Bài tập quan hệ song song trong không gian (chương II, hình học 11 cơ bản và nâng cao)

Nguyễn Hồng Điệp
Bài tập
Hình học không gian
✬
✫
✩
✪
✬
✫
✩
✪
✬
✫ ✪
✩
✪
✞
✝
☎
✆
Nguyễn Hồng Điệp
Vĩnh Bình - Gò Công Tây - Tiền Giang
www.MATHVN.com
mathvn.com
Lời mở đầu
• Quyển sách nhỏ này không cung cấp lại các kiến thức cơ bản về hình
không gian. Xuyên suốt tài liệu là các dạng bài tập và phương pháp để
giải chúng
1
. Đa phần là các dạng bài tập được biên soạn lại từ nhiều
nguồn tài liệu khác nhau và bổ xung thêm một số vấn đề người soạn
cảm thấy cần thiết.

• Tài liệu được soạn bằng L
A
T
E
X phiên bản L
A
T
E
X 2
ε
. Muốn biết cụ
thể L
A
T
E
X là gì các bạn lên google là có ngay kết quả, sau đây là một số
điều mà tác giả tâm đắc
2
:
• Người soạn thảo văn bản không có kiếu thường mắc phải sai lầm
nghiêm trọng vì quan điểm: “Nếu một tài liệu trông sắc sảo thì
nó đã được thiết kế tốt”. Tuy nhiên các tài liệu được in ấn để đọc
chứ không phải để trưng bày trong phòng triển lãm nghệ thuật.
• Tính rõ ràng, dễ đọc, dễ hiểu của tài liệu phải được đặt lện hàng
đầu. L
A
T
E
X làm rất tốt điều này, L
A

T
E
X yêu cầu người soạn định
nghĩa cấu trúc logic của tài liệu, và chương trình sẽ lựa chọn cách
trình bày tốt nhất. Nhờ đó tài liệu soạn thảo trông thật chuyên
nghiệp. Các bạn sẽ thấy một số trang trong tài liệu này có nhiều
phần trắng hơn các trang khác, tất cả đều do L
A
T
E
X.
• Tác giả gởi lời cám ơn đến tất cả mọi người đã giúp đỡ trong thời
gian qua; nhờ có bạn Võ Nguyễn Hoàng Tâm và Lê Thanh Chung mà
tác giả bắt đầu học cách sử dụng L
A
T
E
X và cảm thấy ngày càng hứng
thú.
Ngày 21 tháng 10 năm 2013.
1
Một số phương pháp được người biên soạn tài liệu này đưa ra, tự tác giả cũng
thấy còn nhiều hạn chế, mong được sự đóng góp thêm của các bạn.
2
Đáng lẽ phần Lời mở đầu không có chú thích cuối trang nhưng trong T
E
X
footnote thật hấp dẫn (ˆ.ˆ).
♥ Nguyễn Hồng Điệp 3
www.MATHVN.com

mathvn.com
MỤC LỤC MỤC LỤC
Mục lục
I Mở đầu 7
1 Mở đầu về hình không gian 7
1.1 Mở rộng mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Giao tuyến của hai mặt phẳng 11
2.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 15
3.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng 19
4.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 23
5.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6 Chứng minh ba đường thẳng đồng qui 25
6.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
II Quan hệ song song 26
7 Giao tuyến của hai mặt phẳng 27
7.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 ♥ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
mathvn.com
MỤC LỤC MỤC LỤC

8 Đường thẳng song song mặt phẳng 29
8.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
9 Hai đường thẳng song song 31
9.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
9.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
10 Bài toán thiết diện 1 33
10.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
10.1.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
10.1.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
10.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
11 Hai mặt phẳng song song 38
11.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
11.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
12 Bài toán thiết diện 2 39
12.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
12.1.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
12.1.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
12.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
13 Hình lăng trụ - Hình hộp 41
14 Chứng minh 4 điểm đồng phẳng 44
14.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
14.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
15 Chứng minh sự thẳng hàng của 3 điểm 45
15.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
15.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
16 Chứng minh ba đường thẳng đồng qui 47
16.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
16.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
♥ Nguyễn Hồng Điệp 5

www.MATHVN.com
mathvn.com
MỤC LỤC MỤC LỤC
17 Bài tập tổng hợp 48
6 ♥ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
mathvn.com
1 MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN
Phần I
Mở đầu
1 Mở đầu về hình không gian
1.1 Mở rộng mặt phẳng
Trong phần bài tập mặt phẳng thường bị “thu gọn” thành tam giác, tứ
giác. . . khi “mở rộng” mặt phẳng thì ta sẽ có cách nhìn rõ ràng hơn đối
với một số dạng toán (không có quan hệ song song, vuông góc trong
không gian) như : giao tuyến hai mặt phẳng, giao điểm đường và mặt,
bài toán thiết diện . . . .
• Lưu ý:
1. “Mở rộng” bằng cách kéo dài các “đoạn thẳng giới hạn mặt phẳng”.
2. Khi mở rộng ta nên tìm tất cả các giao điểm có thể có.
3. Hai đường thẳng cắt nhau thì chúng phải đồng phẳng, tức chúng
cắt nhau trong mp (α) nào đó.
b
α
a
Ví dụ: Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng hình thang ABCD
(AB  CD, AB > CD). Tìm giao tuyến (SAD) và (SBC).
Phân tích
• Dựa vào tên gọi ta có ngay giao điểm thứ nhất là S.
♥ Nguyễn Hồng Điệp 7

www.MATHVN.com
mathvn.com
1.1 Mở rộng mặt phẳng 1 MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN
• Ta chọn (SAD) để “mở rộng” : nhận xét : nếu kéo dài SA, SD
cũng chưa thấy giao điểm mới.
• Kéo dài AD sẽ cắt BC (do cùng nằm trong (ABCD) và AD không
song song BC) nên giao điểm AD và BC là giao điểm thứ hai cần
tìm. Khi ta nối SI, BI thì DC bị khuất.
A
B
C
D
I
S
Giải
Ta có:
S ∈ (SAD)
S ∈ (SBC)

⇒ S ∈ (SAD) ∩ (SBC) (1)
Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I là giao điểm AD và BC
⇒

I ∈ AD
I ∈ BC
⇒

I ∈ (SAD)
I ∈ (SBC)
⇒ I ∈ (SAD) ∩ (SBC) (2)

Từ (1), (2) ⇒ SI = (SAD)∩(SBC) Khi đó (SAD) “mở rộng” ra thành
(SAI).
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD; gọi I, J, K là các điểm trên cạnh AB, BC,
CD sao cho AI =
1
3
AB, BJ =
2
3
BC, CK =
4
5
CD. Tìm giao điểm
của (IJK) với AD.
8 ♥ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
mathvn.com
1 MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN 1.1 Mở rộng mặt phẳng
Phân tích
• Tỉ số
CK
CD
=
CJ
CB
(trong ∆CBD) nên JK không song song BD.
• Kéo dài AD ta chưa thấy giao điểm mới. Tránh nhầm lẫn AD
cắt IK, các điểm A, D, I cùng thuộc mặt phẳng (ABD) nhưng K
không thuộc (ABD) nên AD và IK không đồng phẳng.
• "Mở rộng" mặt phẳng (IJK) :

– Kéo dài IJ cắt BD ở E (trong mp (BCD)), khi đó (IJK) “mở
rộng” thành (IJE).
– E ∈ BD ⇒ E ∈ (ABD)
– Gọi F là giao điểm IE và AD thì F là điểm cần tìm.
B
E
C
D
A
I
J
K
F
Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là điểm tùy ý trong tam giác SCD.
Tìm thiết diện
3
tạo bởi mặt phẳng (ABM) với hình chóp.
Phân tích
• AB kéo dài cắt CD ở E (trong mp(ABCD)). Lúc này (ABM) trở
thành (AEM).
• ME cắt SC và SD lần lượt tại K, H (trong mp(SCD)). Lúc này
(ABM) trở thành (HAE).
3
Thiết diện sẽ nói rõ hơn ở những phần sau
♥ Nguyễn Hồng Điệp 9
www.MATHVN.com
mathvn.com
1.2 Bài tập 1 MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN
• Khi đó giao thiết diện là tứ giác AHKB.
A

D
E
S
B
C
H
M
K
1.2 Bài tập
1. Cho tứ diện SABC. Gọi M, N, P là điểm thuộc SA, SB, SC.
(a) Kéo dài NM cắt AB ở H, H thuộc các mp nào?
(b) MP cắt AC không? Vì sao?
(c) MP có thể cắt đường thẳng nào? Gọi giao điểm (nếu có) là
J, J thuộc mp nào?
(d) HJ có thuộc mp(ABC), mp(MNP) không?
2. Cho hình chóp SABC, gọi M, N là các điểm thuộc SA, SB, P là
điểm nào trong mp(SBC)
(a) Các đường thẳng qua MN, MP, SP có thể cắt các đường
thẳng nào?
(b) MP cắt AB, BC không? Vì sao?
10 ♥ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
mathvn.com
2 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
2 Giao tuyến của hai mặt phẳng
2.1 Phương pháp giải
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta tìm hai điểm chung phân
biệt của hai mặt phẳng. Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua hai
điểm chung đó.
M ∈ (α) ∩ (β)

N ∈ (α) ∩ (β)

⇒ MN = (α) ∩ (β)
α
β
M
N
2.2 Bài tập
1. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thang (AB song song
DC và AB > CD). Tìm giao tuyến các mp:
(a) (SAB) và (ABCD).
(b) (SAD) và (SBC).
(c) (SAC) và (SBD).
2. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là tứ giác lồi (AD > CD)
(a) Tìm giao tuyến các mặt phẳng sau:
i. (SAC) và (SBD).
♥ Nguyễn Hồng Điệp 11
www.MATHVN.com
mathvn.com
2.2 Bài tập 2 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
ii. (SBC) và (SCD).
iii. (SAD) và (SBC).
(b) Gọi N là trung điểm BC. Tìm giao tuyến của (SAN) và:
i. (ACD).
ii. (SCD).
(c) Gọi H là điểm thuộc SD (H nằm gần S), K là điểm thuộc SC
(K nằm gần C). Tìm giao tuyến của (AHK) và
i. (SCD).
ii. (ABCD).
iii. (SAB).

3. Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng hình bình hành ABCD.
(a) Tìm giao tuyến mp(SAC) và mp(SBD).
(b) Gọi N là trung điểm BC. Tìm giao tuyến mp(SAN) và mp(ACD).
4. Cho hình bình hành ABCD và điểm M không nằm trong mặt
phẳng chứa hình bình hành
(a) Tìm giao tuyến (MAC) và (MBD)
(b) Gọi N là trung điểm BC. Tìm giao tuyến của (AMN) và
i. (ACD)
ii. (MCD)
5. Cho hình chóp SABCD có hai cạnh đối diện không song song. Lấy
điểm M thuộc miền trong tam giác SCD. Tìm giao tuyến các mp
sau:
(a) (SBM) và (SCD)
(b) (AMB) và (SCD)
(c) (ABM) và (SAC)
(d) (ABM) và (SAD)
12 ♥ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
mathvn.com
2 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG 2.2 Bài tập
6. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang nhận cạnh
AB làm đáy lớn. Gọi E, F là trung điểm SA, SC. M là một điểm
tùy ý trên SD. Tìm giao tuyến các mp sau:
(a) (SAC) và (SBD)
(b) (SAD) và (SBC)
(c) (SAB) và (SDC)
(d) (MEF) và (MAB)
7. Cho tứ diện ABCD với I là trung điểm BD. Gọi E, F là trọng tâm
các tam giác ABD và CBD. Tìm giao tuyến của:
(a) (IEF) và (ABC)

(b) (IAF) và (IEC)
8. Cho tứ diện ABCD với I là trung điểm cạnh AD. Cho M, N là hai
điểm tùy ý trên AB, AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN).
9. Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt
là trung điểm AD và BC.
(a) Xác định giao tuyến (MBC) và (DNA)
(b) Cho I, J lần lượt là hai điểm nằm trên AB và AC. Xác định
giao tuyến (MBC) và (IJD).
10. Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong tam giác ACD.
Gọi I, J tương ứng là 2 điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không
song CD
(a) Tìm giao tuyến (IJM) và (ACD); (IJM) và (ACD)
(b) Lấy N thuộc miền trong tam giác ABD sao cho JN cắt AB
tại L. Tìm giao tuyến của (MNJ) và (ABC).
11. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD có AB cắt CD tại E, AC cắt
BD tại F
♥ Nguyễn Hồng Điệp 13
www.MATHVN.com
mathvn.com
2.2 Bài tập 2 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
(a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD),
(SAC) và (SBD).
(b) Tìm giao tuyến của (SEF) với các mặt phẳng (SAD), (SBC).
12. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là các điểm nằm trên AB, AD với
AI =
1
2
IB, AJ =
3
2

JD .Tìm giao tuyến của (CIJ) và (BCD).
13. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J và K lần lượt là các điểm trên cạnh
AB, BC và CD sao cho AI =
1
3
AB, BJ =
2
3
BC, CK =
4
5
CD.
Tìm giao tuyến của (IJK) với (ABD).
14. Cho hình bình hành ABCD và S không nằm trong mặt phẳng chứa
hình bình hành. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm các đoạn AB,
BC, SD. Tìm giao tuyến của (MNE) với các mp (SAD), (SCD),
(SAB), (SBC).
15. Cho hình bình hành ABCD và điểm S không nằm trong mp chứa
hình bình hành. Gọi M, E lần lượt là trung điểm các đoạn AB,
SD. N là điểm đối xứng với B qua C. Tìm giao tuyến (MNE) với
các mp (SCD), (SBD), (SAD) và (SAB).
16. Cho một tứ giác lồi ABCD nằm trong mp(P) có các cạnh đối
không song song. M là một điểm không nằm trong (P). Tìm giao
tuyến các cặp mp sau :
(a) (MAB) và (MCD)
(b) (MAD) và (MBC)
17. Cho tứ diện (ABCD). M là một điểm bên trong tam giác ABD,
N là một điểm bên trong tam giác ACD. Tìm giao tuyến của các
cặp mặt phẳng (AMN) và (BCD), (DMN) và (ABC).
18. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là trung điểm của AD, BC

(a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (JAD).
(b) M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC.
Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (DMN).
14 ♥ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
mathvn.com
3 GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
19. Cho hình chóp SABC. Gọi N là điểm nằm trên cạnh SB.
(a) M là điểm nằm trên SA, P là điểm nằm trong (SBC). Tìm
giao tuyến của (MNP) với (SAC).
(b) M là điểm nằm trong mp(SAB), P là điểm nằm trong mp(SBC).
Tìm giao tuyến của mp(MNP) với mp(SAC).
20. Cho hình chóp SABCD. Gọi M, N, P là các điểm trên SA, SB BP.
Tìm giao tuyến của mp(MNP) với:
(a) mp(ABCD)
(b) mp(SBC)
(c) mp(SCD)
(d) mp(SAD)
21. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm
O. M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, SO. Tìm giao
tuyến của mp(MNP) với các mặt phẳng (SAB), (SAD), (SBC) và
(SCD).
3 Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
3.1 Phương pháp giải
 Trong (α) có sẵn đường thẳng b cắt a tại I thì giao điểm là I
I ∈ a ∩ b
b ⊂ (α)

⇒ I ∈ a ∩ (α)
α

a
b
I
♥ Nguyễn Hồng Điệp 15
www.MATHVN.com
mathvn.com
3.1 Phương pháp giải3 GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
 Trong (α) không có sẵn đường thẳng cắt a ta thực hiện :
• Chọn mặt phẳng (β)
4
chứa a
• Tìm giao tuyến c của (α) và (β)
• Tìm giao điểm I của a và c. Khi đó I là điểm cần tìm.
α
β
I
c
a
 Định lí Thalet: Trong tam giác ABC nếu M, N chia AB, AC
theo cùng tỉ lệ thì MN song song BC.
AM
MB
=
AN
NB
⇒ MN  BC
B
C
A
M

N
4
a nằm trong nhiều mặt phẳng, chọn (β) sao cho tìm giao điểm được dễ dàng.
16 ♥ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
mathvn.com
3 GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 3.2 Bài tập
3.2 Bài tập
1. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là các điểm nằm trên AB, AD với
AI =
1
2
IB, AJ =
3
2
JD. Tìm giao tuyến của IJ và (BCD).
2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J và K lần lượt là các điểm trên cạnh
AB, BC và CD sao cho AI =
1
3
AB, BJ =
2
3
BC, CK =
4
5
CD.
Tìm giao tuyến của (IJK) với AD.
3. Cho tứ diện ABCD có các điểm M, N lần lượt là trung điểm AC
và BC. Lấy K thuộc BD (K không là trung điểm BD). Tìm giao

tuyến của AD và (MNK).
4. Cho hình chóp S.ABCD. Lấy M, N, P lần lượt là các điểm trên
SA, AB và BC sao cho chúng không trùng với trung điểm các đoạn
ấy. Tìm giao điểm (nếu có) của mp(MNP) với các cạnh của hình
chóp, với AC, BD.
5. Cho hình chóp S.ABCD, M, N tương ứng là các điểm thuộc các
cạnh SC và BC. Tìm giao điểm của SD với (AMN).
6. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, CB, BD lần lượt lấy M,
N, P tùy ý. Tìm giao điểm của CD, AB, AD với (MNP).
7. Cho tứ diện SABC. Trên cạnh SA, SB lấy hai điểm M, N tùy ý.
Gọi O là điểm thuộc miền trong tam giác ABC. Tìm giao điểm
của (OMN) với các cạnh của tứ diện.
8. Cho 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm AC, BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD.
(a) Tìm giao điểm của CD với (MNP)
(b) Tìm giao tuyến của (MNP) và (ABD).
9. Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi I, K theo thứ
tự là hai điểm trong của các tam giác ABC và BCD. Giả sử IK
cắt (ACD) tại J. Xác định J.
♥ Nguyễn Hồng Điệp 17
www.MATHVN.com
mathvn.com
3.2 Bài tập 3 GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
10. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy M,
N, P. Gọi O là điểm tùy ý trong tam giác BCD.
(a) Tìm giao điểm BC và (ADO), giao tuyến (ABC) và (ADO)
(b) Tìm giao điểm OA và (MNP), giao tuyến (MNP) và (ADO)
11. Cho hình bình hành ABCD và điểm S nằm ngoài mp(ABC)
(a) Trên SC lấy M. Tìm giao điểm của AM và (SBD)
(b) Giả sử M là trung điểm SC. Gọi G là trọng tâm tam giác

SAD. Tìm giao tuyến cảu MG và (ABCD), (SAB).
12. Cho hình chóp SABCD
(a) Trên SA lấy M. Tìm giao điểm của BM và (SCD)
(b) Trên phần kéo dài của BC về phía C ta lấy N. Gọi G là
trọng tâm tam giác SAD. Tìm giao điểm của NG với các mp
(SCD), (SBD), (SAB).
13. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy I và lấy J, K lần lượt là
các điểm thuộc miền trong các tam giác BCD và BCD. Gọi L là
giao điểm của JK và (ABC)
(a) Xác định điểm L
(b) Tìm giao tuyến (IJK) và các mặt của tứ diện ABCD.
14. Cho tam giác ABC và điểm S không thuộc mặt phẳng (ABC).
Gọi M là trung điểm AC, N là trung điểm SA, Glà trọng tâm tam
giác SBC
(a) Tìm giao điểm NG và (ABC)
(b) Tìm giao điểm NG với (SBM)
15. Trong mp(P) cho tứ giác lồi ABCD có các cặp cạnh đối không
song song và ngoài (P) cho điểm S.
(a) Trên SA lấy M. Tìm giao điểm BM và (SCD)
18 ♥ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
mathvn.com
4 THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP VỚI MẶT PHẲNG
(b) Trên phần kéo dài của BC về phía C ta lấy N. Gọi G là trọng
tâm tam giác SAD. Tìm giao điểm của đường thẳng NG với
các mặt phẳng (SCD), (SBD), (SAB).
4 Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
4.1 Phương pháp giải
• Thiết diện (hay mặt cắt) là phần chung của hình chóp với mặt
phẳng đang xét (cắt hình chóp bởi mặt phẳng).

• Lưu ý : tất cả các cạnh của thiết diện phải nằm trên các mặt của
hình chóp.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
4.2 Bài tập
1. Cho tứ diện ABCD. Hãy xác định thiết diện của tứ diện ABCD
khi cắt bởi mặt phẳng (MNI) trong các trường hợp sau :
♥ Nguyễn Hồng Điệp 19
www.MATHVN.com
mathvn.com
4.2 Bài tập 4 THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP VỚI MẶT PHẲNG
a)
b)
c) M
2
∈ (A
2
B
2
D
2
)
B

D
C
A
N
I
M
B
1
D
1
C
1
A
1
N
1
I
1
M
1
B
2
D
2
C
2
A
2
N
2

I
2
M
2
2. Cho tứ diện ABCD gọi E là điểm đối xứng của A qua C. Xác định
thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng (BEF) troong các trường hợp
sau :
(a) F nằm trên CD và không trùng với C và D.
(b) F nằm trong tam giác ACD
(c) F nằm trong DD’ (D’ là trọng tâm tam giác ABC).
3. Cho hình chóp SABC. Các điểm M, N, E lần lượt trên các cạnh
SA, BC, SC thỏa mãn SM = MA, BN = NA,
SE
SC
=
2
3
. Tìm thiết
diện tạo bởi (MNE) cắt hình chóp.
4. Cho hình chóp SABC. Các điểm M, N, E lần lượt trên cạnh SA,
BC, SC thỏa SM = MA, BN = NA và
SE
SC
=
1
3
. Tìm thiết diện tạo
bởi (MNE) và hình chóp.
5. Cho hình chóp SBCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là
trung điểm SC, H là điểm trên đường chéo AC (không trùng với

giao điểm các đường chéo hình bình hành), và N là trung điểm
SH. Tìm thiết diện tạo bởi (BMN) và hình chóp.
6. Cho hình chóp SABC gọi M, N là các điểm trên SA, SB, P là điểm
trong mp(SBC). Tìm thiết diện tạo bởi (MNP) và hình chóp.
20 ♥ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
mathvn.com
4 THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP VỚI MẶT PHẲNG 4.2 Bài tập
7. Cho hình chóp SABC. Gọi N là điểm trên cạnh SB, M, P là các
điểm thuộc miền trong (SAB) và (SBC). Tìm thiết diện tạo bởi
(MNP) với hình chóp.
8. Cho hình chóp SABCD. Gọi M, N, P là các điểm trên SA, SB,
BD. Tìm thiết diện tạo bởi (MNP) với hình chóp.
9. Cho hình chóp SABCD. Gọi M là điểm tùy ý trong tam giác SCD.
Tìm thiết diện tạo bởi (ABM) và hình chóp.
10. Cho hình chóp SABCD. Trên cạnh SA, SB, SC, SD lấy các điểm
O, G, P tùy ý. Tìm thiết diện tạo bởi (GOP) và hình chóp.
11. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Gọi M,
N, E lần lượt là trung điểm AB, BC, SD. Tìm thiết diện tạo bởi
(MNE) và hình chóp.
12. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Gọi M
là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAD. Tìm thiết diện
tạo bởi (MGC) và hình chóp.
13. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H
là giao điểm các đường chéo đáy và M, N là trung điểm AH, BH.
Gọi M’, N’ là trung điểm SM, SN. Tìm thiết diện tạo bởi (AM’N’)
cắt hình chóp.
14. Cho hình chóp ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là
trọng tâm tam giác SAD. H là giao điểm các đường chéo đáy, M
là trung điểm BH, K là điểm trên SM, N là trung điểm AG. Tìm

thiết diện tạo bởi (BKN) và hình chóp.
15. Cho hình chóp S.ABCD. Trong tam giác SBC, lấy một điểm M.
Trong tam giác SCD, lấy một điểm N.
(a) Tìm giao điểm của MN và (SAC).
(b) Tìm giao điểm của SC với (AMN).
(c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (AMN).
♥ Nguyễn Hồng Điệp 21
www.MATHVN.com
mathvn.com
4.2 Bài tập 4 THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP VỚI MẶT PHẲNG
16. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,
N, P lần lượt là trung điểm của SB, SD và OC.
(a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC), và giao điểm của
(MNP) với SA.
(b) Xác định thiết diện của hình chóp với (MNP) và tính tỉ số
mà (MNP) chia các cạnh SA, BC, CD.
17. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung
điểm của SB, G là trọng tâm tam giác SAD.
(a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD). Chứng minh (CGM)
chứa CD.
(b) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm của SA. Tìm thiết
diện của hình chóp với (CGM).
(c) Tìm thiết diện của hình chóp với (AGM).
18. Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một
điểm trên cạnh SD.
(a) Tìm giao điểm I của BN và (SAC) và giao điểm J của MN
và (SAC).
(b) DM cắt AC tại K. Chứng minh S, K, J thẳng hàng.
(c) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng
(BCN).

19. Cho hình chóp S.ABC. M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần
lượt là trung điểm của AB và AD. Tìm thiết diện của hình chóp
với mặt phẳng (MNP).
20. Cho hình chóp SABC. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằm
trong các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SAC). Tìm thiết diện tạo
bởi (MNP) và hình chóp.
21. Cho hình chóp SABC, các điểm A’, B’, C’ nằm trên SA, SB, SC
nhưng không trùng với S, A, B, C. XÁc định thiết diện của hình
chóp khi cắt bởi mặt (A’B’C’).
22 ♥ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
mathvn.com
5 CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
22. Cho hình chóp SABC D. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác
SCD
(a) Tìm giao tuyến của (SBM) và (SAC)
(b) Tìm giao điểm của BM và (SAC)
(c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (AMB).
23. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, E
là trung điểm của AB, Bc, SD. Tìm thiết diện tạo bởi (MNE) cắt
hình chóp.
24. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M
là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAD. Tìm thiết diện
tạo bởi (MGC) cắt hình chóp.
25. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G
là trọng tâm tam giác SAD. H là giao điểm các đường chéo đáy,
M là trung điểm BH, K là điểm trên SM, N là trung điểm AG.
Tìm thiết diện tạo bởi (BKN) và hình chóp.
5 Chứng minh ba điểm thẳng hàng
5.1 Phương pháp giải

Ta chứng minh ba điểm ấy cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt. (Tại
sao?
5
)(ˆ.ˆ)
5
Phần chung (nếu có) của hai mặt phẳng là đường thẳng, điểm chung thứ 3 phải
nằm trên đường thẳng này, do đó ta có ba điểm thẳng hàng.
♥ Nguyễn Hồng Điệp 23
www.MATHVN.com
mathvn.com
5.2 Bài tập 5 CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
5.2 Bài tập
1. Cho ba điểm A, B, C không thuộc mặt phẳng (Q) và các đường
thẳng BC, CA, AB cắt (Q) lần lượt tại M, N, P. Chứng minh M,
N, P thẳng hàng.
2. Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB, SC lấy D, E, F sao cho DE cắt
AB tại I, EF cắt BC tại j, cắt CA tại K. Chứng minh I, J, K thẳng
hàng.
3. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC và ngoài (P) cho điểm S.
Giả sử A’, B’, C’ là các điểm nằm trên SA, SB, SC sao cho A’B’
cắt AB tại M, A’C’ cắt AC tại N và B’C’ cắt BC tại E. Chứng
minh M, N, E thẳng hàng.
4. Cho (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến d. Trong (α) lấy hai điểm
A và B sao cho AB cắt d tại I. Điểm O nằm ngoài (α) và (β) sao
cho OA và OB cắt (β) tại A’ và B’
(a) Chứng minh I, A’, B’ thẳng hàng.
(b) Trong (α) lấy C sao cho A, B, C không thẳng hàng. Giả sử
OC cắt (β) tại C’, BC cắt B’C’ tại J, CA cắt C’A’ tại K.
Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
5. Cho tứ diện SABC có D, E lần lượtlà trung điểm AC, BC và G

là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (α) qua AC cắt SE, SB
ở M, N. Một mặt phẳng (β) qua BC cắt SD, SA tại P và Q
(a) Gọi I là giao điểm của AM và DN, J là giao điểm BP và EQ.
Chứng minh S, I, J, G thẳng hàng.
(b) Giả sử K là giao điểm An và DM, L là giao điểm BQ và EP.
Chứng minh S, K, L thẳng hàng.
6. Cho tứ diện OABC. Trên OA, OB, OC lấy A’, B’, C’ khác O sau
cho các đường thẳng sau đây cắt nhau: BC cắt B’C’ tại I, CA cắt
C’A’ tại J, AB cắt A’B’ tại H. Chứng minh I, J, H thẳng hàng.
24 ♥ Nguyễn Hồng Điệp
www.MATHVN.com
mathvn.com
6 CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI
7. Trong mặt phẳng (P) cho tứ giác lồi ABCD và ngoài (P) cho điểm
S. Gọi O là giao điểm hai đường chéo ABCD. Trên đoạn SO lấy
điểm I. Một đường thẳng đi qua I cắt SA, SC của tam giác SAC
tại A’ và C’. Một đường thẳng khác đi qua I cắt SB, SD của tam
giác SBD B’, D’. Giả sử A’B’ cắt AB tại M, C’D’ cắt CD tại N,
A’C’ cắt AC tại K và B’D’ cắt BD tại H. Chứng minh M, N, H,
K thẳng hàng.
8. Trong mặt phẳng (P) cho tứ giác lồi ABCD và ngoài (P) cho điểm
S. Giả sử C’, D’ là các điểm trên SD, SC sao cho hai đường thẳng
AD’ và BC’ cắt nhau tại M. Giả sử A’, B’ là hai điểm trên SA,
SB sao cho hai đường thẳng DA’ và CB’ cắt nhau tại N. Chứng
minh M, N, S thẳng hàng.
9. Cho hình bình hành ABCD và tam giác ABM nằm trong hai mặt
phẳng khác nhau. Trên MA, MB, MC, MD lấy A’, B’, C’, D’. Gọi
I là giao điểm AC’ và A’C, K là giao điểm của BD’ và B’D. Chứng
minh I, K, M thẳng hàng.
6 Chứng minh ba đường thẳng đồng qui

6.1 Phương pháp giải
Cách 1: Chứng tỏ ba đừng thẳng đó cắt nhau từng đôi một và chúng
không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Cách 2: Chỉ ra rằng hai trong ba đường thẳng đó cắt nhau tại M.
Chứng minh M nằm trên đường thẳng còn lại, nghĩa là đường thẳng
còn lại là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng đi qua M.
Ví dụ: Cho tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng khác
nhau. Gọi M, E là trung điểm của CA, CB. Trên cạnh DB, DA của tam
giác ABD lấy N, F sao cho Mn và EF cắt nhau. Gọi G là trọng tâm
tam giác ABC. Chứng minh MN, EF, DG đồng qui.
Giải
♥ Nguyễn Hồng Điệp 25
www.MATHVN.com
mathvn.com