Tài liệu ôn thi môn Toán THPT 2014

CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số
a. y =
3x 1
1 x
+
−
b. y = x³/3 + 3x² – 7x – 2 c. y = x
4
– 2x² + 3
d. y = –x
4
+ 3x² e. y =
1 x
x 2
−
+
f. y = –x³ + 12x
Bài 2: Chứng minh hàm số y =
2
9 x−
nghịch biến trên khoảng (0; 3) và đồng biến trên khoảng (–
3; 0).
Bài 3: Định m để hàm số
a. y = x³ – 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên R.
b. y = mx³ – (2m – 1)x² + (m – 2)x – 2 đồng biến trên R.
c. y = –mx³ + 3mx² – 3x nghịch biến trên R.
Bài 4. Định m để hàm số y = x³ – 3mx² + (m² – 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2.
Bài 5. Định m để hàm số y = x³ – 3x² + 3mx + 3m + 4 có cực đại và cực tiểu.
Bài 6. Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số y = x³ + 3x² + (m + 2)x.
a. Có cực đại và cực tiểu.

b. Có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của trục tung.
c. Có 2 điểm cực trị với hoành độ âm.
d. Đạt cực tiểu tại x = 2.
Bài 7. Chứng minh hàm số y =
1
3
x³ – mx² – (2m + 3)x + 9 luôn có cực trị với mọi giá trị của tham
số m.
Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số
a. y = 2x³ + 3x² – 1 trên đoạn [–1/2; 1]
b.
2
y x 5 4 x= − + −
.
c.
3
4
y 2sin x sin x
3
= −
trên đoạn [0; π]
d.
4
y x 1
x 2
= − + −
+
trên đoạn [–1; 2]
e. y =
ln x

x
trên đoạn [1; e²]
f. y =
2
cos 2x + 4sin x trên đoạn [0, π/2]
TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG (C): y = f(x)
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) = x³ – 2x + 2 có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết
a. Tiếp tuyến song song với (d): y = x + 1
b. Tiếp tuyến vuông góc với (d): y = –x + 1
GIẢI
a. Gọi M(x
o
; y
o
) là tiếp điểm. Tiếp tuyến song song với (d) nên có hệ số góc k = 1
<=> f’(x
o
) = 1 <=> 3
2
o
x
– 2 = 1 <=> x
o
= ±1
+ x
o
= 1 → y
o
= 1. Phương trình tiếp tuyến: y = x
+ x

o
= –1 → y
o
= 3. Phương trình tiếp tuyến: y = x + 4
b. Vì tiếp tuyến vuông góc với (d) nên tiếp tuyến có hệ số góc k = 1. Giải giống như câu a.
Ví dụ 2: Lập phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) = x³ – 3x + 2 biết rằng tiếp tuyến đi qua A(2;
–4)
Giải
Gọi (d) là đường thẳng qua A và có hệ số góc k
Phương trình (d): y = k(x – 2) – 4.
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
1
(d) là tiếp tuyến của (C) <=>
2
3
3x 3 k (1)
x 3x 2 k(x 2) 4 (2)

− =


− + = − −


có nghiệm
Từ (1) và (2) ta có x³ – 3x + 2 = (3x² – 3) (x – 2) – 4
<=> x³ – 3x² = 0 <=> x = 0 hoặc x = 3
+ Với x = 0 → k = –3. Phương trình tiếp tuyến là y = –3x + 2
+ Với x = 3 → k = 24. Phương trình tiếp tuyến là y = 24x – 52
Ví dụ 3: Cho đồ thị (C) có phương trình: y = f(x) = x

4
– x² + 1 và đồ thị (D) có phương trình y =
g(x) = x² + m. Tìm m để (C) và (D) tiếp xúc với nhau.
Giải.
(C) và (D) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình
3
4 2 2
4x 2x 2x (1)
x x 1 x m (2)

− =


− + = +


có nghiệm.
(1) <=> 4x³ – 4x = 0 <=> x = 0 hoặc x = ±1
Nếu x = 0 từ (2) ta có m = 1;
Nếu x = ±1 từ (2) ta có m = 0.
Ví dụ 4: Cho hàm số y = x³ – 3x² + 2 có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình x³ – 3x² – m = 0 (1)
Giải:
b. Phương trình (1) tương đương x³ – 3x² + 2 = m + 2
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m + 2
Dựa vào đồ thị ta thấy:
Nếu m < –2 hoặc m > 2: Phương trình có 1 nghiệm.
Nếu m = –2 hoặc m = 2: Phương trình có 2 nghiệm.
Nếu –2 < m < 2: Phương trình có 3 nghiệm.

CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho hàm số: y = x³ – 3x + 2, có đồ thị là (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(0; 2).
Bài 2: Cho hàm số: y = –x³ + 3x² – 4, có đồ thị là (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = –9x + 2014
c. Dùng đồ thị (C) biện luận theo
m
số nghiệm của phương trình: x³ – 3x² + m = 0
Bài 3: Cho hàm số: y = x³ + 3x² – 2, có đồ thị là (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ x
o
= –3
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng d: y = 2
Bài 4: Cho hàm số: y = x³ + 3x², có đồ thị là (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm điều kiện của m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: x³ + 3x² – 2 – m = 0.
c. Tìm điểm thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại điểm này có hệ số góc nhỏ nhất.
Bài 5: Cho hàm số: y = 4x³ – 3x – 1, có đồ thị là (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm I(–1; 0) và có hệ số góc k = 1. Viết phương trình của d.
c. Tìm tọa độ giao điểm của d và đồ thị (C).
d. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và d.
Bài 6: Cho hàm số y = 2x³ – 3(m + 1)x² + 6mx – 2m
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
2
b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và hai đường thẳng: x = 1, x = 2

Bài 7: Cho hàm số y = x³ – mx² + m – 1, với m là tham số thực.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng d: y = x/3 – 1
c. Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2.
Bài 8: Cho hàm số y = –x³ + 3x² – 2, có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b. Viết phương trình tiếp tuyến Δ với (C) tại điểm A(0; –2)
c. Gọi d là đường thẳng qua K(1, 0) có hệ số góc m. Tìm giá trị m để đường thẳng d cắt (C) tại 3
điểm phân biệt.
Bài 9: Cho hàm số: y = 2x³ – 3x² – 1, có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm tọa độ giao điểm của (C) và đường thẳng d: y = x – 1
c. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2x³ – 3x² – m = 0
Bài 10: Cho hàm số y =
1
3
x³ – x²
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi (C) của hàm số.
b. Chứng minh rằng đường thẳng d: y =
1
3
x – 1 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, B trong đó
M là trung điểm của đoạn AB. Tính diện tích của tam giác OAB.
Bài 11: Cho hàm số y =
2x 1
x 1
+
−
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b. Tìm m để (C) cắt đường thẳng (d): y = m(x + 1) + 3 tại 2 điểm phân biệt A, B nhận I(–1; 3) làm

trung điểm AB.
Bài 12: Cho hàm số y =
3x 3
x 2
+
−
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) và trục tung.
c. Tìm tất cả các điểm trên (C) có tọa độ nguyên.
Bài 13: Cho hàm số y =
2x 1
x 2
−
−
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luôn cắt (C) tại hai điểm phân
biệt.
Bài 14: Cho hàm số y =
2x 1
x 1
+
−
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) và trục Ox.
c. Tìm m để đường thẳng d: y = –x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Bài 15: Cho hàm số y =
x 1
x 1
− +
+

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b. Tìm điểm M trên Ox mà tiếp tuyến đi qua M song song với đường thẳng (D): y = –2x
Bài 16: Cho hàm số
2x
y
x 1
−
=
+
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Tìm m để đường thẳng d: y = mx + 2 cắt cả hai nhánh của đồ thị (H).
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
3
Bài 17: Cho hàm số
2x 3
y
1 x
−
=
−
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và haiờng thẳng x = 2; x = 4.
c. Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng: y = –x + 3 và tiếp xúc với đồ thị
(C).
Bài 18: Cho hàm số y = x
4
– 2x²
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Định m để phương trình: x
4

– 2x² + log m – 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 19: Cho hàm số
4 2
1 3
y x 3x
2 2
= − +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ x
o
= 2.
c. Tìm điều kiện của m để phương trình sau có 4 nghiệm: x
4
– 6x² + 1 + m = 0
Bài 20: Cho hàm số y = x²(m – x²)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 4.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x
o
= –1.
Bài 21: Cho hàm số: y = (1 – x²)² – 6, có đồ thị (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: m – x
4
+ 2x² = 0
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết nó song song với đường thẳng d: y = 24x + 10
Bài 22: Cho hàm số y = –x
4
+ 2x² + 3 có đồ thị (C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Tìm m để phương trình x

4
– 2x² + m = 0 (*) có bốn nghiệm phân biệt.
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRINH MŨ VÀ LOGARIT
Các công thức cần nhớ: 0 < a ≠ 1
a
0
= 1
m
n
n m
n
n
1
a a a
a
−
= =
Tính chất của lũy thừa: 0 < a ≠ 1
a
m
.a
n
= a
m+n
; (a
m
)
n
= a
m.n

;
n
n
n
a a
( )
b
b
=
m
m n
n
a
a
a
−
=
; (ab)ⁿ = aⁿ.bⁿ
* Quy tắc so sánh:
Với a > 1 thì a
m
> a
n
<=> m > n
Với 0 < a < 1 thì a
m
> a
n
<=> m < n
* Căn bậc n

n n n
a.b a. b=
;
n
n
n
a a
b
b
=
m
n
m
n
a a=
m
n mn
a a=
* Lôgarit: cho a, b > 0 và a ≠ 1: log
a
b = α <=> a
α
= b
* Tính chất logarit: log
a
1 = 0 log
a
a = 1 log
a
a

α
= α
a
log b
a b=
* Quy tắc so sánh
Nếu a > 1 thì log
a
b > log
a
c <=> b > c
Nếu 0 < a < 1 thì log
a
b > log
a
c <=> b < c
log
a
b = log
a
c <=> b = c
* Quy tắc tính:
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
4
log
a
(bc) = log
a
b + log
a

c
a a a
b
log log b log c
c
= −
log
a
b
α
= αlog
a
b
* Công thức đổi cơ số:
α
a
a
1
log b log b
α
=
a
b
1
log b
log a
=
a
b
a

log c
log c
log b
=
hay log
a
b log
b
c = log
a
c
Chú ý: Lôgarit thập phân (có cơ số 10) kí hiệu là log x hoặc lg x
Lôgarit cơ số e kí hiệu là: ln x
CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH
Bài 1. Tìm tập xác định các hàm số
a.
2
ln( x 5x 6)
y e
− + +
=
b. y = log (x² + 3x + 2) c.
2
3
y log
10 x
=
−
d. y = log
3

(2 – x)² e.
5
2x 3
y
log (x 2)
−
=
−
Bài 2. Chứng minh hàm số sau thỏa hệ thức
a. y = (x + 1)e
x
thỏa y′ – y = e
x
.
b.
1
y ln
x 1
=
+
thỏa xy′ + 1 = e
y
.
c. y = e
4x
+ 2e
–x
thỏa y‴ – 13y′ – 12y = 0
Bài 3. Giải các phương trình
a)

x 4
3
2 4
−
=
b)
2
5
x 6x
2
2 16 2
− −
=
c)
2
2x 3 x 3x 5
3 9
− + −
=
d)
2
x x 8 1 3x
2 4
− + −
=
e) 5
2x+1
– 3.5
2x–1
= 110 f)

x 5 x 17
x 7 x 3
1
32 .128
4
+ +
− −
=
g) 2
x
+ 2
x–1
+ 2
x–2
= 3
x
– 3
x–1
+ 3
x–2
. h)
x x
2 9 27
( ) .( )
3 8 64
=
k)
x 1 x x x 1
3 6 .2 .3
− − +

=
i)
x 1
x 1
x 1
( 5 2) ( 5 2)
−
−
+
+ = −
Bài 4. Giải các phương trình sau:
a) 2
2x+6
+ 2
x+7
= 17. b) 3
2x+1
– 9.3
x
+ 6 = 0.
c) 7
x
+ 2.7
1–x
– 9 = 0. d) 2
2x+2
– 9.2
x
+ 2 = 0.
e) 9

2x+4
– 4.3
2x+5
+ 27 = 0 f) 5
2x+4
– 110.5
x+1
– 75 = 0
g)
x x 1
5 2 8
2 0
2 5 5
+
   
− + =
 ÷  ÷
   
h)
x 3 x
5 5 20
−
− =
i)
x x
(4 15) (4 15) 2− + + =
j)
x x
( 5 2 6 ) ( 5 2 6 ) 10+ + − =
k)

x x x
12.9 35.6 18.4 0− + =
l)
x x x x x
(3 2 )(3 3.2 ) 8.6+ + =
Bài 5. Cho hàm số
2x 1 x 1
1
y e e
2
+ +
= −
. Giải phương trình: y′ – 2e = 0
Bài 6. Giải các phương trình
a) log
2
x + log
2
(x + 1) = 1 b) log
2
(3 – x) + log
2
(1 – x) = 3
c) log(x + 1) – log(1 – x) = log(2x + 3) d) log
4
(x + 2) – log
4
(x – 2) = 2log
4
6

e) log
4
x + log
2
x + 2log
16
x = 5 f)
3
log (x 2)−
log
5
x = 2log
3
(x – 2)
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
5
g) 2log
3
x = 2log
9
(4x + 5) + 1.
Bài 7. Giải các phương trình sau:
a)
2
2 4
log x 6log x 4+ =
b) log
3
(3
x

– 1) log
3
(3
x+1
– 3) = 12.
c)
2 2 3
2 2
log (x 1) log (x 1) 7− + − =
d)
x 2 x 2
2 2
log (9 7) 2 log (3 1)
− −
+ − = +
e)
1 2
1
4 ln x 2 ln x
+ =
− +
f)
2
2 1/2
2
log x 3log x log x 2+ + =
g)
3 3
3 log x log 3x 1− =
h) log

3
(3
x
– 8) = 2 – x
k) log
3
(4.3
x
– 1) = 2x + 1 m) log
3
[5 + 4log
3
(x – 1)] = 2.
Bài 8. Cho hàm số y = ln² x (x > 0). Giải phương trình: y – xy′ – 3 = 0
Bài 9. Giải các bất phương trình sau
a)
2x 3 x 7 3x 1
6 2 .3
+ + −
<
b)
2x 5
1
( ) 9
3
+
<
c)
2
4x 15x 4 3x 5

1
2( ) 2
2
− + +
>
d)
2
x x 6
1
( ) 1
4
− −
>
Bài 10. Giải các bất phương trình sau:
a) 5
2x
+ 2 ≥ 3.5
x
. b) 5
2x–3
– 2.5
x–2
> 3
c) 2
2x+6
+ 2
x+7
> 17 d) 5.4
x
+ 2.25

x
≤ 7.10
x
.
e) 2.16
x
– 2
4x
– 4
2x–2
> 15 f) 4
x+1
– 16
x
< 2log
4
8.
g) 3
x
– 3
2–x
+ 8 > 0 h) 5
x
– 3
x+1
> 2.5
x–1
– 2.3
x–2
.

i)
1 1
1 2
x x
4 2 3
− −
≥ +
Bài 11. Giải các bất phương trình sau:
a. log
4
(x + 7) > log
4
(1 – x) b. log
2
(x² – 4x – 5) ≤ 4.
c. log
2
(x + 5) < log
2
(3 – 2x) – 4 d.
1 3
2
log (log x)
≤ 0
e. 3log
8
(x – 2)² – log
8
(x – 3)³ – 2 > 0 f.
1

3
2 3x
log
x
−
≥ –1
Bài 12. Giải các bất phương trình sau:
a)
2
1 1
3 3
log x 3log x 0+ >
b)
1 1
1
1 log x log x
+ >
−
c)
2
2 2
log x log 4x 4+ −
≥ 0 d)
2
log x 3log x 3
1
log x 1
− +
<
−

e) log
5
(5
x
– 4) > 1 – x. f)
x 2 x
1
3
log (2 4 )
+
−
≥ –2
CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
I. Nguyên hàm:
Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x)
x K∀ ∈
Kí hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C. (C là hằng số)
Tính chất 1: ∫f′(x) dx = f(x) + C
Tính chất 2: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx (k ≠ 0)
Tính chất 3: ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx
Nguyên hàm của những hàm số thường gặp
∫dx = x + C ∫adx = ax + C.
∫x
α
dx =
α 1
x
α 1
+
+

(α ≠ –1)
( )
α 1
α
1 (ax b)
(ax b) dx Cα 1,a 0
aα 1
+
+
+ = + ≠ − ≠
+
∫
dx
ln x C
x
= +
∫
dx 1
ln ax b C
ax b a
= + +
+
∫
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
6
∫e
x
dx = e
x
+ C ∫e

ax+b
dx =
ax b
1
e C
a
+
+
x
x
a
a dx C
ln a
= +
∫
bx c
bx c
1 a
a dx C
b ln a
+
+
= +
∫
∫sin x dx = –cos x + C ∫sin (ax + b) dx =
1
cos(ax b) C
a
− + +
∫cos x dx = sin x + C ∫cos (ax + b) dx = +

1
sin(ax b) C
a
+ +
2
dx
tan x C
cos x
= +
∫
2
dx 1
tan(ax b) C
a
cos (ax b)
= + +
+
∫
2
dx
cot x C
sin x
= − +
∫
2
dx 1
cot(ax b) C
a
sin (ax b)
= − + +

+
∫
Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số:
Định lý: Nếu ∫f(u)du = F(u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:
∫f[u(x)]u′(x)dx = F[u(x)] + C
Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.
Định lý: ∫udv = uv – ∫vdu
Bài Tập
Bài 1: Chứng minh rằng hàm số F(x) = e
x
(x² + 1) là nguyên hàm của hàm số f(x) = e
x
(x + 1)².
Bài 2: Chứng minh rằng hàm số F(x) = xln x – x + 3 là nguyên hàm của hàm số f(x) = ln x.
Bài 3: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (2 – 3tan x) cos x.
Bài 4: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
2
1 2x
f (x)
x
+
=
thỏa mãn điều kiện F(–1) = 3.
Bài 5: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = cos x – 3sin x thỏa mãn điều kiện F(π) = 0.
Bài 6: Tính
a.
2
2
x(x ) dx
x

+
∫
; b. ∫(3 + 2sin x)cos x dx; c.
2x
x
1
e (3 )dx
e
−
∫
d.
2
cos x sin 2x
dx
cos x
−
∫
Bài 7: Tính
a. ∫cos x sin³ x dx b.
cos xdx
3sin x 5+
∫
; c.
3
sin xdx
cos x
∫
d.
3sin x
e cos xdx

∫
e.
2
2 tan x 1
dx
cos x
+
∫
f.
4
2
(cot x 1)
dx
sin x
+
∫
g.
x
x
e dx
e 3+
∫
; h.
dx
x ln x
∫
;
i.
4
ln x

dx
x
∫
j.
3
(ln x 2)
dx
x
+
∫
k.
x 2x 1dx+
∫
l.
2
xdx
x 3+
∫
Bài 8: Tính
a. ∫2x cos x dx; b. ∫(x + 3)e
x
dx; c. ∫(4x + 1)sin x dx d. ∫3x² ln x dx;
e. ∫(x² + 2x)ln x dx f. ∫ln(x + 1)dx; g. ∫(1 + e
x
)xdx
TÍCH PHÂN
Định nghĩa:
b
b
a

a
f (x)dx [F(x)] F(b) F(a)= = −
∫
Tính chất:
i.
b a
a b
f (x)dx f (x)dx= −
∫ ∫
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
7
ii.
b b
a a
kf (x)dx k f (x)dx=
∫ ∫
(k ≠ 0).
iii.
b b b
a a a
[f (x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx.+ = +
∫ ∫ ∫
iv.
b c b
a a c
f (x)dx f(x)dx f(x)dx= +
∫ ∫ ∫
Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
Công thức tổng quát:
β

b
α a
f[u(x)]u '(x)dx f (t)dt=
∫ ∫
Tính tích phân bằng phương pháp từng phần.
Công thức tổng quát:
b b
a a
b
udv (uv) vdu
a
= −
∫ ∫
Bài 1: Tính các tích phân sau:
0
π
(cos x sin x)dx
−
−
∫
0
2x
x
1
1
(e )dx
e
−
−
∫

1
2
0
2x(2 x) dx−
∫
2
2 2
1
(1 2x )
dx
x
−
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau:
a.
π
6
0
cos xdx
2sin x 1+
∫
; b.
π
2
π
3
6cos x 1sin xdx+
∫
; c.
e

2
1
dx
x(ln x 1)+
∫
d.
e
4
1
ln xdx
x
∫
e.
1
0
3x 1dx+
∫
; f.
19
3
2
0
xdx
x 8+
∫
; g.
π
tan x
4
2

0
e dx
cos x
∫
; h.
π
2
4
0
(2sin x 1)cos xdx+
∫
i.
π
3
0
(1 cos x)sin xdx−
∫
j.
e
2
1
1 ln x
dx
x
+
∫
Bài 3: Tính các tích phân sau
a.
π
2

3
0
(4sin x cos x 1)dx+
∫
b.
π
2
0
sin x
( 2x)dx
1 cos x
−
+
∫
; c.
2
0
(x 4x 1)dx− +
∫
d.
e
1
3ln x 1
( 1)dx
x
+
−
∫
e.
2

2
0
( 2x 1 3x)xdx+ −
∫
f.
e
3
1
x ln x
dx
x
+
∫
g.
π
2
2
0
(4sin x cos x 1)sin xdx+
∫
h.
π
4
3
3
0
2cos x sin x
dx
cos x
+

∫
Bài 4: Tính các tích phân sau
a.
5
0
x x 4dx+
∫
b.
π
2
0
sin x cos xdx
1 cos x+
∫
c.
e
1
ln xdx
(ln x 3)x+
∫
d.
π
2
0
sin x cos xdx
3sin x 1+
∫
Bài 5: Tính các tích phân sau:
a.
π

0
2x sin xdx
∫
; b.
0
π
(1 x)cos xdx
−
−
∫
c.
1
x
0
(4x 1)e dx+
∫
d.
e
3
1
2x ln xdx
∫
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
8
e.
2
1
(2x 1)ln xdx+
∫
f.

2
2
1
(x 2x)ln xdx+
∫
Bài 6: Tính các tích phân sau:
a.
0
x
1
(1 e )xdx
−
−
∫
b.
e
1
(1 ln x)dx+
∫
c.
π
0
x(2 cosx)dx+
∫
d.
π
0
x(sin x 2x)dx−
∫
e.

π
0
x(2sin x cos x)dx+
∫
f.
π
x
0
x(e sin x)dx−
∫
Bài 7: Tính các tích phân sau:
a.
e
1
(1 x ln x)dx+
∫
b.
1
x
0
(xe 3)dx+
∫
c.
π
0
(x cos x 2)dx−
∫
d.
π
0

(x sin x cos x)dx−
∫
Bài 8: Tính các tích phân sau:
a.
e
2
1
x ln x 1
dx
x
+
∫
; b.
e
1
x(x ln x 2)dx+
∫
c.
1
x
x
0
2
e (x )dx
e
+
∫
d.
π
3

0
cos x(x tan x)dx−
∫
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = f(x); y = g(x); x = a; x = b (a < b) (trong đó
hai đường thẳng x = a; x = b có thể thiếu một hoặc cả hai)
Công thức: S =
b
a
f (x) g(x) dx−
∫
Các bước thực hiện
Nếu đề bài không cho a và b thì nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất của phương trình f(x) = g(x)
tương ứng là a và b.
Nếu đề bài đã cho đủ cả a và b thì khi giải phương trình f(x) = g(x) ta chỉ nhận những nghiệm thuộc
(a; b) nếu có. Những nghiệm không thuộc đoạn [a; b] phải loại bỏ.
Nếu đề bài cho 3 đồ thị hàm số: y = f(x); y = g(x); y = h(x) cần vẽ đồ thị và phân tích diện tích hình
cần tìm thành tổng hoặc hiệu của các hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị đã biết.
Thể tích của khối tròn xoay.
Công thức: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = f(x); Ox; x = a; x = b (trong đó hai đường x = a và
x = b có thể thiếu một hoặc cả hai). Quay hình phẳng này xung quanh trục Ox. Khi đó thể tích của
khối tròn xoay được sinh ra là:
b
2
a
Vπ [f (x)] dx=
∫
Nếu đã cho đầy đủ cả a và b thì không cần giải phương trình f(x) = 0.
Nếu để bài không cho a và b thì giải phương trình f(x) = 0 để tìm. Phương trình này có thể có nhiều
hơn hai nghiệm. Trong trường hợp này nghiệm nhỏ nhất là a, nghiệm lớn nhất là b, các nghiệm còn

lại không cần chèn vào trong quá trình tính tích phân.
Bài 1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = e
x
và các đường thẳng Ox, Oy, x = 2.
Bài 2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x³ – 3x + 1 và (d): y = 2.
Bài 3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x
4
– x² và Ox.
Bài 4. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = e
x
và các đường thẳng y = e, Oy.
Bài 5. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = e
x
– 1 và Ox, x = 2.
Bài 6. Cho đường cong (C): y = x³ – x. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục
hoành.
Bài 7. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = e
x
– e
–x
và Ox, x = 1.
Bài 8. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = ln x và Ox, x = e.
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
9
Bài 9. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = ln x, (d): y = 1 và x = 1.
Bài 10. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C):
y x x;Ox;x 4= =
.
Bài 11. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau: y = 1 – e
x

, Ox, x = 1. Tính thể tích của khối
tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox.
Bài 12. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau: y = e
–x
; Ox; x = –1; Oy. Tính thể tích của
khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox.
Bài 13. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau:
1
y 1 ;Ox;x 2
x
= − =
. Tính thể tích của khối
tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox.
Bài 14. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau: y = e
x
– e
–x
; Ox, x = 1. Tính thể tích của
khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox.
Bài 15. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau:
2
y ;Ox;Oy;x 1
3x 4
= =
+
. Tính thể tích của
khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox.
CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC
1. Số phức.
Số phức z = a + bi, trong đó a, b là hai số thực, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i² = –1.

Số phức bằng nhau: a + bi = c + di <=>
a c
b d
=


=

Modul của số phức:
2 2
z a bi a b= + = +
.
Số phức liên hợp của z = a + bi là
z a bi a bi= + = −
2. Cộng, trừ và nhân số phức
Cộng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Trừ: (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.
Nhân: (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i.
3. Chia số phức
2 2
a bi (a bi)(c di)
c di
c d
+ + −
=
+
+
4. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Căn bậc hai của số thực a < 0 là
i a±

.
Xét phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 và biệt thức Δ = b² – 4ac
Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép
b
x
2a
= −
Nếu Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm thực
1,2
bΔ
x
2a
− ±
=
Nếu Δ < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phức
1,2
b iΔ
x
2a
− ±
=
CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH
Dạng 1: Tính biểu thức số phức, tìm số phức, tính modun.
Dạng 2: Giải phương trình bậc nhất với hệ số phức
Dạng 3: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực
Dạng 4: Tìm số phức biết tổng và tích
Dạng 5: Tìm tập hợp điểm thỏa điều kiện cho trước.
Bài 1: Tính
a. (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) b. (1 + i)² – (1 – i)²
c. (2 + i)³ – (3 – i)³ d. (2 – 3i) (6 + 4i)

Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
10
e.
2
2
(1 i) 1 i
1 i
(1 i)
+ +
+
−
−
f.
3 i
(1 2i)(1 i)
+
− +
g)
2 2
2 2
(1 i) (1 i)
(1 i) (2 i)
+ − −
+ − +
h)
3 i 2 i
1 i i
− −
−
+

Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của số phức z.
a) z = 2 + 3i + (1 – 2i)²
b) z = 2 + 3i + (4 – 2i)(1 – 3i)
c)
i
z 1 2i
3 i
= + +
+
Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a)
2 i 1 3i
z
1 i 2 i
+ − +
=
− +
b)
( ) ( ) ( )
5 7i 3z 2 5i 1 3i− + = − +
c) 5 – 2iz = (3 + 4i)(1 – i) d) (3 + 4i)z = (1 + 2i)(4 + i)
e) (1 + i)z + (2 – i)(1 + 3i) = 2 + 3i. f) 2iz + 4 – 3i = 5 – 6i
g) (4 + i)z – (3 + 3i) = (4 – 2i)z.
Bài 4: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a. z² – 2z + 5 = 0 b. 3z² – z + 2 = 0
c)
2
z 3.z 1 0− + =
d) z² – 3z + 5 = 0
e) z³ – 8 = 0 f) z³ + 1 = 0

g) z
4
– 2z² – 8 = 0 h) z
4
+ 2z² – 3 = 0
Bài 5: Tìm số phức z, biết
z 2 5=
và phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó.
Bài 6: Tìm hai số phức, biết:
a) Tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4
b) Tổng của chúng bằng 6 và tích của chúng bằng 16
Bài 7: Tìm hai số thực x, y biết:
a. (3x – 2) + (2y + 1)i = (x + 1) – (y – 5)i
b. (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y +2x + 1)i
c. x(1 + 2i) + y(2 – i) = 2x + y +2yi + ix
Bài 8: Trong mp phức, hãy tìm tập hợp điểm biễu diễn các số phức thỏa mãn hệ thức sau:
a) |z + i| = 2 b) |z + i| = |z + 2| c) Phần thực của z bằng 2.
PHẦN HÌNH HỌC
CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN
1. Khối lập phương:
V = a³, với a là cạnh của hình lập phương.
2. Khối hộp chữ nhật:
V = abc, với a, b, c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.
Đường chéo hình hộp chữ nhật cạnh a, b, c có độ dài d =
2 2 2
a b c+ +
3. Khối lăng trụ:
V = B.h, với B là diện tích đáy và h là chiều cao của lăng trụ.
4. Khối chóp:
1

V B.h
3
=
, với B là diện tích đáy và h là chiều cao của hình chóp.
Khối lăng trụ đứng hoặc khối lăng trụ đều: chiều cao bằng cạnh bên
Lăng trụ đều là lăng trụ đứng và có đáy là đa giác đều.
Chiều cao h của khối chóp là khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy.
Khối chóp đều: h là đoạn thẳng nối đỉnh với tâm mặt đáy.
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
11
Hình chóp đều là hình hóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau, hình chiếu của đỉnh lên
mặt đáy trùng với tâm mặt đáy
CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH:
1. Tính thể tích khối đa diện:
+ Dùng công thức trực tiếp.
+ Dùng công thức tỉ số thể tích của khối chóp tam giác.
2. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.
Nhằm phục vụ cho bài toán tính thể tích.
3. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
+ Xác định và tính.
+ Có thể suy ra từ việc tính thể tích của một khối chóp tam giác có liên quan
BÀI TẬP KHỐI CHÓP
Bài 1: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
30°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 2: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD biết AB = a và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng α.
Tính thể tích khối chóp.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 4: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA là đường cao, góc giữa SC
với mặt phẳng đáy bằng 45°.

a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm SC, SD. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
Bài 5: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và thể tích bằng
3
a 3
6
. Tính độ dài
cạnh bên của hình chóp.
Bài 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích bằng
3
3a
8
, các mặt bên tạo với đáy (ABC)
một góc 60°. Tính độ dài cạnh đáy AB.
Bài 7: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông ogsc với mặt phẳng
(ABC), SA = AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60°.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
b) Gọi H là hình chiếu của A lên SC’. Tính thể tích khối chóp S.ABH.
Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với (ABC),
SA = a
6
, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60°. Gọi H là hình chiếu vuông góc của
A lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC theo a.
Bài 9: (TN 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc BAC là 120°. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Bài 10: (TN 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa mp (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 60°. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD theo a.
Bài 11: (TN 2011) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D với AD = CD =
a, AB = 3a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với đáy một góc 45°. Tính thể

tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 12: (TN 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30°. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD theo a.
BÀI TẬP KHỐI LĂNG TRỤ
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
12
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a và AA’
= 3a. Tính thể tích của lăng trụ đã cho.
Bài 2: Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = a, góc C =
60°. Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mp (AA’C’C) một góc 30°.
a) Tính độ dài đoạn AC’.
b) Tính thể tích của khối lăng trụ.
Bài 3: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng 2a và cạnh đáy bằng a.
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh BB’ và CC’. Tính thể tích khối chóp A.MNCB.
Bài 4: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a
a) Tính thể tích của khối lăng trụ trên
b) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C
Bài 5: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB’ = a, chân đường
vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC.
a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
b) Tính thể tích của khối lăng trụ.
c) Chứng minh mặt bên AA’C’C là hình chữ nhật.
Bài 6: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a. Cạnh bên của
lăng trụ tạo với mp đáy một góc 60°. Đỉnh A’ cách đều ba đỉnh A, B, C.
a) Chứng minh mặt bên AA’C’C là hình chữ nhật.
b) Tính thể tích của khối lăng trụ.
Bài 7: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại B và BA = BC = a.
Góc giữa đường thẳng A’B và mp (ABC) bằng 60°. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.

CHƯƠNG II: KHỐI TRÒN XOAY
1. Khối nón:
S
xq
= πrℓ, với r là bán kính đáy và ℓ là độ dài đường sinh.
S
đ
= πr².
V =
1
3
πr²h, với h là chiều cao.
2. Khối trụ:
S
xq
= 2πrh, với r là bán kính đáy và h là độ dài đường sinh cũng là đường cao.
S
đ
= πr².
V = πr²h, với h là chiều cao.
3. Khối cầu:
S = 4πr², với r là bán kính.
V =
4
3
πr³, với r là bán kính.
CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH:
1. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của khối nón, khối trụ, khối cầu.
2. Tính diện tích thiết diện của khối tròn xoay tạo bởi một mặt phẳng:
+ Thiết diện của hình nón tạo bởi mặt phẳng chứa trục là tam giác cân.

+ Thiết diện của hình trụ tạo bởi mặt phẳng song song hoặc chứa trục là hình chữ nhật.
+ Thiết diện của hình nón hoặc hình trụ tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục là hình tròn.
+ Thiết diện của hình cầu S(I; r) tạo bởi mặt phẳng (P) là hình tròn (C) có tâm H là hình chiếu
vuông góc của I lên (P) và có bán kính là
2 2
r ' r h= −
(với h = IH)
3. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
Xác định một điểm I thỏa điều kiện cách đều các đỉnh của hình chóp thì I là tâm mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp cần tìm.
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
13
+ Xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (là đường thẳng vuông góc mặt đáy tại tâm
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy) chẳng hạn là (d)
+ Vẽ mặt phẳng trung trực của một cạnh bên chẳng hạn (P)
+ Giao điểm của (P) và (d) là tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
BÀI TẬP MẶT NÓN
Bài 1: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
Bài 2: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
Bài 3: Một hình nón có đường sinh bằng b và thiết diện qua trục là tam giác vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
Bài 4: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng 120°.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
Bài 5: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng 2πa². Tính

thể tích của hình nón.
Bài 6: Cho hình nón đỉnh S có chiều cao bằng a. Thiết diện qua đỉnh của hình nón hợp với đáy một
góc 30° có diện tích bằng 4a². Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón đó.
Bài 7: Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng 2a. Một thiết diện qua đỉnh của hình nón cách tâm
của đường tròn đáy một khoảng bằng a/2 và cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng
2a.Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón đó.
Bài 8: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh
huyền bằng
a 2
.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa
đáy hình nón một góc 60°. Tính diện tích của ΔSBC.
Bài 9:
a. Một khối nón đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh bằng 2πa (đvdt). Tính thể tích khối
nón đã cho.
b. Một khối nón có góc ở đỉnh bằng 60° và diện tích đáy bằng 9π (đvdt). Tính thể tích khối nón đã
cho.
Bài 10: Cắt một hình nón có đỉnh S bởi mặt phẳng (P) đi qua trục của hình nón ta được thiết diện là
tam giác SAB vuông cân tại S và có cạnh huyền AB = a
2
(với A, B thuộc đường tròn đáy).
a) Tính diện tích xung quanh hình nón và thể tích khối nón tương ứng theo a.
b) Mặt phẳng (Q) đi qua S và cắt đường tròn đáy của hình nón tại điểm B, C và tạo với mặt phẳng
chứa đáy hình nón một góc 60°. Tính độ dài dây BC theo a.
Bài 11: Một khối chóp đều S.ABC có cạnh đáy là a và cạnh bên bằng 2a. Gọi (O) là đường tròn
ngoại tiếp ΔABC. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh S, đáy là hình tròn
(O) theo a.
BÀI TẬP KHỐI TRỤ

Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
14
Bài 2: Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính R, chiều cao hình trụ là
R
2
.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
Bài 3: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích của thiết
diện được tạo nên
Bài 4: Một hình trụ có bán kính đáy r và chiều cao h = r
3
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và
trục của hình trụ bằng 30°. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ
Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và có chiều cao h = 50cm
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c) Một đoạn thẳng có chiều dài 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng
cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ
Bài 6: Một hình nón có bán kính đáy R và thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón tương ứng.
b) Tính bán kính đáy của hình trụ nội tiếp trong hình nón ấy, biết rằng thiết diện qua trục của hình

trụ là hình vuông.
Bài 7: Một hình trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao h = r
3
a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích khối trụ tạo bởi hình trụ đã cho theo r
b. Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy của hình trụ sao cho góc giữa đường
thẳng AB và trục của hình trụ bằng 30°. Tính khoảng cách giữa thẳng AB và trục của hình trụ theo
r.
BÀI TẬP MẶT CẦU
Bài 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. SA = 2a và vuông góc
với mặt phẳng (ABCD).
a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S.
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD) và SA = a.
a. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a.
b. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với (ABC), SA =
AB = 3a, BC = 4a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với đáy, SA = AB
= AC = a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy, SA = AB =
a, BC = 2a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 6: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.
a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
b) Tính diện tích mặt cầu, thể tích của khối cầu đó.
Bài 7: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và DA vuông góc với mặt phẳng (ABC), ΔABC vuông tại B
và AB = 3a, BC = 4a.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD.
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
15
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu nêu trên.

Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Xác định mặt cầu (S) đi qua 5 điểm A, B, C, D, S.
b) Tính bán kính, diện tích và thể tích của (S)
Bài 9: Cho tứ diện đều cạnh bằng a.
a) Tính thể tích khối tứ diện đã cho.
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O, cạnh bằng a. Cạnh
bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 45°.
a. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABCD.
b. Chứng tỏ điểm O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SD = a, góc BAD =
120°.
a) Tính thể tích khối chóp đã cho.
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABD.
Bài 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC = 60°, BC = a, SB
vuông góc với đáy và SB = a
2
a. Tính thể tích S.ABC theo a.
b. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B lên SA và SC. Chứng minh rằng các điểm A, B, C, E, F
cùng thuộc một mặt cầu. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó theo a.
Bài 13: Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA = x và tất cả các cạnh còn lại bằng a.
a. Khi x = a, tính thể tích khối chóp đã cho theo a. Xác định tâm và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.ABCD theo a.
b) Khi x ≠ a. Tính thể tích khối chóp đã cho theo a và x.
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
a)
u (x;y;z) u xi yj zk= ⇔ = + +
r r r
r r
2 2 2

i j k 1= = =
r r r
;
i.j j.k k.i 0= = =
rr r r rr
i
r
= (1; 0; 0),
j
r
= (0; 1; 0),
k
r
= (0; 0; 1)
M(x;y;z) OM xi yj zk⇔ = + +
uuuur
r r r
b) Cho
( )
1 2 3
a a ,a ,a=
r
,
( )
1 2 3
b b , b ,b=
r
1 1 2 2 3 3
a b (a b ,a b ,a b )± = ± ± ±
r r

1 2 3
k.a (ka ,ka ,ka )=
r
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=


= ⇔ =


=

r r
c) Cho A(x
A
; y
A
; z
A
), B(x
B
; y
B
; z
B

)
B A B A B A
AB (x x ; y y ;z z )= − − −
uuur
2 2 2
B A B A B A
AB (x x ) (y y ) (z z )= − + − + −
+ Tọa độ M là trung điểm đoạn thẳng AB:
A B A B A B
x x y y z z
M( ; ; )
2 2 2
+ + +
+ Tọa độ G là trọng tâm tam giác ABC:
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G( ; ; )
3 3 3
+ + + + + +
d)
1 1 2 2 3 3
a.b a b a b a b= + +
r r
;
2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
r
1 1 2 2 3 3
a b a.b 0 a b a b a b 0⊥ ⇔ = ⇔ + + =

r r r r
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
16
a.b
cos(a;b)
a . b
=
r
r
r r
r
r
e)
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1
1 2
a a a a a a
a;b , ,
b b b b b b
 
 
=
 ÷
 
 
r r
2. Diện tích tam giác:
ABC
1

S AB,AC
2
 
=
 
uuur uuur
3. Điều kiện đồng phẳng
[a,b].c 0=
r
r r
4. Điều kiện 4 điểm A, B, C, D lập thành tứ diện là
AB,AC .AD 0
 
≠
 
uuur uuur uuur
.
5. Thể tích tứ diện ABCD:
ABCD
1
V AB,AC .AD
6
 
 
=
uuur uuur uuur
6. Thể tích khối hộp:
ABCD.A'B'C'D'
V AB,AD .AA'
 

 
=
uuur uuur uuur
Bài 1. Viết tọa độ của các vectơ say đây:
a 2i j 3k= − + +
r r r r
;
b 7i 8k= −
r r r
Bài 2. Cho 3 vectơ
a
r
= (2; –1 ; 0),
b
r
= (–1; –2; 2),
c
r
= (–2 ; 1; 0).
a. Tìm tọa độ vector
v 2a 3b 5c= − + −
r
r r
r
b. Chứng minh
a b⊥
r
r
và
b c⊥

r
r
Bài 3. Cho vectơ
a
r
= (1; 2; 3). Tìm tọa độ của vectơ
x
r
, biết rằng:
a)
a x 0+ =
r
r
r
b)
a x 4a
+ =
r r
r
Bài 4. Trong hệ tọa độ không gian Oxyz cho 3 điểm A(–1; –2; 3), B(0; 3; 1), C(4; 2; 2)
a. Tính tích vô hướng
AB.AC
uuuruuur
b. Tính cos BAC.
Bài 5. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; –1; 1), C'(4; 5; –5). Tìm tọa độ các
đỉnh còn lại.
Bài 6. Cho 4 điểm A(0; 1; 1), B(–1; 0; 2), C(–1; 1; 0), D(2; 1; –2).
a. Chứng minh ABCD là một tứ diện.
b. Tính chu vi giác ABC.
c. Tính diện tích tam giác ABC và độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A

d. Tìm tọa độ điểm E để tứ giác ABCE là hình bình hành.
e. Tính góc CBD
f. Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ D
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
a) Mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình:
(S): (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R².
b) Dạng thứ hai (S): x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (2)
với a² + b² + c² – d > 0 là phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính
2 2 2
R a b c d= + + −
.
Bài 1. Viết phương trình mặt cầu tâm A(1; 2; –3) và đi qua điểm M(0; 2; 2).
Bài 2. Viết phương trình mặt cầu đường kính AB biết A(1; –2; –1) và B(3; 0; –3).
Bài 3. Lập phương trình mặt cầu qua 4 điểm: A(6; 0; 0), B(0;
−
2; 0), C(0; 0; 3), O(0; 0; 0).
Bài 4. Lập phương trình mặt cầu qua 3 điểm A(0; 8; 0), B(4; 6; 2), C(0; 12; 4) và có tâm nằm trong
mp (Oyz).
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 (A² + B² + C² > 0)
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M
o
(x
o
; y
o
; z
o
) và có vectơ pháp tuyến
n

r
= (A; B; C) có phương trình là
(α): A(x – x
o
) + B(y – y
o
) + C(z – z
o
) = 0
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
17
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Mặt phẳng đi qua các điểm M(a; 0; 0), N(0; b; 0) và
P(0; 0; c) có phương trình dạng:
x y z
1
a b c
+ + =
với abc ≠ 0
Khoảng cách từ điểm M
o
(x
o
, y
o
, z
o
) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0
d(M
o
; α) =

o o o
2 2 2
Ax By Cz D
A B C
+ + +
+ +
Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; –1), B(2; 4; 3), C(2; 2;
–1). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC.
Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; –2; 3), B(–5; 0; 1), Viết phương
trình mặt phẳng trung trực của AB.
Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 3; –1) và song song với mp(P): x – 5y + z = 0
Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho A (0; 1; 1), B(1; −2; 0), C(1; 0; 2). Viết phương trình mp
(ABC).
Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho A(−1; 1; 2), B(0; −1; 3) và mp (α): 3x – 2y + z + 4 = 0. Viết
phương trình mặt phẳng (α’) qua A, B và vuông góc với mp (α).
Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho A(2; 3; 0). Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A, song song
Oy và vuông góc với mp (P): 3x – y + 4z + 6 = 0
Bài 7. Trong không gian Oxyz, cho A(1; –1; –2), B(3; 1; 1) và mặt phẳng (α): x – 2y + 3z –5 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (α).
Bài 8. Viết phương trình mp (P) tiếp xúc với mặt cầu (S): x² + y² + z² – 6x – 2y + 4z + 5 = 0 tại A(4;
3; 0)
Bài 9. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(0; 2; –2) và tiếp xúc với mặt phẳng (α): 2x + y –2z +
3 = 0
Bài 10. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (α): 4x +
3y – 12z + 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: x² + y² + z² – 2x – 4y – 6z – 2 = 0.
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình đường thẳng (d) đi qua M
o
(x

o
, y
o
, z
o
) và có vectơ chỉ phương:
u
r
= (a; b; c) là
d:
o
o
o
x x at
y y bt (t R)
z z ct
= +


= + ∈


= +

2. Phương trình chính tắc của đường thẳng (d):
o o o
x x y y z z
a b c
− − −
= =

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho (d) qua M và có VTCP
u
r
và (d’) qua M’ và có VTCP
u '
uur
d trùng d’ <=>
u,u ' u,MM' 0
   
= =
   
r uur r uuuuur r
d // d’ <=>
u,u ' 0
u,MM' 0

 
=
 

 
≠

 

r uur r
r uuuuur r
d và d’ cắt nhau <=>
u,u ' 0

u,u ' .MM' 0

 
≠
 

 
=

 

r uur r
r uur uuuuur
d và d’ chéo nhau <=>
u,u ' .MM ' 0
 
≠
 
r uur uuuuur
4. Khoảng cách từ M
1
đến đường thẳng (Δ) đi qua M
o
và có vector chỉ phương
u
r
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
18
o 1
1

M M ,u
d(M ,Δ)
u
 
 
=
uuuuuur r
r
5. Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
(Δ
1
) đi qua M
1
và có vector chỉ phương
u
r
; (∆
2
) đi qua M
2
và có vector chỉ phương
v
r
. Khoảng cách
giữa (∆
1
) và (∆
2
) là:
1 2

1 2
u,v .M M
d(Δ ,Δ )
u,v
 
 
 
 
=
uuuuuuur
ur ur
ur ur
6. Góc giữa hai đường thẳng: Cho (Δ
1
) có vector chỉ phương
u
r
= (a
1
; b
1
; c
1
) và (∆
2
) có vector chỉ
phương
v
r
= (a

2
; b
2
; c
2
). Gọi φ là góc giữa (Δ
1
) và (Δ
2
) ta có
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
u v
u v
.
a a b b c c
cosφ
| |.| |
a b c a b c
+ +
= =
+ + + +
r r
r r
7. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng (Δ) có vector chỉ phương
u
r
= (a; b; c) và mặt phẳng (α) có vector pháp tuyến

n
r
=
(A; B; C). Nếu φ là góc giữa (Δ) và mặt phẳng (α) thì
2 2 2 2 2 2
n u
n u
.
Aa Bb Cc
sinφ
| |.| |
A B C a b c
+ +
= =
+ + + +
r r
r r
(0° ≤ φ ≤ 90°)
8. Góc giữa hai mặt phẳng: Cho mp (α
1
) có vector pháp tuyến
1
n
r
= (A
1
; B
1
; C
1

) và mp (α
2
) có vector
pháp tuyến
2
n
r
= (A
2
; B
2
; C
2
). Nếu φ là góc giữa (α
1
) và (α
2
) thì
1 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
n n
n n
A A B B C C
cosβ
.
A B C A B C
+ +

= =
+ + + +
uuruur
uur uur
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua 2 điểm A(1; 2; –3), B(0; 1; –2)
Bài 2. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; –2; 5) và ∆ vuông góc với mặt phẳng (α):
2x + 3y – 6z + 1 = 0
Bài 3. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; –2; 5) và ∆ song song với đường thẳng
x 1 y 3 z
d :
5 2 1
− +
= =
−
Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 2) và đường thẳng (d) có phương trình tham số
là
x 1 2t
y 3 t
z 6 t
= +


= − +


= −

a. Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d).
b. Tìm tọa độ H hình chiếu vuông góc của M lên (d)
Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; –2; –2) và mặt phẳng (P) có phương

trình 2x – 2y + z – 1 = 0.
a. Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P).
b. Tìm tọa độ H hình chiếu vuông góc của A lên (P)
Bài 6. Lập phương trình mặt phẳng qua điểm A, và chứa đường thẳng Δ, biết A(4; −2; 3), (∆):
x 1 y 2 z 2
3 4 2
− + −
= =
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
19
Bài 7. Cho hai đường thẳng d:
x t
y 11 2t
z 16 t
=


= − +


= −

và d’:
x 5 y 2 z 3
2 1 6
− − −
= =
. Chứng minh rằng d cắt d’.
Viết phương trình mặt phẳng chứa d và d’.
Bài 8. Cho d:

x 5 2t
y 1 t
z 5 t
= +


= −


= −

và d’:
x 3 2t '
y 3 t '
z 1 t '
= +


= − −


= −

. Chứng minh: d//d’. Viết phương trình mặt phẳng chứa d
và d’.
Bài 9. Cho d:
x t
y 1 2t
z 6 3t
=



= +


= +

và d’:
x 1 t '
y 2 t'
z 3 t '
= +


= − +


= −

.
a. Chứng minh d và d’ chéo nhau.
b. Lập phương trình mặt phẳng qua gốc tọa độ O và song song với d, d’.
Bài 10. Cho đường thẳng d:
x 12 4t
y 9 3t
z 1 t
= +


= +



= +

và mp (P): 3x + 5y – z – 2 = 0.
a. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P)
b. Viết ptmp (P’) qua M(1; 2; –1) và vuông góc với d. Tính khoảng cách từ M đến d.
c. Tính góc giữa d và (P).
Bài 11. Cho mặt phẳng (α): 6x + 3y + 2z – 6 = 0.
a. Tìm tọa độ hình chiếu của điểm A(1; 1; 2) lên mặt phẳng (α)
b. Tìm tọa độ điểm đối xứng A’ của A qua (α)
CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
Bài 1: (TN 2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và đường thẳng d có
phương trình là
x 1 y 2 z 3
2 1 1
+ − +
= =
−
a. Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với d
b. Tính khỏang cách từ A đến đường thẳng d. Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d.
Bài 2. (TN 2008, Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; –2;–2) và mặt phẳng
(P) có phương trình 2x – 2y + z – 1 = 0.
a. Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P).
b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). Viết phương trình của mặt phẳng (Q) sao cho
(Q) song song với (P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm A đến (P).
Bài 3. (TN 2008, Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm M(1; –2; 0), N(–3; 4;
2) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x + 2y + z – 7 = 0.
a. Viết phương trình đường thẳng MN.
b. Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng MN đến mp (P).

Bài 4. (TN 2008, Lần 2, Ban KHXH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; –1; 3)
và mặt phẳng (P): x – 2y – 2z – 10 = 0.
a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp (P).
b. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P).
Bài 5. (TN 2011) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 4) và đường thẳng d có
phương trình tham số là
x 1 t
y 2 3t
z 2 2t
= +


= −


= − +

Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
20
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d.
2. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.
Bài 6. (TN 2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
x 2 2t
y 1 t
z 4 2t
= − +


= −



= +

và mặt cầu
(S): (x – 2)² + (y + 1)² + (z – 3)² = 25.
1. Tìm tọa độ một vector chỉ phương của đường thẳng d. Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu
(S).
2. Viết phương trình mặt phẳng (α) vuông góc với đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài 7. (TN 2013) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; –1), B(0; 1; 0) và mặt
phẳng (P): x + y + 2z – 7 = 0.
1. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
2. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (P).
Bài 8. (TN 2014) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; –1; 0) và mặt phẳng (P): 2x
– 2y + z – 1 = 0.
a. Viết phương trình tham số đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
b. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho AM vuông góc với OA và độ dài đoạn AM bằng ba lần khoảng
cách từ A đến (P).
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
21