Đề cương ôn tập môn toán 12 học kì 1 và cả năm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1004.19 KB, 37 trang )
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 1 DeThiThuDaiHoc.com
CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT MƠN TỐN
* PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm)
- Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài tốn liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của
hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có
tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)
Câu II (3,0 điểm)
- Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit.
- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
- Tìm ngun hàm, tính tích phân.
- Bài tốn tổng hợp.
Câu III (1,0 điểm)
Hình học khơng gian (tổng hợp): Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay;
tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; diện tích mặt cầu và thể
tích khối cầu.
* PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh học chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2).
Theo chương trình Chuẩn
Câu IV.a (2,0 điểm): Phương pháp tọa độ trong khơng gian:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng
và mặt cầu.
Câu V.a (1,0 điểm)
- Số phức: mơđun của số phức, các phép tốn trên số phức; căn bậc hai của số thực âm; phương
trình bậc hai hệ số thực có biệt thức Delta âm.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
Theo chương trình Nâng cao
Câu IV.b (2,0 điểm): Phương pháp tọa độ trong khơng gian:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường
thẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu V.b (1,0 điểm)
- Số phức: Mơđun của số phức, các phép tốn trên số phức; căn bậc hai của số phức; phương trình
bậc hai với hệ số phức; dạng lượng giác của số phức.
- Đồì thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax
2
+ bx +c) /(px+q ) và một số yếu tố liên quan.
- Sự tiếp xúc của hai đường cong.
- Hệ phương trình mũ và lơgarit.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
Hết
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 2 DeThiThuDaiHoc.com
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC
I. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ CUNG ĐẶC BIỆT
Cung/
GTLG
0
(
0
0
)
6
π
(
0
30
)
4
π
(
0
45
)
3
π
0
(60 )
2
π
0
(90 )
2
3
π
(
0
120
)
3
4
π
(
0
135
)
5
6
π
(
0
150
)
π
(
0
180
)
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
−
2
2
−
3
2
−
-1
tan
0
3
3
1
3
||
3
−
-1
3
3
−
0
cot
||
3
1
3
3
0
3
3
−
-1
3
−
||
II. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Cơng thức cộng
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos sin cos
sin( ) sin cos sin cos
tan tan
tan( ) ,( , , )
1 tan tan 2
tan tan
tan( ) ,( ,
1 tan tan
π
π
− = +
+ = −
− = −
+ = +
+
+ = ≠ + ∈
−
−
− = ≠
+
ℤ
a b a b a b
a b a b a b
a b a b b a
a b a b b a
a b
a b a b k k
a b
a b
a b a b
a b
, )
2
π
π
+ ∈
ℤ
k k
2. Cơng thức nhân đơi
2 2 2 2
2
sin2 2sin cos
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2tan
tan2
1 tan
a a a
a a a a a
a
a
a
=
= − = − = −
=
−
3. Cơng thức hạ bậc
2 2
2
1 cos2 1 cos2
cos tan
2 1 cos2
1 cos2
sin
2
a a
a a
a
a
a
+ −
= =
+
−
=
4. Cơng thức biến đổi tích thành tổng
[ ]
[ ]
[ ]
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= − + +
= − − +
= − + +
6. Các hằng đẳng thức lượng giác
2 2
2
2
2
2
sin 1
1
1 tan , ,
2
1
1 cot , ,
sin
tan .cot 1, ,
2
a cos a
a a k k
cos a
a a k k
a
k
a a a k
π
π
π
π
+ =
+ = ≠ + ∈
+ = ≠ ∈
= ≠ ∈
ℤ
ℤ
ℤ
5. Cơng thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2cos .sin
2 2
sin( )
tan tan
cos cos
sin( )
cot cot
cos cos
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
+ −
+ =
+ −
− = −
+ −
+ =
+ −
− =
+
+ =
−
+ =
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 3 DeThiThuDaiHoc.com
IV. MỘT SỐ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC HAY DÙNG
2 2 2 2
2
3 3
sin cos 2 sin 2
4 4
cos4x = 2cos 2 1 1 2sin 2 2 sin 2
(sinx cosx) 1 sin 2
1
sin cos (sin cos ) 1 sin 2
2
π π
+ = + = −
− = − = −
± = ±
+ = + −
x x x cos x
x x cos x x
x
x x x x x
6
3 3
4 4 2
4 4 2 2
6 2
1
sin cos (sin cos ) 1 sin 2
2
1
sin cos 1 sin 2
2
sin cos sin cos
3
sin cos 1 sin 2
4
x x x x x
x x x
x x x x
x x x
− = − +
+ = −
− = −
+ = −
III. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Phương trình sinx = a
Phương trình cosx = a
2
sin sin ;
2
α π
α
π α π
= +
= = ⇔ ∈
= − +
ℤ
x k
x a k
x k
sin 2
sin ;
sin 2
x arc a k
x a k
x arc a k
π
π π
= +
= ⇔ ∈
= − +
ℤ
2
s s ;
2
α π
α
α π
= +
= = ⇔ ∈
= − +
ℤ
x k
co x a co k
x k
2
;
2
π
π
= +
= ⇔ ∈
= − +
ℤ
x arccosa k
cosx a k
x arccosa k
Phương trình tanx = a
(
Đ
K:
π
π
≠ + ∈
ℤ
,
2
x k k
)
Phương trình cotx = a
(
Đ
K:
π
≠ ∈
ℤ
,
x k k
)
tan tan ;
α α π
= = ⇔ = + ∈
ℤ
x a x k k
tan arctan ;
π
= ⇔ = + ∈
ℤ
x a x a k k
cot t ;
α α π
= = ⇔ = + ∈
ℤ
x a co x k k
cot cot ;
π
= ⇔ = + ∈
ℤ
x a x arc a k k
IV. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1. Phương trình asinx + bcosx = c
asinx + bcosx = c
2 2
sin( )
a b x c
α
⇔ + + =
. Trong
đ
ó
2 2 2 2
;sin
a b
cos
a b a b
α α
= =
+ +
2. Phương trình
2 2
a x b x x c x d
+ + =
sin sin cos cos
- Ki
ể
m tra xem cosx = 0 có là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình khơng ?.
- N
ế
u
cos 0
x
≠
, chia c
ả
2 v
ế
c
ủ
a ph
ươ
ng trình cho
2
cos x
, ta
đượ
c:
2 2
tan (1 tan )
a x btanx c d x
+ + = +
BẢNG ĐẠO HÀM
'
( )
x
α
=
1
.
x
α
α
−
'
1
x
=
2
1
x
−
'
( )
x
=
1
2
x
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = - sinx
(tanx)’ =
2
1
cos
x
(cotx)’ =
2
1
sin
x
−
'
( )
u
α
=
1
. '.
u u
α
α
−
'
1
u
=
2
'
u
u
−
'
( )
u
=
'
2
u
u
(sinu)’ = u’.cosu
(cosu)’ = -u’.sinu
(tanu)’ =
2
'
cos
u
u
(cotu)’ =
2
'
sin
u
u
−
'
)(
x
e
= e
x
'
)(
x
a
= a
x
.lna
(ln| x |)’ =
x
1
(log
a
| x |)’ =
1
ln
x a
'
)(
u
e
= u’.e
u
'
)(
u
a
= u’.a
u
.lna
(ln| u |)’ =
u
u'
(log
a
| u |)’ =
a
u
u
ln
'
(u
±
v)’ = u’
±
v’
(uv)’ = u’v + v’u
(ku)’ = k.u’
'
u
v
=
2
' '
u v v u
v
−
2
. .
'
( )
ax b a d b c
y y
cx d cx d
+ −
= ⇒ =
+ +
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 4 DeThiThuDaiHoc.com
Chương I KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 3, BẬC 4
1. Các bước khảo sát
- Tập xác định: D = R ;
- Tính đạo hàm y’, giải phương trình y’ = 0 và tìm các điểm cực trị ;
- Tính các giới hạn
lim
x
y
→−∞
;
lim
x
y
→+∞
;
- Lập BBT, nhận xét về tính đơn điệu và cực trị của đồ thị hàm số ;
- Vẽ đồ thị.
Tìm điểm đặc biệt: Tâm đối xứng của đồ thị, giao với các trục Ox, Oy …
2. Các dạng của đồ thị
Hàm số bậc 3 Hàm số bậc 4
Có cực đại và cực tiểu Có cực đại và cực tiểu
a > 0 a < 0 a > 0 a < 0
Khơng có cực trị Có cực đại hoặc cực tiểu
a > 0 a < 0 a > 0 a < 0
3. Các ví dụ
Hàm số bậc ba Hàm số bậc bốn
Ví dụ : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
3 2
3 4
y x x
= + −
Giải
* Tập xác đònh: D = R
* Đạo hàm:
2
' 3 6 3 ( 2)
y x x x x
= + = +
Cho
0 4
' 0 3 ( 2) 0
2 0
x y
y x x
x y
= ⇒ = −
= ⇔ + = ⇔
= − ⇒ =
* Giới hạn:
lim
x
y
→−∞
= −∞
;
lim
x
y
→+∞
= +∞
* Bảng biến thiên:
Ví dụ : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
4 2
2 3
y x x
= − −
Giải
* Tập xác đònh: D = R
* Đạo hàm:
3 2
' 4 4 4 ( 1)
y x x x x
= − = −
Cho
2
1 4
' 0 4 ( 1) 0
0 3
x y
y x x
x y
= ± ⇒ = −
= ⇔ − = ⇔
= ⇒ = −
* Giới hạn:
lim
x
y
→−∞
= +∞
;
lim
x
y
→+∞
= +∞
* Bảng biến thiên:
PHẦN GIẢI TÍCH
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 5 DeThiThuDaiHoc.com
x
−∞
-2 0 +
∞
y’ + 0 - 0 +
y
0
+∞
−∞
-4
* Nhận xét :
+ HS đồng biến trên
( ; 2)
−∞ −
và
(0; )
+∞
, nghịch
biến trên (-2 ; 0).
+ HS đạt cực đại tại x = -2 ; y
CĐ
= 0, đạt cực tiểu
tại x = 0 ; y
CT
= -4.
* Đồ thị:
+ Đồ thò nhận điểm I(-1 ; -2) làm tâm đối xứng.
+ Cho
1 0
x y
= ⇒ =
.
+ Cho
3 4
x y
= − ⇒ = −
.
x
−∞
-1 0 1 +
∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
y
+∞
-3
+∞
-4 -4
* Nhận xét:
+ HS đồng biến trên
( 1;0)
−
và
(1; )
+∞
,
nghịch
biến trên
( ; 1)
−∞ −
và
(0;1)
.
+ HS đạt cực đại tại x = 0 ; y
CĐ
= -3, đạt cực tiểu
tại x =
1
±
; y
CT
= -4.
* Đồ thị:
+ Cho
2 5
x y
= − ⇒ =
.
+ Cho
2 5
x y
=
⇒
=
.
II. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC
ax b
y
cx d
+
=
+
,
d
x
c
≠ −
Các bước khảo sát Ví dụ
* TXĐ: D =
\
d
R
c
−
.
* Tính đạo hàm
'
2
( )
ad bc
y
cx d
−
=
+
.
* Giới hạn, tiệm cận.
lim ?
d
x
c
y
+
→−
=
,
lim ?
d
x
c
y
−
→−
=
⇒
Tiệm cận đứng:
d
x
c
= −
.
lim
x
a
y
c
→+∞
=
,
lim
x
a
y
c
→−∞
=
⇒
Tiệm cận ngang: y =
a
c
.
* Lập bảng biến thiên:
y’ > 0 y’ < 0
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
Giải
* Tập xác định:
\{1}
D
=
ℝ
* Đạo hàm:
2
2
' 0
( 1)
y
x
−
= <
−
x D
∀ ∈
.
* Giới hạn, tiệm cận:
+ Vì
1 1
lim ; lim
x x
y y
+ −
→ →
= +∞ = −∞
nên TCĐ: x = 1.
+ Vì
lim 1
x
y
→±∞
=
nên tiệm cận ngang là y = 1.
* Bảng biến thiên:
x
−∞
1 +
∞
y’ - -
y
1
+∞
−∞
1
* Nhận xét:
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 6 DeThiThuDaiHoc.com
* Vẽ đồ thị.
Tìm điểm đặc biệt: giao với trục Ox, Oy.
Lưu ý:
- Đồ thị đối xứng qua điểm I là giao điểm của
TCĐ và TCN.
- Trục hồnh: y = 0.
- Trục tung: x = 0.
+ HS ln nghịch biến trên
(
)
;1
−∞
và
(
)
1;
+∞
.
+ HS khơng có cực trị.
* Đồ thị:
+ Cho
0 1
x y
= ⇒ = −
.
+ Cho
0 1
y x
= ⇒ = −
.
BÀI TẬP
Bài tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1.
3 2
3 1
y x x
= + −
2.
3 2
3 1
y x x
= − +
3.
3 2
3
y x x
= +
4.
3 2
3 2
y x x
= − +
5.
3 2
2 3
y x x
= −
6.
3 2
6 9
y x x x
= − +
7.
3 2
3
y x x
= − +
8.
3 2
2 3 1
y x x
= − + +
9.
3 2
3 1
y x x
= − + −
10.
3
3 2
y x x
= − + −
11.
3 2
3 2
= − − +
y x x
12.
3 2
3 4
= − + −
y x x
13.
3 2
6 9 1
= − + −
y x x x
Bài tập 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1.
4 2
2 1
y x x
= − −
2.
2 4
2
y x x
= −
3.
4 2
1
2 1
4
= − + +
y x x
4.
4 2
2 4 1
y x x
= − −
5.
4 2
2 2
y x x
= − −
6.
4 2
2 1
y x x
= − +
7.
4
2
3
2 2
x
y x
= − −
8.
4 2
4
y x x
= − +
Bài tập 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1.
1
2
x
y
x
−
=
+
2.
1
2
−
=
−
x
y
x
3.
2 1
1
x
y
x
−
=
+
4.
2 3
1
x
y
x
−
=
+
5.
3
1
x
y
x
+
=
−
6.
3 1
1
x
y
x
+
=
−
7.
3 5
2 2
x
y
x
+
=
+
8.
3 2
1
x
y
x
−
=
+
9.
2 1
2
x
y
x
+
=
−
10.
2 1
2
x
y
x
− +
=
+
11.
2 1
2
x
y
x
+
=
−
12.
2
1
x
y
x
+
=
+
13.
1
2
+
=
−
x
y
x
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 7 DeThiThuDaiHoc.com
BÀI TỐN 1: Định giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên TXĐ
1. Định lí về dấu của tam thức bậc 2
Cho tam thức bậc 2:
2
( )
f x ax bx c
= + +
(
0
a
≠
) có
2
4
b ac
∆ = −
. Khi
đ
ó:
- Nếu
0
∆ <
thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x
∈
ℝ
.
- Nếu
0
∆ =
thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x
∈
ℝ
, trừ
2
b
x
a
= −
.
- N
ế
u
0
∆ >
, gi
ả
s
ử
tam th
ứ
c có 2 nghi
ệ
m
1 2
,
x x
(
1 2
x x
<
) ta có b
ả
ng xét d
ấ
u:
x
-
∞
1
x
2
x
+
∞
f(x)
cùng d
ấ
u a 0 trái d
ấ
u a 0 cùng d
ấ
u a
2. Định giá trị của m
Đối với hàm bậc 3
3 2
y ax bx cx d
= + + +
(
0
a
≠
)
- T
ậ
p xác
đị
nh: D = R
-
Đạ
o hàm:
2
' 3 2
y ax bx c
= + +
.
Đối với hàm nhất biến
ax b
y
cx d
+
=
+
,
d
x
c
≠ −
TX
Đ
: D =
\
d
R
c
−
.
Đạ
o hàm:
2
. .
'
( )
a d b c
y
cx d
−
=
+
y
đồ
ng bi
ế
n trên D
' 0
y
⇔ ≥
,
x D
∀ ∈
0
0
>
⇔
∆ ≤
a
y ngh
ị
ch bi
ế
n trên D
' 0
y
⇔ ≤
,
x D
∀ ∈
0
0
<
⇔
∆ ≤
a
y
đồ
ng bi
ế
n trên t
ừ
ng
kho
ả
ng c
ủ
a D
' 0
⇔ >
y
,
x D
∀ ∈
0
⇔ − >
ad bc
y ngh
ị
ch bi
ế
n trên t
ừ
ng
kho
ả
ng c
ủ
a D
' 0
⇔ <
y
,
x D
∀ ∈
0
⇔ − <
ad bc
Ví dụ:
Đị
nh m
để
hàm s
ố
3 2
1
( 6) (2 1)
3
y x mx m x m
= + + + − +
đồ
ng bi
ế
n trên
t
ậ
p xác
đị
nh.
Giải.
T
ậ
p xác
đị
nh: D = R
2
' 2 6
y x mx m
= + + +
có
' 2
'
.1( 6)
∆ = − +
y
m m
2
6
m m
= − −
Để
hàm s
ố
đồ
ng bi
ế
n trên t
ậ
p xác
đị
nh thì
2
1
0
3
2 3
6 0
= >
⇔ − < <
− − <
a
m
m m
.
Ví dụ: Đị
nh m
để
hàm s
ố
(2 1) 3
m x
y
x m
− +
=
+
đồ
ng
bi
ế
n trên t
ậ
p xác
đị
nh.
Giải.
T
ậ
p xác
đị
nh: D = R\{-m}
Ta có
2
2 2
(2 1) 3 2 3
'
( ) ( )
m m m m
y
x m x m
− − − −
= =
+ +
.
Để
HS
đồ
ng bi
ế
n trên TX
Đ
thì
2
1
' 0 2 3 0
3
2
< −
> ⇔ − − > ⇔
>
m
y m m
m
.
BÀI TẬP
1.
Cho hàm s
ố
3 2
( 2) ( 1) 2
= + + − − −
y x m x m x
(1).
Đị
nh m
để
hàm s
ố
(1)
đồ
ng bi
ế
n trên t
ậ
p xác
đị
nh
c
ủ
a nó.
2.
Cho hàm s
ố
3 2
3 2 1
2
+ − +
=
mx
y x x (1).
Đị
nh m
để
hàm s
ố
(1)
đồ
ng bi
ế
n trên t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a nó.
3.
Cho hàm s
ố
2 3 2
1
( 1)
3
( 1) 2 1
−
= + − − +
m
y x m x x
(1).
Đị
nh m
để
hàm s
ố
(1)
đồ
ng bi
ế
n trên t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a nó.
CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 8 DeThiThuDaiHoc.com
BÀI TỐN 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a ; b]
Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a ; b].
Phương pháp Ví dụ
* Tính đạo hàm y’.
* Giải y’ = 0 tìm nghiệm
1 2
,
x x
…
( ; )
∈
a b
* Tính các giá trị
1 2
( ), ( ), ( ), ( )
y a y b y x y x
* Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số
trên, ta có:
max
[ ; ]
=
y M
a b
min m
[ ; ]
=
y
a b
Ví dụ.
Tìm GTLN và GTNN c
ủ
a hàm s
ố
3 2
3 2
= − +
y x x
trên
đ
o
ạ
n [-1 ; 1].
Giải
*
Đạ
o hàm:
2
' 3 6 3 ( 2)
= − = −
y x x x x
Cho y’ = 0
0(nhận)
3 ( 2) 0
2(loại)
x
x x
x
=
⇔ − = ⇔
=
* Ta có y(-1) = -2 ; y(0) = 2 ; y(1) = 0
* V
ậ
y:
max 2
[ 1;1]
=
−
y
đạ
t
đượ
c t
ạ
i x = 0.
min 2
[ 1;1]
= −
−
y
đạ
t
đượ
c t
ạ
i x = -1.
BÀI TẬP
1.
Tìm GTLN, GTNN c
ủ
a hàm s
ố
3
3 1
y x x
= − +
trên
đ
o
ạ
n [0 ; 2] (TN THPT 2007).
2.
Tìm GTLN, GTNN c
ủ
a hàm s
ố
4 2
2 1
y x x
= − +
trên
đ
o
ạ
n [0 ; 2] (TN THPT 2008 – L
ầ
n 1).
3.
Tìm GTLN, GTNN c
ủ
a hàm s
ố
3 2
2 6 1
y x x
= − +
trên
đ
o
ạ
n [-1 ; 1] (TN THPT 2008 – L
ầ
n 2).
4.
Tìm GTLN, GTNN c
ủ
a hàm s
ố
3 2
1
2 3 7
3
= − + −
y x x x
trên
đ
o
ạ
n [0 ; 2].
5.
Tìm GTLN, GTNN c
ủ
a hàm s
ố
2
ln(1 2 )
y x x
= − −
trên
đ
o
ạ
n [-2 ; 0] (TN THPT 2009).
6.
Tìm GTLN, GTNN c
ủ
a hàm s
ố
(3 )
= −
x
y x e
trên
đ
o
ạ
n [3 ; 3].
7.
Tìm GTLN, GTNN c
ủ
a hàm s
ố
2
x
y x e
= −
trên
đ
o
ạ
n [-1 ; 0].
BÀI TỐN 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n (PTTT) c
ủ
a hàm s
ố
y = f(x) có
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i
đ
i
ể
m
0 0 0
( ; )
M x y
∈
đồ
th
ị
(C) và có
h
ệ
s
ố
góc
0
'( )
k f x
=
là:
Các bài tốn thường gặp:
L
ậ
p ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
hàm s
ố
(C): y = f(x).
1.
T
ạ
i
đ
i
ể
m có hồnh
độ
là x
0
, (tung
độ
0
y
) bi
ế
t tr
ướ
c.
Cách giải:
Thay x
0
, (
0
y
) vào ph
ươ
ng trình c
ủ
a (C) ta tìm
đượ
c y
0,
(
0
x
) t
ươ
ng
ứ
ng.
Lưu ý:
+ T
ạ
i giao c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) v
ớ
i tr
ụ
c tung: Ta có x
0
= 0.
+ T
ạ
i giao c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) v
ớ
i tr
ụ
c hồnh: Ta có y
0
= 0.
2.
Có h
ệ
s
ố
góc k cho tr
ướ
c.
Cách giải:
T
ừ
ph
ươ
ng trình k = f’(
0
x
) ta tìm
đượ
c
0
x
t
ừ
đ
ó tìm
đượ
c
0
y
.
3.
Bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
đ
ó song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng (d) y = ax + b.
Cách giải:
Vì ti
ế
p tuy
ế
n // d
k a
⇒ =
, t
ừ
ph
ươ
ng trình k = f’(
0
x
) = a ta tìm
đượ
c
0
x
t
ừ
đ
ó tìm
0
y
.
4.
Bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
đ
ó vng góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng (d) y = ax + b.
Cách giải:
Vì ti
ế
p tuy
ế
n vng góc v
ớ
i d nên k.a = -1 t
ừ
đ
ó suy ra
đượ
c k, t
ừ
ph
ươ
ng trình
0 0 0 0
( ) '( )( )
y y k x x f x x x
− = − = −
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 9 DeThiThuDaiHoc.com
k = f’(
0
x
) = a ta tìm được
0
x
từ đó tìm
0
y
.
Ví dụ 1. Cho hàm số
1
2
x
y
x
−
=
+
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) .
1. Tại điểm có hồnh độ bằng -1 ; 2. Tại điểm có tung độ bằng 2 ;
3. Tại giao điểm của đồ thị với trục hồnh ; 4. Tại giao điểm của đồ thị với trục tung.
Giải.
2
3
'
( 2)
y
x
=
+
.
1. Theo đề bài ta có x
0
= -1
⇒
y
0
( 1) 2
= − = −
y
. Mặt khác hệ số góc k = y’(-1) = 3.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 3(x + 1) hay y = 3x + 1.
2. Theo đề bài ta có y
0
= 2
0
0 0 0
0
1
2 1 2( 2) 5
2
x
x x x
x
−
⇒ = ⇒ − = + ⇒ = −
+
.
Mặt khác hệ số góc k = y’(-5)
1
3
=
.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y - 2 =
1
3
(x + 5) hay y =
3
x
+
11
3
.
3. Theo đề bài ta có y
0
= 0
0
0
0
1
0 1
2
−
⇒ = ⇒ =
+
x
x
x
. Mặt khác hệ số góc k = y’(1) =
1
3
.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 0 =
1
3
(x - 1) hay y =
1
3
x -
1
3
.
4. Theo đề bài ta có x
0
= 0
⇒
y
0
= -
1
2
. Mặt khác hệ số góc k = y’(0) =
3
4
.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y +
1
2
=
3
4
(x - 0) hay y =
3
4
x -
1
2
.
Ví dụ 2. Cho hàm số
2
1
x
y
x
=
−
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết PTTT với đồ thị (C)
1. Tại điểm có hệ số góc bằng -2.
2. Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng
1
2
y x
= −
.
3. Biết tiếp tuyến đó vng góc với đường thẳng
9
1
2
y x
= +
.
Giải
2
2
'
( 1)
y
x
−
=
−
.
1. Theo đề bài ta có
0
2 2
0 0 0 0
2
0
0
0
2
'( ) 2 2 ( 1) 1 2 0
2
( 1)
x
y x x x x
x
x
=
−
= − ⇔ = − ⇔ − = ⇔ − = ⇔
=
−
.
Với
0 0
0 0
x y
= ⇒ =
. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 0 = -2(x – 0) hay y = -2x.
Với
0 0
2 4
x y
= ⇒ =
. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 4 = -2(x – 2) hay y = -2x + 8.
2. Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng
1
2
y x
= −
nên tiếp tuyến có hệ số góc k =
0
1
'( )
2
y x
= −
.
Ta có
0
2 2
0 0 0 0
2
0
0
3
1 2 1
'( ) ( 1) 4 2 3 0
1
2 ( 1) 2
=
−
= − ⇔ = − ⇒ − = ⇒ − − = ⇒
= −
−
x
y x x x x
x
x
.
Với
0 0
3 3
x y
= ⇒ =
. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
( )
1
3 3
2
y x
− = − −
hay
1 9
2 2
y x
= − +
.
Với
0 0
1 1
x y
= − ⇒ =
. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
( )
1
1 1
2
y x
− = − +
hay
1 1
2 2
y x
= − +
.
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 10 DeThiThuDaiHoc.com
3. Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
9
2
y x
=
nên tiếp tuyến có hệ số góc k =
0
2
'( )
9
y x
= −
.
Đến đây làm tương tự câu 2.
Đáp án: Có 2 tiếp tuyến thoả mãn là
2 32
9 9
y x= − +
và
2 8
9 9
y x
= − +
.
BÀI TẬP
1. Viết PTTT với đồ thị hàm số
2 3
1
x
y
x
+
=
+
tại điểm có hồnh độ
0
3
x
= −
(TN THPT 2006).
2. Cho HS
4 2
2 1
y x x
= − +
có đồ thị (C). Viết PTTT với (C) tại điểm cực đại (TN THPT 2007).
3. Cho HS
3 2
1
x
y
x
−
=
+
có đồ thị (C). Viết PTTT với (C) tại điểm có tung độ = -2 (TN THPT 2008).
4. Cho HS
2 1
2
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (C). Viết PTTT với (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -5 (TN
THPT 2009).
5. Cho HS
4 2
1 3
3
2 2
= − +
y x x
có đồ thị (C). Viết PTTT với (C) tại điểm có hồnh độ bằng 2.
6. Cho HS
2 3
1
−
=
−
x
y
x
có đồ thị (C). Viết PTTT với (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường
thẳng y = -x + 3.
BÀI TỐN 4: Dùng đồ thị (C) y = f(x) biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x) = m
Phương pháp
- Biến đổi, đưa phương trình về dạng: f(x) = m (1).
- Đặt: y = f(x) (C).
y = m (d) là đường thẳng song song với trục Ox.
- Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (C) và (d). Dựa vào đồ thị, ta có:
Hàm bậc 3:
3 2
y ax bx cx d
= + + +
Hàm bậc 4:
4 2
y ax bx c
= + +
Đồ thị Biện luận Đồ thị Biện luận
*
CD
CT
m y
m y
>
<
: (1) có 1 nghiệm.
*
CD
CT
m y
m y
=
=
: (1) có 2 nghiệm.
*
CT CD
y m y
< <
: (1) có 3
nghiệm.
*
CT
m y
<
: (1) vơ nghiệm.
*
CT
m y
=
: (1) có 2 nghiệm.
*
CT CD
y m y
< <
: (1) có
4 nghiệm.
*
CD
m y
=
: (1) có 3 nghiệm.
*
CD
m y
>
: (1) có 2 nghiệm.
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số
3
3
y x x
= −
. Dựa vào đồ thị (C), biện luận
theo m số nghiệm của phương trình
3
3 1 0
x x m
− + − =
.
Giải
* Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm
số:
(học sinh tự làm).
* Đồ thị:
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số
4 2
2 1
= − −
y x x
. Dựa vào đồ thị (C), biện
luận theo m số nghiệm của phương trình
4 2
2 1 0
− − + =
x x m
.
Giải
* Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm
số:
(học sinh tự làm).
* Đồ thị:
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 11 DeThiThuDaiHoc.com
* Ptrình
3 3
3 1 0 3 1
x x m x x m
− + − = ⇔ − = −
(1)
* Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị
(C) với đường thẳng y = m – 1. Dựa vào đồ thị
(C), ta có:
+ Nếu
1 2 1
1 2 3
m m
m m
− < − < −
⇔
− > >
thì phương trình (1)
có 1 nghiệm.
+ Nếu
1 2 1
1 2 3
m m
m m
− = − = −
⇔
− = =
thì phương trình (1)
có 2 nghiệm.
+ Nếu
2 1 2 1 3
m m
− < − < ⇔ − < <
thì phương trình
(1) có 3 nghiệm.
* Ptrình
4 2 4 2
2 1 0 2 1 2
− − + = ⇔ − − = −
x x m x x m
(1)
* Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị
(C) với đường thẳng y = m – 2. Dựa vào đồ thị (C),
ta có:
+ Nếu
2 2 0
− < − ⇔ <
m m
thì phương trình (1) vơ
nghiệm.
+ Nếu
2 2 0
− = − ⇔ =
m m
thì phương trình (1) có 2
nghiệm.
+ Nếu
2 2 1 0 1
− < − < − ⇔ < <
m m
thì phương trình
(1) có 4 nghiệm.
+ Nếu
2 1 1
− = − ⇔ =
m m
thì phương trình (1) có 3
nghiệm.
+ Nếu
2 1 1
− > − ⇔ >
m m
thì phương trình (1) có 2
nghiệm.
Chú ý: Phương pháp biện luận trên chỉ áp dụng cho trường hợp hàm bậc 3 hoặc bậc 4 có cả điểm cực
đại và điểm cực tiểu.
Ví dụ: Cho hàm số
3 2
3 2
= − + −
y x x
, gọi đồ thị của
hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số.
2. Tìm các giá trị của m để phương trình
− + + + =
3 2
3 2 1 0
x x m
có 3 nghiệm phân biệt.
Giải
1. Học sinh tự làm.
2. Tìm các giá trị của m …
− + + + = ⇔ − + − = +
3 2 3 2
3 2 1 0 3 2 1
x x m x x m
(1)
Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị
(C) với đường thẳng y = m + 1. Để phương trình
có 3 nghiệm phân biệt thì:
2 1 2 3 1
m m
− < + < ⇔ − < <
.
Ví dụ: Cho hàm số
4 2
1
2
4
= − +
y x x
, gọi đồ thị của
hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số.
2. Tìm các giá trị của m để phương trình
4 2
1
2 2 1 0
4
x x m
− + − + =
có 4 nghiệm phân biệt.
Giải
1. Học sinh tự làm.
2. Tìm các giá trị của m …
− + − + = ⇔ − + = −
4 2 4 2
1 1
2 2 1 0 2 2 1
4 4
x x m x x m
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 12 DeThiThuDaiHoc.com
Số nghiệm của PT trên là số giao điểm của đồ thị
(C) với đường thẳng y = 2m - 1. Để phương trình
có 4 nghiệm phân biệt thì:
1 5
0 2 1 4
2 2
m m
< − < ⇔ < <
.
BÀI TẬP
1. Cho hàm số
3 2
2 3 1
y x x
= + −
có đồ thị (C). Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của phương
trình
3 2
2 3 1
x x m
+ − =
(TN THPT 2008 – Lần 1).
2. Cho hàm số
3 2
6 9 1
= − + −
y x x x
có đồ thị (C). Tìm m để phương trình
3 2
6 9 0
x x x m
− + − =
có 3
nghiệm phân biệt.
3. Cho hàm số
4 2
2
= − +
y x x
có đồ thị (C). Tìm m để phương trình
− + − =
4 2
2 2 0
x x m
có 4 nghiệm
phân biệt.
BÀI TỐN 5: Định m để hàm số có cực đại, cực tiểu (đối với HS bậc 3:
3 2
y ax bx cx d
= + + +
).
Phương pháp Ví dụ
Hàm số có cực đại và cực tiểu
⇔
y’ = 0 có 2
nghiệm phân biệt
'
0
0
y
a
≠
⇔
∆ >
.
Ví dụ: Định m để hàm số
3 2
( 1) 2
y x m x x
= + − + −
có cực đại, cực tiểu.
Giải
Đạo hàm:
2
' 3 2( 1) 1
= + − +
y x m x
Ta có
' 2 2
'
( 1) 3.1 2 2
∆ = − − = − −
y
m m m
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì
2
1 0
1 3
' 2 2 0
1 3
= ≠
< −
⇔
∆ = − − >
> +
a
m
m m
m
.
BÀI TẬP
1. Cho hàm số
3 2 2
1
( 1) (3 4 1)
3
= + − + − + +
y x m x m m x m
. Xác định m để :
a. Hàm số có cực đại và cực tiểu. (Đáp án: 0 < m < 1).
b. Hàm số ln đồng biến trên R. (Đáp án:
0
m
≤
hoặc
1
m
≥
).
2. Cho hàm số
3 2
( 2) 3 5
y m x x mx
= + + + −
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
3. Cho hàm số
3 2
3 (2 2) 2
y mx x m x
= − + − −
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
4. Cho hàm số
4 2
2( 1)
= − − +
y x m x m
. Xác định m để hàm số có 3 cực trị.
BÀI TỐN 6: Định m để hàm số nhận điểm
0
x
làm điểm cực đại (cực tiểu)
Phương pháp
Điểm
0
x
là điểm cực đại
0
0
'( ) 0
''( ) 0
=
⇔
<
y x
y x
.
Ví dụ:
Đị
nh m
để
hàm s
ố
3 2 2
( 1) (3 4 ) 9
3
= + − + − + −
m
y x m x m m x m
nh
ậ
n
đ
i
ể
m x =1 làm
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i.
Giải
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 13 DeThiThuDaiHoc.com
Điểm
0
x
là điểm cực tiểu
0
0
'( ) 0
''( ) 0
=
⇔
>
y x
y x
.
Ta có
2 2
' 2( 1) 3 4 '' 2 2( 1)
= + − + − ⇒ = + −
y mx m x m m y mx m
Để hàm số nhận điểm x = 1 làm điểm cực đại thì
2
2
1
'(1) 0
3 2 0
2
3
''(1) 0
1
3
4 2 0
2
m m
y
m m
m
y
m
m
= ∨ = −
=
− − =
⇔ ⇔ ⇔ = −
<
− <
<
.
BÀI TẬP
1. Cho hàm số
3 2
( 3) 5
y x m x mx
= − + + +
. Xác định các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại x = 2.
2. Cho hàm số
3 2 2
1
( 1) 1
3
y x mx m m x
= − + − + +
. Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.
3. Cho hàm số
3 2 2
3 ( 1) 2
= − + − +
y x mx m x
. Xác định các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại x = 2.
BÀI TỐN 7: Chứng minh hàm số y = f(x, m) ln có cực trị với mọi giá trị của tham số m
Phương pháp
Chứng tỏ f’(x, m) ln có nghiệm và đổi dấu khi x
đi qua các nghiệm đó.
- Với hàm số bậc 3, chứng tỏ y’ = 0 có delta dương
với mọi m.
- Với hàm số bậc 4, cần theo u cầu bài tốn để
tìm m sao cho y’ = 0 có 1 nghiệm hoặc 3 nghiệm.
Ví dụ: Chứng minh rằng đồ thị hàm số
3 2
2 1
y x mx x
= − − +
ln có một điểm cực đại và
một điểm cực tiểu với mọi giá trị của m.
Giải
* Tập xác định: D = R.
* Đạo hàm:
2
' 3 2 2
y x mx
= − −
* Ta có
2 2
' ( ) 3.( 2) 6 0,
∆ = − − − = + > ∀ ∈
m m m R
. Suy
ra y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y’đổi dấu (có
thể lập bảng xét dấu với hai nghiệm
1 2
;
x x
) khi x đi
qua 2 nghiệm đó.
* Vậy hàm số ln có một điểm cực đại và một
điểm cực tiểu với mọi m.
Hết chương I
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 14 DeThiThuDaiHoc.com
Chương II HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LƠGARIT
1. Luỹ thừa với số mũ ngun (
0
a
≠
,
,m n
∈
ℤ
)
0
1,( 0)
1
n
n
a a
a
a
−
= ≠
=
m
.
a
m n m n
m n
n
a a a
a
a
+
−
=
=
(
)
m .
a
a
b
n
m n
m
m
m
a
a
b
=
=
m
(a.b) .
m m
a b
=
2. Căn bậc n
Định nghĩa: Cho số thực b và số ngun dương n
≥
2.
Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu
n
a b
=
.
Kí hiệu:
n
a b
=
.
- n lẻ,
b R
∈
: tồn tại duy nhất
n
b
.
- n chẵn: + b < 0: khơng tồn tại căn bậc n của b.
+ b = 0:
0 0
n
=
.
+ b > 0: tồn tại 2 căn bậc n trái dấu của b đó
là
n
b
và -
n
b
.
Tính chất (
, 0
a b
>
,
,m n
+
∈
ℤ
)
. .
n n n
a b a b
=
n
n
n
a a
b
b
=
(
)
m
n
m
n
a a
=
.
n
m n m
a a
=
m
n m
n
a a
=
.m n
m
n
a a
=
3. Luỹ thừa với số mũ thực (
0
a
>
,
,
R
α β
∈
)
.
a a a
α β α β
+
=
( )
. .
a b a b
α
α α
=
a
a
a
α
α β
β
−
=
a a
b b
α
α
α
=
(
)
.
a a
β
α α β
=
Nếu a > 1 thì
a a
α β
α β
> ⇔ >
Nếu 0 < a < 1 thì
a a
α β
α β
> ⇔ <
4. Lôgarit
a. Định nghĩa:
Cho a, b > 0,
1
a
≠
, ta có:
log
a
b a b
α
α
= ⇔ =
b. Cơng thức:
Cho a > 0,
1
a
≠
, M, N > 0.
log 1 0
a
=
log ( . ) log log
M N M N
a a a
= +
log 1
a
a
=
log log log
M
M N
a a a
N
= −
log
M
a M
a
=
log log
M
b M b
a a
=
log
M
a
a M
=
1
log log
b b
a
a
α
α
=
1
log
log
=
a
b
b
a
c. Cơng thức đổi cơ số:
Cho a, b, c > 0,
1
a
≠
, c
≠
1.
log
log
log
b
c
b
a
a
c
=
d. So sánh lơgarit:
Cho a > 0,
1
a
≠
.
a > 1 : log log
a a
M N M N
> ⇔ >
.
0 < a < 1: log log
a a
M N M N
> ⇔ <
.
e. Lơgarit thập phân và lơgarit tự nhiên:
S
ố
1
lim 1 2,71828
n
x
e
n
→+∞
= + ≈
Lơgarit thập phân: Lơgarit tự nhiên:
10
log logx = lgx
x
=
log ln
e
x x
=
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 15 DeThiThuDaiHoc.com
5. Giải PT, BPT mũ và lơgarit
Phương trình mũ Phương trình lơgarit
a. Phương trình mũ cơ bản
Dạng:
x
a b
=
,
( 0, 1)
a a
> ≠
.
Với b > 0, ta có:
log= ⇔ =
x
a b x b
a
Với b
≤
0, phương trình vô nghiệm.
b. Phương pháp giải PT mũ thường gặp
- Đưa về cùng cơ số.
- Đặt ẩn phụ (đặt t =
x
a
, t
>
0).
- Lơgarit hố.
a. Phương trình lôgarit cơ bản
Dạng:
log
x b
a
=
, (a > 0, a
≠
1).
Ta có:
log = ⇔ =
b
x b x a
a
b. Phương pháp giải PT lơgarit thường gặp
- Đưa về cùng cơ số.
- Đặt ẩn phụ (khơng cần đặt điều kiện cho ẩn phụ).
- Mũ hố.
Chú ý: Các em nắm thật vững hai phương pháp đưa về cùng cơ số và đặt ẩn phụ để giải PT, BPT mũ,
lơgarit. Còn phương pháp thứ 3 tương đối khó chỉ nên tham khảo thêm.
6. Một số dạng phương trình (BPT) mũ, lơgarit thường gặp
a. Các dạng cơ bản
a > 0,
1
a
≠
a > 1 0 < a < 1
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
= ⇔ =
( ) 0
log ( ) log ( ) ( ) 0
( ) ( )
a a
f x
f x g x g x
f x g x
>
= ⇔ >
=
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
> ⇔ >
( ) 0
log ( ) log ( )
( ) ( )
a a
g x
f x g x
f x g x
>
> ⇔
>
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
> ⇔ >
( ) 0
log ( ) log ( )
( ) ( )
a a
f x
f x g x
f x g x
>
> ⇔
<
b. Vận dụng
Dạng tốn Ví dụ
Dạng 1: Phương trình mũ bậc hai
2
. . 0
x x
m a n a p
+ + =
(1)
Phương pháp
- Đặt
x
t a
=
, (t > 0). Ta được PT:
2
. . 0
mt n t p
+ + =
- Giải phương trình trên tìm nghiệm t (nhớ với điều
kiện t > 0).
- Giải phương trình
log
x
a
a t x t
= ⇔ =
.
- Kết luận, nghiệm của (1).
Ví dụ: Giải phương trình
2 1
3 4.3 1 0
x x
+
− + =
.
Giải
2 1 2
3 4.3 1 0 3.3 4.3 1 0
x x x x
+
− + = ⇔ − + =
Đặt t =
3
x
(t > 0), ta được phương trình
2
1
3 4 1 0
1
3
=
− + = ⇔
=
t
t t
t
Với t = 1
3
3 1 log 1 0
x
x
⇔ = ⇔ = =
.
Với t =
3
1 1 1
3 3 log 1
3 3 3
x x
⇔ = ⇔ = = −
.
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm x = 0 ; x = -1.
Dạng 2:
. . 0
x x
m a n a p
−
+ + =
hay
. 0
x
x
n
m a p
a
+ + =
.
Phương pháp
- Đặt
x
t a
=
, (t > 0). Khi đó
1 1
x
x
a
a t
−
= =
.
- Thay vào PT đã cho giải tìm t (t > 0). Rồi tìm x.
- K
ết luận, nghiệm của PT.
Ví dụ: Giải phương trình
1
6 6 5 0
x x
−
− − =
.
Giải
1
6
6 6 5 0 6 5 0
6
x x x
x
−
− − = ⇔ − − =
Đặt t =
6
x
(t > 0), ta được phương trình
2
6 (nhan)
6
5 0 5 6 0
1(loai)
t ä
t t t
t
t ï
=
− − = ⇔ − − = ⇔
= −
.
Với t = 6
6
6 6 log 6 1
⇔ = ⇔ = =
x
x
.
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 16 DeThiThuDaiHoc.com
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 6.
Dạng 3: BPT mũ
( ) ( )
,(0 1)
f x g x
a a a
≤ < ≠
.
Phương pháp
- Nếu 0 < a < 1, ta có f(x)
≥
g(x) (BPT đổi chiều).
- Nếu a > 1, ta có f(x)
≤
g(x).
Với BPT
( )f x
a c
≤
- Nếu 0 < a < 1, ta có f(x)
≥
log
a
c
(BPT đổi
chiều)
- Nếu a > 1, ta có f(x)
≤
log
a
c
.
Ví dụ: Giải bất phương trình
2
3
1
2
4
x x−
≤
.
Giải
2 2
3 3 2 2
1
2 2 2 3 2
4
x x x x
x x
− − −
≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ −
2
3 2 0 1 2
x x x
⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: [1 ; 2].
Dạng 4: Biến đổi về phương trình dạng
log ( ) log ( )
a a
f x g x
=
.
Phương pháp
- Dùng các cơng thức tính tốn, cộng, trừ lơgarit
để biến đổi.
- Cần chú ý đến ĐK của các biểu thức dưới dấu
lơgarit.
Ví dụ: Giải phương trình
3 9
log (9 ) log 5
x x
+ =
.
Giải
Điều kiện:
0
0
9 0
x
x
x
>
⇔ >
>
. Khi đó:
2
3 9 3 3
3
log (9 ) log 5 log 9 log log 5
x x x x
+ = ⇔ + + =
3 3 3
2
3
1 3
2 log log 5 log 3
2 2
log 2 3 9.
x x x
x x
⇔ + + = ⇔ =
⇔ = ⇔ = =
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 9.
Dạng 5: Phương trình bậc hai chứa dấu lơgarit
2
.log ( ) .log ( ) 0
a a
m f x n f x p
+ + =
.
Phương pháp
- ĐK: f(x) > 0.
- Đặt
log ( )
a
t f x
=
, ta được
2
. . 0
mt n t p
+ + =
. Giải
phương trình tìm t.
- Giải PT
log ( ) ( )
t
a
f x t f x a
= ⇔ =
để tìm x.
- Kết luận nghiệm.
Ví dụ: Giải phương trình
2
2 2
4log 3log 10 0
x x
− − =
.
Giải
Điều kiện:
0
x
>
.
Đặt
2
log
t x
=
, ta được PT
2
4 3 10 0
t t
− − =
.
Giải PT này được t = 2 ; t =
5
4
−
.
Với t = 2, ta có
2
2
log 2 2 4
x x
= ⇔ = =
.
Với t =
5
4
−
, ta có
5
4
2
5
log 2
4
x x
−
= − ⇔ =
.
Dạng 6: BPT lơgarit
log ( ) log ( ),(0 1)
a a
f x g x a
< < ≠
.
Phương pháp
- ĐK:
( ) 0
( ) 0
f x
g x
>
>
.
- Nếu 0 < a < 1, ta có f(x) > g(x) (BPT đổi chiều).
- Nếu a > 1, ta có f(x)
<
g(x).
Với BPT
log ( )
a
f x c
≤
- Nếu 0 < a < 1, ta có
( )
c
f x a
≥
(BPT đổi chiều)
- Nếu a > 1, ta có f(x)
≤
c
a
.
Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:
a.
2 2
log log (3 1)
x x
≥ −
;
b.
1 1
3 3
log (2 1) log ( 2)
x x
− > +
.
Giải
a. Điều kiện:
0
1
3 1 0
3
x
x
x
>
⇔ >
− >
. Khi đó:
2 2
1
log log (3 1) 3 1 2 1
2
x x x x x x
≥ − ⇔ ≥ − ⇔ ≤ ⇔ ≤
.
Kết hợp ĐK ta được tập nghiệm là:
1 1
;
3 2
T
=
.
b. Điều kiện:
2 1 0
1
2 0
2
x
x
x
− >
⇔ >
+ >
. Khi đó:
1 1
3 3
log (2 1) log ( 2) 2 1 2 3
x x x x x
− > + ⇔ − < + ⇔ <
.
Kết hợp ĐK ta được tập nghiệm là:
1
;3
2
T
=
.
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 17 DeThiThuDaiHoc.com
BÀI TẬP
Bài tập 1. Khơng sử dụng máy tính cầm tay. Hãy tính:
a.
4
0,75
3
1 1
16 8
− −
+
b.
2 3 5 5
2 .8
−
c.
2
1,5
3
(0,04) .(0,125)
−
−
d.
2 3 3 1 2 3
(4 4 ).2
− −
−
e.
5
4
2 3
5
4
5 0,2
−
−
−
+
f.
3 3
1 2 2 2
3 :9
+
g.
9 2 6 4
7 7 5 5
8 :8 3 .3
−
h.
2 7
2 7 1 7
10
2 .5
+
+ +
i.
3 2 1 2 4 2
8 .4 .2
+ − − −
j.
5 20
2 5 1 5
6
4 .9
+
+ +
k.
2
log 32
4
l.
49
log 15
7
m.
9
log 27
3
n.
2
1 log 3
8
−
o.
10
2 2log 7
10
+
p.
3 81
2log 2 4log 2
9
+
Bài tập 2. Giải các phương trình sau:
a.
2
3 2
2 4
x x− +
=
b.
3 1 2
(0,5) .(0,5) 2
x x
− −
=
c.
2 1 2
3 3 108
x x−
+ =
d.
1 1
2 2 2 28
+ −
+ + =
x x x
Bài tập 3. Giải các phương trình sau:
a.
3.9 3 2 0
− − =
x x
b.
2 2
2 9.2 2 0
x x+
− + =
c.
1 1
9 36.3 3 0
+ −
− + =
x x
d.
1
4 10.2 24
−
− =
x x
e.
2 1 1
5 5 250
− +
+ =
x x
f.
2 6 7
2 2 17 0
+ +
+ − =
x x
i.
2 1
3 9.3 6 0
x x+
− + =
j.
6 3
3. 2 0
x x
e e
− + =
k.
3
3 3 12 0
x x−
+ − =
l.
1 3
5 5 26
− −
+ =
x x
m.
1
2 2 3 0
−
+ − =
x x
n.
1
6 6 5 0
x x−
− − =
o.
1 3
3 5.3 12
x x+ −
− =
p.
1
7 2.7 9 0
x x
−
+ − =
q.
3 1
1 1
128 0
4 8
−
− − =
x x
r.
(
)
(
)
2 3 2 3 14
x x
− + + =
Bài tập 4. Giải các phương trình sau:
a.
4 4
log (5 2 ) log ( 3)
x x
− = +
b
2 2
log ( 1) 1 log
x x
+ = +
c.
4 2
log log (4 ) 5
x x
+ =
d.
3 9
log (9 ) log 5
x x
+ =
e.
3 3 3
log ( 2) log ( 2) log 5
x x
+ + − =
f.
2 2 2
log ( 2) log ( 3) log 12
x x
− + − =
g.
2 2
log ( 2) log ( 3) 1
− + − =
x x
h.
2 2
log log ( 1) 1
x x
+ − =
i.
6 1
6
log ( 4) log ( 1) 1
− − + =
x x
j.
4 4 4
log ( 3) log ( 1) 2 log 8
+ − − = −
x x
k.
2 3 4
log (log (log )) 0
=
x
l.
1 4
4
log (3 1) log (2 3 )
x x
+ = −
m.
3 3 3
log (9 1) log (2.3 1) log 2
+ − − =
x x
n.
1 4
4
log ( 5) 2log ( 1) 0
+ + − =
x x
e e
o.
2
2
1
log 1
log
= +x
x
p.
2
4 4
log 2log 1 0
− + =
x x
q.
2 3
2 2
log log 4 0
+ − =
x x
r.
2
2 2
log 3log 10 0
− − =
x x
Bài tập 5. Giải các bất phương trình sau:
a.
2
2
2 3 2
1
7
7
x
x x− +
<
b.
2
3
1
2
4
x x−
≤
c.
1
1
1
5
25
x
x
+
<
d.
2 1 3 2
2 5
5 2
x x
− − +
>
e.
2
3
1
9
3
x x
−
≥
f.
2 1 1
7 2 5.7 2
x x x x
+ − −
− ≤ −
g.
2 2 2 2
1 1 2
2 3 3 2
x x x x
− − +
− > −
h.
9 3 2 0
− − ≥
x x
i.
49 6.7 7 0
x x
− − <
j.
2 1
5 5 4
+
> +
x x
Bài tập 6.
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 18 DeThiThuDaiHoc.com
a.
2 2
log log (3 1)
x x
≥ −
b.
2 2
2log ( 1) log (5 ) 1 0
x x
− − − − ≤
c.
1
2
2
log ( 2) log (3 ) 4
x x
+ + − ≥
d.
1
2
log (2 4) 1
x
+ ≥
e.
1 1
3 3
log (2 1) log ( 2)
x x
− > +
f.
2 2
log log (3 1)
x x
≥ −
g.
2 2
2log ( 1) log (5 ) 1 0
x x
− − − − ≤
h.
1
2
2
log ( 2) log (3 ) 4
x x
+ + − ≥
i.
2
1 2
2
log ( 6 5) 2log (2 ) 0
x x x
− + + − ≥
j.
1 5 1
5 5
log log ( 2) log 3
x x
− − <
k.
+
− >
3 5
1
2
log (2 15) 0
x
l.
2
3 1
2
1
log log 1
16
x
+ >
m.
2 2
4 4
log ( 2 ) log ( 4)
x x x
− > +
n.
2
3 3
log 2 5log 2 4 0
x x
− + <
Hết chương II
Chương III NGUN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG
1. Định nghĩa ngun hàm
Cho hàm số f(x) xác đònh trên K.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) với mọi x
∈
K.
2. Bảng ngun hàm
Hàm số sơ cấp Ngun hàm bổ sung
dx x C
= +
∫
1
1
x
x dx C
α
α
α
+
= +
∫
+
cos sin
xdx x C
= +
∫
sin cos
xdx x C
= − +
∫
2
1
tan
cos
dx x C
x
= +
∫
2
1
cot
sin
dx x C
x
= − +
∫
ln
x x
dx
x C
x
e dx e C
= +
∫
= +
∫
ln
x
x
a
a dx C
a
= +
∫
( )
ax b dx
α
+
∫
1
1 1
. ( )
1
ax b C
a
α
α
+
= + +
+
1
ax b ax b
e dx e C
a
+ +
= +
∫
1 1
ln
dx ax b C
ax b a
= + +
∫
+
cos( )
ax b dx
+
∫
1
sin( )
ax b C
a
= + +
sin( )
+
∫
ax b dx
1
cos( )
ax b C
a
= − + +
sin
tan ln | |
os
x
xdx dx cosx C
c x
= = − +
∫ ∫
os
cot ln |sin |
sinx
c x
xdx dx x C
= = +
∫ ∫
3. Định nghĩa tích phân
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b].
Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x). Kí hiệu:
( )
b
f x dx
a
∫
.
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 19 DeThiThuDaiHoc.com
Công thức:
( ) ( )| ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
4. Các bài tốn đổi biến số
Bài tốn Ví dụ
Bài tốn 1:
[ ]
( ) . '( )
b
a
f u x u x dx
∫
Phương pháp:
- Đặt
( ) '( )
t u x dt u x dx
= ⇒ =
- Đổi cận:
x b t
x a t
β
α
= ⇒ =
= ⇒ =
- Thế:
[ ]
( ) . '( ) ( )
b
a
f u x u x dx f t dt
β
α
=
∫ ∫
Ví dụ: Tính
2
sin
0
.cos
x
I e xdx
π
=
∫
Giải
Đặ
t t = sinx
⇒
dt = cosxdx
Đổ
i c
ậ
n:
1
2
0 0
x t
x t
π
= ⇒ =
= ⇒ =
1
1 1 0
0
0
1
t t
I e dx e e e e
⇒ = = = − = −
∫
Bài tốn 2:
. '( )
( )
b
a
u x
u x dx
∫
Phương pháp:
-
Đặ
t
2
( ) ( )
t u x t u x
= ⇒ =
2 '( )
tdt u x dx
⇒ =
-
Đổ
i c
ậ
n.
- Th
ế
vào.
Ví dụ:
Tính
1
2
0
1
I x x dx
= +
∫
Giải
Đặ
t
2 2 2
1 1 2 2
t x t x tdt xdx
= + ⇒ = + ⇒ =
tdt xdx
⇒ =
Đổ
i c
ậ
n:
1 2
0 1
x t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =
2 2
2 3 2
1
1 1
1 1
. 2 2 1
3 3
I t tdt t dt t
⇒ = = = = −
∫ ∫
Bài tốn 3:
2
2 2
0
a
a x dx
−
∫
Phương pháp: Đặt
sin cos
x a t dx a t
= ⇒ =
Bài tốn 4:
2 2
0
1
a
dx
a x
∫
+
Phương pháp
Đặt
2
tan (1 tan )
x a t dx a t dt
= ⇒ = +
Chú ý: Các em nên tập trung vào 2 bài tốn đầu, còn 2 bài tốn sau chỉ nên tham khảo.
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau:
1.
6
0
2
π
∫
cos xdx
2.
2
3
0
sin cos
x xdx
π
∫
3.
2
3
0
cos sin
x xdx
π
∫
4.
2
2
0
sin
xdx
π
∫
6.
2
0
cos
3 sin
x
dx
x
π
+
∫
7.
2
3
sin
2 s
π
π
−
∫
x
dx
co x
8.
6
sin
0
cos
x
e xdx
π
∫
9.
6
0
2 1 4sin3 .cos3
x xdx
π
+
∫
11.
6
3
(cos 1)sin
x xdx
π
π
+
∫
12.
4
2
0
sin 2
4 cos
x
dx
x
π
−
∫
13.
2
2
1
(6 4 1)
x x dx
− +
∫
14.
2
5
1
(2 1)
x dx
−
∫
15.
1
2
3
0
1
x
dx
x+
∫
17.
1
0
3 1
x dx
+
∫
18.
2
2
0
4 .
x xdx
−
∫
19.
2
1
0
.
x
e xdx
−
∫
20.
ln3
0
1
x
x
e
dx
e +
∫
21.
ln5
ln 2
( 1)
1
x x
x
e e
dx
e
+
+
∫
22.
e
3
1
ln x
dx
x
∫
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 20 DeThiThuDaiHoc.com
5.
4
0
tan
xdx
π
∫
10.
2
0
(2sin 3)cos
x xdx
π
+
∫
16.
1
2 3 4
1
(1 )
x x dx
−
−
∫
5. Phương pháp tích phân từng phần
a. Cơng thức
|
b b
b
a
a a
udv uv vdu
= −
∫ ∫
b. Các bài tốn tích phân từng phần
Bài tốn Ví dụ
Bài tốn 1:
( )
b
x
a
P x e dx
∫
Phương pháp:
Đặ
t
( )
x
u P x
dv e dx
=
=
Ví dụ: Tính tích phân
1
0
x
I xe dx
=
∫
.
Giải. Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
= ⇒ =
= ⇒ =
Vậy
1
1 1
0 0
0
( ) | | ( 1) 1
x x x
I xe e dx e e e e
= − = − = − − =
∫
.
Bài tốn 2:
( )sin
b
a
P x xdx
∫
Phương pháp: Đặt
( )
sin
u P x
dv xdx
=
=
Ví dụ: Tính tích phân
2
0
(2 1)sin
π
= +
∫
I x xdx
.
Giải. Đặt
2 1 2
sin cos
= + ⇒ =
= ⇒ = −
u x du dx
dv xdx v x
Vậy
[ ]
2
2
0
0
(2 1)cos | 2 cos
π
π
= − + +
∫
I x x xdx
2
0
1 2sin | 1 2 3
π
= + = + =
x
.
Bài tốn 3:
( )
b
a
P x cosxdx
∫
Phương pháp: Đặt
( )
s
=
=
u P x
dv co xdx
Ví dụ: Tính tích phân
2
0
(1 ) os
π
= −
∫
I x c xdx
.
Giải. Đặt
1
cos
= − ⇒ = −
= ⇒ =
u x du dx
dv xdx v sinx
Vậy
[ ]
2
2
0
0
(1 )sin | sin
π
π
= − +
∫
I x x xdx
2
0
1 cos | 1 1
2 2 2
π
π π π
= − + = − − = −
x
.
Bài tốn 4:
( )ln
b
a
P x xdx
∫
Phương pháp: Đặt
ln
( )
u x
dv P x dx
=
=
Ví dụ: Tính tích phân
2
1
2 ln
I x xdx
=
∫
.
Giải. Đặt
2
1
ln
2
u x du dx
x
dv xdx v x
= ⇒ =
= ⇒ =
Vậy
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
1
1
( ln )| ( ln )| |
2
I x x xdx x x x
= − = −
∫
3
4ln 2
2
= −
.
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 21 DeThiThuDaiHoc.com
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau:
1.
2
0
(2 1)
x cosxdx
π
−
∫
2.
4
0
(2 3)sin
x xdx
π
+
∫
3.
0
(1 )sin 2
x xdx
π
−
∫
4.
2
0
(1 )
π
+
∫
x cosx dx
5.
1
0
(2 )
x
x xe dx
+
∫
6.
1
0
(2 1)
x
x e dx
+
∫
7.
1
0
2 .
x
x e dx
−
∫
8.
2
0
(5 2 )
x
x e dx
−
∫
9.
1
0
ln(1 )
x dx
+
∫
10.
3
1
2 ln
x xdx
∫
11.
2
2
1
ln
x xdx
∫
6. Diện tích hình phẳng
Dạng 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) y = f(x), trục Ox, hai đường thẳng x = a, x = b.
Phương pháp
- Gi
ả
i ph
ươ
ng trình y = f(x) = 0 tìm nghi
ệ
m trên
đ
o
ạ
n [a ; b].
- N
ế
u khơng có nghi
ệ
m nào
∈
[a ; b] thì áp d
ụ
ng cơng th
ứ
c:
| ( ) | ( )
b b
a a
S f x dx f x dx
= =
∫ ∫
- N
ế
u có 1 nghi
ệ
m c
∈
[a ; b] thì áp d
ụ
ng cơng th
ứ
c (t
ươ
ng t
ự
n
ế
u có 2, 3 … nghi
ệ
m)
| ( ) | ( ) ( )
b c b
a a c
S f x dx f x dx f x dx
= = +
∫ ∫ ∫
Ví dụ. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường:
2
2
y x x
= −
, trục Ox, hai đường
thẳng x = -1, x = 1.
Giải
Đặt y = f(x) =
2
2
x x
−
. Ta có f(x) = 0
2
2 0
x x
⇔ − =
⇔
x = 0 hoặc x = 2 (loại).
Vậ
y di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng c
ầ
n tìm là:
1 0 1
2 2 2
1 1 0
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
S x x dx x x dx x x dx
− −
= − = − + −
∫ ∫ ∫
3 3
0 1
2 2
1 0
2
3 3
x x
x x
−
= − + − =
(đvdt).
BÀI TẬP
1.
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các
đườ
ng
2
y x x
= −
; y = 0 ; x = 0 ; x = 2 ;
2.
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
đồ
th
ị
hàm s
ố
3 2
3
y x x
= +
, trục hồnh và các đường thẳng
x = - 2, x = 1 ;
Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của 2 đường y = f
1
(x), y = f
2
(x).
Phương pháp
- Hồnh độ giao điểm của 2 đường y = f
1
(x), y = f
2
(x) là nghiệm của phương trình f
1
(x) = f
2
(x).
Giả sử giải được 2 nghiệm x = a và x = b.
- Diện tích S được tính theo cơng thức:
[ ]
1 2 1 2
| ( ) ( )| ( ) ( )
b b
a a
S f x f x dx f x f x dx
= − = −
∫ ∫
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 22 DeThiThuDaiHoc.com
Ví dụ. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường:
2
2
y x x
= −
và y = x.
Giải
Hoành độ giao điểm của 2 đường cong là nghiệm của phương trình
2 2
2 3 0
x x x x x
− = ⇔ − =
.
Giải PT ta được x = 0 hoặc x = 3.
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
3 3
3
3
2 2 2
0
0 0
3
| 3 | ( 3 )
3 2
x
S x x dx x x dx x
= − = − = −
∫ ∫
3
2
3 3 9
.3 0
3 2 2
= − − =
(đvdt) .
BÀI TẬP
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
6
= +
y x
, y = 5x ;
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
x
y e
=
, y = 2 và đường thẳng x = 1 ;
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = lnx, y = 0 và đường thẳng x = e.
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
6
y x x
= − +
, y = 0 (TN THPT 2007).
5. Cho hàm số
3 2
3
y x x
= − +
có đồ thị (C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và
trục hồnh (TN THPT 2006).
7. Thể tích vật thể tròn xoay
Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C) y = f(x), trục Ox,
hai đường thẳng x = a, x = b khi quay quanh trục Ox là:
[ ]
2
( )
b
a
V f x dx
π
=
∫
Ví dụ.
Tính th
ể
tích v
ậ
t th
ể
tròn xoay sinh ra do hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các
đườ
ng (C)
2
2
y x x
= −
, trục
Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 2.
Giải
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là:
2 2
2 2 2 3 4
0 0
( )
2 (4 4 )
π π
= − = − +
∫ ∫
V x x dx x x x dx
3 5
2
4
0
4 16
3 5 5
π
π
= − + =
x x
x (
đ
vtt)
BÀI TẬP
1.
Tính th
ể
tích v
ậ
t th
ể
tròn xoay t
ạ
o thành khi cho hình ph
ẳ
ng (H) gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
đồ
th
ị
hàm s
ố
y =
cosx, tr
ụ
c hồnh và hai
đườ
ng th
ẳ
ng
;
6 2
x x
π π
= =
quay quanh trục hồnh ;
2. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = sinx, y = 0, x = 0, x =
2
π
. Tính thể
tích c
ủ
a kh
ố
i
tròn xoay
đượ
c t
ạ
o thành khi quay hình (H) quanh tr
ụ
c hồnh ;
3.
Cho hình ph
ẳ
ng (H) gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các
đườ
ng
(2 1)sin
y x x
= +
, y = 0, x = 0, x =
2
π
. Tính thể tích
của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hồnh.
Hết chương III
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 23 DeThiThuDaiHoc.com
Chương IV SỐ PHỨC
1. Định nghĩa
Số phức là một biểu thức có dạng:
với
,
a b R
∈
,
2
1
i
= −
.
Tập hợp các số phức kí hiệu là:
ℂ
2. Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của z = a + bi là:
3. Mơ đun của số phức
Mơ đun của z = a + bi là:
2 2
| |
z a b
= +
4. Các phép tốn cộng, trừ, nhân số phức
Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta có:
a = a'
z = z'
b = b'
z + z' = (a + a' ) + (b + b')i
z - z' = (a - a') + (b - b')i
z.z' = (a.a' - b.b') + (ab' + a'b)i
⇔
5. Phép chia
Cho z = a + bi, z’ = c + di
≠
0
2 2
( )( )
'
z a bi a bi c di
z c di c d
+ + −
= =
+ +
6. Nghịch đảo của số phức
S
ố
ph
ứ
c ngh
ị
ch
đả
o c
ủ
a z = a + bi là:
2 2
1 1
a bi
z a bi a b
−
= =
+ +
7. Phép cộng và nhân hai số phức liên hợp
Cho s
ố
ph
ứ
c z = a + bi, g
ọ
i
z
= a – bi là s
ố
ph
ứ
c
liên h
ợ
p c
ủ
a z. Ta có:
2 2
2
.
+ =
= +
z z a
z z a b
8. Căn bậc hai của số thực âm và phương trình
bậc hai hệ số thực
- Căn bậc hai của số thực a âm là:
| |
i a
±
.
- Cho PT bậc hai
2
0
ax bx c
+ + =
(a, b, c
∈
R,a
≠
0).
Có biệt thức
2
4
b ac
∆ = −
. Khi đó ta có bảng:
∆
Phương trình
2
0
ax bx c
+ + =
∆
> 0
Có 2 nghiệm thực phân biệt
1,2
2
b
x
a
− ± ∆
=
∆
= 0
Có 1 nghiệm thực
2
b
x
a
= −
∆
< 0
Có 2 nghiệm phức liên hợp
1,2
| |
2
b i
x
a
− ± ∆
=
BÀI TẬP
Bài tập 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:
1.
2 2
(1 3 ) (1 3 )
P i i
= + + −
(TN THPT 2008) 2.
2
(1 2 ) 2 3
P i i
= − + −
3.
3 2
2 1
2 3
i
P i
i
+
= − +
−
4.
3
(2 1) 5 2
P i i
= − + −
Bài tập 2. Tìm mơđun của số phức z, biết:
1.
( 2 3 )( 3 2 )
z i i
= + −
2.
4 5 (6 3 )
iz i i i
+ + = +
Bài tập 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức.
1.
4 2
7 18 0
z z
+ − =
(Thi thử TN 2009) 2.
2
2 2 0
x x
− + =
(TN THPT 2009)
3.
2
4 7 0
x x
− + =
(TN THPT 2007 – Lần 1) 4.
2
6 25 0
x x
− + =
(TN THPT 2007 – Lần 2)
5.
2
2 5 4 0
x x
− + =
(TN THPT 2006) 6.
2
4 3 1 0
x x
− + =
7.
2
3 3 0
x x
+ + =
8.
2
4 20 0
x x
− + =
Hết chương IV
z = a + bi
z
= a - bi
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 24 DeThiThuDaiHoc.com
Chương I + II DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH CÁC HÌNH, KHỐI
1. Thể tích hình hộp chữ nhật
Với a, b, c lần lượt là chiều dài, rộng cao của hình
hộp.
2. Thể tích hình chóp
- S: Diện tích đáy
- h: Chiều cao hình chóp
3. Thể tích hình lăng trụ
- S: Diện tích đáy
- h: Chiều cao hình lăng trụ
4. Hình trụ
5. Hình nón
6. Mặt cầu
CÁC DẠNG BÀI TẬP
I. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP
Dạng 1. Hình chóp có một cạnh bên d vng góc với mặt đáy B
Thì thể tích
1
.
3
=
V B d
B: Diện tích đáy; d: là chiều cao.
Ví dụ. Tính thể tích của khối chóp S.ABC có cạnh bên SA vng góc với đáy (ABC), SA=a; tam giác
ABC vng tại B, BC = a; AC = 2a.
Giải
Ta có thể tích
1 1
. .
3 3
∆
= =
ABC
V B h S SA
. Mà SA = a.
Trong tam giác ABC vng tại B ta có:
( )
2
2 2 2
2 3
= − = − =
AB AC BC a a a
Nên
2
1 1 1
. 3. 3
2 2 2
∆
= = =
ABC
S AB BC a a a
. Vậy
3
2
1 1 3
3 .
3 2 6
= =
a
V a a
.
Bài tập tương tự
1. (*) (TN THPT 09) Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy, mặt bên SBC là tam
giác đều cạnh bằng a, biết
0
120
=BAC
. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
2. (TN THPT 08L2) Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy, đáy ABC là tam giác
vng tại B, biết AB = a,
3
=
BC a
và SA = 3a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
3. (TN THPT 07L1) Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy, đáy ABC là tam giác
vng tại B, biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
4. (TN THPT 07L2) Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với mặt phẳng đáy, đáy ABCD là hình
vng cạnh bằng a và SA = AC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
PHẦN HÌNH HỌC
1
.
3
V S h
=
.
V S h
=
2
xq
S Rl
π
=
2
.
V R h
π
=
xq
S Rl
π
=
2
1
.
3
V R h
π
=
a
a
2a
A
B
C
S
3
4
3
V R
π
=
2
4
S R
π
=
V = a.b.c
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 25 DeThiThuDaiHoc.com
a
a
a
2a
2a
2a
H
I
A
B
C
S
a
a
a
I
A
B
C
S
Dạng 2. Biết hình chiếu vng góc của một đỉnh lên mặt đáy. ( hình chiếu của đỉnh S lên đáy B là H)
Thì thể tích
1
.
3
=
V B SH
B: Diện tích đáy; SH: là chiều cao.
Ví dụ. (TN THPT 08L1) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.
Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a.
Giải
Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó SH vng góc với mặt đáy
ABC nên thể tích
1 1
. .
3 3
∆
= =
ABC
V B h S SH
Mà
2
0 2
1 1 1 3 3
. sin . .sin60
2 2 2 2 4
∆
= = = =
ABC
a
S AB BC B a a a
Lại có
2
3
=
AH AI
2
2 2 2
2 2 3
3 3 2 3
a a
AB BI a
= − = − =
Trong tam giác SAH vng tại H có
( )
2
2
2 2
3 33
2
3 3
= − = − =
a a
SH SA AH a
.
Vậy
2 3
1 1 3 33 11
. . .
3 2 4 3 8
∆
= = =
ABC
a a a
V S SH
Bài tập tương tự
1. Cho hình chóp đều S.ABCD có AC =
3
a
, góc giữa cạnh bên và mặt đáy ABCD bằng 30
0
. Tính
thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
2. Cho hình chóp S.ABCD có hình chiếu vng góc của đỉnh S lên mặt đáy trùng với trung điểm I
của cạnh AB, đáy ABCD là hình chữ nhật biết AB = 2a, AC = 3a , góc giữa cạnh bên SC và mặt
đáy ABCD bằng 45
0
. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
Dạng 3. Biết một mặt bên vng góc với đáy. Khi đó đường thẳng đi qua 1 đỉnh của mặt bên, vng góc
với giao tuyến giữa mặt bên và mặt đáy là đường cao của hình chóp.
Ví dụ. Cho hình chóp S.ABC, có mặt bên (SAB) vng góc với mặt đáy (ABC), đáy ABC là tam giác
đều cạnh bằng a và mặt SAB là tam giác vng cân tại S. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
Giải
Ta có
(
)
(
)
∩ =
SAB ABC AB
. Từ S dựng đường thẳng vng góc với AB cắt
AB tại I; nên SI vng góc với đáy (ABC) mà
∆
SAB
vng cân tại S nên I
là trung điểm của AB =>
1
2 2
= =
a
SI AB
.
Khi đó thể tích
1 1
. .
3 3
∆
= =
ABC
V B h S SI
. Mà
2
1 3
. .sin
2 4
∆
= =
ABC
a
S AB AC A
.
Vậy
2 3
1 1 3 3
. . .
3 3 4 2 24
∆
= = =
ABC
a a a
V S SI
(đvtt).
Bài tập tương tự
1. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SAB) vng góc với mặt đáy (ABC), đáy ABC là tam giác
vng tại B. Biết BC = a, AC =
3
a
mặt SAB là tam giác vng tại S và SA = a. Tính thể tích
của khối chóp S.ABC theo a.
