
p d
2
ổ 2x + xy ử
2x.xy Ê ỗ
ữ =4
ố 2 ứ
D
khi x = 1, y = 2. Þ max A = 2 Û x = 2, y = 2.
2x = xy = 4 : 2 t
1
2
>
. Áp d
ab a + b
21. B
2.
1998
.
1999
22. Ch
x y
x 2 + y 2 - 2xy (x - y) 2
x y
+ -2=
=
³ 0. V
+ ³2
y x
xy
xy
y x
æ x 2 y2 ư ỉ x y ư ỉ x 2 y2 ư ỉ x y ư ỉ x y ư
b) Ta cú : A = ỗ 2 + 2 ữ - ỗ + ữ = ỗ 2 + 2 ữ - 2 ỗ + ữ + ỗ + ữ . Theo câu a :
x ø èy xø èy
x ø èy xø èy xø
èy
23. a)
2
2
ỉ x 2 y2 ư ỉ x y ử
ổx ử ổy ử
A ỗ 2 + 2 ữ - 2 ỗ + ữ + 2 = ỗ - 1ữ + ỗ - 1ữ 0
x ứ ốy xø
èy ø èx ø
èy
ỉ x 4 y4 ư ỉ x 2 y2 ử
x y
c) T
ỗ 4 + 4 ữ - ç 2 + 2 ÷ ³ 0 . Vì + ³ 2
y x
x ø èy
x ø
èy
ỉ x 4 y4 ư ổ x 2 y2 ử ổ x y ử
ỗ 4 + 4 ữ-ỗ 2 + 2 ữ+ỗ + ữ 2.
x ø èy
x ø èy xø
èy
24. a) Gi
1 + 2 = m (m : s
b) Gi
3
= a (a : s
n
Þ
Þ
2 = m2 – 1 Þ
3
=a–m Þ
n
2 là s
3 = n(a – m) Þ
3 là s
t
25. Có, ch
19
2 + (5 - 2) = 5
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
MAI TR
x y
x 2 y2
+ = a Þ 2 + 2 + 2 = a2 . D
y x
y
x
26.
x 2 y2
+ 2 ³ 2 nên a2
2
y
x
àng ch
2
|a|
Û a – 3a + 2
-2. N
T
27. B
–2+4
Û (a – 1)(a – 2)
ì (2)
2
x 4 z 2 + y 4 x 2 + z 4 x 2 - ( x 2 z + y 2 x + z 2 y ) xyz
x 2 y2 z2
-2 thì (2) c
³ 0.
à : x3z2(x – y) + y3x2(y – z) + z3y2(z – x)
òng x à y à z à x nên có th
às
C
Bi
a) x
D
b) x
–y
D
Cách khác : Bi
ài
. Xét hai
–x
ành – (x – y + y –
x3z2(x – y) + y3x2(y – z) – z3y2(x – y) – z3y2(y – z)
Û z2(x – y)(x3 – y2z) + y2(y – z)(yx2 – z3)
3
2
– y2z
–z
– z3
ên b
–y
ành x – z + z –
x3z2(x – z) + x3z2(z – y) – y3x2(z – y) – z3y2(x – z)
Û z2(x – z)(x3 – zy2) + x2(xz2 – y3)(z – y)
h
ên dúng.
2
2
2
æx ử ổy ử ổz ử ổx y zử
ỗ - 1ữ + ỗ - 1ữ + ỗ - 1ữ + ỗ + + ÷ ³ 3 .
èy ø èz ø èx ø èy z xø
28. Ch
às
: b = c – a. Ta th
c và a là s
ên b là s
V
às
2
29. a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) Þ (a + b)2
+ b2).
2
2
2
2
b) Xét : (a + b + c) + (a – b) + (a – c) + (b – c) . Khai tri
à rút g
2
2
3(a2 + b2 + c2). V
+ b2 + c2)
c)
30. Gi
Þ (a + b)3 > 8 Û a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 Û 2 + 3ab(a + b) > 8
2
Þ ab(a + b) > 2 Þ ab(a + b) > a3 + b3. Chia hai v
– ab + b2
Þ (a – b)2 < 0, vơ lí. V
31. Cách 1: Ta có : [ x ]
ên [ x ] + [ y]
ên
[ y]
[ x ] + [ y] là s
ên, [ x + y ] là s
à (2) suy ra :
Cách 2
ên :
Suy ra : 0
-
20
ên l
[ x ] + [ y] [ x + y ] .
0
- [x] < 1 ; 0
- [ y] < 1.
– ( [ x ] + [ y]
[ x + y] = [ x ] + [ y] (1)
N
– ( [ x ] + [ y] ) < 2 thì 0
– ( [ x ] + [ y] + 1) < 1 nên
[ x + y] = [ x ] + [ y] + 1 (2). Trong c
[ x ] + [ y] [ x + y ]
N
– ( [ x ] + [ y] ) < 1 thì
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
MAI TR
32. Ta có x2 – 6x + 17 = (x – 3)2 + 8
Û
V
max A =
33.
Cách 1 : Áp d
1
nh
A
ên t
àm
à các s
Û x2 – 6x + 17 nh
1
Û x = 3.
8
ùng phép hốn v
A=
ịng quanh x à y à z à x và gi
x y z
x y z
+ + ³ 33 . . = 3
y z x
y z x
ổx y zử
x y z
min ỗ + + ữ = 3 Û = = Û x = y = z
y z x
èy z xø
x y z ỉx ỉy z
x y
Cách 2 : Ta có : + + = ç + ÷ + ç + - ÷
ã có + ³ 2 (do x, y > 0) nên
y z x èy xø èz x xø
y x
x y z
y z y
+ + ³ 3 ta ch
+ - ³ 1 (1)
y z x
z x x
(1) Û xy + z2 – yz
Û xy + z – yz – xz
Û y(x – z) – z(x – z)
às
2
tr
z)
Û (x – z)(y – z)
ìm
x y z
+ + .
y z x
34. Ta có x + y = 4 Þ x2 + 2xy + y2 = 16. Ta l
ra 2(x2 + y2)
Þ x2 + y2
35. Áp d
1=x+y+z
2 = (x + y) + (y + z) + (z + x)
Þ x2 – 2xy + y2
– y)2
à ch
3
xyz
3
(x + y)(y + z)(z + x)
(1)
3
Nhõn t
A ị A
3
ổ2ử
max A = ỗ ữ khi v ch
ố9ứ
36. a) Cú th
37. Hi
38. p d
C
21
v
x=y=z=
(2)
ổ2ử
ỗ ÷
è9ø
3
1
.
3
– b)2(a + b).
1
4
³
v
xy (x + y) 2
a
c
a 2 + ad + bc + c 2 4(a 2 + ad + bc + c 2 )
+
=
³
(1)
b+c d+a
(b + c)(a + d)
(a + b + c + d) 2
b
d
4(b 2 + ab + cd + d 2 )
+
³
(2)
c+d a+b
(a + b + c + d) 2
a
b
c
d
4(a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ad + bc + ab + cd)
+
+
+
³
= 4B
b+c c+d d+a a +b
(a + b + c + d)2
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
MAI TR
1
,b
2
C
2B
Û 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd)
2
Û a + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd
Û (a – c)2 + (b – d)2
- [ x ] < ½ thì 0
- 2 [ x ] < 1 nên [ 2x ] = 2 [ x ] .
39. - N
- [ x ] < 1 thì 1
-N ½
40. Ta s
2
- 2[x] < 2 Þ 0
– (2 [ x ] + 1) < 1 Þ [ 2x ] = 2 [ x ] + 1
ên m, p sao cho :
96 000...00
1 24
4 3
97000...00
1 24
4 3
m chữ số 0
m chữ số 0
a
15p
k–1
k
+ m < 97 (1). G
às
m
10
10
1
a
15
a 15p
15
Þ
£ k + k <1
x n = k + k . Theo (2) ta có x1 < 1 và k < 1.
10 10 10
10 10
10
T
à 96
Cho n nh
n
[xn ] s
96
p
< 97 t
à 96
éx p ù
ë û
a 15p
+
< 97. B
10 k 10 k
42. a) Do hai v
ên ta có :
2
2
|A+B|
Û |A+B|
2
2
2
2
Û
A + B + 2AB
+ B + 2| AB | Û AB
D
b) Ta có : M = | x + 2 | + | x – 3 | = | x + 2 | + | 3 – x |
– x | = 5.
D
à ch
– x)
Û -2
(l
V
Û -2
c)
ình ã cho Û | 2x + 5 | + | x – 4 | = | x + 9 | = | 2x + 5 + 4 – x |
Û (2x + 5)(4 – x)
Û -5/2
x 2 - 4x - 5 = y ³ 0
2
– 3y – 2 = 0 Û (y – 2)(2y + 1) = 0.
45. Vô nghi
46.
47.
x là x
3- x = y
13
B = 3 – y2 + y = - (y – ½ )2 +
4
48. a) Xét a2 và b2. T
b)
é x £ -1
Û ê
ëx ³ 5
ình : x2 – 4x – 5
43.
Þ min A = 0 Û x = 0.
x +x
2
= 3 – x Þ x = 3 – y2.
13
13
11
. max B =
Û y=½ Û x=
.
4
4
4
5 - 13 + 4 3 = 5 - (2 3 + 1) = 4 - 2 3 = 3 - 1 . V
c) Ta có :
(
n + 2 - n +1
)(
)
n + 2 + n + 1 = 1 và
(
ày b
n+1 - n
)(
)
n + 1 + n = 1.
Mà n + 2 + n + 1 > n + 1 + n nên n+2 - n + 1 < n + 1 - n .
49. A = 1 - | 1 – 3x | + | 3x – 1 |2 = ( | 3x – 1| - ½ )2 + ắ
ắ.
T
ắ x = ẵ ho
51. M = 4
22
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
MAI TR
52. x = 1 ; y = 2 ; z = -3.
– 2 + 3 – 5x | = 1. min P = 1 Û
53. P = | 5x – 2 | + | 3 – 5x |
54. C
rình d
ìA ³ 0 (B ³ 0)
a) A = B Û í
ỵA = B
ìB ³ 0
ï
d) A = B Û í é A = B
ïêA = -B
ỵë
a)
ình v
b)
ình v
ình có d
c)
d)
e)
g, h, i)
k)
2
3
£x£ .
5
5
ình v
ình v
ình vơ nghi
x -1 = y
b)
ìB ³ 0
A = BÛ í
2
ỵA = B
ìA = 0
c) A + B = 0 Û í
ỵB = 0
ìA = 0
e) A + B = 0 Û í
.
ỵB = 0
A = B.
A = B.
A+ B=0 .
A = B.
ình v
– 2 | + | y – 3 | = 1 . Xét d
trái.
8x + 1 = u ³ 0 ; 3x - 5 = v ³ 0 ; 7x + 4 = z ³ 0 ; 2x - 2 = t ³ 0 .
l)
ìu + v = z + t
.T
í 2
u - v2 = z2 - t 2
ỵ
8x + 1 = 7x + 4 Û x = 3 .
à:
55. Cách 1 : Xét
x 2 + y 2 - 2 2(x - y) = x 2 + y 2 - 2 2(x - y) + 2 - 2xy = (x - y - 2)2 ³ 0 .
( x 2 + y2 ) ³ 8 Û (x2 + y2)2 – 8(x – y)2
x 2 + y2
³2 2Û
2
x-y
( x - y)
2
Cách 2 : Bi
Û (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2 – 2)
Û (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2) + 16
Û (x2 + y2 – 4)2
Cách 3 : S
x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2xy + 2xy (x - y) 2 + 2.1
2
1
=
=
= (x - y) +
³ 2 (x - y).
x-y
x-y
x-y
x-y
x-y
(x >
y).
6+ 2
6- 2
- 6+ 2
- 6- 2
;y=
ho x =
;y=
2
2
2
2
2
1 1 1
1
1 ö 1 1 1 2(c + b + a
ổ1 1 1ử
ổ 1
62. ỗ + + ữ = 2 + 2 + 2 + 2 ỗ
+ + ữ= 2 + 2 + 2 +
=
a
b c
b
c
abc
èa b cø
è ab bc ca ø a
1 1 1
= 2+ 2+ 2
a
b
c
ìéx £ 6
ì x 2 - 16x + 60 ³ 0
ì(x - 6)(x - 10) ³ 0
ï
63.
Ûí
Û í ê x ³ 10 Û x ³ 10 .
í
ë
ỵx ³ 6
ỵx - 6 ³ 0
ïx ³ 6
ỵ
D
23
x=
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
2
Bình ph
Nghi
MAI TR
– 16x + 60 < x2 – 12x + 36 Û x > 6.
ình ã cho : x
x2 - 3
2
64.
2
x - 3 .(1 -
2
– 3 (1)
éx2 - 3 = 0
Û ê
Û
ê1 - x 2 - 3 £ 0
ë
2
x -3)
éx = ± 3
ê
êx ³ 2
ê
ë x £ -2
V
ình : x = ± 3 ; x
-2.
2 2
2
2
2
2
2 2
65. Ta có x (x + 2y – 3) + (y – 2) = 1 Û (x + y ) – 4(x2 + y2) + 3 = - x2
2
– 4A + 3
Û (A – 1)(A – 3)
Û 1
min A = 1 Û
Û
3.
66. a) ½
b) B có ngh Û
ì
ï -4 £ x £ 4
ï
ïéx £ 4 - 2 2
1
Û - < x £ 4-2 2 .
íê
2
ïêx ³ 4 + 2 2
ë
ï
ïx > - 1
ỵ
2
2
ì x - 2x ³ 0
ìx(x - 2) ³ 0
éx ³ 2
ù
ớ
ớ 2
ờ
2
2
ởx < 0
ợx ạ x - 2x
ù x ¹ ± x - 2x
ỵ
ì
2
ï -4 £ x £ 4
ì16 - x ³ 0
ï
ï
Û í(x - 4)2 ³ 8 Û
í2x + 1 > 0
ï x 2 - 8x + 8 ³ 0
ï
1
ỵ
ïx > ỵ
2
67. a) A có ngh
b) A = 2 x 2 - 2x v
ên.
x 2 - 2x < 1 Û x2 – 2x < 1 Û (x – 1)2 < 2 Û - 2 < x – 1 < 2 Þ kq
0,999...99 = a. Ta s
ên c
a là các ch s
1 24
4 3
c) A < 2 Û
68.
20 chữ số 9
9. Mu
– a < 0 Þ a2 < a. T
a < 1. Th
2
< a < 1 suy ra a < a < 1.
V
0,999...99 = 0,999...99 .
1 24
4 3
1 24
4 3
20 chữ số 9
Þ a(a – 1) < 0 Þ a2
20 chữ số 9
69. a) Tìm giá tr l
A
2 + | y | + 1 = 6 + 2 Þ max A = 6 + 2 (khi ch
- 2, y = - 3)
b) Tìm giá tr
–b| |a|-|b.
A
- 2 | y | - 1 = 4 - 2 Þ min A = 4 - 2 (khi ch
2 2
2 2
2 2
70. Ta có : x4 + y4
y ; y4 + z4
z ; z4 + x4
x . Suy ra :
2 2
x4 + y4 + z4
y + y2z2 + z2x2 (1)
M
ì a2 + b2 + c2
àng ch
2 2
y + y2z2 + z2x2
24
1
3
1
.
3
(2).
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
T
MAI TR
1
3
Û x=y=z= ±
3
3
ì so sánh n + n + 2 và 2 n+1 ta so sánh
: min A =
71.
n + 2 - n + 1 và n + 1 - n . Ta có :
n + 2 - n +1 < n +1 - n Þ n + n + 2 < 2 n +1 .
72. Cách 1 : Vi
Cách 2 : Tính A2 r
73. Áp d
74. Ta ch
ành bình ph
– b) = a2 – b2.
a) Gi
là s
b), c) Gi
75. a) Gi
Û
15 =
3 + 5 = r Þ 3 + 2 15 + 5 = r2 Þ
r mà
r2 - 8
.V
2
3 + 5 là s
às
3 3 = 3 > 2 2 -1 Û 3 3 > 2 2 + 2
(3 3 ) > ( 2
2
2+2
)
2
Û 27 > 8 + 4 + 8 2 Û 15 > 8 2 Û 225 > 128 . V
b) Bình ph
ên r
76. Cách 1
4 + 7 - 4 - 7 , rõ ràng A > 0 và A2 = 2 Þ A =
2
4 + 7 - 4 - 7 - 2 Þ 2.B = 8 + 2 7 - 8 - 2 7 - 2 = 0 Þ B =
Cách 2
0.
77. Q =
78. Vi
(
)
(
)
2+ 3+ 4 + 2 2+ 3+ 4
2 + 3 + 2.3 + 2.4 + 2 4
=
= 1+ 2 .
2+ 3+ 4
2+ 3+ 4
40 = 2 2.5 ; 56 = 2 2.7 ; 140 = 2 5.7 . V
2+ 5+ 7.
x 1 - y 2 = 1 - y 1 - x 2 . Bình ph
79. T
y = 1- x2 . T
2
80. Xét A2
+ y2 = 1.
2 Û x = ± 1 ; max A = 2 Û x = 0.
2
81. Ta có : M =
(
a+ b
ày ta
) (
2
£
a+ b
) (
2
+
a- b
)
2
= 2a + 2b £ 2 .
ì a= b
1
ï
max M = 2 Û í
Ûa=b= .
2
ïa + b = 1
ỵ
82. Xét t
:
( 2a + b - 2 cd ) + ( 2c + d - 2 ab ) = ( a + b - 2 ab ) + ( c + d - 2 cd ) + a + c =
= (a + c) + ( a - b ) + ( c - d ) ³ a + c > 0 .
2
2
83. N = 4 6 + 8 3 + 4 2 + 18 = 12 + 8 3 + 4 + 4 6 + 4 2 + 2 =
=
(2
)
2
84. T x + y + z =
25
(
)
3+2 +2 2 2 3+2 +2 =
(2
xy + yz + zx Þ
3 +2+ 2
(
x- y
)
2
= 2 3 + 2 + 2.
) (
2
+
y- z
) (
2
+
z- x
)
2
= 0.
www.MATHVN.com
