Bài tập lớn môn cơ học kết cấu

Page | 1
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
BÀI TẬP LỚN CƠ HỌC KẾT CẤU 2
1. NỘI DUNG
Tính hệ phẳng siêu tĩnh bằng phương pháp lực.
Tính hệ phẳng siêu động theo phương pháp chuyển vị.
Vẽ biểu đồ bao nội lực.
2. SỐ LIỆU TÍNH TOÁN
Mã đề: 121
Sơ đồ tính và các trường hợp tải:
L
1
L
2
L
2
L
1
EI=Const
TH1
TH2
g
TH3
q
1
q
3
TH4
TH5
TH6
q

2
q
4
q
2
q
1
q
4
q
2
q
3
q
3
q
4
q
1
Trong đó:
g bh
γ
=
: Trọng lượng bản thân dầm
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 2
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
q: Hoạt tải trên các nhịp trong các trường hợp tải
Số liệu hình học:
Stt b x h (cm) L

1
(m) L
2
(m)
2 20 x 35 4 3
Số liệu tải trọng:
Stt q
1
(kN/m) q
2
(kN/m) q
3
(kN/m) q
4
(kN/m)
1 8 10 12 14
Số liệu dùng chung:
3 3
3
3
2.4 10 /
12
25 /
E kN cm
bh
I
kN m
γ
= ×
=

=
Ta có:
25 0.2 0.35 1.75 /g bh kN m
γ
= = × × =
3. XÁC ĐỊNH NỘI LỰC CÁC TRƯỜNG HỢP TẢI
3.1. PHƯƠNG PHÁP LỰC
Bậc siêu tĩnh:
3 3 4 6 6n V K= − = × − =
Chọn hệ cơ bản: hình 3.1.1
4m
3m 3m
4m
X
1
X
2
X
3
EI=Const
HCB
Hình 3.1.1
Hệ phương trình chính tắc:
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
0
0
0
P

P
P
X X X
X X X
X X X
δ δ δ
δ δ δ
δ δ δ
+ + + ∆ =


+ + + ∆ =


+ + + ∆ =

Trong đó:
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 3
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
1 2 3
; ;X X X
: lực tương ứng tại vị trí loại bỏ liên kết thứ 1; 2; 3.
kP
∆
: hệ số tự do, là chuyển vị theo phương lực X
k
do riêng tải trọng ngoài gây
ra trên hệ cơ bản.
km

δ
: các hệ số phụ, là chuyển vị theo phương lực X
k
do X
m
=1 gây ra trên hệ
cơ bản (k # m).
kk
δ
: các hệ số chính, là chuyển vị theo phương lực X
k
do X
k
=1 gây ra trên hệ
cơ bản.
Tính các hệ số chính và các hệ số phụ của phương trình chính tắc
+ Biểu đồ đơn vị
k
M
: hình 3.1.2
4m
3m 3m
4m
X
1
=1
M
1
X
2

=1
M
2
M
3
X
3
=1
1
1/2
1
1
1/2
M
s
(M
s
)=(M
1
)+(M
2
)+(M
3
)
1
1
1
1/2
1/2
a)

b)
c)
d)
4
3m
8
3m
Hình 3.1.2
+ Các hệ số
kk
δ
và
km
δ
được tính như sau:
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 4
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
( ) ( )
11 1 1
1 1 1 4 2 1 1 8 2 1 2 1
1 1 1 3 1 2
2 2 3 3 2 2 3 3 2 3
M M
EI EI
δ
 
= = × × × × + × × × × + × × × × = ×
 
 

( ) ( )
22 2 2
1 1 2 1
1 3 1 2 2
2 3
M M
EI EI
δ
 
= = × × × × × = ×
 
 
( ) ( )
33 3 3 11
1
2M M
EI
δ δ
= = = ×
( ) ( )
12 21 1 2
1 1 1 1 1
1 3 1
2 3 2
M M
EI EI
δ δ
 
= = = × × × × = ×
 

 
( ) ( )
13 31 1 3
0M M
δ δ
= = =
( ) ( )
23 32 2 3
1 1 1 1 1
1 3 1
2 3 2
M M
EI EI
δ δ
 
= = = × × × × = ×
 
 
+ Kiểm tra các hệ số chính phụ:
( ) ( )
1
1 1 1 4 2 1 1 8 2 1 5 1
1 1 1 3 1
2 2 3 3 2 2 3 3 2 2
S
M M
EI EI
 
= × × × × + × × × × + × × × = ×
 

 
Mặt khác:
11 12 13
1 1 5 1
2 0
2 2EI EI
δ δ δ
 
+ + = + + = ×
 ÷
 
⇒
Kết quả phù hợp
( ) ( )
2
1 1 1
1 3 1 2 3
2
S
M M
EI EI
 
= × × × × = ×
 
 
Mặt khác:
21 22 23
1 1 1 1
2 3
2 2EI EI

δ δ δ
 
+ + = + + = ×
 ÷
 
⇒
Kết quả phù hợp
( ) ( ) ( ) ( )
3 1
5 1
2
S s
M M M M
EI
= = ×
Mặt khác:
31 32 33
1 1 5 1
0 2
2 2EI EI
δ δ δ
 
+ + = + + = ×
 ÷
 
⇒
Kết quả phù hợp
Như vậy các hệ số chính phụ của phương trình chính tắc tính đúng.
3.1.1. Trường hợp 1
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa

Page | 5
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
Sơ đồ tải trọng và biểu đồ mô men uốn do tải trọng ngoài gây ra trên hệ cơ
bản: hình 3.1.3
4m
3m 3m
4m
a)
b)
g=1.75kN/m g=1.75kN/m g=1.75kN/m g=1.75kN/m
M
0
P
qL
2
1
/8=3.50
qL
2
2
/8=1.97
qL
2
1
/8=3.50
3.50
3.50
1.97
[kNm]
Hình 3.1.3

Tính các hệ số tự do
kP
∆
của phương trình chính tắc:
( )
( )
0
1 1
1 2 1 1
3.5 4 1
2 3 2 3
1 1
4.30
2 1 1 1 2 1
3.5 4 1 1.97 3 1
3 2 2 2 3 2
P P
M M
EI EI
 
 
× × × − × +
 ÷
 
 
 
∆ = = = ×
 
 
+ × × × − × + × × × ×

 
 ÷
 
 
( )
( )
0
2 2
1 2 1 1
1.97 3 1 2 3.94
3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × × = ×
 
 
( )
( )
0
3 3 1
1
4.30
P P P
M M
EI
∆ = = ∆ = ×
Kiểm tra:
( )

( )
0
1 2 1 1
3.5 4 1
2 3 2 3
1 1
2 12.54
2 1 1 1 2
3.5 4 1 1.97 3 1
3 2 2 2 3
S P
M M
EI EI
 
 
× × × − × +
 ÷
 
 
 
= × = ×
 
 
+ × × × − × + × × ×
 
 ÷
 
 
( )
1 2 3

1 1
4.3 3.94 4.3 12.54
P P P
EI EI
∆ + ∆ + ∆ = + + = ×
⇒
Kết quả phù hợp
Giải hệ phương trình chính tắc:
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 6
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 0 4.3 0
2
1 1
2 3.94 0
2 2
1
0 2 4.3 0
2
X X X
X X X
X X X

+ + + =




+ + + =



+ + + =



⇔
1
2
3
1.89
1.02
1.89
X
X
X
= −


= −


= −

Vẽ biểu đồ mô men tổng
( )
P

M
theo biểu thức:
( )
( ) ( ) ( )
( )
0
1 1 2 2 3 3P P
M M X M X M X M= + + +
: hình 3.1.4a
Kiểm tra biểu đồ
( )
P
M
:
( )
( )
( )
[ ]
1 2 1 1 1
2.55 4 2.55 4 1
2 3 2 2 3
1 1 1 1 2
1.9 4 1.9 4 1
1 1 1
2 3 2 2 3
10.90 10.95 0.05
2 1 2 1 1
3.5 4 1 3.5 4
3 2 3 2 2
1 2

1.9 1.02 3 1 1.95 3 1
2 3
S P
M M
EI EI EI
 
× × × × − × × × ×
 
 
 
+ × × × × − × × × ×
 
= = − = − ×
 
 
+ × × × × − × × × ×
 
 
 
− + × × + × × ×
 
Sai số:
0.05
100% 0.04%
10.95
× =
Tính toán và vẽ biểu đồ lực cắt
( )
P
Q

+ Nhịp 1:
4m
1.75kN/m
Q
tr
Q
ph
2.55kNm 1.90kNm
O
1
O
2
1
4
0 4 1.9 1.75 4 2.55
2
ph
M O Q= ⇒ × + + × × =
∑
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 7
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
3.34
ph
Q kN⇒ = −
0 1.75 4 3.66
tr ph
Y Q Q kN= ⇒ = + × =
∑
+ Nhịp 2:

3m
1.75kN/m
Q
tr
Q
ph
1.90kNm 1.02kNm
O
1
O
2
1
3
0 3 1.02 1.75 3 1.9
2
ph
M O Q= ⇒ × + + × × =
∑
2.33
ph
Q kN⇒ = −
0 1.75 3 2.92
tr ph
Y Q Q kN= ⇒ = + × =
∑
+ Nhịp 3, 4: Được suy ra từ nhịp 1 và nhịp 2 do hệ đối xứng.
Vẽ biểu đồ lực cắt
( )
P
Q

: hình 3.1.4b
Bằng cách giải hình học tính được giá trị lực cắt tại các vị trí
1
4
L
,
2
4
L
,
3
4
L
và
giá trị mô men uốn tại vị trí giữa nhịp
2
4
L
.
Giá trị mô men uốn tại các vị trí
1
4
L
và
3
4
L
được tính như sau:
+ Tại vị trí
1

4
nhịp 1:
1m
1.75kN/m
2.55kNm
M(kNm)
3.66kN
O
1
0 3.66 1 2.55 1.75 1 0.24
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × =
∑
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 8
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
+ Tại vị trí
3
4
nhịp 1:
3m
1.75kN/m
2.55kNm
3.66kN
M(kNm)
O
3
0 3.66 3 2.55 1.75 3 0.56
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × =

∑
+ Tại vị trí
1
4
nhịp 2:
0.75m
1.75kN/m
1.90kNm
M(kNm)
2.92kN
O
0.75
0 2.92 0.75 1.9 1.75 0.75 0.20
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × = −
∑
+ Tại vị trí
3
4
nhịp 2:
2.25m
1.75kN/m
1.90kNm
2.92kN
M(kNm)
O
2.25
0 2.92 2.25 1.9 1.75 2.25 0.24
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × =

∑
+ Nhịp 3, 4: Được suy ra từ nhịp 1 và nhịp 2 do hệ đối xứng.
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 9
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
a)
b)
3.66
3.34
2.92
2.33
2.33
2.92
3.34
3.66
0.16
1.91
1.59
0.30
1.61
1.01
1.01
0.30
1.61
1.59
0.16
1.91
6.26
3.66
4.66

6.26
3.66
Q
P
[kN]
3.50
1.97
-2.55
0.24
1.28
-1.90
0.56
-0.20
0.51
-1.02
0.24
3.50
1.97
-2.55
0.24
1.28
-1.90
0.56
-0.20
0.51
0.24
M
P
[kNm]
Hình 3.1.4

3.1.2. Trường hợp 2
Sơ đồ tải trọng và biểu đồ mô men uốn do tải trọng ngoài gây ra trên hệ cơ
bản: hình 3.1.5
16
q
1
=8kN/m
q
3
=12kN/m
4m
3m 3m
4m
a)
b)
M
0
P
16
13.5
[kNm]
Hình 3.1.5
Tính các hệ số tự do
kP
∆
của phương trình chính tắc:
( )
( )
0
1 1

1 2 1 1
16 4 1
2 3 2 3
1 1
10.67
2 1 1 1
16 4 1
3 2 2 2
P P
M M
EI EI
 
 
× × × − × +
 ÷
 
 
 
∆ = = = ×
 
 
+ × × × − ×
 
 ÷
 
 
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 10
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
( )

( )
0
2 2
1 2 1 1
13.5 3 1 13.5
3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × = ×
 
 
( )
( )
0
3 3
1 2 1 1
13.5 3 1 13.5
3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × = ×
 
 
Kiểm tra:
( )
( )

0
1 2 1 1
16 4 1
2 3 2 3
1 1
37.67
2 1 1 1 2
16 4 1 13.5 3 1
3 2 2 2 3
S P
M M
EI EI
 
 
× × × − × +
 ÷
 
 
 
= = ×
 
 
+ × × × − × + × × ×
 
 ÷
 
 
( )
1 2 3
1 1

10.67 13.5 13.5 37.67
P P P
EI EI
∆ + ∆ + ∆ = + + = ×
⇒
Kết quả phù hợp
Giải hệ phương trình chính tắc:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 0 10.67 0
2
1 1
2 13.5 0
2 2
1
0 2 13.5 0
2
X X X
X X X
X X X

+ + + =



+ + + =




+ + + =



⇔
1
2
3
4.27
4.26
5.68
X
X
X
= −


= −


= −

Vẽ biểu đồ mô men tổng
( )
P
M
theo biểu thức:
( )
( ) ( ) ( )

( )
0
1 1 2 2 3 3P P
M M X M X M X M= + + +
: hình 3.1.6a
Kiểm tra biểu đồ
( )
P
M
:
( )
( )
( ) ( )
1 2 1 1 1 1 1 1
13.87 4 13.87 4 1 4.27 4
2 3 2 2 3 2 3 2
1 2 1 1
4.27 4 1 4.27 4.26 3 1 4.26 5.68 3 1
1
2 3 2 2
2 1 1 1 1 2
13.5 3 1 5.68 4 5.68 4 1
3 2 3 2 2 3
1 1 1 2 1
2.84 4 1 2.84 4
2 3 2 3 2
S P
M M
EI
 

× × × × − × × × × + × × × ×
 
 
 
− × × × × − + × × − + × ×
 
=
 
 
+ × × × + × × × × − × × × ×
 
 
 
+ × × × × − × × × ×
 
=
[ ]
1 1
41.45 43.65 2.20
EI EI
− = − ×
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 11
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
Sai số:
2.20
100% 5.04%
43.65
× =
Tính toán và vẽ biểu đồ lực cắt

( )
P
Q
+ Nhịp 1:
4m
8kN/m
Q
tr
Q
ph
13.87kNm 4.27kNm
O
1
O
2
1
4
0 4 4.27 8 4 13.87
2
ph
M O Q= ⇒ × + + × × =
∑
13.60
ph
Q kN⇒ = −
0 8 4 18.40
tr ph
Y Q Q kN= ⇒ = + × =
∑
+ Nhịp 2:

4.27 4.26
0
3
Q tg
α
−
= + = ≈
+ Nhịp 3:
3m
12kN/m
Q
tr
Q
ph
4.26kNm 5.68kNm
O
1
O
2
1
3
0 3 5.68 12 3 4.26
2
ph
M O Q= ⇒ × + + × × =
∑
18.47
ph
Q kN⇒ = −
0 12 3 17.53

tr ph
Y Q Q kN= ⇒ = + × =
∑
+ Nhịp 4:
5.68 2.84
2.13
4
Q tg kN
α
+
= + = =
Vẽ biểu đồ lực cắt
( )
P
Q
: hình 3.1.6b
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 12
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
Bằng cách giải hình học tính được giá trị lực cắt tại các vị trí
1
4
L
,
2
4
L
,
3
4

L
và
giá trị mô men uốn tại vị trí giữa nhịp
2
4
L
.
Giá trị mô men uốn tại các vị trí
1
4
L
và
3
4
L
được tính như sau:
+ Tại vị trí
1
4
nhịp 1:
1m
8kN/m
13.87kNm
M(kNm)
18.40kN
O
1
0 18.4 1 13.87 8 1 0.53
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × =

∑
+ Tại vị trí
3
4
nhịp 1:
3m
8kN/m
13.87kNm
18.40kN
M(kNm)
O
3
0 18.4 3 13.87 8 3 5.33
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × =
∑
+ Tại vị trí
1
4
nhịp 3:
0.75m
12kN/m
4.26kNm
M(kNm)
17.53kN
O
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 13
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
0.75

0 17.53 0.75 4.26 12 0.75 5.51
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × =
∑
+ Tại vị trí
3
4
nhịp 3:
2.25m
12kN/m
M(kNm)
O
4.26kNm
17.53kN
2.25
0 17.53 2.25 4.26 12 2.25 4.81
2
M O M kNm= ⇒ = × − − × × =
∑
+ Nhịp 2, 4: dể dàng tính được bằng cách giải hình học.
a)
b)
18.40
13.60
17.53
18.47
2.40
10.40
5.60
8.53

0.47
9.47
13.60
2.13
17.53
20.60
18.40
Q
P
[kN]
M
P
[kNm]
0.00
16.00
-13.87
0.53
6.93
5.33
-4.27
-4.27
-4.27
-4.26
5.51
-4.26
8.53
4.81
-5.68
-1.42
0.71

-3.55
2.84
13.50
2.13
2.13
2.13
Hình 3.1.6
3.1.3. Trường hợp 3
Sơ đồ tải trọng và biểu đồ mô men uốn do tải trọng ngoài gây ra trên hệ cơ
bản: hình 3.1.7
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 14
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
q
2
=10kN/m
q
4
=14kN/m
28
28
4m
3m 3m
4m
a)
b)
M
0
P
11.25

[kNm]
Hình 3.1.7
Tính các hệ số tự do
kP
∆
của phương trình chính tắc:
( )
( )
0
1 1
1 2 1 1
11.25 3 1 11.25
3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × = ×
 
 
( )
( )
0
2 2
1 2 1 1
11.25 3 1 11.25
3 2
P P
M M
EI EI

 
∆ = = × × × × = ×
 
 
( )
( )
0
3 3
1 2 1 1
28 4 1
2 3 2 3
1 1
18.67
2 1 1 1
28 4 1
3 2 2 2
P P
M M
EI EI
 
 
× × × − × +
 ÷
 
 
 
∆ = = = ×
 
 
+ × × × − ×

 
 ÷
 
 
Kiểm tra:
( )
( )
0
2 1 2 1 1
11.25 3 1 28 4 1
3 2 3 2 3
1 1
41.17
2 1 1 1
28 4 1
3 2 2 2
S P
M M
EI EI
 
 
× × × + × × × − × +
 ÷
 
 
 
= = ×
 
 
+ × × × − ×

 
 ÷
 
 
( )
1 2 3
1 1
11.25 11.25 18.67 41.17
P P P
EI EI
∆ + ∆ + ∆ = + + = ×
⇒
Kết quả phù hợp
Giải hệ phương trình chính tắc:
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 15
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 0 11.25 0
2
1 1
2 11.25 0
2 2
1
0 2 18.67 0
2
X X X

X X X
X X X

+ + + =



+ + + =



+ + + =



⇔
1
2
3
5.09
2.15
8.80
X
X
X
= −


= −



= −

Vẽ biểu đồ mô men tổng
( )
P
M
theo biểu thức:
( )
( ) ( ) ( )
( )
0
1 1 2 2 3 3P P
M M X M X M X M= + + +
: hình 3.1.8a
Kiểm tra biểu đồ
( )
P
M
:
( )
( )
( )
( )
1 1 1 2 1 1 1 1
2.55 4 1 2.55 4 5.09 4
2 3 2 3 2 2 3 2
1 2 2 1
5.09 4 1 11.25 3 1 5.09 2.15 3 1
2 3 3 2

1 1 2 1 2 1 1
2.15 8.8 3 1 28 4 1 28 4
2 3 2 3 2 2
1 1 1 1 2 1 2 1
8.8 4 8.8 4 1 23.6 4
2 3 2 2 3 2 3 2
1 1
23.6 4 1
2 3
S P
M M
EI
× × × × − × × × × + × × × ×
− × × × × + × × × − + × ×
= − + × × + × × × × − × × × ×
+ × × × × − × × × × + × × × ×
− × × × ×
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
[ ]
1
81.90 81.90 0
EI
= − =
Vẽ biểu đồ lực cắt
( )
P
Q
: hình 3.1.8b
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 16
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
a)
b)
1.90
2.22
3.70
17.88
31.70
11.80
26.52
1.90
Q
P
[kN]
M
P
[kNm]

17.70
10.30
15.98
1.90
1.90
14.02
24.30
31.70
2.22
2.22
8.48
0.98
6.52
11.25
28.00
2.55
0.64
-1.27
-3.18
-5.09
-2.15
-8.80
-5.48
-3.82
-7.14
-23.60
11.80
7.63
4.08
5.55

8.50
1.10
Hình 3.1.8
3.1.4. Trường hợp 4
Sơ đồ tải trọng và biểu đồ mô men uốn do tải trọng ngoài gây ra trên hệ cơ
bản: hình 3.1.9
q
1
=8kN/m
16
16
q
2
=10kN/m
q
4
=14kN/m
28
28
4m
3m 3m
4m
a)
b)
M
0
P
11.25
[kNm]
Hình 3.1.9

SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 17
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
Tính các hệ số tự do
kP
∆
của phương trình chính tắc:
( )
( )
0
1 1
1 2 1 1
16 4 1
2 3 2 3
1 1
21.92
2 1 1 1 2 1
16 4 1 11.25 3 1
3 2 2 2 3 2
P P
M M
EI EI
 
 
× × × − ×
 ÷
 
 
 
∆ = = = ×

 
 
+ × × × − × + × × × ×
 
 ÷
 
 
( )
( )
0
2 2
1 2 1 1
11.25 3 1 11.25
3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × = ×
 
 
( )
( )
0
3 3
1 2 1 1
28 4 1
2 3 2 3
1 1
18.67

2 1 1 1
28 4 1
3 2 2 2
P P
M M
EI EI
 
 
× × × − × +
 ÷
 
 
 
∆ = = = ×
 
 
+ × × × − ×
 
 ÷
 
 
Kiểm tra:
( )
( )
0
1 2 1 1 2 1 1 1
16 4 1 16 4 1
2 3 2 3 3 2 2 2
1 2 1 2 1 1 1
11.25 3 1 28 4 1 51.83

3 2 3 2 3
2 1 1 1
28 4 1
3 2 2 2
S P
M M
EI EI
 
   
× × × − × + × × × − ×
 ÷  ÷
 
   
 
 
 
= + × × × + × × × − × + = ×
 
 ÷
 
 
 
 
+ × × × − ×
 
 ÷
 
 
( )
1 2 3

1 1
21.92 11.25 18.67 51.84
P P P
EI EI
∆ + ∆ + ∆ = + + = ×
⇒
Kết quả phù hợp
Giải hệ phương trình chính tắc:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 0 21.92 0
2
1 1
2 11.25 0
2 2
1
0 2 18.67 0
2
X X X
X X X
X X X

+ + + =



+ + + =




+ + + =



⇔
1
2
3
10.80
0.63
9.18
X
X
X
= −


= −


= −

Vẽ biểu đồ mô men tổng
( )
P
M
theo biểu thức:
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa

Page | 18
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
( )
( ) ( ) ( )
( )
0
1 1 2 2 3 3P P
M M X M X M X M= + + +
: hình 3.1.10a
Kiểm tra biểu đồ
( )
P
M
:
( )
( ) ( ) ( )
2 1 2 1 1 1 2 1
16 4 1 16 4 10.6 4
3 2 3 2 2 2 3 2
1 1 1 1 1 1 2
10.6 4 1 10.8 4 10.8 4 1
2 3 2 3 2 2 3
1 2 1 1
11.25 3 1 10.8 0.63 3 1 0.63 9.18 3 1
3 2 2
2 1 2 1 1 1 1 1
28 4 1 28 4 9.18 4
3 2 3 2 2 2 3 2
1 2
9.18 4 1

2 3
S P
M M
EI
× × × × − × × × × + × × × ×
− × × × × + × × × × − × × × ×
= + × × × − + × × − + × ×
+ × × × × − × × × × + × × × ×
− × × × × +
1 2 1 1 1
23.1 4 23.1 4 1
2 3 2 2 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
× × × × − × × × ×
 
 
[ ]
1
110.29 110.30 0

EI
= − ≈
Vẽ biểu đồ lực cắt
( )
P
Q
: hình 3.1.10b
11.25
16.00
28
-10.60
-10.80
-0.63
-9.18
-23.10
1.35
1.25
5.30
0.18
5.27
5.54
-4.91
-7.04
-2.77
8.37
1.47
11.86
a)
b)
8.05

2.85
3.46
34.44
31.46
8.76
27.40
15.95
Q
P
[kN]
M
P
[kNm]
17.46
10.55
18.39
0.05
15.95
11.61
24.55
31.46
2.85
2.85
10.89
3.39
4.11
7.95
16.05
Hình 3.1.10
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa

Page | 19
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
3.1.5. Trường hợp 5
Sơ đồ tải trọng và biểu đồ mô men uốn do tải trọng ngoài gây ra trên hệ cơ
bản: hình 3.1.11
4m
3m 3m
4m
a)
b)
M
0
P
11.25
[kNm]
q
2
=10kN/m
q
3
=12kN/m
13.5
Hình 3.1.11
Tính các hệ số tự do
kP
∆
của phương trình chính tắc:
( )
( )
0

1 1
1 2 1 1
11.25 3 1 11.25
3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × = ×
 
 
( )
( )
0
2 2
1 2 1 2 1 1
11.25 3 1 13.5 3 1 24.75
3 2 3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × + × × × × = ×
 
 
( )
( )
0
3 3
1 2 1 1

13.5 3 1 13.50
3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × = ×
 
 
Kiểm tra:
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 20
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
( )
( )
0
1 2 2 1
11.25 3 1 13.5 3 1 49.50
3 3
S P
M M
EI EI
 
= × × × + × × × = ×
 
 
( )
1 2 3
1 1
11.25 24.75 13.5 49.50

P P P
EI EI
∆ + ∆ + ∆ = + + = ×
⇒
Kết quả phù hợp
Giải hệ phương trình chính tắc:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 0 11.25 0
2
1 1
2 24.75 0
2 2
1
0 2 13.5 0
2
X X X
X X X
X X X

+ + + =



+ + + =




+ + + =



⇔
1
2
3
2.97
10.61
4.10
X
X
X
= −


= −


= −

Vẽ biểu đồ mô men tổng
( )
P
M
theo biểu thức:
( )
( ) ( ) ( )
( )

0
1 1 2 2 3 3P P
M M X M X M X M= + + +
: hình 3.1.12a
Kiểm tra biểu đồ
( )
P
M
:
( )
( )
( )
( )
1 1 1 2 1 1 1 1
1.49 4 1 1.49 4 2.97 4
2 3 2 3 2 2 3 2
1 2 2 1
2.97 4 1 11.25 3 1 2.97 10.61 3 1
1
2 3 3 2
2 1 1 1 1
13.5 3 1 10.61 4.1 3 1 4.1 4
3 2 2 3 2
1 2 1 1 1 2 1
4.1 4 1 2.05 4 1 2.05 4
2 3 2 3 2 3 2
S P
M M
EI
 

× × × × − × × × × + × × × ×



− × × × × + × × × − + × ×

=


+ × × × − + × × + × × × ×



− × × × × + × × × × − × × × ×
 









[ ]
1 1
53.55 54.22 0.67
EI EI
= − = − ×
Sai số:

0.67
100% 1.24%
54.22
× =
Vẽ biểu đồ lực cắt
( )
P
Q
: hình 3.1.12b
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 21
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
1.54
1.54
1.54
15.83
20.17
1.12
3.56
-0.27
1.14
4.40
4.46
6.15
a)
b)
2.17
13.57
1.54
28.93

17.37
1.12
Q
P
[kN]
M
P
[kNm]
1.54
12.45
1.12
17.55
6.83
11.17
4.95
2.55
10.05
11.25
13.50
1.49
-2.97
-10.61
-4.10
2.05
0.38
-0.74
-1.86
-2.57
-1.03
0.51

1.12
1.12
1.54
Hình 3.1.12
3.1.6. Trường hợp 6
Sơ đồ tải trọng và biểu đồ mô men uốn do tải trọng ngoài gây ra trên hệ cơ
bản: hình 3.1.13
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 22
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
4m
3m 3m
4m
a)
b)
M
0
P
[kNm]
q
4
=14kN/m
28
28
q
1
=8kN/m
16
16
q

3
=12kN/m
13.5
Hình 3.1.13
Tính các hệ số tự do
kP
∆
của phương trình chính tắc:
( )
( )
0
1 1
1 1 2 1 1 2 1 1 1 1
16 4 1 16 4 1 10.67
2 3 2 3 3 2 2 2
P P
M M
EI EI
 
   
∆ = = × × × − × + × × × − × = ×
 ÷  ÷
 
   
 
( )
( )
0
2 2
1 2 1 1

13.5 3 1 13.50
3 2
P P
M M
EI EI
 
∆ = = × × × × = ×
 
 
( )
( )
0
3 3
2 1 1 2 1 1
13.5 3 1 28 4 1
3 2 2 3 2 3
1 1
32.17
2 1 1 1
28 4 1
3 2 2 2
P P
M M
EI EI
 
 
× × × × + × × × − ×
 ÷
 
 

 
∆ = = = ×
 
 
+ × × × − ×
 
 ÷
 
 
Kiểm tra:
( )
( )
0
1 2 1 1 2 1 1 1
16 4 1 16 4 1
2 3 2 3 3 2 2 2
1 2 1 2 1 1 1
13.5 3 1 28 4 1 56.34
3 2 3 2 3
2 1 1 1
28 4 1
3 2 2 2
S P
M M
EI EI
 
   
× × × − × + × × × − ×
 ÷  ÷
 

   
 
 
 
= + × × × + × × × − × + = ×
 
 ÷
 
 
 
 
+ × × × − ×
 
 ÷
 
 
( )
1 2 3
1 1
10.67 13.5 32.17 56.34
P P P
EI EI
∆ + ∆ + ∆ = + + = ×
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 23
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
⇒
Kết quả phù hợp
Giải hệ phương trình chính tắc:
1 2 3

1 2 3
1 2 3
1
2 0 10.67 0
2
1 1
2 13.5 0
2 2
1
0 2 32.17 0
2
X X X
X X X
X X X

+ + + =



+ + + =



+ + + =



⇔
1
2

3
4.94
1.59
15.69
X
X
X
= −


= −


= −

Vẽ biểu đồ mô men tổng
( )
P
M
theo biểu thức:
( )
( ) ( ) ( )
( )
0
1 1 2 2 3 3P P
M M X M X M X M= + + +
: hình 3.1.14a
Kiểm tra biểu đồ
( )
P

M
:
( )
( ) ( ) ( )
2 1 2 1 1 1 2 1
16 4 1 16 4 13.53 4
3 2 3 2 2 2 3 2
1 1 1 1 1 1 2
13.53 4 1 4.94 4 4.94 4 1
2 3 2 3 2 2 3
1 1 2 1
4.94 1.59 3 1 13.5 3 1 1.59 15.69 3 1
2 3 2
2 1 2 1 1 1 1 1
28 4 1 28 4 15.69 4
3 2 3 2 2 2 3 2
1 2
15.69 4
2
S P
M M
EI
× × × × − × × × × + × × × ×
− × × × × + × × × × − × × × ×
= − + × × + × × × − + × ×
+ × × × × − × × × × + × × × ×
− × × ×
1 2 1 1 1
1 20.16 4 20.16 4 1
3 2 3 2 2 3

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
× + × × × × − × × × ×
 
 
[ ]
1
115.00 115.02 0
EI
= − ≈
Vẽ biểu đồ lực cắt
( )
P
Q
: hình 3.1.14b
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 24
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
a)
b)

5.85
1.12
1.12
14.97
29.12
12.18
49.58
18.15
Q
P
[kN]
M
P
[kNm]
15.12
12.88
13.30
2.15
18.15
22.70 26.88
29.12
1.12
1.12
4.30
4.70
13.70
10.15
13.85
1.12
16.00

28
13.50
-13.53
-4.94
-1.59
-15.69
-20.16
6.77
4.86
10.08
-4.11
-3.27
-2.43
0.62
4.92
-2.04
5.01
4.19
1.95
hình 3.1.14
3.2. PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN VỊ
Bậc siêu động:
1 2
3 0 3n n n= + = + =
Hệ có 3 bậc siêu động. Chọn hệ cơ bản như hình 3.2.1
4m
3m 3m
4m
EI=Const
Z

1
Z
2
Z
3
HCB
Hình 3.2.1
Hệ phương trình chính tắc:
11 11 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
0
0
0
P
P
P
r Z r Z r Z R
r Z r Z r Z R
r Z r Z r Z R
+ + + =


+ + + =


+ + + =

Trong đó:
1 2 3

; ;Z Z Z
: chuyển vị cưỡng bức tại liên kết thứ 1, 2, 3 đặt thêm vào hệ.
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa
Page | 25
Bài tập lớn môn cơ học kết cấu
kP
R
: hệ số tự do, là phản lực tại liên kết thứ k do tải trọng ngoài gây ra trên hệ
cơ bản.
km
r
: các hệ số phụ, là phản lực tại liên kết thứ k do
1
m
Z =
gây ra trên hệ cơ
bản (k # m).
kk
r
: các hệ số chính, là phản lực tại liên kết thứ k do
1
k
Z =
gây ra trên hệ cơ
bản.
Tính các hệ số chính và các hệ số phụ của phương trình chính tắc
+ Biểu đồ mô men uốn
k
M
do

1
k
Z =
gây ra trên hệ cơ bản: hình 3.2.2
Z
1
=1
M
1
M
2
M
3
x
EI
12
x
EI
12
x
EI
12
Z
2
=1
Z
3
=1
12
6

16
8
r
11
r
21
r
31
16
8
8
16
r
12
r
22
r
32
12
16
8
6
r
13
r
23
r
33
a)
b)

c)
Hình 3.2.2
+ Tính các hệ số
kk
r
và
km
r
:
SVTH : Nguyễn Đức Nghĩa