bài giảng các chuyên đề (tài liệu nói về các chuyên đề thuật toán, đồ thị, cây của thầy lê minh hoàng khối chuyên tin đại học sư phạm hà nội

{ 1z

Bài tốn li t kê

M CL C
§0. GI I THI U...................................................................................................................................... 2
§1. NH C L I M T S KI N TH C I S T H P....................................................................... 3
I. CH NH H P L P ...........................................................................................................................................3
II. CH NH H P KHƠNG L P...........................................................................................................................3
III. HỐN V ......................................................................................................................................................3
IV. T H P.........................................................................................................................................................3
§2. PH
NG PHÁP SINH (GENERATE) ............................................................................................ 5
I. SINH CÁC DÃY NH PHÂN
DÀI N.......................................................................................................6
II. LI T KÊ CÁC T P CON K PH N T ........................................................................................................7
III. LI T KÊ CÁC HOÁN V .............................................................................................................................9
§3. THU T TỐN QUAY LUI ............................................................................................................. 12
I. LI T KÊ CÁC DÃY NH PHÂN
DÀI N...............................................................................................13
II. LI T KÊ CÁC T P CON K PH N T ......................................................................................................14
III. LI T KÊ CÁC CH NH H P KHÔNG L P CH P K ..............................................................................15
IV. BÀI TỐN PHÂN TÍCH S .....................................................................................................................16
V. BÀI TỐN X P H U.................................................................................................................................18
§4. K THU T NHÁNH C N.............................................................................................................. 22
I. BÀI TOÁN T I U......................................................................................................................................22
II. S BÙNG N T H P...............................................................................................................................22
III. MƠ HÌNH K THU T NHÁNH C N.....................................................................................................22
IV. BÀI TOÁN NG I DU L CH...................................................................................................................23

V. DÃY ABC ....................................................................................................................................................25

Lê Minh Hoàng


{ 2z

Bài tốn li t kê

§0. GI I THI U
Trong th c t , có m t s bài tốn yêu c u ch rõ: trong m t t p các i t ng cho tr c có bao
nhiêu i t ng tho mãn nh ng i u ki n nh t nh. Bài tốn ó g i là bài tốn m c u hình t
h p.
Trong l p các bài tốn m, có nh ng bài tốn cịn u c u ch rõ nh ng c u hình tìm
c tho
mãn i u ki n ã cho là nh ng c u hình nào. Bài tốn u c u a ra danh sách các c u hình có th
có g i là bài toán li t kê t h p.
gi i bài toán li t kê, c n ph i xác nh
c m t thu t tốn có th theo ó l n l t xây d ng
c t t c các c u hình ang quan tâm. Có nhi u ph ng pháp li t kê, nh ng chúng c n ph i áp
ng
c hai yêu c u d i ây:
• Khơng
c l p l i m t c u hình
• Khơng
c b sót m t c u hình
Có th nói r ng, ph ng pháp li t kê là ph ng k cu i cùng
gi i
c m t s bài tốn t h p
hi n nay. Khó kh n chính c a ph ng pháp này chính là s bùng n t h p.

xây d ng 1 t c u
hình (con s này khơng ph i là l n i v i các bài toán t h p - Ví d li t kê các cách x p n≥13
ng i quanh m t bàn tròn) và gi thi t r ng m i thao tác xây d ng m t kho ng 1 giây, ta ph i m t
quãng 31 n m m i gi i xong. Tuy nhiên cùng v i s phát tri n c a máy tính i n t , b ng ph ng
pháp li t kê, nhi u bài toán t h p ã tìm th y l i gi i. Qua ó, ta c ng nên bi t r ng ch nên dùng
ph ng pháp li t kê khi khơng cịn m t ph ng pháp nào khác tìm ra l i gi i. Chính nh ng n
l c gi i quy t các bài tốn th c t khơng dùng ph ng pháp li t kê ã thúc y s phát tri n c a
nhi u ngành toán h c.
Cu i cùng, nh ng tên g i sau ây, tuy v ngh a không ph i ng nh t, nh ng trong m t s tr ng
h p ng i ta có th dùng l n ngh a c a nhau
c. ó là:
• Ph ng pháp li t kê
• Ph ng pháp vét c n trên t p ph ng án
• Ph ng pháp duy t toàn b

Lê Minh Hoàng


{ 3z

Bài tốn li t kê

§1. NH C L I M T S

KI N TH C

IS

T

H P

Cho S là m t t p h u h n g m n ph n t và k là m t s t nhiên.
G i X là t p các s nguyên d ng t 1 n k: X = {1, 2, ..., k}
I. CH NH H P L P
M i ánh x f: X → S. Cho t ng ng v i m i i ∈ X, m t và ch m t ph n t f(i) ∈ S.
c g i là m t ch nh h p l p ch p k c a S.
Nh ng do X là t p h u h n (k ph n t ) nên ánh x f có th xác nh qua b ng các giá tr f(1), f(2),
..., f(k).
Ví d : S = {A, B, C, D, E, F}; k = 3. M t ánh x f có th cho nh sau:
i
1
2
3
f(i)
E
C
E
Nên ng i ta ng nh t f v i dãy giá tr (f(1), f(2), ..., f(k)) và coi dãy giá tr này c ng là m t
ch nh h p l p ch p k c a S. Nh ví d trên (E, C, E) là m t ch nh h p l p ch p 3 c a S. D dàng
ch ng minh
c k t qu sau b ng quy n p ho c b ng ph ng pháp ánh giá kh n ng l a ch n:
S ch nh h p l p ch p k c a t p g m n ph n t :
k

An = nk
II. CH NH H P KHÔNG L P
Khi f là n ánh có ngh a là v i ∀i, j ∈ X ta có f(i) = f(j) ⇔ i = j. Nói m t cách d hi u, khi dãy giá
tr f(1), f(2), ..., f(k) g m các ph n t thu c S khác nhau ơi m t thì f
c g i là m t ch nh h p

không l p ch p k c a S. Ví d m t ch nh h p không l p (C, A, E):
i
1
2
3
f(i)
C
A
E
S ch nh h p không l p ch p k c a t p g m n ph n t :
n!
A k = n (n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) =
n
(n − k )!
III. HOÁN V
Khi k = n. M t ch nh h p không l p ch p n c a S
c g i là m t hoán v các ph n t c a S.
Ví d : m t hốn v : (A, D, C, E, B, F) c a S = {A, B, C, D, E, F}
i
1
2
3
4
5
6
f(i)
A
D
C
E

B
F
ý r ng khi k = n thì s ph n t c a t p X = {1, 2, .., n} úng b ng s ph n t c a S. Do tính ch t
ơi m t khác nhau nên dãy f(1), f(2), ..., f(n) s li t kê
c h t các ph n t trong S. Nh v y f là
toàn ánh. M t khác do gi thi t f là ch nh h p không l p nên f là n ánh. Ta có t ng ng 1-1 gi a
các ph n t c a X và S, do ó f là song ánh. V y nên ta có th nh ngh a m t hoán v c a S là m t
song ánh gi a {1, 2, ..., n} và S.
S hoán v c a t p g m n ph n t = s ch nh h p không l p ch p n:
Pn = n!
IV. T

H P

M t t p con g m k ph n t c a S
Lê Minh Hoàng

c g i là m t t h p ch p k c a S.


{ 4z

Bài toán li t kê

L y m t t p con k ph n t c a S, xét t t c k! hoán v c a t p con này. D th y r ng các hoán v ó
là các ch nh h p không l p ch p k c a S. Ví d l y t p {A, B, C} là t p con c a t p S trong ví d
trên thì: (A, B, C), (C, A, B), (B, C, A), ... là các ch nh h p không l p ch p 3 c a S. i u ó t c là
khi li t kê t t c các ch nh h p không l p ch p k thì m i t h p ch p k s
c tính k! l n. V y:
S t h p ch p k c a t p g m n ph n t :

Ak
n!
C = n =
k! k!(n − k )!
k
n

S t p con c a t p n ph n t :
C 0 + C1 + ... + C n = (1 + 1) n = 2 n
n
n
n

Lê Minh Hoàng


{ 5z

Bài tốn li t kê

§2. PH

NG PHÁP SINH (GENERATE)

Ph ng pháp sinh có th áp d ng
gi i bài toán li t kê t h p t ra n u nh hai i u ki n sau
tho mãn:
1. Có th xác nh
c m t th t trên t p các c u hình t h p c n li t kê. T ó có th xác
nh

c c u hình u tiên và c u hình cu i cùng trong th t ã xác nh
2. Xây d ng
c thu t tốn t c u hình ch a ph i c u hình cu i, sinh ra
c c u hình k
ti p nó.
Ph ng pháp sinh có th mơ t nh sau:
u tiên>;
repeat
< a ra c u hình ang có>;
until <h t c u hình>;

ti p n u còn>;

Th t t i n
Trên các ki u d li u n gi n chu n, ng i ta th ng nói t i khái ni m th t . Ví d trên ki u s
thì có quan h : 1 < 2; 2 < 3; 3 < 10; ..., trên ki u ký t Char thì c ng có quan h 'A' < 'B'; 'C' < 'c'...
Xét quan h th t toàn ph n "nh h n ho c b ng" ký hi u "≤" trên m t t p h p S, là quan h hai
ngơi tho mãn b n tính ch t:
V i ∀a, b, c ∈ S
• Tính ph bi n: Ho c là a ≤ b, ho c b ≤ a;
• Tính ph n x : a ≤ a
• Tính ph n i x ng: N u a ≤ b và b ≤ a thì b t bu c a = b.
• Tính b c c u: N u có a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c.
Trong tr ng h p a ≤ b và a ≠ b, ta dùng ký hi u "<" cho g n, (ta ng m hi u các ký hi u nh ≥, >,
kh i ph i nh ngh a)
Ví d nh quan h "≤" trên các s nguyên c ng nh trên các ki u vô h ng, li t kê là quan h th t
toàn ph n.
Trên các dãy h u h n, ng i ta c ng xác nh m t quan h th t :

Xét a = (a1, a2, ..., an) và b = (b1, b2, ..., bn); trên các ph n t c a a1, ..., an, b1, ..., bn ã có quan h
th t "≤". Khi ó a ≤ b n u nh
• Ho c ai = bi v i ∀i: 1 ≤ i ≤ n.
• Ho c t n t i m t s nguyên d ng k: 1 ≤ k < n :
=
b1
a1
a2
=
b2
...
ak-1 =
bk-1
ak
=
bk
ak+1 <
bk+1
Trong tr ng h p này, ta có th vi t a < b.
Th t ó g i là th t t i n trên các dãy
dài n.
Khi
dài hai dãy a và b không b ng nhau, ng i ta c ng xác nh
c th t t i n. B ng cách
thêm vào cu i dãy a ho c dãy b nh ng ph n t
c bi t g i là ph n t ∅
dài c a a và b b ng
Lê Minh Hoàng

{ 6z

Bài toán li t kê

nhau, và coi nh ng ph n t ∅ này nh h n t t c các ph n t khác, ta l i
i n c a hai dãy cùng dài. Ví d :
• (1, 2, 3, 4) < (5, 6)
• (a, b, c) < (a, b, c, d)
• 'calculator' < 'computer'
I. SINH CÁC DÃY NH PHÂN

a v xác

nh th t t

DÀI N

M t dãy nh phân
dài n là m t dãy x = x1x2...xn trong ó xi ∈ {0, 1} (∀i : 1 ≤ i ≤ n).
D th y: m t dãy nh phân x
dài n là bi u di n nh phân c a m t giá tr nguyên p(x) nào ó n m
n
trong o n [0, 2 - 1]. S các dãy nh phân
dài n = s các s nguyên ∈ [0, 2n - 1] = 2n. Ta s l p
ch ng trình li t kê các dãy nh phân theo th t t i n có ngh a là s li t kê l n l t các dãy nh
phân bi u di n các s nguyên theo th t 0, 1,..., 2n-1.
Ví d : Khi n = 3, các dãy nh phân
dài 3
c li t kê nh sau:
p(x)

0
1
2
3
4
5
6
7
x
000
001
010
011
100
101
110
111
Nh v y dãy u tiên s là 00...0 và dãy cu i cùng s là 11...1. Nh n xét r ng n u dãy x = (x1, x2, ...,
xn) là dãy ang có và khơng ph i dãy cu i cùng thì dãy k ti p s nh n
c b ng cách c ng thêm 1
( theo c s 2 có nh ) vào dãy hi n t i.
Ví d khi n = 8:
Dãy ang có:
c ng thêm 1:
Dãy m i:

10010000
+ 1

10010001

Dãy ang có:
c ng thêm 1:
Dãy m i:

10010111
+ 1

10011000

Nh v y k thu t sinh c u hình k ti p t c u hình hi n t i có th mô t nh sau: Xét t cu i
dãy v
u (xét t hàng n v lên), g p s 0 u tiên thì thay nó b ng s 1 và t t t c các ph n
t phía sau v trí ó b ng 0.
i := n;
while (i > 0) and (xi = 1) do i := i - 1;
if i > 0 then
begin
xi := 1;
for j := i + 1 to n do xj := 0;
end;

D li u vào (Input): nh p t file v n b n BSTR.INP ch a s nguyên d ng n ≤ 30
K t qu ra(Output): ghi ra file v n b n BSTR.OUT các dãy nh phân dài n.
BSTR.INP
3

BSTR.OUT
000
001

010
011
100
101
110
111

PROG02_1.PAS * Thu t toán sinh li t kê các dãy nh
program Binary_Strings;
const
max = 30;
Lê Minh Hoàng

phân

dài n


{ 7z

Bài toán li t kê
var
x: array[1..max] of Integer;
n, i: Integer;
begin
{ nh ngh a l i thi t b nh p/xu t chu n}

Assign(Input, 'BSTR.INP'); Reset(Input);
Assign(Output, 'BSTR.OUT'); Rewrite(Output);
ReadLn(n);

FillChar(x, SizeOf(x), 0);
{C u hình ban u x1 = x2 = ... = xn := 0}
repeat
{Thu t toán sinh}
for i := 1 to n do Write(x[i]);
{In ra c u hình hi n t i}
WriteLn;
i := n;
{xi là ph n t cu i dãy, lùi d n i cho t i khi g p s 0 ho c khi i = 0 thì d ng}
while (i > 0) and (x[i] = 1) do Dec(i);
if i > 0 then
{Ch a g p ph i c u hình 11...1}
begin
x[i] := 1;
{Thay xi b ng s 1}
FillChar(x[i + 1], (n - i) * SizeOf(x[1]), 0);
{ t xi + 1 = xi + 2 = ... = xn := 0}
end;
until i = 0;
{ ã h t c u hình}
{ óng thi t b nh p xu t chu n, th c ra khơng c n vì BP s t

ng óng Input và Output tr

c khi thốt ch

ng trình}

Close(Input); Close(Output);
end.

II. LI T KÊ CÁC T P CON K PH N T
Ta s l p ch ng trình li t kê các t p con k ph n t c a t p {1, 2, ..., n} theo th t t
Ví d : v i n = 5, k = 3, ta ph i li t kê
10 t p con:
1.{1, 2, 3}
6.{1, 4, 5}

2.{1, 2, 4}
7.{2, 3, 4}

3.{1, 2, 5}
8.{2, 3, 5}

i n

4.{1, 3, 4} 5.{1, 3, 5}
9.{2, 4, 5} 10.{3, 4, 5}

Nh v y t p con u tiên (c u hình kh i t o) là {1, 2, ..., k}.
C u hình k t thúc là {n - k + 1, n - k + 2, ..., n}.
Nh n xét: Ta s in ra t p con b ng cách in ra l n l t các ph n t c a nó theo th t t ng d n. T
ó, ta có nh n xét n u x = {x1, x2, ..., xk} và x1 < x2 < ... < xk thì gi i h n trên (giá tr l n nh t có
th nh n) c a xk là n, c a xk-1 là n - 1, c a xk-2 là n - 2...
C th : gi i h n trên c a xi = n - k + i;
Còn t t nhiên, gi i h n d i c a xi (giá tr nh nh t xi có th nh n) là xi-1 + 1.
Nh v y n u ta ang có m t dãy x i di n cho m t t p con, n u x là c u hình k t thúc có ngh a là
t t c các ph n t trong x u ã t t i gi i h n trên thì quá trình sinh k t thúc, n u khơng thì ta
ph i sinh ra m t dãy x m i t ng d n tho mãn v a
l n h n dãy c theo ngh a không có m t t p

con k ph n t nào chen gi a chúng khi s p th t t i n.
Ví d : n = 9, k = 6. C u hình ang có x = {1, 2, 6, 7, 8, 9}. Các ph n t x3 n x6 ã t t i gi i
h n trên nên sinh c u hình m i ta khơng th sinh b ng cách t ng m t ph n t trong s các x6, x5,
x4, x3 lên
c, ta ph i t ng x2 = 2 lên thành x2 = 3.
c c u hình m i là x = {1, 3, 6, 7, 8, 9}. C u
hình này ã tho mãn l n h n c u hình tr c nh ng ch a tho mãn tính ch t v a
l n mu n v y
ta l i thay x3, x4, x5, x6 b ng các gi i h n d i c a nó. T c là:
• x3 := x2 + 1 = 4
• x4 := x3 + 1 = 5
• x5 := x4 + 1 = 6
• x6 := x5 + 1 = 7
Ta
c c u hình m i x = {1, 3, 4, 5, 6, 7} là c u hình k ti p. N u mu n tìm ti p, ta l i nh n th y
r ng x6 = 7 ch a t gi i h n trên, nh v y ch c n t ng x6 lên 1 là
c x = {1, 3, 4, 5, 6, 8}.
V y k thu t sinh t p con k ti p t t p ã có x có th xây d ng nh sau:
Lê Minh Hoàng


{ 8z

Bài tốn li t kê

•

Tìm t cu i dãy lên

u cho t i khi g p m t ph n t xi ch a

t gi i h n trên n - k + i.

i := n;
while (i > 0) and (xi = n - k + i) do i := i - 1;

(1, 2, 6, 7, 8, 9);
•

N u tìm th y:
if i > 0 then

♦ T ng xi ó lên 1.
xi := xi + 1;

♦

(1, 3, 6, 7, 8, 9)
t t t c các ph n t phía sau xi b ng gi i h n d i:
for j := i + 1 to k do xj := xj-1 + 1;

(1, 3, 4, 5, 6, 7)
Input: file v n b n SUBSET.INP ch a hai s nguyên d ng n, k (1 ≤ k ≤ n ≤ 30) cách nhau ít nh t
m t d u cách
Output: file v n b n SUBSET.OUT các t p con k ph n t c a t p {1, 2, ..., n}
SUBSET.INP
5 3

SUBSET.OUT
{1, 2, 3}

{1, 2, 4}
{1, 2, 5}
{1, 3, 4}
{1, 3, 5}
{1, 4, 5}
{2, 3, 4}
{2, 3, 5}
{2, 4, 5}
{3, 4, 5}

PROG02_2.PAS * Thu t toán sinh li t kê các t p con k ph n t
program Combinations;
const
max = 30;
var
x: array[1..max] of Integer;
n, k, i, j: Integer;
begin
{ nh ngh a l i thi t b nh p/xu t chu n}

Assign(Input, 'SUBSET.INP'); Reset(Input);
Assign(Output, 'SUBSET.OUT'); Rewrite(Output);
ReadLn(n, k);
for i := 1 to k do x[i] := i;
{x1 := 1; x2 := 2; ... ; x3 := k (C u hình kh i t o)}
{Bi n m}
Count := 0;
repeat
{In ra c u hình hi n t i}

Write('{');
for i := 1 to k - 1 do Write(x[i], ', ');
WriteLn(x[k], '}');
{Sinh ti p}

i := k;
{xi là ph n t cu i dãy, lùi d n i cho t i khi g p m t xi ch a t gi i h n trên n - k + i}
while (i > 0) and (x[i] = n - k + i) do Dec(i);
if i > 0 then
{N u ch a lùi n 0 có ngh a là ch a ph i c u hình k t thúc}
begin
Inc(x[i]);
{T ng xi lên 1, t các ph n t
ng sau xi b ng gi i h n d i c a nó}
for j := i + 1 to k do x[j] := x[j - 1] + 1;
end;
until i = 0;
{Lùi n t n 0 có ngh a là t t c các ph n t ã t gi i h n trên - h t c u hình}
Close(Input); Close(Output);
end.
Lê Minh Hoàng


{ 9z

Bài toán li t kê

III. LI T KÊ CÁC HỐN V
Ta s l p ch ng trình li t kê các hoán v c a {1, 2, ..., n} theo th t t
Ví d v i n = 4, ta ph i li t kê 24 hoán v :

1.1234
7.2134
13.3124
19.4123

2.1243
8.2143
14.3142
20.4132

3.1324
9.2314
15.3214
21.4213

4.1342
10.2341
16.3241
22.4231

5.1423
11.2413
17.3412
23.4312

i n.

6.1432
12.2431
18.3421

24.4321

Nh v y hoán v u tiên s là (1, 2, ..., n). Hoán v cu i cùng là (n, n-1, ... , 1).
Hoán v s sinh ra ph i l n h n hoán v hi n t i, h n th n a ph i là hoán v v a
l n h n hoán v
hi n t i theo ngh a khơng th có m t hốn v nào khác chen gi a chúng khi s p th t .
Gi s hoán v hi n t i là x = (3, 2, 6, 5, 4, 1), xét 4 ph n t cu i cùng, ta th y chúng
c x p gi m
d n, i u ó có ngh a là cho dù ta có hốn v 4 ph n t này th nào, ta c ng
c m t hoán v bé
h n hoán v hi n t i!. Nh v y ta ph i xét n x2 = 2, thay nó b ng m t giá tr khác. Ta s thay b ng
giá tr nào?, không th là 1 b i n u v y s
c hoán v nh h n, khơng th là 3 vì ã có x1 = 3 r i
(ph n t sau không
c ch n vào nh ng giá tr mà ph n t tr c ã ch n). Còn l i các giá tr 4, 5,
6. Vì c n m t hốn v v a
l n h n hi n t i nên ta ch n x2 = 4. Còn các giá tr (x3, x4, x5, x6) s
l y trong t p {2, 6, 5, 1}. C ng vì tính v a
l n nên ta s tìm bi u di n nh nh t c a 4 s này gán
cho x3, x4, x5, x6 t c là (1, 2, 5, 6). V y hoán v m i s là (3, 4, 1, 2, 5, 6).
(3, 2, 6, 5, 4, 1) → (3, 4, 1, 2, 5, 6).
Ta có nh n xét gì qua ví d này: o n cu i c a hốn v
c x p gi m d n, s x5 = 4 là s nh nh t
c x2
trong o n cu i gi m d n tho mãn i u ki n l n h n x2 = 2. N u i ch x5 cho x2 thì ta s
= 4 và o n cu i v n
c s p x p gi m d n. Khi ó mu n bi u di n nh nh t cho các giá tr
trong o n cu i thì ta ch c n o ng c o n cu i.
Trong tr ng h p hoán v hi n t i là (2, 1, 3, 4) thì hốn v k ti p s là (2, 1, 4, 3). Ta c ng có th
coi hốn v (2, 1, 3, 4) có o n cu i gi m d n, o n cu i này ch g m 1 ph n t (4)

V y k thu t sinh hoán v k ti p t hoán v hi n t i có th xây d ng nh sau:
• Xác nh o n cu i gi m d n dài nh t, tìm ch s i c a ph n t xi ng li n tr c o n cu i ó.
i u này ng ngh a v i vi c tìm t v trí sát cu i dãy lên u, g p ch s i u tiên th a mãn xi
< xi+1. N u toàn dãy ã là gi m d n, thì ó là c u hình cu i.
i := n - 1;
while (i > 0) and (xi > xi+1) do i := i - 1;

•

Trong o n cu i gi m d n, tìm ph n t xk nh nh t tho mãn i u ki n xk > xi. Do o n cu i
gi m d n, i u này th c hi n b ng cách tìm t cu i dãy lên u g p ch s k u tiên tho mãn
xk > xi (có th dùng tìm ki m nh phân).
k := n;
while xk < xi do k := k - 1;

•
i ch xk và xi, l t ng c th t o n cu i gi m d n (t xi+1 n xk) tr thành t ng d n.
Input: file v n b n PERMUTE.INP ch a s nguyên d ng n ≤ 12
Output: file v n b n PERMUTE.OUT các hoán v c a dãy (1, 2, ..., n)
PERMUTE.INP
3

Lê Minh Hoàng

PERMUTE.OUT
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2

3 2 1


{ 10z

Bài toán li t kê
PROG02_3.PAS * Thu t toán sinh li t kê hoán v
program Permute;
const
max = 12;
var
n, i, k, a, b: Integer;
x: array[1..max] of Integer;
procedure Swap(var X, Y: Integer); {Th t c
var
Temp: Integer;
begin
Temp := X; X := Y; Y := Temp;
end;

o giá tr hai tham bi n X, Y}

begin
Assign(Input, 'PERMUTE.INP'); Reset(Input);
Assign(Output, 'PERMUTE.OUT'); Rewrite(Output);
ReadLn(n);
for i := 1 to n do x[i] := i;
{Kh i t o c u hình u: x1 := 1; x2 := 2; ..., xn := n}
repeat
{In ra c u hình hốn v hi n t i}

for i := 1 to n do Write(x[i], ' ');
WriteLn;
i := n - 1;
while (i > 0) and (x[i] > x[i + 1]) do Dec(i);
if i > 0 then
{Ch a g p ph i hoán v cu i (n, n-1, ... ,1)}
begin
{xk là ph n t cu i dãy}
k := n;
while x[k] < x[i] do Dec(k);
{Lùi d n k tìm g p xk u tiên l n h n xi }
Swap(x[k], x[i]);
{ i ch xk và xi}
a := i + 1; b := n;
{L t ng c o n cu i gi m d n, a: u o n, b: cu i o n}
while a < b do
begin
Swap(x[a], x[b]);
{ i ch xa và xb}
Inc(a);
{Ti n a và lùi b, i ch ti p cho t i khi a, b ch m nhau}
Dec(b);
end;
end;
until i = 0; {Toàn dãy là dãy gi m d n - không sinh ti p
c - h t c u hình}
Close(Input); Close(Output);
end.

Bài t p:

1. Các ch ng trình trên x lý khơng t t trong tr ng h p t m th ng, ó là tr ng h p n = 0 i
v i ch ng trình li t kê dãy nh phân c ng nh trong ch ng trình li t kê hốn v , tr ng h p k = 0
i v i ch ng trình li t kê t h p, hãy kh c ph c i u ó.
2. Li t kê các dãy nh phân
dài n có th coi là li t kê các ch nh h p l p ch p n c a t p 2 ph n t
{0, 1}. Hãy l p ch ng trình:
Nh p vào hai s n và k, li t kê các ch nh h p l p ch p k c a {0, 1, ..., n -1}.
G i ý: thay h c s 2 b ng h c s n.
3. Hãy li t kê các dãy nh phân
dài n mà trong ó c m ch s "01" xu t hi n úng 2 l n.
Bài t p:
4. Nh p vào m t danh sách n tên ng i. Li t kê t t c các cách ch n ra úng k ng i trong s n
ng i ó.
G i ý: xây d ng m t ánh x t t p {1, 2, ..., n} n t p các tên ng i. Ví d xây d ng m t m ng
Tên: Tên[1] := 'Nguy n v n A'; Tên[2] := 'Tr n th B';.... sau ó li t kê t t c các t p con k ph n t

Lê Minh Hoàng


Bài toán li t kê

{ 11z

c a t p {1, 2, ..., n}. Ch có i u khi in t p con, ta không in giá tr s {1, 3, 5} mà thay vào ó s in
ra {Tên[1], Tên [3], Tên[5]}. T c là in ra nh c a các giá tr tìm
c qua ánh x
5. Li t kê t t c các t p con c a t p {1, 2, ..., n}. Có th dùng ph ng pháp li t kê t p con nh trên
ho c dùng ph ng pháp li t kê t t c các dãy nh phân. M i s 1 trong dãy nh phân t ng ng v i
m t ph n t
c ch n trong t p. Ví d v i t p {1, 2, 3, 4} thì dãy nh phân 1010 s t ng ng v i

t p con {1, 3}. Hãy l p ch ng trình in ra t t c các t p con c a {1, 2, ..., n} theo hai ph ng pháp.
5. Nh p vào danh sách tên n ng i, in ra t t c các cách x p n ng i ó vào m t bàn
6. Nh p vào danh sách n ng i nam và n ng i n , in ra t t c các cách x p 2n ng i ó vào m t
bàn tròn, m i ng i nam ti p n m t ng i n .
7. Ng i ta có th dùng ph ng pháp sinh
li t kê các ch nh h p không l p ch p k. Tuy nhiên có
m t cách là li t kê t t c các t p con k ph n t c a t p h p, sau ó in ra
k! hốn v c a nó. Hãy
vi t ch ng trình li t kê các ch nh h p khơng l p ch p k c a {1, 2, ..., n}.
8. Li t kê t t c các hoán v ch cái trong t MISSISSIPPI theo th t t i n.
9. Li t kê t t c các cách phân tích s nguyên d ng n thành t ng các s ngun d ng, hai cách
phân tích là hốn v c a nhau ch tính là m t cách.
Cu i cùng, ta có nh n xét, m i ph ng pháp li t kê u có u, nh c i m riêng và ph ng pháp
sinh c ng không n m ngồi nh n xét ó. Ph ng pháp sinh khơng th sinh ra
c c u hình th
p n u nh ch a có c u hình th p - 1, ch ng t r ng ph ng pháp sinh t ra u i m trong tr ng
h p li t kê toàn b m t s l ng nh c u hình trong m t b d li u l n thì l i có nh c i m và
ít tính ph d ng trong nh ng thu t toán duy t h n ch . H n th n a, khơng ph i c u hình ban u
lúc nào c ng d tìm
c, khơng ph i k thu t sinh c u hình k ti p cho m i bài toán u n gi n
nh trên (Sinh các ch nh h p không l p ch p k theo th t t i n ch ng h n). Ta sang m t chuyên
m c sau nói n m t ph ng pháp li t kê có tính ph d ng cao h n,
gi i các bài toán li t kê
ph c t p h n ó là: Thu t tốn quay lui (Back tracking).

Lê Minh Hồng


{ 12z

Bài tốn li t kê

§3. THU T TỐN QUAY LUI
Thu t toán quay lui dùng
gi i bài toán li t kê các c u hình. M i c u hình
c xây d ng
b ng cách xây d ng t ng ph n t , m i ph n t
c ch n b ng cách th t t c các kh n ng.
Gi thi t c u hình c n li t kê có d ng (x1, x2,..., xn). Khi ó thu t toán quay lui th c hi n qua các
b c sau:
1) Xét t t c các giá tr x1 có th nh n, th cho x1 nh n l n l t các giá tr ó. V i m i giá tr th
gán cho x1 ta s :
2) Xét t t c các giá tr x2 có th nh n, l i th cho x2 nh n l n l t các giá tr ó. V i m i giá tr
th gán cho x2 l i xét ti p các kh n ng ch n x3 ... c ti p t c nh v y n b c:
n) Xét t t c các giá tr xn có th nh n, th cho xn nh n l n l t các giá tr ó, thơng báo c u hình
tìm
c (x1, x2, ..., xn).
Trên ph ng di n quy n p, có th nói r ng thu t tốn quay lui li t kê các c u hình n ph n t d ng
(x1, x2, .., xn) b ng cách th cho x1 nh n l n l t các giá tr có th . V i m i giá tr th gán cho x1 l i
li t kê ti p c u hình n - 1 ph n t (x2, x3, ..., xn).
Mơ hình c a thu t tốn quay lui có th mơ t nh sau:
{Th t c này th cho xi nh n l n l

t các giá tr mà nó có th nh n}

procedure Try(i: Integer);
begin
for (m i giá tr V có th gán cho xi) do
begin
<Th cho xi := V>;

if (xi là ph n t cu i cùng trong c u hình) then
c>
else
begin
<Ghi nh n vi c cho xi nh n giá tr V (N u c n)>;
Try(i + 1); {G i quy ch n ti p xi+1}
th giá tr
end;
end;
end;

khác>;

Thu t toán quay lui s b t u b ng l i g i Try(1)
Ta có th trình bày quá trình tìm ki m l i gi i c a thu t toán quay lui b ng cây sau:
Try(1)

Try(2)

Try(3)

Try(2)

Try(3)

Try(3)

Hình 1: Cây tìm ki m quay lui

Lê Minh Hoàng

Try(3)


{ 13z

Bài toán li t kê

I. LI T KÊ CÁC DÃY NH PHÂN

DÀI N

Input/Output v i khuôn d ng nh trong PROG2_1.PAS
Bi u di n dãy nh phân
dài N d i d ng (x1, x2, ..., xn). Ta s li t kê các dãy này b ng cách th
dùng các giá tr {0, 1} gán cho xi. V i m i giá tr th gán cho xi l i th các giá tr có th gán cho
xi+1.Ch ng trình li t kê b ng thu t tốn quay lui có th vi t:
PROG03_1.PAS * Thu t toán quay lui li t kê các dãy nh
program BinaryStrings;
const
max = 30;
var
x: array[1..max] of Integer;
n: Integer;
procedure PrintResult;
{In c u hình tìm
var
i: Integer;

begin
for i := 1 to n do Write(x[i]);
WriteLn;
end;
procedure Try(i: Integer);
var
j: Integer;
begin
for j := 0 to 1 do
begin
x[i] := j;
if i = n then PrintResult
else Try(i + 1);
end;
end;

c, do th t c tìm

phân

dài n

quy Try g i khi tìm ra m t c u hình}

{Th các cách ch n xi}

{Xét các giá tr có th gán cho xi, v i m i giá tr ó}
{Th
t xi}
{N u i = n thì in k t qu }

{N u i ch a ph i là ph n t cu i thì tìm ti p xi+1}

begin
Assign(Input, 'BSTR.INP'); Reset(Input);
Assign(Output, 'BSTR.OUT'); Rewrite(Output);
{Nh p d li u}
ReadLn(n);
Try(1);
{Th các cách ch n giá tr x1}
Close(Input);
Close(Output);
end.

Ví d : Khi n = 3, cây tìm ki m quay lui nh sau:
Try(1)
x1 := 0

x1 := 1

Try(2)
x2 := 0

Try(3)
x3 := 0

000

x3 := 1

001

Try(2)

x2 := 1

x2 := 0

Try(3)
x3 := 0

010

Try(3)

x3 := 1

011

x3 := 0

100

x2 := 1

Try(3)

x3 := 1

101

x3 := 0

x3 := 1

110

Hình 2: Cây tìm ki m quay lui trong bài toán li t kê dãy nh phân
Lê Minh Hoàng

111

result


Bài toán li t kê

{ 14z

II. LI T KÊ CÁC T P CON K PH N T
Input/Output có khn d ng nh trong PROG02_2.PAS
li t kê các t p con k ph n t c a t p S = {1, 2, ..., n} ta có th
a v li t kê các c u hình (x1, x2,
..., xk)
ây các xi ∈ S và x1 < x2 < ... < xk. Ta có nh n xét:
• xk ≤ n
• xk-1 ≤ xk - 1 ≤ n - 1
• ...
• xi ≤ n - k + i
• ...
• x1 ≤ n - k + 1.

T ó suy ra xi-1 + 1 ≤ xi ≤ n - k + i (1 ≤ i ≤ k)
ây ta gi thi t có thêm m t s x0 = 0 khi xét i = 1.
Nh v y ta s xét t t c các cách ch n x1 t 1 (=x0 + 1) n n - k + 1, v i m i giá tr ó, xét ti p t t
c các cách ch n x2 t x1 + 1 n n - k + 2,... c nh v y khi ch n
c n xk thì ta có m t c u
hình c n li t kê. Ch ng trình li t kê b ng thu t toán quay lui nh sau:
PROG03_2.PAS * Thu t toán quay lui li t kê các t p con k ph n t
program Combinations;
const
max = 30;
var
x: array[0..max] of Integer;
n, k: Integer;
procedure PrintResult; (*In ra t p con {x1, x2, ..., xk}*)
var
i: Integer;
begin
Write('{');
for i := 1 to k - 1 do Write(x[i], ', ');
WriteLn(x[k], '}');
end;
procedure Try(i: Integer); {Th các cách ch n giá tr cho x[i]}
var
j: Integer;
begin
for j := x[i - 1] + 1 to n - k + i do
begin
x[i] := j;
if i = k then PrintResult
else Try(i + 1);

end;
end;
begin
Assign(Input, 'SUBSET.INP'); Reset(Input);
Assign(Output, 'SUBSET.OUT'); Rewrite(Output);
ReadLn(n, k);
x[0] := 0;
Try(1);
Close(Input); Close(Output);
end.

Lê Minh Hoàng


{ 15z

Bài tốn li t kê

N u
ý ch ng trình trên và ch ng trình li t kê dãy nh phân
dài n, ta th y v c b n chúng
ch khác nhau th t c Try(i) - ch n th các giá tr cho xi, ch ng trình li t kê dãy nh phân ta
th ch n các giá tr 0 ho c 1 cịn ch ng trình li t kê các t p con k ph n t ta th ch n xi là m t
trong các giá tr nguyên t xi-1 + 1 n n - k + i. Qua ó ta có th th y tính ph d ng c a thu t tốn
quay lui: mơ hình cài t có th thích h p cho nhi u bài toán, khác v i ph ng pháp sinh tu n t ,
v i m i bài toán l i ph i có m t thu t tốn sinh k ti p riêng làm cho vi c cài t m i bài m t khác,
bên c nh ó, khơng ph i thu t toán sinh k ti p nào c ng d cài t.
III. LI T KÊ CÁC CH NH H P KHÔNG L P CH P K
li t kê các ch nh h p không l p ch p k c a t p S = {1, 2, ..., n} ta có th
a v li t kê các c u

hình (x1, x2, ..., xk)
ây các xi ∈ S và khác nhau ôi m t.
Nh v y th t c Try(i) - xét t t c các kh n ng ch n xi - s th h t các giá tr t 1 n n, mà các giá
tr này ch a b các ph n t
ng tr c ch n. Mu n xem các giá tr nào ch a
c ch n ta s d ng
k thu t dùng m ng ánh d u:
ây ci cho bi t giá tr i có cịn t do hay ã
• Kh i t o m t m ng c1, c2, ..., cn mang ki u logic.
b ch n r i. Ban u kh i t o t t c các ph n t m ng c là TRUE có ngh a là các ph n t t 1
n n u t do.
• T i b c ch n các giá tr có th c a xi ta ch xét nh ng giá tr j có cj = TRUE có ngh a là ch
ch n nh ng giá tr t do.
• Tr c khi g i
quy tìm xi+1: ta t giá tr j v a gán cho xi là ã b ch n có ngh a là t cj :=
FALSE các th t c Try(i + 1), Try(i + 2)... g i sau này không ch n ph i giá tr j ó n a
t
• Sau khi g i quy tìm xi+1: có ngh a là s p t i ta s th gán m t giá tr khác cho xi thì ta s
giá tr j v a th ó thành t do (cj := TRUE), b i khi xi ã nh n m t giá tr khác r i thì các ph n
t
ng sau: xi+1, xi+2 ... hồn tồn có th nh n l i giá tr j ó. i u này hồn tồn h p lý trong
phép xây d ng ch nh h p khơng l p: x1 có n cách ch n, x2 có n - 1 cách ch n, ...L u ý r ng khi
th t c Try(i) có i = k thì ta khơng c n ph i ánh d u gì c vì ti p theo ch có in k t qu ch
không c n ph i ch n thêm ph n t nào n a.
Input: file v n b n ARRANGES.INP ch a hai s nguyên d ng n, k (1 ≤ k ≤ n ≤ 20) cách nhau ít
nh t m t d u cách
Output: file v n b n ARRANGES.OUT ghi các ch nh h p không l p ch p k c a t p {1, 2, ..., n}
ARRANGES.INP
3 2

ARRANGES.OUT
1 2
1 3
2 1
2 3
3 1
3 2

PROG03_3.PAS * Thu t toán quay lui li t kê các ch nh h p không l p ch p k
program Arranges;
const
max = 20;
var
x: array[1..max] of Integer;
c: array[1..max] of Boolean;
n, k: Integer;
procedure PrintResult;
Lê Minh Hoàng

{Th t c in c u hình tìm

c}


{ 16z

Bài toán li t kê
var
i: Integer;
begin

for i := 1 to k do Write(x[i],' ');
WriteLn;
end;

procedure Try(i: Integer); {Th các cách ch n xi}
var
j: Integer;
begin
for j := 1 to n do
if c[j] then
{Ch xét nh ng giá tr j còn t do}
begin
x[i] := j;
if i = k then PrintResult {N u ã ch n
c n xk thì ch vi c in k t qu }
else
begin
c[j] := False; { ánh d u: j ã b ch n}
Try(i + 1);
{Th t c này ch xét nh ng giá tr còn t do gán cho xi+1, t c là s không ch n ph i j}
c[j] := True;
{B ánh d u: j l i là t do, b i s p t i s th m t cách ch n khác c a xi}
end;
end;
end;
begin
Assign(Input, 'ARRANGES.INP'); Reset(Input);
Assign(Output, 'ARRANGES.OUT'); Rewrite(Output);
ReadLn(n, k);
FillChar(c, SizeOf(c), True); {T t c các s

u ch a b ch n}
Try(1);
{Th các cách ch n giá tr c a x1}
Close(Input); Close(Output);
end.

Nh n xét: khi k = n thì ây là ch

ng trình li t kê hốn v

IV. BÀI TỐN PHÂN TÍCH S
Bài tốn
Cho m t s nguyên d ng n ≤ 30, hãy tìm t t c các cách phân tích s n thành t ng c a các s
nguyên d ng, các cách phân tích là hốn v c a nhau ch tính là 1 cách.
Cách làm:
1. Ta s l u nghi m trong m ng x, ngồi ra có m t m ng t. M ng t xây d ng nh sau: ti s là t ng
các ph n t trong m ng x t x1 n xi: ti := x1 + x2 + ... + xi.
2. Khi li t kê các dãy x có t ng các ph n t úng b ng n,
tránh s trùng l p ta a thêm ràng
bu c xi-1 ≤ xi.
3. Vì s ph n t th c s c a m ng x là không c
nh nên th t c PrintResult dùng in ra 1 cách
phân tích ph i có thêm tham s cho bi t s in ra bao nhiêu ph n t .
4. Th t c quy Try(i) s th các giá tr có th nh n c a xi (xi ≥ xi - 1)
5. Khi nào thì in k t qu và khi nào thì g i quy tìm ti p ?
L u ý r ng ti - 1 là t ng c a t t c các ph n t t x1 n xi-1 do ó
• Khi ti = n t c là (xi = n - ti - 1) thì in k t qu
• Khi tìm ti p, xi+1 s ph i l n h n ho c b ng xi. M t khác ti+1 là t ng c a các s t x1 t i xi+1
không
c v t quá n. V y ta có ti+1 ≤ n ⇔ ti-1 + xi + xi+1 ≤ n ⇔ xi + xi + 1 ≤ n - ti - 1 t c là xi

Lê Minh Hoàng


{ 17z

Bài toán li t kê

≤ (n - ti - 1)/2. Ví d
n gi n khi n = 10 thì ch n x1 = 6, 7, 8, 9 là vi c làm vơ ngh a vì nh
v y c ng không ra nghi m mà c ng không ch n ti p x2
c n a.
M t cách d hi u ta g i
quy tìm ti p khi giá tr xi
c ch n còn cho phép ch n thêm m t
ph n t khác l n h n ho c b ng nó mà khơng làm t ng v t q n. Còn ta in k t qu ch khi
xi mang giá tr úng b ng s thi u h t c a t ng i-1 ph n t
u so v i n.
6. V y th t c Try(i) th các giá tr cho xi có th mơ t nh sau: ( t ng quát cho i = 1, ta t x0 =
1 và t0 = 0).
• Xét các giá tr c a xi t xi - 1 n (n - ti-1) div 2, c p nh t ti := ti - 1 + xi và g i quy tìm ti p.
• Cu i cùng xét giá tr xi = n - ti-1 và in k t qu t x1 n xi.
Input: file v n b n ANALYSE.INP ch a s nguyên d ng n ≤ 30
Output: file v n b n ANALYSE.OUT ghi các cách phân tích s n.
ANALYSE.INP
6

ANALYSE.OUT
6 = 1+1+1+1+1+1
6 = 1+1+1+1+2

6 = 1+1+1+3
6 = 1+1+2+2
6 = 1+1+4
6 = 1+2+3
6 = 1+5
6 = 2+2+2
6 = 2+4
6 = 3+3
6 = 6

PROG03_4.PAS * Thu t toán quay lui li t kê các cách phân tích s
program Analyses;
const
max = 30;
var
n: Integer;
x: array[0..max] of Integer;
t: array[0..max] of Integer;
procedure Init;
begin
ReadLn(n);
x[0] := 1;
t[0] := 0;
end;

{Kh i t o}

procedure PrintResult(k: Integer);
var
i: Integer;

begin
Write(n,' = ');
for i := 1 to k - 1 do Write(x[i], '+');
WriteLn(x[k]);
end;
procedure Try(i: Integer);
var
j: Integer;
begin
for j := x[i - 1] to (n - T[i - 1]) div 2 do
begin
x[i] := j;

Lê Minh Hoàng

{Tr

ng h p còn ch n ti p xi+1}


{ 18z

Bài toán li t kê
t[i] := t[i - 1] + j;
Try(i + 1);
end;
x[i] := n - T[i - 1];
{N u xi là ph n t cu i thì nó b t bu c ph i là ... và in k t qu }
PrintResult(i);
end;

begin
Assign(Input, 'ANALYSE.INP'); Reset(Input);
Assign(Output, 'ANALYSE.OUT'); Rewrite(Output);
Init;
Try(1);
Close(Input);
Close(Output);
end.

Bây gi ta xét ti p m t ví d kinh i n c a thu t tốn quay lui:
V. BÀI TỐN X P H U
Bài tốn
Xét bàn c t ng qt kích th c nxn. M t quân h u trên bàn c có th n
c các quân khác n m
t i các ô cùng hàng, cùng c t ho c cùng
ng chéo. Hãy tìm các x p n quân h u trên bàn c sao
cho khơng qn nào n qn nào.
Ví d m t cách x p v i n = 8:

Hình 3: X p 8 quân h u trên bàn c 8x8

Phân tích
•

Rõ ràng n qn h u s
c t m i con m t hàng vì h u n
c ngang, ta g i quân h u s
t
hàng 1 là quân h u 1, quân h u hàng 2 là quân h u 2... quân h u hàng n là quân h u n.
V y m t nghi m c a bài tốn s

c bi t khi ta tìm ra
c v trí c t c a nh ng quân h u.
• N u ta nh h ng ơng (Ph i), Tây (Trái), Nam (D i), B c (Trên) thì ta nh n th y r ng:
♦ M t
ng chéo theo h ng ông B c - Tây Nam ( B-TN) b t k s i qua m t s ô, các ơ
ó có tính ch t: Hàng + C t = C (Const). V i m i
ng chéo B-TN ta có 1 h ng s C và
v i m t h ng s C: 2 ≤ C ≤ 2n xác nh duy nh t 1
ng chéo B-TN vì v y ta có th ánh
ch s cho các
ng chéo B- TN t 2 n 2n
♦ M t
ng chéo theo h ng ông Nam - Tây B c ( N-TB) b t k s i qua m t s ơ, các ơ
ó có tính ch t: Hàng - C t = C (Const). V i m i
ng chéo N-TB ta có 1 h ng s C và
v i m t h ng s C: 1 - n ≤ C ≤ n - 1 xác nh duy nh t 1
ng chéo N-TB vì v y ta có th
ánh ch s cho các
ng chéo N- TB t 1 - n n n - 1.

Lê Minh Hoàng


{ 19z

Bài tốn li t kê
1

2

3

4

5

6

7

8

1
2

N

3
W

E

4
5

S

6
7
8

Hình 4:

Cài

ng chéo B-TN mang ch s 10 và

ng chéo N-TB mang ch s 0, ô chung (5, 5)

t:

1. Ta có 3 m ng logic
ánh d u:
• M ng a[1..n]. ai = TRUE n u nh c t i còn t do, ai = FALSE n u nh c t i ã b m t quân h u
kh ng ch
ng chéo B-TN th i còn t do, bi = FALSE n u nh
• M ng b[2..2n]. bi = TRUE n u nh
ng chéo ó ã b m t quân h u kh ng ch .
ng chéo N-TB th i còn t do, ci = FALSE n u
• M ng c[1 - n..n - 1]. ci = TRUE n u nh
nh
ng chéo ó ã b m t quân h u kh ng ch .
• Ban u c 3 m ng ánh d u u mang giá tr TRUE. (Các c t và
ng chéo u t do)
2. Thu t toán quay lui: Xét t t c các c t, th
t quân h u 1 vào m t c t, v i m i cách t nh v y,
xét t t c các cách t quân h u 2 không b quân h u 1 n, l i th 1 cách t và xét ti p các cách t
quân h u 3...M i cách t
c n quân h u n cho ta 1 nghi m
3. Khi ch n v trí c t j cho quân h u th i, thì ta ph i ch n ơ(i, j) khơng b các quân h u t tr c ó

n, t c là ph i ch n c t j còn t do,
ng chéo B-TN (i+j) còn t do,
ng chéo N-TB(i-j)
còn t do. i u này có th ki m tra (aj = bi+j = ci-j = TRUE)
4. Khi th
t
c quân h u th i vào c t j, n u ó là quân h u cu i cùng (i = n) thì ta có m t
nghi m. N u khơng:
• Tr c khi g i quy tìm cách t quân h u th i + 1, ta ánh d u c t và 2
ng chéo b quân
các l n g i
quy ti p sau ch n cách t
h u v a t kh ng ch (aj = bi+j = ci-j := FALSE)
các quân h u k ti p s không ch n vào nh ng ô n m trên c t j và nh ng
ng chéo này n a.
quy tìm cách t quân h u th i + 1, có ngh a là s p t i ta l i th m t cách t
• Sau khi g i
khác cho quân h u th i, ta b ánh d u c t và 2
ng chéo b quân h u v a th
t kh ng ch
(aj = bi+j = ci-j := TRUE) t c là c t và 2
ng chéo ó l i thành t do, b i khi ã t qn h u i
sang v trí khác r i thì c t và 2
ng chéo ó hồn tồn có th gán cho m t quân h u khác
Hãy xem l i trong các ch ng trình li t kê ch nh h p khơng l p và hốn v v k thu t ánh d u.
ây ch khác v i li t kê hoán v là: li t kê hoán v ch c n m t m ng ánh d u xem giá tr có t do
khơng, cịn bài tốn x p h u thì c n ph i ánh d u c 3 thành ph n: C t,
ng chéo B-TN,
ng chéo N- TB. Tr ng h p n gi n h n: Yêu c u li t kê các cách t n quân xe lên bàn c
nxn sao cho khơng qn nào n qn nào chính là bài tốn li t kê hoán v

Input: file v n b n QUEENS.INP ch a s nguyên d ng n ≤ 12
Output: file v n b n QUEENS.OUT, m i dòng ghi m t cách t n quân h u

Lê Minh Hoàng


{ 20z

Bài toán li t kê

QUEENS.INP
5

QUEENS.OUT
(1, 1); (2,
(1, 1); (2,
(1, 2); (2,
(1, 2); (2,
(1, 3); (2,
(1, 3); (2,
(1, 4); (2,
(1, 4); (2,
(1, 5); (2,
(1, 5); (2,

3);
4);
4);
5);
1);

5);
1);
2);
2);
3);

(3,
(3,
(3,
(3,
(3,
(3,
(3,
(3,
(3,
(3,

5);
2);
1);
3);
4);
2);
3);
5);
4);
1);

(4,
(4,

(4,
(4,
(4,
(4,
(4,
(4,
(4,
(4,

2);
5);
3);
1);
2);
4);
5);
3);
1);
4);

(5,
(5,
(5,
(5,
(5,
(5,
(5,
(5,
(5,
(5,

4);
3);
5);
4);
5);
1);
2);
1);
3);
2);

PROG03_5.PAS * Thu t toán quay lui gi i bài toán x p h u
program n_Queens;
const
max = 12;
var
n: Integer;
x: array[1..max] of Integer;
a: array[1..max] of Boolean;
b: array[2..2 * max] of Boolean;
c: array[1 - max..max - 1] of Boolean;
procedure Init;
begin
ReadLn(n);
FillChar(a, SizeOf(a), True);
FillChar(b, SizeOf(b), True);
FillChar(c, SizeOf(c), True);
end;

{M i c t u t do}
{M i
ng chéo ông B c - Tây Nam
{M i
ng chéo ông Nam - Tây B c

u t do}
u t do}

procedure PrintResult;
var
i: Integer;
begin
for i := 1 to n do Write('(', i, ', ', x[i], '); ');
WriteLn;
end;
procedure Try(i: Integer); {Th các cách t quân h u th i vào hàng i}
var
j: Integer;
begin
for j := 1 to n do
if a[j] and b[i + j] and c[i - j] then {Ch xét nh ng c t j mà ô (i, j) ch a b kh ng ch }
begin
x[i] := j;
{Th
t quân h u i vào c t j}
if i = n then PrintResult
else
begin
a[j] := False; b[i + j] := False; c[i - j] := False; { ánh d u}

Try(i + 1);
{Tìm các cách t quân h u th i + 1}
a[j] := True; b[i + j] := True; c[i - j] := True;
{B ánh d u}
end;
end;
end;
begin
Assign(Input, 'QUEENS.INP'); Reset(Input);
Assign(Output, 'QUEENS.OUT'); Rewrite(Output);
Init;

Lê Minh Hoàng


Bài toán li t kê

{ 21z

Try(1);
Close(Input); Close(Output);
end.

Tên g i thu t toán quay lui, ng trên ph ng di n cài t có th nên g i là k thu t vét c n b ng
quay lui thì chính xác h n, tuy nhiên ng trên ph ng di n bài tốn, n u nh ta coi cơng vi c gi i
bài toán b ng cách xét t t c các kh n ng c ng là 1 cách gi i thì tên g i Thu t tốn quay lui c ng
khơng có gì trái logic. Xét ho t ng c a ch ng trình trên cây tìm ki m quay lui ta th y t i b c
th ch n xi nó s g i quy tìm ti p xi+1 có ngh a là q trình s duy t ti n sâu xu ng phía d i
n t n nút lá, sau khi ã duy t h t các nhánh, ti n trình lùi l i th áp t m t giá tr khác cho xi, ó
chính là ngu n g c c a tên g i "thu t toán quay lui"

Bài t p:
1. M t s ch ng trình trên x lý khơng t t trong tr ng h p t m th ng (n = 0 ho c k = 0), hãy
kh c ph c các l i ó
2. Vi t ch ng trình li t kê các ch nh h p l p ch p k c a n ph n t
3. Cho hai s nguyên d ng l, n. Hãy li t kê các xâu nh phân
dài n có tính ch t, b t k hai xâu
con nào dài l li n nhau u khác nhau.
4. V i n = 5, k = 3, v cây tìm ki m quay lui c a ch ng trình li t kê t h p ch p k c a t p {1, 2, ...,
n}
5. Li t kê t t c các t p con c a t p S g m n s nguyên {S1, S2, ..., Sn} nh p vào t bàn phím
6. T ng t nh bài 5 nh ng ch li t kê các t p con có max - min ≤ T (T cho tr c).
7. M t dãy (x1, x2, ..., xn) g i là m t hốn v hồn tồn c a t p {1, 2,..., n} n u nó là m t hoán v và
tho mãn xi ≠ i v i ∀i: 1 ≤ i ≤ n. Hãy vi t ch ng trình li t kê t t c các hốn v hồn tồn c a t p
trên (n vào t bàn phím).
8. S a l i th t c in k t qu (PrintResult) trong bài x p h u có th v hình bàn c và các cách t
h u ra màn hình.
9. Bài tốn mã i tu n: Cho bàn c t ng quát kích th c nxn và m t quân Mã, hãy ch ra m t hành
trình c a quân Mã xu t phát t ô ang ng i qua t t c các ô còn l i c a bàn c , m i ô úng 1 l n.
10. Chuy n t t c các bài t p trong bài tr c ang vi t b ng sinh tu n t sang quay lui.
11. Xét s
giao thông g m n nút giao thông ánh s t 1 t i n và m o n
ng n i chúng, m i
o n
ng n i 2 nút giao thông. Hãy nh p d li u v m ng l i giao thơng ó, nh p s hi u hai
nút giao thông s và d. Hãy in ra t t c các cách i t s t i d mà m i cách i không
c qua nút giao
thông nào quá m t l n.

Lê Minh Hoàng

{ 22z

Bài tốn li t kê

§4. K THU T NHÁNH C N
I. BÀI TOÁN T I

U

M t trong nh ng bài toán t ra trong th c t là vi c tìm ra m t nghi m tho mãn m t s i u ki n
nào ó, và nghi m ó là t t nh t theo m t ch tiêu c th , nghiên c u l i gi i các l p bài toán t i u
thu c v l nh v c quy ho ch toán h c. Tuy nhiên c ng c n ph i nói r ng trong nhi u tr ng h p
chúng ta ch a th xây d ng m t thu t toán nào th c s h u hi u
gi i bài tốn, mà cho t i nay
vi c tìm nghi m c a chúng v n ph i d a trên mơ hình li t kê tồn b các c u hình có th và ánh
giá, tìm ra c u hình t t nh t. Vi c li t kê c u hình có th cài t b ng các ph ng pháp li t kê: Sinh
tu n t và tìm ki m quay lui. D i ây ta s tìm hi u ph ng pháp li t kê b ng thu t tốn quay lui
tìm nghi m c a bài tốn t i u.
II. S

BÙNG N

T

H P

Mơ hình thu t tốn quay lui là tìm ki m trên 1 cây phân c p. N u gi thi t r ng ng v i m i nút
t ng ng v i m t giá tr
c ch n cho xi s ng v i ch 2 nút t ng ng v i 2 giá tr mà xi+1 có

th nh n thì cây n c p s có t i 2n nút lá, con s này l n h n r t nhi u l n so v i d li u u vào n.
Chính vì v y mà n u nh ta có thao tác th a trong vi c ch n xi thì s ph i tr giá r t l n v chi phí
th c thi thu t tốn b i q trình tìm ki m lịng vịng vơ ngh a trong các b c ch n k ti p xi+1, xi+2,
... Khi ó, m t v n
t ra là trong quá trình li t kê l i gi i ta c n t n d ng nh ng thơng tin ã tìm
c
lo i b s m nh ng ph ng án ch c ch n không ph i t i u. K thu t ó g i là k thu t
ánh giá nhánh c n trong ti n trình quay lui.
III. MƠ HÌNH K THU T NHÁNH C N
D a trên mơ hình thu t tốn quay lui, ta xây d ng mơ hình sau:
procedure Init;
begin
end;

BESTCONFIG>;

{Th t c này th ch n cho xi t t c các giá tr nó có th nh n}
procedure Try(i: Integer);
begin
for (M i giá tr V có th gán cho xi) do
begin
<Th cho xi := V>;
if (Vi c th trên v n cịn hi v ng tìm ra c u hình t t h n BESTCONFIG) then
if (xi là ph n t cu i cùng trong c u hình) then
<C p nh t BESTCONFIG>
else
begin
<Ghi nh n vi c th xi = V n u c n>;
Try(i + 1); {G i quy, ch n ti p xi+1 }

<B ghi nh n vi c th cho xi = V (n u c n)>;
end;
end;
end;
begin
Init;
Try(1);
end.

Lê Minh Hồng

u BESTCONFIG>


{ 23z

Bài toán li t kê

K thu t nhánh c n thêm vào cho thu t toán quay lui kh n ng ánh giá theo t ng b c, n u t i
b c th i, giá tr th gán cho xi khơng có hi v ng tìm th y c u hình t t h n c u hình
BESTCONFIG thì th giá tr khác ngay mà khơng c n ph i g i
quy tìm ti p hay ghi nh n k t
qu làm gì. Nghi m c a bài toán s
c làm t t d n, b i khi tìm ra m t c u hình m i (t t h n
BESTCONFIG - t t nhiên), ta không in k t qu ngay mà s c p nh t BESTCONFIG b ng c u hình
m i v a tìm
c
IV. BÀI TỐN NG

I DU L CH

Bài tốn
Cho n thành ph ánh s t 1 n n và m tuy n
ng giao thông hai chi u gi a chúng, m ng l i
giao thông này
c cho b i b ng C c p nxn,
ây Cij = Cji = Chi phí i o n
ng tr c ti p t
thành ph i n thành ph j. Gi thi t r ng Cii = 0 v i ∀i, Cij = +∞ n u không có
ng tr c ti p t
thành ph i n thành ph j.
M t ng i du l ch xu t phát t thành ph 1, mu n i th m t t c các thành ph còn l i m i thành
ph úng 1 l n và cu i cùng quay l i thành ph 1. Hãy ch ra cho ng i ó hành trình v i chi phí ít
nh t. Bài tốn ó g i là bài tốn ng i du l ch hay bài tốn hành trình c a m t th ng gia
(Traveling Salesman)
Cách gi i
ây gi a xi và xi+1: hai thành ph liên
1) Hành trình c n tìm có d ng (x1 = 1, x2, ..., xn, xn+1 = 1)
ti p trong hành trình ph i có
ng i tr c ti p (Cij ≠ +∞) và ngo i tr thành ph 1, không thành
ph nào
c l p l i hai l n. Có ngh a là dãy (x1, x2, ..., xn) l p thành 1 hoán v c a (1, 2, ..., n).
2) Duy t quay lui: x2 có th ch n m t trong các thành ph mà x1 có
ng i t i (tr c ti p), v i
m i cách th ch n x2 nh v y thì x3 có th ch n m t trong các thành ph mà x2 có
ng i t i
(ngồi x1). T ng qt: xi có th ch n 1 trong các thành ph ch a i qua mà t xi-1 có
ng i
tr c ti p t i.(1 ≤ i ≤ n)

3) Nhánh c n: Kh i t o c u hình BestConfig có chi phí = +∞. V i m i b c th ch n xi xem chi
phí
ng i cho t i lúc ó có < Chi phí c a c u hình BestConfig?, n u khơng nh h n thì th
giá tr khác ngay b i có i ti p c ng ch t n thêm. Khi th
c m t giá tr xn ta ki m tra xem xn
có
ng i tr c ti p v 1 khơng ? N u có ánh giá chi phí i t thành ph 1 n thành ph xn
c ng v i chi phí t xn i tr c ti p v 1, n u nh h n chi phí c a
ng i BestConfig thì c p
nh t l i BestConfig b ng cách i m i.
4) Sau th t c tìm ki m quay lui mà chi phí c a BestConfig v n b ng +∞ thì có ngh a là nó khơng
tìm th y m t hành trình nào tho mãn i u ki n
bài
c p nh t BestConfig, bài tốn khơng
có l i gi i, cịn n u chi phí c a BestConfig < +∞ thì in ra c u hình BestConfig - ó là hành trình
ít t n kém nh t tìm
c
Input: file v n b n TOURISM.INP
• Dịng 1: Ch a s thành ph n (1 ≤ n ≤ 20) và s tuy n
ng m trong m ng l i giao thơng
• m dịng ti p theo, m i dòng ghi s hi u hai thành ph có
ng i tr c ti p và chi phí i trên
qng
ng ó (chi phí này là s ngun d ng ≤ 100)
Output: file v n b n TOURISM.OUT
Ghi hành trình tìm
c.

Lê Minh Hồng