Tải bản đầy đủ (.pdf) (11 trang)

BÀI tập đại số 11 CẢ năm (NÂNG CAO, LTĐH)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (269.29 KB, 11 trang )

Trn S Tựng www.MATHVN.com
www.mathvn.com Trang 1



www.MATHVN.com

I. Gii hn ca dóy s


Gii hn hu hn Gii hn vụ cc
1. Gii hn c bit:

1
lim 0
n
n
đ+Ơ
=
;
1
lim 0 ( )
k
n
k
n
+
đ+Ơ
= ẻ
Â



lim 0 ( 1)
n
n
q q
đ+Ơ
= <
; lim
n
C C
đ+Ơ
=

2. nh lớ :
a) Nu lim u
n
= a, lim v
n
= b thỡ

ã
lim (u
n
+ v
n
) = a + b

ã
lim (u
n

v
n
) = a b

ã
lim (u
n
.v
n
) = a.b

ã
lim
n
n
u
a
v b
=
(nu b

0)
b) Nu u
n


0,
"
n v lim u
n

= a
thỡ a

0 v lim
n
u a
=
c) Nu
n n
u v
Ê
,
"
n v lim v
n
= 0
thỡ lim u
n
= 0
d) Nu lim u
n
= a thỡ lim
n
u a
=

3. Tng ca cp s nhõn lựi vụ hn
S = u
1
+ u

1
q + u
1
q
2
+ =
1
1
u
q
-

(
)
1
q
<

1. Gii hn c bit:
lim n
= +Ơ

lim ( )
k
n k
+
= +Ơ ẻ
Â

lim ( 1)

n
q q
= +Ơ >

2. nh lớ:
a) Nu lim
n
u
= +Ơ
thỡ
1
lim 0
n
u
=

b) Nu lim u
n
= a, lim v
n
=
Ơ
thỡ lim
n
n
u
v
= 0
c) Nu lim u
n

= a

0, lim v
n
= 0
thỡ lim
n
n
u
v
=
. 0
. 0
n
n
neỏu a v
neỏu a v

+Ơ >

-Ơ <


d) Nu lim u
n
= +
Ơ
, lim v
n
= a

thỡ lim(u
n
.v
n
) =
0
0
neỏu a
neỏu a

+Ơ >

-Ơ <



* Khi tớnh gii hn cú mt trong cỏc dng vụ
nh:
0
0
,
Ơ
Ơ
,
Ơ

Ơ
, 0.
Ơ
thỡ phi tỡm cỏch kh

dng vụ nh.

Mt s phng phỏp tỡm gii hn ca dóy s:

ã
Chia c t v mu cho lu tha cao nht ca n.
VD: a)
1
1
1 1
lim lim
3
2 3 2
2
n
n
n
n
+
+
= =
+
+
b)
2
1
1 3
3
lim lim 1
1

1 2
2
n n n
n
n
n
+ -
+ -
= =
-
-

c)
2 2
2
4 1
lim( 4 1) lim 1n n n
n
n
ổ ử
- + = - + = +Ơ
ỗ ữ
ố ứ


ã
Nhõn lng liờn hp: Dựng cỏc hng ng thc

(
)

(
)
(
)
(
)
3 3
2 2
3 3 3
;
a b a b a b a b a ab b a b
- + = - - + + = -

VD:
(
)
2
lim 3
n n n
- -
=
(
)
(
)
( )
2 2
2
3 3
lim

3
n n n n n n
n n n
- - - +
- +
=
2
3
lim
3
n
n n n
-
- +
=
3
2
-


ã
Dựng nh lớ kp: Nu
n n
u v
Ê
,
"
n v lim v
n
= 0 thỡ lim u

n
= 0
CHNG IV
GII HN
www.MATHVN.com Trn S Tựng
Trang 2 www.mathvn.com
VD: a) Tớnh
sin
lim
n
n
. Vỡ 0
Ê

sin 1
n
n n
Ê
v
1
lim 0
n
=
nờn
sin
lim 0
n
n
=


b) Tớnh
2
3sin 4cos
lim
2 1
n n
n
-
+
. Vỡ
2 2 2 2
3sin 4cos (3 4 )(sin cos ) 5
n n n n
- Ê + + =

nờn 0
Ê

2 2
3sin 4cos 5
2 1 2 1
n n
n n
-
Ê
+ +
.
M
2
5

lim 0
2 1
n
=
+
nờn
2
3sin 4cos
lim 0
2 1
n n
n
-
=
+


Khi tớnh cỏc gii hn dng phõn thc, ta chỳ ý mt s trng hp sau õy:

ã
Nu bc ca t nh hn bc ca mu thỡ kt qu ca gii hn ú bng 0.

ã
Nu bc ca t bng bc ca mu thỡ kt qu ca gii hn ú bng t s cỏc h s ca lu
tha cao nht ca t v ca mu.

ã
Nu bc ca t ln hn bc ca mu thỡ kt qu ca gii hn ú l +
Ơ
nu h s cao nht

ca t v mu cựng du v kt qu l
Ơ
nu h s cao nht ca t v mu trỏi du.



Baứi 1: Tớnh cỏc gii hn sau:
a)
2
2
2 3
lim
3 2 1
n n
n n
- +
+ +
b)
3 2
2 1
lim
4 3
n
n n
+
+ +
c)
3 2
3
3 2

lim
4
n n n
n
+ +
+

d)
4
2
lim
( 1)(2 )( 1)
n
n n n
+ + +
e)
2
4
1
lim
2 1
n
n n
+
+ +
f)
4 2
3 2
2 3
lim

3 2 1
n n
n n
+ -
- +

Baứi 2: Tớnh cỏc gii hn sau:
a)
1 3
lim
4 3
n
n
+
+
b)
1
4.3 7
lim
2.5 7
n n
n n
+
+
+
c)
1 2
4 6
lim
5 8

n n
n n
+ +
+
+

d)
1
2 5
lim
1 5
n n
n
+
+
+
e)
1 2.3 7
lim
5 2.7
n n
n n
+ -
+
f)
1
1 2.3 6
lim
2 (3 5)
n n

n n+
- +
-

Baứi 3: Tớnh cỏc gii hn sau:
a)
2
2
4 1 2 1
lim
4 1
n n
n n n
+ + -
+ + +
b)
2
2
3 4
lim
2
n n
n n
+ - -
+ +
c)
3
2 6
4 2
1

lim
1
n n
n n
+ -
+ +

d)
2
2
4 1 2
lim
4 1
n n
n n n
+ +
+ + +
e)
(2 1)( 3)
lim
( 1)( 2)
n n n
n n
+ +
+ +
f)
2 2
2
4 4 1
lim

3 1
n n n
n n
- - +
+ +


Baứi 4: Tớnh cỏc gii hn sau:
a)
1 1 1
lim
1.3 3.5 (2 1)(2 1)
n n
ổ ử
+ + +
ỗ ữ
- +
ố ứ
b)
1 1 1
lim
1.3 2.4 ( 2)
n n
ổ ử
+ + +
ỗ ữ
+
ố ứ

c)

2 2 2
1 1 1
lim 1 1 1
2 3
n
ổ ửổ ử ổ ử
- - -
ỗ ữỗ ữ ỗ ữ
ố ứố ứ ố ứ
d)
1 1 1
lim
1.2 2.3 ( 1)
n n
ổ ử
+ + +
ỗ ữ
+
ố ứ

e)
2
1 2
lim
3
n
n n
+ + +
+
f)

2
2
1 2 2 2
lim
1 3 3 3
n
n
+ + + +
+ + + +


Baứi 5: Tớnh cỏc gii hn sau:
Trn S Tùng www.MATHVN.com
www.mathvn.com Trang 3

a)
(
)
n n n
2
lim 2 1
+ - -
b)
(
)
n n n
2 2
lim 2
+ - +
c)

(
)
n n n
3
3
lim 2 1
- + -

d)
(
)
n n n
2 4
lim 1 3 1
+ - + +
e)
(
)
2
lim
n n n
- -
f)
2 2
1
lim
2 4
n n
+ - +


g)
2
2
4 1 2 1
lim
4 1
n n
n n n
+ - -
+ + -
h)
3
2 6
4 2
1
lim
1
n n
n n
+ -
+ -
i)
2 2
2
4 4 1
lim
3 1
n n n
n n
- - +

+ -

Baøi 6: Tính các gii hn sau:
a)
2
2
2cos
lim
1
n
n
+
b)
2
( 1) sin(3 )
lim
3 1
n
n n
n
- +
-
c)
2 2 cos
lim
3 1
n n
n
-
+


d)
6 2
2
3sin 5cos ( 1)
lim
1
n n
n
+ +
+
e)
2 3 2
2
3sin ( 2)
lim
2 3
n n
n
+ +
-
f)
2
3 2 2
lim
(3cos 2)
n n
n n
- +
+


Baøi 7: Cho dãy s (u
n
) vi u
n
=
2 2 2
1 1 1
1 1 1
2 3
n
æ öæ ö æ ö
- - -
ç ÷ç ÷ ç ÷
è øè ø
è ø
, vi " n ³ 2.
a) Rút gn u
n
. b) Tìm lim u
n
.
Baøi 8: a) Chng minh:
1 1 1
1 ( 1) 1
n n n n n n
= -
+ + + +
("n Î N
*

).
b) Rút gn: u
n
=
1 1 1

1 2 2 1 2 3 3 2 1 ( 1)
n n n n
+ + +
+ + + + +
.
c) Tìm lim u
n
.
Baøi 9: Cho dãy s (u
n
) đc xác đnh bi:
1
1
1
1
( 1)
2
n n
n
u
u u n
+
ì
=

ï
í
= + ³
ï
î
.
a) t v
n
= u
n+1
– u
n
. Tính v
1
+ v
2
+ … + v
n
theo n.
b) Tính u
n
theo n.
c) Tìm lim u
n
.
Baøi 10: Cho dãy s (u
n
) đc xác đnh bi:
1 2
2 1

0; 1
2 , ( 1)
n n n
u u
u u u n
+ +
ì
= =
í
= + ³
î

a) Chng minh rng: u
n+1
=
1
1
2
n
u
- +
, "n ³ 1.
b) t v
n
= u
n

2
3
. Tính v

n
theo n. T đó tìm lim u
n
.














II. Gii hn ca hàm s
www.MATHVN.com Trn S Tùng
Trang 4 www.mathvn.com

Gii hn hu hn Gii hn vơ cc, gii hn  vơ cc
1. Gii hn đc bit:

0
0
lim
x x
x x

®
=
;
0
lim
x x
c c
®
=
(c: hng s)
2. nh lí:
a) Nu
0
lim ( )
x x
f x L
®
=

0
lim ( )
x x
g x M
®
=

thì:
[
]
0

lim ( ) ( )
x x
f x g x L M
®
+ = +


[
]
0
lim ( ) ( )
x x
f x g x L M
®
- = -


[
]
0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x L M
®
=


0
( )
lim

( )
x x
f x L
g x M
®
= (nu M
¹
0)
b) Nu f(x)
³
0 và
0
lim ( )
x x
f x L
®
=

thì L
³
0 và
0
lim ( )
x x
f x L
®
=
c) Nu
0
lim ( )

x x
f x L
®
=
thì
0
lim ( )
x x
f x L
®
=

3. Gii hn mt bên:
0
lim ( )
x x
f x L
®
=
Û


Û

0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L
- +
® ®

= =


1. Gii hn đc bit:
lim
k
x
x
®+¥
= +¥
;
lim
k
x
nếu k chẵn
x
nếu k lẻ
®-¥
ì

=
í



lim
x
c c
®±¥
=

;
lim 0
k
x
c
x
®±¥
=


0
1
lim
x
x
-
®
= -¥
;
0
1
lim
x
x
+
®
= +¥


0 0

1 1
lim lim
x x
x x
- +
® ®
= = +¥

2. nh lí:
Nu
0
lim ( )
x x
f x L
®
=
¹
0 và
0
lim ( )
x x
g x
®
= ±¥
thì:
0
0
0
lim ( )
lim ( ) ( )

lim ( )
x x
x x
x x
nếu L và g x cùngdấu
f x g x
nếu L và g x tráidấu
®
®
®
ì

ï
=
í

ï


0
0 0
0
0 lim ( )
( )
lim lim ( ) 0 . ( ) 0
( )
lim ( ) 0 . ( ) 0
x x
x x x x
x x

nếu g x
f x
nếu g x và L g x
g x
nếu g x và L g x
®
® ®
®
ì
= ±¥
ï
ï
= +¥ = >
í
ï
-¥ = <
ï


* Khi tính gii hn có mt trong các dng vơ đnh:
0
0
,
¥
¥
,
¥

¥
, 0.

¥
thì phi tìm cách kh dng vơ
đnh.
Mt s phng pháp kh dng vơ đnh:
1. Dng
0
0

a) L =
0
( )
lim
( )
x x
P x
Q x
®
vi P(x), Q(x) là các đa thc và P(x
0
) = Q(x
0
) = 0
Phân tích c t và mu thành nhân t và rút gn.
VD:
3 2 2
2
2 2 2
8 ( 2)( 2 4) 2 4 12
lim lim lim 3
( 2)( 2) 2 4

4
x x x
x x x x x x
x x x
x
® ® ®
- - + + + +
= = = =
- + +
-

b) L =
0
( )
lim
( )
x x
P x
Q x
®
vi P(x
0
) = Q(x
0
) = 0 và P(x), Q(x) là các biu thc cha cn cùng bc
S dng các hng đng thc đ nhân lng liên hp  t và mu.
VD:
(
)
(

)
( )
0 0 0
2 4 2 4 2 4 1 1
lim lim lim
4
2 4
2 4
x x x
x x x
x
x
x x
® ® ®
- - - - + -
= = =
+ -
+ -

c) L =
0
( )
lim
( )
x x
P x
Q x
®
vi P(x
0

) = Q(x
0
) = 0 và P(x) là biêåu thc cha cn khơng đng bc
Gi s: P(x) =
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
m n
m n
u x v x với u x v x a
- = =
.
Ta phân tích P(x) =
(
)
(
)
( ) ( )
m n
u x a a v x
- + - .
Trn S Tựng www.MATHVN.com
www.mathvn.com Trang 5

VD:
3 3
0 0
1 1 1 1 1 1
lim lim
x x
x x x x

x x x
đ đ
ổ ử
+ - - + - - -
= +
ỗ ữ
ố ứ

=
0 2
3
3
1 1 1 1 5
lim
3 2 6
1 1
( 1) 1 1
x
x
x x
đ
ổ ử
+ = + =
ỗ ữ
ỗ ữ
+ -
+ + + +
ố ứ

2. Dng

Ơ
Ơ
: L =
( )
lim
( )
x
P x
Q x
đƠ
vi P(x), Q(x) l cỏc a thc hoc cỏc biu thc cha cn.
Nu P(x), Q(x) l cỏc a thc thỡ chia c t v mu cho lu tha cao nht ca x.
Nu P(x), Q(x) cú cha cn thỡ cú th chia c t v mu cho lu tha cao nht ca x hoc
nhõn lng liờn hp.
VD: a)
2
2
2
2
5 3
2
2 5 3
lim lim 2
6 3
6 3
1
x x
x x
x
x

x x
x
x
đ+Ơ đ+Ơ
+ -
+ -
= =
+ +
+ +

b)
2
2
3
2
2 3
lim lim 1
1
1
1 1
x x
x
x
x x
x
đ-Ơ đ-Ơ
-
-
= = -
+ -

- + -

3. Dng
Ơ

Ơ
: Gii hn ny thng cú cha cn
Ta thng s dng phng phỏp nhõn lng liờn hp ca t v mu.
VD:
( )
(
)
(
)
1 1 1
lim 1 lim lim 0
1 1
x x x
x x x x
x x
x x x x
đ+Ơ đ+Ơ đ+Ơ
+ - + +
+ - = = =
+ + + +

4. Dng 0.
Ơ
:
Ta cng thng s dng cỏc phng phỏp nh cỏc dng trờn.

VD:
2
2 2
2. 0. 2
lim ( 2) lim 0
2
2
4
x x
x x x
x
x
x
+ +
đ đ
-
- = = =
+
-



Baứi 1: Tỡm cỏc gii hn sau:
a)
2 3
0
1
lim
1
x

x x x
x
đ
+ + +
+
b)
2
1
3 1
lim
1
x
x x
x
đ-
+ -
-
c)
2
sin
4
lim
x
x
x
đ
ổ ử
-
ỗ ữ
ố ứ

p
p

d)
4
1
1
lim
3
x
x
x x
đ-
-
+ -
e)
2
2
1
lim
1
x
x x
x
đ
- +
-
f)
2
1

2 3
lim
1
x
x x
x
đ
- +
+

g)
1
8 3
lim
2
x
x
x
đ
+ -
-
h)
3
2
2
3 4 3 2
lim
1
x
x x

x
đ
- - -
+
i)
2
0
1
lim sin
2
x
x
đ

Baứi 2: Tỡm cỏc gii hn sau:
a)
3 2
2
1
1
lim
3 2
x
x x x
x x
đ
- - +
- +
b)
x

x
x x
4
3 2
1
1
lim
2 1
đ
-
- +
c)
5
3
1
1
lim
1
x
x
x
đ-
+
+

d)
3 2
4 2
3
5 3 9

lim
8 9
x
x x x
x x
đ
- + +
- -
e)
5 6
2
1
5 4
lim
(1 )
x
x x x
x
đ
- +
-
f)
1
1
lim
1
m
n
x
x

x
đ
-
-

g)
0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1
lim
x
x x x
x
đ
+ + + -
h)
2
1

lim
1
n
x
x x x n
x
đ
+ + + -
-
i)
4
3 2

2
16
lim
2
x
x
x x
đ-
-
+

www.MATHVN.com Trn S Tựng
Trang 6 www.mathvn.com
Baứi 3: Tỡm cỏc gii hn sau:
a)
2
2
4 1 3
lim
4
x
x
x
đ
+ -
-
b)
3
3
1

1
lim .
4 4 2
x
x
x
đ
-
+ -
c)
2
0
1 1
lim
x
x
x
đ
+ -

d)
2
2 2
lim
7 3
x
x
x
đ
+ -

+ -
e)
1
2 2 3 1
lim
1
x
x x
x
đ
+ - +
-
f)
2
0 2
1 1
lim
16 4
x
x
x
đ
+ -
+ -

g)
3
0
1 1
lim

1 1
x
x
x
đ
+ -
+ -
h)
2
3
3 2
lim
3
x
x x
x x
đ-
+ -
+
i)
0
9 16 7
lim
x
x x
x
đ
+ + + -

Baứi 4: Tỡm cỏc gii hn sau:

a)
3
0
1 1
lim
x
x x
x
đ
+ - +
b)
3
2
2
8 11 7
lim
3 2
x
x x
x x
đ
+ - +
- +
c)
3
0
2 1 8
lim
x
x x

x
đ
+ - -

d)
3
2
0
1 4 1 6
lim
x
x x
x
đ
+ - +
e)
3
2
2
8 11 7
lim
2 5 2
x
x x
x x
đ
+ - +
- +
f)
3

3 2
2
1
5 7
lim
1
x
x x
x
đ
- - +
-

g)
0
1 4 . 1 6 1
lim
x
x x
x
đ
+ + -
h)
3
0
1 2 . 1 4 1
lim
x
x x
x

đ
+ + -
i)
3
0
1 1
lim
x
x x
x
đ
+ - -

Baứi 5: Tỡm cỏc gii hn sau:
a)
2
2
1
lim
2 1
x
x
x x
đ+Ơ
+
- +
b)
2
2 1
lim

2
x
x x
x
đƠ
- +
-
c)
2
3 2
2 1
lim
3 2
x
x
x x
đ+Ơ
+
- +

d)
2
2
2 3 4 1
lim
4 1 2
x
x x x
x x
đƠ

+ + + +
+ + -
e)
2
2
4 2 1 2
lim
9 3 2
x
x x x
x x x
đƠ
- + + -
- +
f)
2
1
lim
1
x
x x
x x
đ+Ơ
+
+ +

g)
2
2
(2 1) 3

lim
5
x
x x
x x
đ-Ơ
- -
-
h)
2
2
2 3
lim
4 1 2
x
x x x
x x
đ+Ơ
+ +
+ - +
i)
2
5 2
lim
2 1
x
x x
x
đ-Ơ
- +

+

Baứi 6: Tỡm cỏc gii hn sau:
a)
2
lim
x
x x x
đ+Ơ
ổ ử
+ -
ỗ ữ
ố ứ
b)
2
lim 2 1 4 4 3
x
x x x
đ+Ơ
ổ ử
- - - -
ỗ ữ
ố ứ

c)
3
2 3
lim 1 1
x
x x

đ+Ơ
ổ ử
+ - -
ỗ ữ
ố ứ
d) lim
x
x x x x
đ+Ơ
ổ ử
+ + -
ỗ ữ
ố ứ

e)
(
)
3 3
lim 2 1 2 1
x
x x
đ+Ơ
- - +
f)
(
)
3
3 2
lim 3 1 2
x

x x
đ-Ơ
- + +

g)
3
1
1 3
lim
1
1
x
x
x
đ
ổ ử
-
ỗ ữ
-
-
ố ứ
h)
2 2
2
1 1
lim
3 2 5 6
x
x x x x
đ

ổ ử
+
ỗ ữ
- + - +
ố ứ

Baứi 7: Tỡm cỏc gii hn sau:
a)
2
15
lim
2
x
x
x
+
đ
-
-
b)
2
15
lim
2
x
x
x
-
đ
-

-
c)
2
3
1 3 2
lim
3
x
x x
x
+
đ
+ -
-

d)
2
2
4
lim
2
x
x
x
+
đ
-
-
e)
2

2
2
lim
2 5 2
x
x
x x
+
đ
-
- +
f)
2
2
2
lim
2 5 2
x
x
x x
-
đ
-
- +

Baứi 8: Tỡm cỏc gii hn mt bờn ca hm s ti im c ch ra:
a)
3
1 1
0

1 1
( ) 0
3
0
2
x
khi x
x
f x taùi x
khi x

+ -
>
ù
ù
+ -
= =

ù
Ê
ù

b)
2
9
3
( ) 3
3
1 3
x

khi x
f x taùi x
x
x khi x

-
ù
<
= =

-
ù
-


Trn S Tùng www.MATHVN.com
www.mathvn.com Trang 7

c)
2
3
4
2
2
8
( ) 2
16
2
2
x x

khi x
x
f x taïi x
x
khi x
x
ì
-
>
ï
ï
-
= =
í
-
ï
<
ï
-
î
d)
2
2
3 2
1
1
( ) 1
1
2
x x

khi x
x
f x taïi x
x
khi x
ì
- +
>
ï
ï
-
= =
í
ï
- £
ï
î

Baøi 9: Tìm giá tr ca m đ các hàm s sau có gii hn ti đim đc ch ra::
a)
3
1
1
( ) 1
1
2 1
x
khi x
f x taïi x
x

mx khi x
ì
-
ï
<
= =
í
-
ï
+ ³
î
b)
3
2 2
1 3
1
( ) 1
1
1
3 3 1
khi x
f x taïi x
x
x
m x mx khi x
ì
- >
ï
= =
-

í
-
ï
- + £
î

c)
2
0
( ) 0
100 3
0
3
x m khi x
f x taïi x
x x
khi x
x
ì
+ <
ï
= =
í
+ +
³
ï
+
î
d)
2

3 1
( ) 1
3 1
x m khi x
f x taïi x
x x m khi x
ì
+ <-
= = -
í
+ + + ³-
î









































www.MATHVN.com Trn S Tựng
Trang 8 www.mathvn.com
III. Hm s liờn tc

1. Hm s liờn tc ti mt im: y = f(x) liờn tc ti x
0




0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
đ
=

ã
xột tớnh liờn tc ca hm s y = f(x) ti im x
0
ta thc hin cỏc bc:
B1: Tớnh f(x
0
).
B2: Tớnh
0
lim ( )
x x
f x
đ
(trong nhiu trng hp ta cn tớnh
0
lim ( )
x x
f x
+
đ
,

0
lim ( )
x x
f x
-
đ
)
B3: So sỏnh
0
lim ( )
x x
f x
đ
vi f(x
0
) v rỳt ra kt lun.
2. Hm s liờn tc trờn mt khong: y = f(x) liờn tc ti mi im thuc khong ú.
3. Hm s liờn tc trờn mt on [a; b]: y = f(x) liờn tc trờn (a; b) v

lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a x b
f x f a f x f b
+ -
đ đ
= =
4.
ã
Hm s a thc liờn tc trờn R.

ã

Hm s phõn thc, cỏc hm s lng giỏc liờn tc trờn tng khong xỏc nh ca chỳng.
5. Gi s y = f(x), y = g(x) liờn tc ti im x
0
. Khi ú:

ã
Cỏc hm s y = f(x) + g(x), y = f(x) g(x), y = f(x).g(x) liờn tc ti x
0
.

ã
Hm s y =
( )
( )
f x
g x
liờn tc ti x
0
nu g(x
0
)

0.
6. Nu y = f(x) liờn tc trờn [a; b] v f(a). f(b)< 0 thỡ tn ti ớt nht mt s c

(a; b): f(c) = 0.
Núi cỏch khỏc: Nu y = f(x) liờn tc trờn [a; b] v f(a). f(b)< 0 thỡ phng trỡnh f(x) = 0 cú ớt
nht mt nghim c

(a; b).

M rng: Nu y = f(x) liờn tc trờn [a; b]. t m =
[ ]
;
min ( )
a b
f x
, M =
[ ]
;
max ( )
a b
f x
. Khi ú vi mi T

(m; M) luụn tn ti ớt nht mt s c

(a; b): f(c) = T.


Baứi 1: Xột tớnh liờn tc ca hm s ti im c ch ra:
a)
3
1
( ) 1
1
1 1
x
khi x
f x taùi x
x

khi x

+
ù

= = -

-
ù
- =

b)
3 2
1
1
( ) 1
1
1
4
x
khi x
x
f x taùi x
khi x

+ -

ù
ù
-

= =

ù
=
ù


c)
2 3
2
2 7 5
2
( ) 2
3 2
1 2
x x x
khix
f x taùi x
x x
khi x

- + -
ù

= =

- +
ù
=


d)
2
5
5
( ) 5
2 1 3
( 5) 3 5
x
khi x
f x taùi x
x
x khi x

-
>
ù
= =

- -
ù
- + Ê


e)
1 cos 0
( ) 0
1 0
x khi x
f x taùi x
x khi x


- Ê
= =

+ >

f)
1
1
( ) 1
2 1
2 1
x
khi x
f x taùi x
x
x khi x

-
<
ù
= =

- -
ù
-


Baứi 2: Tỡm m, n hm s liờn tc ti im c ch ra:
a)

x khi x
f x taùi x
mx khi x
2
1
( ) 1
2 3 1

<
= =

-


b)
x x x
khi x
f x taùi x
x
x m khi x
3 2
2 2
1
( ) 1
1
3 1

- + -
ù


= =

-
ù
+ =


Trn S Tựng www.MATHVN.com
www.mathvn.com Trang 9

c)
m khi x
x x
f x khi x x taùi x vaứ x
x x
n khi x
2
0
6
( ) 0, 3 0 3
( 3)
3

=
ù
ù
- -
= ạ ạ = =

-

ù
=
ù


d)
x x
khi x
f x taùi x
x
m khi x
2
2
2
( ) 2
2
2

- -
ù

= =

-
ù
=


Baứi 3: Xột tớnh liờn tc ca cỏc hm s sau trờn tp xỏc nh ca chỳng:
a)

3
3
2
1
1
( )
4
1
3
x x
khi x
x
f x
khi x

+ +
ạ -
ù
ù
+
=

ù
= -
ù

b)
2
3 4 2
( ) 5 2

2 1 2
x x khi x
f x khi x
x khi x

- + <
ù

= =
ù
+ >


c)
2
4
2
( )
2
4 2
x
khi x
f x
x
khi x

-
ù
ạ -
=


+
ù
- = -

d)
2
2
2
( )
2
2 2 2
x
khi x
f x
x
khi x

-

ù
=

-
ù
=


Baứi 4: Tỡm cỏc giỏ tr ca m cỏc hm s sau liờn tc trờn tp xỏc nh ca chỳng:
a)

2
2
2
( )
2
2
x x
khi x
f x
x
m khi x

- -
ù

=

-
ù
=

b)
2
1
( ) 2 1
1 1
x x khi x
f x khi x
mx khi x


+ <
ù

= =
ù
+ >


c)
3 2
2 2
1
( )
1
3 1
x x x
khi x
f x
x
x m khi x

- + -
ù

=

-
ù
+ =


d)
2
1
( )
2 3 1
x khi x
f x
mx khi x

<
=

-


Baứi 5: Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau cú 3 nghim phõn bit:
a)
3
3 1 0
x x
- + =
b)
3 2
6 9 1 0
x x x
+ + + =
c)
3
2 6 1 3
x x

+ - =

Baứi 6: Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim:
a)
5
3 3 0
x x
- + =
b)
5
1 0
x x
+ - =
c)
4 3 2
3 1 0
x x x x
+ - + + =

Baứi 7: Chng minh rng phng trỡnh:
5 3
5 4 1 0
x x x
- + - =
cú 5 nghim trờn (2; 2).
Baứi 8: Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca tham s:
a)
3
( 1) ( 2) 2 3 0
m x x x

- - + - =
b)
4 2
2 2 0
x mx mx
+ - - =

c)
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0
a x b x c b x c x a c x a x b
- - + - - + - - =
d)
2 3 2
(1 )( 1) 3 0
m x x x
- + + - - =

e)
cos cos2 0
x m x
+ =
f)
(2cos 2) 2sin5 1
m x x
- = +

Baứi 9: Chng minh cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim:
a)
2
0

ax bx c
+ + =
vi 2a + 3b + 6c = 0 b)
2
0
ax bx c
+ + =
vi a + 2b + 5c = 0
c)
3 2
0
x ax bx c
+ + + =

Baứi 10: Chng minh rng phng trỡnh:
2
0
ax bx c
+ + =
luụn cú nghim x ẻ
1
0;
3
ộ ự
ờ ỳ
ở ỷ
vi a ạ 0
v 2a + 6b + 19c = 0.







www.MATHVN.com Trn S Tùng
Trang 10 www.mathvn.com
BÀI TP ÔN CHNG IV

Bài 1. Tìm các gii hn sau:
a)
n
n
3
1 2 3
lim
3
+ + + +
b)
n
n n
n
2 sin
lim
1
2
æ ö
+
+
ç ÷
+

è ø
c)
1
3
2
lim
2
2
+
+
+
n
n
nn

d)
n n
n n
2
2
2
lim
2 3 1
+
+ -
e)
n
n
5 1
5 2

2 3
lim
3 1
+
+
+
+
f)
n n
n n
1
( 1) 4.3
lim
( 1) 2.3
+
- +
- -

g)
(
)
n n n
2 2
lim 3 1
- - +
g)
(
)
n n n
3

3 2
lim 3
+ -
h)
(
)
n n n
2 4
lim 1
+ - +

i)
n
n
2
2
2cos
lim
1
+
k)
n
n n
2 2
lim
3 1 1
+ - -
l)
(
)

n n n
3
2 3
lim 2 2
- - +
Bài 2. Tìm các gii hn sau:
a)
x
x x
x x
2
2
3
5 6
lim
8 15
®
- +
- +
b)
x
x
x x
2
2
1
2
8 1
lim
6 5 1

®
-
- +
c)
x
x x x
x x
3 2
2
3
4 4 3
lim
3
®
- + -
-

d)
x
x x x
x x x
4 3 2
4 3 2
1
2 5 3 1
lim
3 8 6 1
®
- + +
- + -

e)
x
x x
x x
3
4
1
3 2
lim
4 3
®
- +
- +
f)
x
x x x
x x
3 2
4 2
2
2 4 8
lim
8 16
®
- - +
- +

g)
x
x x

x x
3
5
1
2 1
lim
2 1
®
- -
- -
h)
x
x
x x
2
2
2
lim
2 5 2
®-
+
+ +
i)
x
x
x
2
2
1
( 2) 1

lim
1
®-
+ -
-

Bài 3. Tìm các gii hn sau:
a)
x
x
x
2
2
lim
3 7
®
-
- +
b)
x
x
x
2
0
1 1
lim
®
+ -
c)
x

x
x x
2
1
8 3
lim
2 3
®
+ -
+ -

d)
x
x
x
4
1 2 3
lim
2
®
+ -
-
e)
x
x
x
1
2 7 3
lim
3 2

®
+ -
+ -
f)
x
x
x
2
0 2
1 1
lim
4 16
®
+ -
- +

g)
2
3
1
7 5
lim
1
x
x x
x
®
+ - -
-
h)

x
x x
x
3 3
0
1 1
lim
®
+ - -
i)
x
x
x
3
2
4 2
lim
2
®
-
-

k)
x
x
x
3
0
1
lim

1
®
-
-
l)
x
x
x
3
2
2
0
1 1
lim
®
+ -
m)
x
x x
x
2
2 7 5
lim
2
®
+ + + -
-

Bài 4. Tìm các gii hn sau:
a)

x
x x
x
2
2
2 3 2
lim
2
+
®-
- +
+
b)
x
x
x x
2
1
1
lim
3 4
-
®
-
+ -
c)
x
x x
x
3

1
3 4 1
lim
1
+
®-
- +
+

d)
x
x x
x
2
2
2
2 5 2
lim
( 2)
-
®
- +
-
e)
x
x
x
3
3 4
lim

3
+
®
+
-
f)
x
x x
x x
0
lim
+
®
+
-

g)
x
x
x
2
8 2 2
lim
2
+
®-
+ -
+
h)
x

x x
x
2
2
3
2 5 3
lim
( 3)
-
®-
+ -
-
i)
( )
x
x
x
x
2
2
lim 2
4
+
®
-
-

Bài 5. Tìm các gii hn sau:
a)
x

x x x
x x x x
3 2
4 3 2
2 3 4 1
lim
5 2 3
®-¥
- + -
- + - +
b)
x
x x
x x
2
2
1
lim
2 1
®+¥
+ -
+ +
c)
x
x x
x x
2 3
3 2
(2 3) (4 7)
lim

(3 1)(10 9)
®+¥
- +
+ +

d)
x
x x x
x x
4 3
4 2
2
lim
3 2 7
®+¥
- +
+ -
e)
(
)
x
x x
2
lim 1
®-¥
+ +
f)
x
x x x
2

lim ( 1)
®-¥
+ - +

Trn S Tựng www.MATHVN.com
www.mathvn.com Trang 11

g)
x
x x
x
2
1
lim
5 2
đ -Ơ
+ -
+
h)
(
)
x
x x x
2
lim 3
đ-Ơ
- + +
i)
x
x x

x
5 3 1
lim
1
đ-Ơ
+ -
-

k)
x
x x x
x x
2
2
2 3
lim
4 1 2
đ-Ơ
+ +
+ - +
l)
(
)
x
x x x
2 2
lim 2 1
đ-Ơ
+ - -
m)

(
)
x
x x x
2
lim 2
đ-Ơ
+ +

Bi 6. Xột tớnh liờn tc ca hm s:
a)
x khi x
f x
x x
khi x
x
2
1 3
( )
2 3
3
2 6

- Ê
ù
=

- -
>
ù

-

trờn R b)
x
khi x
x
f x
khi x
2
1 cos
0
sin
( )
1
0
4

-

ù
ù
=

ù
=
ù

ti x = 0
c)
x

khi x
f x
x x
khi x
2
12 6
2
( )
7 10
2 2

-

ù
=

- +
ù
=

trờn R d)
x khi x
f x
x khi x
2
0
( )
1 0

ù

<
=

-
ù

ti x = 0
Bi 7. Tỡm a hm s liờn tc trờn R:
a)
2
3 2
2 1 1
( )
2 2
1
1
a khi x
f x
x x x
khi x
x

ù
+ Ê
ù
ù
ù
=

- + -

ù
>
ù
ù
-
ù

b)
x
khi x
f x
x
x a khi x
2
1
1
( )
1
1

-
ù

=

-
ù
+ =



c)
x x
khi x
f x
x
a khi x
2
2
2
( )
2
2

+ -
ù
ạ -
=

+
ù
= -

d)
x x
khi x
f x
x
ax khi x
2
4 3

1
( )
1
2 1

- +
ù
<
=

-
ù
+


Bi 8. Chng minh rng phng trỡnh:
a) x x x
3 2
6 9 1 0
+ + + =
cú 3 nghim phõn bit.
b) m x x x
3 2 4
( 1) ( 4) 3 0
- - + - =
luụn cú ớt nht 2 nghim vi mi giỏ tr ca m.
c) m x x
2 4 3
( 1) 1 0
+ =

luụn cú ớt nht 2 nghim nm trong khong
(
)
1; 2
- vi mi m.
d) x mx
3 2
1 0
+ - =
luụn cú 1 nghim dng.
e) x x x
4 2
3 5 6 0
- + =
cú nghim trong khong (1; 2).
Bi 9. Cho m > 0 v a, b, c l 3 s thc tho món:
a b c
m m m
0
2 1
+ + =
+ +
. Chng minh rng
phng trỡnh: f x ax bx c
2
( ) 0
= + + =
cú ớt nht mt nghim thuc khong (0; 1).
HD: Xột 2 trng hp c = 0; c


0. Vi c

0 thỡ
m c
f f
m m m
2
1
(0). 0
2 ( 2)
ổ ử
+
= - <
ỗ ữ
+ +
ố ứ





www.MATHVN.com

×