Các mô hình và phần mềm tối ưu hóa và ứng dụng trong nông nghiệp

Trường Đại học Nông nghiệp I Hà Nội
Khoa Công nghệ thông tin






PGS.TS. NGUYỄN HẢI THANH









CÁC MÔ HÌNH VÀ PHẦN MỀM
tối ưu hoá và ứng dụng trong nông nghiệp
(bài giảng điện tử trong khuôn khổ dự án CNTT)

HÀ NỘI, THÁNG 10 NĂM 2007

1

MỤC LỤC


CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG MỘT SỐ MÔ HÌNH TỐI ƯU TRONG NÔNG NGHIỆP
3
1. MÔ HÌNH QUY HOẠCH ĐƠN MỤC TIÊU
3
1.1. Mô hình tối ưu một mục tiêu (tuyến tính và phi tuyến) 3
1.2. Các ví dụ minh hoạ bài toán tối ưu một mục tiêu 4
2. MÔ HÌNH QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN
8
2.1. Giới thiệu bài toán quy hoạch đa mục tiêu 8
2.2. Các khái niệm cơ bản của bài toán tối ưu đa mục tiêu 9
2.3. Các ví dụ minh hoạ bài toán quy hoạch đa mục tiêu 10
CHƯƠNG II. GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH BẰNG
PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH
23
1. PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH GIẢI BTQHTT DẠNG CHÍNH TẮC
23
1.1. Ví dụ 23
1.2. Thuật toán đơn hình cho BTQHTT dạng chính tắc 27
2. PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH HAI PHA GIẢI BTQHTT TỔNG QUÁT
28
2.1. Ví dụ 28

2.2. Thuật toán đơn hình hai pha giải BTQHTT dạng tổng quát 30
3. GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN MICROSOFT EXCEL
32
3.1. Giải BTQHTT 32
3.2. Giải bài toán quy hoạch phi tuyến có ràng buộc tuyến tính 34
3.3. Một số ví dụ khác 36
4. GIẢ
I BTQHTT TRONG LINGO
36
5. GIẢI BTQHTT BẰNG PHẦN MỀM QHTT
38
CHƯƠNG III. BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHI TUYẾN
40
1. PHƯƠNG PHÁP RST2ANU GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU
PHI TUYẾN TOÀN CỤC HỖN HỢP NGUYÊN

40
1.1. Đặt vấn đề 40
1.2. Thuật giải tìm kiếm ngẫu nhiên có kiểm soát RST2ANU 41
1. 3. Một số nhận xét về phiên bản nâng cấp của phần mềm 43
2. MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG RST2ANU
44
2.1. Bài 1: Bài toán xác định tham số sàng phân loại 44

2.2. Bài 2: Bài toán xác định cơ c
ấu đầu tư chăn nuôi cá 46

2
3. TÍCH HỢP RST2ANU VỚI MATLAB
48

3.1. Nhập từ bàn phím 48
3.2. Nhập từ tệp 50
CHƯƠNG IV. GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐA MỤC TIÊU
BẰNG PHƯƠNG PHÁP THOẢ DỤNG MỜ
52
1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
52
1.1. Phát biểu mô hình 52
1.2. Phương án tối ưu Pareto 53
1.3. Phương pháp thoả dụng mờ giải BTQHTT đa mục tiêu 54
2. GIẢI BTQHTT ĐA MỤC TIÊU BẰNG CHƯƠNG TRÌNH MÁY TÍNH
MULTIOPT
59
2.1. Ví dụ 59
2.2. Bài toán quy hoạch đất xã Nhân Chính 63
2.3. Bài toán quy hoạch đất xã Trâu Quỳ 70
CHƯƠNG V. MÔ HÌNH VÀ PHẦN MỀM TỐI ƯU PHI TUYẾN ĐA MỤC TIÊU
71
1. BÀI TOÁN TỐI ƯU PHI TUYẾN TRONG MÔI TRƯỜNG MỜ / NGẪU NHIÊN
71
1.1. Phát biểu bài toán và phương pháp mức ưu tiên 71
1.2. Xử lý các ràng buộc 72
1.3. Xử lý các mục tiêu 74

1.4. Sử dụng thông tin pay-off để đoán nhận
k
e ,
j
d
~

77
1.5. Mô hình tất định tương đương của bài toán 79
1.6. Khái niệm tối ưu hoá PL-Pareto 79
2. THUẬT GIẢI TƯƠNG TÁC LẶP PRELIME VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
80
2.1. Phát biểu thuật giải 80
2.2. Bài toán Chakraborty 81
2.3. Bài toán xác định cơ cấu đầu tư cho các hộ chăn nuôi cá 87
2.4. Bài toán quy hoạch sử dụng đất trên địa bàn huyện Trùng Khánh 88
CHƯƠNG VI. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU
92
1. ÁP DỤNG CÁC MÔ HÌNH TỐI ƯU TRONG NÔNG NGHIỆP
92
2. NGHIÊN CỨU ÁP DỤNG VÀ ĐỀ XUẤT CÁC PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU
92
3. XÂY DỰNG CÁC PHẦN MỀM TỐI ƯU
93
4. XÂY DỰNG HỆ HỖ TRỢ RA QUYẾT ĐỊNH CÀI ĐẶT TRÊN MẠNG
MÁY TÍNH

94
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
96


3
Chương I
ỨNG DỤNG MỘT SỐ MÔ HÌNH TỐI ƯU TRONG NÔNG NGHIỆP

Tối ưu hoá là một trong những lĩnh vực kinh điển của toán học có ảnh hưởng
đến hầu hết các lĩnh vực, trong đó có nông nghiệp. Trong thực tế, việc tìm ra giải pháp
tối ưu cho một vấn đề nào đó chiếm một vai trò hết sức quan trọng. Phương án tối ưu là
những phương án tốt nhất, tiết kiệm chi phí, tài nguyên, sức lực mà lại cho hiệu quả cao.
Có thể phát biểu mô hình (bài toán) tối ưu tổng quát như sau:
F(X)
Æ
Max (Min) với X
∈
D được gọi là miền ràng buộc.
F ở đây có thể là một hàm vô hướng hay hàm véc tơ, tuyến tính hay phi tuyến.
Trong trường hợp F là hàm vô hướng thì ta có mô hình quy hoạch (tối ưu) đơn mục tiêu,
còn nếu F là véc tơ thì có mô hình quy hoạch (tối ưu) đa mục tiêu. X có thể là một biến
đơn lẻ hay một tập hợp nhiều biến tạo thành một vectơ hay thậm chí là một hàm của
nhiều biến khác. Biến có thể nhận các giá trị liên tục hay rời rạc. D là miền ràng buộc
của X, thường được biểu diễn bởi các đẳng thức, bất đẳng thức, và được gọi là miền
phương án khả thi hay phương án chấp nhận được.

1. MÔ HÌNH QUY HOẠCH ĐƠN MỤC TIÊU
1.1. Mô hình tối ưu một mục tiêu (tuyến tính và phi tuyến)
Dạng chính tắc của bài toán tối ưu toàn cục một mục tiêu được biểu diễn như
sau:
Max (Min) f(X) X = (x
1
, x
2
, …, x
n
)
với: (i) g

j
(X) ≤ 0, j = 1, 2, …, k,
(ii) g
j
(X) = 0, j = k+1, k+2, …, m,
Trong các bài toán thực tế có thể bổ sung các ràng buộc dạng:
(iii) a
i
≤ x
i
≤ b
i
, i = 1, 2, …, n.
Hàm mục tiêu f(X) và các hàm ràng buộc g
j
(X) với j=1,2, …,m có thể là tuyến
tính hay phi tuyến.Véc tơ X có thể bao gồm các thành phần rời rạc hay liên tục hoặc là sự
kết hợp giữa các thành phần rời rạc và các thành phần liên tục. Các dạng khác của bài
toán tối ưu một mục tiêu đều có thể đưa về dạng chính tắc theo những quy tắc nhất định.
Nếu ký hiệu D là miền các phương án (miền ràng buộc) cho bởi các ràng buộc
(i), (ii) và/hoặc (iii) thì bài toán trên đây có thể viết gọn hơn như sau: f(X)
→
Max
(Min) với X
∈
D. Lúc này, X
*
∈ D được gọi là phương án tối ưu toàn cục nếu ∀ X∈D ta
luôn có: f(X
*

)

≤ f(X). Trong trường hợp f(X
*
) ≤ f(X) chỉ đúng với ∀X∈D trong một
lân cận của X
*
thì X
*
được gọi là phương án tối ưu địa phương.
Trong trường hợp có ít nhất một trong các hàm mục tiêu hay ràng buộc là hàm
phi tuyến, chúng ta có bài toán quy hoạch phi tuyến. Trong các bài toán tối ưu phi tuyến
ứng dụng nói chung, và trong nông nghiệp nói riêng, lời giải tối ưu toàn cục có một ý

4
nghĩa quan trọng. Chẳng hạn trong thiết kế máy nông nghiệp, sau khi dùng phương
pháp phân tích hồi qui nhiều chiều, ta thường thu được hàm mục tiêu f(X) có dạng phi
tuyến. Các bài toán tối ưu toàn cục cũng có thể nảy sinh trong quy hoạch kinh tế - sinh
thái vùng, hay xác định cơ cấu đất canh tác - cây trồng. Bài toán đặt ra là phải tìm được
phương án tối ưu toàn cục. Có rất nhiều phương pháp giải các lớp bài toán tối ưu phi
tuyến, nhưng chưa có phương pháp nào tỏ ra hữu hiệu cho mọi bài toán tối ưu phi
tuyến, đặc biệt là các bài toán có các biến nhận các giá trị liên tục cũng như nguyên.
Trong trường hợp tất cả các hàm mục tiêu cũng như ràng buộc đều là các hàm
tuyến tính, chúng ta có BTQHTT. Trái với bài toán quy hoạch phi tuyến, BTQHTT có
thể giải bằng một số phương pháp tối ưu quen biết (như phương pháp đơn hình cải biên,
phương pháp hai pha, phương pháp điểm trong v.v…) và được sử dụng r
ộng rãi trong
quy hoạch sử dụng đất cũng như nhiều lĩnh vực của kinh tế và quản trị kinh doanh nông
nghiệp. Đặc biệt, khi các ràng buộc đều cho ở dạng bất đẳng thức với dấu ≤ thì ta có
mô hình tối ưu (quy hoạch tuyến tính) một mục tiêu sau:

Min CX với ràng buộc
D
X
∈
, trong đó:
C là véc tơ
∈
R
n

D = { ∈
X
R
n
: AX ≤ B, X
≥
0 }
với A là ma trận cấp m
×
n và
∈
B
R
m

1.2. Các ví dụ minh hoạ bài toán tối ưu một mục tiêu
Bài toán quy hoạch sử dụng đất
(Mô hình tối ưu tuyến tính một mục tiêu giải bài toán quy hoạch sử dụng đất trên địa
bàn xã Đông Dư, huyện Gia Lâm, tỉnh Hà Nội)
Chúng ta xét mô hình tối ưu một mục tiêu với mục tiêu cần cực đại hoá là hiệu

quả kinh tế. Để thiết lập mô hình, trước hết chọn các biến quyết định. Dựa vào kết quả
các dữ liệu đã thu được, ta chọn các biến quyết định như sau: x
j
với j = 1, 2, …, 18 là
diện tích các loại cây trồng ( theo thứ tự là: lúa xuân, lúa mùa, ngô xuân, ngô đông, ngô
bao tử đông, lạc xuân, đậu xanh xuân, đậu tương đông đất chuyên màu, đậu tương đông
đất ba vụ, dưa chuột xuân, dưa chuột bao tử, mướp đắng xuân, rau mùi tàu, rau gia vị,
đậu cô ve đông, ớt xuân, cà chua xuân, cà chua đông), x
19
là diện tích ao hồ thả cáao cá,
x
j
với j = 20, …, 24 là số đầu vật nuôi trong năm (trâu, bò, lợn, gia cầm). x
24
là số công
lao động thuê ngoài, x
25
là lượng tiền vốn vay ngân hàng. Lúc đó chúng ta có bài toán
tối ưu tuyến tính một mục tiêu với 33 ràng buộc (chưa kể điều kiện không âm của các
biến) như sau:
Hiệu quả kinh tế: f(X) = 4306,14 x
1
+ 4168,73 x
2
+ 3115,21 x
3
+ 3013,11 x
4
+
4158,68 x

5
+ 4860,91 x
6
+ 4295,31 x
7
+ 3706,11 x
8
+ 3788,25 x
9
+ 12747,31 x
10
+
12752,96 x
11
+ 12064,81 x
12
+ 79228,88 x
13
+ 35961,31 x
14
+ 10823,91 x
15
+ 7950,16 x
16

+ 7928,06 x
17
+5738, 46 x
18
+ 11129,50 x

19
+ 429,00 x
20
+ 674,00 x
21
+ 219,50 x
22
+
11,10 x
23
– 15,50 x
24
– 0,12 x
25
→ Max
Với các ràng buộc sau đây :

5
x
1
≤ 80,88; x
2
≤ 75,78; x
3

≤
64,89; x
4

≤

64,89; x
5 ≤
10,50; x
6

≤

64,89; x
7
≤ 64,89; x
8
≤ 16,50; x
9

≤
45,30; x
10

≤
5,50; x
11
≤ 8,5; x
12

≤

6,80; x
13 ≤
13,70; x
14

≤ 14,50; x
15
≤
4,80; x
16

≤
4,50; x
17
≤ 4,20; x
18
≤

10,20; x
19
≤ 33,11; x
20
≤ 40,00; x
21

≤
180,00; x
22

≤
4280; x
23
≤ 18800;
x
5

+ x
9
+ x
11
+ x
13
+ x
18

≤
45,30; x
3
+ x
6
+

x
7
+ x
10
+ x
12
+ x
16
+ x
17
≤

64,89; x
4

+ x
8
+ x
14
+ x
15
≤ 64,89; x
1
+ x
13

≤
80,88; x
2
+ x
13

≤
75,88;
205,5x
1
+ 150x
3
+ 75,75x
4
+ 75x
5
+ 225,5x
6
+ 221,5x

7
+ 102,7x
8
+ 100,75x
9
+360 x
10
+140x
11
+ 385x
12
+ 1833,6x
13
+ 1446,3x
14
+210,25 x
15
+ 410,5x
16
+360,5 x
17
+ 176x
18
+ 67x
19
+20x
20
+ 16x
21
+ 9x

22
+ 0,3x
23
- x
24

≤
226149,00;
201,5x
2
+ 150x
3
+ 75,25x
4
+ 102,7x
8
+ 100,75x
9
+ 140x
11
+ 2475,4x
13
+
1446,3x
14
+ 210,25x
15
+ 176x
18
+ 58x

19
+ 16x
20
+ 12x
21
+ 7x
22
+ 0,2x
23
- x
24

≤

152190,00;
2871,89x
1
+2691,89 x
2
+ 2243,62x
3
+ 2243,66x
4
+ 3630,89x
5
+ 4780,06x
6
+
2229,11x
7

+ 2401,41x
8
+ 2326,88x
9
+ 16440,61x
10
+ 16058,39x
11
+15960,61x
12
+
68494,59x
13
+ 23146,11x
14
+ 13676,26x
15
+6061,76x
16
+ 11083,11x
17
+ 10391,89x
18
+
18058x
19
+ 1223x
20
+ 1098,5x
21

+ 624,5x
22
+ 12x
23
- x
24

≤
3881500;
3,5x
5
+ 8x
6
+ 3,5x
7
+4,1x
8
+ 3,5x
9
+ 4,16x
10
+ 3,5x
11
+ 4x
12
+ 12,1x
13
+
14,4x
14

+ 3,42x
15
+ 11,58x
16
+ 8x
17
+ 7,5x
18
-3 x
20
–2x
21
- 0,95x
22
– 0,0052x
23
≤ 0;
5,1x
1
+ 4,96x
2
+ 3,85x
3
+ 3,8x
4
≥ 921,25;
Điều kiện không âm của các biến: ∀x
j
≥ 0 ( j = 1, 2, …, 25).
Bằng phần mềm thương phẩm thích hợp có sẵn Lingo hay sử dụng Solver của

Excel (xem chương II) có thể tìm được phương án tối ưu của bài toán trên như sau:
x
1
=67,18, x
2
=62,08, x
3
=25,32, x
4
=45,59, x
5
=10,50, x
6
=3,37, x
9
=2,40, x
10
=6,50,
x
11
=8,50, x
12
=6,50, x
13
=13,70, x
14
=14,50, x
15
=4,80, x
16

=4,50, x
17
=4,20, x
18
=10,20,
x
19
=33,11, x
20
=40,00, x
21
=180, x
22
=4280, x
23
=18800, x
25
=230701010,78. Hiệu quả kinh
tế cực đại đạt được là 4270,36.

Bài toán tối ưu hoá giá trị sản xuất
(Mô hình tối ưu phi tuyến một mục tiêu giải bài toán tối ưu hoá giá trị sản xuất trên một
héc ta nuôi cá tại huyện Văn Giang, tỉnh Hưng Yên)
Sử dụng số liệu điều tra 112 hộ nuôi cá vùng đồng trong đê thuộc 4 xã Văn
Giang, Hưng Yên, chúng tôi chạy mô hình hồi quy tương quan trong Excel và nhận đư-
ợc kết quả hàm sản xuất Cobb – Douglas như sau (cần cực đại hoá):
Z = f(X) = 19,375 x
1
0,236
x

2
0,104
x
3
0,096
x
4
0,056
x
5
0,056
e
0,168 x6
e
0,066 x7

→Max
trong đó:
z : Giá trị sản xuất bình quân triệu/ ha/năm (GO),
x
1
: Chi phí giống bình quân 1 ha 1 năm (tr/ ha),
x
2
: Chi phí thức ăn bình quân 1 ha 1 năm (tr/ ha),

6
x
3
: Chi phí lao động bình quân 1 ha 1 năm (tr/ ha),

x
4
: Chi phí khấu hao và thuê đất bình quân 1 ha 1 năm (tr/ ha),
x
5
: Các chi phí khác bình quân 1 ha 1 năm (tr/ ha),
x
6
, x
7
: Biến giả định về hình thức nuôi,
x
6
= 1 đối với nuôi chuyên canh,
x
6
= 0 đối với nuôi tổng hợp,
x
7
= 1 với hình thức nuôi 1 loại cá chính kết hợp với các loại cá khác,
x
7
= 0 với hình thức nuôi 2 loại cá chính kết hợp với các loại cá khác.
Với từng mức đầu tư/ tổng chi phí TC ta có các ràng buộc:
- Với mức đầu tư dưới 40 tr đ/ ha: TC < 40
- Với mức đầu tư 40 - 50 tr đ/ ha: 40
≤
TC < 50
- Với mức đầu tư 50 – 60 tr đ/ ha: 50
≤

TC < 60
- Với mức đầu tư 60 - 70 tr đ/ ha: 60
≤
TC < 70
- Với mức đầu tư trên 70 tr đ/ ha: TC ≥ 70
trong đó: x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
= TC .
Với hình thức nuôi ta có: x
6
+ x
7
= 1 (x
6
, x
7
chỉ nhận các giá trị 0 hoặc 1).
Trên đây là bài toán tối ưu phi tuyến, với 5 biến liên tục và 2 biến nguyên. Sử
dụng phần mềm RST2ANU (xemchương III) để giải bài toán tối ưu phi tuyến toàn cục
hỗn hợp nguyên đã thiết lập trên đây ta có kết quả trong bảng I.1.

Bảng I.1. Kết quả cơ cấu đầu tư tối ưu vùng đồng

Đầu tư
(tr/ha)
< 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 > 70
x
1
35 – 45% 40 – 45% 40 – 45% 35 – 45% 35 – 40%
x
2
15 – 20% 17 – 25% 17 – 23% 15 – 20% 18 – 25%
x
3
15 – 20% 15 – 20% 15 – 20% 16- 19% 17 – 23%
x
4
10 – 15% 7 – 15% 8 – 15% 9 – 13% 10 – 15%
X
5
10 – 15% 10 – 15% 10 - 15% 9 - 15% 10 - 15%
GO (tr/ ha) < 78,1 78,1 – 88,3 88,3 – 97,5 97,5– 106 > 106
NI (tr/ ha) - 38,1-38,3 38,3-37,5 37,5-36 -

Việc thực hiện cơ cấu đầu tư tối ưu làm giá trị sản xuất (GO) cũng như thu nhập
ròng (NI = GO - TC) ở từng mức đầu tư tăng lên rõ rệt so với thực tế sản xuất tại địa
phương. Đặc biệt, mức đầu tư 50 tr/ha cho ta thu nhập hỗn hợp cao nhất 38,3 tr/ha, lớn
hơn 8 tr/ha so với hiện tại không áp dụng cơ cấu đầu tư tối ưu cũng như hình thức nuôi
thích hợp. Tại mức đầu tư này, cơ cấu đầu tư tối ưu là x
1
từ 19,6 – 21,5 triệu (39,2 –
42,2%);

x
2
từ 8,6 - 9,8 triệu (17,2 – 19,6%); x
3
từ 8,6 – 9,9 triệu ( 17,2 – 19,8%); x
4
từ
4,7 – 6,4 triệu (9,4 – 12,8%); x
5
từ 4,9 – 6,3 triệu (9,8 –12,6%) với hình thức nuôi
chuyên canh (x
6
=1).

7
Kết quả áp dụng phần mềm RST2ANU (xem chương III) tại mức đầu tư 50
triệu đồng/ha cho phương án tối ưu sau: z
max
=88,360733với x
1
=21,498072,
x
2
=9,528987, x
3
=8,758034, x
4
=5,138906, x
5
=5,076000, x

6
=1,000000, x
7
=0,000000.

Bài toán tối ưu thông số sàng phân loại
(Mô hình tối ưu phi tuyến một mục tiêu giải quyết vấn đề tính toán một số thông
số hình học và động học của cơ cấu sàng phân loại dao động)
Trong ví dụ này chúng tôi chỉ xin nêu vắn tắt một ứng dụng của mô hình tối ưu
phi tuyến một mục tiêu trong việc tìm nghiệm của hệ phương trình phi tuyến sau phát
sinh trong việc tính toán một số thông số hình học và động học của cơ cấu sàng phân
loại dao động (cần chú ý rằng nhiều phương pháp tính toán thông dụng khác của giải
tích số đã tỏ ra không hiệu quả):
r cosϕ
1
+ l cosϕ
2
+ l
’’
3
cosϕ
3
+ l
4
cosϕ
4
– x
C1
= 0;
r sinϕ

1
+ l sinϕ
2
+ l
’’
3
sinϕ
3
+ l
4
sinϕ
4
– y
C1
= 0;
r cosϕ
1
+ l cosϕ
2
+ l
’
3
cos(ϕ
3
- α)+ l
5
cosϕ
5
– x
D1

= 0;
r sinϕ
1
+ l sinϕ
2
+ l
’
3
sin(ϕ
3
- α)+ l
5
sinϕ
5
– y
D1
= 0.
Trong hệ phi tuyến trên các thông số đã biết là: r = 0,05m; l=0,30m; l
’’
3
= 0,15m;
l
’
3
= 1,075m; l
3
= 1,025m; l
4
= 0,50m; l
5

= 0,40m; x
C1
= 0,365m; y
C1
= 0,635m; x
D1
=
1,365m; y
D1
= 0,635m; α = π/8.
Để sử dụng phần mềm tính toán tối ưu phi tuyến RST2ANU giải hệ phương
trình phi tuyến cho ϕ = kπ/8 (k=0,…, 9), trước hết chúng ta cần thiết lập cực tiểu hoá
hàm mục tiêu sau:
z = (r cosϕ
1
+ l cosϕ
2
+ l
’’
3
cosϕ
3
+ l
4
cosϕ
4
– x
C1
)
2

+ (r sinϕ
1
+ l sinϕ
2
+ l
’’
3

sinϕ
3
+ l
4
sinϕ
4
– y
C1
)
2
+ (r cosϕ
1
+ l cosϕ
2
+ l
’
3
cos(ϕ
3
- α)+ l
5
cosϕ

5
– x
D1
)
2
+ (r sinϕ
1
+
l sin
ϕ
2
+ l
’
3
sin(ϕ
3
- α)+ l
5
sinϕ
5
– y
D1
)
2
Æ Min
Kết quả được cho trong bảng I.2 với z
min
= 0.

Bảng I.2. Kết quả tính toán giá trị các thông số của sàng phân loại

ϕ
1

∈
[0,2π] ϕ
2

∈
[0,π] ϕ
3
∈
[0,π] ϕ
4
∈
[0,π] ϕ
5
∈
[0,π]
0 0,226128 0,551311 1,783873 1,666775
π/18
0,199269 0,550518 1,784628 1,670250
2π/18
0,170835 0,550590 1,782751 1,668853
3π/18
0,143343 0,550490 1,778826 1,663697
4π/18
0,112669 0,552073 1,770032 1,652171
5π/18
0,090986 0,551991 1,759350 1,639575
6π/18

0,066036 0,553576 1,745374 1,622823
7π/18
0,051284 0,554296 1,730174 1,602970
8π/18
0,039053 0,555262 1,713242 1,581813
9π/18
0,033773 0,556277 1,695605 1,560720


8

2 MÔ HÌNH QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN
2.1. Giới thiệu bài toán quy hoạch đa mục tiêu
Trong các bài toán kỹ thuật, công nghệ, quản lý kinh tế, nông nghiệp v.v nảy
sinh từ thực tế, chúng ta thường phải xem xét đồng thời một lúc nhiều mục tiêu. Các
mục tiêu này thường là khác về thứ nguyên, tức là chúng được đo bởi các đơn vị khác
nhau. Những tình huống như vậy tạo ra các bài toán đa mục tiêu. Người kỹ sư / người ra
quyết định lúc này cần phải tối ưu hoá (cực đại hoá hoặc cực tiểu hoá tuỳ theo tình
huống thực tế) không phải là chỉ một mục tiêu nào đó, mà là đồng thời tất cả các mục
tiêu đã đặt ra.
Tuy nhiên, các mục tiêu này thường đối chọi cạnh tranh với nhau. Việc làm tốt
hơn mục tiêu này thường dẫn tới việc làm xấu đi một số mục tiêu khác. Vì vậy việc giải
các bài toán tối ưu đa mục tiêu, tức là tìm ra một phương án khả thi tốt nhất theo một
nghĩa nào đó, thực chất chính là một bài toán ra quyết định. Có thể thấy lại ở đây một
lần nữa khẳng định " Tối ưu hoá chính là một công cụ định lượng chủ yếu nhất của quá
trình ra quyết định".
Hiện tại các tài liệu, sách chuyên khảo, tạp chí cập nhật về các lĩnh vực liên
ngành giữa Toán, Vận trù học, Khoa học Quản lý, Tin học, Công nghệ, Kinh tế, Nông
nghiệp đề cập rất nhiều tới bài toán tối ưu đa mục tiêu. Vấn đề nghiên cứu cơ sở lý
thuyết, thuật toán, lập mô hình, xây dựng hệ máy tính trợ giúp quyết định, và áp dụng

các mô hình tối ưu đa mục tiêu cho các quá trình công nghệ, quản lý là một vấn đề
liên ngành được rất nhiều nhà nghiên cứu khoa học và kĩ sư thực hành quan tâm.
Mô hình tối ưu đa mục tiêu có dạng sau đây:
Min f
j
(X), X = (x
1
, x
2
, …, x
n
) j = 1, 2, …, p (p ≥2)
với: (i) g
j
(X) ≤ 0, j = 1, 2, …, k,
(ii) g
j
(X) = 0, j = k+1, k+2, …, m,
Trong các bài toán thực tế có thể bổ sung các ràng buộc đạng:
(iii) a
i
≤ x
i
≤ b
i
, i = 1, 2, …, n.
Trong mô hình này, ta có p mục tiêu cần tối ưu hoá, các hệ số của các hàm mục
tiêu và ràng buộc nói chung được giả sử là các giá trị thực xác định (cũng gọi là giá trị
rõ). Trong trường hợp có ít nhất một trong các hàm mục tiêu hay các hàm ràng buộc là
hàm phi tuyến, chúng ta có bài toán quy hoạch đa mục tiêu phi tuyến. Còn nếu tất cả các

hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc đều là hàm tuyến tính, chúng ta có mô hình quy
hoạch tuyến tính đa mục tiêu với dạng chính tắc như sau:
Min CX với ràng buộ
c
D
X
∈
, trong đó:
C là ma trận cấp p
×
m
D = { ∈
X
R
n
: AX ≤ B, X ≥ 0 }
với A là ma trận cấp m x n và
∈
B
R
m



9
2.2. Các khái niệm cơ bản của bài toán tối ưu đa mục tiêu
Khái niệm then chốt trong tối ưu hoá đa mục tiêu là khái niệm phương án tối
ưu Pareto.
Định nghĩa 1: Một phương án tối ưu Pareto X
*

có tính chất sau đây:
i) Trước hết nó phải thuộc vào miền các phương án khả thi của bài toán, tức là
phải thoả mãn tất cả các ràng buộc: X
*
∈ D.
ii) Với mọi phương án khả thi khác X ∈ D mà có một mục tiêu nào đó tốt hơn
(tồn tại chỉ số i sao cho f
i
(X) tốt hơn f
i
(X
*
)) thì cũng phải có ít nhất một mục tiêu khác
xấu hơn (tồn tại j ≠ i sao cho f
j
(X) xấu hơn f
j
(X
*
)).
Nói một cách khác, không tồn tại một phương án khả thi nào X ∈ D có thể trội
hơn X
*
trên tổng thể.
Định nghĩa 2: Giải bài toán tối ưu toàn cục đa mục tiêu là chọn ra từ tập hợp P
các phương án tối ưu Pareto của bài toán một (một số) phương án tốt nhất theo một
nghĩa nào đó dựa trên cơ cấu ưu tiên của người ra quyết định. Các phương án như vậy
còn được gọi là phương án thoả dụng.
Cách 1: Bằng một phương pháp tối
ưu toán học thích hợp tìm ra tập hợp P tất cả

các phương án tối ưu Pareto. Người ra quyết định sẽ đề ra cơ cấu ưu tiên của mình đối
với tập P. Lúc này các phương pháp toán chẳng hạn như giải tích phân loại, các phương
pháp lọc v.v… được áp dụng để tìm ra phương án tối ưu cho bài toán đa mục tiêu ban
đầu.
Cách 2: Việc tìm tập hợp P trong trường hợp các bài toán tối ưu phi tuyến là
khá khó, nếu không nói là không thể tìm được. Vì vậy, so với cách 1, cách 2 sẽ tiến
hành theo trình tự ngược lại. Trước hết người ra quyết định sẽ đề ra cơ cấu ưu tiên của
mình. Dựa vào cơ cấu ưu tiên đó, các mục tiêu sẽ được tổ hợp vào một mục tiêu duy
nhất, tiêu biểu cho hàm tổng tiện ích của bài toán. Bài toán tối ưu với hàm mục tiêu tổ
hợp này sẽ được giải bằng một phương pháp tối ưu toán học thích hợp, để tìm ra một
(hoặc một số) phương án tối ưu Pareto. Lúc này, người ra quyết định sẽ chọn ra trong
số các phương án tối ưu Pareto đó một phương án tốt nhất.
Chúng ta sẽ tiếp tục phân tích cách thứ 2. Rõ ràng, người ra quyết định không
thể đề ra cơ cấu ưu tiên của mình một cách chính xác ngay từ đầu. Trong quá trình giải
bài toán, trong mỗi bước lặp, sau khi xem xét lại cơ cấu ưu tiên đã đề ra, cũng như
phương án tối ưu trung gian, người ra quyết định có thể dựa vào các thông tin đó để
thay đổi lại cơ cấu ưu tiên của mình. Sau đó, quá trình giải lại được tiếp tục, cho tới khi
một phương án tối ưu cuối cùng được đưa ra.
Định nghĩa 3: Phương pháp giải bài toán tối ưu dựa trên sự trợ giúp của hệ máy
tính, nhằm giúp người ra quyết định từng bước thay đổi các quyết định trung gian một
cách thích hợp để đi tới một phương án tối ưu Pareto thoả mãn nhất, được gọi là phương
pháp tương tác người - máy tính.
Cho tới thời điểm hiện nay, hàng chục phương pháp giải tương tác bài toán tối
ưu đa mục tiêu đã được đề cập tới trong các tạp chí chuyên ngành, và đa số chúng đều

10
có những ứng dụng rất thành công trong nhiều lĩnh vực. Một trong các lớp phương
pháp quan trọng và khá thuận tiện cho người sử dụng là phương pháp tương tác người -
máy tính giải bài toán tối ưu đa mục tiêu với các yếu tố cấu thành sau:
- Cơ cấu ưu tiên của người ra quyết định và hàm tổ hợp tương ứng.

- Kiểu tương tác người - máy tính: các thông tin nào máy tính phải đưa ra lại
trong các bước lặp trung gian, và cách thay đổi các thông số của cơ cấu ưu tiên từ phía
người ra quyết định.
- Kỹ thuật tối ưu toán học được xây dựng dựa trên lý thuyết tối ưu hoá nhằm tìm
ra các phương án tối ưu Pareto cho các bài toán cần giải trong các bước lặp trung gian.
2.3. Các ví dụ minh hoạ bài toán quy hoạch đa mục tiêu
Bài toán xác định cơ cấu cây trồng
(Mô hình quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu giải quyết vấn đề đánh giá hiệu quả sử dụng
đất và xác định cơ cấu cây trồng xã Nhân Chính, huyện Lý Nhân, tỉnh Hà Nam)
Trong nhiều mô hình quy hoạch đất, cũng như xây dựng cơ cấu cây trồng hợp lý
các mô hình tối ưu được sử dụng rộng rãi. Ở nước ngoài, cũng như ở Việt Nam các
phương pháp mô hình toán như vậy đã đem lại hiệu quả cao trong việc quản lý sử dụng
đất cũng như việc bố trí một cơ cấu cây trồng thích hợp. Tuy nhiên đa số các mô hình
tối ưu đó là mô hình một mục tiêu.
Ngày nay, mô hình toán tối ưu nhiều mục tiêu được áp dụng trong nhiều lĩnh
vực, đặc biệt trong lĩnh vực quản lý kinh tế, thiết kế chế tạo. Ví dụ này trình bày một
cách áp dụng mô hình tối ưu nhiều mục tiêu cho bài toán xác định cơ cấu cây trồng - sử
dụng đất trên địa bàn một xã vùng đồng bằng sông Hồng.
Bài toán tối ưu nhiều mục tiêu nhằm đạt tới việc tối ưu hoá (cực đại hoá ) các
mục tiêu sau :
- Hiệu quả kinh tế của việc bố trí cơ cấu cây trồng và sử dụng đất.
- Độ thích hợp tổng thể của cơ cấu cây trồng.
- Hiệu quả môi trường.
Bài toán có những điều kiện ràng buộc như sau về mặt sử dụng đất và cơ cấu cây trồng:
Qua nghiên cứu về đất, toàn bộ diện tích canh tác được chia ra làm M loại. Còn
kết quả nghiên cứu về trồng trọt cho phép áp dụng trên các loại đất đó N công thức luân
canh, được đánh giá ở hai mức thích hợp. Độ thích hợp là 1 nếu công thức luân canh là
thích hợp và là 2 nếu công thức luân canh ít thích hợp.
Ký hiệu diện tích đất loại k là b
k

với k = 1, 2, M ; còn x
ijk
(các biến quyết
định) là diện tích luân canh công thức i (i = 1, 2, , N) với độ thích hợp j (j = 1, 2) trên
đất loại k.
Đặt a
ịjk
là hệ số của x
ijk
trong ràng buộc về diện tích đất loại k, ta sẽ có a
ijk
= 0
nếu ta không áp dụng công thức luân canh i cho đất loại k; và a
ijk
= 1 nếu công thức
luân canh i được áp dụng cho đất loại k.
Vậy các điều kiện ràng buộc của bài toán là :

11
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∀∀∀≥
==
∑∑
==
kjiX
Mkbxa

kji
j
kkjikji
N
i
,,0
) ,,2,1(
2
11

Ký hiệu c
ịjk
là hệ số lợi nhuận trên một đơn vị diện tích của công thức luân canh
i trên đất loại k với độ thích hợp j, thì mục tiêu về hiệu quả kinh tế được viết như sau :
∑∑∑
===
→
2
111 j
kjikjikji
N
i
M
k
Maxxac
(Mục tiêu 1 : Cực đại hoá lợi nhuận tổng)
Để cực đại hoá độ thích hợp tổng thể, cần cực đại hoá tổng diện tích công thức
luân canh có độ thích hợp loại 1. Vậy ta có mục tiêu sau :
Maxxa
kiki

N
i
M
k
→
∑∑
==
11
11

(Mục tiêu 2 : Cực đại hoá độ thích hợp tổng thể)
Một mục tiêu nữa cần xem xét, như trên đã nói, là hiệu quả môi trường của cơ
cấu cây trồng - sử dụng đất. Đây là một vấn đề thực tiễn, tuy nhiên các đánh giá về môi
trường rất khó định lượng. Để xác định hệ số môi trường cho các công thức luân canh,
chúng tôi dùng phương pháp tổng hợp ý kiến chuyên gia. Mỗi chuyên gia sẽ đưa ra
đánh giá của mình về hiệu quả môi trường cho các công thức luân canh ở các mức : Tốt,
khá, trung bình, xấu. Sau đó các mức đó sẽ được định lượng bởi các số 100, 75, 50 và
25. Tỉ lệ % các ý kiến cho từng mức đánh giá sẽ được coi là xác suất thực nghiệm của
các giá trị trên. Và do đó mỗi công thức luân canh thứ i sẽ ứng với một cặp số m
i
(kỳ
vọng) và σ
i
(độ lệch tiêu chuẩn) của phân phối thực nghiệm thu được. Thay cho các
phân phối xác suất thực nghiệm, ta sẽ xem xét hệ số mờ
i
m
~
= ( m
i

- 3σ
i
, m
i
, m
i
+ 3σ)
của hiệu quả môi trường cho công thức luân canh thứ i.
Do đó mục tiêu hiệu quả môi trường là mục tiêu mờ được viết như sau:
∑∑∑
===
→
2
111
~
j
kjikjii
N
i
M
k
Maxxam

(Mục tiêu 3 : Cực đại hoá hiệu quả môi trường)
Tóm lại ta có mô hình tối ưu (mờ) ba mục tiêu sau đây :
∑∑∑
===
→
2
111 j

kjikjikji
N
i
M
k
Maxxac
Maxxa
kiki
N
i
M
k
→
∑∑
==
11
11

∑∑∑
===
→
2
111
~
j
kjikjii
N
i
M
k

Maxxam

12
Với các ràng buộc :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∀∀∀≥
==
∑∑
==
kjiX
Mkbxa
kji
j
kkjikji
N
i
,,0
) ,,2,1(
2
11

Việc xử lý mục tiêu mờ (mục tiêu cực đại hoá hiệu quả môi trường) được tiến
hành bằng cách cực đaị hoá hiệu quả môi trường với hệ số rõ m
i
và có thể kèm thêm
một ràng buộc bổ sung :

∑∑∑
===
≥−
2
111
)(
j
kjikjiii
N
i
M
k
exam
ε

Ở đây ε
i
được tuỳ ý chọn thoả mãn điều kiện : 0 < ε
i
< 3σ
i
. Thông thường ta
chọn ε
i
= 90% × 3σ
i
hay ε
i
= 2,7 σ
i

. Còn số e là một số được lựa chọn thích hợp từ
những thông tin có thể khai thác từ bài toán trên (chẳng hạn từ thông tin của bảng pay-
off), thường gọi là ngưỡng tối thiểu có thể chấp nhận của mục tiêu.
Mô hình tối ưu (mờ) ba mục tiêu chính là một mô hình ra quyết định nhiều mục
tiêu, và được giải bằng phương pháp đối thoại người ra quyết định - máy tính, nhằm
giúp người ra quyết định từng bước tìm hiểu và thích nghi với các thông tin nội tại của
mô hình, để cuối cùng đi tới một lời thoả mãn nhất. Các mục tiêu của mô hình được
chuyển sang các mục tiêu mờ phản ánh độ thoả dụng của người ra quyết định. Đây là
một cách làm rất hợp lý, bởi vì các đơn vị đo khác nhau của các mục tiêu được chuyển
vào đơn vị thống nhất đo độ thoả dụng của người ra quyết định. Đây cũng là một lợi thế
của tối ưu mờ (Fuzzy Optimization) bên cạnh rất nhiều ưu điểm khác.
Số liệu thực tế qua khảo sát cơ cấu cây trồng, sử dụng đất ở địa phương
Qua khảo sát thực tế các số liệu về các mặt sau được thu thập:
- Hiệu quả kinh tế của một số công thức luân canh (bảng I.3).
- Bố trí cơ cấu cây trồng theo các đơn vị đất (bảng I.4).
- Số liệu về 15 loại đơn vị đất với các đặc tính đã được khảo sát (bảng I.5).
- Tổng hợp các phiếu đánh giá hiệu quả môi trường một số công thức luân canh
áp dụng cho vùng đồng bằng sông Hồng (bảng I.6).
Bảng I.3. Hiệu quả kinh tế một số công thức trồng trọt luân canh
Công thức
trồng trọt
Giá trị SX
(ngànđ/ha)
Năng suất
(tạ/ha)
Chi phí
trung gian
(ngàn đ)
Yêu cầu lao
động

(công/ha)
Giá trị
tăng thêm
(ngàn/ha)
I.Bí xanh
Cà chua
Su hào
36634
39000
16064
457,92
65,00
200,80
9431
5879
4109
730
554
517
27203
33121
11955
Tổng 91698 19419 1801 72279
II.Bí xanh
Cà chua
Bắp cải
36634
39000
15050
457,92

65,00
215,00
9431
5879
4173
730
554
462
27203
33121
10877
Tổng 90684 19483 1746 71201
III.Bí xanh
Bí xanh
36634
31948
457,92
399,35
9431
10056
730
758
27203
21892

13
Bắp cải 15050 215,00 4173 462 10877
Tổng 83632 23660 1950 59972
IV. L.xuân
TQ

L.mùa sớm
Su hào
Su hào
11223
8796
16060
14898
66,00
43,98
146,00
186,23
3557
3601
4048
4837
310
277
376
356
7666
5195
12012
10061
Tổng 50987 16043 1319 34934
V. L.xuân
TQ
L.mùa TQ
Hành Tây
11223
11700

25178
66,00
65,00
209,82
3557
3468
7201
310
310
695
7666
8232
17977
Tổng 48101 14226 1315 33875
VI. L.xuân
TQ
Lúa mùa
Dưa chuột
11223
11700
10139
66,00
65,00
207,79
3557
3468
7737
310
310
450

7666
8232
2402
Tổng 33062 14762 1070 18300
VII. L.xuân
TQ
L.mùa TQ
Khoai tây
11223
11700
25401
66,00
65,00
169,34
3557
3468
6213
310
310
425
7666
8232
19188
Tổng 48324 13238 1045 35086
VIII. Cà chua
Lúa mùa
Bắp cải
10500
11700
15050

105,00
65,00
215,00
5879
3468
4173
554
310
462
4621
8232
10877
Tổng 37250 13520 1326 23730
IX. Lúa xuân
Lúa mùa
11223
11700
66,00
65,00
3557
3468
310
310
7666
8232
Tổng 22923 7025 620 15898
X. Bí xanh
Lúa mùa
Bắp cải
36634

11700
15050
66,00
65.00
215,00
9431
3468
4173
310
310
462
27203
8232
10877
Tổng 63384 17072 1082 46312
XI. Bí xanh
Lúa mùa
Khoai tây
36634
11700
25401
457,92
65,00
169,34
9431
3468
6213
310
310
425

27203
8232
19188
Tổng 73735 19112 1465 54623

Bảng I.4. Bố trí cơ cấu cây trồng theo các đơn vị đất
1. (92,87 ha) VII. Lúa xuân - Lúa mùa - Khoai tây (2)
VIII. Cà chua - Lúa mùa - Bắp cải (1)
X. Bí xanh - Lúa mùa - Bắp cải (1)
2 (27,62) X. Bí xanh - Lúa mùa - Bắp cải (2)
I. Bí xanh - Cà chua - Su hào (1)
III. Bí xanh - Bí xanh - Bắp cải (1)
3, 4, 13, 14 (41,52) II. Bí xanh - Cà chua - Bắp cải (1)
I. Bí xanh - Cà chua - Su hào (1)
XI. Bí xanh - Lúa mùa - Khoai tây (2)

14
5, 6, 7 (163,15 ha) IX. Lúa xuân - Lúa mùa - ải (2)
8, 15 (16,49) VII. Lúa xuân - Lúa mùa - Khoai tây (2)
V. Lúa xuân - Lúa mùa - Hành tây (2)
X. Bí xanh - Lúa mùa - Bắp cải (1)
9, 10, 11 (85,02ha) VII. Lúa xuân - Lúa mùa - Khoai tây (1)
V. Lúa xuân - Lùa mùa - Hành tây (1)
IV. Lúa xuân-Lúa mùa-Su hào-Su hào (2)
12 (48,49) III. Bí xanh - Bí xanh - Bắp cải (1)
X. Bí xanh - Lúa mùa - Bắp cải (2)
Ghi chú : (1) Thích hợp (2) Kém thích hợp
Bảng I.5. Diện tích đơn vị đất đai
1 92,87 ha 9 43,88 ha
2 27,62 10 8,85

3 5,42 11 32,29
4 12,02 12 48,49
5 99,89 13 14,03
6 27,96 14 10,05
7 35,30 15 8,41
8 8,08
Bảng I.6. Tổng hợp phiếu đánh giá hiệu quả môi trường của một số công
thức luân canh áp dụng cho vùng đồng bằng sông Hồng
Công thức Công thức Mức độ
luân canh Tốt (%) Khá (%) T.B (%) Xấu (%)
1 Bí xanh-Cà chua-Su hào 45,4 27,3 27,3
2 Bí xanh-Cà chua-Bắp cải 45,4 18,2 36,4
3 Bí xanh-Bí xanh-Bắp cải 36,4 36,4 27,2
4 LX-LM sớm-Su hào-Su hào 72,7 18,2 9,1
5 Lúa xuân-LM sớm-Hành tây 72,7 18,2 9,1
6 Lúa xuân-LM sớm-Dưa chuột 54,5 27,3 18,2
7 Lúa xuân-Lúa mùa-Khoai tây 81,8 18,2
8 Cà chua-Lúa mùa sớm-Bắp cải 27,3 45,4 27,3
9 Lúa xuân-Lúa mùa 45,4 36,4 18,2
10 Bí xanh-Lúa mùa sớm-Bắp cải 27,3 54,5 18,2
11 Bí xanh-LM sớm-Khoai tây 27,3 45,4 27,3

Thiết lập mô hình đa mục tiêu xác định cơ cấu cây trồng
Để có thể chọn những công thức trồng trọt phù hợp với điều kiện đất đai, đồng
thời đảm bảo đạt hiệu quả mong muốn, cần xét ba mục tiêu sau:
i) Hiệu quả kinh tế, ii) Độ thích hợp đất đai, iii) Hiệu quả môi trường.
Tiến hành thiết lập mô hình, trước hết chọn các bi
ến quyết định. Dựa vào kết
quả các dữ liệu đã thu được, đặt tên các biến như sau:
x

1
(x
112
): diện tích trồng các loại cây công thức 1, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (2)
x
2
(x
113
): diện tích trồng các loại cây công thức 1, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (3)
x
3
(x
213
): diện tích trồng các loại cây công thức 2, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (3)

15
x
4
(x
312
): diện tích trồng các loại cây công thức 3, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (2)
x
5
(x
317
): diện tích trồng các loại cây công thức 3, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (7)
x
6
(x
516

): diện tích trồng các loại cây công thức 5, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (6)
x
7
(x
716
): diện tích trồng các loại cây công thức 7, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (6)
x
8
(x
811
): diện tích trồng các loại cây công thức 8, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (1)
x
9
(x
914
): diện tích trồng các loại cây công thức 9, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (4)
x
10
(x
10,11
): diện tích trồng các loại cây công thức 10, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (1)
x
11
(x
10,15
): diện tích trồng các loại cây công thức 10, ở độ thích hợp đất (1) trên khu đất (5)
x
12
(x
426

): diện tích trồng các loại cây công thức 4, ở độ thích hợp đất (2) trên khu đất (6)
x
13
(x
525
): diện tích trồng các loại cây công thức 5, ở độ thích hợp đất (2) trên khu đất (5)
x
14
(x
721
): diện tích trồng các loại cây công thức 7, ở độ thích hợp đất (2) trên khu đất (1)
x
15
(x
725
): diện tích trồng các loại cây công thức 7, ở độ thích hợp đất (2) trên khu đất (5)
x
16
(x
10,22
): diện tích trồng các loại cây công thức 10, ở độ thích hợp đất (2) trên khu đất (2)
x
17
(x
10,27
): diện tích trồng các loại cây công thức 10, ở độ thích hợp đất (2) trên khu đất (7)
x
18
(x
11,23

): diện tích trồng các loại cây công thức 1, ở độ thích hợp đất (2) trên khu đất (3).
Với các số liệu thực tế thu được qua khảo sát, chúng tôi có mô hình tối ưu (mờ) sau đây :
Mục tiêu 1: z
1
= 72279(x
112
+ x
113
) + 71201x
213
+ 59972 (x
312
+ x
317
) + 34934
x
426
+ 33875 (x
516
+ x
525
) + 35086 (x
716
+ x
721
+ x
725
) + 23730 x
811
+ 15898 x

914
+ 46312
(x
10, 11
+ x
10, 15
+ x
10, 22
+ x
10, 27
) + 54623 x
11, 23
→ Max
Mục tiêu 2 : z
2
= x
112
+ x
113
+ x
213
+ x
312
+ x
317
+ x
516
+ x
716
+ x

811
+ x
914
+
x
10, 11
+ x
10, 15
→ Max
Mục tiêu 3 : z
3
=
1
~
m
(x
112
+ x
113
) +
2
~
m
x
213
+
3
~
m (x
312

+ x
317
) +
4
~
m
x
426
+
5
~
m (x
516
+ x
525
) +
7
~
m (x
716
+ x
721
+ x
725
) +
8
~
m x
811
+

9
~
m x
914
+
10
~
m (x
10, 11
+ x
10, 15
+ x
10, 22
+ x
10, 27
)
+
11
~
m x
11, 23
→ Max
Với các ràng buộc sau đây :
x
721
+ x
811
+ x
10, 11
= 92,87 (ha); x

112
+ x
312
+ x
10, 22
= 27,62; x
113
+ x
213
+ x
11, 23

= 41,52; x
914
= 163,15; x
525
+ x
725
+ x
10, 25
= 16,49; x
426
+ x
516
+ x
716
= 85,02; x
317
+ x
10,

27
= 48,49; x
ịk
≥ 0 ∀i, ∀j , ∀k.
Ở mô hình trên
1
~
m được xác định như sau :
Trước hết ta tính m
1
= 27,3% × 25 + 27,3% × 50 + 45,4% × 75
σ
1
=
2
1
222
m75%4,4550%3,2725%3,27 −×+×+×
Sau đó có :
1
~
m = (m
1
- 3σ
1
, m
1
, m
1
+ 3σ

1
). Tương tự có thể tính được các hệ
số mờ khác. Do đó mục tiêu 3 được được thay bởi:
Mục tiêu 3 : z
3
= 54,525(x
112
+ x
113
) + 52,25x
213
+ 52,3(x
312
+ x
317
) + 90,9 x
426
+
84,075(x
516
+ x
525
) + 95,375(x
716
+ x
721
+ x
725
) + 75x
811

+ 81,8x
914
+ 77,275(x
10, 11
+ x
10,
15
+ x
10, 22
+ x
10, 27
) + 77,275x
11, 23
→ Max

16
Các bước giải bài toán tối ưu cơ cấu cây trồng
Tiến hành giải bài toán trên bằng phần mềm MULTIOPT (xem chương IV) theo
các bước sau: Trước hết, nhằm giúp người ra quyết định xác định hàm thoả dụng, bài
toán tối ưu cho từng mục tiêu riêng rẽ (như vậy có ba bài toán tối ưu một mục tiêu) sẽ
được giải quyết. Riêng mục tiêu về hiệu quả môi trường sẽ lấy m
i
thay thế cho
i
m
~
đối
với mọi công thức canh tác i.
Màn hình máy tính sẽ thông báo về ba lời giải tối ưu cho ba bài toán, ký hiệu là
X

1
, X
2
, và X
3
.
X
1
: x
112
= 27,62; x
113
= 41,52 ; x
312
= 48,49 ; x
716
= 85,02 ; x
914
= 163,15; x
10, 11

= 92,87 và x
10, 15
= 16,49 (các biến khác có giá trị bằng 0).
X
2
: x
112
= 27,62 ; x
113

= 41,52 ; x
317
= 48,49 ; x
516
= 85,02 ; x
811
= 92,87;

x
914
=
163,15; x
10, 15
= 16,49 (các biến khác có giá trị bằng 0).
X
3
: x
716
= 85,02 ; x
721
= 92,87 ; x
725
= 16,49 ; x
914
= 163,15 ; x
10, 22
= 27,62; x
10,
23
= 48,49 và x

11, 23
= 41,52 (các biến khác có giá trị bằng 0).
Lúc này ta có thông tin pay- off cho ở bảng I.7.
Bảng I.7. Thông tin pay- off
Phương án Mục tiêu 1 Mục tiêu 2 Mục tiêu 3
X
1
18544625,75 475,16 36218,401
X
2
16344476,19 475,16 35039,98
X
3
15206528,66 248,17 40985,02
Dựa trên các thông tin pay-off trên, máy tính sẽ giúp người ra quyết định xây
dựng được các hàm thoả dụng cho các mục tiêu đã đặt ra. Các hàm đó còn gọi là các
hàm liên thuộc mờ (fuzzy membership functions). Chẳng hạn hàm thoả dụng cho mục
tiêu hiệu quả kinh tế là :
μ
1
(z
1
) =
w
1
B
1
w
11
ZZ

ZZ
−
−
→ Max
Với z
1
B
(tốt nhất) = 18544625,75
z
1
w
(xấu nhất) = 15206528,66.
Sau khi có các hàm thoả dụng, hàm liên hợp (aggregation function) được thiết
lập cho các hàm thoả dụng đó để có mục tiêu sau :
w
1
μ
1
(z
1
) + w
2
μ
2
(z
2
) + w
3
μ
3

(z
3
) → Max
Với w
1
+ w
2
+ w
3
= 1, 0 ≤ w
1
, w
2
, w
3
≤ 1
Các hệ số w
1
, w
2
, w
3
được gọi là các trọng số phản ánh tầm quan trọng của
từng hàm thoả dụng thành phần trong hàm liên hợp. Bằng cách thay đổi giá trị w
1
, w
2
,
w
3

, người ra quyết định có thể tìm ra được các phương án thoả dụng thích hợp (có tính
chất tối ưu Pareto yếu). Xem xét các phương án đó cùng với độ thoả dụng đạt được cho
từng mục tiêu (có thể dựa vào phương pháp ra quyết định tập thể - group decision
making) người ra quyết định có thể đi tới một quyết định hợp lý về cơ cấu cây trồng - sử
dụng đất như trong b
ảng I.8.

17
Bảng I.8. Kết quả lựa chọn phương án tối ưu
Đơn
vị
đất
Khu
vực
Diện
tích
(ha)
Phương án 1 Phương án 2 Phương án 3 Phương án
chọn
1 1 92.,8
7
Bí xanh
(xuân) –
LM – bắp
cải
Cà chua
(đông) – LM –
bắp cải
Lúa xuân
(TQ) - LM

(TQ) – khoai
tây
Bí xanh (xuân)
– LM – bắp cải

2 2 27,6
2
Bí xanh
(xuân) – cà
chua (hè
thu)- su hào
Bí xanh
(xuân) – cà
chua (hè thu)-
su hào
Bí xanh
(xuân) – LM
– bắp cải
Bí xanh (xuân)
– cà chua (hè
thu)- su hào
3; 4;
14;
13
3 41,5
2
Bí xanh
(xuân) – cà
chua (hè
thu)- su hào

Bí xanh
(xuân) – cà
chua (hè thu)-
su hào
Bí xanh
(xuân) – LM
– khoai tây
Bí xanh (xuân)
– cà chua (hè
thu)- su hào
5; 6;
7
4 163,
15
Lúa xuân –
lúa mùa
Lúa xuân –
lúa mùa
Lúa xuân –
lúa mùa
Lúa xuân – lúa
mùa
8; 15 5 16,4
9
Bí xanh
(xuân) –
LM – bắp
cải
Bí xanh
(xuân) – LM –

bắp cải
Lúa xuân
(TQ) - LM
(TQ)– khoai
tây
Bí xanh (xuân)
– LM – bắp cải
(6.51234 ha)
LX TQ) – LM
(TQ)– khoai
tây
(9.97766 ha)
9;
10;
11
6 85,0
2
Lúa xuân
(TQ) - LM
(TQ) –
khoai tây
Bí xanh
(xuân) – LM –
bắp cải
Lúa xuân
(TQ) - LM
(TQ)– khoai
tây
Lúa xuân (TQ)
- LM (TQ)–

khoai tây
12 7 48,4
9
Bí xanh
(xuân)- bí
xanh (mùa)-
bắp cải
Bí xanh
(xuân) - bí
xanh (mùa)-
bắp cải
Bí xanh
(xuân) – LM
– bắp cải
Bí xanh
(xuân)- bí xanh
mùa)- bắp cải
Trong bảng I.8, chúng ta có:
Phương án 1: Các công thức trồng trọt cho hiệu quả kinh tế cao nhất.
Phương án 2: Các công thức trồng trọt cho hiệu quả cao nhất về mức độ thích
nghi đất đai.
Phương án 3: Các công thức trồng trọt cho hiệu quả môi trường cao nhất .
Phương án cho ở cột phương án chọn là phương án thoả dụng ứng bộ giá trị các
trọng số: w
1
= 0.4, w
2
= 0.2, w
3
= 0.4 khi sử dụng phần mềm MULTIOPT.

Bài toán đánh giá hiệu quả sử dụng đất và lao động
(Mô hình quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu giải quyết vấn đề đánh giá hiệu quả sử dụng
đất và lao động trên địa bàn xã Trâu Quỳ, huyện Gia Lâm, tỉnh Hà Nội)

18
Để quy hoạch sử dụng đất, đồng thời đảm bảo đạt hiệu quả môi trường, cần xem
xét năm mục tiêu sau:
i) Tổng lợi nhuận, ii) Hiệu quả sử dụng vốn, iii) Giá trị ngày công lao động, iv)
Số công lao động, vi) Hiệu quả môi trường.
Để tiến hành giải bài toán, trước hết phải chọn các biến quyết định. Dựa vào cơ
cấu cây trồng xã năm 1999, các biến sau được l
ựa chọn:
x
1
: Diện tích trồng lúa xuân (ha), x
2
: Diện tích trồng lúa mùa (ha), x
3
: Diện tích
trồng ngô (ha), x
4
: Diện tích trồng đậu tương (ha), x
5
: Diện tích trồng khoai tây (ha), x
6

: Diện tích trồng rau (ha), x
7
: Diện tích trồng mùi (ha), x

8
: Diện tích trồng táo (ha), x
9
:
Diện tích trồng nhãn (ha), x
10
: Diện tích trồng xoài (ha).

Các mục tiêu cần cực đại hoá là:
z
1
= 4,48 x
1
+ 4,2 x
2
+ 2,59 x
3
+ 0,98 x
4
+ 5,8 x
5
+ 15,61 x
6
+ 29,67 x
7
+ 39,21
x
8
+ 116,58 x
9

+ 105,13 x
10

z
2
= 0,6205 x
1
+ 0,5915 x
2
+0,465 x
3
+ 0,1583 x
4
+ 0,7065 x
5
+ 0,5864 x
6
+
1,2996 x
7
+ 1,2735 x
8
+ 1,1726 x
9
+ 1,756 x
10

z
3
= 0,0217 x

1
+ 0,0206 x
2
+ 0,0154 x
3
+ 0,0045 x
4
+ 0,0248 x
5
+ 0,0109 x
6
+
0,0241 x
7
+ 0,0349 x
8
+ 0,09 x
9
+ 0,0811 x
10

z
4
= 206 x
1
+ 204 x
2
+ 168 x
3
+ 216 x

4
+ 234 x
5
+ 1428 x
6
+ 1232 x
7
+ 1124 x
8
+
1296 x
9
+ 1296 x
10

z
5
= 0,7 x
1
+ 0,778 x
2
+ 1,273 x
3
+ 1,75 x
4
+ x
5
+ 0,368 x
6
+ 0,875 x

7
+ 3 x
8
+ 3
x
9
+ 3 x
10
Với các ràng buộc sau (về cơ cấu diện tích đất canh tác): x
1
≤ 189,6407; x
2
≤
189,6407; x
3
≤ 17,4931; x
4
≤ 17,4931; x
5
≤17,4931; x
6
≤189,6407; x
7
≤ 17,4931; x
8

≤18; x
9
≤18; x
10

≤ 18.
Diện tích trồng rau trên cả đất ba vụ và đất chuyên màu: x
6
≥ 26,4
Diện tích đất trồng cây vụ đông trên đất ba vụ: x
3
+ x
4
+ x
5
+ x
6
+ x
7
= 43,8931
Diện tích đất trồng các cây ăn quả trên đất trồng cây hàng năm khác: x
8
+ x
9
+
x
10
= 18
Điều kiện để có lợi nhuận là:
4,48 x
1
+ 4,2 x
2
+ 2,59 x
3

+ 0,98 x
4
+ 5,8 x
5
+ 15,61 x
6
+ 29,67 x
7
+ 39,21 x
8
+
116,58 x
9
+ 105,13 x
10
> 0
Điều kiện về sản lượng lương thực:
Các cây lương thực của xã gồm lúa xuân, lúa mùa và ngô:
5,14 x
1
+ 4,98 x
2
+ 3,77 x
3
≥ 1700,5
Điều kiện không âm của bài toán:
x
i
(i = 1, 2, …, 10) ≥ 0.
Bảng I.9 cho phép so sánh kết quả sử dụng đất canh tác xã Trâu quỳ năm 1999 với

các phương án tối ưu thu được khi áp dụng phần mềm MULTIOPT (xem chương IV ).

19

Bảng I.9. So sánh kết quả sử dụng đất canh tác
STT Các chỉ tiêu Kết quả thực tế Kết quả mô hình






1



Diện
tích các
cây
trồng
Lúa xuân
Lúa mùa
Ngô
Đậu tương
Khoai tây
Rau
Mùi
Táo
Nhãn
Xoài

189,64
189,64
2,53
0,82
0,91
27,73
12,4
9,27
4,85
3,88
189,64( x
1
)
189,64(x
2
)
0,00
0,00
0,00
26,40(x
6
)
17,49(x
7
)
0,00
0,00
18,00(x
10
)

2
3
4
5
6
7
8
Tổng thu nhập
Tổng chi phí
Tổng lợi nhuận
Hiệu quả sử dụng vốn
Tổng số công lao động
Giá trị ngày công lao động
Môi trường
8538,62
4750,00
3788,47
288,19
154462
9,74
360,72
9364,92
4895,38
4469,54(z
1
)
299,67(z
2
)

160331(z
3
)
10,19(z
4
)
359,31(z
5
)


( Giá trị các trọng số: w
1
= 0,1; w
2
= 0,1; w
3
= 0,2; w
4
= 0,2; w
5
= 0,4 ).

Tối ưu hoá kết quả và hiệu quả kinh tế chăn nuôi cá(Mô hình quy hoạch phi tuyến đa
mục tiêu giải quyết vấn đề tối ưu hoá kết quả và hiệu quả kinh tế chăn nuôi cá của các hộ
nông dân nuôi cá tại huyện Văn Giang, tỉnh Hưng Yên)
Việc các hộ nuôi cá quyết định nên sản xuất như thế nào, mức đầu tư bao nhiêu
phụ thuộc chủ yếu vào những lợi thế và tiềm lực kinh tế của từng nông hộ. Những nông
hộ có nhiều lao động dư thừa chú trọng đến thu nhập hỗn hợp hơn thu nhập ròng, còn
những hộ có sẵn nguồn thức ăn tận dụng trong gia đình mà không mất tiền mua thì lạ

i
xem trọng giá trị sản xuất hơn. Chính vì vậy, cần không chỉ quan tâm đến giá trị sản
xuất mà còn cần quan tâm cả đến thu nhập hỗn hợp và thu nhập ròng. Do đó, phải giải
quyết bài toán tối ưu ba mục tiêu sau:
i) Tối đa hoá giá trị sản xuất cá trên một ha (z
1
→ Max),

20
ii) Tối đa hoá thu nhập ròng trên một ha (z
2
→Max),
iii) Tối đa hoá thu nhập hỗn hợp trên một ha(z
3
→ Max).
z
1
= 19,387 x
1
0,236
x
2
0,103
x
3
0,096
x
4
0,056
x

5

0,056
e
0,168x6
e
0,066x7
→ Max
z
2
= z
1
- TC → Max
z
3
= z
1
- TC + x
3


→ Max
Trong bài toán đa mục tiêu trên, các ràng buộc là:
- Với điều kiện thực tế tại địa phương và kết quả tính toán cho thấy mức đầu tư
trên 75 triệu/ha sẽ không đem lại hiệu quả kinh tế cao. Do vậy tổng chi phí giới hạn ở
mức 75 triệu/ha hay: 0 < TC
≤ 75.
- Việc phân tích các kết quả tính toán cho thấy, với mức đầu tư tối ưu thì chi phí
giống x
1

không thể vượt quá 40% tổng chi phí, tương tự chi phí thức ăn x
2
, chi phí lao
động x
3
, chi phí khấu hao x
4
và chi khác x
5
không thể vượt quá 30%, 20%, 15% và 15%
so với tổng chi phí. Vì vậy, các ràng buộc cần xem xét là:
- 0 < TC = x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
+x
5
≤ 75
- x
1
≤ 40; x
2
≤ 30; x
3
≤ 20; x
4

≤ 15; x
5
≤ 15
- x
6
+ x
7
≤ 1 (x
6
, x
7
∈ {0, 1} )
Khi giải mô hình trên bằng phần mềm PRELIME ta thu được các kết quả cho
trong bảng I.10.
Bảng I.10. Kết quả tối ưu hoá từng mục tiêu đơn lẻ vùng đồng
Tỉ lệ đầu tư(triệu/ha) Biến giả
Giá trị Max
(triêụ/ha)
Phương
án
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5

Tổng chi
x
6
x
7
GO
N
I MI
X
1
30,0 15,7 12,6 8,5 8,1 75,0 1 0 110,2 - -
X
2
20,0 8,8 8,2 4,8 4,8 46,5 1 0 - 38,4 -
X
3
23,7 10,3 20,0 5,6 5,6 65,2 1 0 - - 54,5

Trước hết, giá trị cực đại của từng mục tiêu đơn lẻ với mức đầu tư tương ứng đ-
ược thể hiện trong bảng trên. Biến hình thức nuôi x
6
= 1, nghĩa là ở vùng đồng KQ và
HQKT đạt lớn nhất khi các hộ chuyển sang nuôi chuyên canh và ở mức đầu tư 75
triệu/ha, với cơ cấu đầu tư x
1
: x
2
: x
3

: x
4
: x
5
= 30,0 : 15,7 : 12,6 : 8,5 : 8,1 sẽ cho ta
giá trị sản xuất lớn nhất (đạt 110,15 triệu); còn ở mức đầu tư 46,5 triệu, với cơ cấu x
1
:
x
2
: x
3
: x
4
: x
5
= 20,0 : 8,8 : 8,2 : 4,8 : 4,8 thì thu được thu nhập ròng lớn nhất (đạt
38,42 triệu); các hộ cần cực đại hoá thu nhập hỗn hợp thì nên đầu tư ở mức 65,19 triệu,
với cơ cấu đầu tư là x
1
: x
2
: x
3
: x
4
: x
5
= 23,7 : 10,3 : 20,0 : 5,6 : 5,6. Như vậy, mức
và cơ cấu đầu tư khác nhau làm cho KQ và HQKT thu được của các hộ cũng khác nhau.

Trên tập {X
1
, X
2
, X
3
} ta thu được giá trị tốt nhất của GO, NI và MI lần lượt là:
GO
Max
= 110,2, NI
Max
= 38,4, MI
Max
= 54,5 và giá trị thấp nhất của GO là 71,8, NI là 18,1, MI
là 30,8. Từ đó ta xác định được các giải giá trị thích hợp cho GO, NI và MI tương ứng là:
[71,8 - 110,2], [18,1 - 38,4] và [30,8 - 54,5]. Với các thông tin thu được, phần mềm
PRELIME (xem bài báo của C. Mohan và Nguyen Hai Thanh,“
An interactive satisficing

21
method for solving multiobjective mixed fuzzy-stochastic programming problems”,
International Journal for Fuzzy Sets and Systems, Vol. 117, No.1, pp. 61-79, 2001
) sẽ cho biết:
Đối với từng mục tiêu z
1
(GO), z
2
(NI) và z
3
(MI) các hàm thoả dụng lần lượt là

μ
1
, μ
2
và

μ
3


với các mức đạt được được thể hiện trên các đồ thị.
- Đối với hàm thoả dụng về giá trị sản xuất:
0 nếu z
1
≤ 71,8 = a
1

μ
1
= 0,5 nếu z
1
= 80,0 = b
1


1 nếu z
1
≥110,2 = c
1

- Đối với hàm thoả dụng về thu nhập ròng:
0 nếu z
2
≤ 15,1 = a
2
μ
2
= 0,5 nếu z
2
= 34,0 = b
2

1 nếu z
2
≥ 38,4 = c
2

- Đối với hàm thoả dụng về thu nhập hỗn hợp:
0 nếu z
3
≤ 38,8 = a
3
μ
3
= 0,5 nếu z
3
= 45,0 = b
3

1 nếu z

3
≥ 54,5 = c
3

Chúng ta có thể hiểu ý nghĩa của các hàm thoả dụng trên như sau: Đối với hàm z
1

(GO) thì một phương án X = (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
, x
7
) với giá trị z
1
≤ 110,2 triệu/ha = c
1

cho ta độ thoả dụng μ
1
= 1; với giá trị z
1

≥ 71.8 triệu/ha = a
1
thì độ thoả dụng μ
1
= 0; với
z
1
= 80,0 triệu/ha lại cho ta độ thoả dụng μ
1
= 0,5. Các giá trị khác của z
1
cho các độ thoả
dụng được nội suy căn cứ vào các đồ thị trên. Giá trị z
1
= 80,0 triệu/ha = b
1
(tương ứng
với độ thoả dụng 0,5) được gọi là giá trị chốt và được xác định cho bước lặp đầu tiên
trong quá trình giải bài toán tối ưu đa mục tiêu. ở các bước sau giá trị chốt b
1
có thể được
thay đổi căn cứ vào thông tin nội tại của bài toán do máy tính đưa ra. Tương tự ta có thể
giải thích ý nghĩa của các hàm thoả dụng μ
2
và μ
3
ứng với các mục tiêu z
2
(NI) và z
3

(MI).
Một phương án X như vậy cho ta độ thoả dụng ứng với ba mục tiêu z
1
(GO), z
2

(NI), z
3
(MI) là μ
1
, μ
2
và μ
3
. Từ ba hàm thoả dụng này ta thiết lập được hàm thoả
dụng tổng hợp (
Aggregation Utility Function) cho đồng thời ba mục tiêu như sau: μ =
Max { Min [μ
1
, μ
2
, μ
3
] }
Trong quá trình giải bài toán qua các bước lặp nếu thu được phương án X với μ
> 0,5 thì điều đó có nghĩa là tất cả ba hàm thoả dụng μ
1
, μ
2
và μ

3
lớn hơn 0,5. Từ đó ta
thấy các giá trị chốt b
1
, b
2
, b
3
đã đặt ra là thấp nên ta có thể tăng (ít nhất) một trong ba
giá trị chốt này, việc ưu tiên mục tiêu nào (z
1
, z
2
hay z
3
) tuỳ thuộc vào sự quan tâm của
nông hộ nhằm sử dụng có hiệu quả nhất nguồn lực của mình. Ngược lại, nếu μ < 0,5, thì
ta giảm ít nhất một trong ba giá trị ưu tiên b
1
, b
2
hay b
3
.
Như vậy, trong quá trình giải các giá trị ưu tiên này sẽ được thương lượng với
nhau để điều chỉnh sao cho thu được phương án X* thoả mãn nhất với độ thoả dụng
tổng hợp μ gần với 0,5.

22
Kết quả tính toán bài toán đa mục tiêu ở vùng đồng khi sử dụng phần mềm

PRELIME được thể hiện trong bảng I.11. Có thể thấy rằng, tuỳ vào mục đích của người
ra quyết định mà có sự lựa chọn khác nhau về GO, NI hay MI. Đối với vùng đồng, các hộ đều
lựa chọn hình thức nuôi chuyên canh (x
6
= 1), còn mức và cơ cấu đầu tư tối ưu lại phụ thuộc
vào mục đích của hộ sẽ chọn GO, NI hay MI yếu tố nào là quan trọng. Chẳng hạn, người thứ
nhất quan tâm nhiều đến GO thì cần đầu tư ở mức 62,7 triệu/ha, tương ứng với cơ cấu đầu tư
x
1
: x
2
: x
3
: x
4
: x
5
= 25,0 : 11,2 : 14,3 : 6,3 : 6,0. Nhìn chung, giá trị lớn nhất đồng thời của ba
mục tiêu không có sự thay đổi lớn qua các sự lựa chọn; GO
Max
đạt từ 95,4 đến 99,6 triệu/ha,
NI
Max
đạt 35,6 đến 36,9 triệu/ha và MI
Max
đạt từ 52,1 đến 53,4 triệu/ha.
Tổng mức đầu tư cũng không có sự biến động lớn, chúng chỉ dao động từ 58,8
đến 62,6 triệu/ha, ứng với các tỉ lệ cơ cấu cũng không có sự biến đổi nhiều.
Bảng I.11. Kết quả bài toán đa mục tiêu vùng đồng
Tỉ lệ đầu tư (triệu/ha) Biến giả Giá trị max

(triệu/ha)
Bước
lặp
thứ
Độ
thoả
dụng
(%)
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
Tổn
g
chi
x
6
x
7
GO NI MI
1 0,82 25,
0
11,
2

14,
3
6,3 6,0 62,7 1 0 99,6 36,9 51,
2
2 0,74 22,
6
10,
0
15,
5
5,4 5,4 58,8 1 0 95,4 36,6 52,
1
3 0,49 23,
1
10,
3
17,
9
5,6 5,7 62,6 1 0 98,1 35,6 53,
4
4 0,46 22,
7
10,
0
16,
6
5,4 5,3 60,0 1 0 96,2 36,2 52,
7
5 0,50 22,
2

9,9 15,
0
5,3 5,3 57,7 1 0 94,5 36,8 51,
8















23
Chương II
GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

1. PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH GIẢI BTQHTT DẠNG CHÍNH TẮC
1.1. Ví dụ . Xét BTQHTT: Max z = 8x
1
+ 6x
2
,

với các ràng buộc
4x
1
+ 2x
2
≤ 60
2x
1
+ 4x
2
≤ 48
x
1
, x
2
≥ 0
Đưa BTQHTT
dạng chuẩn tắc trên về dạng chính tắc bằng các biến bù không
âm x
3
và x
4
như sau:
Max z = 8x
1
+ 6x
2
+ 0x
3
+ 0x

4

với các ràng buộc
4x
1
+ 2x
2
+ x
3
= 60
2x
1
+ 4x
2
+ x
4
= 48
x
1
, x
2
, x
3
, x
4
≥ 0.
Chú ý. BTQHTT có dạng chính tắc là BTQHTT với các biến không âm, các ràng
buộc có dấu “=”, hệ số vế phải của các ràng buộc không âm. Ngoài ra, mỗi phương trình
bắt buộc phải có một biến đứng độc lập với hệ số +1.

Cách lập và biến đổi các bảng đơn hình
Để giải BTQHTT dạng chính tắc trên đây, cần lập một số bảng đơn hình như
trong bảng II.1. Trước hết, cần điền số liệu của bài toán đã cho vào bảng đơn hình bước 1:
– Cột 1 là cột hệ số hàm mục tiêu ứng với các biến cơ sở đã chọn. Phương án
xuất phát có thể chọn là x
1
= x
2
= 0 (đây chính là điểm gốc toạ độ O(0, 0) trên hình II.1),
do đó x
3
= 60, x
4
= 48. Như vậy tại bước này chúng ta chưa bước vào sản xuất, nên
trong phương án chưa có đơn vị sản phẩm loại I hay loại II nào được sản xuất ra (chỉ
“sản xuất” ra các lượng nguyên liệu dư thừa, ta cũng nói là các “sản phẩm” loại III và
IV), và giá trị hàm mục tiêu z tạm thời bằng 0. Các biến bù có giá trị lớn hơn 0 có nghĩa
là các nguyên liệu loại tương ứng chưa được sử dụng h
ết. Ta gọi các biến x
3
và x
4
là các
biến cơ sở vì chúng có giá trị lớn hơn 0 còn x
1
và x
2
là các biến ngoài cơ sở vì chúng có
giá trị bằng 0. Với bài toán có hai ràng buộc, tại mỗi bước chỉ có hai biến cơ sở.
– Cột 2 là cột các biến cơ sở. Trong cột 3 (cột phương án) cần ghi các giá trị của

các biến cơ sở đã chọn.
– Các cột tiếp theo là các cột hệ số trong các điều kiện ràng buộc tương ứng với
các biến x
1
, x
2
, x
3
và x
4
của bài toán đã cho.

24
Bảng II.1. Các bảng đơn hình giải BTQHTT
c
1
= 8 c
2
= 6 c
3
= 0 c
4
= 0
Hệ số hàm
mục tiêu c
j

Biến cơ sở Phương án
x
1

x
2
x
3
x
4

Bảng đơn hình bước 1
0
0
x
3

x
4

60
48
4
2
2
4
1
0
0
1
Hàng z z
0
= 0 z
1

= 0 z
2
= 0 z
3
= 0 z
4
= 0
Hàng Δ
j
= c
j
– z
j


Δ
1
= 8 Δ
2
= 6 Δ
3
= 0 Δ
4
= 0
Bảng đơn hình bước 2
8
0
x
1
x

4

15
18
1
0
1/2
3
1/4
–1/2
0
1
Hàng z z
0
= 120 z
1
= 8 z
2
= 4 z
3
= 2 z
4
= 0
Hàng Δ
j
= c
j
– z
j

Δ
1
= 0 Δ
2
= 2 Δ
3
= –2 Δ
4
= 0
Bảng đơn hình bước 3
8
6
x
1
x
2

12
6
1
0
0
1
1/3
–1/6
–1/6
1/3
Hàng z z
0

= 132 8 6 5/3 2/3
Hàng Δ
j
= c
j
– z
j

0 0 –5/3 –2/3

Phân tích bảng đơn hình bước 1
– Hệ số ứng với biến x
1
trên hàng thứ nhất là a
11
= 4 có nghĩa là tỷ lệ thay thế
riêng giữa một đơn vị sản phẩm loại I và một đơn vị sản phẩm loại III là 4 (giải thích:
xét phương trình (hay ràng buộc) thứ nhất 4x
1
+ 2x
2
+ x
3
= 60, x
1
tăng một đơn vị thì x
3

phải giảm bốn đơn vị nếu giữ nguyên x
2

). Tương tự ta có thể giải thích được ý nghĩa của
các hệ số a
ij
khác cho trên hàng 1 và hàng 2 trong bảng đơn hình bước 1.
– Chúng ta xét hàng z của bảng đơn hình. Để tính z
1
, cần áp dụng công thức
z
1
= (cột hệ số của hàm mục tiêu)× (cột hệ số của biến x
1
) = 0×4 + 0×2 = (giá một đơn
vị sản phẩm loại III)×(tỷ lệ thay thế riêng loại I / loại III) + (giá một đơn vị sản phẩm
loại IV)×(tỷ lệ thay thế riêng loại I / loại IV) = tổng chi phí phải bỏ ra khi đưa thêm một
đơn vị sản phẩm loại I vào phương án sản xuất mới = 0. Các giá trị z
j
, với j = 1, 2, 3, 4,
được tính tương tự và chính là các chi phí khi đưa một thêm một đơn vị sản phẩm loại x
j

vào phương án sản xuất mới. Còn z
0
là giá trị của hàm mục tiêu đạt được tại phương án
đang xét: z
0
= (cột hệ số của hàm mục tiêu)× (cột phương án) = 0×60 + 0 × 48 = 0.
– Trên hàng Δ
j
cần ghi các giá trị Δ
j

, j = 1, 2, 3, 4, tính theo công thức Δ
j
= c
j
–
z
j
= lợi nhuận / đơn vị sản phẩm – chi phí / đơn vị sản phẩm. Vậy Δ
j
là "lãi biên" / một
đơn vị sản phẩm khi đưa một thêm một đơn vị sản phẩm loại x
j
vào phương án sản xuất
mới. Nếu Δ
j
> 0 thì hàm mục tiêu còn tăng được khi ta đưa thêm các sản phẩm loại j vào
phương án sản xuất mới. Có thể chứng minh được Δ
j
chính là đạo hàm riêng
j
z/ x∂∂
của hàm mục tiêu z theo biến x
j
. Như vậy, x
1
tăng lên 1 thì z tăng lên 8 còn x
2
tăng lên
1 thì z tăng lên 6 .
Do Δ

1
và Δ
2
đều lớn hơn 0 nên vẫn còn khả năng cải thiện hàm mục tiêu khi
chuyển sang (hay “xoay sang”) một phương án cực biên kề tốt hơn.